粘弹性人工边界应用中的几个关键问题及其在ANSYS中的实现

粘弹性人工边界应用中的几个关键问题及其在

ANSYS 中的实现

蒋伟

河海大学土木工程学院，江苏南京 (210098)

E-mail: jw800403@

摘 要：粘弹性人工边界能同时模拟半无限地基的能量辐射效应和弹性恢复能力，精度较高，计算结果稳定，在工程中受到越来越广泛的应用。本文通过粘弹性人工边界理论，比较全面地介绍了粘弹性人工边界应用中人工边界的设置、参数选取、波动输入方法等几个关键问题以及在通用有限元分析软件ANSYS 中的实现，并结合平面问题算例，验证了该方法的有效性和准确性。

关键词：粘弹性人工边界；结构-地基动力相互作用；ANSYS ；波动输入

1. 引言

半无限地基的模拟问题是结构-地基动力相互作用分析中的一个关键问题。目前通常的做法是在截取的有限域截断面上设置人工边界，合理地设置人工边界对于正确反映结构-地基的整体动力特性很重要。

人工边界大致可分为全局人工边界和局部人工边界两大类。局部人工边界与全局人工边界相比，具有所需计算机存储量小、计算时间短、实用性强等优点，因此在实际工程中得到了比较广泛的应用。局部人工边界中，工程上目前较常用的有廖振鹏等提出的透射边界[1]、Lysmer 等提出的粘性边界[2]，以及Deeks 在粘性边界的基础上提出了粘弹性人工边界[3]等。透射边界虽具有较高精度，但在实际应用中一般仅限于二阶精度以内，并且存在编程较复杂、计算中可能引起高频失稳等问题。粘性边界虽只有一阶精度，但概念清楚，易于程序实现，所以应用比较广泛，但其仅考虑了对散射波的吸收，不能模拟半无限地基的弹性恢复能力。粘弹性边界具有能同时模拟散射波辐射和半无限地基的弹性恢复能力的优点，且能克服粘性边界引起的低频漂移问题，稳定性好。目前，粘弹性人工边界已经开始应用到实际工程中，并越来越受到工程界的重视。本文将以二维平面问题结合大型通用有限元计算软件ANSYS ，就粘弹性人工边界如何实现的几个问题做一简要的介绍。

2. 粘弹性人工边界的几个关键问题

2.1 粘弹性人工边界理论

粘弹性人工边界的推导过程同粘性边界相类似，在假设边界上不存在能量反射的前提下，基于二维散射波为柱面波的情形可推导出任一半径b r 处，以b r J K 为外法线的微元面上应力同该处速度和位移的关系式为：

(,)(,)(,)2b b b S b w r t G r t w r t c r t τρ∂=−

−∂ （1） 令 2b b

G K r =， b S C c ρ= （2） 其中，G 为剪切模量，ρ为介质密度，S c 为介质中的剪切波速。

由公式（1）可看出，如果在半径b r 处截断介质，同时在截断的边界上施加相应分布的物理元件——粘性阻尼器b C 和线性弹簧b K 后，就可以消除散射波在人工边界上的反射，模拟波由计算区域向无限域的传播。

对于平面内波动问题，在人工边界的切线和法线两个方向上均需施加弹簧阻尼器，法线方向上的弹簧阻尼器值应从理论上重新推导，但可以将G 和S c 简单地用E 和P c 替换[4][5]。

由于推导人工边界时采用的是柱面波假设，因此在实际使用中如果采用圆弧形人工边界将获得更好的模拟精度，但在结构-地基动力相互作用的有限元分析中往往采用平直的人工边界。假设波入射方向与人工边界法向夹角为θ，则柱面波在平直人工边界上的反射系数[4]为

(1cos )/(1cos )R θθ=−+ （3）

2.2人工边界的设置和参数的选取

结构-地基地震反应分析通常将人工边界设置为方型截断形式，地震波以平面波形式从底边界垂直入射。粘弹性人工边界模拟人工边界上的应力条件，是一种连续分布的人工边界条件，当采用有限元法将人工边界及其所包围的计算区域离散化时，粘弹性人工边界也被离散，用集中处理方法可以得到集中粘弹性人工边界。此时，粘弹性动力人工边界可以等效为在人工截断边界的单元结点上设置法向和切向的并联弹簧阻尼器单元，图1所示为平面粘弹性人工边界模型。

图1 粘弹性人工边界模型

集中粘弹性人工边界单元结点B 处，法向和切向的弹簧刚度和阻尼器的阻尼系数按照公式（4）、（5）取值[5][8]。

BN N

G K A R α=， BN P C c A ρ= （4） BT T G K A R

α=， BT S C c A ρ= （5） 式中：BN K 、BT K 分别为法向和切向弹簧刚度；BN C 、BT C 分别为法向和切向阻尼器的阻尼系数； R 为波源至人工边界点的距离；A 为人工边界结点在边界上的等效面积；P c 、S c

为介质的P 波和S 波波速；N α、T α为法向与切向粘弹性人工边界修正系数。

由上面的公式可看出，在设置粘弹性人工边界时，粘性阻尼器的阻尼系数与散射波源到人工边界的距离R 无关，但弹簧的刚度与之有关。实际问题中散射源并不是一个点源，而是空间分布的线源或面源，因此R 只能在平均的意义下选取。文献[4]简单地取为地基表面中心点到人工边界的最短距离，文献[6]取为地基表面中心点到人工边界的平均距离。计算表明，第二种方法的计算精度比第一种方法有所提高[7]，但差别不大。

粘弹性人工边界具有良好的鲁棒性，人工边界系数N α、T α在一定范围内取值均可以得到较好的计算结果，文献[9]给出了二维和三维问题中N α和T α的取值范围及推荐取值。对于平面问题，N α和T α可分别取为1.0和0.5。

2.3波动输入方法

结构-地基动力相互作用问题中，地震波动输入处理的合理与否将直接影响到计算结果的精度和可信度。刘晶波等[10]将地震波动输入问题化为波源问题，即将输入地震动转化为作用于人工边界上的等效荷载的方法来实现波动输入。具体做法是将人工边界上所施加的等效荷载使人工边界上的位移和应力与原自由场相同。文中采用一般力学分析中的脱离体概念，推导了人工边界接点B 上应该施加的等效应力为

000()(,,)(,,)(,,)B B B B B B B B B F t x y t K w x y t C w x y t τ=++ （6）

其中：0(,,)B B w x y t 是人工边界上由已知入射波场0(,,)w x y t 产生的位移，0τ是在原连续介质中由位移0w 产生的应力，B K 、B C 分别为人工边界上物理元件（弹簧和阻尼器）的刚度和阻尼系数。

在人工边界上实现波动输入时，不同的人工边界需采取不同的输入方法。人工边界上的运动由已知入射波和由结构基础产生的散射波组成，散射波由人工边界吸收，而入射波则需采用一定的方法输入到计算区中。由于采用了将输入问题化为源问题的方法处理波动输入，满足力的叠加原理，在边界上入射波场和散射波场互不影响，因此可以将这两种波场分开处理。文献[11]给出了外源地震作用下粘弹性人工边界结点的运动方程及等效地震荷载的计算方法。以平面问题中的S 波从人工边界底部垂直入射为例，人工边界上任一结点B 处所需施加的等效荷载可通过公式（7）~（10）得到，等效荷载示意图如图2。

()()()()y BT BT S BT S S S F t K u t C u t A c u t ρ−=++ （7）

112212()()()()()()[()()]x BN BN S BN S BN S BN S x BT BT S S F t K u t t C u t t K u t t C u t t F t C u t t u t t −−⎧=−∆+−∆+−∆+−∆⎨=−∆−−∆⎩

（8） ()()()()x x BN BN x x BT BT

F t F t F t F t +−+−⎧=⎨=−⎩ （9） 其中：1/S t l c ∆=，2(2)/S t L l c ∆=− （10） 式中：L 为底边界到地表的距离；l 为结点B 到底边界的距离；1t ∆和2t ∆分别为结点B 处入射S 波和地表反射S 波的时间延迟；等效地震荷载的下标的N 和T 分别代表法向和切向的分量，上标代表结点所在人工边界面的外法线方向，与坐标轴方向一致为正，反向为负。