利息理论第二章重点之年金
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利息理论第二章年金
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基本年金图示
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 ------1
---1 1 ----
1 1
1
1---- 延付永久年金 1---- 初付永久年金 0--0--初付年金 延付年金
0 0 1 0
0
1
2
3
-------
n
n+1 n+2---
Page 6
2.1.1期末付年金
1 0 1
Page 20
假设分别在 1、2、3、…、n 时刻付款 1 的 n 次 付款所形成的付款系列，记该系列付款在 t 时的 值为 V(t)，则 V(0)、V(1)、V(n)、V(n+1)分别为
an 、 an 、 sn 和 sn ，对于其他任意（整数）点 t，
（1）如果 t<0（这里为了方便，我们允许负数作 为时间的标识数，其意义符合逻辑顺序，如-1 表 示在 0 前一期，-5 表示在 0 前 5 期） ，则 V(t)= (1+i)t an = v t an = ant - at 注意，这里 t<0 为负数； （2）如果 1<t<n，则 V(t)= (1+i)t an = vnt sn = st + ant ； （3）如果 t>n+1，则 V(t)= (1+i)t an = (1 i)t n sn = st - st n ；
Page 21
2.1.3 任意时刻的年金值
例 某人从1980年1月1日起开始向希望工程捐款，每年捐款支付3000元，到 2005年1月1日为止从未间断。该人还表示，他的捐款将持续到2019年1月1 日为止。假设年实质利率为6%，分别求该人的全部捐款在下列各时刻的价 值： （1）1960年1月1日； （2）1979年1月1日； （3）1980年1月1日； （4）2000年1月1日； （5）2019年1月1日； （6）2020年1月1日；
(完整版)利息理论第二章年金部分习题参考答案
第二章 年金 部分习题参考答案证明：(1)(1)(1)(1)(1)(1)[]()m nn m m n m n m n v v v v v v i iv v i i a a i i⌝⌝----=---=⨯--=⨯-=⨯-证明：n n n-t t n t t n tttt nnnnn nn t t tt t t t t t t t n na S a a v a a v a =a S v a v a v a v a i v a ia 1111v =====1v v a viv a v v v--+=+----（1-）（1-）（1-）（1-）6. 解：由公式得：mn m+n mva =a a-71118777v a =a a 7.036=9.180 5.153i i=1=0.08299---也即：（1+）解得：7. 设X 可取得的存款额为S,根据题意：5712120.08 0.0818187121000(10.08)1000(10.08)100037.45024 1.0839169.84S S S -=+=+=⨯⨯=12. 解：根据题意，有1010301030101000a 1000a v =a a v K K +-又由于，则上式经整理得：10v =1/21030101030101030101030101111(1)a -a v 10001-v -v (1v )5822111a +a v 1-v +v (1v )91(1)8221800K K ----====--+-=解得：14. 设该永续年金每年支付R ，结合公式: nn a =a v a ∞∞+根据题意该永续年金为三人年金现值之和，即：n n n a a Ra =Rv a 22RR ∞∞++又由于三人所领取的年金现值相等，有:nnn n n 1v a v 2=v a R =R 2i i v =1/3R R ∞- 即，所以，19. 根据题意：22i i 2222222i i 222105105i i 22105i 2i 21051051000=1700011==171=t t t 17t 15=0f()t t 17t 15escart t=f =-0.00117fS S S S t D ⨯++++++-++-+（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）-1+（）-1则：令，上式经过整理为：令=根据规则，上式最多有两个正根，而1显然不符合实际，故排除。
第二章-利息理论基础
例：Find the accumulated value of $500 invested for 5 years at 8% per annum convertible quarterly.
• 实际应用中一般需要计算与名义利率i（m）等价旳（ 年）实质利率i旳大小。 名义利率与实际利率有如下关系
2. 短期两者差别不大，长久两者明显差别
3. 复利几乎用于全部旳金融业务，单利只 用于短期计算或复利不足期近似计算。
a (t)
1
0
1
e ^(it) (1+i)^t (1+it)
t
三、贴现率与现值函数 1、实质贴现率
一种度量期上旳实质贴现率为该度量期 内产生旳利息金额与期末旳积累值之 比。一般用字母d来表达实质贴现率。
例：
1、拟定500元以季度转换8%年利率投资5年 旳积累值。
2、如以6%年利，按六个月为期预付及转换 ，到第6年末支付1000元，求其现时值。
3、拟定季度转换旳名义利率，使其等于月度 转换6%名义贴现率。
例：答案
1、 2、
P 1
i(4) 4
4n
500 1
0.08 20 4
742.97
A0
I＝P×i×t
A(t)＝P＋I＝P(1+it)
注意：i和t旳单位必须一致，即若利率取年利率 ，时期t必须以年计；若利率取月利率，t必须 以月计。
• 例：假如每年单利率为8％，投资额为2023 元，求（1）4年后旳利息 （2）3个月后旳 利息（3）4年后旳本利和
解：
（1）I＝Pit＝2023×8％×4＝640（元）
第二章
利息理论基础
第一节
利息分析
第一节汉英名词对照
• 实际应用中一般需要计算与名义利率i（m）等价旳（ 年）实质利率i旳大小。 名义利率与实际利率有如下关系
2. 短期两者差别不大，长久两者明显差别
3. 复利几乎用于全部旳金融业务，单利只 用于短期计算或复利不足期近似计算。
a (t)
1
0
1
e ^(it) (1+i)^t (1+it)
t
三、贴现率与现值函数 1、实质贴现率
一种度量期上旳实质贴现率为该度量期 内产生旳利息金额与期末旳积累值之 比。一般用字母d来表达实质贴现率。
例：
1、拟定500元以季度转换8%年利率投资5年 旳积累值。
2、如以6%年利，按六个月为期预付及转换 ，到第6年末支付1000元，求其现时值。
3、拟定季度转换旳名义利率，使其等于月度 转换6%名义贴现率。
例：答案
1、 2、
P 1
i(4) 4
4n
500 1
0.08 20 4
742.97
A0
I＝P×i×t
A(t)＝P＋I＝P(1+it)
注意：i和t旳单位必须一致，即若利率取年利率 ，时期t必须以年计；若利率取月利率，t必须 以月计。
• 例：假如每年单利率为8％，投资额为2023 元，求（1）4年后旳利息 （2）3个月后旳 利息（3）4年后旳本利和
解：
（1）I＝Pit＝2023×8％×4＝640（元）
第二章
利息理论基础
第一节
利息分析
第一节汉英名词对照
利息理论——第二章2.2
1. 付款频率低于计息频率的年金
(1)
期末付年金 设k为每个付款期间内的计息频率，n为整个 付款期的计息次数，每个计息期利率为i，并 假设n、k为整数，则付款次数为n/k，且n/k也 为整数。 现假设每次付款额为1，具体的付款及计息情 形见以下现金流时间图：
时间图中，在k，2k，…等时刻上方的1为每次付款额，每次付款 相隔k个区间，每个区间利率为i，则 第1次付款在0时刻的现值为：(1 i) k vk (1 i)2k v2k 第2次付款在0时刻的现值为： …… (1 第n/k次付款在0时刻的现值为： i)( n/ k )k v( n/ k )k
(2.2.6)
(2.2.6)式也可以直接通过(2.2.5)式得到：
an sk (1 i)
n
sn sk
另外，每次的付款额1可以看作是k期每期期末付款额为R的 区间末的年金积累值，即有 1 R sk 1 R sk
这样，在n个计息期，就有n次额度为R的付款，则与原年金 等价的所有R形成的年金现值为 Ran 。将 R 1 sk 代入上式， 则所求年金现值为 R an sk ，同样，可以求得年金积累值 R 为： sn 1 sk sn sn sk 。 也就是说，原始年金等价于一个每期付款额为 1 sk 的n
2.2.1
变动利率年金
在年金标准型中，整个付款期内利率是不变的。这里将介绍变动 利率下年金的计算。 一般有两种利率变动方式： 1. 各付款期间段的利率不同，即不同时间段的利率不同，如在第 一个付款期利率为i1 ，第二个付款期利率为i2 ，…，这样，对于n 期的期末付年金，所有付款的年金现值为：
1 000 6.8019 1.2155 4.2465 12 514.3(元)
[经济学]2利息理论——年金
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17
永续年金
定义：收付时期没有限制，每隔一个间隔永远连续收 付的年金，相当于前面定期年金当时期n趋于无 穷大时的值。
每年一元期末付永续年金现值 为，
1 a lim a n ｜ n ｜ i
18
永续年金
其他永续年金现值为：
1 lim a a ｜ n ｜ n d
3
确定年金是年金的一种形式。确定年金与人的生死不 发生关系。确定年金的支付总期间事前确定，纯粹 以预定利息率作为累积基础。 确定年金有多种分类，通常情况下的分类有： 年金给付于每期开始时支付的期初付年金以及每期 完了时支付的期末付年金； 年金的给付在签约后即刻开始的即时年金以及经过 一段时间后才开始的延付年金； 年金的给付限于一定期间的有限期年金以及年金的 给付无限期延续的无限期年金等。 4
贷款本金是B0 ，年实际利率为i
27
等额分期偿还表
时期 付款金额 支付利息 偿还本金 未偿还贷款 余额
0 1 … k
— R … R
— R(1-vn) … R(1-vn-k+1)
— Rvn … Rvn-k+1
Ra｜ ni
Ran ｜ 1i
… Ran k i ｜
…
n
总计
…
R nR
…
R(1-v)
nR Ra｜ ni
14
一年多次收付的年金
对于n 年定期，每年收付m次，每次1/m 元的期首付年 金在n 年末的终值为，
s
(m) n
1 (m) d
n
15
一年多次收付的年金
对于n 年定期，每年收付m次，每次1/m 元的期末付年 金在n 年末的终值为，
s
利息论第二章
利息论讲义——第二章 年金
几个概念 支付期（payment period):两次年金支付之 间的间隔。 计息期(interest coversion period ):两次计 息日之间的区间 年金时期（term of annuity ):第一次支付期 的期初到最后一次支付期的期末。
利息论讲义——第二章 年金
1 i
n 1
1 i i
n
1
利息论讲义——第二章 年金
注意：实质上 an i 和 sn i 是同一项年金在不同 时刻的价值。前者为基本延付年金的现值； 后者为终值。故有：
sn i an i 1 i n a s ni ni
n
利息论讲义——第二章 年金
i2 i结束插值过程
利息论讲义——第二章
3迭代法：
年金
f i (ani k )i
f (i s ) is 1 is ' f (is )
n 1 is 1 kis is 1 1 ，2，3， s 0， n 1 1 is n 1 1 1 is
a i
1 d
n
3、
1 1 lim an i lim n n d d
利息论讲义——第二章 年金
永续年金与有限期年金的关系：
1 1 n1 n an i a i a i i i i
n
例2.6
利息论讲义——第二章 年金
例2.3.2 Ralph buys a perpetuity-due paying 500 annually. He deposits the pmts into a saving account earning interest at an effective annual rate of 10%. Ten years later, before receiving the 11th pmt, Ralph sells the perpetuity base on an effective annual interest rate of 10%. Using the proceeds from the sale plus the money in the saving account, Ralph purchases an annuity-due paying X per year for 20 years at an effective rate of 10%, calculate X.
利息理论第二章
复习第二章一、给出标准型年金的定义。
二、n期标准期末(初）付年金的现值和积累值。
三、标准期初付年金和标准期末付年金之间的关系例1：对于同一个实际利率，有（1）在2n年内每年末付款2个单位，加上在头n年内每年末附加付款1个单位，现值为36。
（2）一项延期n年的n年期定期年金，每年末付款2元，其现值为6。
求利率。
例2：甲在银行存入20万元，计划分5年支取完，每半年支取一次，每半年计息一次的年名义利率为8％，计算每次支取的金额。
四、延付年金例：某年金共付款4次，首次付款发生时刻2，最后一次付款发生在时刻5，则该年金在0时刻的现值为（）。
在7时刻的积累值为（）。
在3时刻的年金当前值为（）。
五、永续年金例：甲为某学校设立总额为1万元的奖学基金，该基金以永续年金的方式每年末支付一次。
假设该基金采用的年实际利率为8%，则甲每年末的支付额为（）。
七、年金的非标准期问题•符号的三个含义。
八、变动利率年金例：每年末在银行存款1元，共存10年。
已知前六年的实际利率为4%，后四年每年计息四次的年名义利率为4%，则该年金的现值及积累值为？九、付款频率与计息频率不同的年金例1：某人购房贷款10,000元，每月初还款一次，分10年还清，每次还款额相等，贷款年利率为6％，计算每次还款额。
例2：某期末付年金付款如下：单数年末每次付款100元，双数年末每次付款200元，共20年。
若在某时间t一次性付3000元的现值与前面的年金现值相等。
年利率为i，求t。
十、连续年金例：假设一共计息10次，每个计息期上的实际利率为5%，付款总额为3，且连续不断的付款，则该年金的现值和积累值为（）。
十一、基本变化年金例1：一项每年末支付一次的年金，支付额依次为900,800,……,200。
已知年实际利率为8%，求该年金的现值例2：某年金首期的付款额为10，以后每期的付款比前一期增加10，共付款20次。
假设付款方式是期末付款，且付款期等于计息期，每期的实际利率为6%，则该年金的现值为（）。
第二章 利息理论2
1)10000(1.08)5 10000 4693.28
2)5 (10000 0.08) 4000 10000 3) R 2504.56; I 5 2504.56 10000 2522.8 a5 0.08
例. 某人以月计息的年名义利率5.58%从银行贷款30万 元，计划在15年里每月末等额偿还。问：（1）他每月 等额还款额等于多少？（2）假如他想在第五年末提前 还完贷款，问除了该月等额还款额之外他还需一次性付 给银行多少钱？ （1）Ra1512 0.00465 300000
单利与复利两者关系：t 1,( 1 i ) 1 i t
t
0 t 1,( 1 i )t 1 i t
t 1,( 1 i ) 1 i t
t
单利的实际利率逐期递减，复利的实际利率保持恒定。
0 t 1 相同单复利场合，单利计息比复利计息产生更大
利息问题求解
利息问题求解四要素 1）原始投资本金； 2）投资时期长度； 3）利率及计息方式 期初/期末计息：利率/贴现率 积累方式：单利计息、复利计息 利息转换时期：实质利率、名义利率、利息力 4）本金在投资期末的积累值；
利息问题求解原则 本质：任何一个有关利息问题的求解本质都是对四要 素知三求一的问题。 工具：现金流图
( 1 1%)
(12)
为12%，问本金翻倍需要几年？
i( 12 ) 12%时，
12 n
ln 2 2n 5.8 12 ln1.01
第二节 年金
定义:按一定的时间间隔支付的一系列付款称为年金。 分类： 1）基本年金 等时间间隔付款； 付款频率与利息转换频率一致； 每次付款金额恒定； 2）一般年金 不满足基本年金三个约束条件的年金即为一般 年金
利息理论(第二版) (第2章)
项。
2.1.2 年金的含义及其延伸
– 年金含义的延伸
1）时间间隔可以是年、季度、月、周、日、瞬时； 2）支付款项的金额可以相等也可以不等；可以是确定也可以是不确定； 支付期和计息期可以相同也可以不同。 3
2.1 年金的含义
2.1.3 年金的分类
1． 按照年金的支付时间和支付金额是否确定，年金可以 分为确定年金(Annuity-certain)和风险年金(Contingent annuity)。 2． 按照年金的支付期限长短，年金可以分为定期年金 （Period-certain annuity)和永续年金（Perpetuity）。 3． 按照年金的支付周期不同，年金可以分为非连续年金 (每年(季、月、…)支付一次)和连续年金。 4． 按照年金在每期的支付时点不同，年金可以分为期初 付年金（先付年金）和期末付年金（后付年金） 。 5． 按照年金开始支付的时间不同，年金可以分为即期年 金和延期年金。 6． 按照每次付款的金额是否相等，年金可以分为等额年 金(Level annuity)和变额年金(Variable annuity)。
1）向银行借款50000元，期限8年，在年实际利率6％之下，每年初分期还款 7596元； 2）签订租赁合同1，一次性支付50000元租金租下这间仓库，租期8年； 3）签订租赁合同2，出租这间仓库，租期8年，要求对方每年初支付8000元 租金，其中7596元还银行，每年可获利 8000－7596＝404（元）。
50000 8000 8000 0 1 2 7596 7596 50000 3 4 5 6
8000 7 7596 8
12
2.2 年金的现值
2.2.3 期末付永续年金的现值
• 永续年金（perpetuity）及其现值的概念
2.1.2 年金的含义及其延伸
– 年金含义的延伸
1）时间间隔可以是年、季度、月、周、日、瞬时； 2）支付款项的金额可以相等也可以不等；可以是确定也可以是不确定； 支付期和计息期可以相同也可以不同。 3
2.1 年金的含义
2.1.3 年金的分类
1． 按照年金的支付时间和支付金额是否确定，年金可以 分为确定年金(Annuity-certain)和风险年金(Contingent annuity)。 2． 按照年金的支付期限长短，年金可以分为定期年金 （Period-certain annuity)和永续年金（Perpetuity）。 3． 按照年金的支付周期不同，年金可以分为非连续年金 (每年(季、月、…)支付一次)和连续年金。 4． 按照年金在每期的支付时点不同，年金可以分为期初 付年金（先付年金）和期末付年金（后付年金） 。 5． 按照年金开始支付的时间不同，年金可以分为即期年 金和延期年金。 6． 按照每次付款的金额是否相等，年金可以分为等额年 金(Level annuity)和变额年金(Variable annuity)。
1）向银行借款50000元，期限8年，在年实际利率6％之下，每年初分期还款 7596元； 2）签订租赁合同1，一次性支付50000元租金租下这间仓库，租期8年； 3）签订租赁合同2，出租这间仓库，租期8年，要求对方每年初支付8000元 租金，其中7596元还银行，每年可获利 8000－7596＝404（元）。
50000 8000 8000 0 1 2 7596 7596 50000 3 4 5 6
8000 7 7596 8
12
2.2 年金的现值
2.2.3 期末付永续年金的现值
• 永续年金（perpetuity）及其现值的概念
第二章 利息理论
现值和贴现率
在单利下，
现值和贴现率
将应在未来某时期支付的 金额提前到现在支付，则 支付额中应扣除一部分金 额，这个扣除额叫贴现额。 相当于资金投资在期初的 预付利息。
贴现率：单位货币在单位时间内的贴现额，单位时间
以年度衡量时，成为实际贴现率。
d表示一年的贴现率:
d
A(1) A(0) a(1) 1 1 i 1 i A(1) a(1) 1 i 1 i
定义：
利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场 合，它的实质是资金的使用者付给资金所有者 的租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能 支配该笔资金而蒙受的损失。 本金 利率 时期长度
影响利息大小的三要素：
（一）总额函数
总额函数是t时资金累积额（本利和），
以 A(t) 表示。
其中，I(t)=A(t)-A(0)。 I(t)表示t时利息。
0
1
2
3
-------
n
n+1 n+2---
期首付年金现值
an 1 2 3 n1
1 n = 1 1 n = d
期末付年金现值
an 2 3 n
(1 n ) = 1
1 n = i
m m
等价公式
一般公式
a (t ) e
0 s ds
t
恒定利息效力场合 ln(1 i) a(n) exp{n } ln v a 1 (n) exp{n }
例4
确定1000元按如下利息效力投资10年的积 累值
2利息理论讲解
139 1000 (1 5%) 1019.4 （元） 365
在复利下，还款总额为
1000 (1 5%)
139 365
1018.75 （元）
10
(3) 设借款t年后需要还款1200元。 在单利下，有
1200 1000 (1 t 5%)
解得 t=4（年） 在复利下，有
3
资金在周转中实现价值
何二从丁一处买一头猪，欠1000元
张三从何二处买四条狗，欠1000元 李四从张三处买一双皮鞋，欠1000元
王五从李四处买一套衣服，欠1000元
赵六从王五处买两套书，支付1000元 王五立即还李四，李四立即还张三，张三立即还何二，何二 立即还丁一，于是，仅用1000元，完成了5个1000元的交易， 谁也不欠谁了。
A(5) 10000 (1 2 5% 3 6%) 12800(元)
三、现值和贴现率
我们把1单位元在t年前的值或者未来t年1单位元在现在的值称 为t年的现值。
贴现因子
13
现值和贴现率
在单利下，1元的t年现值为
1 , 1 i1 i2 it
1 当年利率 相等时，为 1 it
货币的发明真是人类经济生活中的伟大事件！
4
一、累积函数
(一)总额函数
本金：最初投资的滋生利息的款项。 累积额：本金经过一段时期后形成的金额称为累积额，它是 本金与利息之和，又称本利和。
A(t )
总额函数
I (t )
利息函数
I (t ) A(t ) A(0)
A(t ) A(0) I (t )
1200 1000 (1 5%)t
解得 t 3.74(年)
保险精算之利息理论第二章
解：10万元每年产生的利息是7000元。
B所占的份额： 7000a10| 7000(7.0236) 49165 （元）
C所占的份额： 7000(a20| a10| ) 7000(10.5940 7.0236) 24993 （元）
1 D所占的份额： 7000(a| a20 ) 7000( 10.5940) 0.07 25842 （元）
m
2.14永续年金
定义：付款没有限制，永远持续的年金。
期末付现值记为a|， v v 1 2 则a|＝v v ＝ ＝ 1 v iv i
1 vn 1 lim an| lim n n i i
1 经济意义：在利率为i时，首期期初投资为 ，且 i 1 不收回本金，则每期期末可获得数额为i ＝1的 i 利息，一直持续下去。
方法一：V 10 S5 1 i
4
方法二：V 10 s5| 1 i
因为 s5| S5 1 i
1
3
所以，两式相等。
方法三：假设在时刻7～10各有一单位付款，则这几 个付款在时刻10的年金积累值为S4 ，包括这几个付款 及已知的5个付款在时刻10时的年金积累值为S9 ，因此 V 10 S9 S4
1 2 n (v v v ) v (1 i )an
(2) sn| (1 i ) sn|
sn (1 i ) (1 i )n
(1 i )[1 (1 i )n1 ]
(1 i ) sn
(3) an| 1 an1|
根据年金折现法及年金加减法计算出同一时刻 年金现值是相等的。 va5| a6| a1|
新利息理论教案第2章
第 2 章：等额年金第 2.1 节：年金的含义本节内容：一、年金的含义（annuity ）年金是指一系列的付款（或收款）。
年金最原始的含义是指一年付款一次，每次支付相等的金额的一系列款项。
但现在被广泛应用到其他更一般的情形，时期和金额都可以变化。
二、年金的分类1、确定年金和风险年金。
2、定期年金和永续年金。
3、多期支付一次、每期支付一次、每期支付多次年金和连续年金。
4、期初付年金和期末付年金。
5、即期年金和延期年金。
6、等额年金和变额年金。
本节重点：年金的定义。
本节难点：年金的分类。
第 2.2 节：年金的现值年金现值是一系列款项在期初的价值。
本节内容：2.2.1 期末付定期年金的现值假设年金支付期限为n 个时期，每个时期末支付1元，那么这种年金就是期末付定期年金。
其现值一般用符号n ia表示。
在不引起混淆的情况下，通常简记为na 。
na的计算过程图（略）一、公式23...n nv v v v a=++++(1)11n nv v v v i--==-二、理解1n n v ia +=三、例题1、现在向银行存入一笔钱，希望在以后的5年中每年末得到4000元，如果年实际利率为8%，现在应该存入多少钱？解：应用期末付年金现值公式：4000 58%a=4000×3.9927=15971说明：58%a的具体数值可以通过年金现值表查到2、一笔年金在20年内每年末支付4，另一笔年金在10年内每年末支付5。
如果年实际利率为i ，则这两笔年金的现值相等。
若另一笔款项n 年内以利率i 投资可以翻番，求n 。
解：201045aa =20101145v v i i--=100.25v =i=0.1486982.2.2 期初付定期年金的现值假设年金支付期限为n 个时期，每个时期初支付1元，那么这种年金就是期初付定期年金。
其现值一般用符号n ia表示。
在不引起混淆的情况下，通常简记为na 。
na的计算过程图（略）一、公式2311...n nv v v v a -=+++++(1)11n nv v v d--==-二、na与na的关系1、(1)n ni a a =+（可用公式展开证明）2、11nn aa -=+ （可用图形讲述）三、例题1、某企业租用了一间仓库，一次性支付50000元的租金后可以使用8年，假设年实际利率为6%，试计算如果每年初支付租金，该仓库的年租金应该为多少？解：设仓库的年租金为A ，可以建立50000=A8a，A=75962.2.3 期末付永续年金的现值永续年金是指无限期支付下去的年金。
第二章利息理论
= 10 ，类似前一题查表知 8 < n + k < 9 ，即 n = 8 最后一次规则还款时间下一期 9，加多一个零头 f ，使得 1000 s8 × 1.04 + f = 10000 解得： f = 417.20
即 sn + k
2.1.7 年金的未知利率问题 方法：类似上一章，利用条件列出价值方程，然后求解，这里通常 可转化为求解方程： an i = k 或 sn i = k 其中 n, k 已知但 i 未知。 对方程 an i
15
f ( x0 ) ，从而得迭代公式： f ′( x0 ) f ( xs ) xs +1 = xs − f ′( xs ) 在这里可令： f (i ) = an i − k = 0 ，通过计算即可得上述迭代公式 x = x0 −
二 同理对方程 sn i 迭代公式：
= k ，我们可利用上面介绍的 Newto‐Raphson 法得
第二章 年金 1.1 年金的标准型 年金的定义：就是一系列按照相等时间间隔支付的款项。 2.1.1 期末付年金 an 或 an i ：为每个期末支付 1 元，共 n 期的现值，即
an = v + v +
2
v(1 − v n ) (1 − v n ) （具体计算可查 +v = = 1− v i
5
4
10000 = 2504.56 a8 0.08 5 年共还款： 2504.56 × 5 = 12522.80 其中利息为：12522.80 − 10000 = 2522.80
R=
2.1.2 期初付年金 an 或 an i ：为每个期初支付 1 元，共 n 期的现值，即
2 n
8
2利息理论讲解
反过来，在1100元的基础上减少100元成为一年前的 价值1000元，其中减少的100元是贴现额。
利息率=利息100元与本金1000元之比=10%
贴现率=贴现额100元与累积额11000元之比=9.1%
18
利率和贴现率的关系
a(1) 1 (1 i) 1 i d i a(1) 1 i 1 i
解： (1)
(2)
14000 1.06 2 12459.95(元) 14000 (1 0.06) 2 12370.4(元)
四、名义利率与名义贴现率
利息可以按年结算、也可以按半年、季和月结算。
在单利下，计息时间单位不影响利息额：t i
在复利下，年利率不变，但结算时间单位 不同，也会使实际利息值不同。
d (2) 2 [1 (1
12% 6 ) ] 11.59% 12
例2.7 某人从银行借款4000元，这笔借款的利息每年结算4次， 年利率为16%。那么，他在借款21个月后欠银行的款为多少？
解： 每3个月结算一次，每次结算利息率为16%/4=4%， 21个月结算7次，所以
4000 (1 4%)7 5263.73(元)
1200 1000 (1 5%)t
解得 t 3.74(年)
例2.2 以10000元本金进行5年投资，前2年的利率为5%，后3
年的利率为6%，以单利和复利分别计算5年后的累积资金。 解： 在单利下，有 在复利下，有
A(5) 10000 (1 5%)2 (1 6%)3 13130.95(元)
例2.5 某人以每月3%的利率从银行贷款1000元，那么在复利
计息下，3年后他欠银行多少钱？ 解：3%日月结利率，3年后的累积欠额可以直接按36年月的 复利计算，所以
第二章年金ppt课件
2.1.3任意时刻年金
1 1 … …1 1
……
（共 n 次付款）
aa nn
ss
n
n
图（2-6）年金在四个特殊时间点上的价值图
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
1 1 11 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
例2-5在例2-1的条件下，若将投资支付改 为发生在每年年初，其它条件不变，计算 投资20年末的现值及积累值。
回顾： 例2-1 计算年利率为2.5%的条件下，每年年末投资
3000元，投资20年的现值及积累值。
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
n
d
s = (1+i)+ (1+i)2 +…+(1+i)n = (1 i)n 1
n
d
s = a (1+i)n
n
n
a = s vn nn
11
= +d
as
n
n
(2- 8B)
1 1 … …1 1
……
（共 n 次付款）
aa nn
ss
n
n
图（2-6）年金在四个特殊时间点上的价值图
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
1 1 11 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
例2-5在例2-1的条件下，若将投资支付改 为发生在每年年初，其它条件不变，计算 投资20年末的现值及积累值。
回顾： 例2-1 计算年利率为2.5%的条件下，每年年末投资
3000元，投资20年的现值及积累值。
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
n
d
s = (1+i)+ (1+i)2 +…+(1+i)n = (1 i)n 1
n
d
s = a (1+i)n
n
n
a = s vn nn
11
= +d
as
n
n
(2- 8B)
2.1利息基本理论(保险精算课程讲义)
第2章 利息理论
利息基本理论 年金
2.1 利息基本理论
2.1.1 累积函数 时间 t 1 总额函数 A(t):t时资金累积额 2 利息 I(t)=A(t)-A(0)累积额与本金之差 A(t)=A(0)+I(t)
2 累积函数 为了反映单位本金的增值情况，引入累 积函数a(t) a(t)=A(t)/A(0) 3 利息率 衡量资金生息水平的指标是利息率：单 位本金在单位时间内的利息。 in表示第n个基本计息时间单位的实际利 率。 in=(A(n)-A(n-1))/A(
假设每年的结算次数为m次，名义利率为i ，m表示结算次数，则
m
1 i m 结算时间间隔为 年，每次的实际结算利息率为 ，在复利计算 m m 下，一年的累积额为： i 1 m 1 i i表示年实际利息率。 i 所以，i 1 m
2.1.5 利息力（利息力度） 利息力是衡量确切时点上利率水平的指标。 对于名义利率，当结算次数m趋于无穷大时，可以表 示确切时点上的利率水平。
lim i
m
m
lim m[1 i
m
1/ m
1]
0
1 i lim
m t
1/ m
1 i 1/ m
m m
m
1
m
在年实际利息率i一定的情况下，i m 是关于m的递减函数。 （参见课本p18表2 1）
名义贴现率的定义可以相应给出： d 1 d 1 m 几个重要公式： 1 1 d 1 i
m
m
d d 1 1 m
m
m
1 i m 1 1 i m m 1 d / m
利息基本理论 年金
2.1 利息基本理论
2.1.1 累积函数 时间 t 1 总额函数 A(t):t时资金累积额 2 利息 I(t)=A(t)-A(0)累积额与本金之差 A(t)=A(0)+I(t)
2 累积函数 为了反映单位本金的增值情况，引入累 积函数a(t) a(t)=A(t)/A(0) 3 利息率 衡量资金生息水平的指标是利息率：单 位本金在单位时间内的利息。 in表示第n个基本计息时间单位的实际利 率。 in=(A(n)-A(n-1))/A(
假设每年的结算次数为m次，名义利率为i ，m表示结算次数，则
m
1 i m 结算时间间隔为 年，每次的实际结算利息率为 ，在复利计算 m m 下，一年的累积额为： i 1 m 1 i i表示年实际利息率。 i 所以，i 1 m
2.1.5 利息力（利息力度） 利息力是衡量确切时点上利率水平的指标。 对于名义利率，当结算次数m趋于无穷大时，可以表 示确切时点上的利率水平。
lim i
m
m
lim m[1 i
m
1/ m
1]
0
1 i lim
m t
1/ m
1 i 1/ m
m m
m
1
m
在年实际利息率i一定的情况下，i m 是关于m的递减函数。 （参见课本p18表2 1）
名义贴现率的定义可以相应给出： d 1 d 1 m 几个重要公式： 1 1 d 1 i
m
m
d d 1 1 m
m
m
1 i m 1 1 i m m 1 d / m
第二章 利息理论初步
2 3 n
(1 ) = 1
n
1 = i
n
20
n年定期年金-期首付终值
(1 i) n sn a n (1 i) n 1 d
21
n年定期年金-期末付终值
s n a n (1 i )
1 n (1 i ) i
n
n
(1 i ) 1 i
名义利率:一年结算多次的规定的年利率。 以 i ( m ) 表示，m表示结算次数，
1 i [1
i
(m )
m
]
m
设本金为1元，年利率为20％，则年利息额为0.2元。若一年支付4 次利息，则相当于每次支付0.05元，即相当于每次利率为20％/4＝5 4 ％。而按复利计算，本利和为：(1 20% 4 ) 1.2155 ，一年总利息 为0.2155元，于是年实际利率为21.55％,产生了利率的名不副实， 与之对应的实际年利率不再是20％，此时，20％称为名义利率。
第二章 利息理论初步
1
主要内容
1. 累积函数与利率i 2. 现值和贴现率 3. 名义利率与名义贴现率 4.利息力δ 5.年金 重点掌握各种形式的年金！
2
累积函数
累积函数是单位本金的累计额，以 a(t ) 表示。
A(t ) a (t ) A(0)
A(t ) A(0) a (t ) 。 其中， a (0) 1 ，
34
变额递减年金
当第一年收付n元，以后每隔一年收付额减少一单位元的 n年定期递减的期末付年金为， n a｜ n ( Da) ｜ n i 上述定期递减年金在期首付时，为
) ( Da n ｜
n(1 i ) a n ｜ i
(1 ) = 1
n
1 = i
n
20
n年定期年金-期首付终值
(1 i) n sn a n (1 i) n 1 d
21
n年定期年金-期末付终值
s n a n (1 i )
1 n (1 i ) i
n
n
(1 i ) 1 i
名义利率:一年结算多次的规定的年利率。 以 i ( m ) 表示，m表示结算次数，
1 i [1
i
(m )
m
]
m
设本金为1元，年利率为20％，则年利息额为0.2元。若一年支付4 次利息，则相当于每次支付0.05元，即相当于每次利率为20％/4＝5 4 ％。而按复利计算，本利和为：(1 20% 4 ) 1.2155 ，一年总利息 为0.2155元，于是年实际利率为21.55％,产生了利率的名不副实， 与之对应的实际年利率不再是20％，此时，20％称为名义利率。
第二章 利息理论初步
1
主要内容
1. 累积函数与利率i 2. 现值和贴现率 3. 名义利率与名义贴现率 4.利息力δ 5.年金 重点掌握各种形式的年金！
2
累积函数
累积函数是单位本金的累计额，以 a(t ) 表示。
A(t ) a (t ) A(0)
A(t ) A(0) a (t ) 。 其中， a (0) 1 ，
34
变额递减年金
当第一年收付n元，以后每隔一年收付额减少一单位元的 n年定期递减的期末付年金为， n a｜ n ( Da) ｜ n i 上述定期递减年金在期首付时，为
) ( Da n ｜
n(1 i ) a n ｜ i
利息理论——第二章2.1
1 (1 i ) n (1 i ) n 1 1 (1 i ) i
(2.1.4)
关于 an 的基本公式
1 v 公式(2.1.2) an i 也可以写为 n
n
(2.1.5) 经济意义解释：公式的左侧表示在时刻0进行投 资，投资本金为1，公式的右侧表示投资的回收 方式，即这1单位的本金每期投资一次，并在每 一期期末均产生利息i，那么n期利息的现值之和 为 ian ；到n期末，即时刻n时，将投资本金1收回， n v 并折现到时刻0的现值为 。在利率为i时，投资 额与投资回报本利和的现值是相等的。因而，公 式(2.1.5)左右两侧相等，如下图所示。
n
关于 sn 的基本公式
(1 i ) 1 公式(2.1.4) sn 也可以写为 i n
n
(2.1.6) 经济意义解释：公式左侧表示将1单位本金投资n期, 每期按复利i计算，在n期期末，投资积累值即本利 n 和为 (1 i)；公式右侧表示投资本金为1，即这1单位 的本金每期投资一次，每期期末产生利息i，而每期 所产生的利息又以利率i再投资，这样到n期期末各 积累值之和为isn ，这部分是所生利息的积累值，再 加上投资本金1，即为全部本利和，等式左右两侧分 别是一种投资的两种算法，实质上是相等的，如下 图：
an
于在0时刻投资本金为1，则n期期末本利和为 n n (1 i) ，而 (1 i) 1 isn ，这与每期期末投资 P的n期积累值是等价的，即 1 isn Psn ，由此 1 1 得
an
P
sn
i
an 和 sn 在几种不同利率情况下，对于n从1~50 的值在本书附录中可以查到。通常an 和sn 符号 中不必标出计算所依据的利率，在一个问题中涉 a 及多个利率时，为避免引起混淆，可写作： n i a 和 sn i 的形式，如 a10 0.06 、 20 0.08 和 s20 0.07 等。
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第二章 年金
2013-3-6
1
本章目的
� 了解年金的一般含义、分类以及在现实生活
中的应用，掌握期初付、期末付以及连续支 付的等额、变额年金的计算，能够应用规则 年金的基本关系推导证明相关等式，以及处 理一些不规则年金的计算。
2013-3-6
2
本章重点
� 各种规则年金的计算 � 相关等式的证明 � 不规则年金的计算
(1 + i) = 1 + isn
经济意义： 0时刻一个货币单位在n时刻的价值 ＝ (0, n] 上每次（利息）收入i的现金流终值 (isn ) + n时刻一个货币单位（本金） 类似地有
̇̇n = 1 v n + da ̇̇n + 1 (1 + i )n = ds
2013-3-6 25
n
1 1= an an
位，现金流在第一个付款期末首次发生，共计 n次 时间流程图：
1 0
2013-3-6
1 2
1 3
……
1
1
n
12
0
1 1
2 1
3 1
……
……
n－1
1
n
1
v +2 v +3 v + ⋯ + v n −1 + vn
an i
2013-3-6
n 1 − v = v + v 2 + ⋯ + v n −1 + v n = i
̇̇12 = 1000000 Rs 1000000 1000000 从而有 R = = ≈ 52245 ̇̇ 19.14064 s12
故每年初投入52245元，到十二年底将累积为 1000000元
2013-3-6 30
§2.1 年金的标准型
� 年金的概念与分类 � 标准年金的现值与终值 � 标准年金在任意时刻的值
m
| a = v m +1 + v m + 2 + ⋯ + v m + n −1 + v m + n = v m a n n
从现金流看，该年金相当于一个 m+n期期末年金 扣除一个m期期末年金， 即：a m+n − am ， 其数值等于
v m an
∴ am + n = am + v m a n
2013-3-6 33
� （一）延期（递延）年金的现值 � （二）过期年金的终值 � （三）年金在年金期间的当前值
2013-3-6
37
（三）年金在年金期间的当前值
假定付款期限为n，其中第m次付款（m<n）时所有 付款的当前值：
̇̇ = ̇̇ sm + a ̇̇ = v n − m ̇̇ (1 + i) m a s n−m n n (1 + i) a n = v
1 − vn = d ̇n i 表示标准期初年金的终值之和 s 记号 ̇ ̇ ṡn i = (1 + i ) + (1 + i )2 + ⋯ + (1 + i )n (1 + i ) − 1 = d
2013-3-6 22
n
§2.1 年金的标准型
� 年金的概念与分类 � 标准年金的现值与终值 � （一）期末支付的 n期标准年金的现值与终值 � （二）期初支付的 n期标准年金的现值与终值 � （三）标准年金的现值与终值之间的一些关系
nห้องสมุดไป่ตู้
2013-3-6 27
̇̇n 的关系式 ṡn 与 a （2） ̇ ̇̇ ̇̇n (1 + i ) n 或 sn = a ̇̇n = ̇̇ a sn v n
1 1 = +d ̇̇n ̇̇ a sn
注� 与期末年金的相应公式比较
2013-3-6
28
期末年金与期初年金的关系式 1）
̇̇ = (1 + i) an a n
（1） sn 与 an 的关系式
sn = an (1 + i )
n
或
an = sn v n
注�
(1 + i )n 为期初到期末的累积因子
1 1 = +i an sn 1 1 1 + (1 + i ) − 1 = 1 +i = +i = n an an (1 + i )n sn an (1 + i )
经济意义： 0时刻一个货币单位的价值
⎛ 1 ＝ (0, n] 上对应的n期期末年金现金流 ⎜ ⎜ an ⎝ 1 1= sn sn
经济意义： n时刻一个货币单位的价值
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ 1 ＝ (0, n] 上对应的n期期末年金现金流 ⎜ ⎜ sn ⎝
2013-3-6
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
26
2、
̇̇n , ̇̇ an , sn , a sn 之间的关系
PV = 500 a40 4.5%
= 500 ×18.4016 = 9200.80
注� 年金的要求是定期支付，间隔相等，但却不一定 具体计算可利用年金表或直接做数值计算。 是“年度”的。
2013-3-6 15
例 若某人以季度转换年利率8％投资1000元，问他 每季度之未能取回多少使这笔钱在第 10年末正好用完? 解：设所求金额为R，依题意 季度实际利率＝2％， 从而有
按 金 年 期 限
定期年金
期初付年金
2013-3-6
永续年金
8
§2.1 年金的标准型
� 年金的概念与分类 � 标准年金的现值与终值
2013-3-6
9
标准年金的现值与终值
年金现金流是许多复杂现金流的基础，是利率计算 的最直接的一种应用。 年金的计算问题主要包括年金的现值和终值计算 两大类 标准年金： 定期、定额、每期支付一次、每次支付 一个单位金额的基本年金。
2013-3-6
23
（三）标准年金的现值与终值之间的一些关系
1、
̇̇n , ̇̇ an , sn , a sn 的等价表达式
1 = ian + v n
经济意义： 0时刻一个货币单位的价值 ＝ (0, n] 上每次（利息）收入i的现金流价值 (ian )
n ( v ) + n时刻一个货币单位的现值
2013-3-6 24
13
0
1 1
2 1
…… ……
n－1
1
n
1
1 + 1+ i + ⋯ + n− 2 (1 + i ) + n −1 (1 + i )
sn i
2013-3-6
n (1 + i ) −1 n−2 n −1 = 1 + (1 + i ) + ⋯ + (1 + i ) + (1 + i) = i
14
例 一项年金在20年内每半年末付500元，设年名 义利率为每半年转换9％，求此项年金的现时值。 解： 依题意，半年实际利率为 4.5％，计息40次
� （一）延期（递延）年金的现值
2013-3-6
31
（一）延期（递延）年金的现值
延期年金 年金的首次发生是递延了一段时间 后进行的 递延m期的延期年金的时间流程图
1 0 1 2 … … … 1
m
m+1
m+n
2013-3-6
32
引入记号 m | a n ，表示延期m期后n期标准期末付年金 的现值，则
2013-3-6
区分度量期、支付期与计息期
6
§2.1 年金的标准型
� 年金的概念与分类 � （一）年金的定义 � （二）年金的分类
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（二）年金的分类
确定年金 或有年金
按每 次支 付金 额
基本年金
每 按 支 次 次 付 数
一般年金 连续年金
年金的分类 期末付年金
按 次 每 付 支 刻 时
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永续年金的现值
记号 a∞ 表示标准永续期末年金的现值之和，即有
a∞ = v + v + ⋯ + v
2 ∞
n −1
+ v +⋯
n
n 1 − v 1 n = = ∑ v = lim i i n→∞ n =1
期初付年金 在合同生效时立即发生首次的现金流， 随后依次分期进行的年金方式
n期标准期初年金
每次的年金金额为1个货币单
位，在合同生效时立即发生首次的现金流，共计 n次 时间流程图：
1 0
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1 1
1 2
1 3
……
1
n－1 n
21
̇̇n i 表示标准期初年金的现值之和 记号 a ̇̇n i = 1 + v + v 2 + ⋯ + vn −1 a
1000 = Ra40 2%
解出
1000 1000 R= = = 36.56 a40 2% 27.3555
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例：现有十年期50万元贷款，年利率 8％，试比较以下 三种还贷方式的应付利息情况： A——在第十年底一次付清 B——每年底偿还当年的利息，本金最后一次付清 C——每年底偿还固定的金额，十年还清 解： 方式A：在第十年底的一次还款为
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§2.1 年金的标准型
� 年金的概念与分类 � 标准年金的现值与终值 � （一）期末支付的 n期标准年金的现值与终值
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（一）期末支付的 n期标准年金的现值与终值
期末付年金 年金的现金流在第一个付款期末首次 发生，随后依次分期进行
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本章目的
� 了解年金的一般含义、分类以及在现实生活
中的应用，掌握期初付、期末付以及连续支 付的等额、变额年金的计算，能够应用规则 年金的基本关系推导证明相关等式，以及处 理一些不规则年金的计算。
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本章重点
� 各种规则年金的计算 � 相关等式的证明 � 不规则年金的计算
(1 + i) = 1 + isn
经济意义： 0时刻一个货币单位在n时刻的价值 ＝ (0, n] 上每次（利息）收入i的现金流终值 (isn ) + n时刻一个货币单位（本金） 类似地有
̇̇n = 1 v n + da ̇̇n + 1 (1 + i )n = ds
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n
1 1= an an
位，现金流在第一个付款期末首次发生，共计 n次 时间流程图：
1 0
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1 2
1 3
……
1
1
n
12
0
1 1
2 1
3 1
……
……
n－1
1
n
1
v +2 v +3 v + ⋯ + v n −1 + vn
an i
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n 1 − v = v + v 2 + ⋯ + v n −1 + v n = i
̇̇12 = 1000000 Rs 1000000 1000000 从而有 R = = ≈ 52245 ̇̇ 19.14064 s12
故每年初投入52245元，到十二年底将累积为 1000000元
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§2.1 年金的标准型
� 年金的概念与分类 � 标准年金的现值与终值 � 标准年金在任意时刻的值
m
| a = v m +1 + v m + 2 + ⋯ + v m + n −1 + v m + n = v m a n n
从现金流看，该年金相当于一个 m+n期期末年金 扣除一个m期期末年金， 即：a m+n − am ， 其数值等于
v m an
∴ am + n = am + v m a n
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� （一）延期（递延）年金的现值 � （二）过期年金的终值 � （三）年金在年金期间的当前值
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（三）年金在年金期间的当前值
假定付款期限为n，其中第m次付款（m<n）时所有 付款的当前值：
̇̇ = ̇̇ sm + a ̇̇ = v n − m ̇̇ (1 + i) m a s n−m n n (1 + i) a n = v
1 − vn = d ̇n i 表示标准期初年金的终值之和 s 记号 ̇ ̇ ṡn i = (1 + i ) + (1 + i )2 + ⋯ + (1 + i )n (1 + i ) − 1 = d
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n
§2.1 年金的标准型
� 年金的概念与分类 � 标准年金的现值与终值 � （一）期末支付的 n期标准年金的现值与终值 � （二）期初支付的 n期标准年金的现值与终值 � （三）标准年金的现值与终值之间的一些关系
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̇̇n 的关系式 ṡn 与 a （2） ̇ ̇̇ ̇̇n (1 + i ) n 或 sn = a ̇̇n = ̇̇ a sn v n
1 1 = +d ̇̇n ̇̇ a sn
注� 与期末年金的相应公式比较
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期末年金与期初年金的关系式 1）
̇̇ = (1 + i) an a n
（1） sn 与 an 的关系式
sn = an (1 + i )
n
或
an = sn v n
注�
(1 + i )n 为期初到期末的累积因子
1 1 = +i an sn 1 1 1 + (1 + i ) − 1 = 1 +i = +i = n an an (1 + i )n sn an (1 + i )
经济意义： 0时刻一个货币单位的价值
⎛ 1 ＝ (0, n] 上对应的n期期末年金现金流 ⎜ ⎜ an ⎝ 1 1= sn sn
经济意义： n时刻一个货币单位的价值
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ 1 ＝ (0, n] 上对应的n期期末年金现金流 ⎜ ⎜ sn ⎝
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⎞ ⎟ ⎟ ⎠
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2、
̇̇n , ̇̇ an , sn , a sn 之间的关系
PV = 500 a40 4.5%
= 500 ×18.4016 = 9200.80
注� 年金的要求是定期支付，间隔相等，但却不一定 具体计算可利用年金表或直接做数值计算。 是“年度”的。
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例 若某人以季度转换年利率8％投资1000元，问他 每季度之未能取回多少使这笔钱在第 10年末正好用完? 解：设所求金额为R，依题意 季度实际利率＝2％， 从而有
按 金 年 期 限
定期年金
期初付年金
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永续年金
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§2.1 年金的标准型
� 年金的概念与分类 � 标准年金的现值与终值
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标准年金的现值与终值
年金现金流是许多复杂现金流的基础，是利率计算 的最直接的一种应用。 年金的计算问题主要包括年金的现值和终值计算 两大类 标准年金： 定期、定额、每期支付一次、每次支付 一个单位金额的基本年金。
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（三）标准年金的现值与终值之间的一些关系
1、
̇̇n , ̇̇ an , sn , a sn 的等价表达式
1 = ian + v n
经济意义： 0时刻一个货币单位的价值 ＝ (0, n] 上每次（利息）收入i的现金流价值 (ian )
n ( v ) + n时刻一个货币单位的现值
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0
1 1
2 1
…… ……
n－1
1
n
1
1 + 1+ i + ⋯ + n− 2 (1 + i ) + n −1 (1 + i )
sn i
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n (1 + i ) −1 n−2 n −1 = 1 + (1 + i ) + ⋯ + (1 + i ) + (1 + i) = i
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例 一项年金在20年内每半年末付500元，设年名 义利率为每半年转换9％，求此项年金的现时值。 解： 依题意，半年实际利率为 4.5％，计息40次
� （一）延期（递延）年金的现值
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（一）延期（递延）年金的现值
延期年金 年金的首次发生是递延了一段时间 后进行的 递延m期的延期年金的时间流程图
1 0 1 2 … … … 1
m
m+1
m+n
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引入记号 m | a n ，表示延期m期后n期标准期末付年金 的现值，则
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区分度量期、支付期与计息期
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§2.1 年金的标准型
� 年金的概念与分类 � （一）年金的定义 � （二）年金的分类
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（二）年金的分类
确定年金 或有年金
按每 次支 付金 额
基本年金
每 按 支 次 次 付 数
一般年金 连续年金
年金的分类 期末付年金
按 次 每 付 支 刻 时
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永续年金的现值
记号 a∞ 表示标准永续期末年金的现值之和，即有
a∞ = v + v + ⋯ + v
2 ∞
n −1
+ v +⋯
n
n 1 − v 1 n = = ∑ v = lim i i n→∞ n =1
期初付年金 在合同生效时立即发生首次的现金流， 随后依次分期进行的年金方式
n期标准期初年金
每次的年金金额为1个货币单
位，在合同生效时立即发生首次的现金流，共计 n次 时间流程图：
1 0
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1 1
1 2
1 3
……
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n－1 n
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̇̇n i 表示标准期初年金的现值之和 记号 a ̇̇n i = 1 + v + v 2 + ⋯ + vn −1 a
1000 = Ra40 2%
解出
1000 1000 R= = = 36.56 a40 2% 27.3555
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例：现有十年期50万元贷款，年利率 8％，试比较以下 三种还贷方式的应付利息情况： A——在第十年底一次付清 B——每年底偿还当年的利息，本金最后一次付清 C——每年底偿还固定的金额，十年还清 解： 方式A：在第十年底的一次还款为
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§2.1 年金的标准型
� 年金的概念与分类 � 标准年金的现值与终值 � （一）期末支付的 n期标准年金的现值与终值
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（一）期末支付的 n期标准年金的现值与终值
期末付年金 年金的现金流在第一个付款期末首次 发生，随后依次分期进行