2019-2020学年高中数学 2.1.2函数的表示方法学案苏教版必修1.doc

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y＝________．
目链
接
答案：82，x，40≤≤x≤x<84，，
24－2x，8<x≤12.
2．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲
线 y＝f(x)，另一种是平均价格曲线 y＝g(x)[如 f(2)＝3 是指开始买卖后
2 小时的即时价格为 3 元；g(2)＝3 表示 2 个小时内的平均价格为 3
中小学精编教育课件
2．1.2 函数的表示方法
题型一函数的表示方法
例 1 由于学校实行寄宿制，为了方便同学们的日常生活，设立
了洗衣服务处，专为同学们提供洗床单、被罩等大件衣物的服务，规
定洗一次床单、被罩(不超过 2 件)付费 2 元．如果每洗超过 5 次，则
栏
给予一次免费洗的机会．
目链
接
(1)试填写下表：
栏目
(2)已知 f( x＋1)＝x＋2 x，求 f(x)，f(x＋1)，f(x2)；
链接
(3)已知 fx＋x 1＝x2x＋2 1＋1x，求 f(x)；
(4)已知 3f(x)＋2f(－x)＝x＋3，求 f(x)．
分析：(1)由已知，f(x)是二次函数，所以可设 f(x)＝ax2＋bx＋
k
.
综上得 f(x)的表达式为：
k（x＋2）（x＋4），x∈[－3，－2），
kx（x＋2），x∈[－2，0），
栏目
f(x)＝ x（x－2），x∈[0，2]，
链接
（x－2）k（x－4），x∈（2，3].
5．已知函数 f(x)满足条件：f(x)＋2f1x＝x，求 f(x)．
洗衣次数/ 13579
次
费用/元
(2)洗衣次数和洗衣费用谁是谁的函数？说说你的看法．

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修1 2.1.2 函数的表示方法》

函数的表示法教学设计江苏省锡山高级中学任方成教学分析本课是高三一轮复习内容，课本从引进函数概念开始就比拟注重函数的不同表示方法：解析法，图象法，列表法．函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．特别是在信息技术环境下，可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现，使学生通过函数的学习更好地的取值范围。

解：1由题图1得，二次函数的顶点坐标为，故可设函数，又函数的图象过点，故，整理得。

由题图2得，函数的图象过点和，故有2由1得是由和复合而成的函数，而在定义域上单调递增，要使函数在区间上单调递减，必须在区间上单调递减，且有恒成立。

由得,又t的图象的对称轴为。

所以满足条件的m的取值范围为。

例3、设函数那么满足的的取值范围是_____。

解析:此题主要考查分段函数及不等式的相关知识。

当时，，，，所以在时恒成立；当时，，，所以在时恒成立；当时，，此时，令，那么有，解得。

综上所述，满足的的取值范围是。

故此题正确答案为。

教法：教师示范引导复习，回忆知识点与标准的解题过程：例4、据某气象中心观察和预测：发生于地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度〔m/h〕与时间〔h〕的函数图象如下图．过线段上一点作横轴的垂线，梯形在直线左侧局部的面积即为h内沙尘暴所经过的路程m．〔1〕当时，求的值；〔2〕将随变化的规律用数学关系式表示出来；〔3〕假设城位于地正南方向，且距地650m，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到城．如果会，在沙尘爆发生后多长时间它将侵袭到城？如果不会，请说明理由．解：设直线交v与t的函数图象于D点。

〔1〕由图象知，点A的坐标为〔10，30〕，故直线OA的解析式为．当时，D点坐标为〔4，12〕，∴，∴〔m〕〔2〕当0≤≤10时，此时〔如图1〕，∴=；当10＜≤2021此时，AD=〔如图2〕，∴=；当202135时，∵B，C的坐标分别为〔20210〕，〔35，0〕，∴直线BC的解析式为，∴D点坐标为〔，〕，∴〔如图3〕，∴=．〔3〕∵当时，〔m〕；当时，〔m〕，而 450＜650＜675，所以N城会受到侵袭，且侵袭时间应在202135h之间．由，解得或〔不合题意，舍去〕．所以在沙尘爆发生后30h它将侵袭到N城．3、课堂小结本节课学习了：函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数．4、作业略。

苏教版数学高一必修1学案 2.1.2函数的表示方法

2．1．2函数的表示方法1．在实际情境中，会根据不同的要求选择恰当的方法表示函数．2．理解同一函数可以用不同的方法表示．1．函数的表示方法(1)列表法：用列表来表示两个变量之间函数关系的方法．(2)解析法：用等式来表示两个变量之间函数关系的方法，这个等式通常叫做函数的解析表达式，简称解析式．(3)图象法：用图象来表示两个变量之间函数关系的方法．1．列表法表示函数的优点在于不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值．这种方法常应用到实际生产和生活中．2．图象法表示函数的优点是通过图象可以直接观察出函数的变化趋势．气象台应用自动记录仪器描绘温度随时间变化的曲线，工厂的生产图象及股市走向图等，就是用图象法表示函数关系的．3．用解析法表示函数关系的优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值．【做一做1－1】客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了0．5 h，然后以80km/h的速度匀速行驶1 h到达丙地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是__________．答案：③【做一做1－2】某种杯子每只0．5元，买x只，所需钱数为y元，分别用列表法、图象法、解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数．解：(1)列表法：(2)图象法(如下图)．(3)解析法：y＝0．5x，x∈{1,2,3,4}．2．分段函数在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式．像这样的函数通常叫做分段函数．分段函数是一个函数而不是几个函数．生活中有很多可以用分段函数描述实际问题的模型，如出租车的计费、个人所得税纳税额等．分段函数的图象由几个不同部分组成，作分段函数图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出．分段函数的定义域应为各段上自变量取值的并集，如函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<x <1，x ，x ≥1的定义域为{x |x ＞0}．分段函数定义域是各段自变量取值集合的并集，值域是各段函数值集合的并集，在作图时，要特别注意每段端点的虚实．【做一做2】在实际问题中，常常使用表格，有些表格描述了两个变量的函数关系，比如，国内跨省市之间邮寄信函，每封信函的质量和对应邮资如下表：解：图象如图．解析式为：0.80,020,1.60,2040,2.40,4060,3.20,6080,4.00,80100.m m M m m m <≤⎧⎪<≤⎪⎪=<≤⎨⎪<≤⎪<≤⎪⎩1．如何求函数解析式？剖析：对于基本初等函数，通过待定系数法求之，即利用方程思想．对于实际应用问题，通常是研究自变量、函数与其他量之间的等量关系，从而将函数用自变量和其他量之间的关系表示出来，但不要忘记确定自变量的取值范围．如已知等腰三角形的周长为12，则底边长x 与腰长y 之间的函数关系是y ＝6－12x ，其中x ∈(0,6)．2．如何理解分段函数？剖析：(1)分段函数的表达式是分段表示的，即函数与自变量的关系不是只满足一个式子，而是在不同范围内有不同的对应法则，这样的函数关系是分段函数．(2)分段函数的定义域应为各段上自变量取值的并集，这一点与函数y ＝x －1＋1＋x 的定义域的求法不相同．(3)作分段函数的图象时，特别注意端点处点的虚实，如函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0的图象为(4)分段函数的表示法是解析法的一种形式．函数y ＝⎩⎨⎧22－6x ，0<x <11，－44，x ≥11不能写成y ＝22－6x,0＜x ＜11或y ＝－44，x ≥11．分段函数的表达式因其特点可以分成两个或两个以上的不同表达式，所以其图象也是由几部分组成的，可以是由光滑的曲线段组成，也可以是孤立的点或几段线段组成；求分段函数的函数值的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一区间，就用哪一区间上的解析式．题型一求函数解析式【例1】(1)已知函数f (x ＋1)＝x 2－3x ＋2，求f (x )； (2)已知f (x ＋4)＝x ＋8x ，求f (x 2)；(3)已知函数y ＝f (x )满足2f (x )＋1()f x＝2x ，x ∈R 且x ≠0，求f (x )； (4)已知一次函数f (x )满足f ［f (x )］＝4x －1，求f (x )．分析：求解析式的方法较多，如配凑法、换元法、方程法、待定系数法等，关键在于弄清对于“x ”而言，“f ”是怎样的对应法则，至于选择什么符号表示自变量没有关系．要特别注意正确确定中间变量的取值范围，如(2)中设x ＋4＝t ≥4，否则就不能正确确定f (x )的定义域．解：(1)方法一(换元法)：令t ＝x ＋1，则x ＝t －1，代入得f (t )＝(t －1)2－3(t －1)＋2， ∴f (t )＝t 2－5t ＋6，即f (x )＝x 2－5x ＋6．方法二(配凑法)：∵f (x ＋1)＝x 2－3x ＋2＝(x ＋1)2－5x ＋1＝(x ＋1)2－5(x ＋1)＋6， ∴f (x )＝x 2－5x ＋6．(2)方法一(配凑法)：∵f (x ＋4)＝x ＋8x ＝(x ＋4)2－16，∴f (x )＝x 2－16(x ≥4)． ∴f (x 2)＝x 4－16(x ≤－2，或x ≥2)．方法二(换元法)：设x ＋4＝t ≥4，则x ＝t －4，x ＝(t －4)2， ∴f (t )＝(t －4)2＋8(t －4)＝t 2－16． ∴f (x )＝x 2－16(x ≥4)．∴f (x 2)＝x 4－16(x ≤－2，或x ≥2)． (3)(方程法)∵x ∈R ，且x ≠0，由2f (x )＋1()f x＝2x ，① 将x 换成1x ，则1x换成x ，得12()f x＋f (x )＝2x ．②①×2－②，得3f (x )＝4x －2x ，即f (x )＝4x 3－23x．(4)(待定系数法)∵f (x )是一次函数， ∴设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f ［f (x )］＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝4x －1．∴⎩⎨⎧a 2＝4，ab ＋b ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－13或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝1.∴f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1．反思：对于已知f ［g (x )］的表达式，求f (x )的表达式的问题，一般方法是换元法，即设g (x )＝t ，解出用t 表示x 的表达式，代入求得f (x )的解析式．在用换元法解这类题时，特别要注意正确确定中间变量t 的取值范围．若题目中已知函数f (x )的函数类型，一般采用待定系数法，如第(4)小题，由于已知函数f (x )是一次函数，故可设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)．题型二分段函数的图象与应用【例2】试作出函数y ＝|x －1|和y ＝|x －1|＋|x ＋2|的图象．分析：y ＝|x －1|＝⎩⎨⎧x －1，x ≥1，1－x ，x <1，y ＝|x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x ≤－2，3，－2<x <1，2x ＋1，x ≥1.解：y ＝|x －1|的图象如图(1)． y ＝|x －1|＋|x ＋2|的图象如图(2)．反思：画带绝对值符号的简单函数的图象的基本方法是先求函数的定义域，然后化简函数解析式，就是去绝对值符号．(1)带一个绝对值符号的函数，根据绝对值的意义去绝对值符号．(2)带两个或两个以上绝对值符号的问题，常用“零点分段法”去绝对值符号，从而把函数写成分段函数的形式，然后作图．如本题(2)，令x －1＝0，得x ＝1；令x ＋2＝0，得x ＝－2．－2和1把数轴分成三部分(如下图所示)．【例3】设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )＞f (1)的解集是__________．解析：因f (1)＝12－4×1＋6＝3，所以原不等式可化为f (x )＞3．作出原函数的图象，如下图所示．再作出直线y ＝3，其交点坐标分别为(－3,3)，(1,3)和(3,3)，从图象观察即得．答案：(－3,1)∪(3，＋∞)反思：作为填空题，可利用数形结合的方法求解不等式，此方法直观、简洁、准确．题型三实际应用问题【例4】通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果表明，用f (x )表示学生掌握和接受概念的能力，f (x )的值越大，表示接受的能力越强，x 表示提出和讲授概念的的讲授时间(单位：分钟)，可有以下的公式：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.1x 2＋2.6x ＋43，0<x ≤10，59，10<x ≤16，－3x ＋107，16<x ≤30.(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？ (2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？(3)一道数学难题，需要55的接受能力以及13分钟的讲授时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题？解：(1)开讲10分钟后，学生的接受能力值为59，达到最强，并维持6分钟． (2)f (5)＝－0.1×52＋2.6×5＋43＝53.5； f (20)＝－3×20＋107＝47，所以开讲后5分钟学生的接受能力比开讲后20分钟强一些．(3)当0＜x ≤10时，f (x )＝－0．1x 2＋2．6x ＋43＝－0．1(x －13)2＋43＋16．9，f (x )ma x ＝f (10)＝59．令55≤f (x )≤59，解得6≤x ≤10．所以6≤x ≤10时，f (x )∈［55,59］，即开讲后10分钟里，学生只有后4分钟接受能力在55以上，然后有6分钟接受能力维持在59；当16＜x ≤30时，f (x )＝－3x ＋107．令f (x )≥55，解得x ≤523，即在这段时间里，学生只有43分钟接受能力维持在55以上．综上所述，开讲后学生共有4＋6＋43＝343分钟接受能力在55以上，故老师不能在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题．反思：实际问题往往都有一个陌生的情境，它需要我们仔细阅读题意．如果题中给的数量比较多，可以逐个理解和研究，然后把实际问题转化为数学问题，建立函数关系进行求解．1设函数f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ≤1，x 2＋x －2，x >1，则1(2)f f ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值为__________．解析：因为f (2)＝22＋2－2＝4，所以1f (2)＝14，1(2)f f ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝1()4f ＝1－21()4＝1516．答案：15162某城市出租车按如下方法收费：起步价6元，可行3 km(含3 km)，3 km 后到10 km(含10 km)每走1 km 加价0.5元，10 km 后每走1 km 加价0.8元，某人坐出租车走了12 km ，他应交费______元．解析：把收费y 元看成所走路程x km 的函数，当0＜x ≤3时，应交6元；当3＜x ≤10时，应交6＋(x －3)×0.5＝4.5＋0.5x (元)；当x ＞10时，应交4.5＋0．5×10＋(x －10)×0．8＝1.5＋0.8x (元)． ∴当x ＝12时，y ＝1.5＋0．8×12＝11.1(元)．答案：11.13某客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100千米，票价是每千米0．5元，如果超过100千米，超过部分按每千米0．4元定价，则客运票价y (元)与行程数x (千米)之间的函数关系式是__________．解析：根据行程是否大于100千米来求出解析式，由题意，得当0＜x ≤100时，y ＝0.5x ，当x ＞100时，y ＝100×0.5＋(x －100)×0.4＝10＋0.4x ．答案：y ＝⎩⎨⎧0.5x ，0<x ≤100，10＋0.4x ，x >100已知函数h (x )＝f (x )＋g (x )，其中f (x )是x 的正比例函数，g (x )是x 的反比例函数，1()163h =＝16，h (1)＝8，求h (x )及其定义域．分析：本题中已知函数的模型，用待定系数法求解析式．解：设f (x )＝k 1x (k 1≠0)，g (x )＝k 2x (k 2≠0)，则h (x )＝k 1x ＋k 2x．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k 13＋3k 2＝16，k 1＋k 2＝8.解得123,5k k ⎧⎨⎩＝，＝．所以h (x )＝3x ＋5x，定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．5已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x >0，1，x ＝0，－1x，x <0.(1)画出函数的图象； (2)求f (1)，f (－1)的值．分析：分别作出f (x )在x ＞0，x ＝0，x ＜0各段上的图象，合在一起得函数的图象．解：(1)如图所示．(2)f (1)＝12＝1，f (－1)＝－1－1＝1．。

苏教版数学高一《函数的表示方法》精品学案

§2.1.2函数的表示方法(一)
【学习目标】：
掌握函数的三种表示方法（列表法，解析法，图象法），及其互相转化；Байду номын сангаас解分段函数的概念。
【教学过程】：
一、复习引入：回顾初中学过的函数及其表示方法
二、新课讲授：
函数的三种表示方法：
列表法：
解析法：
图象法：
三、典例欣赏
例1．购买某种饮料x听，所需钱数为y元。若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y表示为x（x∈{1，2，3，4}）的函数，并指出函数的值域。
，且此函数的定义域是
7.函数的定义域为
8.设函数，则＝．
9．若一个函数满足，则满足该条件的一个函数解析式是
10．（1）作出函数y=2x2+|x2-1|的图象。（2）作出函数y=|x-2|(x+1)的图象。
11.某公司将进货单价为8元一个的商品按10元一个销售，每天可卖出100个，若这个商品的销售价每个上涨1元，则销售量就减少10个。
1.物体从静止开始下落，下落的距离与下落时间的平方成正比。已知开始下落的内，物体下落了，则开始下落的内物体下落的距离是
2.已知函数，则 =
3．已知函数则
4.已知，试写出从集合A到集合B的两个函数
5.请写出三个不同的函数解析式，满足。
6.建造一个容积为、深为的长方形无盖水池，如果池底与池壁的造价分别为和，则总造价（元）与关于底面一边长（）的函数解析式是
13．函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，当时，写出的解析式，并作出函数的图象.
14．已知函数 .
（1）求的值；（2）计算： .
【拓展提高】
15．已知两个函数，

高中数学2.1函数的表示方法(2)教案(苏教版必修1)

第五课时函数的表示方法（2）1．掌握函数的概念，能正确求出函数的定义域、值域；2．领会题意正确地求出两个变量的函数关系；3．能解决简单的复合函数的解析式和定义域问题．自学评价1．下列函数中，与2(2)y x x =->相同的函数是（ D ）A ．2-=x yB ．2-=x yC．22--=x x y D ．2)22(--=x x y 2．下列图象中，表示函数关系()y f x =的是（ A ）3．作出函数221,[1,3)y x x x =--∈-的图象。

解：2(1)2,[1,3)y x x =--∈-例1：（1）则此函数的定义域为，(1)f x += ，函数(1)y f x =+的定义域为。

（2）若函数()y f x =的定义域为[1,3)，则函数(1)y f x =+的定义域为。

AC解：（1）由10x -≥得1x ≥，∴()f x 的定义域为[1,)+∞，(1)f x +=，∴(1)y f x =+的定义域为[0,)+∞。

（2）从（1）的解决可以体会，（1）中函数(1)y f x =+的定义域实际可以由11x +≥求出。

从形式上看，函数()y f x =的定义域为[1,3)，即“f ”后面的“（）”内的范围为[1,3)，故(1)y f x =+的定义域应由113x ≤+<得到，即02x ≤<。

例2：如图实线部分，某电影院的窗户的上部呈半圆形，下部呈矩形。

已知窗户的外框的周长是l ，矩形的水平边的长是x ，求窗户的采光面的面积y 与x 的函数解析式，并指出函数的定义域。

【解】由题意AB x =， 2CD x π=， 22l x x AD π--=， ∴2()2222x l x x y x ππ--=⋅+，即2482l y x x π+=+。

由问题的实际意义可知： 0202x l x x π>⎧⎪⎪⎨--⎪>⎪⎩，解得202l x π<<+。

高中数学 2.1.2函数的表示方法学案苏教版必修1

2.1.2 函数的表示方法一、教学目标：1.明确函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法），了解三种表示方法各自的优点，在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。

2.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。

二、学习过程：1、复习回顾（1）函数的三要素是、、。

（2）已知函数f(x)=112 x ，f(0)= 、f (x)的定义域是、f(x 1)= 。

（预习课本P 33--P 35）2、新知探究探究任务：函数的三种表示方法讨论：结合具体实例，说明三种表示方法及优缺点。

小结：解析法：。

优点：。

图象法：。

优点：。

列表法：。

优点：。

3、典型例题例1 购买某种饮料x 听，所需钱数为y 元．若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y 表示成x (x ∈{1，2，3，4})的函数，并指出该函数的值域．例2已知函数f(x)=∣x ∣，（1）求f(-2)、f(-1)、f(1)、f(2)、f(0)的值；（2）画出该函数的图像。

尝试：画函数 f(x)=∣x-2∣、 f(x)=∣x+2∣图像.讨论：上述三个函数的图像有何共同特征？函数f(x)=∣x-2∣、 f(x)=∣x+2∣图像与函数f(x)=∣x∣图像之间有何联系？例3 徐州市出租车汽车收费标准如下：在3km以内（含3km）路程按起步价7元收费，超过3km以外的路程按2元/km。

1．某乘客坐车，若路程是2km则车费元，若路程是5km则车费是元。

2．试写出收费额y关于路程x的关系式。

引伸：某乘客坐车付车费15元，则该乘客的乘车路程是 km.。

4、达标检测（1）．1海里约合1852米，根据这一关系，则米数y关于海里数x的函数解析式。

（2）．用长为30cm的铁丝围成矩形，将矩形面积s（cm2）表示为矩形一边长x（cm）的函数。

（3）．已知()()[)⎩⎨⎧+∞∈+∞-∈+=,0,120,,322xxxxxf，求f(0)，f[f(-1)]的值。

-高中数学 2.1.2函数的表示方法学案苏教版必修1

【金版学案】2015-2016年高中数学 2.1.2函数的表示方法学案苏教版必修11．表示函数的三种常用方法分别是解析法、图象法、列表法． 2．列表法就是用列表来表示两个变量之间函数关系的方法． 3．图象法就是用图象来表示两个变量之间函数关系的方法． 4．解析法就是用等式来表示两个变量之间函数关系的方法．5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，1x，x ＜0.若f (a )＞a ，则实数a 的取值范围是{a |a ≥0或a ＜－1}．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤1，－x ＋3，x ＞1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52等于(B )A.12B.32C.52D.927．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ＞0，π，x ＝0，0，x ＜0，则f (f (f (－1)))＝π＋1．8．已知f (2x －1)＝x 2(x ∈R )，f (x )的解析式为f (x )＝（x ＋1）24．,一、函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种． (1)解析法．优点：用解析法表示函数的优点，一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是通过解析式可求出任意一个自变量对应的函数值．(2)列表法．优点：列表法的优点是不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值，这种表格常常应用到实际生产和生活中去．(3)图象法．优点：用图象法表示函数关系的优点，是能直观形象地表示出函数的变化情况．二、求函数解析式的常见题型与解题方法 (1)已知f (x )与g (x )，求f (g (x ))类型．这种题型一般用“代入法”求解，即把f (x )中的x 代换为g (x )，并运算化简即可．(2)已知f (h (x ))＝g (x )，求f (x )类型．这种题型一般用“换元法”或“配凑法”求解．用“换元法”，可设t ＝h (x )，并解得x ＝h －1(t )，然后代入g (x )中可得f (t )＝g (h －1(t ))，最后将t 换成x 便得f (x )＝g (h －1(x ))．使用换元法时，要留心换元前后的等价性．用“配凑法”时，要将g (x )配凑成h (x )的多项式，并以x 替换h (x )即可．(3)已知f (x )满足某个等式，这个等式除含有f (x )这个未知量外，还有其他未知量，如f (－x )，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 等．这种题型一般用“解方程组法”求解．求解的关键是根据已知的等式以代换的方式构造另一个关于f (x )的等式，并与已知的等式组成方程组，解该方程组即可求得f (x )．(4)已知f (x )的结构特征，求f (x )．这种题型一般用“待定系数法”求解，依据f (x )的结构特征设出f (x )的表达式，由已知条件列出关于f (x )中未知参数的方程组，解出方程组后代回f (x )即可．(5)已知f (x )的图象，求f (x )．这类题型一般用“数形结合”的方法求解．求解时，要紧紧抓住图象特征，并留心端点值的归属问题．(6)实际问题意义下函数解析式的求法．这种题型要通过仔细阅读题目，合理引入变量，将实际问题抽象归纳出函数的问题，从而建立起相应的函数关系式．三、分段函数理解分段函数应注意以下几点：(1)分段函数是生产生活中的重要函数模型，应用非常广泛．(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，分段函数是一个函数，不是两个或多个函数，其本质是在定义域的不同区间，对应关系不同．(3)分段函数的每一段或者说区间，可以是等长的，也可以是不等长的．(4)画分段函数的图象时，要特别注意自变量取区间端点处的函数值情况，这也往往是判断图形是否为函数的图象的关键所在．基础巩固1．如图，在△AOB 中，点A (2，1)，B (3，0)，点E 在射线OB 上自O 开始移动．设OE ＝x ，过E 作OB 的垂线l ，记△AOB 在直线l 左边部分的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象是(D )解析：当0≤x ≤2时，S ＝14x 2，排除B 、C ；当2＜x ≤3时，S ＝12×3×1－12(x －3)2＝12(－x 2＋6x －6)；当x ＞3时，S ＝12×3×1＝32.2．某同学从家里赶往学校，一开始乘公共汽车匀速前进，在离学校还有少许路程时，改为步行匀速前进到校．下列图形纵轴表示该同学与学校的距离s ，横轴表示该同学出发后的时间t ，则比较符合该同学行进实际的是(D )解析：依题意：s 表示该同学与学校的距离，t 表示该同学出发后的时间，当t ＝0时，s 最远，排除A 、B ，由于汽车速度比步行快，因此前段迅速靠近学校，后段较慢．故选D.3．g (x )＝1－2x ，f (g (x ))＝1－x 2x 2(x ≠0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝(C )A ．1B ．3C ．15D ．30解析：由g (x )＝12得：1－2x ＝12⇒x ＝14，代入1－x2x2得：1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝15.4．定义两种运算：a ⊕b ＝a 2－b 2，a ⊗b ＝（a －b ）2，则函数f (x )＝2⊕x （x ⊗2）－2的解析式为(D )A ．f (x )＝4－x2x，x ∈[－2，0)∪(0，2]B ．f (x )＝x 2－4x，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．f (x )＝－x 2－4x ，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．f (x )＝－4－x2x，x ∈[－2，0)∪(0，2]解析：由题知2⊕x ＝4－x 2，x ⊗2＝（x －2）2，则f (x )＝4－x2（x －2）2－2，又4－x2≥0，∴－2≤x ≤2，则f (x )＝4－x 22－x －2＝－4－x2x，－2≤x ≤2，且x ≠0.5．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n －3，n ≥10，f （f （n ＋5）），n <10(n ∈N *)，则f (5)＝(D)A ．5B ．6C ．7D ．8解析：f (5)＝f [f (10)]＝f (7)＝f [f (12)]＝f (9)＝f [f (14)]＝f (11)＝11－3＝8.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x ，x ≤0，2，x >0，则方程f (x )＝x 的解的个数为________．解析：x >0时，x ＝f (x )＝2；x ≤0时，x 2＋3x ＝x ⇒x ＝0或－2. 答案：3个7．已知正方形的周长为x ，它的外接圆半径为y ，则y 关于x 的解析式是________．答案：y ＝28x8．若f (x )＝x 2＋4x ＋3，f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24(a ，b 为常数)，则5a －b ＝________．解析：∵f (x )＝x 2＋4x ＋3，∴f (ax ＋b )＝(ax ＋b )2＋4(ax ＋b )＋3＝a 2x 2＋(2ab ＋4a )x ＋b 2＋4b ＋3.又f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，2ab ＋4a ＝10，b 2＋4b ＋3＝24⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－7.∴5a －b ＝2. 答案：29．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x ＝1－x 21＋x 2，求f (x )的解析式．解析：令1＋x 1－x ＝t ，则x ＝t －1t ＋1，∴f (t )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t ＋121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t ＋12＝2t t 2＋1，∴f (x )＝2xx 2＋1. 由于t ＝1＋x 1－x ＝－1＋21－x ≠－1，∴f (x )＝2xx 2＋1(x ≠－1)．10．已知二次函数满足f (3x ＋1)＝9x 2－6x ＋5，求f (x )．解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (3x ＋1)＝a (3x ＋1)2＋b (3x ＋1)＋c ＝9ax 2＋(6a ＋3b )x ＋a ＋b ＋c .∵f (3x ＋1)＝9x 2－6x ＋5，∴9ax 2＋(6a ＋3b )x ＋a ＋b ＋c ＝9x 2－6x ＋5.比较两端系数，得⎩⎪⎨⎪⎧9a ＝9，6a ＋3b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，c ＝8.∴f (x )＝x 2－4x ＋8.11．已知二次函数f (x )的图象经过A (0，2)，B (1，0)，C (3，2)三点，求f (x )的解析式．解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，把A ，B ，C 三点坐标代入得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＋b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝2⇒⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－3，c ＝2.∴f (x )＝x 2－3x ＋2. 能力提升12．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一位代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一位代表，那么各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为(B )A ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310 C ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410 D ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510 解析：当x ＝56时，y ＝5，排除C ，D ；当x ＝57时，y ＝6，排除A.∴只有B 正确．13．任取x 1、x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＞12[f (x 1)＋f (x 2)]，则f (x )在[a ，b ]上是凸函数，在以下图象中，是凸函数的图象是(D )解析：只需在图形中任取自变量x 1，x 2，分别标出它们对应的函数值及x 1＋x 22对应的函数值，并观察它们的大小关系即可．14．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧C x ，x <A ，CA ，x ≥A ，A ，C 为常数．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是(D )A ．75，25B ．75.16C ．60，25D ．60，16 解析：：由条件可知，x ≥A 时所用时间为常数，所以组装第4件产品用时必须满足第一段分段函数，即f (4)＝C 4＝30⇒C ＝60，f (A )＝60A＝15⇒A ＝16.15．已知函数f (x )，g (x )则f (g (1))的值为值是________ 解析：f (g (1))＝f (3)＝1，当x ＝1时，f (g (1))＝f (3)＝1，g (f (1))＝g (1)＝3，不满足；当x ＝2时，f (g (2))＝f (2)＝3，g (f (2))＝g (3)＝1，满足；当x ＝3时，f (g (3))＝f (1)＝1，g (f (3))＝g (1)＝1，不满足． ∴x ＝2. 答案：1 216．设函数f (x )＝⎩⎨⎧（x ＋1）2，x ＜1，4－x －1，x ≥1，则使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围为________．解析：x ＜1时，f (x )≥1⇔(x ＋1)2≥1⇔x ≤－2或x ≥0⇔x ≤－2或0≤x ＜1；x ≥1时，f (x )≥1⇔4－x －1≥1⇔x －1≤3⇔x ≤10⇒1≤x ≤10.∴x ≤－2或0≤x ≤10.答案：(－∞，－2]∪[0，10]17．定义运算a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b ，则对x ∈R ，函数f (x )＝x *(2－x )的解析式为f (x )＝________．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤1，2－x ，x ＞1.18．某种商品在30天内每件的销售价格P (元)与时间t (天)的函数关系用图甲表示，该商品在30天内日销售量Q ((1)根据提供的图象(t 的函数解析式； (2)在所给平面直角坐标系(图乙)中，根据表中提供的数据描出实数对(t ，Q )的对应点，并确定一个日销售量Q 与时间t 的函数解析式；(3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量)．解析：(1)根据图象，每件的销售价格P 与时间t 的函数解析式为： P ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20，0＜t ＜25，t ∈N ，－t ＋100，25≤t ≤30，t ∈N .(2)描出实数对(t ，Q )的对应点，如下图所示．从图象发现：点(5，35)，(15，25)，(20，20)，(30，10)似乎在同一条直线上，为此假设它们共线于直线l ：Q ＝kt ＋b .由点(5，35)，(30，10)确定出l 的解析式为Q ＝－t ＋40，通过检验可知，点(15，25)，(20，20)也在直线l 上．∴日销售量Q 与时间t 的一个函数解析式为 Q ＝－t ＋40(0＜t ≤30，t ∈N )． (3)设日销售金额为y (元)，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋20t ＋800，0＜t ＜25，t ∈N ，t 2－140t ＋4 000，25≤t ≤30，t ∈N . 因此y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－（t －10）2＋900，0＜t ＜25，t ∈N ，（t －70）2－900，25≤t ≤30，t ∈N . 若0＜t ＜25(t ∈N )，则当t ＝10时，y max ＝900；若25≤t ≤30(t ∈N )，则当t ＝25时，y max ＝1 125. 因此第25天时销售金额最大，最大值为1 125元．。

2019-2020学年高中数学《函数》教案苏教版必修1.doc

2019-2020学年高中数学《函数》教案苏教版必修1
教学内容必修一函数复习教学重点
求定义域、函数的单调性及奇偶性的证
明。

教学目标1．理解并掌握函数的概念，能对函数的三要素进行熟练的求解；2．会判断函数的单调性及奇偶性；
3．分段函数及复合函数的单调性的确定；
一、教学过程：
二、本次课后作业：讲义纸上未完成的练习题
审核人签字：
三、教师评定：
1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差
2、学生本次上课情况评价：○好○较好○一般○差
教师签字：
四、学生对于本次课的评价：
○差○一般○满意○特别满意学生签字：负责人签字： _________。

高中数学2.1.2函数的表示方法(1)教案(无答案)苏教版必修1

型，了解函．通过教学，培养学生重要的数学思想方法——分类思想方法记．三种不同方法的优缺点：．三种不同方法的相互转化：能用解析式表示的，一般都能列出符合解析法、列表法、图象法将，若这种商品的销售价每个上涨（二）练习：，求精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

高中数学第二章函数 2.1.2 函数的表示方法学案苏教版必修1

2.1.2 函数的表示方法1．理解函数的三种表示方法(图象法、列表法、解析法)，会选择恰当的方法表示简单情境中的函数．(重点)2．了解简单的分段函数，能写出简单情境中的分段函数，并能求出给定自变量所对应的函数值．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 函数的表示方法阅读教材P33开头至例1，完成下列问题．函数的表示方法1．判断(正确的打“√” ，错误的打“×”)(1)任何一个函数都可以用列表法表示．( )(2)任何一个函数都可以用解析法表示．( )(3)有些函数能用三种方法来表示．( )【答案】(1)×(2)×(3)√2．某同学去商店买笔记本，单价5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元，试用三种方法表示函数y＝f (x)．【解】列表法：解析法：y 图象法：教材整理2 分段函数阅读教材P 34例2，例3，完成下列问题．1．在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式．像这样的函数，通常叫做分段函数． 2．分段函数定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集．3．分段函数图象：画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象．分段函数是一个函数，因此应在同一坐标系中画出各段函数图象．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，x 2－1，x <0，则f (x )的定义域为________，值域为________．【解析】定义域为{x |x >0或x <0}＝{x |x ≠0}，当x >0时，f (x )>0，当x <0时，f (x )>－1，∴值域为{y |y >－1}．【答案】 {x |x ≠0} {y |y >－1}[小组合作型]求下列函数的解析式．(1)已知f (x )为一次函数，f (2x ＋1)＋f (2x －1)＝－4x ＋6，则f (x )＝________. (2)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________.(3)已知f (x )为一次函数，且f (f (x ))＝4x －1，则f (x )＝________.(4)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ＞0，x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则f (x )的解析式为________．(5)若f ⎝⎛⎭⎪⎫x －2x ＝x 2＋4x2，则f (x )＝________.【精彩点拨】 (1)(3)(4)可以设出函数解析式，用待定系数法求解．(2)可以把x ＋1看作一个整体来求解．(5)可以把x －2x看作一个整体来求解．【自主解答】 (1)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)＋b ， f (2x －1)＝a (2x －1)＋b ，f (2x ＋1)＋f (2x －1)＝4ax ＋2b ＝－4x ＋6，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝－4，2b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，即函数f (x )的解析式为f (x )＝－x ＋3. (2)法一令x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝(t －1)2， ∴f (t )＝(t －1)2＋2t －2＝t 2－1，∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．法二 f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2－1， ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(3)设所求函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，所以f (f (x ))＝f (kx ＋b )＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x＋kb ＋b ＝4x －1，则⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝4，kb ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－13或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝1，所以f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1.(4)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧16－4b ＋c ＝c ，4－2b ＋c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝2，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2， x ＞0，x 2＋4x ＋2， x ≤0，(5)f ⎝⎛⎭⎪⎫x －2x ＝x 2＋4x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 2＋4，∴f (x )＝x 2＋4.【答案】 (1)－x ＋3 (2)x 2－1(x ≥1) (3)2x －13或－2x ＋1(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ＞0x 2＋4x ＋2，x ≤0 (5)x 2＋4求函数解析式的常用方法1．待定系数法：已知函数f (x )的函数类型，求f (x )的解析式时，可根据类型设出其解析式，将已知条件代入解析式，得到含待定系数的方程(组)，确定其系数即可．2．换元法：令t ＝g (x )，注明t 的范围，再求出f (t )的解析式，然后用x 代替所有的t 即可求出f (x )，一定要注意t 的范围即为f (x )中x 的范围．3．配凑法：已知f (g (x ))的解析式，要求f (x )时，可从f (g (x ))的解析式中拼凑出“g (x )”，即用g (x )来表示，再将解析式两边的g (x )用x 代替即可．4．代入法：已知y ＝f (x )的解析式求y ＝f (g (x ))的解析式时，可直接用新自变量g (x )替换y ＝f (x )中的x .[再练一题]1．(1)已知f (x )是一个正比例函数和一个反比例函数的和，且f (2)＝3，f (1)＝3，则f (x )＝________.(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝________.【解析】 (1)设f (x )＝k 1x ＋k 2x ，则⎩⎪⎨⎪⎧f ＝k 1＋k 2＝3，f＝2k 1＋k 22＝3⇒⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝1，k 2＝2，∴f (x )＝x ＋2x.(2)令t ＝x ＋1x (t ≠1)，则x ＝1t －1，∴f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －12＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －12＋(t －1)＝t 2－t ＋1，∴f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．【答案】 (1)x ＋2x(2)x 2－x ＋1(x ≠1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－2，x 2－2x ，－2<x <2，2x －1，x ≥2.(1)求f (－5)，f (－3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52的值； (2)若f (a )＝3，求实数a 的值； (3)作出f (x )的图象，并求值域．【精彩点拨】 (1)先分析－5，－3，－52在哪一段上，再分别求值．(2)函数值为3的a ，应逐段分析讨论． (3)逐段作出图象并观察值域．【自主解答】 (1)f (－5)＝－5＋1＝－4，f (－3)＝(－3)2－2(－3)＝3＋2 3.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝⎛⎭⎪⎫－52＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫－322－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫214＝2·214－1＝192.(2)当a ≤－2时，f (a )＝a ＋1, 当a ＋1＝3时，则a ＝2(舍去)，当－2<a <2时，f (a )＝a 2－2a ＝3，∴a ＝－1或a ＝3(舍)，∴a ＝－1. 当a ≥2时，f (a )＝2a －1＝3，∴a ＝2. 综上a ＝－1或2.(3)由图可得f (x )的值域为R .1．分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求值．2．已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用范围；也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解．3．求分段函数的定义域时，取各段自变量的取值范围的并集即可．求分段函数的值域时，要先求出各段区间内的值域，然后取其并集．[再练一题]2．例2中求f (x )与直线y ＝b 的交点个数．【解】当b <－1时，y ＝b 与y ＝f (x )有一个交点；当－1≤b <0时，y ＝b 与y ＝f (x )有两个交点；当0≤b <3时，y ＝b 与y ＝f (x )有一个交点；当3≤b <8时，y ＝b 与y ＝f (x )有两个交点；当b ≥8时，y ＝b 与y ＝f (x )有一个交点．[探究共研型]探究1 【提示】主导思想是消元，常用的消元方法有代入消元和加减消元两种．探究2 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝4，①A －B ＝6，②【提示】法一(代入消元法)：由②得A ＝B ＋6，代入①得B ＋6＋B ＝4，∴B ＝－1，代入A ＝B ＋6，得A ＝5，∴A ＝5，B ＝－1.法二(加减消元法)：①＋②得2A ＝10，∴A ＝5， ①－②得2B ＝－2，∴B ＝－1.探究3 探究2中，每个等式右边如果是代数式，如⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝x 2，A －B ＝4x ，能求A ，B 吗？【提示】能求A ，B .仍可以采用上述两种方法．两式相加得2A ＝x 2＋4x ，∴A ＝x 2＋4x2，两式相减得2B ＝x 2－4x ，∴B ＝x 2－4x2.求解析式，(1)已知f (x )＋2f (－x )＝1x，求f (x )；(2)已知2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝3x ，求f (x )．【精彩点拨】将f (x )与f (－x )，f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x分别看作两个变量，构造这两个变量的方程组，通过解方程组求f (x )．【自主解答】 (1)∵f (x )＋2f (－x )＝1x，①用－x 替换x 得f (－x )＋2f (x )＝－1x，②②×2－①得3f (x )＝－2x －1x ＝－3x ，∴f (x )＝－1x.(2)∵2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，用1x替换x 得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x，消去f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 得3f (x )＝6x －3x，∴f (x )＝2x －1x.方程组法(消去法)，适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如：互为倒数⎝ ⎛⎭⎪⎫f x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，互为相反数(f (－x )，f (x ))的函数方程，通过对称构造一个对称方程组，解方程组即可．在构造对称方程时，一般用1x或－x 替换原式中的x 即可．[再练一题]3．已知f (x )满足f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋x ，则f (x )的解析式为________.【解析】用1x替换x 得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )＋1x，代入上式得f (x )＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2f x ＋1x＋x ，解得f (x )＝－23x －x3.【答案】 f (x )＝－23x －x31．已知函数f (3x ＋1)＝x 2＋3x ＋2，则f (10)＝________.【解析】令3x ＋1＝10，∴x ＝3，代入得f (10)＝32＋3×3＋2＝20. 【答案】 202．已知f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )＝________. 【解析】设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)， ∵2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －b ＝5，k ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3，b ＝－2，∴f (x )＝3x －2. 【答案】 3x －23．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >0，π，x ＝0，0，x <0，则f ( f (－3))等于________．【解析】由分段函数式可知f (f (－3))＝f (0)＝π. 【答案】 π4．已知x ≠0时，函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x2，则f(x )的表达式为____________．【解析】 ∵f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x2＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2，∴f (x )＝x 2＋2(x ≠0)．【答案】 f (x )＝x 2＋2(x ≠0)5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，0≤x ≤2，2x ，x >2.(1)求f (2)，f (f (2))的值； (2)若f (x 0)＝8，求x 0的值.【解】 (1)∵0≤x ≤2时，f (x )＝x 2－4，∴f (2)＝22－4＝0，f (f (2))＝f (0)＝02－4＝－4.(2)当0≤x 0≤2时，由x 20－4＝8，得x0＝±23(舍去)；当x0>2时，由2x0＝8，得x0＝4. ∴x0＝4.。

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