线性代数_schmidt正交化_方程组求解.do

第四章 n维向量
第5节 线性方程组解的结构
第四章 n维向量
§4.5 方程组解的结构
§4.5 线性方程组解的结构 一. 线性方程组的相容性 回忆： ARsn, bRs , 对于线性方程组Ax=b, ~ 行变换 阶梯形[A, ~ [A, b] b] ~ ~ ~ (1)Ax=b有解 <=> A 与 (A, b) 的非零行 数相等； ~ ~ ~ (2)当A 与 (A, b) 的非零行数都等于n时, Ax=b有唯一解； ~ ~ ~ (3)当A 与 (A, b) 的非零行数(记为r)相等 且小于n时, Ax=b有无穷多解, 通解中 例1 含有n – r 个自由未知量.
cos2 +sin2 QT Q = 0
0 = E. 2 +cos2 sin
cos sin Q= sin cos 对应的正交变换
Q O
y


x

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§4.4 向量的内积
1 0 Q= 0 1
y

Q x
对应的正交变换
O
1 0 Q= 0 1
Q
y

x

对应的正交变换
O
的一般解. 1 3 2 1 1 -2 1 3 -2 4 1 7 4 11 8 0 5 3

第四章 n维向量
§4.5 方程组解的结构
定理4.14. 设ARsn, 秩(A) = r. (1) 若r = n, 则Ax = 没有基础解系; (2) 若r < n, 则Ax = 有基础解系, 且 dimK(A) = n – r.
c1,r+1 c2,r+1 … cr,r+1 1 = , 2 = 1 0 … 0 c1,r+2 c2,r+2 … cr,r+2 , 0 1 … 0 c1n c2n … crn nr = . 0 0 … 1
8 《高等代数》， 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组 王萼芳 石生明 著，高等教育出版社 （较难，数学系教材）
第四章 n维向量
第4节 向量的内积
第四章 n维向量
§4.4 向量的内积
二. 正交向量组和Schmidt正交化方法 1. 概念 正交向量组 标准正交向量组
正交基
标准正交基

第四章 n维向量
几何与代数
主讲: 王小六
线性代数的相关资料： 1 《Introduction to Linear Algebra》，Gilbert Strang 著，麻省理工开放 课程链接： http://hi.baidu.com/lyltim/blog/item/7a80a144ba1b2a97b2b7dcc6.html 2 《Linear algebra and its applications》/线性代数及其应用/[美] David C. Lay 著 3 《Linear algebra with applications》/线性代数/Steven J. Leon. 著
行 [A b] 初等 阶 行变换 梯 形
秩(A) = 秩([A b])?
N
无解 求得Ax=b 的一般解
简 Y 初等 化 行变换 阶 梯 形 求得Ax=b的 特解和Ax= 的基础解系

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§4.5 方程组解的结构
例6. 求方程组 x1 3 x 2 2 x 3 x 4 x 5 2 , x1 3 x 2 2 x 3 4 x4 x5 7， 4 x 11x 8 x 5 x 3 2 3 5 1
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§4.5 方程组解的结构
求解齐次线性方程组Ax = 的基础解系的 一般步骤：
行 初等 阶 A 行变换 梯 形
秩(A) < n?
N
只有零解
简 Y 初等 化 行变换 阶 梯 形
求得 通解
求得基 础解系
第四章 n维向量
§4.5 方程组解的结构
例2 设矩阵A 经初等行变换化为 1 0 2 0 3 0 1 1 0 -2 , 0 0 0 1 0
<=> r(A,bj) = r(A), j =1,2,…,t.
<=> r(A, b1 b2 … bt)=r(A). (思考)
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§4.5 方程组解的结构
二. 齐次线性方程组的解的结构 1. 设ARsn,下列集合构成Rn的一个子空间. {Rn | A = }:= K(A) 称其为Ax= 的解空间或矩阵 A 的核空间 (零空间). 事实上, A = , A = A( +)=A +A = . 另外, A = A(k )= k (A )= .
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§4.5 方程组解的结构
§4.5 线性方程组解的结构 一. 线性方程组的相容性 回忆： ARsn, bRs , 对于线性方程组Ax=b, ~ 行变换 阶梯形[A, ~ [A, b] b] ~ ~ A 的非零行数 = r(A) = r(A)； ~ ~ ~ ~ (A, b) 的非零行数 = r(A, b) = r(A, b).
例1
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§4.5 方程组解的结构
§4.5 线性方程组解的结构 一. 线性方程组的相容性 定理4.13. 设ARsn, bRs, 则 (1) Ax=b有解r([A, b]) = r(A); (2) 当r([A, b])=r(A)=n时, Ax=b有 唯一解; (3) 当r([A, b])=r(A)<n时, Ax=b 有 无穷多解, 且通解中含有n r(A) 个自由未知量.

第二章 n维列向量
§2.6 内积与正交矩阵
三. 正交矩阵(orthogonal matrix) 定义 满足QTQ = E 或QQT = E (即Q1 = QT) 的实方阵Q称为正交矩阵, 简称为正交阵.
定理4.12. 设Q为n阶实方阵, 则下列条件等价: (1) Q是正交阵; (2) Q的行(列)向量组构成Rn的一组 标准正交基; (3) QT是正交阵; (4) Q1是正交阵. 性质. (1) Q为正交阵|Q| = 1; (2) A, B为正交阵 AB为正交阵.
4 东南大学线代精品课程网站 http://zlgc.seu.edu.cn/jpkc/2010jpkc/jhdskc/Home/Index.maspx
5 同济的，浙大唐明编写的，东大张小向编写的“习题书” 6 《高等代数.定理· 问题· 方法》/胡适耕，刘先忠编著 O15/36 7 《线性代数学习指导》/樊恽, 郑延履, 刘合国编 O151.2-42/18
§4.5 方程组解的结构
2. 1, 2, …, s
Ax =的一个基础解系
= k11+k22+…+kss
任意数
Ax =的一般解
例1 设矩阵A 经过一系列初等行变换可化为 1 1 0 1 3 0 0 1 0 -2 0 0 0 0 0 求方程组Ax = 的基础解系.

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§4.4 向量的内积
2. 结论 定理4.10. 1, 2, …, s正交线性无关. 发现的结论 设1, 2, …, s是标准正交向量组, 且 = k11+k22+…+kss, 则ki = <, i>, i = 1, 2, …, s.
定理4.11 每个非零的向量空间V 都有标准 正交基 .

第四章 n维向量
§4.4 向量的内积
Schmidt正交化方法(务必掌握)：
1 = 1,
<2, 1> 2 = 2 1, <1, 1> ……… <s, 1> <s, s1> s = s 1 … s1 <s1, s1> <1, 1> 再将1, 2, …, s单位化得:
定义 设ARsn, 称向量空间K(A) 的基为 齐次线性方程组Ax= 的基础解系 .

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§4.5 方程组解的结构
Ax = 的解集
Ax = 的基础解系
{| A = }
1, 2, …, s
可以由 1, 2, …, s 线性表示
线性无关

第四章 n维向量
§4.5 方程组解的结构
定理4.14. 设ARsn, 秩(A) = r. (1) 若r = n, 则Ax = 没有基础解系; (2) 若r < n, 则Ax = 有基础解系, 且 dimK(A) = n – r.
x1 = x2 = … … xr = xr+1 = xr+2 = … … xn = c1,r+1xr+1 c2,r+1xr+1 … … cr,r+1xr+1 xr+1 + c1,r+2xr+2 + c2,r+2xr+2 … … … + cr,r+2xr+2 + … + c1nxn + … + c2nxn … … + … + crnxn
注解
xr+2 … … … … … … … xn
第四章 n维向量
§4.5 方程组解的结构
定理4.14. 设ARsn, 秩(A) = r. (1) 若r = n, 则Ax = 没有基础解系; (2) 若r < n, 则Ax = 有基础解系, 且 dimK(A) = n – r.
x1 c1,r+1 c1,r+2 x2 c2,r+1 c2,r+2 … … … xr cr,r+1 cr,r+2 xr+1 = xr+1 1 + xr+2 0 + … + xn xr+2 0 1 … … … xn 0 0 c1n c2n … crn 0 0 … 1
1 2 s , 2 = , …, s = . 1 = ||1|| ||2|| ||s||

第四章 n维向量
§4.4 向量的内积
另外，从上述构造可总结： 设1, 2, …, s线性无关(s2), 则存 在一个正交向量组1, 2, …, s使得 1, 2, …, t与1, 2, …, t等价 (1 t s).

第四章 n维向量
§4.5 方程组解的结构
定理4.15.
* ——是 Ax = b 的一个特解 1, …, nr —— Ax = 的基础解系
Ax = b的通解为
x = * + k11 +…+knrnr .
Ax =b 的一般解

第四章 n维向量
§4.5 方程组解的结构
3. 解非齐次线性方程组Amn x = b的一般步骤
求Ax = 的基础解系. 例3 设矩阵A 经初等行变换化为 1 -1 0 -1 0 0 1 1
,
求核空间K(A) 的基及维数. ( 注意区别值域R(A) )
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§4.5 方程组解的结构
例4. 证明 r(ATA)=r(A).
证明: 设A为mn的矩阵, x为n维列向量. 注意到Ax = (ATA)x = 同时，由(ATA)x = xT(ATA)x = 0 (Ax)T(Ax) = 0 Ax = . 故Ax = 与(ATA)x = 同解, 因此 K(A)=K(ATA) TA)= n–r(A). n–r(A 进而得 r(ATA)=r(A). A可以是一个向量
例1
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§4.5 方程组解的结构
注：对于矩阵方程AX=B, 有以下结论。 AX=B 有解 <=> r(A,B)=r(A)
记 B=(b1 b2 … bt). 则 AX=B 有解
<=> A(x1 x2 … xt) = (b1 b2 … bt) 有解
<=> Axj = bj 有解， j =1,2,…,t.
Байду номын сангаас 第四章 n维向量
§4.5 方程组解的结构
例5 设A,B分别是s×n,n×t矩阵,证明：若 AB=O, 则 r(A)+r(B) ≤ n . (即为推论2.8)
第四章 n维向量
§4.5 方程组解的结构
三. 非齐次线性方程组的一般解 1. Ax = b 的导出组: Ax = . 2.非齐次线性方程组的解向量的性质 性质1. 设1, 2都是 Ax = b 的解, 则1–2是 Ax = 的解. 性质2. 是Ax = b的解, 是Ax = 的解, 则 +是Ax = b的解.

例 设,是 n 维列向量, Q为n×n 的 正交矩阵,则 || Q || = || ||, <,> = <Q, Q>. Q, Q的长度和夹角与 ,的长度和夹角相等
第四章 n维向量
§4.4 向量的内积
cos sin 例如: Q = sin cos cos sin T= Q sin cos