解析几何第四版吕林根课后的习题集答案第二章.doc

第二章 轨迹与方程 §2.1平面曲线的方程

1.一动点M 到A )0,3(的距离恒等于它到点)0,6(-B 的距离一半，求此动点M 的轨迹方程，并指出此轨迹是什么图形？

解：动点M 在轨迹上的充要条件是MB MA 2

1

=。设M 的坐标),(y x 有

2222)6(2

1

)3(y x y x ++=

+- 化简得36)6(22=+-y x 故此动点M 的轨迹方程为36)6(2

2

=+-y x

此轨迹为椭圆

2.有一长度为a 2a (＞0）的线段，它的两端点分别在x 轴正半轴与y 轴的正半轴上移动，

是求此线段中点的轨迹。A ，B 为两端点，M 为此线段的中点。 解：如图所示 设(,),A x o (,)B o y .则(,)22

x y M .在Rt AOB V 中有 222()(2)x y a +=.把M 点的坐标代入此式得:

222()x y a +=(0,0)x y ≥≥.∴此线段中点的轨

迹为2

2

2

()x y a +=.

3. 一动点到两定点的距离的乘积等于定值2

m ,求此动点的轨迹.

解:设两定点的距离为2a ,并取两定点的连线为x 轴, 两定点所连线段的中垂线为y 轴.现有:

2AM BM m ⋅=.设(,)M x y 在Rt BNM V 中

2

2

2

()a x y AM ++=. (1) 在Rt BNM V 中 2

22()a x y BM -+=. (2) 由(1)(2)两式得:

22222244()2()x y a x y m a +--=-.

4.设,,P Q R 是等轴双曲线上任意三点,求证PQR V 的重心H 必在同一等轴双曲线上.

证明:设等轴双曲线的参数方程为x ct

c y t =⎧⎪

⎨=⎪⎩

11(,)P x y ,22(,)Q x y ,33(,)R x y .重心H

123123

(

,)33

x x x y y y ++++

5.任何一圆交等轴双曲线2

xy c =于四点11(,)c P ct t ,22(,)c Q ct t ,33(,)c R ct t 及44

(,)c

S ct t .那么一定有12341t t t t =.

证明:设圆的方程2

2

220x y Dx Ey F ++++=.圆与等轴双曲线交点(,)c

ct t

,则代入得

222

2220.c Ec c t Dct F t t

++++=整理得: 24322220.c t Dct Ft Ect c ++++=可知

(1,2,3,4)i =是它的四个根,则有韦达定理1234t t t t ⋅⋅⋅=2

4

2(1)1c c

-=.

8. 把下面的平面曲线的普通方程化为参数方程.

⑴3

2x y =; ⑵ ()0,2

12

121>=+a a y

x ; ⑶()0,0333>=-+a axy y x .

解:⑴⎪⎩⎪

⎨⎧==t

y t x 32

令θ4

cos a x =,代入方程2

12

121a y

x =+

得θθθ422

12

2

12

12

1sin ,sin cos a y a a a y

==-=

∴参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==θ

θ

4

4

sin cos a y a x .

⑶令,tx y =代入方程033

3=-+axy y x

得(

)

0312

33

=-+atx x t

()[]

03132=-+⇒at x t x

当0=x 时,;0=y 当3

13t at

x +=时,3213t at y +=

3

130t at x x +=

=⇒或

故参数方程为⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+=+=32

3

1313t at y t at x .

§2.2 曲面的方程

1、 一动点移动时，与)0,0,4(A 及xoy 平面等距离，求该动点的轨迹方程。 解：设在给定的坐标系下，动点),,(z y x M ，所求的轨迹为C ，

则z C

z y x M =⇔

∈),,(

亦即z z y x =++-2

2

2

)4(

0)4(22=+-∴y x

由于上述变形为同解变形，从而所求的轨迹方程为0)4(2

2

=+-y x

2、在空间，选取适当的坐标系，求下列点的轨迹方程：

（1）到两定点距离之比为常数的点的轨迹； （2）到两定点的距离之和为常数的点的轨迹； （3）到两定点的距离之差为常数的点的轨迹；

（4）到一定点和一定平面距离之比等于常数的点的轨迹。 解：（1）取二定点的连线为x 轴，二定点连接线段的中点作为坐标原点，且令两距离之比的常数为m ，二定点的距离为a 2，则二定点的坐标为)0,0,(),0,0,(a a -，设动点),,(z y x M ，所求的轨迹为C ，则

222222)()(),,(z y a x m z y a x C z y x M +++=++-⇔

∈

亦即])[()(2

2

2

2

2

2

2

z y a x m z y a x +++=++-

经同解变形得：0)1()1(2))(1(2

2

2

2

2

2

2

=-++-++-a m x m a z y x m 上式即为所要求的动点的轨迹方程。

（2）建立坐标系如（1），但设两定点的距离为c 2，距离之和常数为a 2。设动点),,(z y x M ，要求的轨迹为C ， 则a z y c x z y c x C

z y x M 2)()(),,(222222=++++++-⇔

∈

亦即2

2

2

2

2

2

)(2)(z y c x a z y c x +++-=++-