§6.7信号通过线性系统的自相关函数能量谱和功率谱分析

[ ]
相关函数图形如图( 相关函数图形如图(c)所示
) r N S (ω
p r
N 2R C
R(τ) r
N −R t e C 2R C
t
1
o
ω
图(c)
o
(3)求输出的平均功率pr (3)求输出的平均功率 求输出的平均功率p 1 ∞ 1 ∞ 1 p = ∫ S (ω)d = ∫ d ω ω r r 2 2 −∞ π π 0 1+(ω C R ) N N ∞ a c n( R C 0 = r ta ω ) = πR C 2R C
R
e (t ) −
+ +
(1)已知激励 (1)已知激励e(t)的功率谱为 已知激励e S (ω =N ) e 因为系统函数为
1 1 C = ( jω) = 1R H R +j ω 1+jω C R C
1 −
C
r (t ) −
(a )RC低通电路
1 − t R C
1 冲激响应 ht) =F [H jω ] = e ( ( ) R C 所以，响应r 所以，响应r(t)的功率谱为
一、能量谱和功率谱分析 二、信号经线性系统的自相关函数
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一．能量谱和功率谱分析
e (t ) E (jω ) H (jω ) h(t ) R (jω ) r (t )
时域Байду номын сангаас频域
r(t) =ht) *e(t) ( Rjω =H jω ⋅ E jω ( ) ( ) ( )
假定e 是能量有限信号， 假定e(t)是能量有限信号， e(t)的能量谱密度为 ε e (ω )
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所以响应r 所以响应r(t)的自相关函数 R(τ) =R(τ) ∗ht) ∗h (−t) ( * r e
1 −R t 1 Rt C e u t) ∗ e C u −t) ( ( =N (τ) ∗ δ R C R C 1 N −R t = e C 2R C
1 1
求响应r 求响应r(t)的自相关函数的另一种方法 1 1 1 − − R(τ) =F [S (ω ] =F ) 由 r r 2 R ) 1+(ω C α 考虑到 Fe−α t = 22 2 同样可以求得R 同样可以求得Rr(τ) α +ω
因为 所以
Fht)] =H jω) [( (
[
]
其中 R (τ) =ht) ∗h (−t) 为系统冲激响应的自相关函数。 ( * 为系统冲激响应的自相关函数。 h 返回
R(τ) =R(τ) ∗h t) ∗h (−t) =R(τ) ∗R (τ) ( * r e e h
例6-7-1
功率谱密度为N的白噪声通过图(a)所示 功率谱密度为N的白噪声通过图(a)所示RC 所示RC 低通网络，求输出的功率谱S 低通网络，求输出的功率谱S(ω)及自相关 并求输出的平均功率p 函数R ),并求输出的平均功率 函数Rr(τ),并求输出的平均功率pr。
r(t)的能量谱密度为 ε r (ω )
2
εe(ω) = E(jω)
( εr(ω) = R jω)
2
显然 所以
(jω )2 = H (jω )2 E (jω )2 R
εr(ω) = H jω) εe(ω) (
2
物理意义：响应的能谱等于激励的能谱与| 的乘积。 物理意义：响应的能谱等于激励的能谱与|H(jω)|2的乘积。
2
u t) (
S (ω =S (ω H jω = N ) e ) ( ) r 2 1+(ω C R ) 1
如图( 如图(b)所示
H jω ( ) 1 ht) ( 1 R C 1 −RCt e R C t
R(τ) e
1
o
ω
S (ω ) e
o
N
N (τ) δ
o
ω
o
τ
图 （ b）
（2）相关函数 因为
] δ R (τ) =F−1[S (ω)] =F−1[N = N (τ) e e
由
( εr(ω) = H jω) εe(ω)
2
S (ω = H jω S (ω ) ( ) e ) r
2
得
* ( εr(ω) =H jω)H (jω)εe(ω)
* S (ω) =H jω)H (jω S (ω) ( ) e r
R(τ) e
R (τ) h
R(τ) r
* * F h (−t) =H (jω 例6-7-1 )
ω Se ( ) ε e (jω )
H (jω )
2
2
ε r (ω )
ω Sr ( )
同样，对功率信号有 同样，
S (ω = H jω S (ω ) ( ) e ) r
物理意义：响应的功率谱等于激励的功率谱与|H(jω)|2 物理意义：响应的功率谱等于激励的功率谱与| 的乘积。 的乘积。
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二．信号经线性系统的自相关函数
§6.7 信号通过线性系统的自相关 函数、 函数、能量谱和功率谱分析
时域 S域 激励
前面，从 频域 中研究了 响应 前面，
系统
三者的关系
现在，从激励和响应的自相关函数，能量谱， 现在，从激励和响应的自相关函数，能量谱，功 率谱所发生的变化来研究线性系统所表现的传输特性。 率谱所发生的变化来研究线性系统所表现的传输特性。