§6.7信号通过线性系统的自相关函数能量谱和功率谱分析
功率信号的自相关函数和功率谱密度是一对傅里叶变换
功率信号的自相关函数和功率谱密度是一对傅里叶变换在信号处理领域中，功率信号的自相关函数和功率谱密度是非常重要的概念。
它们之间的关系可以通过傅里叶变换来描述，这种变换能够帮助我们更深入地理解功率信号的特性。
在本文中，我们将深入探讨功率信号的自相关函数和功率谱密度，并探讨它们与傅里叶变换之间的关系。
1. 自相关函数让我们了解一下什么是功率信号的自相关函数。
自相关函数描述了一个信号与其自身在不同时间点的相似程度。
对于功率信号x(t)，它的自相关函数R_x(tau)定义如下：R_x(tau) = E[x(t)x(t+tau)]其中tau代表时间延迟，E[]代表期望操作。
自相关函数可以告诉我们信号在不同时间点上的相关性，从而帮助我们分析信号的特性。
2. 功率谱密度接下来，让我们来看看功率谱密度是如何定义的。
功率谱密度描述了信号在频率域上的能量分布。
对于功率信号x(t)，其功率谱密度S_x(f)定义如下：S_x(f) = lim T->∞ E[|X(f)|^2]其中X(f)为x(t)的傅里叶变换，E[]代表期望操作。
功率谱密度可以告诉我们信号在不同频率上的能量分布情况，从而帮助我们分析信号的频谱特性。
3. 傅里叶变换的关系现在，让我们来探讨功率信号的自相关函数和功率谱密度与傅里叶变换之间的关系。
根据Wiener-Khinchin定理，功率谱密度是自相关函数的傅里叶变换，即：S_x(f) = F[R_x(tau)]其中F[]代表傅里叶变换操作。
这个定理告诉我们，通过对功率信号的自相关函数进行傅里叶变换，我们可以得到其功率谱密度，从而在频域上进行分析。
4. 个人观点和理解在我看来，功率信号的自相关函数和功率谱密度的傅里叶变换关系非常有意义。
通过对功率信号在时间域和频率域上的分析，我们可以更全面地了解信号的特性和行为。
傅里叶变换提供了一种强大的工具，使我们能够从不同的角度来理解和处理功率信号。
对于工程领域的同行们，掌握这些概念并且能够灵活运用，将有助于我们更好地设计和分析各种信号系统。
频谱、幅度谱、功率谱和能量谱含义
频谱、幅度谱、功率谱和能量谱在信号处理的学习中，有一些与谱有关的概念，如频谱、幅度谱、功率谱和能量谱等，常常让人很糊涂，搞不清其中的关系。
这里主要从概念上厘清其间的区别。
对一个时域信号进行傅里叶变换，就可以得到的信号的频谱，信号的频谱由两部分构成：幅度谱和相位谱。
这个关系倒还是简单。
那么，什么是功率谱呢？什么又是能量谱呢？功率谱或能量谱与信号的频谱有什么关系呢？要区分功率谱和能量谱，首先要清楚两种不同类型的信号：功率信号和能量信号。
我们从一个具体的物理系统来引出能量信号和功率信号的概念。
已知阻值为R的电阻上的电压和电流分别为v(t) 和i(t)，则此电信号的瞬时功率为：p(t) = v2(t)/R = i2(t)R。
在作定性分析时，为了方便起见，通常假设电阻R为1欧姆而得到归一化(Normolized) 的功率值。
作定量计算时可以通过去归一化，即将实际的电阻值代入即可得到实际的功率值。
将上面的概念做一个抽象，对信号x(t) 定义其瞬时功率为|f (t)|2，在时间间隔(-T/2 T/2) 内的能量为:(1)该间隔内的平均功率为：p = E/T (2)当且仅当f(t)在所有时间上的能量不为0且有限时，该信号为能量信号，即(1)式中的T 趋于无穷大的时候E为有限。
典型的能量信号如方波信号、三角波信号等。
但是有些信号不满足能量信号的条件，如周期信号和能量无限的随机信号，此时就需要用功率来描述这类信号。
当且仅当x(t)在所有时间上的功率不为0且有限时，该信号为功率信号，即(2) 式中的T 趋于无穷大的时候p 为有限。
系统中的波形要么具有能量值，要么具有功率值，因为能量有限的信号功率为0，而功率有限的信号能量为无穷大。
一般来说，周期信号和随机信号是功率信号，而非周期的确定信号是能量信号。
将信号区分为能量信号和功率信号可以简化对各种信号和噪声的数学分析。
还有一类信号其功率和能量都是无限的，如f(t) = t，这类信号很少会用到。
功率谱分析ppt课件
功率谱的计算
数字信S x号(k自) 谱N1的| X估(值k)计|2算式：
G
(k
x
)
2 N
|X
(k )|2
其中k
0,1,2..... N 1
模拟信Sx号y( f互) 谱T1的X估 ( f值)Y计( f 算) 式：
为
S R e (f)
( ) j 2f d
xy
xy
（2.36）
R S e
( )
( f ) j 2 f df
其逆变换xy 为 xy
功由S率于( f )谱R()密与 度函的数傅里的叶定变换义对的S关( f )
系，两R()者是唯一对R应X (的) 。 S中x( f包) 含
dt
S x
T T 0
Sx( f )
（2.40）x2(t)
x2(t) T x2(t) T
上式表明： T 2(t)
x lim
dt
T T 0
曲线下的总面积与
曲线下的总面积相等，如图2.17所示
从物理意义讲， 是信号x（t）的能量，
这功一总率S功x(f) 率谱密度函数的物理意义
塞均法功P尔率av 定为Tlim理T1 ，0T x2在(t)d整t 个Tlim时 T1间|X轴( f )上|2df的信号平
（2.41）
S
x
lim
T
1 T
|
X
(
f
)|2
再由式（2.38）、（2.3(9,）) 、（2.41）得：
(,0)
06第5章_功率谱分析及其应用
随机信号的功率谱密度
谱相干函数(spectral coherence function)的定 义 评测输入、输出信号间的因果性，即输出信号 的功率谱中有多少是所测试输入量引起的响应。
xy
2
G xy
2
G x G y
随机信号的功率谱密度
频率响应函数(frequency response function) 的定义 G xy H G x 谱相干函数的性质 1 y(t)和x(t)完全相关 0 y(t)和x(t)完全无关 1 0 y(t)和x(t)部分相关
R xx 0
1 T
T
T 0
x t x t 0 dt
j 2 f 0
2 x
S ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx
f e
df
S xx
f df
R xx 0
2 x
S xx
f df
随机信号的功率谱密度 Parseral定理 信号的能量在时域与频域是相等的。
x
Rxx ( )
x
2
Rxx ( )
RxT xT ( )
随机信号的功率谱密度 自功率谱密度函数(Auto-power spectral density function)定义 根据维纳—辛钦公式，平稳随机过程的功率谱 密度与自相关函数是一傅里叶变换偶对 (fourier transform dual pair)
S x R x
R x e
j
d
6.7信号通过线性系统的自相关函数能量谱和功率谱分析(1)
现在，从激励和响应的自相关函数，能量谱，功率谱 所发生的变化来研究线性系统所表现的传输特性。
X
一．能量谱和功率谱分析
et E j ht H j r t H j
第 3 页
时域 频域
r t ht * et Rj H j E j
r t 的能量谱密度为 r
2
假定et 是能量有限信号， et 的能量谱密度为 e ，
e E j
r Rj
2
X
第
显然
Rj H j E j
2 2 2
4 页
所以
r H j e
6.8
§6.7 信号通过线性系统的自相 关函数、能量谱和功率谱分析
•能量谱和功率谱分析
•信号经线性系统的自相关函数
北京邮电大学电子工程学院 2003.1
第 2 页
时域 前面，从 频域 中研究了 s域
激励 响应 三者的关系 系统
*
因为 所以
F ht H j
F h t H j
*
其中 Rh h h* 为系统冲激响应的自相关函数。
X
Rr Re h h* Re Rh
由
第 5 页
பைடு நூலகம்
r H j e
2
Sr H j Se
2
得
r H j H * j e
Sr H j H * j Se
Re Rh Rr
2
r e j 2 物理意义：响应的能谱等于激励的能谱与 H j 的乘积。
信号通过线性系统的自相关函数能量谱和功率谱分析
§6.7 信号通过线性系统的自相 关函数、能量谱和功率谱分析
•能量谱和功率谱分析 •信号经线性系统的自相关函数
北京邮电大学电子工程学院 2002.3
2
第 页
时域
前面，从
频
域
s
域
中研究了
激励
响
应
三者的关系
系统
现在，从激励和响应的自相关函数，能量谱，功率谱 所发生的变化来研究线性系统所表现的传输特性。
X
3
一．能量谱和功率谱分析
第
页
et E j
ht rt H j H j
时域
rth t*et
频域
R j H j E j
假e定 t是能量有 et的 限能 信量 号谱 e， ， 密度 rt的能量谱 r密度
eEj2
rRj2
X
4
第
显然
页
R j2H j2E j2
所以
rH j2e
Se e j
因为
Re
Rh Rr
F h tH j F h * t H * j
所以 R r R e h t h * t R e R h
其中 R h h t h * t为系统冲激响应的自相关函数。
X
H j 2
Sr r
物理意义：响应的能谱等于激励的能谱与 H j 2的乘积。
同样，对功率信号有
SrH j2Se 物理意义：响应的功率谱等于激励的功率谱与 H j 2
的乘积。
X
5
二．信号经线性系统的自相关函数 第 页
由
rH j2e
SrH j2Se
得
r H j H * j e
S r H j H * j S e
能量信号的自相关函数和功率信号的自相关函数
能量信号的自相关函数和功率信号的自相关函数一、 能量信号的自相关函数相关是匹配过程，而自相关则是指延迟信号与与其自身的匹配。
实值能量信号x(t)的自相关函数定义为：+∞<<∞-+=⎰+∞∞-τττdt t x t x R x )()()(自相关函数)(τx R 提供了信号与其平移τ时间后所得信号之间的关联程度的测度。
)(τx R 不是时间的函数，而是信号与其平移信号的时间间隔τ的函数。
实值能量信号的自相关函数具有以下性质：1. )()(ττ-=x x R R 函数关于零点对称；2. )0()(x x R R ≤τ 函数在原点获得最大值；3. )()(f R x x ψτ↔ 自相关函数与功率谱（PSD ）是傅立叶变换对；4. dt t x R x )()0(2⎰+∞∞-= 函数在零点的值等于信号的能量。
二、功率信号的自相关函数实值功率信号x(t)的自相关函数定义如下：+∞<<∞-+=⎰+-∞→τττdt t x t x T R T T T x 2/2/)()(1)(lim当功率信号为周期为T 0的周期信号时，上式的时间平均可以用周期T 0代替，故自相关函数可以表示为：+∞<<∞-+=⎰+-τττdt t x t x T R T T x 2/2/000)()(1)(实值功率信号的自相关函数与能量信号的自相关函数有类似的性质： 1. )()(ττ-=x x R R 函数关于零点对称；2. )0()(x x R R ≤τ 函数在原点获得最大值；3. )()(f G R x x ↔τ 自相关函数与功率谱（PSD ）是傅立叶变换对；4. dt t x T R T T x )(1)0(2/2/2000⎰+-= 函数在零点的值等于信号的功率。
信号的自相关函数和空间频谱的关系
信号的自相关函数和空间频谱的关系在信号处理领域，自相关函数和空间频谱是两个重要的概念，它们在理解和分析信号特性方面发挥着至关重要的作用。
在这篇文章中，我们将探讨这两者之间的关系，以及这种关系在信号分析和处理中的应用。
一、自相关函数自相关函数是用来描述信号与其自身过去样本相关的程度。
它是一个统计工具，可以用于分析信号的平稳性、周期性和趋势。
自相关函数是一个函数，其值在任何两个时间点之间的协方差。
对于给定的信号x(t)，其自相关函数Rxx(τ)可以通过以下公式计算：Rxx(τ)=E[x(t)x*(t+τ)]其中E表示期望值，x*(t)是复共轭，τ是时间延迟。
如果一个信号的自相关函数接近零的其他值，那么这意味着该信号在给定的时间延迟τ内基本上没有变化。
二、空间频谱空间频谱是将信号分解为不同频率成分的图像。
通过傅里叶变换或其变种方法（如小波变换），我们可以将信号从时间域转换到频率域，从而获得其空间频谱。
空间频谱是一个二维图像，其中每个频率成分的强度和频率的相对位置都被表示出来。
自相关函数和空间频谱之间的关系可以通过以下观察来理解：自相关函数描述了信号在给定时间延迟的瞬态特性，而空间频谱则提供了信号在不同频率成分上的振幅和相位信息。
因此，我们可以将自相关函数视为一种瞬态特性描述，而将空间频谱视为一种频率特性描述。
当我们将信号从时间域转换到频率域时，我们可以通过比较自相关函数和空间频谱来理解信号的动态特性和频率特性。
例如，如果自相关函数的值在某个特定时间延迟附近显著增加，那么这可能意味着在该延迟处有一个明显的瞬态变化。
另一方面，如果空间频谱在该延迟处具有较高的振幅，那么这可能意味着在该频率成分上有一个明显的增强。
四、应用自相关函数和空间频谱在许多应用中都发挥着重要作用，包括但不限于通信、雷达、声纳、图像处理和生物医学工程。
例如，在通信中，自相关函数可以帮助我们理解信号的瞬态特性，从而优化通信系统的性能。
而在雷达和声纳中，空间频谱可以帮助我们识别和分析目标在不同频率成分上的特征。
自相关函数 ppt课件
复杂周期信号波形
数字信号的谐波
分解周期信号的条件
• 狄利希莱条件
要将一周期信号分解为谐波分量，代表这一周期
信号的函数f(t)应当满足下列条件：
–
在一周期内，函数是绝对可积的，即 应为有限值；
| t1 T t1
f t| dt
– 在一周期内，函数的极值数目为有限；
– 在一周期内，函数f(t)或者为连续的，或者具有有限
总响应
n
rtsktthtkt
k0
S(t) 激励函数(输入 信号)的分解
s(kΔt)
0
r(kΔt) 第k个脉冲的 冲激响应(输 出信号)波形
0
r(t)
冲激响应叠加 后的总响应(输 出信号)波形
第k个脉冲函数之面积
skt•t （当Δt 0，脉冲函数
时 可近似表示为冲激函数）
域
kΔt
分 t
系统对第k个冲激函数
连续信号
f(t) 0
f(t)
f0
f1
t
t
0
f2
离散信号
f(tk)
(6)
(4.5)
(3) (1.5)
(2)
-1
t
01 2 3 4
(-1)
周期信号与非周期信号
用确定的时间函数表示的信号，可以分为 周期信号和非周期信号。
当且仅当 ftTf(t) t
则信号f(t)是周期信号，式中常数T 是信号
的周期。换言之，周期信号是每隔固定的 时间又重现本身的信号，该固定的时间间 隔称为周期。 非周期信号无此固定时间长度的循环周期。
|
f(t)|2dt
T/2
– 把该能量值对于时间间隔取平均，得到该时间内信号的平
信号谱密度及自相关函数
信号谱密度及⾃相关函数信号、谱密度及⾃相关函数1.能量有限信号定义：能量有限信号，⼜称能量信号，是指在所有时间上总能量不为零且有限的信号。
能量信号是⼀个脉冲式信号，它通常只存在于有限的时间间隔内。
在实际应⽤中发送的信号总是能量有限的。
⼀般地，⾮周期的确定性信号为能量有限信号。
信号能量的计算：是x(t)的傅⾥叶变换，它是幅度谱密度。
2.功率有限信号定义：如果信号的功率是有限的，则称为功率有限信号，简称功率信号。
功率信号的能量为⽆限⼤。
它对通信系统的性能有很⼤影响，决定了⽆线系统中发射机的电压和电磁场强度。
信号功率的计算：与能量信号定义的⽐较，这个很好理解的。
3.能量信号与功率信号的区分若信号能量有限，即, 且，则称此信号为能量信号；若信号功率有限，即且E趋近于，则称此信号为功率信号。
能量有限信号和功率有限信号是不相容的，即不存在既是能量信号⼜是功率信号的情况。
4.能量谱密度ESD能量信号的⾃相关函数的定义：最后推导出：为的傅⾥叶变换，的能量谱密度：结论：能量信号的⾃相关函数与能量谱密度成傅⾥叶变换对。
⼀个能量信号通过⼀个传递函数为H(f)的LTI系统，那么，其输出的能量谱密度为：如果为实信号，那么，为正的实偶函数。
5.功率谱密度功率信号的⾃相关函数的定义：可推导出：令，它是功率谱密度。
结论：功率信号的⾃相关函数与功率谱密度成傅⾥叶变换对。
⼀个功率信号通过⼀个传递函数为H(f)的LTI系统，那么，其输出的功率谱密度为：如果为实信号，那么，为正的实偶函数。
6.能量谱密度与功率谱密度的计算功率信号：对于⼀个确定的信号，如何求出其谱密度？a．能量谱密度的求法：⽅法1：根据公式得到其能量谱密度，为的傅⾥叶变换.⽅法2：根据公式，得到⾃相关函数，然后，对其进⾏傅⾥叶反变换，得到能量谱密度. b．功率谱密度的求法：⽅法1：根据公式得到其功率谱密度.⽅法2：根据公式，得到⾃相关函数，然后，对其进⾏傅⾥叶反变换，得到功率谱密度.。
信号相关分析原理自相关函数互相关函数PPT课件
耗的当能R量=1。时，即可得公压式（（电5流.1）—加1）在。1电阻上所消
E
|
f (t) |2
dt
若f(t)为实
数
E 如果在无限f大(2的t时)d间t间隔内（，5.1—1） 信号的能量为有限值，而信号
的平均功率为零
对于能量信号E为有限值。 2
5.1 信号的互能量与互能谱
第五章 信号相关分析原理
5.1 信号的互能量与互能谱 5.2 信号的相关分析 5.3 离散信号的自相关函数 5.4 信号的互相关函数 作业
1
信(一由号)公的．式5能信.：量号1 ：的E信能指号量信与的号功互fI(率能2tR)的量d归t与一互化能能谱U量R，2 d即t信号的电
T0 2
Ryx (
)
lim
T0
1 T0
T0
2 y(t)x(t )dt
T0 2
15
5.4 信号的互相关函数
互相关函数性质：
1、互相关函数不是偶函数。
Rxy( ) Rxy( ) Ryx( ) Ryx( )
2、Rxy( ) 和 Ryx( ) 不是同一个函数，即：
Wxy() X ()Y ()
Wxy()称为信号x(t)、y(t)的互能谱密度，简称互能
谱。
retur7 n
5.2 信号的相关分 （一）信号的析自相关函数
为了定量地确定信号x(t) 与时移副本x(t-) 的差
别或
相似程度，通常用 自相关函数：
Rx ( )
x(t)x(t )dt
信号的功率：信号电压（或电流）在1欧姆电阻上所消耗的功率。
在[T1，T2]时间内平均功率可表示为：
能量信号的自相关函数和功率信号的自相关函数
能量信号的自相关函数和功率信号的自相关函数一、 能量信号的自相关函数相关是匹配过程，而自相关则是指延迟信号与与其自身的匹配。
实值能量信号x(t)的自相关函数定义为：+∞<<∞-+=⎰+∞∞-τττdt t x t x R x )()()(自相关函数)(τx R 提供了信号与其平移τ时间后所得信号之间的关联程度的测度。
)(τx R 不是时间的函数，而是信号与其平移信号的时间间隔τ的函数。
实值能量信号的自相关函数具有以下性质：1. )()(ττ-=x x R R 函数关于零点对称；2. )0()(x x R R ≤τ 函数在原点获得最大值；3. )()(f R x x ψτ↔ 自相关函数与功率谱（PSD ）是傅立叶变换对；4. dt t x R x )()0(2⎰+∞∞-= 函数在零点的值等于信号的能量。
二、功率信号的自相关函数实值功率信号x(t)的自相关函数定义如下：+∞<<∞-+=⎰+-∞→τττdt t x t x T R T T T x 2/2/)()(1)(lim当功率信号为周期为T 0的周期信号时，上式的时间平均可以用周期T 0代替，故自相关函数可以表示为：+∞<<∞-+=⎰+-τττdt t x t x T R T T x 2/2/000)()(1)(实值功率信号的自相关函数与能量信号的自相关函数有类似的性质： 1. )()(ττ-=x x R R 函数关于零点对称；2. )0()(x x R R ≤τ 函数在原点获得最大值；3. )()(f G R x x ↔τ 自相关函数与功率谱（PSD ）是傅立叶变换对；4. dt t x T R T T x )(1)0(2/2/2000⎰+-= 函数在零点的值等于信号的功率。
信号与系统分析第三章(功率谱和能量谱)(下载313次)
2
率随频率分布的情况，称为功率谱系数。离散谱。 率随频率分布的情况，称为功率谱系数。离散谱。 功率谱只与幅频谱有关，与相位无关， 功率谱只与幅频谱有关，与相位无关，由于其收敛 性，能量主要集中在低频段 。
二．非周期信号的能量谱（连续谱） 非周期信号的能量谱（连续谱）
时域中： 时域中：
∞பைடு நூலகம்
1 ∞ 1 ∞ ∞ jω t = ∫−∞ f (t)[ ∫−∞ F( jω)e dω]dt = ∫−∞ F( jω)[∫−∞ f (t)ejωt dt]dω 2 π 2 π 1 ∞ 1 ∞ 2 = ∫−∞ F( jω)F(− jω)dω= ∫−∞ F (ω)dω 2 π 2 π 1∞ 2 = ∫0 F (ω)dω
1
1
1∞ 2 = F + 2∑F = A + ∑A n n= 1 2 n=1 ∞ 1∞ 2 2 2 即： 1 T 2 ∫0 fT (t)dt = ∑F = A + ∑A n 0 n n=−∞ 2 n=1 T
2 0 2 n 2 0
∞
总平均功率= 总平均功率=各次谐波的平均功率之和 可在时域中计算，也可在频域中计算。 可在时域中计算，也可在频域中计算。 这是帕塞瓦尔定理在傅里叶级数情况下的具体体现; 这是帕塞瓦尔定理在傅里叶级数情况下的具体体现; 表明： 周期信号平均功率=直流、基波及各次谐波分 表明： 周期信号平均功率=直流、 量有效值的平方和； 量有效值的平方和；
一．周期信号的功率谱（离散） 周期信号的功率谱（离散）
u2 (t) 2 2 2 p(t) = Ri (t) = = f (t) = fT (t) R
平均功率
功率信号&能量信号&功率谱&能量谱
一、能量信号和功率信号（1）能量信号根据信号可以用能量式或功率式表示可分为能量信号和功率信号。
能量信号，如各类瞬变信号。
在非电量测量中，常将被测信号转换为电压或电流信号来处理。
显然，电压信号加在单位电阻（R=1时）上的瞬时功率为：()()()22x t p t x t R== (1.1) 瞬时功率对时间积分即是信号在该时间内的能量。
通常不考虑量纲，而直接把信号的平方及其对时间的积分分别称为信号的功率和能量。
当()x t 满足：()2x t dt +∞-∞<∞⎰ (1.2)则信号的能量有限，称为能量有限信号，简称能量信号。
满足能量有限条件，实际上就满足了绝对可积条件。
定义信号()f t 的能量：由电压()f t （或者电流()f t ）在1Ω电阻上消耗的能量：()2E f t dt +∞-∞=⎰（注释：22/E u i u R u =⨯==） (1.3)（2）功率信号若()x t 在区间(),-∞+∞的能量无限，不满足(1.2)式条件，但在有限区间(-T/2，T/2)满足平均功率有限的条件：()/22/21lim T T T x t dt T -→∞<∞⎰ (1.4) 则，()x t 为功率信号。
如各种周期信号、常值信号、阶跃信号等。
定义：信号()f t 的平均功率为电压()f t 在1Ω电阻上消耗的平均功率（简称功率）：()/22/21lim T T T S f t dt T -→∞=⎰ (1.5)二、频谱和频谱密度频谱密度：设一个能量信号为()s t ，则它的频谱密度()s ω可以由傅氏变换求得。
()()s F s t ω=⎡⎤⎣⎦ (1.6)能量信号的频谱密度()s f 和功率信号()c jn ω（比如一个周期信号）的频谱主要区别有：（1）()s f 是连续谱，而()c jn ω是离散谱；（2）()s f 单位是幅度/频率，而()c jn ω单位是幅度；（这里都是指其频谱幅度）；（3）能量信号的能量有限，并连续的分布在频率轴上，每个频率点上的信号幅度是无穷小的，只有d f 上才有确定的非0振幅；功率信号的功率有限，但能量无限，它在无限多的离散频率点上有确定的非0振幅。
§6.7信号通过线性系统的自相关函数能量谱和功率谱分析
R(jw )2 H(jw )2 E(jw )2
所以
r (w ) H (jw ) 2e (w )
物理意义：响应的能谱等于激励的能谱与|H(jw)|2的乘积。
Se (w ) e (jw )
H (jw )2
Sr (w ) r (w )
同样，对功率信号有 Sr (w ) H (jw ) 2 Se (w )
物理意义：响应的功率谱等于激励的功率谱与|H(jw)|2
的乘积。
返回
二．信号经线性系统的自相关函数
由 r (w ) H (jw ) 2e (w ) Sr (w ) H (jw ) 2 Se (w )
得 r (w ) H (jw )H *(jw )e (w )
Sr (w ) H (jw )H *(jw )Se (w )
所以响应r(t)的自相关函数
Rr ( ) Re ( ) h(t) h*( t)
N ( )
1
( ) 1 t
e RC u t
1
e
1 RC
t
u(
t
)
RC
RC
N
1 t
e RC
2RC
求响应r(t)的自相关函数的另一种方法
由
Rr
(
)
F
1
Sr
(w
)
F
1
1
1
(wRC
)2
考虑到
F e t
2 2 w
2
RC
所以，响应r(t)的功率谱为
Sr (w
)
Se (w )
H
(jw )
2
N
1
1
(wRC )2
如图(b)所示
H (jw )
6.6 能量谱和功率谱
2
2
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若 f (t )为实数 上式可写成 为实数,上式可写成
1 ∞ 2 R(0) = ∫ f (t )d t = ∫∞ F(ω) dω ∞ 2π
∞ 2
= ∫ F( f ) d f ……帕塞瓦尔方程 帕塞瓦尔方程 ∞
∞
2
定义
ε (ω) = F(ω)
所以有
2
……能量谱密度(能谱) 能量谱密度(能谱) 能量谱密度
F[ fT (t)] = FT (ω)
则 f (t ) 的平均功率为: 平均功率为 2 T F (ω) 1 2 2 1 ∞ T P = lim ∫ T f (t )d t = ∫ lim dω T→∞ T 2π ∞ T→∞ T 2 2 FT (ω) f(t)的功率密度函数 功率谱) 的功率密度函数(功率谱 的功率密度函数 功率谱) 定义 S(ω) = lim T →∞ T 2 1 ∞ F(ω) e jωτ dω 利用相关定理有:R(τ ) = 利用相关定理有: X 2π ∫∞
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2 1 ∞ R(τ ) = F(ω) e jωτ dω 2π ∫∞ 1 两端乘以 并取 T → ∞可以得到: 可以得到:
T
1 ∞ R(τ ) = S(ω)e jωτ dω 2π ∫∞
S(ω) = ∫ R(τ )e jωτ dτ
∞
即
∞
R(τ ) = F1[ p(ω)] 功率有限信号的功率谱函数与自相关函数 是一对傅里叶变换. 是一对傅里叶变换.
R(τ ) = ∫ f (t ) f *(t τ )dt
∞ ∞
有下列关系 2 ∞ ∞ 1 ∞ 2 2 F(ω) dω= ∫∞ F( f ) d f R(0) = ∫ f (t ) dt = ∞ 2π ∫∞
功率信号的自相关函数和功率谱密度
功率信号的自相关函数和功率谱密度
功率信号的自相关函数和功率谱密度是信号处理中的重要概念。
自相关函数用于描述信号的相似度，而功率谱密度则用于描述信号的频率成分。
功率信号的自相关函数是指信号与其自身经过一定时间延迟后
的内积，通常用公式表示为：
R_xx(tau) = E[X(t)X(t+tau)]
其中，X(t)表示功率信号，tau表示时间延迟，E表示期望值。
自相关函数的性质包括：对称性、偶函数性、非负性和可积性。
自相关函数的峰值表示信号的主要周期，自相关函数的宽度表示信号的带宽。
功率信号的功率谱密度是指信号在不同频率下的功率分布，通常用公式表示为：
S_xx(F) = |X(F)|^2
其中，X(F)表示功率信号在频率域中的傅里叶变换。
功率谱密度的性质包括：非负性、实数性、对称性和可积性。
功率谱密度的峰值表示信号的中心频率，功率谱密度的宽度表示信号的带宽。
功率信号的自相关函数和功率谱密度在信号处理中经常被用来
分析和处理信号。
例如，自相关函数可以用于信号的匹配滤波和信号的周期性分析，功率谱密度可以用于信号的频谱分析和滤波器的设计。
- 1 -。
功率谱分析
三、功率谱分析字体[大][中][小]周期信号的功率谱为其双边幅值频谱的平方|c n|2;非周期信号的功率谱为其幅值谱密度的平方|X(ω)|2＝X(ω)X*(ω)。
随机信号属于时域无限信号，其频率、幅值和相位为随机变量。
因而，采用具有统计特性的功率谱估计进行谱分析(一)自功率谱密度及其估计各态历经随机信号的功率谱密度S x(ω)与自相关函数R x(τ)为傅里叶变换偶对，即为了方便，也可用在非负频率范围内(ω>0)定义的单边功率谱密度G x(ω)代替双边功率谱密度S x(ω)，两者之间的关系为自功率谱估计可分为线性估计法与非线性估计法。
前者以快速变换为基础，应用较早，也称为经典谱分析法; 后者是与时序模型结合的一种新方法，又称为现代谱分析方法。
1. 周期图各态历经随机信号的均方值ψx2为信号能量的时域描述。
巴什瓦定理表明，信号能量的时域计算与频域计算相等，即由此定义自功率谱密度及其估计为：式中表12-45 典型信号的自相关、频谱、概率密度(续)X(ω)为测试数据x(t)的傅里叶变换，X(k)为N个数据x(n)的离散傅里叶变换，由FFT 直接求出。
由于X(k)具有周期函数的性质，所以称由此获得的自功率谱估计为周期图。
自相关估计x′(r)的快速傅里叶变换可作为自功率谱估计的另一计算公式以上两种估计都是自功率谱S x(ω)的有偏估计，只是偏差大小不同。
两种估计在时域对数据或对自相关估计进行截断，相当于加窗处理，致使谱估计成为真实功率谱(或称为真功率谱)与窗谱W(ω)的卷积，即Ŝx(ω)=S x(ω)*W(ω)窗谱旁瓣的泄漏效应和卷积的作用使真功率谱的尖峰数值变化，邻近点的数值变大，造成谱估计的模糊与失真以上两种估计的方差较大; 相距2π/N的各点估计值互不相关，故数据点数N越大，这些点的估计值的随机起伏越严重。
为改善谱估计的估计质量，在增大数据点数的同时，采用平均化处理和窗处理方法减小谱估计的方差。
随机信号通过线性系统的分析.
（6-83）
由于输入的是随机信号，输出一般也是随机信号。
1.输出的均值
输出序列的均值 my (n) 通过（6-83）式计算，即
my (n) EY (n) h(k)EX (n k) h(k)mx (n k)
k
k
（6-84）
若 X (n) 为平稳随机序列，则 mx (n) mx (n k) mx 为
（一）时域分析
设已知线性时不变离散系统的单位脉冲响应为
在 n 范围内输入随机序列 h(n) ,又设
Y (n) 是 X (n) 通过该系统的输出序列，则X输(n出) 随机 序列为 h(n) 与 X (n) 的卷积和，即
Y (n) h(n) X (n) h(k)X (n k) k
的，则系统输出也是广义平稳的。
3.输入与输出之间的互相关函数
根据互相关函数的定义，有
Rxy (t, t ) EX (t)Y (t )
E
X
(t)
h( 1 ) X (t
1
)d
1
h(
1
)EX
(t)
X
(t
1 )d 1
（6-86）
若X (n)为平稳随机序列，则有
Ryy (m)
h(k)h(i)Rxx (m k i)
k i
Rxx (m) h(m) h(m)
（6-87）
上式说明，输出随机信号Y(n) 的自相关函数只 与时间差m有关。实际上，对于线性时不变系 统而言，如果输入随机信号是平稳的，输出随 机信号也是平稳的，故其概率特性是时不变的， 自相关函数只与时间差有关。
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返回
所以响应r 所以响应r(t)的自相关函数 R(τ) =R(τ) ∗ht) ∗h (−t) ( * r e
1 −R t 1 Rt C e u t) ∗ e C u −t) ( ( =N (τ) ∗ δ R C R C 1 N −R t = e C 2R C
1 1
求响应r 求响应r(t)的自相关函数的另一种方法 1 1 1 − − R(τ) =F [S (ω ] =F ) 由 r r 2 R ) 1+(ω C α 考虑到 Fe−α t = 22 2 同样可以求得R 同样可以求得Rr(τ) α +ω
因为 所以
Fht)] =H jω) [( (
[
]
其中 R (τ) =ht) ∗h (−t) 为系统冲激响应的自相关函数。 ( * 为系统冲激响应的自相关函数。 h 返回
R(τ) =R(τ) ∗h t) ∗h (−t) =R(τ) ∗R (τ) ( * r e e h
例6-7-1
功率谱密度为N的白噪声通过图(a)所示 功率谱密度为N的白噪声通过图(a)所示RC 所示RC 低通网络，求输出的功率谱S 低通网络，求输出的功率谱S(ω)及自相关 并求输出的平均功率p 函数R ),并求输出的平均功率 函数Rr(τ),并求输出的平均功率pr。
[ ]
相关函数图形如图( 相关函数图形如图(c)所示
) r N S (ω
p r
N 2R C
R(τ) r
N −R t e C 2R C
t
1
o
ω
图(c)
o
(3)求输出的平均功率pr (3)求输出的平均功率 求输出的平均功率p 1 ∞ 1 ∞ 1 p = ∫ S (ω)d = ∫ d ω ω r r 2 2 −∞ π π 0 1+(ω C R ) N N ∞ a c n( R C 0 = r ta ω ) = πR C 2R C
ω Se ( ) ε e (jω )
H (jω )
2
2
ε r (ω )
ω Sr ( )
同样，对功率信号有 同样，
S (ω = H jω S (ω ) ( ) e ) r
物理意义：响应的功率谱等于激励的功率谱与|H(jω)|2 物理意义：响应的功率谱等于激励的功率谱与| 的乘积。 的乘积。
返回
二．信号经线性系统的自相关函数
一、能量谱和功率谱分析 二、信号经线性系统的自相关函数
返回
一．能量谱和功率谱分析
e (t ) E (jω ) H (jω ) h(t ) R (jω ) r (t )
时域 频域
r(t) =ht) *e(t) ( Rjω =H jω ⋅ E jω ( ) ( ) ( )
假定e 是能量有限信号， 假定e(t)是能量有限信号， e(t)的能量谱密度为 ε e (ω )
§6.7 信号通过线性系统的自相关 函数、 函数、能量谱和功率谱分析
时域 S域 激励
前面，从 频域 中研究了 响应 前面，
系统
三者的关系
现在，从激励和响应的自相关函数，能量谱， 现在，从激励和响应的自相关函数，能量谱，功 率谱所发生的变化来研究线性系统所表现的传输特性。 率谱所发生的变化来研究线性系统所表现的传输特性。
R
e (t ) −
+ +
(1)已知激励 (1)已知激励e(t)的功率谱为 已知激励e S (ω =N ) e 因为系统函数为
1 1 C = ( jω) = 1R H R +j ω 1+jω C R C
1 −
C
பைடு நூலகம்
r (t ) −
(a )RC低通电路
1 − t R C
1 冲激响应 ht) =F [H jω ] = e ( ( ) R C 所以，响应r 所以，响应r(t)的功率谱为
r(t)的能量谱密度为 ε r (ω )
2
εe(ω) = E(jω)
( εr(ω) = R jω)
2
显然 所以
(jω )2 = H (jω )2 E (jω )2 R
εr(ω) = H jω) εe(ω) (
2
物理意义：响应的能谱等于激励的能谱与| 的乘积。 物理意义：响应的能谱等于激励的能谱与|H(jω)|2的乘积。
2
u t) (
S (ω =S (ω H jω = N ) e ) ( ) r 2 1+(ω C R ) 1
如图( 如图(b)所示
H jω ( ) 1 ht) ( 1 R C 1 −RCt e R C t
R(τ) e
1
o
ω
S (ω ) e
o
N
N (τ) δ
o
ω
o
τ
图 （ b）
（2）相关函数 因为
] δ R (τ) =F−1[S (ω)] =F−1[N = N (τ) e e
由
( εr(ω) = H jω) εe(ω)
2
S (ω = H jω S (ω ) ( ) e ) r
2
得
* ( εr(ω) =H jω)H (jω)εe(ω)
* S (ω) =H jω)H (jω S (ω) ( ) e r
R(τ) e
R (τ) h
R(τ) r
* * F h (−t) =H (jω 例6-7-1 )