n维向量空间

当t = 5时, I与II等价.
第四章 n维向量
§4.1 n维向量空间
三. Rn的子空间
1. Rn = {(a1, …, an)T | a1, …, an R} 2. Rn的子空间S:
S Rn, 且S对加法及数乘封闭, 即
, S, kR, 有+S, kS,
注: Rn平凡子空间
① S = { }.
量 表现形式
n个数a1, a2, …, an 构成的有序数组
向量/点的坐标
行矩阵 列矩阵
行向量 列向量
第四章 n维向量
§4.1 n维向量空间
二. n维向量的线性运算
1. 定义. 与矩阵的线性运算相同
2. 性质. 与矩阵的线性运算性质相同
3. 线性组合: k11 + k22 + … + kss
数 n维向量
第四章 n维向量
§4.2 向量组的线性相关性
(4) 1, …, s线性相关
不全为零的k1, …, ks s.t.
k11 + … + kss =
不全为零的k1, …, ks , 0, …, 0 s.t.
k11 +…+ kss + 0s+1+…+ 0t =
1, …, s, s+1, …, t也线性相关.
B
1 0
0 0
§4.1 n维向量空间
无法通过初等列变换实现
矩阵A与B的行向量组等价, 但列向量组不等价.
(1)
C
1 0
1 0
初等列变换
B
1 0
0 0
无法通过初等行变换实现
矩阵C与B的列向量组等价, 但行向量组不等价.
第四章 n维向量
§4.1 n维向量空间
A=
1 0
0 0
B=
0 0
0 1
矩阵A与B等价, 但它们的 行向量组不等价, 列向量组也不等价.
第四章 n维向量
§4.2 向量组的线性相关性
(6) 若
1 1
,
2 2
, …,
s s
线性相关,
其中1, 2, …, s维数相同,
则1, 2, …, s也是线性相关的.
关键
k1
1 1
+ k2
2 2
+ … + ks
s s
=
k11 + k22 + … + kss k11 + k22 + … + kss
=
a22 …
,
…, n
=
a2n …
, =
0 …
,
as1
as2
asn
0
k11 + k22 + … + knn A = (1, 2, …, n)
=
kaa11a1k11 kaa1221a1k21
…
a+12ka21a2…k12 a+22ka2a2…k22 … ……
+a…1n +a…2n ……
+ kka1n1nak1n + kka2n2nak2n
§4.1 n维向量空间
例2:
2, 0
3 0
能由 1 , 0
0 1
线性表示,
1 0
能由
2, 0
3 0
线性表示.
0 1
不能由
2, 0
3 0
线性表示.
5. 向量组等价
若1, …, t能由1, …, s线性表示,则称 向量组1, …, t能由向量组1, …, s线性表示.
若1, …, s也能由1, …, t线性表示,
第四章 n维向量
几何:
① , 共线 , 线性相关.
§4.2 向量组的线性相关性
2 = , 2 + = .
② , , 共面 , , 线性相关.
k1
= k1 + k2
k2
k1 k2 + 1 =
第四章 n维向量
代数:
§4.2 向量组的线性相关性
a11
a12
a1n
0
1 =
a21 …
, 2 =
若k = 0, 则k1, k2, …, ks不全为零, 且
k11 + k22 + … + kss = . 因而1, 2, …, s线性相关.
1, 2, …, s线性无关 k 0 能由1, 2, …, s线性表示.
第四章 n维向量
——1, …, s生成的子空间
第四章 n维向量
§4.1 n维向量空间
注: ① 时, {x | Ax = } Rn
不是Rn的子空间!
② 1, …, s与1, …, t等价 L(1, …, s) = L(1, …, t). L(1, …, s) = {k11 + … + kss | k1, …, ks R} L(1, …, t) = {k11 + … + ktt | k1, …, kt R}
1=
1 2
1+
1 2
2+03,
2=
3 2
1
1 2
2+03,
即II可以由I线性表示.
故向量组I与II等价.
第四章 n维向量
§4.1 n维向量空间
注① 向量组之间的等价关系具有以下性质:
(反身性) 1, …, s与其自身等价.
(对称性) 若I与II等价, 则II与I等价.
(传递性) 若I与II等价且II与III等价, 则I与III等价.
1k1 +22k22+ 2k23 k23k4
33k1 0 1 k3 +k4k4
第四章 n维向量
§4.2 向量组的线性相关性
1
1
2
1
例5. 1 =
2 1
, 2 =
1 2
,
3
=
1 2
, 4 =
2 2
.
3
0
1
线性相关 Ax = 有非零解, 其中
1 1 21
A=
2 1
1 2
12 2 2
3 0 1
|A| = 0 3( 7) = 0 = 7.
—— 1, 2, …, s与1, …, t等价
第四章 n维向量
§4.1 n维向量空间
例3. I: 1 = (1, 1), 2 = (1, 1), 3 = (2, 1),
II: 1 = (1, 0), 2 = (1, 2).
1=
1 2
1+
1 2
2,
2=
3 2
1
1 2
2,
3=
3 2
1+
1 2
2,
即I可以由II线性表示.
第四章 n维向量
§4.1 n维向量空间
3. 三个典型的例子
(1) K(Asn) = {x | Ax = } Rn —— A的核空间, Ax = 的解空间
(2) R(Asn) = {Ax | x Rn} Rs —— A的值域, 列空间 (A的列向量组生成的子空间)
(3) L(1, …, s) = {k11 + … + kss | k1, …, ks R}
第四章 n维向量
§4.2 向量组的线性相关性
3. 判定
定理4.1. 1, 2, …, s (s2) 线性相关 i可由其余的向量线性表示.
第四章 n维向量
§4.2 向量组的线性相关性
1, 2, …, s, 线性相关
存在不全为零的k1, k2, …, ks, k使得
k11 + k22 + … + kss + k = .
第四章 n维向量
§4.2 向量组的线性相关性
3. 判定
k11 + k22 + … + kss =
ki 0
kii = k11 ki1i1 ki+1i+1 … kss
i =
kk1i 1
ki1 ki
i1
ki+1 ki
i+1
…
ks ki
s
i = k11 +ki1i1 +ki+1i+1 + … +kss k11 ki1i1 + 1i ki+1i+1 … kss =
第四章 n 维 向 量
第一节 n维向量空间 第二节 向量组的线性相关性 第三节 子空间的基和维数 第四节 向量的内积 第五节 线性方程组的
解的结构 第六节 最小二乘解 第七节 用Matlab解题
第四章 n维向量
§4.1 n维向量空间 一. n维向量的概念
§4.1 n维向量空间
分量
本质
n
维 向
几何背景
第四章 n维向量
§4.2 向量组的线性相关性
2. 几个常用的结论 (1) 含有零向量的向量组一定线性相关.
例如: 1 + 0 = .
(2) { }线性相关 存在k 0使得k =
=.
(3) {, }线性相关 与的分量成比例.
() k + l =
不妨设k
0
=
l
.
k
() 设 = k, 则1 k = .
§4.1 n维向量空间
1
0
0
e1 = 0 , e2 = 1 , …, en = 0 .
… … …
0
0
1
第四章 n维向量
任何一个n维向量
a1
= a2
§4.1 n维向量空间
…
an 都能由e1, e2, …, en线性表示.
1
0
0
= a1 0 + a2 1 + … + an 0 .
…
…
…
0
0
1
第四章 n维向量
第四章 n维向量
§4.1 n维向量空间
1
0 问：t为何值时两
例4. I: 1 = 1 , 2 = 2 , 个向量组等价？
2
1
1
2
1
II: 1 = 1 , 2 = 0 , 3 = 5 ,
3
t
0
10
令A = (1, 2) = 1 2 ,
21
1 2 1
B = (1, 2, 3) = 1 0 5 .
3t 0
……
1, 2, …, s线性
相关 方程组
kaa1ss1a1ks1 a+s2ka2s2a…ks2 +a…sn + kkannsnaksn Ax = 有非零解
第四章 n维向量
例4. n维基本单位向量组
§4.1 n维向量空间
…
… …
… …
1
0
0
e1 = 0 , e2 = 1 , …, en = 0
0
第四章 n维向量
§4.1 n维向量空间
注 ②向量组的线性表示与矩阵乘积
矩阵的乘积Cmn = Ams Bsn,
向量组的线性表示:
列向量j = b1j1 + b2j2 + …+ bsjs , j =1, 2, …, n, 行向量i = ai11 + ai22 + …+ aiss, i =1, 2,…, m.
4. 能由1, 2, …, s线性表示: = k11 + k22 + … + kss
第四章 n维向量
几何:
§4.1 n维向量空间
, 则与共线 能由线性表示
k1
= k1 + k2
k2
与不共线, 则 与, 共面 能由, 线性表示
第四章 n维向量
§4.1 n维向量空间
代数:
a11
a12
a1n
若1, 2, …, s, s+1, …, t线性无关, 则1, 2, …, s也线性无关.
第四章 n维向量
§4.2 向量组的线性相关性
(5) 当s > n时, n维向量1, …, s 线性相关.
关键
令 A = (1, …, s), 则 Ax = 中未知量的个数s >方程的个数n,
因而有非零解.
特别地, 任意n+1个n维向量线性相关.
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第四章 n维向量
§4.2 向量组的线性相关性
§4.2 向量组的线性相关性
一. 线性相关和线性无关
1. 定义
1, 2, …, s线性相关:
不全为零的k1, k2, …, ks使
k11 + k22 + … + kss = 1, 2, …, s线性无关: k11 + … +kss = k1 = … = ks = 0.
第四章 n维向量
注③矩阵等价与向量组等价
§4.1 n维向量空间
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n a2n
初等行变换
B
b11
b21
b12 b22
初等行变换
amn
bm1 bm2
b1n
b2
n
bmn
A = NB
B = MA
矩阵A与B的行向量组等价
(行等价)
第四章 n维向量
0
1
线性无关.
1
0
0
k1
k1 0 + k2 1 + … + kn 0 = k2
…
…
0
0
1
kn
第四章 n维向量
§4.2 向量组的线性相关性
1
1
2
1
例5. 1 =
2 1
, 2 =
1 2
,
3
=
1 2
, 4 =
2 2
.
3
0
1
k11 + k22 + k33 + k44
1k1 +1 k22+ 21k3 + kk14 = 22k1 1 k21+ k23 + k22k4
§4.1 n维向量空间
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n a2n
初等列变换
B
b11 b21
b12 b22
amn
初等列变换
bm1 bm2
b1n
b2
n
bmn
A = BN
B = AM
矩阵A与B的列向量组等价
(列等价)
第四章 n维向量
A
1 1
0 (1) 0
初等行变换
第四章 n维向量
§4.1 n维向量空间
1 (A B) = 1
0 2
12 10
1 5
初等 行变换
2 1 3t 0
101 011
2 t4
1 2
t= 5
1 0
0 1
1 1
2 1
1 2
0 0 0 102t 0
0000 0
12 (B A) = 1 0
1 1 5 1
0 2
初等 行变换
35 0 2 1
1 2 1 1 0 0 1 3 1 1 00 0 00
② S = Rn.
第四章 n维向量
§4.1 n维向量空间
3. 三个典型的例子
(1) K(Asn) = {x | Ax = } Rn —— A的核空间, Ax = 的解空间
, K(A), kR, A = , A = A( +) = A +A = +K(A)
A(k ) = k(A ) = k K(A)
b1
1 =
a21 …
, 2 =
a22 …
,
…, n =
a2n …
,
=
b2 , …
as1
as2
asn
bs
k11 + k22 + … + knn A = (1, 2, …, n)
k1
= (1, 2, …, n) k2
…
kn
能由1, 2, …, n
线性表示
方程组Ax = 有解
第四章 n维向量
例1. n维基本单位向量组