2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项

符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）下列曲线中有渐近线的是（ ）

（A ）sin y x x =+ （B ）2

sin y x x =+ （C ）1sin

y x x =+ （D ）2

1sin y x x

=+ （2）设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]内（ ） （A ）当()0f x '≥时，()()f x g x ≥ （B ）当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ （C ）当()0f x '≤时，()()f x g x ≥ （D ）当()0f x '≤时，()()f x g x ≤ （3）设(,)f x y 是连续函数，则

1

10

(,)y

dy f x y dx -=⎰

⎰

（ ）

（A ）11

010(,)(,)x dx f x y dy dx f x y dy --+⎰⎰

⎰

（B ）

1

100

1

(,)(,)x

dx f x y dy dx f x y dy --+⎰⎰

⎰⎰

（C ）

11

2

cos sin 0

2

(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r dr d f r r dr π

π

θθπθθθθθθ++⎰

⎰

⎰⎰

（D ）

11

2cos sin 0

2

(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r rdr d f r r rdr π

πθθπθθθθθθ++⎰

⎰

⎰⎰

（4）若函数

{}

2211,(cos sin )min

(cos sin )a b R

x a x b x dx x a x b x dx π

π

π

π

-

-∈--=--⎰⎰

，则

11cos sin a x b x +=（ ）

（A ）2sin x （B ）2cos x （C ）2sin x π （D ）2cos x π

（5）行列式

0000000

a

b a b

c

d c

d

=（ ）

（A ）2

()ad bc - （B ）2

()ad bc -- （C ）2

2

22

a d

b

c - （D ）22

2

2

b c a d -

（6）设123,,ααα为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的（ ）

（A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分也非必要条件

（7）设随机事件A 与B 相互独立，且3.0)(,5.0)(=-=B A P B P ，则=-)(A B P （ ） （A ）0.1 (B)0.2 (C)0.3 (D)0.4

（8）设连续型随机变量21,X X 相互独立，且方差均存在，21,X X 的概率密度分别为

)(),(21x f x f ，随机变量1Y 的概率密度为)]()([2

1

)(211y f y f y f Y +=，随机变量

)(2

1

212X X Y +=，则

（A ）2121,DY DY EY EY >> （B ）2121,DY DY EY EY == （C ）2121,DY DY EY EY <= （B ）2121,DY DY EY EY >=

二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）曲面)sin 1()sin 1(2

2

x y y x z -+-=在点)1,0,1(处的切平面方程为

（10）设)(x f 是周期为4的可导奇函数，且]2,0[),1(2)(∈-='x x x f ，则=)7(f

（11）微分方程0)ln (ln =-+'y x y y x 满足条件3

)1(e y =的解为=

y

（12）设L 是柱面12

2

=+y x 与平面0=+z y 的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分⎰

=

+L

ydz zdx

（13）设二次型32312

22132142),,(x x x ax x x x x x f ++-=的负惯性指数为1，则a 的取值范

围是

（14）设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪

⎨⎧<<=其他,0

2,32),(2θθθθx x

x f ，其中θ是未知参数，

n X X X ,,,21Λ为来自总体X 的简单随机样本，若∑=n

i i X c 12为2θ的无偏估计，则

=

c

三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）

求极限)

1

1ln(])1([lim

21

1

2

x

x dt

t e t

x

t

x +--⎰+∞

→

（16）（本题满分10分）

设函数)(x f y =是由方程062

2

3

=+++xy y x y 确定，求)(x f 的极值 （17）（本题满分10分）

设函数)(u f 具有2阶连续导数，)cos (y e f z x

=满足

x x e y e z y

z

x z 22222)cos (4+=∂∂+∂∂，若0)0(,0)0(='=f f ，求)(u f 的表达式. （18）（本题满分10分）

设∑为曲面)1(2

2

≤+=z y x z 的上侧，计算曲面积分

dxdy z dzdx y dydz x I )1()1()1(33-+-+-=⎰⎰∑

（19）（本题满分10分） 设数列}{},{n n b a 满足n n n n n b a a b a cos cos ,2

0,2

0=-<

<<<π

π

，且级数1

n n b ∞

=∑收敛.

（I ）证明：;0lim =∞

→n n a

（II ）证明：级数

∑∞

=1

n n

n

b

a 收敛.

（20）（本题满分11分）