江西省临川一中高二上学期期中考试数学(理)试题
江西省抚州市临川区第一中学高二数学上学期期中试题文(扫描(2021年整理)
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江西省临川区第一中学高二上学期期中考试数学(理)试题
临川一中2015-2016学年度上学期期中考试高二数学（理）试卷考试时间：120分钟；命题人：艾菊梅 审题人：邹冲注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一个选项是符合题目要求的.）1．设集合，，则＝（ ）A ． B.C.11{(),(),(0,1)}2222-- D ． 2．已知平面向量，，则向量（ ）A ．B ．C ．D ．3. 一名小学生的年龄和身高（单位：cm ）的数据如下表：由散点图可知，身高与年龄之间的线性回归方程为，则 的值为（ ）A ．65B ．74C ．56D ．47 4.是方程表示的曲线是椭圆的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为 ( ) A ． B ． C ． D ． 6.下列说法中正确的是 ( )A.“”是“函数是奇函数”的充要条件； B．若2000:,10p x x x ∃∈-->R .则2:,10p x x x ⌝∀∈--<R ；C ．若为假命题,则均为假命题；D ．“若,则”的否命题是“若,则”.7. 已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+011y y x y x 所表示的平面区域为，若直线与平面区域有公共点，则的取值范围为是 ( ) A ． B ． C ． D ．8. 已知点在平面内，且对空间任意一点, y x 2-+=,则的最小值为（ ） A ． B ． C ． D ．9. 在正方体为的中点，是棱中，O DD M D C B A ABCD 11111-底面， 任一点，则直线所成角为（ ）A ．B ．C ．D ．不能确定10.执行如图所示的程序框图，要使输出的S 的值小于1，则输入 的t 值不能是下面的 （ ）A ．8B ．9C ．10D ．11 11. 已知数列满足312ln ln ln ln 32258312n a a a a n n +⋅⋅⋅⋅=-（），则（ ）A ．B ．C ．D ． 12. 定义域为R 的函数满足，当时，()[)()[)21.5,0,10.5,x 1,2x x xx f x -⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，若时，恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A. B. C. D.第II 卷（非选择题)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.） 13．已知为等比数列，，则 ．14．已知＝1，＝2，与的夹角为，那么 ． 15．由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值 为 ． 16. 设⎩⎨⎧∈-+-∈=)5,1[56)1,0(ln )(2x x x x xx f 若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步 骤.） 17．（本小题满分10分）在中，分别为内角的对边，且 .⑴ 求角的大小； ⑵ 设函数2cos 2cos 2sin 3)(2xx x x f +=，当取最大值时，判断的形状．18.（本小题满分10分）已知函数()(2)(3)f x x m x m =-++（其中）,F EC 1B 1A 1CBA．⑴ 若命题是假命题，求的取值范围； ⑵ 若命题,命题满足或为真命题，若 是的必要不充分条件，求的取值范围．19.（本小题满分12分）设有关于的一元二次方程．⑴ 若是从四个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数， 求上述方程有实根的概率；⑵ 若是从区间任取的一个数，是从区间任取的一个数，求上述方 程有实根的概率．20.（本小题满分12分）如图，三棱柱中，侧棱平面， 为等腰直角三角形，，且分别是的 中点． ⑴ 求证：平面；⑵求锐二面角的余弦值； ⑶若点是上一点，求的最小值.21.（本小题满分13分）已知圆的圆心为，，半径为， 圆与离心率的椭圆)0(1:2222>>=+b a bya x E 的其中一个公共点为，、分别是椭圆的左、右焦点． ⑴ 求圆的标准方程；⑵ 若点的坐标为，试探究直线与圆能否相切，若能，求出椭圆和直线的方程；若不能，请说明理由．22.（本小题满分13分）若函数对定义域中任意均满足 ()(2)2f x f a x b +-=，则称函数的图象关于点对称． （1）已知函数的图象关于点对称，求实数m 的值； （2）已知函数在上的图象关于点对称，且当 时，，求函数在上的解析式； （3）在（1）（2）的条件下，当时，若对任意实数，恒有 成立，求实数的取值范围．临川一中2015-2016学年度上学期期中考试高二数学（理）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每题只有一个正确答案）1.A2.C3.A4.B5.C6.D7.C8.D9.C 10.A 11.D 12.D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 4 14． 15． 16.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤）17.（1）；（2）△ABC 为等边三角形．【解析】（1）在△ABC 中，因为b 2+c 2-a 2=bc ，由余弦定理 a 2= b 2+c 2-2bccosA 可得 cosA=． ∵ 0<A<π ∴． （2）2cos 2cos 2sin 3)(2xx x x f +=11sin cos 222x x =++ ，∵ ∴ ∴∴当，即时，有最大值是又∵， ∴ ∴△ABC 为等边三角形． 18．（1）（2）19．（1）（2）【解析】设事件为“方程有实根”． 当，时，方程有实根的充要条件为． （1）基本事件共12个：(00)(01)(02)(10)(11)(12)(20)(21)(22)(30)(31)(32)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值．事件中包含9个基本事件，事件发生的概率为．（2）试验的全部结束所构成的区域为{}()|0302a b a b ，，≤≤≤≤． 构成事件的区域为{}()|0302a b a b a b ，，，≤≤≤≤≥．所以所求的概率为2132222323⨯-⨯==⨯．20.（1）证明：由条件知平面，令，经计算得23,23,2611===E B EF F B ，即，又因为平面（2）过作，连结 由已知得 平面就是二面角的平面角 经计算得553,10301==M B MF ，66cos 11==∠M B MF MF B法二：空间向量法（3） 21．（1）；（2） 能相切，直线的方程为，椭圆的方程为．【解析】（1）由已知可设圆的方程为()()2253x m y m -+=<， 将点的坐标代入圆的方程，得，即，解得或， ，． 圆的方程为．（2）直线与圆相切，依题意设直线的方程为， 即，若直线与圆相切，则． ,解得或．当时，直线与轴的交点横坐标为，不合题意，舍去． 当时，直线与轴的交点横坐标为， ，，．由椭圆的定义得122a AF AF =+==，，132e ∴==>，故直线能与圆相切． 直线的方程为，椭圆的方程为．22.（1）；（2）；（3）. 【解析】（1）由题设可得，即222x mx m x mx mx x++-++=-，解得. （2）当时，且，∴2()2()1g x g x x ax =--=-++. （3）由(1)得，其最小值为.222()1()124a a g x x ax x =-++=--++，①当，即时，，得；②当，即时，， 得；由①②得．。
江西省高二上学期期中考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知直线的图像如图所示，则角是（ ）sin cos :y x l θθ=+θA ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】D【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出、，即可得出结果. sin 0θ<cos 0θ>【详解】结合图像易知，，， sin 0θ<cos 0θ>则角是第四象限角， θ故选：D.2．的展开式中的系数为（ ） ()()8x y x y -+36x y A ． B ．C ．D ．2828-5656-【答案】B【分析】由二项式定理将展开，然后得出，即可求出的系数. 8()x y +8()()x y x y -+36x y 【详解】由二项式定理：8()()x y x y -+080171808888()(C C C )x y x y x y x y =-+++080171808080171808888888(C C C )(C C C )x x y x y x y y x y x y x y =+++-+++090181818081172809888888(C C C )(C C C )x y x y x y x y x y x y =+++-+++ 观察可知的系数为. 36x y 6523888887876C C C C 2821321⨯⨯⨯-=-=-=-⨯⨯⨯故选：B.3．已知条件：，条件：表示一个椭圆，则是的（ ） p 0mn >q 221x y m n+=p q A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据曲线方程，结合充分、必要性的定义判断题设条件间的关系.【详解】由，若，则表示一个圆，充分性不成立；0mn >0m n =>221x y m n +=而表示一个椭圆，则成立，必要性成立. 221x y m n+=0mn >所以是的必要不充分条件. p q 故选：B4．两平行平面分别经过坐标原点O 和点，且两平面的一个法向量，则两,αβ()1,2,3A ()1,0,1n =-平面间的距离是（ ）A B C D ．【答案】A【分析】由空间向量求解【详解】∵两平行平面分别经过坐标原点O 和点，,αβ(1,2,3),(1,2,3)A OA =且两平面的一个法向量，(1,0,1)n =-∴两平面间的距离 ||||n OA d n ⋅=== 故选：A5．2022年遂宁主城区突发“920疫情”，23日凌晨2时，射洪组织五支“最美逆行医疗队”去支援遂宁主城区，将分派到遂宁船山区、遂宁经开区、遂宁高新区进行核酸采样服务，每支医疗队只能去一个区，每区至少有一支医疗队，若恰有两支医疗队者被分派到高新区，则不同的安排方法共有（ ） A ．30种 B ．40种 C ．50种 D ．60种【答案】D【分析】先从5支医疗队中选取2支医疗队去高新区，再将剩下的3支医疗队分配到船山区与经开区，最后根据分步乘法原理求解即可.【详解】解：先从5支医疗队中选取2支医疗队去高新区，有种不同的选派方案，25C 10=再将剩下的3对医疗队分配到船山区与经开区，有种不同的选派方案，2232C A 6=所以，根据分步乘法原理，不同的安排方案有种.222532C C A 60=故选：D6．已知圆：，直线：，为上的动点，过点作圆的两条切线C 2220x y x +-=l 10x y ++=P l P C 、，切点分别、，当最小时，直线PC 的方程为（ ）PA PB A B ·PC ABA ．B ．C ．D ．+=0x y 10x y --=2210x y -+=2210x y ++=【答案】B【分析】根据圆的切线的有关知识，判断出最小时，直线与直线垂直，进而可得直·PC AB l PC 线的方程.PC 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为.C ()2211x y -+=()1,0C =1r 依圆的知识可知，四点P ，A ，B ，C 四点共圆，且AB ⊥PC ， 所以，而14422PAC PC AB S PA AC PA ⋅==⨯⨯⋅=△当直线时，最小，此时最小， PC l ⊥PA PC AB ⋅所以此时，即. :=1PC y x -10x y --=故选：B.7．某奥运村有，，三个运动员生活区，其中区住有人，区住有人，区住有人A B C A 30B 15C 10已知三个区在一条直线上，位置如图所示奥运村公交车拟在此间设一个停靠点，为使所有运动员..步行到停靠点路程总和最小，那么停靠点位置应在（ ）A ．区B ．区C ．区D ．，两区之间A B C A B 【答案】A【分析】分类讨论，分别研究停靠点为区、区、区和，两区之间时的总路程，即可得出A B C A B 答案．【详解】若停靠点为区时，所有运动员步行到停靠点的路程和为：米； A 15100103004500⨯+⨯=若停靠点为区时，所有运动员步行到停靠点的路程和为：米； B 30100102005000⨯+⨯=若停靠点为区时，所有运动员步行到停靠点的路程和为：米； C 303001520012000⨯+⨯=若停靠点为区和区之间时，设距离区为米，所有运动员步行到停靠点的路程和为：A B A x ， 30151001010020054500x x x x +⨯-+⨯+-=+（）（）当取最小值，故停靠点为区． 0x =A 故选：A8．已知是双曲线上的三个点，经过原点，经过右焦点，若,,A B C 22221(0,0)x y a b a b -=>>AB O AC F 且，则该双曲线的离心率是（ ）BF AC ⊥2AF CF =A ．B C D ．5394【答案】B【分析】根据题意，连接，构造矩形；根据双曲线定义表示出各个边长，由直角','AF CF 'FAF B 三角形勾股定理求得 的关系，进而求出离心率．a c 、【详解】设左焦点为， ，连接F'AF m =','AF CF 则 ， ， ， 2FC m ='2AF a m =+'22CF a m =+'2FF c =因为，且经过原点 BF AC ⊥AB O 所以四边形 为矩形'FAF B 在Rt △中， ，代入'AF C 222'+'AF AC F C =()()()2222+3=22a m m a m ++化简得 23a m =所以在Rt △中，，代入 'AF F 222'+'AF AF F F =()222222233a a a c ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简得 ，即 22179c a =e =所以选B【点睛】本题考查了双曲线的综合应用，根据条件理清各边的相互关系，属于中档题．二、多选题9．下列结论正确的是（ ）A ．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件1a =-210a x y -+=20x ay --=B ．已知，O 为坐标原点，点是圆外一点，直线的方程是，0ab ≠(,)P a b 222x y r +=m 2ax by r +=则与圆相交m C ．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为10kx y k ---=(3,1)M -(3,2)N k 1322k -≤≤D ．直线的倾斜角的取值范围是sin 20x y α++=θπ3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ 【答案】BD【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率、直线的方程，直线与圆的位置关系，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【详解】解：对于A ，由直线与直线互相垂直，210a x y -+=20x ay --=，化为，解得或，21(1)()0a a ∴⨯+-⨯-=20a a +==0a 1- “”是“直线与直线互相垂直”的充分但不必要条件，故A 错误；∴1a =-210a x y -+=20x ay --=对于B ，因为点是圆外一点，所以，所以圆心到直线的距离(,)P a b 222x y r +=222a b r +>m，可得与圆相交，故B 正确；||d r =m 对于C ，已知直线和以，为端点的线段相交，则、两个点在直10kx y k ---=(3,1)M -(3,2)N M N 线的两侧或直线上，10kx y k ---=则有，解可得或，故C 错误； (311)(321)0k k k k -------≤12k ≤-32k ≥对于D ，设直线的倾斜角，则,， sin 20x y α++=θtan sin [1θα=-∈-1]故的取值范围是，故D 正确. θ3[0,[,)44πππ 故选：BD .10．已知的展开式中第3项与第5项的系数之比为，则下列结论成立的是（ ） 2(n x 314A ．B ．展开式中的常数项为45 10n =C ．含的项的系数为210D ．展开式中的有理项有5项5x【答案】ABC【分析】根据二项式的展开式的通项公式，结合第3项与第5项的系数之比为()52211C r n rr r n T x-+=-，可得.再根据公式逐个选项判断即可. 31410n =【详解】二项式的展开式的通项为，由于第3项与第5项的()()5222221C 11C rr n r rrn r r r n nT xx x---+=-=-系数之比为，则，故，得. 31424C 3C 14n n=()()()()1312123141234n n n n n n -⨯=---⨯⨯⨯25500n n --=∴(n ＋5)(n －10)＝0，解得n ＝10，故A 正确；则，令，解得， ()52021101C rr r r T x-+=-52002r-=8r =则展开式中的常数项为，故B 正确； 810C 45=令，解得，则含的项的系数为，故C 正确； 52052r -=6r =5x ()66101C 210-=令，则r 为偶数，此时，故6项有理项． 520Z 2r-∈0,2,4,6,8,10r =故选：ABC11．2022年2月5日晩，在北京冬奥会短道速滑混合团体接力决赛中，中国队率先冲过终点，为中国体育代表团拿到本届奥运会首枚金牌.赛后，武大靖，任子威，曲春雨，范可欣，张雨婷5名运动员从左往右排成一排合影留念，下列结论正确的是（ ） A ．武大靖与张雨婷相邻，共有48种排法 B ．范可欣与曲春雨不相邻，共有72种排法 C ．任子威在范可欣的右边，共有120种排法D ．任子威不在最左边，武大靖不在最右边，共有78种排法 【答案】ABD【分析】利用分步乘法计数原理结合排列与排列数，逐项分析判断即可.【详解】解：A 项中，武大靖与张雨婷相邻，将武大靖与张雨婷排在一起有种排法， 22A 再将二人看成一个整体与其余三人全排列，有种排法，44A 由分步乘法计数原理得，共有（种）排法，故选项A 正确；2424A A 48=B 项中，范可欣与曲春雨不相邻，先将其余三人全排列，有种排法， 33A 再将范可欣与曲春雨插入其余三人形成的4个空位中，有种排法，24A由分步乘法计数原理得，共有（种）排法，故选项B 正确；3234A A =72C 项中，任子威在范可欣的右边，先从五个位置中选出三个位置排其余三人，有种排法， 35A 剩下两个位置排任子威、范可欣，只有1种排法，所以任子威在范可欣的右边，共有（种）排法，故选项C 错误；35A =60D 项中，武大靖，任子威，曲春雨，范可欣，张雨婷5人全排列，有种排法， 55A 任子威在最左边，有种排法，武大靖在最右边，有种排法， 44A 44A 任子威在最左边，且武大靖在最右边，有种排法，33A 所以任子威不在最左边，武大靖不在最右边，共有（种）排法，故选项D 正确. 543543A -2A +A =78故选：ABD.12．为庆祝党的二十大胜利召开，由南京市委党史办主办，各区委党史办等协办组织的以“喜迎二十大 永远跟党走 奋进新征程”为主题的庆祝中共南京地方组织成立周年知识问答活动正在进100行，某党支部为本次活动设置了一个冠军奖杯，奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为，托盘由边长为的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图②.则32π38下列结论正确的是（ ）A ．经过三个顶点的球的截面圆的面积为 ,,ABC 43πB ．异面直线与所成的角的余弦值为AD BE 916C ．连接，构成一个八面体，则该八面体的体积为 ,,AB BC CA ABCDEF ABCDEF 18D ．点 D 2【答案】ACD【分析】对A ：经过三个顶点的球的截面圆即为的外接圆，运算求解；对B ：建系，,,A B C MNG △利用空间向量处理异面直线夹角问题；对C ：八面体由三个全等的四棱锥ABCDEF和直棱柱组合而成，结合相关体积公式运算求解；,,D ACGM E ABNM F BCGN ---ABC MNG -对D ：点到球面上的点的最小距离为，结合球的性质运算求解.D OD R -【详解】如图1，取的中点分别为，连接 ,,DE EF DF ,,M NG ,,,,,AM BN CG MN NG GM 根据题意可得：均垂直于平面，可知 ,,AM BN CG DEF ABC MNG ≅△△∵的边长为2，设的外接圆半径为r ，则MNG △MNG △sin MN 2r MGN ==∠∴的外接圆面积为r =MNG △4ππ32r =∴经过三个顶点的球的截面圆的面积为，A 正确； ,,A B C 43π八面体由三个全等的四棱锥和直棱柱组合ABCDEF ,,D ACGM E ABNM F BCGN ---ABC MNG -而成直棱柱的底面边长为2，高ABC MNG -AM =12262ABC MNG V -=⨯⨯=设，则为的中点 EN MN H = H MN ∵平面，平面 AM ⊥DEF EH ⊂DEF ∴AM EH ⊥又∵为等边三角形且为的中点，则EMN A H MN MN EH ⊥，平面 AM MN M = ,AM MN ⊂ABNM ∴平面EH ⊥ABNM即四棱锥的高为E ABNM -EH =1243E ABNM V -=⨯=∴八面体的体积为，C 正确；ABCDEF 318E ABNM ABC MNG V V V --=+=设的中心分别为，球的球心为，由题意可得其半径 ,ABC MNG △△12,O O O =2R 则可知三点共线，连接 12,,O O O 1,O B OD则可得：212112O D O O O O O O O O OD ===+==点，D 正确；D 2-如图2，以G 为坐标原点建立空间直角坐标系则有：((()(),,2,0,0,0,A B D E -∴((,DA BE =-=- 又∵ 5cos ,8DA BE DA BE DA BE⋅==-∴异面直线与所成的角的余弦值为，B 错误；AD BE 58故选：ACD.【点睛】1.对于多面体体积问题，要理解几何体的结构特征，并灵活运用割补方法； 2.对于球相关问题，主要根据两个基本性质：①球的任何截面都是圆面；②球心和截面圆心的连线与截面垂直.三、填空题13．若，则______．2213C P x xx -+=x =【答案】5【分析】将排列数、组合数按照公式展开，即可解出x 的值.【详解】因为，， ()22313C 3C 2x x x x x --==21P (1)x x x +=+所以，由可得，3(x -1)=2(x +1)2213C P x x x -+=解得，x =5.故答案为：5.14．各数位数字之和等于8(数字可以重复) 的四位数个数为_____． 【答案】120【分析】四个数位数字分别为，则，应用插空法求四位数个数. 1234,,,a a a a 12348a a a a +++=【详解】设对应个位到千位上的数字，则，且， 1234,,,a a a a *4N a ∈N(1,2,3)i a i ∈=1234a a a a +++8=相当于将3个表示0的球与8个表示1的球排成一排，即10个空用3个隔板将其分开，故共种.310C 120=故答案为：12015．已知分别为双曲线的左、右顶点，点为双曲线上任意一点，12,A A 2222:1(0)x y C a b a b -=>>P C 记直线，直线的斜率分别为，若，则双曲线的离心率为__________. 1PA 2PA 12,k k 122k k ⋅=C【分析】设，应用斜率两点式得到，根据为双曲线上一点即可得双曲线参()00,P x y 22202y x a=-P C 数关系，进而求其离心率【详解】依题意，设，则，，又()()12,0,,0A a A a -()00,P x y 0012002y y k k x a x a ⋅=⋅=+-22202y x a∴=-，，故，即()2222220220000222211b x a x y x y b a b a a -⎛⎫-=⇒=-= ⎪⎝⎭222b a ∴=22213b e a =+=e =16．在棱长为1的正方体中，M 是棱的中点，点P 在侧面内，若1111ABCD A B C D -1AA 11ABB A ，则的面积的最小值是________．1D P CM ⊥PBC △【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量、三角形的面积公式、二次函数进行求解.【详解】如图，以点D 为空间直角坐标系的原点，分别以DA ，DC ，所在直线为x ，y ，z 轴， 1DD 建立空间直角坐标系，则点，所以， ()1,,,[01]P y z y z ∈、，()10,0,1D ()11,,1D P y z =-因为，所以，()10,1,0,1,0,2C M ⎛⎫ ⎪⎝⎭11,1,2CM =-⎛⎫ ⎪⎝⎭ 因为，所以，所以，1D P CM ⊥ ()11102y z -+-=21z y =-因为，所以， ()1,1,0B ()0,1,21BP y y =--，=因为，所以当时， 01y ≤≤35y =min BP =因为正方体中，平面平面，故， BC ⊥11,ABB A BP ⊂11ABB A BC BP ⊥所以()min 1=12PBC S ⨯A四、解答题17．已知的顶点. ABC A ()()()2,64,2,2,0A B C -，(1)求边的中垂线所在直线的方程； BC (2)求的面积. ABC A 【答案】(1)； 340x y +-=(2)14.【分析】（1）求出直线的斜率，再由垂直关系得出直线边的中垂线的斜率，最后由点斜式BC BC 写出所求方程；（2）求出直线的方程，再求出点到直线的距离以及，最后由三角形面积公式计算即AB C AB AB 可.【详解】（1）直线的斜率为，直线边的中垂线的斜率为，BC 2014(2)3-=--BC 3-又的中点为，BC ()1,1边的中垂线所在直线的方程为：，即； BC ()131y x -=--340x y +-=（2）直线的方程为：，即， AB 626(2)24y x --=--2100x y +-=点到直线的距离 C AB d=故的面积为. ABC A 1142S AB d =⋅=18．已知展开式的二项式系数和为512，且()(2)n f x x =-.2012(2)(1)(1)(1)n n n x a a x a x a x -=+-+-+⋅⋅⋅+-(1)求的值； 123n a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+(2)求被除的余数. ()20f 17【答案】(1) 1(2) 1【分析】（1）根据题意，得到，求得，结合展开式，分别令和，求得2512n =9n =1x =2x =和，即可求解；01a =-012390a a a a a ++++⋅⋅⋅⋅⋅+=⋅（2）由，结合二项式的展开式，即可求解.999(20)(2021817)(1)f ==+=-【详解】（1）解：由展开式的二项式系数和为，可得，解得，(2)n x -5122512n =9n =则，9290129(2)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+-+-+⋅⋅⋅+-令，可得，1x =90(12)1a =-=-令，可得，2x =012399(22)0a a a a a ++++⋅⋅⋅⋅=-⋅+=⋅所以， 12390(1)1a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅=--+=⋅即.1231n a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅+=⋅（2）解：由题意，可得，999(20)(2021817)(1)f ==+=-又由，90918890081789999999(171)1717171717(1717)1C C C C C C C +=⋅+⋅++⋅+⋅=⋅⋅+⋅+++ 所以被除的余数为.()20f 17119．如图，在四棱锥中，已知四边形是梯形，P ABCD -ABCD ，是正三角形．,,22⊥===∥AB CD AD AB AB BC CD PBC △(1)求证：；BC PA ⊥(2)当四棱锥体积最大时，二面角的大小为，求的值. P ABCD -B PA C --θcos θ【答案】(1)证明见解析； (2). 15【分析】（1）取BC 的中点O ，连接AO ，可证明，由线面垂直的判定定理可证AO BC ⊥PO BC ⊥明平面PAO ，即得证；BC ⊥（2）分析可知当平面平面ABCD 时，四棱锥体积最大，建立空间直角坐标系，PBC ⊥P ABCD -由二面角的向量公式，计算即可.【详解】（1）证明：如图，取AB 的中点E ，连接CE ，A C ．∵，， 2AB CD =AB CD ∥∴CD 与AE 平行且相等， ∴四边形AECD 是平行四边形，又，∴四边形AECD 是矩形，∴． AD AB ⊥CE AB ⊥∴，∴是等边三角形． =AC BC AB =ABC A 取BC 的中点O ，连接AO ，则． AO BC ⊥连接PO ，∵，∴， PB PC =PO BC ⊥∵，平面PAO ，=PO AO O ⋂PO AO ⊂，∴平面PAO ，∵PA 平面PAO ，∴； BC ⊥⊂BC PA ⊥（2）由（1）知，是等边三角形，∴， ABC A CE =∴梯形ABCD 的面积为定值， S =故当平面平面ABCD 时，四棱锥体积最大． PBC ⊥P ABCD -∵，平面平面ABCD ，平面 PO BC ⊥PBC ⋂BC =PO ⊂PBC ∴平面ABCD ，平面ABCD ，∴.PO ⊥,OA OB ⊂,PO OA PO OB ⊥⊥∵OP ，OA ，OB 两两互相垂直，∴以O 为坐标原点，OA ，OB ，OP 分别为x 轴、y 轴和z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则． (0,1,0),(0,1,0),A B C P -∴，，=(0,1,PA PB -- =(0,1,CP --设平面PAB 的法向量为，则，取，则． ()111,,n x y z =1111=0==0PA n PB n y ⋅-⋅-⎧⎪⎨⎪⎩ 111x z ==n = 同理设平面PAC 的法向量为，则，取，则． (,,)m x y z ===0=0CP m y PA m ⋅--⋅-⎧⎪⎨⎪⎩ 1x z ===(1,m - 设平面PAB 与平面PAD 的夹角为，则，θ1cos =|cos<,>|=||=||||5m n m n m n ⋅θ即为所求二面角的余弦值.B PAC --20．如图，某海面上有､､三个小岛（面积大小忽略不计），岛在岛的北偏东方向O A B A O 45︒处，岛在岛的正东方向处.B O 20km(1)以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，为单位长度，建立平面直角坐标系，写出O O x 1km A 、的坐标，并求、两岛之间的距离；B A B (2)已知在经过、、三个点的圆形区域内有未知暗礁，现有一船在岛的南偏西方向距O A B O 30°O 岛处，正沿着北偏东行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 20km 60︒【答案】(1)，， ()40,40A ()20,0B (2)该船有触礁的危险【分析】（1）结合图像，易得的坐标，再利用两点距离公式即可得解；,A B （2）先由待定系数法求得过、、三点的圆的方程，再求得该船航线所在直线的方程，利用O A B 点线距离公式可知该船航线与圆的位置关系，据此可解.【详解】（1）∵在的东北方向处，在的正东方向处， AO B O 20km ∴，， ()40,40A ()20,0B 由两点间的距离公式得；=（2）设过、、三点的圆的方程为，O A B 220x y Dx Ey F ++++=将､､代入上式得，解得，()0,0O ()40,40A ()20,0B 222=040+40+40+40+=020+20+=0F D E F D F ⎧⎪⎨⎪⎩=20=60=0D E F --⎧⎪⎨⎪⎩所以圆的方程为，即，故圆心为，半径2220600x y x y +--=()()2210301000x y -+-=()10,30r =设船起初所在的位置为点，则，且该船航线所在直线的斜率为C (10,C --， ()tan 6030tan 30︒-︒=︒=由点斜式得该船航线所在直线的方程：，l 200x -=所以圆心到：的距离为l 200x -=d+由于， 2(5700+=+21000700=>+即， 5d =+<所以该船有触礁的危险.21．已知椭圆的右焦点，离心率为，且点在椭圆上．2222:1(0)x y C a b a b +=>>F 1231,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭C (1)求椭圆的标准方程；C (2)过的直线不与轴重合与椭圆相交于、两点，不在直线上且F (x )C A B P AB ，是坐标原点，求面积的最大值．()2OP OA OB λλ=+-O PAB △【答案】(1)22143x y +=(2) 32【分析】（1）依题意得到方程组，解得，，即可求出椭圆方程；2a 2b （2）设直线的方程为，，，，联立直线与椭圆方程，消AB 1x my =+()11,A x y ()22,B x y ()00,P x y 元、列出韦达定理，即可表示出，再表示出点到直线的距离，根据面积公式及基本不等AB P AB 式计算可得.【详解】（1）解：由题意，又，解得，， 221=2914+=1c a a b⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩222c a b =-24a =23b =的方程为；C ∴22143x y +=（2）解：设直线的方程为，，，，AB 1x my =+()11,A x y ()22,B x y ()00,P x y 则，消元整理得， 22=+1+=143x my x y ⎧⎪⎨⎪⎩()2234690m y my ++-=所以，，122634my y m +=-+122934y y m =-+，()2212+13+4m m -由， ()2OP OA OB λλ=+-得，()()()()001212,2,2x y x x y y λλλλ=+-+-()()()()()0121212212122x x x my my my my λλλλλλ∴=+-=++-+=+-+， ()0122yy y λλ=+-到直线的距离P ∴ABh22112(+1)=×23+4PAB m S m ∴A 设，而在时递增，t =13y t t=+1t ≥当，即时，的最大值为．∴=1t 1=0m =PAB S A 3222．如图，已知抛物线的焦点F ，且经过点，．()2:20C y px p =>()()2,0A p m m >5AF =(1)求p 和m 的值；(2)点M ，N 在C 上，且．过点A 作，D 为垂足，证明：存在定点Q ，使得AM AN ⊥AD MN ⊥DQ 为定值．【答案】(1)，； 2p =4m =(2)证明见解析.【分析】（1）由抛物线定义有求，由在抛物线上求m 即可. ||252pAF p =+=p A （2）令，，，联立抛物线得到一元二次方程，应用韦达定理，根据:MN x ky n =+11(,)M x y 22(,)N x y 及向量垂直的坐标表示列方程，求k 、n 数量关系，确定所过定点，再由AM AN ⊥MN B 易知在以为直径的圆上，即可证结论. AD MN ⊥D AB 【详解】（1）由抛物线定义知：，则， ||252pAF p =+=2p =又在抛物线上，则，可得. ()()4,0A m m >244m =⨯4m =（2）设，，由（1）知：，11(,)M x y 22(,)N x y (4,4)A 所以，，又，11(4,4)AM x y =-- 22(4,4)AN x y =--AM AN ⊥所以，121212121212(4)(4)(4)(4)4()4()320x x y y x x x x y y y y --+--=-++-++=令直线，联立，整理得，且，:MN x ky n =+2:4C y x =2440y ky n --=216160k n ∆=+>所以，，则，124y y k +=124y y n =-21212()242x x k y y n k n +=++=+，222121212()x x k y y kn y y n n =+++=综上，， 2216121632(48)(44)0n k n k n k n k ---+=--+-=当时，过定点；84n k =+:(4)8MN x k y =++()8,4B -当时，过定点，即共线，不合题意； 44n k =-:(4)4MN x k y =-+(4,4),,A M N 所以直线过定点，又，故在以为直径的圆上， MN ()8,4B -AD MN ⊥D AB而中点为，即为定值，得证.AB ()6,0Q 2AB DQ ==。
江西省高二上学期期中考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知命题：向量，所在的直线平行，命题：向量，平行，则是的（ ）p a b q a bp q A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件、必要条件的定义可解．【详解】因为向量，所在的直线平行时，可得向量，平行，则充分性成立，a b a b而向量，平行时，向量，所在的直线平行或重合，则必要性不成立， a b a b则命题是的充分不必要条件， p q 故选：A ．2．设圆，圆，则圆，的公切线有（ ）221:244C x y x y +-+=222:680C x y x y ++-=1C 2C A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条【答案】B【分析】先根据圆的方程求出圆心坐标和半径，再根据圆心距与半径的关系即可判断出两圆的位置关系，从而得解．【详解】由题意，得圆，圆心，圆，圆()()2212:312C x y -+=+()11,2C -()()2222:534C x y ++=-心，∴，∴与相交，有2条公切线． ()23,4C-125353C C -<=<+1C 2C 故选：B ．3．已知向量，，则向量在向量方向上的投影数量为（ ）(2,3,0)a =- (0,3,4)b = ab A ． BC ．D ．9595-【答案】D【分析】利用求得向量在向量方向上的投影.a b b⋅ a b【详解】依题意，向量在向量方向上的投影为， a b95a b b ⋅==- 故选：D.4．已知圆：，直线：，则当的值发生变化时，直线被圆所截的弦长的C 224x y +=L y kx m =+k C 最小值为，则的取值为（ ）2mA ．B ．C ．D ．2±3±【答案】C【分析】由直线过定点，结合圆的对称性以及勾股定理得出的取值.L (0,)M m m 【详解】直线：恒过点，由于直线被圆所截的弦长的最小值为，即当直线L y kx m =+(0,)M m C 2与直线垂直时（为原点），弦长取得最小值，于是，解得L OM O 2222122||12OM m ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭m =故选：C5．在正方体中，P 为的中点，则直线与所成的角为（ ） 1111ABCD A B C D -11B D PB 1AD A ．B ．C ．D ．π2π3π4π6【答案】D【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即1AD 1BC PB 1AD PB 1BC 可.【详解】如图，连接，因为∥， 11,,BC PC PB 1AD 1BC 所以或其补角为直线与所成的角，1PBC ∠PB 1AD 因为平面，所以，又，， 1BB ⊥1111D C B A 11BB PC ⊥111PC B D ⊥1111BB B D B ⋂=所以平面，所以，1PC ⊥1PBB 1PCPB ⊥设正方体棱长为2，则， 111112BC PC D B ===，所以. 1111sin 2PC PBC BC ∠==16PBC π∠=故选：D6．已知直线过双曲线的左焦点，且与交于，两点，当时，这样的直l 22:1169x y C -=C A B ||8AB =线有（ ）条． l A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【分析】对直线与轴是否垂直、与双曲线左右支的交点情况分类讨论，即可判断出结论． l x 【详解】由双曲线，可得左焦点，顶点，22:1169x y C -=(5,0)F -(4,0),(4,0)-若轴，则，不符合题意，舍去；l x ⊥992842AB =⨯=<若与轴不垂直，与的左支交于，两点，则，存在两条直线；l x C A B ||8AB =若与轴不垂直，与的左、右支各交于一个点，则只有，为顶点时满足，存在一条l x C A B ||8AB =直线．综上可得：满足条件的直线有3条， 故选：C ．7．已知F 是椭圆的左焦点，P 为椭圆C 上任意一点，点Q 坐标为，则22:143x y C +=(1,1)的最大值为（ ）||||PQ PF +A ．3B ．5C D ．13【答案】B【分析】由，结合图形即得.22PQ PF PQ a PF QF a ''+=+-≤+【详解】因为椭圆，22:143x y C +=所以，， 2,1a b c ===()1,0F -则椭圆的右焦点为，()1,0F '由椭圆的定义得：， 225PQ PF PQ a PF QF a ''+=+-≤+=当点P 在点处，取等号， P '所以的最大值为5， PQ PF +故选：B.8．人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质．从双曲线右焦点发出的光线通2F 过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点．已知双曲线的方程为1F ，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），的余弦值大221x y -=2F P PE P 12F F P ∠小为（ ）A ．BCD 12【答案】D【分析】设，，利用双曲线的定义、勾股定理可得方程，解得，，进而得出1||PF m =2||PF n =m n 结论．【详解】，， 12||F F =1||PF m =2||PF n =则，， 2m n -=(222m n +=解得，，1m =+1n =-12cos F F P ∴∠==故选：D ．二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．若空间中的，，，满足，则，，三点共线O A B C 1233OC OA OB =+A B C B ．空间中三个向量，，，若，则，，共面a b c //a ba b c C ．对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，O A B C 220222023OP OA OB OC =+-P A ，四点共面B C D ．设是空间的一组基底，若，，则不能为空间的一组基底{,,}a b c a m b =+ n a b =-{,,}m n c 【答案】ABC【分析】根据向量的线性运算可判断A ，根据向量的共面定理可判断B 、C 、D ．【详解】对于A ，根据向量的线性运算，若空间中的，，，满足，则O A B C 1233OC OA OB =+，即，则，，三点共线，故A 正确； )12((3)3OC OA OB OC -=-2AC CB = A B C 对于B ，因为，则共线，则根据共面向量的定义可得，，，共面，故B 正确；//a b,a b a b c 对于C ，对空间任意一点和不共线的三点，，，若，又O A B C 220222023OP OA OB OC =+-，则，，，四点共面，故C 正确；2202220231+-=P A B C 对于D ，若，，共面，则，则共面，与a b +a b - c ()()()()c x a b y a b x y a x y b =++-=++- ,,a b c 是空间的一组基底矛盾，所以，，不共面，所以能为空间的一组基{,,}a b c a b +a b - c {,,}m n c 底，故D 错误， 故选：ABC ．10．（多选）已知方程表示曲线，则（ ）22141x y t t +=--C A ．当时，曲线一定是椭圆 14t <<C B ．当或时，曲线一定是双曲线 4t >1t <C C ．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则 C x 312t <<D ．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则 C y 4t >【答案】BD【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的标准方程，一一判断即可. 【详解】对于A ，当时，曲线是圆，故A 错误； 52t =C 对于B ，当时，曲线是焦点在轴上的双曲线， 4t >C y 当时，曲线是焦点在轴上的双曲线，故B 正确；1t <C x 对于C ，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，故C 错误；C x 401041t t t t ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩512t <<对于D ，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，故D 正确．C y 4010t t -<⎧⎨->⎩4t >故选BD ．11．设抛物线：的焦点为，准线为，点为上一动点，为定点，则下列结C 28y x =F l M C ()3,1E 论正确的是（ ）A ．准线的方程是B ．的最大值为2l 2x =-ME MF -C ．的最小值为5 D ．以线段为直径的圆与轴相切ME MF +MF y 【答案】ACD【分析】根据抛物线方程，直接求准线方程，判断A ；根据三角形三边关系，判ME MF EF -≤断B ；根据抛物线的定义，转化为点到焦点的距离，利用数形结合判断C ；根据直线与圆MF M 相切的定义，判断D.【详解】由题意得，则焦点，准线的方程是，A 正确； 4p =()2,0F l 22px =-=-在线段的延长线上时等号成立，所以ME MF EF -≤==M EF的最大值为B 错误；ME MF -如图所示，过点，分别作准线的垂线，垂足分别为，，则M E l A B ，当点在线段上时等号成立，所以的最小值为5ME MF ME MA EB +=+≥=M EB ME MF +5，C 正确；设点，线段的中点为，则，所以以线段为直径的圆与轴相()00,M x y MF D 0222D MFx x +==MF y 切，D 正确，故选：ACD.12的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆，2222:1(0)x y C a b a b +=>>，，，为顶点，，为焦点，为椭圆上异于，的一点，满足下列条件能使椭圆1A 2A 1B 2B 1F 2F P 1A 2A 为“黄金椭圆”的有（ ）CA ．12PA PA k k ⋅=B ．11290F B A ∠=︒C ．轴，且1PF x ⊥21//PO A B D ．四边形的内切圆过焦点， 1221A B A B 1F 2F 【答案】ABD【分析】设，计算点在椭圆上，，两(,)P x y 12222PA PA y k k x a ⋅==-P ()22222b a x y a-=者联立求出离心率可判断A ；由勾股定理以及离心率公式可判断B ；根据结合斜率公式21PO A B k k =可判断C ；由四边形的内切圆的半径为可得D ．1221A B A B c ab =【详解】，2222:1(0)x yC a b a b+=>>，，，，，， 1(,0)A a ∴-2(,0)A a 1(0,)B b 2(0,)B b -1(,0)F c -2(,0)F c对于A ：设，则，，所以， (,)P x y 1PA y k x a =+2PA y k x a =-12222PA PA y k k x a ⋅==-(*)又因为为椭圆上一点，故，所以，P 22221x y a b +=()22222b a x y a-=代入中整理可得，，故A 正确； (*)22b a =2222a b e a -==e =对于B ：，，11290F B A ∠=︒∴222211112||||||A F B F B A =+所以，整理得，即， 2222()a c a a b +=++220c ac a +-=210e e +-=解得（舍去）或B 正确； e =e =对于C ：轴，且，，，即，解得， 1PF x ⊥21//PO A B ∴2(,b Pc a -∴21PO A B k k =2b b ac a=--b c =又，所以，不满足题意，故C 错误； 222a b c =+c e a ==对于D ：四边形的内切圆过焦点，，即四边形的内切圆的半径为，则到1221A B A B 1F 2F 1221A B A B c O 的距离为，12B A c在直角中，，，12B OA △12||B A ∴ab =422430c a c a ∴-+=，解得，故D 正确． 42310e e ∴-+=2e =2e =∴e =故选：ABD ．三、填空题13．已知，，，则的坐标为______．()1,2,3A ()4,5,9B 13AC AB = AC【答案】(1,1,2)【分析】由向量的坐标表示可得，再根据向量坐标的线性运算求的坐标.(3,3,6)AB = AC【详解】由题设，，()()14,5,9,2,3(3,3,6)AB =-=所以.1(1,1,2)3AC AB ==故答案为：(1,1,2)14C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则=________．AB 【答案】163【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y 并整理得到关于x 的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.【详解】∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F 坐标为， 24y x =(1,0)F又∵直线AB 过焦点F ∴直线AB 的方程为： 1)y x -代入抛物线方程消去y 并化简得， 231030x x -+=解法一：解得121,33x x ==所以12116||||3|33AB x x =-=-=解法二： 10036640∆=-=>设，则, 1122(,),(,)A x y B x y 12103x x +=过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示.,A B =1x -,C D12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：163【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.15．已知椭圆的焦点为，．过且倾斜角为的直线交椭2222:1(0)x y C a b a b +=>>1(2,0)F -2(2,0)F 1F 60︒圆的上半部分于点，以，为坐标原点）为邻边作平行四边形，点恰好也在椭A 1F A 1(F O O 1OF AB B 圆上，则离心率______． e =##1-1-【分析】根据四边形为平行四边形且可得，将其代入椭圆方程即可求1OF AB 160OF A ∠=︒(A -解，的值，进而可得离心率．a b 【详解】由椭圆的焦点为，可知，，2222:1(0)x y C a b a b+=>>1(2,0)F -2(2,0)F 2c =设，，因为四边形为平行四边形，所以，11(,)A x y 22(,)B x y 1OF AB 12y y =又因为，所以，2222112222221,1x y x y a b a b+=+=21x x =-因为，且直线的倾斜角为，所以， 1//F A OB 1F A 60︒12122y yx x ==+所以12121,1,x x y y =-===所以，将其代入，得，(A -22221x y a b+=22131a b +=又因为，所以 2224a b c -==224=+=a b所以，所以，1a =1ce a =．116．在如图的天平中，左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上．在其中一个秤盘中放入重量为的物品，在另一个秤盘中放入重量的砝码，天平平衡．根细绳通过秤盘分担对物60N 60N 3品的拉力（拉力分别为，，，若3根细绳两两之间的夹角均为，不考虑秤盘和细绳本1F 2F 3F )π3身的质量，则的大小为 ______．1FN【答案】【分析】根据题意可得且，平方后利用数量积公式展开即可得解． 123F F F == 12360F F F ++=【详解】依题意，且，123F F F == 12360F F F ++= 所以， 222123122331||||2223600F F F F F F F F F +++⋅+⋅+⋅=即，解得．221113|32|36002F F +⨯⨯= 1F =故答案为：．四、解答题17．已知空间三点，，，设，．(2,0,2)A -(1,1,2)B -(3,0,4)C -a AB = b AC = (1)若，，求；6c = //c BCc (2)求，夹角的余弦值．a b【答案】(1)或；(4,2,4)c =-- (4,2,4)c =-(2)【分析】（1）根据已知条件，结合向量平行的性质，以及向量模公式，即可求解；（2）根据已知条件，结合空间向量的夹角公式，即可求解．【详解】（1），，则，(1,1,2)B -(3,0,4)C -(2,1,2)BC =-- ，可设，， //c BC∴(2,1,2)c λ=-- 0λ≠，，解得， 6c =6=2λ=±或；∴(4,2,4)c =-- (4,2,4)c =- （2），，，(2,0,2)A - (1,1,2)B -(3,0,4)C -，，∴(1,1,0)a AB == (1,0,2)b AC ==-∴cos ,a b a b a b⋅=== 18．已知双曲线的离心率为，点的坐标是，为坐标原点．22:15x y E m -=e A (0,2)O (1)若双曲线的离心率，求实数的取值范围；E e ∈m (2)当的直线与双曲线的左支交于，两个不同的点，求该直线斜率的取值范e =A P Q 围．【答案】(1)[5,10](2) ⎛ ⎝【分析】（1）由离心率公式得出，进而解得实数的取值范围； 35122m≤+≤m （2）先得出双曲线的方程，再联立直线和双曲线方程，利用根与系数的关系结合题意可得斜率的取值范围．【详解】（1）由双曲线方程可知，0m >a =b=c =c e a ==因为，所以，解得， e ∈35122m ≤+≤510m ≤≤即实数的取值范围是；m [5,10]（2）由（1，所以双曲线方程为， =5m =22155x y -=设，，过点的直线方程为，11(,)P x y 22(,)Q x y A 2y kx =+由，消去整理得， 2225y kx x y =+⎧⎨-=⎩y ()221490k x kx ---=，， 12241k x x k +=-12219x x k -=-由，，，解得 2401k k <-2901k ->-()22163610k k ∆=+->1k <<所以该直线斜率的取值范围是．⎛ ⎝19．如图，在三棱柱中，平面，，，，点111ABC A B C -1CC ⊥ABC AC BC ⊥2AC BC ==13CC =D 、分别在棱和棱上，且，，为棱的中点.E 1AA 1CC 1AD =2CE =M 11A B（1）求证：；11C M B D ⊥（2）求二面角的正弦值.1B B E D --【答案】（1）证明见解析；（2【分析】（1）证明出平面，即可证得；1C M ⊥11AA B B 11C M B D ⊥（2）计算出的边上的高，并求出点到平面的距离，由此可得出二面角1A B DE DE h D 11BCC B d 的正弦值为. 1B B E D --d h【详解】（1）在三棱柱中，平面，则平面，111ABC A B C -1CC ⊥ABC 1BB ⊥111A B C 平面，则，1C M ⊂ 111A B C 11C M BB ⊥，则，为的中点，则，AC BC = 1111A C B C =M 11A B 111C M A B ⊥，平面，1111BB A B B = 1C M ∴⊥11AA B B平面，因此，；1B D ⊂ 11AA B B 11C M B D ⊥（2），，，所以，112B C = 11C E =111B C C E⊥1B E ==同理可得1B D ==取的中点，连接，则，1A D F EF 111A F C E ==因为且，故四边形为矩形，则，11//AF C E 111A C C E ⊥11A CEF 112EF A C ==所以，DE ==由余弦定理可得，则22211111cos 25B E DE B D B ED B E DE +-∠==-⋅1sin B ED ∠=所以，的边上的高 1A B DE DE 1sin h DE B ED =∠=平面，平面，则，1CC ⊥ ABC AC ⊂ABC 1AC CC ⊥，，平面，AC BC ⊥Q 1BC CC C ⋂=AC ∴⊥11BB C C 因为，平面，平面，故平面，11//AA CC 1AA ⊄11BB C C 1CC ⊂11BB C C 1//AA 11BB C C ，故点到平面的距离，1D AA ∈ D 11BB C C 2d AC ==设二面角为，则1B B E D --θsin 2d h θ===20．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点22122:1(0)x y C a b a b+=>>F 2C 1C 2C 重合，过且与轴垂直的直线交于，两点，交于，两点，且． F x 1C A B 2C C D 4||||3CD AB =(1)求的离心率；1C (2)设是与的公共点．若，求与的标准方程．M 1C 2C ||5MF =1C 2C 【答案】(1)； 12(2)，． 2213627x y +=212y x =【分析】（1）由为的焦点且轴，为的焦点且轴，分别求得的坐标和F 1C AB x ⊥F 2C CD x ⊥F ，，由已知条件可得，，，的方程，消去，结合，，和的关系，解方程||AB ||CD p c a b p a b c e 可得的值；e （2）由（1）用表示椭圆方程和抛物线方程，联立两曲线方程，解得的横坐标，再由抛物线的c M 定义，解方程可得，进而得到所求曲线方程．c 【详解】（1）因为为的焦点且轴，可得，， F 1C AB x ⊥(c,0)F 22||b AB a=设的标准方程为，2C 22(0)y px p =>因为为的焦点且轴，所以，， F 2C CD x ⊥(,0)2p F ||2CD p =因为，，的焦点重合，所以， 4||||3CD AB =1C 2C 224223p c b p a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩消去，可得，所以，所以， p 2843b c a=232ac b =22322ac a c =-设的离心率为，由，则， 1C e c e a =22320e e +-=解得舍去），故的离心率为； 1(22e =-1C 12（2）由（1）可得，，，2a c =b =2p c =所以，， 22122:143x y C c c+=22:4C y cx =联立两曲线方程，消去，可得，y 22316120x cx c +-=所以，解得或（舍去）， (32)(6)0x c x c -+=23x c =6x c =-从而，解得， 25||5233p MF x c c c =+=+==3c =所以和的标准方程分别为，． 1C 2C 2213627x y +=212y x =21．已知双曲线的左、右焦点分别为，，，虚轴长为4．22221(0,0)x y a b a b -=>>1F 2F e =(1)求双曲线的标准方程；(2)直线与双曲线交于，两点且，求△的面积． :(02)l y kx k =<<A B 2π3AF B ∠=2AF B 【答案】(1)2214y x -= 【分析】（1）根据双曲线的几何性质，方程思想即可求解；（2）连接，，则由双曲线与直线的对称性易知：四边形为平行四边形，从而得△1AF 1BF l 12AF BF 的面积等于△的面积，再推到出“焦点三角形“的面积公式，从而根据公式即可求解．2AF B 12F AF 【详解】（1）双曲线的离心率，虚轴长为4，e =，解得，，，∴22224c a b a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩1a =2b =c =双曲线的标准方程为； ∴2214y x -=（2）如图，连接，，1AF 1BF则由双曲线与直线的对称性易知：四边形为平行四边形，l 12AF BF 又，， 2π3AF B ∠=122π3F AF ∴∠=根据平行四边形的性质可知：△的面积等于△的面积，2AF B 12F AF设，，， 1AF m =2AF n =1223F AF πθ∠==则根据双曲线的几何性质及余弦定理可得：，两式结合化简可得， 222224m n a m n mncos c θ⎧-=⎨+-=⎩221cos b mn θ=-△的面积， ∴12F AF 221sin sin 21cos tan 2b S mn b θθθθ==⋅=-由（1）知，又， 24b =π23θ=△的面积∴12FAF 4tan 3S π==△ ∴2AF B 22．动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数．M (1,0)A M 4x =12(1)求动点的轨迹的方程；M G (2)经过定点的直线交曲线于，两点，设，直线，的斜率分别为，(2,1)M -l G A B (2,0)P PA PB 1k ，求证：恒为定值． 2k 12k k +【答案】(1) 22143xy +=(2)证明见解析【分析】（1）设点，化简，可得轨迹的轨迹方(,)M x y 142x =-G 程；（2）由题意可得直线的斜率存在，设直线的方程为：，，，，l l (2)1y k x =--1(A x 1)y 2(B x 2)y ．直线的方程与曲线的方程联立，消去，可得根与系数的关系，由斜率公式l C y ，化简计算可得常数，即可得证． 12121222y y k kx x +=+--【详解】（1）设点， (,)M x y 142x =-则，即，所以， ()()222414x y x ⎡⎤-+=-⎣⎦223412x y +=22143x y +=所以动点的轨迹的方程为． M G 22143x y +=（2）由题意可得直线的斜率存在，l 设直线的方程为：，，．l (2)1y k x =--11(,)A x y 22(,)B x y联立，消去得：， ()22213412y k x x y ⎧=--⎨+=⎩x ()()22346211230k y k y k +++++=所以，， ()12262134k y y k ++=-+12212334k y y k +=+从而()()()22212121212122121212122221236212123434312312622111413434k k k k ky y k y y y y ky ky k k k k k k k x x y y y y y y k k k ++-+++++=+=+====++--+++++-+++，即恒为定值． 12k k +。
2024-2025学年江西省抚州市临川一中高二(上)第一次质检数学试卷+答案解析
2024-2025学年江西省抚州市临川一中高二（上）第一次质检数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，则()A.10iB.2iC.10D.2.设函数，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()A. B.C.D.3.函数的区间的图像大致为()A. B.C. D.4.已知，则()A. B.C.D.5.设向量，则()A.“”是“”的必要条件B.“”是“”的必要条件C.“”是“”的充分条件 D.“”是“”的充分条件6.已知、是两个平面，m 、n 是两条直线，下列四个命题：①若，则或②若，则，③若，且，则④若n与和所成的角相等，则其中，所有真命题的编号是()A.①③B.②③C.①②③D.①③④7.在中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若，，则()A. B. C. D.8.已知b是a，c的等差中项，直线与圆交于A，B两点，则的最小值为()A.2B.3C.4D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知复数z，，，下列结论正确的有()A.若复数z满足，则B.若，z满足，则C.若，则D.若复数z满足，则z在复平面内所对应点的轨迹是椭圆10.下列说法正确的是()A.被8除所得余数是6B.C.D.11.如图，直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，，点P是经过点的半圆弧上的动点不包括端点，点Q是经过点D的半圆弧上的动点不包括端点，则下列说法正确的是()A.四面体PBCQ的体积的最大值为B.的取值范围是C.若二面角的平面角为，则D.若三棱锥的外接球表面积为S，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为和，母线长分别为和，则两个圆台的体积之比______.13.已知，，则______.14.有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记m 表示前两个球号码的平均数，记n表示前三个球号码的平均数，则m与n差的绝对值不超过的概率是______.四、解答题：本题共5小题，共77分。
江西省抚州市临川第一中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题
江西省抚州市临川第一中学2023-2024学年高二上学期期中
数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
二、多选题
Aω==
A．2
B．函数y f=
C．函数y f=
D．将函数y= 11．近日，“英雄航天员
A．椭圆轨道Ⅱ的焦距为
B．椭圆轨道Ⅱ的短轴长为
C．若r不变，则椭圆轨道Ⅱ的离心率随
D．若R不变，则椭圆轨道Ⅱ的离心率随三、填空题
(1)求证：//EF 平面PAB ；(2)求二面角A PD C --的正弦值．
21．已知12,F F 分别是双曲线直线3(1)y x =-与C 只有一个公共点(1)求C 的方程；
(2)直线l 与C 交于M ，N 两点（的圆经过点A ，求证：直线l 22．椭圆(22
22:1x y G a b a b
+=>且满120F M F M ⋅=
．
（1）求离心率e 的取值范围；
（2）当离心率e 取得最小值时，点①求此时椭圆G 的方程；。
江西省临川一中暨临川一中实验学校2020-2021学年高二上学期期中考试数学(理)试题
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
> b > 0)
的左右焦点分别为 F1, F2
， P 为椭圆上不与左右顶点重合的任意一
点， I 是 DPF1F2 的内心，当 | yp |= 4 | yI | 时（其中 yp , yI 分别为点 P 与内心 I 的纵坐标），椭圆的离心率
为（ ）
19、已知{an} 为等差数列，{bn} 为单调递增的等比数列， a1 = b1 = 1 ， a2 + a4 = 6 ， a3b3 = 12 . （1）求{an} 与{bn}的通项公式； （2）求数列{an + bn} 的前 n 项和 Sn .
临川一中暨临川一中实验学校 2020－2021 学年上学期期中考试
高二理科数学试卷
命题人：
审题人：
满分：150 分 考试时间：120 分钟
一、选择题：每小题 5 分，共 12 小题，共 60 分，每小题只有一个选项是正确的.
1、 命题“ "x Î R, x2 - x + 2 ³ 0 ”的否定是（ ）
A."x Î R, x2 - x + 2 < 0
B.$x0 Î R, x02 - x0 + 2 < 0
C.$x0 Î R, x02 - x0 + 2 ³ 0
D.$x0 Î R, x02 - x0 + 2 £ 0
2、完成下列两项调查：①从某社区 125 户高收入家庭、280 户中等收入家庭、95 户低收入家庭中选出 100
uuur uuur uuur
uuur
的中点，用向量 OA, OB, OC 作为空间的一组基底表示向量 OG 应为（ ）
江西省抚州市临川一中2019-2020学年高二上学期期中数学试卷2 (有解析)
江西省抚州市临川一中2019-2020学年高二上学期期中数学试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设x ∈R ，则“1<x <3”是“x 2+x −2>0”的( )A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 2. 已知向量a ⃗ =(3,−1,2)，b ⃗ =(x,y ，−4)，且a ⃗ //b⃗ ，则x +y =( ) A. 8B. 4C. −4D. −83. 直线kx −y −k +1=0与椭圆x 24+y 22=1的公共点个数是A. 0B. 1C. 2D. 以上均不正确4. 在下列条件中，点M 与A ，B ，C 三点一定共面的条件是( )A. OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗B. OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =15OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =O ⃗⃗ D. OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =O⃗⃗ 5. 已知双曲线x 2m−y 2n=1(mn ≠0)的离心率为2，有一个焦点恰好是抛物线y 2=4x 的焦点，则此双曲线的渐近线方程是( )A. √3x ±y =0B. x ±√3y =0C. 3x ±y =0D. x ±3y =0 6. 已知向量a ⃗ =(2,1)，a ⃗ +b ⃗ =(1,k)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则实数k =( )A. 12B. −2C. −7D. 37. 下列命题中，真命题的个数是( )①若“p ∨q ”为真命题，则“p ∧q ”为真命题；②“∀a ∈(0,+∞)，函数y =a x 在定义域内单调递增”的否定； ③l 为直线，α，β为两个不同的平面，若l ⊥β，α⊥β，则l//α；④“∀x ∈R ，x 2≥0”的否定为“∃x 0∉R ，x 02<0”． A. 1 B. 2 C. 3 D. 48. 方程ax 2+2x +1=0至少有一个负实根的充要条件是( )A. 0<a ≤1B. a <1C. a ≤1D. 0<a ≤1或a <09. 设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为棱DD 1的中点，M 为直线BD 1上一点，N 为平面AEC 内一点，则M ，N 两点间距离的最小值为 ( )A. √63B. √66C. √34D. √3610. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦点为F 1，F 2，点P 满足|PF 1|+|PF 2|>2a ，则( )A. 点P 在椭圆C 外B. 点P 在椭圆C 内C. 点P 在椭圆C 上D. 点P 与椭圆C 的位置关系不能确定11. 已知点M 是双曲线x 23−y 22=1上一点，F 1，F 2分别是双曲线的左，右焦点，若|MF 1| =2|MF 2|，则△MF 1F 2的面积是( )A. 4√3B. 2√11C. 3√6D. 6√5512. 把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A 、B 、C 、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为( )A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知a ⃗ =(−1,1)，b ⃗ =(2,−1)，c ⃗ =(1,2)，若a ⃗ =λb ⃗ +μc ⃗ ，则λμ=______．14. 在△ABC 中，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , E 为BC 边的中点，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，若DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x a ⃗ +y b ⃗ ，则x +y =______．15. 命题p ：∀x ∈R ，cos 2x +sinx ≥2m 2−m −7；命题q ：mx 2+2x −1>o 的解集非空．若“p且q ”是假命题， ┐p 也是假命题，则实数m 的取值范围：______ ．16. 已知抛物线的方程为x 2=4y ，斜率为√3的直线经过抛物线的焦点F 且与抛物线交于A 、B 两点，则AB 的长度为_________．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知命题p ：∃x ∈R ，使2x 2+(k −1)x +12<0；命题q ：方程x 29−k−y 2k−1=1表示双曲线．若p ∧q 为真命题，求实数k 的取值范围．18. 如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面A 1B 1C 1，AC ⊥AB ，AC =2，AB =4，AA 1=6，点E ，F 分别为CA 1与AB 的中点． (1)证明：EF//平面BCC 1B 1；(2)求B 1F 与平面AEF 所成角的正弦值．19.设命题p：函数f(x)=x2−ax在[0,+∞)单调递增；命题q：方程x2+ay2=2表示焦点在y轴上的椭圆．命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．20.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的离心率为，抛物线E：的焦点是椭圆C的一个顶点．(1)求椭圆C的方程；(2)若过点Q(1,0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，问是否在x轴上存在一点T，使得∠ATQ=∠BTQ.若存在，求出点T的坐标，若不存在，说明理由．21.如图，四边形ABCD是菱形，EA⊥平面ABCD，EF//AC，CF//平面BDE，G是AB的中点．(1)求证：EG//平面BCF；(2)若AE=AB，∠BAD=60°，求二面角A−BE−D的余弦值．22. 在平面直角坐标系中，动点A(x,y)到F 1(−1,0)与F 2(1,0)的距离之和为4．(1)求动点A 的轨迹方程M ；(2)若斜率为12的直线l 与轨迹M 交于C ，D 两点，P(1,32)为轨迹M 上不同与C ，D 的一点，记直线PC 的斜率为k 1，直线PD 的斜率为k 2，试问k 1+k 2是否为定值，若是，求出该值，若不是，说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查充分必要条件，属于基本题型．先求出x2+x−2>0的解集{x|x>1或x<−2}，再根据小范围能推大范围，即求得答案．【解答】解：x2+x−2>0⇔x>1或x<−2．由于{x|1<x<3}是{x|x>1或x<−2}的真子集，所以“|x−2|<1”是“x2+x−2>0”的充分条件．2.答案：C解析：【分析】本题考查空间向量共线和坐标，是基础题，根据向量平行坐标对应成比例即可求解．【解答】解：∵向量a⃗=(3,−1,2)，b⃗ =(x,y，−4)，且a⃗//b⃗ ，∴x3=y−1=−42，解得x=−6，y=2，x+y=−6+2=−4．故选C．3.答案：C解析：【分析】本题主要考查直线与椭圆的位置关系.根据直线方程确定直线过定点(1,1)，而点在椭圆内，所以直线与椭圆相交，有两个交点．【解答】解：直线kx−y−k+1=0即为y−1=k(x−1)，过定点(1,1)，又因为124+122<1，所以点(1,1)在椭圆内，所以直线kx−y−k+1=0与椭圆x24+y22=1的公共点个数是2．故选C．4.答案：C解析： 【分析】利用空间向量基本定理，进行验证，对于C ，可得MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为共面向量，从而可得M 、A 、B 、C 四点共面本题考查空间向量基本定理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 【解答】解：C 中，由MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，得MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为共面向量，即M 、A 、B 、C 四点共面．对于A ，MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −3OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠0⃗ ，∴M 、A 、B 、C 四点不共面对于B ，∵15+13+12≠1，∴M 、A 、B 、C 四点不共面对于D ，∵OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，系数和不为1，∴M 、A 、B 、C 四点不共面 故选C ．5.答案：A解析： 【分析】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生对双曲线标准方程中a ，b 和c 的关系的熟练运用． 先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而求得n 和m 的关系式，进而根据双曲线的离心率求得m ，进而求得n ，最后根据√nm 的值求得双曲线的渐近线的方程．【解答】解：抛物线y 2=4x 的焦点为(1,0)． ∴m +n =1．又双曲线的离心率为2， ∴√m=2．∴m =14，n =34． ∴双曲线的方程为4x 2−4y 23=1．∴其渐近线方程为√3x ±y =0． 故选A ．6.答案：D解析：解：∵a ⃗ =(2,1)，a ⃗ +b ⃗ =(1,k)， ∴b ⃗ =(−1,k −1)，又a ⃗ ⊥b ⃗ ，∴2×(−1)+(k −1)=0 ∴k =3故选：D ．先求出向量b ，再用数量积等于0求出k 的值．本题考查平面向量数量积的运算，向量的垂直等知识，是基础题．7.答案：A解析： 【分析】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及复合命题的真假，指数函数的单调性，全称命题的否定，直线与平面的位置关系的应用，属于基础题．利用复合命题的真假判断①的正误；利用指数函数的单调性判断②的正误；由直线与平面的位置关系判断③的正误；由全称命题的否定判断④的正误． 【解答】解：①若“p ∨q ”为真命题，可知两个命题至少一个是真命题，不能判断“p ∧q ”为真命题，所以①不正确；②“∀a ∈(0,+∞)，函数y =a x 在定义域内单调递增”的否定：“∃a ∈(0,+∞)，函数y =a x 在定义域内单调递减”；例如a =12，y =(12)x 在定义域内单调递减，所以②正确；③l 为直线，α，β为两个不同的平面，若l ⊥β，α⊥β，则l//α，也可能l ⊂α，所以③不正确；④“∀x ∈R ，x 2≥0”的否定为“∃x 0∉R ，x 02<0”，不满足全称命题的否定形式，正确的应为：“∀x ∈R ，x 2≥0”的否定为“∃x 0∈R ，x 02<0”，所以④不正确．只有②是真命题， 故选：A ．8.答案：C解析： 【分析】本题主要考查一元二次方程根的分布问题，属于中档题．在二次项系数不确定的情况下，注意一定要分二次项系数分为0和不为0两种情况讨论．首先，对二次项系数分为0和不为0两种情况讨论，然后在二次项系数不为0时，分两根一正一负和两根均为负值两种情况，最后将两种情况综合在一起找到a 所满足的条件a ≤1，再利用上述过程可逆，就可以下结论充要条件是a ≤1． 【解答】解：①a ≠0时，由题意可得，方程ax 2+2x +1=0的判别式Δ=4−4a ≥0，即a ≤1． 显然方程ax 2+2x +1=0没有等于零的根．若方程有两异号实根，则由两根之积1a <0，求得a <0；若方程有两个负的实根，则必有{x 1+x 2=−2a <0−1a<0Δ=4−4a ≥0，故0<a ≤1； ②若a =0时，可得x =−12，符合题意． 综上，若方程至少有一个负实根，则a ≤1． 反之，若a ≤1，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x 的方程ax 2+2x +1=0至少有一负的实根的充要条件是a ≤1． 故选C ．9.答案：B解析： 【分析】本题考查空间点到面的距离，属于中档题．由题意得M,N 两点间距离的最小值等于直线BD 1到平面AEC 的距离，进而即可得结果． 【解答】解：连接AC ，交BD 于点O ，则OE //BD 1，从而BD 1 //平面AEC ，所以M,N 两点间距离的最小值等于直线BD 1到平面AEC 的距离， 而B 到平面AEC 的距离等于D 到平面AEC 的距离，，所以平面BDD 1，又AC ⊂面EAC ，∴面EAC⊥面BDD1，又面EAC∩面BDD1=OE，过D作于点H，则有面AEC，即D到平面AEC的长度即为DH，DE=12, DO=√22, OE=√32,DH=DE⋅DOEO =√66．故选B．10.答案：A解析：解：由题意可知，若M在椭圆上，可得|MF1|+|MF2|=2a，由点P满足|PF1|+|PF2|>2a，即有|PF1|+|PF2|>|MF1|+|MF2|，得出点P在椭圆外部，故选：A．先根据椭圆的定义得到|MF1|+|MF2|=2a，得出点P在椭圆外部，可确定答案．本题主要考查椭圆的定义、椭圆的简单性质，解答的关键是在区域的边界上利用椭圆的定义，即椭圆上点到两焦点的距离的和等于2a.定义法是解决此类的常用方法．11.答案：B解析：【分析】本题主要考查了双曲线的性质及几何意义，属于中档题．【解答】解：由双曲线x23−y22=1知a=√3，因为|MF1|=2|MF2|，且|MF1|−|MF2|=2a=2√3，所以|MF1|=4√3，|MF2|=2√3，又|F1F2|=2√5，所以在△MF1F2中，cos∠F1MF2=|MF1|2+|MF2|2−|F1F2|22|M F1||MF2|=56，故sin∠F1MF2=√116，所以S△MF1F2=12|MF1||MF2|sin∠F2MF2=2√11，故选B ．12.答案：C解析： 【分析】本题主要考查线面角的求法，考查空间中直线与平面之间的位置关系，属于中档题．欲使得三棱锥体积最大，因为三棱锥底面积一定，只需三棱锥的高最大即可，即当平面BAC ⊥平面DAC 时，三棱锥体积最大，计算即可得出答案． 解析： 解：如图，当平面BAC ⊥平面DAC 时，三棱锥体积最大， 取AC 的中点E ，则BE ⊥平面DAC ， 故直线BD 和平面ABC 所成的角为∠DBE ， cos∠DBE =BE BD=√22， ∴∠DBE =45°． 故选：C ．13.答案：−3解析：解：a ⃗ =(−1,1)，b ⃗ =(2,−1)，c ⃗ =(1,2)，若a ⃗ =λb ⃗ +μc ⃗ ， 可得−1=2λ+μ，1=2μ−λ，解得λ=−35，μ=15， 则λμ=−3515=−3．故答案为：−3．通过向量的坐标运算，转化求出λ、μ，即可得到结果．本题考查向量的基本运算，平面向量基本定理的应用，考查计算能力．14.答案：34解析：解：如图，根据已知条件得：DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =14a ⃗ +12b ⃗ 则x +y =34，故答案为：34根据已知条件画出图形，根据图形及共线向量基本定理得：DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =14a ⃗ +12b ⃗ ．考查共线向量的基本定理，以及向量的加法运算，减法运算等线性运算，属于基础题．15.答案：−32≤m ≤−1解析：解： ┐p 是假命题，则p 是真命题，而“p 且q ”是假命题，则q 为假命题， 令f(x)=cos 2x +sinx =1−sin 2x +sinx ，∵x ∈R ，sinx ∈[−1,1]，当x =−1时取得最小值−1， 则2m 2−m −7≤−1，解得−32≤m ≤2，由q 为假命题得mx 2+2x −1>0的解集为空集，则{m <0△=4+4m ≤0，即m ≤−1综上，−32≤m ≤−1． 故答案为：−32≤m ≤−1本题考查复合命题的真假判定，由 ┐p 是假命题得p 是真命题，而“p 且q ”是假命题，则q 为假命题，然后分别求解p 为真命题：cos 2x +sinx =1−sin2x +sinx 最小值是−1，2m 2−m −7≤−1，解得−32≤m ≤2；由q 为假命题得mx 2+2x −1>0的解集为空集，解得，m ≤−1，求交集．掌握复合命题真假判断的关键；p 或q ：一真为真；p 且q ：一假为假；p 与非P ：真假相反．16.答案：16解析： 【分析】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立，消去x ，根据韦达定理求得y 1+y 2=14的值，进而根据抛物线的定义可知|AB|=(y 1+p2)+(y 2+p2)=y 1+y 2+p ，求得答案． 【解答】解：抛物线的方程为x 2=4y ，抛物线焦点为F (0,1)， 斜率为√3的直线经过抛物线的焦点F ，则直线方程为y =√3x +1，代入抛物线方程x 2=4y ， 消去x 得 y 2−14y +1=0， 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)， ∴y 1+y 2=14， 根据抛物线的定义可知：|AB|=(y 1+p 2)+(y 2+p2)=y 1+y 2+p=14+2=16. 故答案为16．17.答案：解：若p 为真，∵不等式2x 2+(k −1)x +12<0有解，则△=(k −1)2−4>0⇒k >3或k <−1，若q 为真，则(9−k)(k −1)>0⇒解得1<k <9，由复合命题真值表得：若p ∧q 为真命题，则命题p 、q 都是真命题， ∴满足{k >3或k <−11<k <9⇒3<k <9，所以k 的取值范围为(3,9)．解析：根据方程表示双曲线的条件和一元二次函数在x 轴下方有图象的条件求出命题p 、q 为真时，k 的范围，再由复合命题真值表得：若p ∧q 为真命题，则命题p 、q 都是真命题，求出k 的范围． 本题借助考查复合命题的真假判定，考查了幂函数的性质及导数公式，关键是判断命题p 、q 的真假．18.答案：解：(1)证明：如图，连接AC 1，BC 1.在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，E 为AC 1的中点．又因为F 为AB 的中点，所以EF//BC 1； 又EF ⊄平面BCC 1B 1，BC 1⊂平面BCC 1B 1， 所以：EF//平面BCC 1B 1．(2)解：以A 1为原点建立如图所示的空间直角坐标系A 1−xyz ， 则A(0,0，6)，B 1(0,4，0)，E(1,0，3)，F(0,2，6)， 所以BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,6)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，−3)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，0)． 设平面AEF 的法向量为n⃗ =(x,y ，x)， 则n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x −3z =0且n ⃗ ⋅AF⃗⃗⃗⃗⃗ =2y =0，令x =3，得n ⃗ =(3,0，1)． 记B 1F 与平面AEF 所成θ，则sinθ=|B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ ||=310．解析：(1)连接AC 1，BC 1.利用中位线性质即可得证；(2)建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及直线的方向向量，再带入公式即可求解． 本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角，解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，进而得到空间中点、线、面的位置关系，利于建立空间之间坐标系，利用向量的有关知识解决空间角与空间距离以及线面的位置关系等问题，属于中档题．19.答案：解：由于命题p ：函数f(x)=x 2−ax 在[0,+∞)单调递增，∴a ≤0；命题q ：方程x 2+ay 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆， ∴2a >2，即0<a <1，命题“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则p 、q 一真一假 ①p 真q 假时：{a ≤0a ≤0或a ≥1，可得a ≤0； ②p 假q 真：{a >00<a <1，可得0<a <1． 综上所述：a 的取值范围为：a <1．解析：由已知分别求出p ，q 为真命题的a 的范围，再由复合命题的真假判断求解． 本题考查复合命题的真假判断，考查二次函数单调性的性质，考查椭圆的定义，是基础题．20.答案：解：1.由题意知{ca =√22b =2⇒a =2√2 ,b =2,c =2∴椭圆方程为：x 28+y 24=1(a >b >0)2. (1)当直线l 斜率不存在，显然x 轴上任意一点T 均成立(2)当直线l 斜率存在，设直线l 斜率为k ，假设存在T(t,0)满足∠ATQ =∠BTQ.设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)联立{y =k (x −1)x 28+y 24=1，得(1+2k 2)x 2−4k 2x +2k 2−8=0，由韦达定理有{x 1+x 2=4k 21+2k 2x 1x 2=2k 2−81+2k 2①，其中△>0恒成立，由∠ATQ =∠BTQ(显然TA ，TB 的斜率存在)，故k TA +k TB =0即y 1x 1−t +y 2x 2−t =0②由A ，B 两点在直线y =k(x −1)上， 故y 1=k(x 1−1)，y 2=k(x 2−1)代入②得k (x 1−1)(x 2−t )+k (x 2−1)(x 2−t )(x 1−t )(x 2−t )=k [2x 1x 2−(t+1)(x 1+x 2)+2t ](x 1−t )(x 2−t )=0，即有2x 1x 2−(t +1)(x 1+x 2)+2t =0③将①代入③，即有：4k 2−16−(t+1)4k 2+2t (1+2k 2)1+2k =2t−161+2k =0④要使得④与k 的取值无关，当且仅当“t =8“时成立，综上所述存在T(8,0)，使得∠ATQ =∠BTQ ．解析：本题目主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系，圆锥曲线中的综合问题，属于困难题．(1)椭圆，抛物线的性质进行求解．(2)利用直线与椭圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系，圆锥曲线中的综合问题进行求解．21.答案：证明：(1)设AC ∩BD =O ，连结OE ，OF ，∵CF//平面BDE ，平面BDE ∩平面ACFE =OE ， CF ⊂平面ACFE ， ∴OE//CF ， ∵EF//AC ，∴OEFC 为平行四边形，又四边形ABCD 是菱形，故EF =OC =OA ， ∴AOFE 为平行四边形，OF//AE ， ∵EA ⊥平面ABCD ， ∴OF ⊥平面ABCD ，设OA =a ，OB =b ，AE =c ，以O 为原点，OA ，OB ，OF 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则E(a,0，c)，G(a 2,b2,0)，B(0,b ，0)，C(−a,0，0)，F(0,0，c)，FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,b ，−c)，FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,0，−c)，EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a 2,b2,−c)， 设平面BCF 的法向量为n⃗ =(x,y ，z)， 则{n⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =by −cz =0n⃗ ⋅FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−ax −cz =0，取z =b ，得n ⃗ =(−bc a ,c ，b)， ∵n ⃗ ⋅EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a 2)⋅(−bc a )+b2⋅c +(−c)⋅b =0，EG ⊄平面BCF ，∴EG//平面BCF ； 解：(2)设AE =AB =2， ∵∠BAD =60°， ∴OB =1，OA =√3，∴A(√3,0,0)，B(0,1，0)，E(√3,0,2)，D(0,−1,0)， BE⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,−1,2)，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,−1,0)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,0)， 设平面ABE 的法向量n⃗ 1=(x 1,y 1,z 1)，则{n ⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x 1−y 1=0n ⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x 1−y 1+2z 1=0，取x 1=1，得n ⃗ 1=(1,√3,0)，设平面BDE 的法向量m⃗⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x 2−y 2+2z 2=0m ⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2y 2=0，取x 2=2，得m⃗⃗⃗ =(2,0，−√3)， 设二面角A −BE −D 的平面角为θ，则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n 1⃗⃗⃗⃗⃗ |=√4⋅√7=√77． ∴二面角A −BE −D 的余弦值为√77．解析：本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．(1)设AC ∩BD =O ，连结OE ，OF ，推导出OE//CF ，OF ⊥平面ABCD ，以O 为原点，OA ，OB ，OF 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明EG//平面BCF ． (2)求出平面ABE 的法向量和平面BDE 的法向量，利用向量法能求出二面角A −BE −D 的余弦值．22.答案：解：(1)由题知|AF 1|+|AF 2|=4，|F 1F 2|=2，则|AF 1|+|AF 2|>|F 1F 2|，由椭圆的定义知点A 轨迹M 是椭圆， 其中a =2，c =1， 因为b 2=a 2−c 2=3， 所以轨迹M 的方程为x 24+y 23=1；(2)设直线l 的方程为y =12x +t ，C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，联立直线l 的方程与椭圆方程，消去y 可得3x 2+4(12x +t)2=12， 化简得x 2+tx +t 2−3=0，当Δ>0时，即t 2−4(t 2−3)>0，也即|t|<2时，直线l 与椭圆有两交点， 由韦达定理得x 1+x 2=−t ，x 1x 2=t 2−3， 所以k 1=y 1−32x 1−1=12x 1+t−32x 1−1，k 2=y 2−32x2−1=12x 2+t−32x 2−1， 则k 1+k 2=12x 1+t−32x 1−1+12x 2+t−32x 2−1=x 1x 2+(t −2)(x 1+x 2)+3−2t(x 1−1)(x 2−1)=t 2−3+(t−2)(−t)+3−2t(x 1−1)(x 2−1)=0，所以k 1+k 2为定值．解析：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力，考查化归与转化思想，属于中档题．(1)由题知|AF1|+|AF2|=4，|F1F2|=2，则|AF1|+|AF2|>|F1F2|，由椭圆的定义知点A轨迹M是椭圆其中a=2，c=1，从而能求出椭圆M的方程；x+t，C(x1,y1)，D(x2,y2)，联立直线l的方程与椭圆方程，得x2+tx+ (2)设直线l的方程为y=12t2−3=0，当Δ>0时，即t2−4(t2−3)>0，直线l与椭圆有两交点，由韦达定理，得x1+x2=−t，x1x2=t2−3，由此能够得到k1+k2为定值．。
江西省临川一中暨临川一中实验学校2020-2021学年高二上学期期中考试数学(理)答案
一、选择题
题号 1
2
答案 B
B
二、填空题
13、 y = 1 32
三解答题 17、（1） -2 < m < 2
18、（1）
π 6
；（2）
c
=
3
4
5
6
D
A
C
B
14、64
15、4
（2） -2 < m £ 0 或 2 £ m < 3 3.
7
8
9
B
B
C
16、 316 p 15
由余弦定理得 c2 = a2 + b2 − 2ab cos C = ( 3b)2 + b2 − 2 ⋅ 3b ⋅ b ⋅ 3 2
∴b = c ，所以 B = C = π ， A = 2π ，
6
3
由正弦定理 a = c sin A sin C
c sin 2π
，得 a =
3 sin π
=
6
3c ，
ac = 3c2 = 3 3 ，所以 c = 3 ． ………………………………12 分
|= 22 ，
( ) F1M + | F2M |2 2 = 3 F1M F2M | +4 = 16,∴ 2a = 4 ，
a = 2, b2 = a2 − c2 = 3 .
故椭圆 E 的方程为 x2 + y2 = 1 43
………………………4 分
(2) 当直线 l 的斜率为 0 时， A, B, A1, B1 共线，不可能形成三角形，
故当 a = 2 时，弦长的最大值为 2 6 .
………………6 分
江西省抚州市临川一中实验学校2019-2020学年高二上学期期中数学试卷1 (有解析)
江西省抚州市临川一中实验学校2019-2020学年高二上学期期中数学试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知双曲线方程为x 2−3y 2=6，则双曲线的离心率等于( )A. √3B. 2√33C. 2D. 32. 方程x 225−k+y 216+k =1表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是( )A. −16<k <25B. −16<k <92 C. 92<k <25D. k >923. 命题“∀x ∈R ，都有ln(x 2+1)>0”的否定为( )A. ∀x ∈R ，都有ln(x 2+1)≤0B. ∃x 0∈R ，使得ln(x 02+1)>0 C. ∀x ∈R ，都有ln(x 2+l)<0D. ∃x 0∈R ，使得ln(x 02+1)≤04. 已知抛物线y =14x 2上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为( )A. 2B. 3C. 4D. 5 5. 若“p:x >a ”是“q:x >1或x <−3”的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )A. a ≥−3B. a ≤−3C. a ≥1D. a ≤1 6. 直线y =kx +b 与曲线y =x 3−3x +1相切于点(2,3)，则b 的值为( )A. −3B. 9C. −7D. −157. 设f(x)，g(x)是R 上的可导函数，f′′(x)，g′(x)分别为f(x)，g(x)的导函数，且f′′(x)g(x)+f(x)g′(x)<0，则当a <x <b 时，有( )A. f(x)g(b)>f(b)g(x)B. f(x)g(a)>f(a)g(x)C. f(x)g(x)>f(b)g(b)D. f(x)g(x)>f(a)g(a)8. 分别过x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点F 1、F 2作的两条互相垂直的直线l 1、l 2，若l 1与l 2的交点在椭圆上，则椭圆的离心率的取值范围是( )A. (0,1)B. (0,√22) C. (√22,1) D. [√22,1) 9. 若函数f(x)=−12(x −2)2+alnx 在(1,+∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A. [−1,+∞)B. (−∞,−1]C. (1,+∞)D. (−∞,1]10. 函数y =sinx −1x 的图象大致是( )A.B.C.D.11. 已知函数f(x)=xe x −mx +m2在(0,+∞)上有两个零点，则实数m 的取值范围是( )A. (0,2e)B. (2e,+∞)C. (0,e)D. (e,+∞)12. 已知抛物线x 2=4√3y 的准线过双曲线x 2m2−y 2=−1的焦点，则双曲线的离心率为( )A. 3√24B. 3√104C. √3D. √33二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若不等式|x +1|+|x −2|<a 无实数解，则a 的取值范围是_________． 14. 已知点P 在抛物线 x 2=8y 上，点 A(−2,4)， F 是焦点，则的最小值为____________．15. 函数f(x)=13x 3+ax 2+x +1有极大值和极小值，则实数a 取值范围是______ ． 16. 给出下列四个命题：①椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为√22，则b =c ②双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦点到渐近线的距离是b ； ③已知抛物线y 2=2px 上两点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0(O 为原点)，则y 1y 2=−p 2； ④动点M 到两定点A 、B 的距离之比为常数λ(λ>0且≠1)，则动点M 的轨迹是圆． 其中的真命题是______ .(把你认为是真命题的序号都填上) 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知命题p ：∀x ∈R ，tx 2+x +t ≤0．(1)若p 为真命题，求实数t 的取值范围；(2)命题q ：∃x ∈[2,16]，tlog 2x +1≥0，当p ∨q 为真命题且p ∧q 为假命题时，求实数t 的取值范围．18. 已知函数f(x)=(x +1)ln x −a(x −1).当a =4时，求曲线y =f(x)在(1,f(1))处的切线方程．19. 在直角坐标系xOy 中，直线y =kx −2与抛物线C ：x 2=−y 相交于A ，B 两点．(1)若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k ，求|AB|； (2)若点M 的坐标为(3,2)，且|MA|=|MB|，证明：−1<k <−12．20. 设函数f(x)=log a (1−ax )，其中0<a <1．(Ⅰ)证明：f(x)是(a,+∞)上的减函数； (Ⅱ)若f(x)>1，求x 的取值范围．21. 已知F 1,F 2分别为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，点P (1,y 0)(y 0>0)在椭圆上，且PF 2⊥x 轴，ΔPF 1F 2的周长为6． (1)求椭圆的标准方程；(2)E，F是椭圆C上异于点P的两个动点，如果直线PE与直线PF的倾斜角互补，证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．22.已知函数f(x)=2x3−6x2+a在[−2,2]上有最小值−37，(1)求实数a的值；(2)求f(x)在[−2,2]上的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：双曲线方程为x2−3y2=6，即：x26−y22=1．可得a=√6，b=√2，则c=2√2，所以双曲线的离心率为：e=ca =√2√6=2√33．故选：B．直接利用双曲线方程求出a，c，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．2.答案：C解析：【分析】焦点在y轴上的椭圆，满足y2的分母大于x2的分母，建立不等式可求k的取值范围．本题以椭圆的标准方程为载体，考查椭圆的性质，利用焦点在y轴上的椭圆，满足y2的分母大于x2的分母，是解题的关键．【解答】解：由题意，16+k>25−k>0，∴92<k<25，故选C．3.答案：D解析：【分析】本题考查命题的否定的应用．全称命题与特称命题互为否定关系，考查基本知识的应用．利用全称命题的否定是特称命题，直接写出命题的否定即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，都有ln(x2+1)>0”的否定是：∃x0∈R，使得ln(x02+1)≤0．故选D．解析：解：依题意可知抛物线的准线方程为y=−1，∴点A到准线的距离为4+1=5，根据抛物线的定义可知点A与抛物线焦点的距离就是点A与抛物线准线的距离，∴点A与抛物线焦点的距离为5，故选：D．先根据抛物线的方程求得准线的方程，进而利用点A的纵坐标求得点A到准线的距离，进而根据抛物线的定义求得答案．本题主要考查了抛物线的定义的运用．考查了学生对抛物线基础知识的掌握．属基础题．5.答案：C解析：【分析】本题主要考查命题的真假判断与应用、充分条件及必要条件的含义．把充分性问题，转化为集合的关系求解．【解答】解：∵条件p：x>a，条件q：x>1或x<−3，且p是q的充分而不必要条件，∴集合p是集合q的真子集，p⊊q，即a∈[1,+∞)．故选C．6.答案：D解析：解：∵y=x3−3x+1，∴y′=3x2−3，∴k=y′|x=2=3×4−3=9，∴y=9x+b(2,3)代入，可得b=3−9×2=−15，故选：D．先根据曲线y=x3−3x+1，求出x=2处的导数求出k的值，根据切线过点(2,3)求出b即可．本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，直线的斜率等有关基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．7.答案：C解析：本题考查了导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属于基础题．【解答】解：因为[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+g′(x)·f(x)<0，所以函数y=f(x)g(x)是减函数．所以当a<x<b时，f(a)g(a)>f(x)g(x)>f(b)g(b)．故选C．8.答案：D解析：【分析】本题考查椭圆的几何性质，离心率的求法，属于基础题．根据椭圆上存在点P使得直线PF1与直线PF2垂直，可得|OP|=c≥b，从而可求椭圆离心率e的取值范围．【解答】解：由题意可知椭圆上存在点P使得直线PF1与直线PF2垂直，可得|OP|=c≥b，,1)．所以c2≥b2=a2−c2，∴e∈[√22故选：D．9.答案：B解析：【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题．求出函数的导函数，利用导函数的符号，得到a的不等式，然后求解实数a的取值范围．【解答】(x−2)2+alnx，解：函数f(x)=−12，可得f′(x)=−x+2+ax(x−2)2+alnx在(1,+∞)上是减函数，函数f(x)=−12≤0在x∈(1,+∞)上恒成立，可得−x+2+ax即a≤x2−2x在x∈(1,+∞)上恒成立，函数g(x)=x2−2x的对称轴为x=1，在x∈(1,+∞)上是增函数，则g(x)>g(1)=−1．可得a≤−1．实数a的取值范围是(−∞,−1]．10.答案：B解析： 【分析】根据函数的定义域及奇偶性等综合判断图象大致形状． 本题考查函数图象的应用，属基础题目． 【解答】解：由题意得函数定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，故排除D 项， 又，函数为奇函数，，，故选B ．11.答案：B解析： 【分析】本题考查导数的综合应用，由函数零点求参数的取值范围，属于中档题．将问题转化为求ℎ(x )=xe x 与g (x )=m(x −12)有两个不同的交点，根据导数的几何意义可得切线斜率为2e ，即可求出答案． 【解答】解：函数f(x)=xe x −mx +m2在(0,+∞)上有两个零点，等价于ℎ(x )=xe x 与g (x )=m(x −12)有两个不同的交点 ，g (x )恒过(12,0)． 因为ℎ′(x )=e x (1+x )，所以ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，且ℎ(0)=0， 设g(x)与ℎ(x)相切时切点为(m,me m )，(m >0)， 因为ℎ′(x )=e x (x +1)， 所以em (m +1)=me m m−12，解得m =1，m =−12(舍去)， 此时切线斜率为2e ，所以函数f(x)=xe x −mx +m2在(0,+∞)上有两个零点， 则实数m 的取值范围是(2e,+∞)． 故选B ．解析：【分析】本题考查了圆锥曲线的标准方程及其性质，属于基础题．抛物线x2=4√3y的准线方程为y=−√3，因此双曲线的一个焦点为(0,−√3)即c=√3，再利用离心率公式计算即可得出．【解答】解：因为抛物线x2=4√3y的准线方程为y=−√3，所以双曲线的一个焦点为(0,−√3)，∴c=√3，双曲线x2m2−y2=−1化为y2−x2m2=1，∴a=1，∴双曲线的离心率e=ca=√3．故选C．13.答案：(−∞,3]解析：【分析】根据绝对值的意义可得|x+1|+|x−2|的最小值为3，再由不等式|x+1|+|x−2|≥a的解集为R，可得a的范围．本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．【解答】解：原不等式等价|x+1|+|x−2|≥a的解集为R由于|x+1|+|x−2|表示数轴上的点x到−1、2对应点的距离之和，它的最小值为3，故由不等式|x+1|+|x−2|≥a的解集为R，可得a≤3，故答案为(−∞,3]．14.答案：6解析：【分析】本题考查抛物线的定义的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离时解决本题的关键．【解答】解：因为当x=−2时，y=12，所以点A在抛物线的内侧，由抛物线的定义，则|PF|等于点P到准线y=−2的距离，所以当过点A作准线的垂线，交抛物线于P时，|PF|+|PA|最小，最小值为4−(−2)=6．故答案为6．15.答案：(−∞,−1)∪(1,+∞)解析：解：求导函数可得，f′(x)=x2+2ax+1，∵函数f(x)既有极大值又有极小值，∴f′(x)=x2+2ax+1=0有两个不等的实数根，∴△=4a2−4>0，∴a>1或a<−1，故答案为：(−∞,−1)∪(1,+∞)．先求导函数，根据函数f(x)既有极大值又有极小值，可得f′(x)=0有两个不等的实数根，从而可求实数a的取值范围．本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查解不等式，属于基础题．16.答案：①②④解析：解：对①，椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，则c2b2+c2=12，即b2=c2，所以b=c.故①正确．对于②，双曲线的一个焦点(c,0)，一条渐近线是bx−ay=0，由点到直线距离公式，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是：√a2+b2=b，故②正确．对于③，A(x1,y1)，B(x2,y2)是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，并且满足OA⊥OB．∴k OA⋅k OB=−1，∴x1x2+y1y2=0，则(y1y2)24p2+y1y2=0，解得y1y2=−4p2，所以③错误．对于④，以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴建立坐标系，设M(x,y)，A(−a,0)，B(a,0)，则有√(x+a)2+y222=λ，化简得(1−λ2)x2+(1−λ2)y2+(2a+2aλ2)x+a2−a2λ2=0，所以动点M的轨迹是圆，④正确．故答案为：①②④．①根据椭圆得离心率的定义可求得b，c的关系．②双曲线的一个焦点(c,0)，一条渐近线是bx−ay=0，由点到直线距离公式可求出双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离．③利用直线和抛物线的位置关系判断． ④由圆的性质知此命题成立本题考查利用曲线的方程判断曲线的形状；考查椭圆中三个参数的关系；考查双曲线中渐近线的方程，属于一道综合题．17.答案：解：(1)∵∀x ∈R ，tx 2+x +t ≤0，∴当t =0时，x ≤0，与x ∈R 矛盾，舍去；当t <0且△=1−4t 2≤0，解得t ≤−12．∴p 为真命题时，t ≤−12．(2)∃x ∈[2,16]，tlog 2x +1≥0，即， ∴∃x ∈[2,16]，t ≥−1log 2x 有解． 又x ∈[2,16]时，−1log 2x ∈[−1,−14]，∴t ≥−1 ∴q 为真命题时，t ≥−1．∵p ∨q 为真命题且p ∧q 为假命题时，∴p 真q 假或p 假q 真，当p 假q 真，有{t ≥−1t >−12解得t >−12；当p 真q 假，有{t <−1t ≤−12解得t <−1； ∴p ∨q 为真命题且p ∧q 为假命题时，t <−1或t >−12．解析：(1)利用全称命题，以及不等式恒成立，通过二次函数的性质求解即可．(2)求出命题q 成立时，t 的范围，然后通过复合命题的真假转化求解即可．本题考查命题的真假的判断与应用，复合命题的真假的判断，考查计算能力．18.答案：解：当a =4时，f(x)=(x +1)lnx −4(x −1)，f(1)=0，即点为(1,0)，函数的导数f′(x)=lnx +(x +1)⋅1x −4，则f′(1)=ln1+2−4=2−4=−2，即函数的切线斜率k =f′(1)=−2，则曲线y =f(x)在(1,0)处的切线方程为y =−2(x −1)=−2x +2，即2x +y −2=0．解析：本题主要考查了导数的应用，利用导数求函数在某点处的切线方程，属于基础题． 当a =4时，求出曲线y =f(x)在(1,f(1))处的切线的斜率，即可求出切线方程．19.答案：(1)解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{y =kx −2x 2=−y得x 2+kx −2=0，则x 1x 2=−2，y 1y 2=−x 12×(−x 22)=4， 从而OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=2． 故k =2，x 1+x 2=−2，|AB|=√1+22√(−2)2+8=2√15．(2)证明：设线段AB 的中点为N(x 0,y 0)，∵x 1+x 2=−k ，∴x 0=x 1+x 22=−k 2，y 0=−k 22−2． ∵|MA|=|MB|，∴MN ⊥AB ，则4+k 223+k 2=−1k，即k 3+9k +6=0． 设f(x)=x 3+9x +6，则f(x)是增函数，f(k)=0，且f(−1)<0，f(−12)>0，故−1<k <−12．解析：(1)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{y =kx −2x 2=−y得x 2+kx −2=0，通过韦达定理以及斜率的数量积，结合弦长公式求解即可．(2)设线段AB 的中点为N(x 0,y 0)，通过弦长公式，以及考查关系，利用函数的单调性，转化求解即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．20.答案：解：(Ⅰ)设0<a <x 1<x 2，g(x)=1−a x ，则g(x 1 )−g(x 2)=(1−a x 1)−(1−a x 2)=a(x 1−x 2)x 1x 2<0，∴g(x 1 )<g(x 2 )，又∵0<a <1，∴f(x 1 )>f(x 2 )，∴f(x)在(a,+∞)递减；(Ⅱ)∵log a (1−a x)>1， ∴0<1−a x <a ，∴1−a <a x <1，∵0<a <1，∴1−a >0，从而a <x <a 1−a ，∴x 的范围是(a,a 1−a ).解析：(Ⅰ)设0<a <x 1<x 2，g(x)=1−a x ，则g(x 1 )−g(x 2)=a(x 1−x 2)x 1x 2<0，进而f(x 1 )>f(x 2 )，得f(x)在(a,+∞)递减；(Ⅱ)由log a(1−a x )>1，得1−a <a x <1，从而a <x <a 1−a ，从而求出x 的范围． 本题考查了函数的单调性，导数的应用，不等式的证明，是一道综合题． 21.答案：解：(1)由题意，F 1(−1,0)，F 2(1,0)，c =1，∴|PF 1|+|PF 2|+2c =2a +2c =6，∴a =2,b =√3，∴椭圆方程为x 24+y 23=1； (2)由(1)知P(1,32)，设直线PE 方程：得y =k(x −1)+32，代入x 24+y 23=1， 得(3+4k 2)x 2+4k(3−2k)x +4(32−k)2−12=0，设E(x E ,y E )，F(x F ,y F )，∵点P(1,32)在椭圆上，∴x E =4(32−k)2−123+4k 2，y E =kx E +32−k ， 又直线PF 的斜率与PE 的斜率互为相反数，在上式中以−k 代k ，可得x F =4(32+k)2−123+4k ，y F =−kx F +32+k ，∴直线EF 的斜率k EF =y F −yE xF −x E =12， 即直线EF 的斜率为定值，其值为12．解析：本题考查椭圆方程的求法，考查直线EF 的斜率为定值的证明，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．(1)利用点P(1,y 0)在椭圆上，且PF 2⊥x 轴，△PF 1F 2的周长为6，求出a ，b ，c ，即可求椭圆的标准方程；(2)设直线PE 方程代入椭圆方程，得(3+4k 2)x 2+4k(3−2k)x +4(32−k)2−12=0，求出E ，F 的坐标，由此能证明直线EF 的斜率为定值． 22.答案：解：(1)求导函数，f′(x)=6x 2−12x ，令f′(x)>0得x <0或x >2，∵x ∈[−2,2]，∴f(x)在[−2,0]上是增函数，在[0,2]上是减函数，∵f(−2)=−40+a ，f(2)=−8+a ，∴函数f(x)=2x 3−6x 2+a 在[−2,2]上为f(−2)=−40+a ，即f(−2)=−40+a =−37∴a =3(2)由(1)知，f(x)在区间[−2,2]的最大值为f(x)max =f(0)=a =3．解析：(1)求导函数，确定函数在定义域内的单调性，从而确定函数的最小值，即可求a的值；(2)利用f(x)在区间[−2,2]的最大值为f(x)max=f(0)，即可得到结论．本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a,b]上的最大值与最小值是通过比较函数在(a,b)内所有极值与端点函数f(a)，f(b)比较而得到的．。
临川一中2019-2020高二数学期中理科试卷含答案
18．如图,四棱锥 S﹣ABCD 的底面是边长为 1 的正方形，则棱 SB 垂
直于底面．
（Ⅰ）求证：平面 SBD⊥平面 SAC； 2
（Ⅱ）若 SA 与平面 SCD 所成角的正弦值为 ，求 SB 的长． 5
19．设命题 p：函数 f (x) lg(ax2 x 16a) 的定义域为 R；命题 q：不等式
b
0,
y
0)
和部分抛
物线 C2 ： y x2 1( y 0) 连接而成，C1 与 C2 的公共点为 A ，B ，其中
C1 所在椭圆的离心率为
3 2
.
（Ⅰ）求 a ， b 的值；
（Ⅱ）过点 B 的直线 l 与 C1 ，C2 分别交于点 P ，Q （ P ，Q ， A ， B 中任意两点
13．命题“已知不共线向量 e1 ，e2 ，若 e1 e2 0 ，则 0 ”的等价命
题为__________.
14．在空间四边形 ABCD 中，连接 AC、BD,若 BCD 是正三角形，且 E 为其中心，
则
AB
1
BC
C.30°
D.0°
7．下列命题正确的是（ ）
高二数学(理科）试卷 共 4 页 第1页
（1）命题“ x R ， 2x 0 ”的否定是“ x0 R ， 2x0 0 ”；
（2）“若 ꄢ ᘻ，则 ꄢ ᘻ”的否命题是“若 ꄢ ᘻ，则 ᘻ”；
（3）给定命题 p，q，若“ p q 为真命题”，则 p 是假命题；
1 a
b
0 的左、右焦点分别为 F1、F2 ，其焦距为 2c ，
点
Q
c,
a 2
江西省临川第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试 数学试题(含解析)
江西省临川第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若复数z 满足(1i)3i z -=-（i 为虚数单位），则z 的模z =（）A ．102B 52C 10D 52．已知直线1:2320l x y -+=，2:430l mx y +-=，若12l l ⊥，则m 的值为（）A ．6-B ．6C ．83D ．83-3．直线l 的一个方向向量为()2,3-，且直线经过点()1,1-，则直线l 的方程为（）A ．3210x y +-=B ．2310x y ++=C ．3250x y --=D ．2350x y --=4．若抛物线22y x =上的一点A 到焦点的距离为2，则点A 的纵坐标是（）A ．32B ．52C ．158D ．1785．将一枚质地均匀的股子连续拋掷6次，得到的点数分别为1，3，4，5，6，x ，则这6个点数的中位数为4的概率为（）A ．16B ．13C ．12D ．236．已知直线370x y -+=与椭圆2221(6)6x y a a +=相交于A ，B 两点，椭圆的两个焦点是1F ，2F ，线段AB 的中点为(1,2)C -，则12CF F △的面积为（）A ．2B ．42C ．23D ．437．已知在平面直角坐标系xOy 中，()4,0M -，()1,0N -，点P 满足2PM PN =.设点P 的轨迹为曲线W ，直线():00l x y k k +-=>，若直线l 与曲线W 交于不同的两点,A B ，O 是坐标原点，且有153OB OA OA OB -≤+，则实数k 的取值范围是（）A ．3,6B ．6,22⎡⎣C ．D ．8．在平面直角坐标系xOy 中，1F ，2F 为双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点，126F F =，P 为E 左支上异于顶点的一点，直线PM 平分12F PF ∠，2F M PM ⊥，OM =则E 的离心率为（）AB ．2C ．32D ．4二、多选题9．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率e =C 的右支上的点到其右焦点的最1，则（）A ．双曲线C 的焦点坐标为(B ．双曲线C 的渐近线方程为y =C ．点在双曲线C 上D ．直线20(R)mx y m m --=∈与双曲线C 恒有两个交点10．已知一组样本数据125,,,x x x ，其中21(1,2,,5)i x i i =-= ，由这组数据得到另一组新的样本数据125,,,y y y ，其中6i i y x =-，则（）A ．两组样本数据的样本方差相同B ．两组样本数据的样本平均数相同C ．125,,,y y y 样本数据的第30百分位数为3-D ．将两组数据合成一个样本容量为10的新的样本数据，该样本数据的平均数为211．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，E 、F 分别为PD 、AB 的中点，过C 、E 、F 的平面与PA 交于点G ，则（）A ．2PG AG =B ．//PF CEC ．四棱锥P ABCD -外接球体积为43πD ．以P 为球心，22ABCD 的交线长为π三、填空题12．若椭圆2221(1)x y m m +=>32m =.13．已知定义在R 上的函数()f x ，满足(3)(5)0f x f x -+-=，(2)f x +为偶函数，()f x 满足(2)2f =，则20241()i f i ==∑.14．已知AD 是ABC V 的中线，6AB =，1AC =，AE AB ⊥交BC 延长线于E ，AC 是DAE ∠的平分线，则CE =.四、解答题15．函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象上相邻两个最高点的距离为π，其中一个最低点坐标为π,38M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 的解析式及对称中心；(2)求函数()f x 在区间[]0,π上的单调递增区间.16．已知圆22:(3)(4)4C x y -+-=，点(5,1)P ，点(2,2)Q --.(1)过点P 作圆C 的切线l ，求出l 的方程；(2)设A 为圆C 上的动点，G 为三角形APQ 的重心，求动点G 的轨迹方程.17．如图，AE ⊥平面ABCD ，//AD BC ，,1,2AD AB AB AD AE BC ⊥====，F 为CE 中点．(1)求证：//DF 平面EAB ；(2)求点C 到平面BDE 的距离．18．已知直线1y x =-+与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相交于,A B 两点.(1)332，求线段AB 的长；(2)若OA OB ⊥（其中O 为坐标原点），当椭圆的离心率2313,e ⎡∈⎢⎥⎣⎦时，求椭圆的长轴长的最大值.19．若抛物线C ：22y px =(0p >)上的点P 与点Q (4，1)关于直线4290x y --=对称，F 是抛物线的焦点.（1）求p 的值；（2）若点K 是抛物线上使得KQ KF +取得最小值的点，A ，B 是抛物线上不同于点K 的两点，且有0KA KB →→⋅=，求证：直线AB 恒过定点.参考答案：题号12345678910答案D BACACCAABACD题号11答案ACD1．D【分析】运用复数除法运算及复数模的公式计算即可.【详解】因为2223i (3i)(1i)32i i 42i2i 1i (1i)(1i)1i 2z --++-+=====+--+-，所以||z 故选：D.2．B【分析】由12l l ⊥可知12120A A B B +=，列式求解即可.【详解】因为12l l ⊥，所以12120A A B B +=，即2340m -⨯=，解得6m =.故选：B.3．A【分析】根据已知条件，先求出直线l 的斜率，再结合直线的点斜式公式，即可求解．【详解】直线l 的一个方向向量为()2,3-则直线l 的斜率为3322-=-，直线l 过点()1,1-，则31(1)2y x +=--，即3210x y +-=．故选：A ．4．C【分析】将抛物线方程标准化，可得其准线方程，运用抛物线的定义转化求解即可.【详解】将22y x =标准化为212x y =，所以抛物线的准线方程为18y =-，由抛物线的定义可知，抛物线上的点A 到焦点的距离等于点A 到准线的距离.如图所示，所以128A y +=，解得158A y =.故选：C.5．A【分析】x 的可能取值为1，2，3，4，5，6共6种情况，满足条件的x 为4，只有1种情况，进而可求得结果.【详解】由题意知，x 的可能取值为1，2，3，4，5，6，共6种情况，当这6个点数的中位数为4时，x 的取值为4，只有1种情况，所以这6个点数的中位数为4的概率为16.故选：A.6．C【分析】运用点差法求得a 的值，进而求得2c 的值，结合12121||||2CF F C S F F y =⨯△求解即可.【详解】如图所示，由直线370x y -+-可知，直线AB 斜率13k =，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2211216x y a +=①，2222216x y a +=②，又因为(1,2)C -为线段AB 的中点，则122x x +=-，124y y +=，由①②可得1212212126()()y y x x x x a y y -+=--+，即216(2)34a ⨯-=-⨯，又因为6a >，所以解得3a =，所以椭圆方程为22196x y +=，经检验点C 在椭圆内，所以222963c a b =-=-=，解得c =，则12||2F F c ==所以121211||||222CF F C S F F y =⨯=⨯=△故选：C.7．C【分析】根据条件先确定出P 的轨迹方程，则曲线W 的方程可知，根据直线l 与曲线W 有两个不同交点确定出k 的前提范围，再通过取AB 中点将条件不等式化为关于O 的不等式，结合点到直线的距离公式完成计算.【详解】设s ，因为2PM PN ==，化简可得224x y +=，所以P 的轨迹方程为224x y +=，所以22:4W x y +=，即为圆心在()0,0，半径为2的圆，因为():00l x y k k +-=>与22:4W x y +=有两个不同交点，所以2k <>⎩，所以0k <<，设AB 的中点为Q，所以OB OA OB AB -≤+⇔≤ ，又因为AB =，所以AB OQ ≤⇔⇔≥又因为O 即为圆心到0x y k +-=的距离，所以2OQ =≥，所以k ≥k ≤又因为0k<<k ∈，故选：C.8．A【分析】由题意得3c =，设1PF 与2F M 交于点N ，可得1NF =，利用双曲线定义可得a .【详解】由1226F F c ==，得3c =，设1PF 与2F M 交于点N ，如图，由直线PM 平分12F PF ∠，且2F M PM ⊥，可得2PF N 为等腰三角形，则M 为2F N 的中点，可得12F N OM ==又因为211PF PN PF F N ==+=1PF +可得212PF PF a -==，即a所以双曲线E 的离心率为==ce a故选：A.9．AB【分析】由题意求出a ，b ，c ，即可求得双曲线方程、焦点坐标、渐近线方程即可判断A项、B 项；点代入双曲线方程可判断C 项；求出直线20mx y m --=恒过定点，可判断点在双曲线内，当过该点的直线与渐近线平行时，直线与双曲线只有一个焦点即可判断D 项.【详解】由题意知，2221c e a c a c a b ⎧==⎪⎪⎪-=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得1 a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以双曲线方程为2212y x -=，所以焦点坐标为(，双曲线渐近线方程为y =，故A 项正确，B 项正确；对于C项，因为22212-≠，所以点不在双曲线上，故C 项错误；对于D 项，由20mx y m --=整理得(2)0m x y --=，所以直线20mx y m --=恒过点(2,0)，又因为220212->，所以点(2,0)在双曲线内，所以当m =时，直线分别与双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个交点，故D 项错误.故选：AB.10．ACD【分析】根据一组数据加减一个数以及乘以一个数时，平均数及方差的性质可判断A 、B 、D 项，根据百分位数公式计算可判断C 项.【详解】由题意知，(13579)55x ++++==，又因为6i i y x =-，所以61y x =-=-，22y x s s =，故A 项正确，B 项错误；对于C 项，因为530% 1.5⨯=，所以i y 的第30百分位数为第2个数据，又因为i y 的排列为5-，3-，1-，1，3，所以i y 的第30百分位数为3-，故C 项正确；对于D 项，将两组数据合成一个样本容量为10的新样本数据，则新样本数据的平均数为55555(1)21010x y ⨯+⨯⨯+⨯-==，故D 项正确.故选：ACD.11．ACD【分析】选取基底分别表示各向量，进而判断AB 选项，再根据线面位置关系可得四棱锥的外接球即为对应正方体的外接球，可判断C 选项，由选项可知球与底面交线为以A 为圆心2为半径的圆，即可得解.【详解】如图所示，以AB，AD ，AP 为基底，分别表示各向量，设AG AP λ=，01λ≤≤，则1111122222CE CD DP CD DA AP AB AD AP =+=++=--+ ，1122CF CB BA AB AD =+=-- ，CG CA AG AB AD AP λ=+=--+ ，又点G 在平面CEF 上，可得CG xCE yCF =+，即11211212x y x y x λ⎧--=-⎪⎪⎪--=-⎨⎪⎪=⎪⎩，解得232313x y λ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，即13AG AP =，2PG AG =，A 选项正确；12PF AB AP =- ，则不存在μ使得PF CE μ= ，即PF 与CE不平行，B 选项错误；还原四棱锥到正方体，可知其外接球即为正方体外接球，且正方体棱长为2，则外接球半径12R PC ==，体积34π3V R ==，C 选项正确；设以P为球心，ABCD 的交线上一点为Q ，则PQ =2AQ =，即点Q 为在A 为圆心2为半径的圆在四边形ABCD 内的弧上，即弧长为ππ2124´=，D 选项正确；故选：ACD.12．2【分析】由椭圆离心率公式计算即可.【详解】因为1m >，所以22a m =，21b =，所以2c e a ==，解得2m =.故答案为：2.13．0【分析】运用对称性可得()f x 的周期，给x 赋值，可分别求得(1)f 、(3)f 、(4)f ，进而运用周期性可求得结果.【详解】因为(2)f x +为偶函数，所以(2)(2)f x f x -+=+，①又因为(3)(5)0f x f x -+-=，所以()(2)0f x f x +-=，②由①②得()(2)f x f x =-+，③由③得(2)(4)f x f x +=-+，④由③④得()(4)f x f x =+，所以()f x 的周期为4，将1x =代入②得(1)0f =，将1x =代入①得(3)(1)0f f ==，将2x =代入③得(2)(4)f f =-，所以(4)(2)2f f =-=-，所以(1)(2)(3)(4)020(2)0f f f f +++=+++-=，所以20241()506[(1)(2)(3)(4)]0i f i f f f f ==⨯+++=∑.故答案为：0.14【分析】设π0,4EAC θ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，在ACD 和ABD △中，利用正弦定理解得2sin 3θ=，进而利用解三角形知识可得2AD =，BC =8AE =，结合角平分线的性质运算求解.【详解】设π0,4EAC θ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，则π,22CAD BAD =∠=-∠θθ，在ACD 中，由正弦定理可得sin sin CD AC CAD ADC =∠∠，则sin sin AC CADCD ADC⋅∠=∠，在ABD △中，由正弦定理可得sin sin BD AB BAD ADB=∠∠，则sin sin AB BADBD ADB ⋅∠=∠，因为CD BD =，即sin sin sin sin AC CAD AB BADADC ADB⋅∠⋅∠=∠∠，且πBAD CAD ∠+∠=，则sin sin CAD BAD ∠=∠，则sin sin AC CAD AB BAD ⋅∠=⋅∠，可得()2πsin 6sin 26cos 2612sin 2θθθθ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭，整理可得212sin sin 60+-=θθ，解得2sin 3θ=或3sin 4=-θ（舍去），在ABC V中，πsin sin cos 2BAC θθ⎛⎫∠=-= ⎪⎝⎭，π2cos cos sin 23BAC θθ⎛⎫∠=-== ⎪⎝⎭，因为2ABC CAD S S = ，则11sin 2sin 22AB AC BAC AC AD CAD ⋅∠=⨯⋅⋅∠，即11261212323AD ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得2AD =，由余弦定理可得2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠2361261293=+-⨯⨯⨯=，即BC =又因为sin sin 22sin cos 9DAE ===∠θθθ，且ADE ACE ACD S S S =+△△△，即111sin sin sin 222AE AD DAE AC AE CAE AC AD CAD ⋅∠=⋅∠+⋅∠，可得112121122323AE AE ⨯⨯⨯+⨯⨯，解得AE =又因为AC 是DAE ∠的平分线，则AE CEAD CD =，所以AE CD CE AD ⋅==.15．(1)()π3sin 24⎛⎫=- ⎪⎝⎭f x x ，对称中心为ππ,0,28k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭k ∈Z(2)3π0,8⎡⎤⎢⎣⎦和7π,π8⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据最低点坐标确定出A ，根据图象上相邻两个最高点的距离确定出ω，代入最低点坐标可求ϕ，由此可求()f x 的解析式，再通过整体替换法可求对称中心；（2）根据整体替换法结合单调递增区间的公式，可求解出()f x 的单调递增区间，再对0,1k k ==分析即可得到()f x 在[]0,π上的单调递增区间.【详解】（1）因为最低点的纵坐标为3-，所以3A =，因为图象上相邻两个最高点的距离为π，所以2ππT ω==，所以2ω=，所以()()3sin 2f x x ϕ=+，代入点π,38M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以π3sin 34ϕ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，所以πsin 14ϕ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，所以ππ2π,42k ϕ-+=-k ∈Z ，所以π2π,4k ϕ=-k ∈Z ，又因为π2ϕ<，所以π4ϕ=-，所以()π3sin 24⎛⎫=- ⎪⎝⎭f x x ；令ππ,42x k -=k ∈Z ，则ππ,28k x =+k ∈Z ，所以()f x 的对称中心为ππ,0,28k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭k ∈Z .（2）令πππ2π2π,2422k x k -≤-≤+k ∈Z ，所以π3πππ,88k x k -≤≤+k ∈Z ，当0k =时，π3π88x ≤-≤，即3π0,8x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，当1k =时，7π11π88x ≤≤，即7π,π8x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在[]0,π上的单调递增区间为3π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7π,π8⎡⎤⎢⎥⎣⎦.16．(1)5x =或512370x y +-=(2)224(2)(1)9x y -+-=【分析】（1）分别研究切线的斜率不存在与斜率存在时d r =求解即可.（2）设()G x y ,，(,)A a b ，由重心性质可得3331a xb y =-⎧⎨=+⎩，结合点A 为圆C 上的动点求解即可.【详解】（1）由题意知，圆心(3,4)C ，半径2r =，当切线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为5x =，此时|53|2d r =-==，符合题意，当切线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1(5)y k x -=-，即510kx y k --+=，，解得512k =-，此时切线l 的方程为555(101212x y ---⨯-+=，即512370x y +-=.综述，切线l 的方程为5x =或512370x y +-=.（2）如图所示，设()G x y ,，(,)A a b ，因为(5,1)P ，(2,2)Q --，()G x y ,为APQ △的重心，所以523123a xb y +-⎧=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩，即3331a x b y =-⎧⎨=+⎩，又因为点A 为圆C 上的动点，则22(3)(4)4a b -+-=，所以22(333)(314)4x y --++-=，整理得224(2)(1)9x y -+-=.即动点G 的轨迹方程为224(2)(1)9x y -+-=.17．(1)证明见解析(2)43【分析】（1）取BE 的中点G ，连接,AG FG ，证明出四边形ADFG 为平行四边形，得出//AG FD ，即可证明；（2）设点C 到平面BDE 的距离为h ，根据等体积法，由C BDE E BCD V V --=列出方程求解即可．【详解】（1）取BE 的中点G ，连接,AG FG ，因为F 为CE 中点，所以//GF BC 且12GF BC =，又//,1,2AD BC AD BC ==，所以//AD GF ，且12AD BC GF ==，所以四边形ADFG 为平行四边形，所以//AG DF ，又AG ⊂平面EAB ，DF ⊄平面EAB ，所以//DF 平面EAB ．（2）因为AD AB ⊥，//AD BC ，所以AB BC ⊥，所以12112BCD S =⨯⨯=V ，又AE ⊥平面ABCD ，所以122133E BCD V -=⨯⨯=，因为AD AB ⊥，1AD AB ==，所以BD ==由AE ⊥平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ，所以,AE AB AE AD ⊥⊥，又2,1EA AD AB ===，所以EB ED ===所以1322BDES == ，设点C 到平面BDE 的距离为h ，则132323C BDE E BCD V V h --==⨯=，解得43h =，所以点C 到平面BDE 的距离为43．18．(1)5【分析】（1）根据椭圆中基本量的关系计算可得椭圆方程，再联立直线与椭圆方程，利用弦长公式求得线段AB 的长即可；（2）设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，根据OA OB ⊥，可得12120x x y y +=，再联立方程利用韦达定理表示12120x x y y +=关于基本量a ，b 的关系，可转化为2211121a e ⎛⎫=+ -⎝⎭，因为1[3e ∈，可得a ∈，从而可得长轴长得最大值.【详解】（1）e =22c =，a ∴=1c =，则b ==∴椭圆的方为22132x y +=，联立221,321,x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩消去y 得：25630x x --=，设1,1，22，则1265x x +=，1235x x =-AB ∴===（2）设1,1，2,2，OA OB ⊥ ，0OA OB ∴⋅=，即12120x x y y +=，由222211x y a b y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩，消去y 得()()222222210a b x a x a b +-+-=，由()()()222222Δ2410a a a b b =--+->，整理得221a b +>，又212222a x x a b +=+，()2212221a b x x a b-=+，()()()12121212111y y x x x x x x ∴=-+-+=-++，由12120x x y y +=，得：()1212210x x x x -++=，()222222221210a b a a b a b -∴-+=++，整理得：222220a b a b +-=，222222b a c a a e =-=- ，代入上式得221211a e =+-，2211121a e ⎛⎫∴=+ -⎝⎭，1[3e ∈ ，则218(1)[,]49e -∈，则2211175[1][,21162a e =+∈-，a ∈，则2a ≤.19．（1）1p =；（2）证明见解析.【分析】（1）首先根据点P 与点Q (4，1)关于直线4290x y --=对称，求出点P 坐标，再将点坐标代入曲线方程，求得p 的值.（2）先根据抛物线方程为22y x =及点Q 坐标判断点在抛物线内部，数形结合得到KQ KF +取得最小值时1,12K ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线AB 的方程为x ky b =+，联立韦达定理得到122y y k +=，122y y b =-，代入0KA KB →→⋅=，化简整理得到关于k b ，的等量关系式52b k =+，进而得到直线AB 恒过定点.【详解】解：（1）设()00,P x y ，则线段PQ 的中点为0041,22x y ++⎛⎫⎪⎝⎭.依题意可得0000414290,2211,42x y y x ++⎧⨯-⨯-=⎪⎪⎨-⎪=--⎪⎩即0000220,260,x y x y --=⎧⎨+-=⎩解得002,2,x y =⎧⎨=⎩，所以()2,2P .由P 为抛物线上一点，得44p =，1p =.（2）由（1）得抛物线方程为22y x =，将4x =代入22y x =，得y =±因为1>，所以点()4,1Q 在抛物线内部.过点K 作抛物线的准线l 的垂线，垂足为R ，连接QR ，则KQ KF KQ KR QR +=+≥，当且仅当K ，Q ，R 三点共线时，KQ KF +取得最小值，当1y =时，12x =，此时1,12K ⎛⎫⎪⎝⎭.设直线AB 的方程为x ky b =+，联立方程，得2,2,x ky b y x =+⎧⎨=⎩消去x 得2220y ky b --=，2480k b ∆=+>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122y y k +=，122y y b =-.因为0KA KB →→⋅=，所以1KA KB k k ⋅=-.又112111112111222KA y y k y y x --===+--，222222112111222KB y y k y y x --===+--，所以1222111y y ⋅=-++，即()()121140y y +++=，()121250y y y y +++=.则2250b k -++=，即52b k =+，代入线方程x ky b =+，得()55122x ky k k y =++=++.所以直线AB 恒过定点5,12⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】求解由向量形式给出的圆锥曲线的几何关系问题，常用坐标法处理，可以由向量关系得到点的坐标关系，将几何问题中的垂直､平行等问题转化成代数运算，也可利用向量的坐标运算将由向量形式给出的条件转化为坐标的等量关系进行求解，如本题需要将0KA KB →→⋅=转化为1KA KB k k ⋅=-，再根据点的坐标进一步转化为1222111y y ⋅=-++进行求解.。
2022-2023学年江西省临川第一中学高二上学期期中质量监测数学试题(解析版)
2022-2023学年江西省临川第一中学高二上学期期中质量监测数学试题一、单选题1．“1m =”是“直线1mx y +=与直线1x my -=互相垂直”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分必要条件的定义结合直线垂直的性质，从而得到答案． 【详解】若1m =，则直线1x y +=和直线1x y -=互相垂直，是充分条件；若直线1mx y +=与直线1x my -=互相垂直，则()110m m ⨯+⨯-=，因为m 取任意实数都成立，故不是必要条件； 故选：A ．2．已知圆22:40C x y x +-=与直线l 切于点(P ，则直线l 的方程为（ ）A ．20x +=B ．40x +=C ．40x -=D ．20x +-=【答案】A【分析】由圆心和切点求得切线的斜率后可得切线方程． 【详解】圆22:40C x y x +-=可化为()2224x y -+=，所以点P =由点斜式方程，可得)1y x -，整理得20x +=. 故选：A.3．P 是椭圆22416+=x y 上一点，1F ，2F 是该椭圆的两个焦点，且17PF =，则2PF =（ ） A ．1 B ．3C ．5D ．9【答案】A【分析】首先将椭圆方程化成标准形式，进而得出椭圆长半轴长，再根据椭圆定义即可求解. 【详解】解：对椭圆方程22416+=x y 变形得221164x y +=，易知椭圆长半轴的长为4， 由椭圆的定义可得12248PF PF +=⨯=, 又17PF =，故21PF =. 故选：A.4．已知函数()1221,0,,0,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩若()3f m =，则m 的值为（ ）AB ．2C ．9D ．2或9【答案】C【分析】由题可得2130m m ⎧-=⎨≤⎩或123m m ⎧⎪=⎨⎪>⎩，即求.【详解】∵函数()1221,0,0x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩，()3f m =，∴2130m m ⎧-=⎨≤⎩或1230m m ⎧⎪=⎨⎪>⎩，解得9m =. 故选：C.5．已知()()1200F c F c -，，，是椭圆E 的两个焦点，P 是E 上的一点，若120PF PF ⋅=，且122=△PF F S c ，则E 的离心率为（ ） ABCD【答案】C【分析】由120PF PF ⋅=得焦点三角形为直角三角形，结合勾股定理与椭圆定义可得221222PF PF a c ⋅=-，再由面积公式122121||||2F PF SPF PF c =⋅=可得齐次方程，进而求出离心率 【详解】由120PF PF ⋅=得12PF PF ⊥，则222212124F P F P F F c +==， 由椭圆定义可知：122F P F P a +=， 所以()22124F P F Pa +=，即222121224F P F P PF PF a ++⋅=，所以221222PF PF a c ⋅=-，又122121||||2F PF SPF PF c =⋅=，所以222a c c -=，即222a c =， 故E 的离心率为22c a =. 故选：C.6．如图，何尊是我国西周早期的青铜礼器，其造型浑厚，工艺精美，尊内底铸铭文中的“宅兹中国”为“中国”一词最早的文字记载，何尊还是第一个出现“德”字的器物，证明了周王朝以德治国的理念，何尊的形状可近似看作是圆台和圆柱的组合体，组合体的高约为40cm ，上口直径约为28cm ，经测量可知圆台的高约为16cm ，圆柱的底面直径约为18cm ，则该组合体的体积约为（ ）（其中π的值取3）A ．11280cm 3B ．12380cm 3C ．12680cm 3D ．12280cm 3【答案】D【分析】根据圆柱和圆台的体积公式即可求解. 【详解】由题意得圆柱的高约为401624-=（cm ）， 则何尊的体积()222π14914916π924122803V V V =+=⨯++⨯⨯+⨯⨯≈圆柱圆台（cm 3） 故选：D ． 7．函数()cos2xf x π=与()g x kx k =-在[6,8]-上最多有n 个交点，交点分别为(),i i x y (1,,)i n =，则()1ni i i x y =+=∑（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C【分析】根据直线()g x 和()f x 关于点(1,0)对称，结合图象，得出直线()g x 与()f x 最多有9个交点，根据对称性，即可得出()1ni i i x y =+∑的值.【详解】由题可知：直线()g x kx k =-过定点(1,0) 且()cos 2xf x π=在[6,8]-是关于(1,0)对称如图通过图像可知：直线()g x 与()f x 最多有9个交点 同时点(1,0)左、右边各四个交点关于(1,0)对称 所以()912419i i i x y =+=⨯+=∑故选：C【点睛】本题主要考查了余弦型函数对称性的应用，属于中档题.8．已知双曲线()2222Γ:10y x a b a b -=>>的上焦点为(0,)(0)F c c >，M 是双曲线下支上的一点，线段MF 与圆2222039c a x y y +-+=相切于点D ，且3MF DF =，则双曲线Γ的渐近线方程为（ ）A ．40x y ±=B ．40x y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=【答案】D【分析】由圆的方程求出圆心坐标，设出点D 的坐标，由题意列式求出D 的坐标，再结合3MF DF =，求得M 的坐标，再把M 的坐标代入双曲线的方程，即可求得答案．【详解】由2222039c a x y y +-+=得22239c b x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 则该圆的圆心坐标为0,3c C ⎛⎫⎪⎝⎭，半径为3b设切点()()0000D x y y >，，可知DF CD ⊥则()22200000002039,?,03c a x y y c x y c x y ⎧+-+=⎪⎪⎨⎛⎫⎪--= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得220220336b c a x c a y c ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，2222336b c a c a D c ⎫+-∴⎪⎪⎝⎭ 由3MF DF =，得3MF DF =，得：222232b c a a c M c ⎫++-⎪⎪⎝⎭代入双曲线()2222:10,0y x a b a b Γ-=>>，整理得：2b a =∴双曲线Γ的渐近线方程为20x y ±=故选：D二、多选题9．关于直线:40l mx y --=，下列说法正确的是（ ） A ．直线l 在y 轴上的截距为4 B ．当0m =时，直线l 的倾斜角为0C ．当0m ≥时，直线l 不经过第二象限D ．当1m =时，直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积是8【答案】BCD【分析】利用直线方程的斜截式的性质，逐项分析即可.【详解】对于A ，直线:40l mx y --=可化为4y mx =-，由斜截式可知直线l 在y 轴上的截距为4-，故A 错误；对于B ，当0m =时，直线l 为4y =-，即0k =，故直线l 的倾斜角为0，故B 正确；对于C ，当0m ≥时，:4=-l y mx 有0k >，在y 轴上的截距为4-，如图易得直线l 不经过第二象限，故C 正确；对于D ，当1m =时，直线l 为4y x =-，如图，易知直线l 与两坐标轴围成的三角形为直角三角形，且两条边长度都为4，故14482S =⨯⨯=，故D正确； 故选：BCD. .10．若实数a ，b 满足ln ln 0b a <<，则下列结论中正确的是（ ） A ．22a b < B ．11a b <C ．log 3log 3a b <D ．b a a b >【答案】BCD【分析】根据给定条件，求出a ，b 的关系，再利用不等式性质判断A ，B ；指对数函数、幂函数单调性分析判断C ，D 作答.【详解】因ln ln 0b a <<，则01b a <<<，于是有22b a <，A 不正确； 110b a a b ab--=<，即11a b <，B 正确；由01b a <<<得：3311log log 00log 3log 3b a b a <<⇔<<，因此，log 3log 3a b <，C 正确； 因01b a <<<，函数x y a =在R 上单调递减，函数a y x =在(0,)+∞上单调递增，则b a a a a b >>，D 正确. 故选：BCD11．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右两个顶点分别是12,A A ，左、右两个焦点分别是12,F F ，P 是双曲线上异于12,A A 的任意一点，给出下列结论，其中正确的是（ ）A ．122PA PA a -=B ．直线1PA ，2PA 的斜率之积等于定值22baC ．使得12PF F △为等腰三角形的点P 有且仅有四个D ．若212PA PA b ⋅=，则120PF PF ⋅= 【答案】BD【分析】由双曲线的定义，可判定A 错误；由12200022000PA PA y y y k k x a x a x a ⋅=⋅=+--，结合双曲线的方程，得到1222PA PA b k k a=⋅，所以B 正确；结合双曲线的几何性质，可判定C 错误；结合22200x y c +=，得到2221200PF PF x y c ⋅=+-，可判定D 正确．【详解】由题意，点P 是双曲线上异于12,A A 的任意一点，设00(,)P x y ， 对于A 中，由双曲线的定义知，122PA PA a -≠，所以A 错误； 对于B 中，由1(,0)A a -，()2,0A a ，可得12200022000PA PA y y y k k x a x a x a ⋅=⋅=+--， 又由2200221x y a b -=，所以()2220220a ay b x =-，可得1222PA PA b k k a =⋅，所以B 正确；对于C 中，若P 在第一象限，则当12PF c =时，222PF c a =-，12PF F △为等腰三角形；当22PF c =时，122PF c a =+，12PF F △也为等腰三角形，故点P 在第一象限且使得12PF F △为等腰三角形的点P 有两个．同理可得，在第二、三、四象限且使得12PF F △为等腰三角形的点P 也各有两个，因此使得12PF F △为等腰三角形的点P 共有八个，所以C 错误．对于D 中，由22221200PA PA x y a b ⋅=+-=，得22200x y c +=，从而22212000PF PF x y c ⋅=+-=，所以D 正确．故选：BD ．12．已知圆M ：22(4)(5)12x y -+-=，直线l ：230mx y m --+=，直线l 与圆M 交于A ，C 两点，则下列说法正确的是（ ） A ．直线l 恒过定点(2,3) B ．||AC 的最小值为4C ．MA MC ⋅的取值范围为[12,4]-D ．当AMC ∠最小时，其余弦值为12【答案】ABC【分析】A.直线方程变形为()()230m x y ---=，即可判断定点坐标；B.根据定点是弦AC 的中点时，此时AC 最短；C.根据向量数量积公式，转化为求AMC ∠的最值；D.根据C 即可判断. 【详解】A.直线:230l mx y m --+=，即()()230m x y ---=，直线恒过点()2,3，故A 正确；B.当定点()2,3是弦AC 的中点时，此时AC 最短，圆心()4,5M 和定点()2,3的距离时4AC ==，故B 正确；C.当AC 最小时，AMC ∠最小，此时1212161cos 2123AMC +-∠==⨯，此时1cos 1243MA MC MA MC AMC ⋅=∠=⨯=，当AC 是直径时，此时AMC ∠最大，AMC π∠=，此时()cos 12112MA MC MA MC AMC ⋅=∠=⨯-=-，所以MA MC ⋅的取值范围为[12,4]-，故C 正确； D.根据C 可知当AMC ∠最小时，其余弦值为13，故D 错误.故选：ABC三、填空题13．两个焦点坐标分别是()3,0-，()3,0，且经过点()5,0的椭圆的标准方程_____________. 【答案】2212516x y += 【分析】根据椭圆焦点坐标可得c ，由椭圆所过点可得a ，由222b a c =-可确定椭圆方程. 【详解】椭圆焦点为()3,0-，()3,0，位于x 轴上，3c ∴=，又椭圆过点()5,0，5a ∴=，则22216b a c =-=， ∴椭圆的标准方程为：2212516x y +=.14．已知12F F ，分别为椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，直线3l y x =：与椭圆C 的一个交点为M ，若12MF MF ⊥，则椭圆的离心率为______. 【答案】31-13-+【分析】由直线过原点及斜率，12MF MF ⊥，可得22MO OF F M c ===，再结合椭圆定义，在焦点三角形12F MF △通过勾股定理构建齐次方程，即可求出离心率【详解】由题可知，12F MF △为直角三角形，12OF OF c ==，直线l 过原点O ，260MOF ︒∠=，故22MO OF F M c ===，又122F M F M a +=，则12F M a c =-，在12F MF △中，2221212F M F M F F +=，即222(2)(2)a c c c -+=，又ce a=，解得：31e =或31e =-（舍去）. 31.15．已知△ABC 的A ，B ，C 所对这分别的a ，b ，c ．若1cos 3A =，23b c =，且△ABC 2，则sin C =______． 22【分析】根据题意,先求出22sin A =，再分别求出边长322,b c ==，32a =22sin sin C A ==【详解】根据题意,△ABC 中,若 1cos 3A =，则sin A =. 又由△ABC即1sin 2S bc A =⨯⨯=则有bc =3,又由23b c =，解得：b c =.由余弦定理得：2229192cos 22232a b c bc A =+-=+-=,则a = . 所以a c =，所以sin sin C A ==故答案为:. 16．已知椭圆C ：22143x y +=的两个焦点为1F ，2F ，P 为椭圆上任意一点，点()，m n 为12PF F △的内心，则m n +的最大值为______.【分析】设(cos ,sin )P a b θθ，内切圆的半径为r ，由三角形面积公式建立等式可得|sin |||bc r n a cθ==+，由勾股定理求出焦半径1||cos PF a c θ=-，2||cos PF a c θ=+，由内切圆性质建立等式()()12||||P c c F F m P m ---+=，可得cos m c θ=，结合(cos ,sin )P a b θθ在椭圆上消去θ得2231(0)m n n +=≠，则可设cos ,0m n αα=≠，则m n +由辅助角公式可求得最大值【详解】设(cos ,sin )P a b θθ，内切圆的半径为r ， 所以12112|sin ||sin |(22)22PF F S c b bc c a r θθ=⨯⨯==+⋅， 则|sin |||bc r n a cθ==+，设椭圆的左右焦点为12(,0),(,0)F c F c -，则1||cos PF a c θ==-， 同理2||cos PF a c θ=+，又内切圆的性质得()()()()21||||cos cos c m m PF PF a c a c c θθ--+=--+=-， 所以cos m c θ=， 消去θ得()()222221m n c bc a c +=+，即22221m n a c c c a c+=-⋅+，又因为2,1a c ==，所以2231(0)m n n +=≠， 设cos ,0m n αα==≠，则πcos )3m n ααα+=+，所以m n +四、解答题17．已知ABC 的顶点()()()2,4,4,6,5,1A B C --. (1)求AB 边上的中线所在直线的方程；(2)求经过点A ，且在x 轴上的截距和y 轴上的截距相等的直线的方程. 【答案】(1)230x y --= (2)20x y +=或20x y +-=【分析】（1）先利用中点坐标公式求出线段AB 的中点，再利用两点式即可求出所求； （2）分类讨论截距是否为0的情况，再利用截距式即可求得所求. 【详解】（1）线段AB 的中点为(1,1)D -， 则中线CD 所在直线方程为：(1)11(1)51y x ---=---，即230x y --=.（2）设两坐标轴上的截距为,a b ， 若0a b ，则直线经过原点，斜率40220k -==---， 直线方程为2y x =-，即20x y +=；若0a b =≠，则设直线方程为1x ya a+=，即0x y a +-=，把点(2,4)A -代入得240a -+-=，即2a =，直线方程为20x y +-=； 综上，所求直线方程为20x y +=或20x y +-=.18．已知直线l ：3(0)y kx k =+>与x 轴，y 轴围成的三角形面积为94，圆M 的圆心在直线l 上，与x轴相切，且在y 轴上截得的弦长为（1）求直线l 的方程（结果用一般式表示）;（2）求圆M 的标准方程.【答案】（1）230x y -+=（2）()()225749x y +++= 或()()221525x y -+-=【分析】（1）根据直线的方程，分别求得直线在坐标轴上的截距，利用围成的三角形的面积，列出方程，即可求解k 得值，得到直线的方程；（2）设所求圆的标准方程为()()222x a y b r -+-=，根据题意列出方程组，求得,,a b r 的值，即可得到圆的方程.【详解】（1）在直线方程()230y k k =+>中，令0x =，得3y =令0y =，得3x k =-故913342S k==⨯⨯- 又0k > 故2k = ∴所求直线方程为：230x y -+=（2）设所求圆的标准方程为：()()()2220x a y b r r -+-=>由题可知(222230a b b r a r ⎧-+=⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩ 联立求解得：517575a a b b r r 或=-=⎧⎧⎪⎪=-=⎨⎨⎪⎪==⎩⎩故所求圆的标准方程为：()()225749x y +++= 或()()221525x y -+-=【点睛】本题主要考查了直线方程的求解，以及利用待定系数法求解圆的方程，其中解答中合理根据题设条件，利用待定系数法，列出相应的方程（组）求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.19．如图，在正三棱柱111ABC A B C 中，12AB AA ==，D 为棱BC 的中点．(1)证明：1A C ∥平面1AB D ；(2)求点1A 到平面1AB D 的距离．【答案】(1)证明见解析 (2)255【分析】（1）由线面平行的判定定理证明 （2）由等体积法求解【详解】（1）证明：连接1A B 交1AB 于O ，连接OD ，正三棱柱111ABC A B C 中，易得O 为1AB 中点，又D 为BC 的中点，所以OD ∥1A C ，因为1AC ⊄平面1AB D ，OD ⊂平面1AB D ，所以1A C ∥平面1AB D ； （2）因为1A C ∥平面1AB D ，所以C 与1A 到平面1AB D 的距离相等，由题意得122AB =，15DB ，3AD =，因为22211AD DB AB +=，所以AD ⊥DB 1， 所以1115352ADB S ==13132ADC S =⨯=△ 设C 到平面ADB 1的距离为h ，则11C ADB B ACD V V --=， 所以11513233=，所以25h =即点A 1到平面AB 1D 的距离为255． 20．在平面五边形ABCDE 中，已知120,90,120,90,3A B C E AB ︒︒︒︒∠=∠=∠=∠==，3AE =(1)当332BC =时，求DC ； (2)当五边形ABCDE 的面积)63,93S ⎡∈⎣时，求BC 的取值范围．【答案】(1)332； (2))3,33⎡⎣.【分析】（1）根据余弦定理，结合五边形内角和定理进行求解即可；（2）根据五边形的面积，结合梯形面积公式进行求解即可；【详解】（1）连结EB ，在ABE 中，120A ︒∠=，3AB AE ==，由余弦定理可得，2222cos120BE AE AB AE AB ︒=+-⋅⋅ 199233()272=+-⋅⋅⋅-=，所以33BE =，同时可得30AEB ABE ︒∠=∠=，60CBM ︒∠=，又由五边形内角和可求得120D DCB ︒∠==∠，所以//BE CD ，进而四边形BCDE 为等腰梯形过点C 作CM ⊥BE 于M ，可求得3cos6034BM BC ︒=⋅= 进而3323323342DC BE BM =-=（2）11sin1203322BAE S AB AE ︒=⋅⋅⋅=⋅⋅=，又 ABCDE S ∈，所以 BCDE S ∈，设BC 边长为x ，所以1cos 60,sin 602BM BC x CM B C ︒︒=⋅==⋅=，则11())22BCDE S BE CD CM x =+⋅=化简整理得21527x ≤-<x ≤<x ≤又20DC BE BM x =-=>，x <所以BC 的取值范围是.21．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为0x =，焦点到渐近线的距离为1．(1)求双曲线C 的标准方程与离心率；(2)已知斜率为12-的直线l 与双曲线C 交于x 轴上方的A ，B 两点，O 为坐标原点，直线OA ，OB 的斜率之积为18-，求OAB 的面积．【答案】(1)2212x y -=(2)【分析】（1）依题意用点到直线的距离公式列方程可得c ，然后由渐近线斜率和几何量关系列方程组可解；（2）设直线方程联立双曲线方程消元，利用韦达定理表示出直线OA ，OB 的斜率可得直线l 的方程，数形结合可解.【详解】（1）由题意知焦点(),0c 到渐近线0x =1=，则c =因为一条渐近线方程为0x =，所以b a =，又223a b +=，解得a =1b =，所以双曲线C 的标准方程为2212x y -=，离心率为c e a ==．（2）设直线l ：()102y x t t =-+>，()11,A x y ，()22,B x y ， 联立()22221,2441012y x t x tx t x y ⎧=-+⎪⎪⇒+-+=⎨⎪-=⎪⎩ 则()22Δ161610t t =++>， 所以124x x t +=-，()21241x x t ⋅=-+ 由121212121122OA OBx t x t y y k k x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⋅=⋅= ()()()221221241112244841t t x x t t t x x t -++--+=+=+=--+ 解得1t =或1-（舍去），所以124x x +=-，128x x ⋅=-l ：112y x =-+，令0x =，得1y =， ()21212124163243x x x x x x -=+-=+=所以OAB 的面积为1212111()14323222S OD x x OD x x =+=-=⨯⨯=22．如图，椭圆()2222:10y x M a b a b =>>+的两顶点()2,0A -，()2,0B ，离心率3e =y 轴上的点()()40,,0t F t t <≠的直线l 与椭圆交于C ，D 两点，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q .(1)当23t =4CD =时，求直线l 的方程；(2)当点P 异于A ，B 两点时，设点P 与点Q 横坐标分别为P x ，Q x ，是否存在常数λ使P Q x x λ⋅=成立，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.【答案】2230x y -+2230x y +-(2)存在，4λ=【分析】（1）先求得椭圆M 的方程，再以设而不求的方法即可求得直线l 的方程； （2）先以设而不求的方法得到P Q x x 、的解析式，再去计算P Q x x ⋅是否为定值即可解决.【详解】（1）椭圆的方程()222210y x a b a b+=>>，由题可得2b =； 由3c e a ==222a b c =+，得4a =， 椭圆的标准方程：221164y x +=； 当直线l 的斜率不存在时，8CD =，与题意不符，故设直线l 的方程为23y kx =+22416y x +=整理得()2244340k x kx ++-=，设()11,C x y ，()22,D x y ，1243k x x -+=，12244x x k -⋅=+； ()()2222212122228143414144444k k CD k x x x x k k k k +⎛⎫--∴=++-+-== ⎪ ⎪+++⎝⎭， 解得2k =则直线l 2230x y -+2230x y +-.（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 与y 轴重合，由椭圆的对称性可知直线AC 与直线BD 平行，不符合题意；∴由题意可设直线的方程：x my n =+()0,0m n ≠≠代入椭圆方程，得()2221484160m y mny n +++-=；设()11,C x y ，()22,D x y ，122814mn y y m -∴+=+，212241614n y y m -⋅=+； ()2121242n my y y y n-∴⋅=+① 直线AC 的方程为()1122y y x x =++② 则直线BD 的方程为()2222y y x x =--③ 由②③得()()()()()()1212121212112222222222y x y my n my y y n x x y x y my n my y y n -+-+--===++++++ 由①代入，得()()()()()()()()21212222222222n n y n y n x x n n n y n y -++-⎡⎤--⎣⎦==+++++-⎡⎤⎣⎦， 解得4x n =，即4Q x n =；且知P x n =；44P Q x x n n∴=⨯=⋅（常数） 即点P 与点Q 横坐标之积为定值4.故存在常数4λ=。
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3.如果命题“”为假命题，则（ ） A ．中至少有一个为真命题 B ．均为假命题
C ．均为真命题
D ．中至多有一个为真命题
4.下列命题中，真命题的是（ ）
A ．使得
B ． 命题的否定是真命题
C ．2{|10}{|40}(2,0)x x x x -<⋂->=-
D ．的充分不必要条件是 5.如图所示的程序框图，若输出的是，则①可以为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．已知数据是某市普通职工个人的年收入,设这个数据的中位数为，平均数为，方差为，如果再加上世界首富的年收入，则这个数据中，下列说法正确的是（ ） A ．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变 B ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大 C ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变 D ．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变
7.已知一个棱长为2的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为( ） A ． B ． C ． D ．
8.已知、为椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦点,为椭圆短轴上的端
点，若，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．
9.若,则方程有实数根的概率为( )
A ．
B ．
C ．
D ． 10．已知条件，条件或，则是的( )
A ．充要条件
B ．既不充分也不必要条件
C ．充分不必要条件
D ．必要不充分条件
11．平面向量的集合到的映射由确定，其中为常向量．若映射满足对恒成立，则的坐标不可能．．．
是
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 12.已知二元函数2cos (,)(,),sin 2
x f x x R R x x θ
θθθ=
∈∈++则的最大值和最小值分别是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷 (非选择题共100分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知成等差数列，成等比数列，则椭圆的离心率是 .
14.在三棱锥P ABC 中，AB ⊥BC ，,2AB BC a PA a ===，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值是 .
15.椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点为，点为椭圆上的点，则能使的点的个数可能有
个. （把所有的情况填全）
16．有下列五个命题:
（1）在平面内，、是定点，，动点满足，则点的轨迹是椭圆； （2）“在中，“”是“三个角成等差数列”的充要条件； （3）“若,则方程是椭圆”；
（4）已知向量是空间的一个基底，则向量也是空间的一个基底； （5）直线12:310,:10l ax y l x by +-=++=，则的充要条件是. 其中真命题的序号是 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分10分) 已知函数2()sin(2)2cos 6
f x x x π
=-
-.
（1）求函数的最小正周期；
（2）当时，求函数的最值及相应的自变量的取值.
18．(本小题满分10分)
随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位:cm)，获得身高数据的茎叶图如右图. (1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； (2)计算甲班的样本方差；
(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于
173cm的同学,求身高为176cm的同学被抽中的概率.
19. (本小题满分12分)
已知命题方程有一正根和一负根，命题函数的图像与轴有公共点，若命题“”为真命题，而命题“”为假命题，求实数的取值范围.
20．（本小题满分12分）
如图，四边形PCBM是直角梯形，，∥，，又，
，直线AM与直线PC所成的角为．
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值.
21．（本小题满分13分）
已知数列的前项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前项和为求满足不等式的
最小值.
22．（本小题满分13分）
已知椭圆的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，点在椭圆上，且其离心率.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设动点满足，其中是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，求的值；
（3）在（2）的条件下，问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，给出证明；若不存在，请
说明理由.
临川一中2014-2015学年度上学期期中考试
高二数学试卷答题卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合目要求的.）
二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分；把正确答案填在横线上.）
13._________________________；14._________________________；
15.____________ _____________；16._________________________；
三、解答题（本大题共6小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
（2）由，得
∴由图像知当即时，有max 1
122
y =-=；
当即时，有min (1)11y --=. ……………… 10分
18.解：（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于之间，而乙班身高集中于之间，因此乙班平均身高高于甲班. ………………2分
(2) 158162163168168170171179179182
17010
x +++++++++=
=
甲班的样本方差为()()()()2222
21[(158170)16217016317016817016817010
-+-+-+-+-
()(
)()()()
2
2
2
22
170170171170
179170
179170182170]57.2
+-+-+-+-+-= ………………6分
（3）设身高为176cm 的同学被抽中的事件为A ，
从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm 的同学有：（181，173）,（181，176） （181，178）,（181，179）,（179，173）,（179，176）,（179，178）,（178，173） (178, 176) ,（176，173）共10个基本事件，而事件A 含有4个基本事件；
.………………10分
………………10分
由可知：实数的取值范围为或或.………………12分 20.解：（1）∵，∴平面ABC ，∴．………………4分 （2）取BC 的中点N ，连MN ．∵//
＝，∴//＝，
∴平面ABC ．作 ，交AC 的延长线于H ，连结MH ,∴为二面
角的平面角,
∵直线AM 与直线PC 所成的角为，∴在中，．
在中，
c
o
t 3c o M N
A N A M =
⋅∠=︒=
,
在中，sin 1sin 60NH CN NCH =⋅∠=⨯︒=,
在中，∵MH
∴cos NH MHN MH ∠=
． 故二面角的余弦值为．……………12分 （说明：向量法解对同样给分） 21.解：（1）因为解得 因为所以112(1),(2,)n n S a n n n N --+=--≥∈两式相减得
所以112(1),(2,)n n a a n n N -++=+≥∈
又因为，所以是首项为2，公比为2的等比数列
所以，所以. ………………5分
（2）因为(21)21n n b n a n =+++，所以
所以231325272(21)2(21)2n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅++⋅①
23123252(21)2(21)2n n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅++⋅ ②
①—②得：231322(222)(21)2n n n T n +-=⨯+++⋅⋅⋅+-+⋅
2122262(21)212
n n n +-⨯=+⨯-+⋅- 11122(21)22(21)2n n n n n +++=-+-+⋅=---⋅
所以 若则12(21)22256,21
n n n ++-⋅-≥- 即所以，解得，
所以满足不等式的最小n 值为. ………………13分
∵点在椭圆22
142
x y +=上，∴2222112224,24x y x y +=+= 设,OM ON k k 分别为直线与的斜率，由题意知，
2
12121-==⋅x x y y k k ON OM ，∴12122=0x x y y +， 故()()
2222220012121212244244x y x x x x y y y y +=+++++ ()()
()2222112212122424220x y x y x x y y =+++++=，
∴2200220x y +=. ………………10分
（3）由（2）知点P 是椭圆22
12010
x y +=上的点，
∵c ==
∴该椭圆的左右焦点())
A B 、满足PA PB += 因此存在两个定点,A B ，使得PA PB +为定值. ………………13分。