神经网络作业函数逼近
BP神经网络逼近非线性函数
3、 试用BP 神经网络逼近非线性函数f(u) =)5.0u (9.1e+-sin(10u) 其中，u ∈[-0.5,0.5]（1）解题步骤：①网络建立:使用“net=newff(minmax(x), [20, 1], {'tansig ’,’ purelin' });，语句建立个前馈BP 神经网络。
该BP 神经网络只含个隐含层，且神经元的个数为20。
隐含层和输出层神经元的传递函数分别为tansig 和pure-lin 。
其他参数默认。
②网络训练:使用“net=train (net, x , y) ;”语句训练建立好的BP 神经网络。
当然在网络训练之前必须设置好训练参数。
如设定训练时间为50个单位时间，训练目标的误差小于0.01，用“net.trainParam.epochs=50; net.train-Param.goal=0.01；”，语句实现。
其他参数默认。
③网络仿真:使用“y1=sim(net, x); y2=sim(net, x};”语句仿真训练前后的BP 神经网络。
（2）程序如下：clear all ；x=[-0.5:0.01:0.5];y=exp(-1.9*(0.5+x)).*sin(10*x);net=newff(minmax(x),[20,1],{'tansig' 'purelin'});y1=sim(net,x); %未训练网络的仿真结果 net.trainParam.epochs=50;net.trainParam.goal=0.01;net=train(net,x,y);y2=sim(net,x); %训练后网络的仿真结果 figure;plot(x,y,'-',x,y1,'-',x,y2,'--')title('原函数与网络训练前后的仿真结果比较');xlabel('x');ylabel('y');legend('y','y1','y2');grid on（3）仿真结果如图：图1图1为原函数y与网络训练前后（y1，y2）的仿真结果比较图。
BP神经网络研究综述【文献综述】
文献综述电气工程及自动化BP神经网络研究综述摘要：现代信息化技术的发展，神经网络的应用范围越来越广，尤其基于BP算法的神经网络在预测以及识别方面有很多优势。
本文对前人有关BP神经网络用于识别和预测方面的应用进行归纳和总结，并且提出几点思考方向以作为以后研究此类问题的思路。
关键词：神经网络；数字字母识别；神经网络的脑式智能信息处理特征与能力使其应用领域日益扩大，潜力日趋明显。
作为一种新型智能信息处理系统，其应用贯穿信息的获取、传输、接收与加工各个环节。
具有大家所熟悉的模式识别功能，静态识别例如有手写字的识别等，动态识别有语音识别等，现在市场上这些产品已经有很多。
本文查阅了中国期刊网几年来的相关文献包括相关英文文献，就是对前人在BP神经网络上的应用成果进行分析说明，综述如下：（一）B P神经网络的基本原理BP网络是一种按误差逆向传播算法训练的多层前馈网络它的学习规则是使用最速下降法，通过反向传播来不断调整网络的权值和阀值，使网络的误差平方最小。
BP网络能学习和存贮大量的输入- 输出模式映射关系,而无需事前揭示描述这种映射关系的数学方程.BP神经网络模型拓扑结构包括输入层（input）、隐层(hide layer)和输出层(output layer)，如图上图。
其基本思想是通过调节网络的权值和阈值使网络输出层的误差平方和达到最小，也就是使输出值尽可能接近期望值。
（二）对BP网络算法的应用领域的优势和其它神经网络相比，BP神经网络具有模式顺向传播，误差逆向传播，记忆训练，学习收敛的特点，主要用于：（1）函数逼近：用输入向量和相应的输出向量训练一个网络以逼近一个函数；（2）模式识别：用一个待定的输出向量将它与输入向量联系起来；（3）数据压缩：减少输出向量维数以便于传输或存储；（4）分类：把输入向量所定义的合适方式进行分类；]9[BP网络实质上实现了一个从输入到输出的映射功能，，而数学理论已证明它具有实现任何复杂非线性映射的功能。
机器学习大作业
机器学习大作业 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】题目：机器学习授课老师：韩红基于BP 神经网络的非线性函数拟合摘要：BP(Back Propagation)神经网络是 1986年由 Rumelhart和 McCelland 提出的，它是一种误差按反向传播的多层前馈网络，是目前应用最广泛的神经网络模型之一。
BP神经网络具有非常强的非线性映射能力，能以任意精度逼近任意连续函数，因此在人工智能的许多领域都得到了广泛的应用。
通常，BP算法是通过一些学习规则来调整神经元之间的连接权值，在学习过程中，学习规则以及网络的拓扑结构不变。
然而一个神经网络的信息处理功能不仅取决于神经元之间的连接强度，而且与网络的拓扑结构（神经元的连接方式）、神经元的输入输出特性和神经元的阈值有关，因而神经网络模型要加强自身的适应和学习能力，应该知道如何合理地自组织网络的拓扑结构，知道改变神经元的激活特性以及在必要时调整网络的学习参数等。
1 BP神经网络概述BP神经网络是一种多层前馈神经网络,该网络的主要特点是信号前向传递,误差反向传播。
在前向传递中,输入信号从输入层经隐含层逐层处理, 直至输出层。
每一层的神经元状态只影响下一层神经元状态。
如果输出层得不到期望输出, 则转入反向传播,根据预测误差调整网络权值和阈值,从而使B P神经网络预测输出不断逼近期望输出。
BP神经网络的拓扑结构如图图1中, X1, X2, …, X n是BP神经网络的输入值, Y1, Y2, …, Y m是BP神经网络的预测值,ωij和ωjk为BP神经网络权值。
从图2可以看出, BP神经网络可以看成一个非线性函数, 网络输入值和预测值分别为该函数的自变量和因变量。
当输入节点数为n, 输出节点数为m 时, BP 神经网络就表达了从n 个自变量到m 个因变量的函数映射关系。
2 主要用途BP 网络主要用于：（1）函数逼近：用输入矢量和相应的输出矢量训练网络逼近某个函数；（2）模式识别：用一个特定的输出矢量将它与输入矢量联系起来；（3）分类：把输入矢量以所定义的合适的方法进行分类；（4）数据压缩：减少输出矢量维数以便于传输或存储。
一般有界Sigmoidal函数神经网络的插值与逼近
一般有界Sigmoidal函数神经网络的插值与逼近章莉;谢林森;陆文秀【摘要】The interpolation of neural networks in the unidimensional Euclid space was discussed.First,for a set of interpolation sample,using a bounded general Sigmoidal function defined on R as the activationfunction,condition for existence of exact interpolation of feedforward neural networks with single hidden layer was given.Then the approximate interpolation of neural networks was constructed,the errors between the exact and approximate interpolation neural networks wereestimated.Finally,by using the modulus of continuity of function as a metric,the errors for the interpolation neural networks approximating continuous function were also estimated.%研究了一维欧氏空间中神经网络的插值问题.首先,对于一组插值样本和定义在R上的一般有界Sigmoidal激活函数,给出了精确插值的单隐层前向神经网络存在的条件；然后,构造了近似插值网络,给出了估计精确和近似插值网络之间的误差；最后,利用连续模作为度量,分别估计了两类网络对连续函数的逼近误差.【期刊名称】《浙江师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(036)003【总页数】7页(P270-276)【关键词】一般有界Sigmoidal函数;神经网络;精确插值;近似插值;误差估计【作者】章莉;谢林森;陆文秀【作者单位】浙江师范大学数理与信息工程学院,浙江金华321004;浙江师范大学数理与信息工程学院,浙江金华321004;浙江师范大学数理与信息工程学院,浙江金华321004【正文语种】中文【中图分类】O174.41设Rd是d维Euclid空间,{Xj}nj=0⊂Rd是n+1个不同的向量,{fj}nj=0是n+1个实数.对于一组插值样本若存在一个单隐层前向神经网络满足条件Ne(Xi)=fi(i=0,1,…,n),则称Ne(X)是对样本(1)的精确插值网络.其中Wj\5X表示Wj与X的内积,X=(x1,x2,…,xd)T∈Rd,Wj=(wj1,wj2,…,wjd)∈Rd,σ(x)是定义在R上的隐层节点的有界Sigmoidal激活函数,即满足最常用的Sigmoidal激活函数是文献[1-5]证明了对于定义在Rd中任一紧子集上的连续函数或可积函数,神经网络(2)能够一致逼近目标函数.文献[6]给出了σ(x)=时精确插值网络存在性的代数证明;文献[7]证明了当σ是非减的Sigmoidal连续函数时精确插值网络仍然是存在的.然而,在具体构造精确神经网络时就会出现(n+1)×(n+1)阶矩阵的求逆问题,计算量比较大,所以人们开始转向对近似插值网络的研究,即对任意的ε>0,存在形如式(2)的神经网络Na(X),满足|Na(Xj)- fj|<ε,j=0,1,…,n.文献[8]就假定在非减的Sigmoidal 函数的条件下,构造了精确插值网络,用代数方法证明了它的存在性,同时构造了近似插值网络,特别是当激活函数为式(4)时,可以对连续函数一致逼近.本文讨论在更一般的有界Sigmoidal函数条件下,即其中-∞<m<M<+∞,给出了文献[8]中所构造的精确插值网络存在时的条件,特别讨论了作为激活函数时的精确插值网络存在的条件,这比文献[8-9]更具有一般性.下面讨论d=1的情况.设{x0,x1,x2,…,x n}是[a,b]⊂R上的任意分划,不妨设令Δi=xi-xi-1(i=1,2,…,n).当i<j时,记Δi, j=Δi+Δi+1+…+Δj;当i=j时,Δi, j=Δi.现令变量A>0,取常数γ>0,β<0.设σ(x)是满足式(5)的一般有界Sigmoidal函数,记(βx)-m|}.由式(5)得(A)=0.特别地，当σ(x)为式(6)时,δ(A)<max(2eβA,2e-γA)→0,A→+∞.对于文献[8]中所构造的单隐层前向神经网络笔者将对任一组插值样本给出式(8)对样本(9)的精确插值存在的条件.定理1 假设σ(x)是满足式(5)的一般有界Sigmoidal函数,其中m≤0<M,则当δ(A)<时,存在{cj}nj=0⊂R,使得式(8)是对样本(9)的精确插值网络,即Ne(xi)=fi(i=0,1,…,n).证明由题意知,只需证明在已知条件下关于{cj}nj=0的线性方程组Ne(xi)=fi有解,即它的系数矩阵D的行列式非零.令D=(Mi j)ni, j=0,其中设.根据δ(A)的定义,容易得到:当x≥A时,下面就来估计矩阵E中的元素.当0≤j≤n-1时,|Mnn|=|σ(γA)|>M->M\5.运用不等式性质,同理可得:当0≤j≤n-1时,|Mn j|<-m+;当0≤i≤n-1,0≤j≤n且i≠j 时,|Min-Mi+1,n|<.综上,当0≤j≤n-1时,当j=n时,因此,|Mnn|>|Min-Mi+1,n|.(11)所以矩阵E是严格对角占优矩阵,即|E|≠0,换言之,|D|≠0,则线性方程组Ne(xi)=fi有解.定理1证毕.下面具体讨论当σ(x)=-1时,式(8)对样本(9)的精确插值存在的条件,先介绍一引理. 引理1[8] 设a0,a1,a2,…,an是R上n+1个不同的实数,令an+1=0,定义有限序列a0-a1,a1-a2,…,an-1-an,an-an+1,则对于成立的充要条件是ak>ak+1+.定理2 取σ(x)=-1,则当3e-γA<1时,存在{cj}nj=0⊂R,使得式(8)是对样本(9)的精确插值网络.证明由σ(x)的非减性得到M0 j>M1 j>…>Mn j(0≤j≤n),则此时矩阵E中的元素都为正数.由引理1知,式(10)和式(11)成立的充要条件是即应满足下列n+1个条件:2σ(γA)>2σ(βA)+σ((γ+wvj)A),1≤j≤n-1;(14)2σ(γA)>σ((γ+wτ)A).(15)因此，只需证明3-e-γA>0;(17)1-3e-γA>0(18)根据定理2的条件易得式(16)～式(18)成立.定理2证毕.定义为插值样本(9)的近似插值网络.下面估计精确插值网络Ne(x)与近似插值网络Na(x)之间的误差.先介绍一个定义和一个引理.在n+1维复欧氏空间Cn+1上,设B=(bi j)ni, j=0是复矩阵,z=(z0,z1,…,zn)是n+1维向量,定义范数引理2[8] 设B,B+ΔB是复可逆矩阵,z,z+Δz是n+1维列向量,若Bz=b,(B+ΔB)(z+Δz)=b,则.其中,cond1(B)=‖B‖1‖B-1‖1是矩阵B的条件数.定理3 假设σ(x)是满足定理1的非减的奇函数,则当δ(A)<时,对于插值样本(9),有证明为方便起见,式(8)和式(19)简写成由定理1可知,当δ(A)<时,线性方程组Ne(xi)=fi(i=0,1,…,n)的解是存在的,记其解为c=(c0,c1,…,cn)T.则此时线性方程组可表示成Dc=f,其中f=(f0, f1,…, fn)T.同样,记c′=(c′0,c′1,…,c′n)T,满足Uc′=f,其中c′j=(fj-fj+1)(j=0,1,…,n-1),c′n=(f0+fn),.若记B=U,z=c′,B+ΔB=D,z+Δz=c,b=f,则根据引理2有由于σ(x)是非减的奇函数,所以M=-m.下面考虑D-U中的元素.当0≤i≤j<n时,|Mi j-M|<δ(A);当0≤j≤i<n时,|Mi j+M|<δ(A).因此,由式(20)得,‖c-c′‖1<‖c′‖1.从而,定理3证毕.下面讨论近似插值网络对目标函数的逼近.设f(x)是定义在[a,b]上的连续函数,根据文献[10],对于t>0,定义为f的连续模,其中(f,t)=0.若存在只依赖于f的常数C(f),使得ω(f,t)≤C(f)tα,则称f 属于Lipschitz α类,记作f∈LipC(f)α,其中0<α≤1.在插值样本(9)中,令fi=f(xi)(i=0,1,…,n),下面对样本的插值网络Na(x),Ne(x)与f(x)的误差进行估计.定理4 假设σ(x)是满足定理1的非减的奇函数, f(x)是定义在[a,b]上的连续函数,则在[a,b]上式(22)中:表示f(x)在节点x-1,x0,x1,…,xn,x n+1处的变差,令f(x-1)=f(xn+1)=0. 证明对x∈[a,b],存在J∈N,使得对∀x∈[xJ,xJ+1],有(f,Δ).定理4证毕.推论1 假设σ(x)满足定理4的条件, f(x)是定义在[a,b]上的连续函数,其中|b-a|≥1.则当δ(A)<时,在[a,b]上有证明令根据连续模的性质知,所以因此,推论1证毕.当分划(7)是[a,b]上的n等分时,有于是得到如下的推论:推论2 假设σ(x)满足定理4的条件, f∈LipC(f)α,则当δ(A)<时,在[a,b]上满足定理5 假设σ(x)满足定理4的条件, f(x)是定义在[a,b]上的连续函数,其中|b-a|≥1,则当δ(A)<时,在[a,b]上满足证明根据定理3和推论1即可得到.引理3[8] 设{Xj}nj=0⊂Rd是n+1个不同的向量,那么存在向量w∈Rd,使得w\5Xi≠w\5Xj,0≤i,j≤n且i≠j,其中w\5Xj表示w与Xj的内积.由引理3,现构造对样本(1)的d维近似插值网络定理6 假设σ(x)是满足定理1的非减的奇函数,则当δ(A)<时,有证明根据引理3,不妨设w\5X0<w\5X1<…<w\5Xn,令t=w\5X,ti=w\5Xi,则式(23)变为Na(t)此时,Na(t)即为对样本(t0, f0),(t1, f1),…,(tn, fn)的一维近似插值网络,则可得到相应的精确插值网络Ne(ti)=fi,0≤i≤n.所以,由定理3即可得定理6的结论.定理6证毕.【相关文献】[1]Cybenko G.Approximation by superpositions of sigmoidal function[J].Math Control Signals Systems,1989,2(4):303-314.[2]Funahashi K I.On the approximate realization of continous mappings by neuralnetworks[J].Neural Networks,1989,2(3):183-192.[3]Barron A R.Universal approximation bounds for superpositions of a sigmoidal function[J].IEEE Trans Inform Theory,1993,39(3):930-945.[4]Chen Tianping,Chen Hong,Liu R W.Approximation capability in C(n) by multilayer feedforward networks and related problems[J].IEEE Trans Neural Networks,1995,6(1):25-30.[5]Mhaskar H N,Micchelli C A.Approximation by superposition of a sigmoidal function and radial basis functions[J].Advances in Applied Mathematics,1992,13(3):350-373.[6]Shrivatava Y,Dasgupta S.Neural networks for exact matching of functions on a discrete domain[C]//Proceedings of the 29th IEEE Conference on Decision andControl.Honolulu:IEEE1990:1719-1724.[7]Ito Y,Satio K.Superposition of linearly independent functions and finite mappings by neural networks[J].Math Sci,1996,21(1):27-33.[8]Llanas B,Sainz F J.Constructive approximate interpolation by neural networks[J].J Comput Applied Math,2006,188(2):283-308.[9]谢庭藩,曹飞龙.关于插值神经网络的构造性[J].自然科学进展,2008,18(3):334-340.[10]谢庭藩,周颂平.实函数逼近论[M].杭州:杭州大学出版社,1998.。
深度学习神经网络逼近非线性函数
深度学习神经网络逼近非线性函数深度研究神经网络是一种强大的机器研究模型，被广泛应用于各个领域，包括图像识别、自然语言处理等。
它通过多层神经元来建模复杂的非线性函数关系，可以实现对非线性函数的逼近。
神经网络基础神经网络由输入层、隐藏层和输出层组成。
输入层接收输入数据，隐藏层负责对输入进行加工和提取特征，输出层则生成最终的预测结果。
每个神经元在隐藏层和输出层都会进行激活函数的运算，将线性变换后的结果转化为非线性的输出。
非线性函数逼近深度研究神经网络能够逼近非线性函数的原因在于其多层结构。
每一层的神经元都可以研究到不同级别的特征表示，通过多层的组合与堆叠，神经网络能够模拟和逼近非常复杂的非线性函数。
激活函数的重要性激活函数是神经网络中非常重要的组成部分，它引入了非线性因素，使得神经网络能够处理非线性问题。
常见的激活函数有Sigmoid函数、ReLU函数等，它们可以将线性变换的结果映射到非线性的输出，增强神经网络的表达能力。
深度研究的训练深度研究神经网络的训练过程通常使用反向传播算法。
该算法通过计算实际输出与期望输出之间的误差，然后根据误差调整神经网络的权重和偏置，以逐渐提高网络的预测准确性。
通过反复迭代训练，神经网络可以逐渐优化和逼近目标非线性函数。
应用领域深度研究神经网络广泛应用于图像识别、语音识别、自然语言处理等领域。
例如，在图像识别中，神经网络可以通过研究大量图像样本来识别物体、人脸等；在自然语言处理中，神经网络可以对文本进行分类、情感分析等任务。
深度研究神经网络的强大逼近能力使得它在这些领域具有很高的应用价值。
结论深度学习神经网络通过多层神经元和非线性激活函数的组合，能够逼近非线性函数。
它是一种强大的机器学习模型，在各个领域都有广泛的应用。
随着深度学习技术的不断发展，我们相信神经网络将会在更多领域展现出强大的能力和应用前景。
神经网络在函数逼近中的应用
二 基于BP神经网络逼近函数 基于BP神经网络逼近函数
步骤1：假设频率参数k=1，绘制要逼近的非线性 步骤1：假设频率参数k=1，绘制要逼近的非线性 函数的曲线。函数的曲线如图1 函数的曲线。函数的曲线如图1所示 k=1; p=[p=[-1:.05:8]; t=1+sin(k*pi/4*p); plot（ plot（p，t，'-')； ')； title('要逼近的非线性函数'); title('要逼近的非线性函数'); xlabel('时间'); xlabel('时间'); ylabel('非线性函数'); ylabel('非线性函数');
图3 训练过程 从以上结果可以看出，网络训练速度很快，很 快就达到了要求的精度0.001。 快就达到了要求的精度0.001。
步骤4 步骤4： 网络测试 对于训练好的网络进行仿真： y2=sim(net,p); figure; plot(p,t,'plot(p,t,'-',p,y1,':',p,y2, '--') '--') title('训练后网络的输出结果'); title('训练后网络的输出结果'); xlabel('时间'); xlabel('时间'); ylabel('仿真输出'); ylabel('仿真输出'); 绘制网络输出曲线，并与原始非线性函数曲线以 及未训练网络的输出结果曲线相比较，比较出来 的结果如图4 的结果如图4所示。
BP网络在函数逼近中的应用 BP网络在函数逼近中的应用
RBF网络应用—逼近非线性函数 神经网络控制课件(第三版)
1
RBF网络应用—逼近非线性函数
Matlab程序
m265a.m
4
RBF网络应用—逼近非线性函数
m265a.m执行结果
构造3个高斯RBF
5
RBF网络应用—逼近非线性函数
m265a.m执行结果
构造非线性函数d=f(u)
6
RBF网络应用—逼近非线性函数
12
RBF网络应用—逼近非线性函数
m265b.m执行结果
网络输出
13
RBF网络应用—逼近非线性函数
m265b.m执行结果
非线性函数d(o) 、网络输出y(*)
14
RBF网络应用—逼近非线性函数
m265b.m执行结果
与m265a.m 执行 结果 比较： 相同
非线性函数d(o) 、网络输出y(*)
m265a.m执行结果
设计的网络输出 y逼近d=f(u)
7
RBF网络应用—逼近非线性函数
m265a.m执行结果
Command Window:
w1 = 0.7000
-1.7000
2.1000
-0.1000
2.7000
-1.4000
3.0000
b1 = 26
1. 设计的RBFNN结构。 2. RBFNN的所有参数。 由m265b.m程序，仿真N1,7,1 逼近非线性函数d=f(u)的过程。
10
RBF网络应用—逼近非线性函数
m265b.m执行结果
7个隐层节点的输出
11
RBF网络应用—逼近非线性函数
m265b.m执行结果
7个隐层节点输出的加权、网络输出
15
RBF网络应用—逼近非线性函数
三种RBF网络函数逼近性能对比及应用研究
三种RBF网络函数逼近性能对比及应用研究伍凯;贺正洪;张晶;赵敏【摘要】非线性函数逼近问题是神经网络数据处理的具体应用之一,在相同误差指标和目标参数的情况下,以具体的非线性函数为例,仿真对比了径向基神经网络(Radical Basis Function,RBF)、模糊RBF和基于遗传算法的模糊RBF网络的逼近性能.结果表明,3种RBF网络结构都能够较好的逼近目标函数,但模糊RBF与GA-RBF网络结构较基本RBF网络结构而言能够更早达到较小的逼近误差范围.在此基础上,仿真验证了模糊GA-RBF网络应用于间接型自校正控制的有效性.%Nonlinear function approximation is one of the specific applications of neural networks to process data.In the case of the same error index and the target parameter,taking the concrete nonlinear function as an example,simulating and comparing Radical Basis Function neural network,fuzzy RBF neural network and fuzzy RBF neural network are based on genetic algorithm.The results show that the three RBF network structures can better approximate the objective function,but the fuzzy RBF and GA-RBF network structure can achieve a smaller approximation error range than the basic RBF network structure.On this basis,simulation results verify the effectiveness of the fuzzy RBF neural network for indirect self-tuning control.【期刊名称】《火力与指挥控制》【年(卷),期】2018(043)003【总页数】5页(P163-167)【关键词】RBF神经网络;模糊RBF神经网络;GA-RBF神经网络;函数逼近;自校正控制【作者】伍凯;贺正洪;张晶;赵敏【作者单位】空军工程大学防空反导学院,西安710051;空军工程大学防空反导学院,西安710051;空军工程大学理学院,西安710051;解放军93424部队,北京102101【正文语种】中文【中图分类】TP1830 引言在工业控制实际中，许多被控对象的特性参数或结构会因负荷等因素的变化而发生改变。
人工神经网络设计作业
人工神经网络设计作业一、利用感知机神经网络完成真值表中的操作设有一个M-P模型神经元有两个输入P1和P2，其输出为a，让其完成下列的真值表功能：1、具体的程序及其说明如下：clcP=[0 0 1 1;0 1 0 1];T=[0 1 1 1];%提供两组输入一组输出的训练集C=[-2 3 -2 3];%设置坐标轴的范围plotpv(P,T,C)%绘制样本点的坐标pause;[R,Q]=size(P);%R个输入[S,Q]=size(T);%S个输出[W,B]=rands(S,R);%随机获得权值plotpc(W,B)%绘制出初始的决策线pause;A=hardlim(netsum(W*P,B));%计算感知器神经元的输出E=T-A;SSE=sumsqr(E);%计算初始决策线的误差for epoch=1:100if(SSE==0)%若误差为零，画出决策线，并停止训练plot(W,B,'r-')disp('训练成功');breakend[dW,dB]=learnp(P,A,T)%感知器的学习W=W+dW;%修正权值B=B+dB;%调整偏差plotpc(W,B); %绘制决策线pause;a=epoch(1);hold onA=hardlim(netsum(W*P,B));%计算感知器神经元输出E=T-A;%计算误差SSE=sumsqr(E);endA %输出最后的训练结果a %输出训练次数2、具体的训练过程如图所示：样本点P(1)P (2)初始决策线P(1)P (2)训练中的决策线P(1)P (2)训练结束P(1)P (2)3、训练结果：训练结束后我们可知道A=[0 1 1 1]，训练次数a=4次。
二、利用BP 网络逼近一个非线性函数1、函数选择为指数衰减函数2*2p te -=*，隐层采用对数正切S 型，输出层采用线性型，具体的程序及其说明如下：clcn=5;%隐层神经元的个数 lr=0.1;%学习率 mc=0.9;%动量因子 p=0:0.05:3; t=2*exp(-2.*p);[r,l]=size(p);%r 输入层的维数 [s,l]=size(t);%s 输出层的维数 w1=0.2*rand(n,r);%隐层的权值 deltaw1=zeros(n,r); B1=0.2*rand(n,1);%隐层的偏移量 deltaB1=zeros(n,1); w2=0.2*rand(s,n);%输出层权值 deltaw2=zeros(s,n);B2=0.2*rand(s,1);%输出层的偏移量 deltaB2=zeros(s,1); A1=tansig(w1*p,B1);A2=purelin(w2*A1,B2);plot(p,t,'r+',p,A2,'b:');xlabel('输入样本p');ylabel('输出样本t');axis([0 3 -1 2])title(['样本点和未经训练的曲线']);legend('样本点');pause;epoch=1;sse=1;for epoch=1:10000 %最大训练圈数为1000w1=w1+deltaw1;%权值及其偏移量的调整B1=B1+deltaB1;w2=w2+deltaw2;B2=B2+deltaB2;[A1,A2]=simuff(p,w1,B1,'tansig',w2,B2,'purelin');E=t-A2;sse(epoch)=sumsqr(E);%计算误差if(sse(epoch)==0.001)%达到期望误差退出逼近breakendD2=deltalin(A2,E);D1=deltatan(A1,D2,w2);[deltaw2,deltaB2]=learnbpm(A1,D2,lr,mc,deltaw2,deltaB2); [deltaw1,deltaB1]=learnbpm(p,D1,lr,mc,deltaw1,deltaB1); if(sse(epoch)<=0.001)breakendend;epochplot(p,t,'r+',p,A2,'b:');xlabel('输入样本p');ylabel('输出样本t');title(['训练',num2str(epoch),'次后的曲线']);legend('样本点');axis([0 3 -1 2])pauseFF=1:epoch;plot(FF,sse(FF),'r-');xlabel('训练次数');ylabel('误差');title(['SSE误差曲线']);pause;%泛化能力测试[A1,A2]=simuff(p,w1,B1,'tansig',w2,B2,'purelin');p=0:0.05:3;t=2*exp(-2.*p);%训练后逼近的曲线plot(p,A2,'-');xlabel('输入样本p');ylabel('输出样本t');legend('逼近的曲线'); axis([0 3 -1 3]) hold on ; pt=0:0.1:3;tt=2*exp(-2.*pt); plot(pt,tt,'ro'); title(['检验泛化能力']); axis([0 3 -1 3]) pause; hold off ; epoch %输出训练次数2、具体的逼近过程如下图形显示：0.511.522.53输入样本p输出样本t样本点和未经训练的曲线0.511.522.53输入样本p输出样本t训练113后的曲线由训练结果显示：完成很好的逼近功能，训练次数为113次，误差曲线如下图，我们可以看到误差是收敛的。
小波模糊神经网络在非线性函数逼近中的应用
ｌ 引 言
对于非线性 函数 的逼近一直是数学 和工程 研究人员所
关 注 的热 门 问题 之 一 ， 研 究 非 线 性 函数 的 逼 近 方 法 也 是 多
ＮＮ去模糊化 ， 从 而 得 到准 确 的输 出 ， 一 旦 确定 了输入 的 数 目， 每 个输 入 的 规则 和模 糊 集 ， ＷＦ Ｎ Ｎ 的结 构 就 确 定
总第 ２ ７ ９ 期 ２ ０ １ ３年 第 １ 期
计算机 与数字 工程
Ｃｏ ｍｐ ｕ ｔ ｅ ｒ＆ Ｄｉ ｇ ｉ ｔ ａ ｌ Ｅｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ
Ｖｏ ｌ ＿ ４ｌ Ｎｏ ． １
基于Gaussian型RBF神经网络的一元函数逼近性能研究
０ 引 言
尽 管 经典 的 函数 逼近 理论分 析严 格 ， 但 其诸 多算 法存 在计 算 量 大 、 适 应 性 差 等缺 点 ． 而 人工 神 经 元 网 络（ Ａ ｒ ｔ ｉ ｉ ｆ ｃ ｉ ａ ｌ Ｎ ｅ ｕ ｒ ａ ｌ Ｎ ｅ ｔ ｗ ｏ ｒ ｋ ｓ ， Ａ Ｎ Ｎ） 具 有 很 强 的非线 性 映射 能力 、 自学 习性 和 容错 性 ， 因此在 对 于非 线性 函数 逼近 时 ， Ａ Ｎ Ｎ与经典 的方 法有 着很 大 的不 同 ， 这 就使 得 带 有 一个 隐 层 的神 经元 网络 的逼 近性 能 问题
Ｇ ａ ｕ ｓ ｓ ｉ ａ ｎ型 Ｒ Ｂ Ｆ神 经 网络和 Ｂ Ｐ神 经 网络 ， 并 以正 弦 函数 、 指 数 函数 、 阶跃 函数 三 种 典 型 的一 元
非 线性 函数 为例 ， 分别 用 两种 神 经 网络 对其 进行 逼 近 ． 仿 真 结 果表 明 ， 相 对 于传 统 Ｂ Ｐ神 经 网络
收稿 日期 ： ２ ０ １ ３— ０ ４— ０ １ ．
基金项 目： 国家 自然 科 学 基 金 （ Ｎ ｏ ： ６ １ １ ０ ４ ０ ７ １ ） ．
作 者简介 ： 丁硕 （ １ ９ ７ ９一 ） ， 男， 讲师 ， 主要从事动态检测 、 测试信号处理 、 虚拟仪器方面研究
通讯作者 ： ｄ ｉ ｎ ｇ ｓ ｈ ｕ ｏ ２ ０ ０ ４ ＠ｓ ｉ ｎ ａ ． ｔ ｏ ｍ．
计 起来 更 为方便 ． １ Ｇ ａ ｕ ｓ ｓ ｉ ａ ｎ型 Ｒ Ｂ Ｆ Ｎ Ｎ 的逼 近定 理
对 任 意一个 输入 一输 出 映射 函数 ） ， 存在 一个 Ｒ Ｂ Ｆ Ｎ Ｎ， 其 中心集 合 为 ｛ ｔ ｝ ， 公 共 宽度 为 ＞ ０， 使 得 由该 Ｒ Ｂ Ｆ Ｎ Ｎ实现 的输 入输 出映射 函数 Ｆ（ ） 在Ｌ ｐ （ ｐ∈［ １ ， ∞］ ）范数 下 接近 于 ） ． 显然 函数 （ ）＝ １ ／ （ １＋ｅ ｘ ｐ （一 ） ） 满 足上 述定 理 的条 件 ， 可见 一 个 三层 的 Ａ Ｎ Ｎ足 以逼近 任 何种 类 的非 线性 问题 ， 因此 可
神经网络的学习方法
一、绪论1．1 人工神经元网络的基本概念和特征一、形象思维人的思维主要可概括为逻辑（含联想）和形象思维两种。
以规则为基础的知识系统可被认为是致力于模拟人的逻辑思维（左脑）人工神经元网络则可被认为是探索人的形象思维（右脑）二、人工神经元网络人工神经元网络是生理学上的真实人脑神经网络的结构和功能，以及若干基本特性的某种理论抽象，简化和模拟而构成的一种信息处理系统。
三、神经元是信息处理系统的最小单元。
大脑是由大量的神经细胞或神经元组成的。
每个神经元可以看作为一个小的处理单元，这些神经元按照某种方式互相连接起来，构成了大脑内部的生理神经元网络，他们中各神经元之间连接的强弱，按照外部的激励信号作自适应变化，而每个神经元又随着接收到的多个激励信号的综合大小呈现兴奋或抑制状态。
而大脑的学习过程是神经元之间连接强度随外部激励信息做自适应变化的过程，大脑处理信息的结果确由神经元的状态表现出来。
四、神经元基本结构和作用1。
组成：细胞体、树突、轴突和突触。
2。
树突：负责传入兴奋或抑制信息（多条），较短，分支多，信息的输入端3。
轴突：负责传出兴奋或抑制信息（一条），较长，信息的输出端4。
突触：一个神经元与另一个神经元相联系的特殊结构部位，包括：突触前、突触间隙、突触后三个部分。
突触前：是第一个神经元的轴突末梢部分突触后：是第二个神经元的受体表面突触前通过化学接触或电接触，将信息传往突触后受体表面，实现神经元的信息传输。
5。
神经元网络：树突和轴突一一对接，从而靠突触把众多的神经元连成一个神经元网络。
6。
神经网络对外界的反应兴奋：相对静止变为相对活动抑制：相对活动变为相对静止7。
传递形式神经元之间信息的传递有正负两种连接。
正连接：相互激发负连接：相互抑制8。
各神经元之间的连接强度和极性可以有不同，并且可进行调整。
五简化的神经元数学模型x1x2x3x4s ix1,x2,..,x n：输入信号u i:神经元内部状态θi：与值ωi：ui到 uj连接的权值s i：外部输入信号，可以控制神经元uif(·) :激发函数y i:输出Ơi：= Σw ij x j +s i - θiU i = g(Ơi)y i = h(u i) = f(g(Ơi)) = f(Σw ij x j +s i - θi)f = h x g六、显示出人脑的基本特征1。
基于BP神经网络的函数逼近实验及MATLAB实现_曹旭帆
! ( 3) 由 ymj = F
W y m m- 1 ij i
计算从第一层直至输
i
出层各节点 j的输出 ymj , 其中上标 m 为 BP 网络的层
标号, F 为神经元的激励函数 ymi - 1为 BP网络 m - 1层
的 i节点的输出, Wmij为 m - 1层的 i节点到 m 层的 j节
点的连接权值, M = M, M - 1, ∀, 1。
!mj = !mj +
m j
( 9) 返回 2, 输入下一组数据前重复 ( 2) ∃ ( 8)的
过程。由此可见, BP 算法的主要思路是从后向前逐层
传播输出层的误差, 并用此误差修正前层权值。
对于 BP 神经网络, 有一个重要定理, 对于任何闭
区间内的连续函数, 都可以用一个三层的 BP 网络逼
近, 本文要研究的问题就是 BP 网络的 隐层神经元个
根据上述一系列实验以及各种算法的训练速度计算量及内存需求量我们设计的bp网络net隐层神经元数目定为16输入输出层神经元数目为1隐层输出层传递函数均为tansig训练函数为traingdx用样本训练网络net训练步数为10000步目标误差0000001bp网络net经过训练达到误差精度要求逼近误差e为00044959netiw11表示隐层16个神经元和输入层1神经元之间的连接权值netlw21表示输出层1个神经元和隐层16个神经元之间的连接权值netb1表示隐层16个神经元的阈值netb2表示输出个神经元的阈值bp网络net的各项权值和阈值如下
关键词: BP 神经网络; MATLAB; 函数逼近; 多项式拟合
中图分类号: TP183
文献标识码: A
文章编号: 1006- 7167( 2008) 05- 0034- 05
实验二基于BP神经网络算法的函数逼近
实验二基于BP神经网络算法的函数逼近一、引言函数逼近是神经网络应用的重要领域之一、在实际问题中，我们常常需要使用一个适当的数学函数来近似描述现象与问题之间的关系。
BP神经网络作为一种常用的函数逼近方法，具有良好的逼近性能和普适性，能够对非线性函数进行逼近，并且在实际应用中已经得到了广泛的应用。
本实验将通过BP神经网络算法对给定的函数进行逼近，验证其逼近效果和性能。
二、实验目标1.理解和掌握BP神经网络算法的基本原理和步骤；2.掌握使用BP神经网络进行函数逼近的方法；3.通过实验验证BP神经网络在函数逼近中的性能。
三、实验步骤1.准备数据集选择一个待逼近的非线性函数，生成一组训练数据和测试数据。
训练数据用于训练神经网络模型，测试数据用于评估逼近效果。
2.构建神经网络模型根据待逼近的函数的输入和输出维度，确定神经网络的输入层和输出层的神经元个数，并选择适当的激活函数和损失函数。
可以根据实际情况调整隐藏层的神经元个数，并添加正则化、dropout等技术来提高模型的泛化能力。
3.初始化网络参数对于神经网络的参数（权重和偏置）进行随机初始化，通常可以采用均匀分布或高斯分布来初始化。
4.前向传播和激活函数通过输入数据，进行前向传播计算，得到网络的输出值，并通过激活函数将输出值映射到合适的范围内。
5.计算损失函数根据网络的输出值和真实值，计算损失函数的值，用于评估模型的训练效果。
6.反向传播和权重更新通过反向传播算法，计算各个参数的梯度，根据学习率和梯度下降算法更新网络的参数。
7.循环迭代训练重复以上步骤，直至达到预设的训练停止条件（如达到最大迭代次数或损失函数满足收敛条件）。
8.模型测试和评估使用测试数据评估训练好的模型的逼近效果，可以计算出逼近误差和准确度等指标来评估模型的性能。
四、实验结果通过对比逼近函数的真实值和模型的预测值，可以得到模型的逼近效果。
同时，通过计算逼近误差和准确度等指标来评估模型的性能。
神经网络 作业 -- 使用BP RBF SVM进行函数拟合和分类
神经网络作业作业说明第一题（函数逼近）：BP网络和RBF网络均是自己编写的算法实现。
BP网络均采用的三层网络：输入层（1个变量）、隐层神经元、输出层（1个变量）。
转移函数均为sigmoid函数，所以没有做特别说明。
在第1小题中贴出了BP和RBF的Matlab代码，后面的就没有再贴出；而SVM部分由于没有自己编写，所以没有贴出。
而针对其所做的各种优化或测试，都在此代码的基础上进行，相应参数的命名方式也没有再改变。
RBF网络使用了聚类法和梯度法两种来实现。
而对于SVM网络，在后面两题的分类应用中都是自己编写的算法实现，但在本题应用于函数逼近时，发现效果很差，所以后来从网上下载到一个SVM工具包LS-SVMlab1.5aw，调用里面集成化的函数来实现的，在本题函数逼近中均都是采用高斯核函数来测试的。
第二题（分类）：BP网络和RBF网络都是使用的Matlab自带的神经网络工具包来实现的，不再贴出代码部分。
而SVM网络则是使用的课上所教的算法来实现的，分别测试了多项式核函数和高斯核函数两种实现方法，给出了相应的Matlab代码实现部分。
第三题：由于问题相对简单，所以就没有再使用Matlab进行编程实现，而是直接进行的计算。
程序中考虑到MATLAB处理程序的特性，尽可能地将所有的循环都转换成了矩阵运算，大大加快了程序的运行速度。
编写时出现了很多错误，常见的如矩阵运算维数不匹配，索引值超出向量大小等；有时候用了很麻烦的运算来实现了后来才知道原来可以直接调用Matlab里面的库函数来实现以及怎么将结果更清晰更完整的展现出来等等。
通过自己编写算法来实现各个网络，一来提升了我对各个网络的理解程度，二来使我熟悉了Matlab环境下的编程。
1.函数拟合（分别使用BP，RBF，SVM），要求比较三个网络。
2π.x ,05x)sin(5x)exp(y(x)4π.x ,0xsinx y(x)100.x x),1exp(y(x)100.x ,1x1y(x)≤≤-=≤≤=≤≤-=≤≤=解：（1）.1001,1)(≤≤=x x x ya. BP 网络：Matlab 代码如下：nv=10; %神经元个数：10个err=0.001; %误差阈值J=1; %误差初始值N=1; %迭代次数u=0.2; %学习率wj=rand(1,nv); %输入层到隐层神经元的权值初始化wk=rand(1,nv); %隐层神经元到输出层的权值初始化xtrain=1:4:100; %训练集，25个样本xtest=1:1:100; %测试集，100个dtrain=1./xtrain; %目标输出向量，即教师%训练过程while (J>err)&&(N<100000)uj=wj'*xtrain;h=1./(1+exp(-uj)); %训练集隐层神经元输出uk=wk*h;y=1./(1+exp(-uk)); %训练集输出层实际输出delta_wk = u*(dtrain-y).*y.*(1-y)*h'; %权值调整delta_wj = u*wk.*(((dtrain-y).*y.*(1-y).*xtrain)*(h.*(1-h))'); wk = wk+delta_wk;wj = wj+delta_wj;J=0.5*sum((dtrain-y).^2); %误差计算j(N)=J;N=N+1;end%测试及显示uj=wj'*xtest;h=1./(1+exp(-uj));uk=wk*h;dtest=1./(1+exp(-uk));figuresubplot(1,2,1),plot(xtest,dtest,'ro',xtest,1./xtest);legend('y=1/x', 'network output');subplot(1,2,2),plot(xtest,1./xtest-dtest);x=1:N-1;figureplot(x,j(x));运行条件：10个神经元，误差迭代阈值为0.001.学习率为0.2。
实验一、BP及RBP神经网络逼近
实验一、BP及RBF神经网络逼近一、实验目的1、了解MATLAB集成开发环境2、了解MATLAB编程基本方法3、熟练掌握BP算法的原理和步骤4、掌握工具包入口初始化及调用5、加深BP、RBF神经网络对任意函数逼近的理解二、实验内容1、MATLAB基本指令和语法。
2、BP算法的MATLAB实现三、实验步骤1、熟悉MATLAB开发环境2、输入参考程序3、设置断点，运行程序，观察运行结果四、参考程序1. BP算法的matlab实现程序%lr为学习步长，err_goal期望误差最小值，max_epoch训练的最大次数，隐层和输出层初值为零lr=0.05;err_goal=0.0001;max_epoch=10000;a=0.9;Oi=0;Ok=0;%两组训练集和目标值X=[1 1;-1 -1;1 1];T=[1 1;1 1];%初始化wki，wij（M为输入节点j的数量；q为隐层节点i的数量；L为输出节点k的数量）[M,N]=size(X);q=8;[L,N]=size(T);wij=rand(q,M);wki=rand(L,q);wij0=zeros(size(wij));wki0=zeros(size(wki));for epoch=1:max_epoch%计算隐层各神经元输出NETi=wij*X;for j=1:Nfor i=1:qOi(i,j)=2/(1+exp(-NETi(i,j)))-1;endend%计算输出层各神经元输出NETk=wki*Oi;for i=1:Nfor k=1:LOk(k,i)=2/(1+exp(-NETk(k,i)))-1;endend%计算误差函数E=((T-Ok)'*(T-Ok))/2;if (E<err_goal)break;end%调整输出层加权系数deltak=Ok.*(1-Ok).*(T-Ok);w=wki;wki=wki+lr*deltak*Oi';wki0=w;%调整隐层加权系数deltai=Oi.*(1-Oi).*(deltak'*wki)';w=wij;wij=wij+lr*deltai*X';wij0=w;endepoch %显示计算次数%根据训练好的wki，wij和给定的输入计算输出X1=X;%计算隐层各神经元的输出NETi=wij*X1;for j=1:Nfor i=1:qOi(i,j)=2/(1+exp(-NETi(i,j)))-1;endend%计算输出层各神经元的输出NETk=wki*Oi;for i=1:Nfor k=1:LOk(k,i)=2/(1+exp(-NETk(k,i)))-1;endendOk %显示网络输出层的输出2、BP逼近任意函数算法的matlab实现程序⏹X=-4:0.08:4;⏹T=1.1*(1-X+2*X.^2).*exp(-X.^2./2);⏹net=newff(minmax(X),[20,1],{'tansig','purelin'});⏹net.trainParam.epochs=15000;⏹net.trainParam.goal=0.001;⏹net=train(net,X,T);⏹X1=-1:0.01:1;⏹y=sim(net,X1);⏹figure;⏹plot(X1,y,'-r',X,T,':b','LineWidth',2);3.RBF能够逼近任意的非线性函数⏹X=-4:0.08:4;⏹T=1.1*(1-X+2*X.^2).*exp(-X.^2./2);⏹net=newrb(X,T,0.002,1);⏹X1=-1:0.01:1;⏹y=sim(net,X1);⏹figure;⏹plot(X1,y,'-r',X,T,':b','LineWidth',3);五、思考题1. 将结果用图画出。
RBF神经网络的函数逼近能力及其算法
万方数据 万方数据 万方数据 万方数据 万方数据 万方数据 万方数据RBF神经网络的函数逼近能力及其算法作者：柴杰， 江青茵， 曹志凯作者单位：厦门大学,化工系,厦门,361005刊名：模式识别与人工智能英文刊名：PATTERN RECOGNITION AND ARTIFICIAL INTELLIGENCE年，卷(期)：2002,15(3)被引用次数：64次参考文献(36条)1.吴宗敏函数的径向基表示 1998(03)2.张乃尧阎平凡神经网络与模糊控制 19983.Mhaskar H N;Micchelli C A Approximation by Superposition of Sigrnoidal and Radial Basis Functions [外文期刊] 19924.Leshno M;Lin V Y;Pinkus A;Schocken S Multilayer Feedforward Networks with a Non-Polynomial Activation Can Approximate Any Function 19935.Hartman E J;Keeler J D;Kowalski J M Layered Neural Networks with Gaussian Hidden Units as Universal Approximators[外文期刊] 19906.Lee S;Kil R M A Gaussian Potential Function Network with Hierarchically Self-Organizing Learning 19917.Park J;Sandberg I W Universal Approximation Using Radial Basis Function Networks[外文期刊]1991(02)8.Park J;Sandberg I W Approximation and Radial Basis Function Networks 1993(02)9.Chen T P;Chen H Approximation Theory Capability to Functions of Several Variables Nonlinear Functionals and Operators by Radial Basis Functional Neural Networks[外文期刊] 1995(04)10.Li X On Simultaneous Approximations by Radial Basis Function Neural Networks[外文期刊] 1998(1)11.JONES L K A Simple Lemma on Greedy Approximation in Hilbert Space and Convergence Rates for Projection Pursuit Regression and Neural Network Training[外文期刊] 199212.Barron A R Universal Approximation Bounds for Superposition of a Sigrnoid Function[外文期刊] 1993(3)13.Girosi F;Anzellotti G Rates of Convergence for Radial Basis Function and Neural Networks 199314.Kurková V Dimension-Independent Rates of Approximation by Neural Networks 199715.Kurková V;Kainen P C;Kreinovich V Estimates of the Number of Hidden Units and Variation with Respect to Half-Spaces 199716.Yukich J;Stinchcombe M;White H Sup-Norm Approximation Bounds for Networks through Probabilistic Methods[外文期刊] 1995(04)17.Makovoz Y Random Approximants and Neural Networks[外文期刊] 199618.Dohlerd S;Uschendorf L R An Approximation Result for Nets in Functional Estimation 200119.PIGGIO T;Girosi F A Theory of Networks for Approximation and Learning. 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基于BP神经网络算法的函数逼近
基于BP神经网络算法的函数逼近神经网络是一种基于生物神经元工作原理构建的计算模型，可以通过学习和调整权重来逼近非线性函数。
其中，基于误差反向传播算法（BP）的神经网络是最常见和广泛应用的一种，其能够通过反向传播来调整网络的权重，从而实现对函数的近似。
BP神经网络的算法包括了前馈和反向传播两个过程。
前馈过程是指输入信号从输入层经过隐藏层传递到输出层的过程，反向传播过程是指将网络输出与实际值进行比较，并根据误差来调整网络权重的过程。
在函数逼近问题中，我们通常将训练集中的输入值作为网络的输入，将对应的目标值作为网络的输出。
然后通过反复调整网络的权重，使得网络的输出逼近目标值。
首先，我们需要设计一个合适的神经网络结构。
对于函数逼近问题，通常使用的是多层前馈神经网络，其中包括了输入层、隐藏层和输出层。
隐藏层的神经元个数和层数可以根据具体问题进行调整，一般情况下，通过试验和调整来确定最优结构。
然后，我们需要确定误差函数。
对于函数逼近问题，最常用的误差函数是均方误差（Mean Squared Error）。
均方误差是输出值与目标值之间差值的平方和的均值。
接下来，我们进行前馈过程，将输入值通过网络传递到输出层，并计算出网络的输出值。
然后，我们计算出网络的输出与目标值之间的误差，并根据误差来调整网络的权重。
反向传播的过程中，我们使用梯度下降法来最小化误差函数，不断地调整权重以优化网络的性能。
最后，我们通过不断训练网络来达到函数逼近的目标。
训练过程中，我们将训练集中的所有样本都输入到网络中，并根据误差调整网络的权重。
通过反复训练，网络逐渐优化，输出值逼近目标值。
需要注意的是，在进行函数逼近时，我们需要将训练集和测试集分开。
训练集用于训练网络，测试集用于评估网络的性能。
如果训练集和测试集中的样本有重叠，网络可能会出现过拟合现象，导致在测试集上的性能下降。
在神经网络的函数逼近中，还有一些注意事项。
首先是选择适当的激活函数，激活函数能够在网络中引入非线性，使网络能够逼近任意函数。
神经网络作业-问题及答案
一 简述人工神经网络常用的网络结构和学习方法。
（10分）答：1、人工神经网络常用的网络结构有三种分别是：BP 神经网络、RBF 神经网络、Kohonen 神经网络、ART 神经网络以及Hopfield 神经网络。
人工神经网络模型可以按照网络连接的拓扑结构分类，还可以按照内部信息流向分类。
按照拓扑结构分类：层次型结构和互连型结构。
层次型结构又可分类：单纯型层次网络结构、输入层与输出层之间有连接的层次网络结构和层内有互联的层次网络结构。
互连型结构又可分类：全互联型、局部互联型和稀疏连接性。
按照网络信息流向分类：前馈型网络和反馈型网络。
2、学习方法分类：⑴.Hebb 学习规则：纯前馈网络、无导师学习。
权值初始化为0。
⑵.Perceptron 学习规则：感知器学习规则，它的学习信号等于神经元期望输出与实际输出的差。
单层计算单元的神经网络结构，只适用于二进制神经元。
有导师学习。
⑶.δ学习规则：连续感知学习规则，只适用于有师学习中定义的连续转移函数。
δ规则是由输出值与期望值的最小平方误差条件推导出的。
⑷.LMS 学习规则：最小均放规则。
它是δ学习规则的一个特殊情况。
学习规则与神经元采用的转移函数无关的有师学习。
学习速度较快精度较高。
⑸.Correlation 学习规则：相关学习规则，他是Hebb 学习规则的一种特殊情况，但是相关学习规则是有师学习。
权值初始化为0。
⑹.Winner-Take-All 学习规则：竞争学习规则用于有师学习中定义的连续转移函数。
权值初始化为任意值并进行归一处理。
⑺.Outstar 学习规则：只适用于有师学习中定义的连续转移函数。
权值初始化为0。
2．试推导三层前馈网络BP 算法权值修改公式，并用BP 算法学习如下函数：21212221213532)(x x x x x x x x f -+-+=,其中：551≤≤-x ，552≤≤-x 。
基本步骤如下：（1）在输入空间]5,5[1-∈x 、]5,5[2-∈x 上按照均匀分布选取N 个点（自行定义），计算)(21x x f ,的实际值，并由此组成网络的样本集；（2）构造多层前向网络结构，用BP 算法和样本集训练网络，使网络误差小于某个很小的正数ε；（3）在输入空间上随机选取M 个点（N M >，最好为非样本点），用学习后的网络计算这些点的实际输出值，并与这些点的理想输出值比较，绘制误差曲面；（4）说明不同的N 、ε值对网络学习效果的影响。
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神经网络作业(函数逼近)————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：ﻩ智能控制理论及应用作业1资料查询BP 神经网络的主要应用:人脸识别、风电功率预测、短时交通流混沌预测、高炉熔渣粘度预测、汇率预测、价格预测、函数逼近等Ｒbｆ神经网络的主要应用:函数逼近、短时交通流预测、模式识别、降水预测、民航客运量预测、遥感影像分析、声纹识别、语言识别、人脸识别、车牌识别、汇率预测Ｈopfield网络应用：车牌识别、图像识别、遥感影像分类、字母识别、交通标志识别、优化计算中的应用、联想记忆存储器的实现、2BＰ编程算法:2.1 利用样本训练一个BP网络注：此程序自李国勇书中学习而来程序部分：fuｎｃtioｎ[ output_args ］= bp(inｐｕt_aｒgs )%UNTITLED Suｍmａｒy ｏf this functｉｏn goes heｒe% Detailed ｅｘpｌａnａｔion goes here％此设计为两层ＢP神经网络，3输入,3隐含层节点,两个输出%初始化部分:ｌｒ=0.０5；％％需要给定学习速率error＿goal=0.００1;%期望的误差max_epｏch=1０00０0; %训练的最大步长a=0.９; %惯性系数Oｉ=０;Oｋ=0;%给两组输入，以及目标输出：Ｘ＝[１１1;-１-１１;1 －1 1;]; ％随便给一组输入输入,训练BP网络T=［1 １ 1 ;1 1 １];%X=-1:0.1:1; %输入范围％T=ｓin(pi*X）；%X=[］q=3; %隐含层的节点数自己定义，在此给３个％初始化[M,N]=size(X)；%输入节点个数为M，Ｎ为样本数[L,N]=size(Ｔ)；%输出节点个数为Lwｉj＝rand（q，M); %先给定加权系数一组随机值wki=rａnd（L，ｑ);ｗｉj0=ｚeros(sｉzｅ(ｗｉj)); %加权系数矩阵的初始值wｋi０=zｅrｏs(sizｅ(wｋi)）；for epoｃｈ＝１：mａｘ_epｏch %计算开始NETｉ=wij*X;％各个隐含层的净输入ｆor j=1:Ｎfoｒi=1：ｑOｉ(i，j)=２／(1+exp(-NＥTi（i,j)))-１; ％再输入作用下,隐含层的输出endｅndNETｋ=ｗki＊Oi; %各个输出层的净输入for i=1：Nfor k＝1:ＬOｋ（k，i)=２/(1+ｅｘp(-NETk（k,i)）)－1;%在输入作用下，输出层的输出endｅｎdE=（(T-Ｏk）'*(T-Ok)）／２; ％性能指标函数,就是误差iｆ(E<eｒｒor＿goaｌ) ｂｒｅaｋ; %判断是否满足误差，满足的话就直接跳出计算%不满足的话，就要修正加权系数eｌｓedeltak=Ｏｋ.＊(1-Ok).*(T－Ok);%计算△kw＝wｋi;wkｉ=ｗki＋lr*deｌｔak*Ｏi'+a*(ｗki-wｋi0);ｗｋi０=w;deltai=Oｉ.＊(1-Ｏi）.＊（deltak＇＊wki)';％计算△ｉw=wij；wij=ｗij+lr*deｌtai*X＇+ａ＊(wij－wiｊ0)；wij０＝ｗ;ｅndｅpｏch %当前是第多少步X1=X;%保护当前的输入NETi＝ｗiｊ*X1;%再一次计算隐含层的输入输出for j＝1：Nfor i＝１:qOi(i,ｊ)=２／（１＋exp（-NETｉ(i,ｊ)）)-１；%eｎｄeｎdNETk=wki*Oi;%再一次计算输出层的输出foｒｉ=1：Ｎfor k=1：ＬOk(k，i)＝２/(１＋exp(-NETk（k,i)))-１；eｎdeｎｄ%直到误差满足要求才跳到此步,输出修正的输出值Oi%Ok %最终满足误差要求下的输出wij%输出输入层与隐含层的最终修改后的权值wｋi %输出隐含层与输出层之间的取值eｎd仿真结果：ｅpocｈ=8Ｏi ＝０.9690 -0.4804 0.99950.99９5 ０.92４40.998９0.９734 0.99９1０.935６Ok =1.００００1．000０ 1.00００0.9982 0.9658 0.9９81wｉj =3.5796 2．0２82 ２.５9８5５.34９7 -0．4644 2.5７７3５．533７－0．4５１6 －1．6788wｋi＝1.5490 6.１430 5.88０３2.0５93 １．３2883.8１4４由仿真结果可以看出,网络在第八步就可以得到满足误差函数的输出，输出时OK。
由于初始权值是随机给定的，因此每次运行结果可能有所差异。
2.２用BP网路逼近ｓin函数：function [ ｏutput_arｇs]= BP１（inｐｕｔ_args)％UＮTITＬED Sｕmmａry of this fｕｎｃtiｏn goeｓherｅ% Ｄetailed explanaｔion goeｓhere%P=[01 2 3 4５678 ９1０］;%Ｔ=[0 １2３4 3 2 1 2 3 4];P=－1:0.1:1；%输入范围T=ｓin(pi*Ｐ）; %样本值neｔ=neｗｆf([0 10],[5,1],{'tａｎsｉg','purelｉn'}); %建立网络％nｅｔ＝neｗｆf（［０１0],[5,1],｛'tansig'，'purelin＇},＇ｔraingd'，'ｌearngd'，＇mｓereg＇); ％nｅt=newff([0 １0]，[５,1］,{'tanｓig','purｅlin＇},'traingdｘ＇,'leａrｎgd','msereg＇);nｅｔ.trａiｎParam.ｅpoｃhs＝2０0; ％训练步长为200nｅt=ｔrain(net，P，T);%开始训练figuｒe；Y=sim(net,P); %输入下网络的输出plot(P,Ｔ,＇+＇,P,Y,＇o'）%将样本与实际输出作图显示end逼近结果：其中+为目标值，Ｏ为实际输出值,从逼近小姑来看,效果还是比较理想的。
3 GUI 作业： MATLAB 工具箱中常用的几类函数:前向网络创建函数:ne ｗｃf 创建级联前向网络ne ｗf ｆ 创建前向BP 网络n ｅw ｆｆd 创建存在输入延迟的前向网络传递函数:logsig S 型的对数函数ｄlo ｇsi ｇ l ｏgsi ｇ的导函数ta ｎsig S 型的正切函数dtansig tansig 的导函数pu ｒe ｌin 纯线性函数dp ｕr ｅｌin pur ｅlin 的导函数学习函数:l ｅa ｒｎgd 基于梯度下降法的学习函数learngdm 梯度下降栋梁学习函数训练函数：t ｒainbrBa ｙe ｓ 规范化BP 训练函数-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-1.5-1-0.50.511.5ｔraiｎc循环顺序渐增训练函数ｔrａｉncgb Pｏwelｌ-Beａle连接梯度BP训练函数traiｎcgf Fletcher-Pｏwell连接梯度BP训练函数trａiｎcｇp Polａｋ-Ｒｉbierｅ连接梯度BP训练函数traingdａ自适应lｒBＰ的梯度递减训练函数ｔraingｄx动量及自适应lrBＰ的梯度递减训练函数trainlm Ｌeveｎbeｒg-Marｑuarｄt BP训练函数trａｉnoss 一步正切BＰ训练函数tｒaｉｎｒ随机顺序递增更新训练函数trainrp 带反弹的BP训练函数trains顺序递增BP训练函数ｔrainscg 量化连接梯度BP训练函数性能函数:mse 均方误差函数mseｒeｇ均方误差规范化函数显示函数:plotperf 绘制网络的性能pｌotｅｓ绘制一个单独神经元的误差曲面ploteｐ绘制权值和阈值在误差曲面的位置errｓuｒｆ计算单个神经元的误差曲面ＧUI的应用:我选择的是建立ＢP网络逼近sｉｎ函数首先在ＭATＬAB主窗口输入nntooｌ即可进入神经网络工具箱点击下方的creａt ｎｅtｗork or dａta即可进行输入、目标输出及网络的选择。
１首先输入一个输入X:［-1:0.１:1]；再输入期望输出Ｔ:[siｎ（pi*(－1:０.1：１)）];2然后建立BP网络如下图所示:命名为ＢP1选取网络形式中选择:前馈BＰ网络,输入选择X,期望输出选择T，训练函数选择:TRAINＬM(Levenｂerg-Mａrqｕａrdt BP训练函数)学习函数选择：LEARＮＧD（基于梯度下降法的学习函数）误差计算函数选择MＳＥ(均方误差函数）,神经元传输函数选择：TＡNSＩＧ（Ｓ型的正切函数）单击ｃreat即可建立网络。
3建立好后进行训练进入训练界面，选择输入和期望输出,即可进行训练。
训练结果如下:性能如下所示:可以看出,当系统训练6步时,系统输出即可满足性能要求，此时停止训练。
再此图,我们可以清楚的看清系统的期望输出、实际输出和二者的误差。
从误差可以看出，逼近的siｎ函数误差是很小的。
同理可利用RＢF网络逼近SIN 函数建立网络如图所示:训练结果如下图所示：此图显示了利用RBF网路逼近sin函数,总共进行了２7步逼近，最后的误差要优于ＢP网络。
原理清晰之后，可进行多种神经网络的训练，比较不同算法以及不同训练规则及误差计算函数不同对逼近效果的影响，优于时间关系,在此不一一罗列。