几何中的最值问题专题复习教学设计

几何中最值问题专题复习教学设计教材分析：几何中的最值问题变幻无穷,教学中如何引导学生在复杂条件变化中发现解决问题的路径,核心问题是训练学生在题目中寻找不变的已知元素,从这些已知的不变元素,运用“两点间线段最短”、“垂线段最短”、“点的运动轨迹”“二次函数最值”等知识源,实现问题的转化与解决.教学目标：知识溯源，从知识转化角度，借助中考真题的讲解，引导学生掌握处理最值问题的基本知识源（见教学设计中的标题），明确解决最值问题的思考方向。

重点知识与命题特点最值连续多年广泛出现于中考试题中，由冷点变为热点,求相关线段、线段之和差、面积等最大与最小值.此类问题涉及的知识要点有以下方面: ①两点间线段最短；②垂线段最短；③三角形的三边关系；④定圆中的所有弦中，直径最长；⑤圆外一点与圆的最近点、最远点.⑥借助转化为代数思想：一次函数反比例函数增减性、二次函数的最值问题.命题特点侧重于在动态环境下对多个知识点的综合考查.核心思想方法由于这类问题目标不明确，具有很强的探索性，解题时需要运用动态思维、数形结合、模型思想、特殊与一般相结合、转化思想和化归思想、分类讨论思想、函数和方程思想、从变化中寻找不变性的数学思想方法、逻辑推理与合情猜想相结合等思想方法．解这类试题关键是要结合题意，借助相关的概念、图形的性质，将最值问题化归与转化为相应的数学模型进行分析与突破。

教学过程一、问题导入我们所学的知识体系中，有哪些与最大值或最小值有关联的知识？①两点间线段最短；②垂线段最短；③三角形的三边关系；④定圆中的所有弦中，直径最长；⑤圆外一点与圆的最近点、最远点.⑥借助转化为代数思想：一次函数反比例函数增减性、二次函数的最值问题.师：我们把这些知识点称为求几何中最值的知识源.二、真题讲解真题示例11.（2016·福建龙岩）如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）A．1 B．2 C.3 D．4【题型特征】利用轴对称求最短路线问题【示范解读】此类利用轴对称求最短路线问题一般都以轴对称图形为题设背景,如圆、正方形、菱形、等腰梯形、平面直角坐标系等.首先根据题意画出草图，利用轴对称性找出对应线段之间的相等关系，从而把所求线段进行转化，画出取最小值时特殊位置，两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的是“小河”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）．三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2），结合其他相关知识加以解决.真题示例2（2016·四川内江）如图1所示，已知点C(1，0)，直线y ＝－x ＋7与两坐标轴分别交于A ，B 两点，D ，E 分别是AB ，OA 上的动点，则△CDE 周长的最小值是______．【解题策略】1.画图建模，画出取最小值时动点的位置，建立相关模型；2.学会转化，利用轴对称把线段之和转化在同一条直线上．真题（组）示例3例3如图，在△ABC 中，AB=3，AC=4,BC=5,P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，则EF 的最小值为 .【题型特征】利用垂线段最短求线段最小值问题真题（组）示例41.（2012宁波）如图2，△ABC 中，︒=∠60BAC ，︒=∠45ABC ，AB=22，D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径画⊙O 分别交AB ，AC 于E ，F ，连接EF ，则线段EF 长度的最小值为 .【示范解读】⊙O 的大小随着AD 的变化而变化,在此变化过程中,圆周角∠BAC 的度数始终保持不变,而线段EF 即为⊙O 中60°圆周角所对的弦,弦EF 的大小随⊙O 直径变化的变化而变化,当圆O 的直径最小时，60度圆心角所对的弦长最短，即转化为求AD 的最小值,由垂线段最短得出当AD ⊥BC 时,AD 最短.【解题策略】1.观察发现，分析总结运动变化过程中的不变元素及内在联系，2.画图转化，根据内在联系转化相关线段,应用“垂线段最短” 求出相关线段的最小值. 真题（组）示例5（2013•宿迁）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （0，1），B （1，2），点P 在x 轴上运动，当点P 到A 、B 两点距离之差的绝对值最大时，点P 的坐标是 ．(图2) (图3) x y O (图1) C B A E D C 1 C 2 ·A 草地河流 ·A·AM N (图2)H H (图3) (图4) (图5)(2016四川眉山)26．已知如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 、C 分别为坐标轴上上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4，（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；y=﹣x 2﹣x+3；（2）在平面直角坐标系xOy 中是否存在一点P ，使得以以点A 、B 、C 、P 为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（5，3）（3）若点M 为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM ﹣AM|的最大值时点M 的坐标，并直接写出|PM ﹣AM|的最大值．【示范解读】利用待定系数法确定出直线PA 解析式，当点M 与点P 、A 不在同一直线上时，根据三角形的三边关系|PM ﹣AM|＜PA ，当点M 与点P 、A 在同一直线上时，|PM ﹣AM|=PA ，当点M 与点P 、A 在同一直线上时，|PM ﹣AM|的值最大，即点M 为直线PA 与抛物线的交点，联立直线AP 与抛物线解析式，求出当|PM ﹣AM|的最大值时M 坐标，确定出|PM ﹣AM|的最大值即可．【题型特征】三角形的三边关系-线段之差最大问题【解题策略】结合已知定长线段，利用三角形的三边关系，找出最大值时的特殊位置，线段之差最大问题.真题（组）示例7(2016泸州)如图，在平面直角坐标系中，已知点A （1，0），B （1﹣a ，0），C （1+a ，0）（a ＞0），点P 在以D （4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC =90°，则a 的最大值是 .真题（组）示例82.（2015•四川乐山）如图3，已知直线y= 34 x-3与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，P 是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA 、PB ．则△PAB 面积的最大值是（ ）A ．8B ．12C ．212D ．172（图1） 【知识源】圆外一点与圆心的连线上，该点和此直线与圆的近交点距离最短、远交点距离最长.【解题策略】1. 描述点的运动轨迹，找出特殊位置，化动为静；2. 综合题中已有条件，分析其中不变元素，恰当转化.真题（组）示例91．（2016江苏常州）如图6，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y=x 与二次函数y=x 2+bx 的图象相交于O 、A 两点，点A （3，3），点M 为抛物线的顶点．（1）求二次函数的表达式；（2）长度为2的线段PQ 在线段OA （不包括端点）上滑动，分别过点P 、Q 作x 轴的垂线交抛物线于点P 1、Q 1，求四边形PQQ 1P 1面积的最大值；【题型特征】利用二次函数的性质求最值问题 【解题策略】此类问题中，无法通过轴对称或画草图得出何时所求线段或面积的最值，可以通过设相应点的坐标，运用函数思想，建立函数模型，最终通过二次函数的最值原理求出相应的最值.1.树立坐标意识，通过坐标表示相关线段长度；2.运用函数思想，构建函数模型，通过二次函数的性质理求出相应的最值.三、专题总结几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：1．特殊位置与极端位置法；2．几何定理(公理)法；3．数形结合法等．复习时既要注重对基本知识源的理解与建构，更要注重对相关知识源的综合与整合。

在解决本类题型时我们要学会动中觅静，即要分析总结图形中动点在运动过程中不变元素，探寻那些隐含的、在运动变化中的不变量或不变关系．通过不变关系建立相关模型实现最值的转化。

四、命题预测1.综合性逐渐增强，如多个知识源、知识点的相互整合渗透；2.注重对基本技能和基本思维方法的考查，注重了初、高中知识的衔接；3.最值问题“逆” 呈现，如在最值条件下求其他相关问题.五、巩固演练1．如图1 ，在矩形ABCD 中 ，AB=10 , BC=5 ． 若点M 、N 分别是线段ACAB 上的两个动点 ， 则BM+MN 的最小值为（ ）A ． 10B ． 8C ． 53D ． 62.如图2-1，已知点P 是抛物线214y x 上的一个点，点D 、E 的坐标分别为(0, 1)、(1, 2)，连(图6)图2 （图3）结PD 、PE ，求PD ＋PE 的最小值．3. 在坐标系中，点A 的坐标为(3，0)，点B 为y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且AC=2．设tan ∠BOC=m ，则m 的最小值是_________．4.如图，⊙O 的半径为1，A ，P ，B ，C 是⊙O 上的四个点. ∠APC=∠CPB=60°.(1)判断△ABC 的形状： ；(2)试探究线段PA ，PB ，PC 之间的数量关系，并证明你的结论；(3)当点P 位于的什么位置时，四边形APBC 的面积最大？求出最大面积.5.如图6，在△ACE 中，CA=CE ，∠CAE=30°，⊙O 经过点C ，且圆的直径AB 在线段AE 上． （1）试说明CE 是⊙O 的切线；（2）若△ACE 中AE 边上的高为h ，试用含h 的代数式表示⊙O 的直径AB ；（3）设点D 是线段AC 上任意一点（不含端点），连接OD ，当CD+OD 的最小值为6时，求⊙O 的直径AB 的长．6.如图，在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线2y x 的对称轴绕着点P （0，2）顺时针旋转45°后与该抛物线交于A 、B 两点，点Q 是该抛物线上的一点.（1）求直线AB 的函数表达式；（2）如图①，若点Q 在直线AB 的下方，求点Q 到直线AB 的距离的最大值；以上几例为几何中有关最值计算问题的常用设计思路，同学们只要能寻得问题的源头，便能抵达成功的彼岸．BC P O A A C B O 第4题图 第4题备用图 （图8）。