2014专题十五不等式选讲(教师版含13年高考试题)

专题十五： 不等式选讲（教师版含13年高考题）

第二讲 不等式选讲

一、知识点整合：

1． 含有绝对值的不等式的解法

(1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a ；

(2)|f (x )|0)⇔－a

(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值的几何意义求解．

2． 含有绝对值的不等式的性质

|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.

3． 柯西不等式

(1)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号

成立．

(2)若a i ，b i (i ∈N *)为实数，则(∑n i ＝1a 2i )(∑n i ＝1b 2i )≥(∑n i ＝1a i b i )2，当且仅当a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a n b n (当某b j ＝0时，认为a j ＝0，j ＝1,2，…，n )时等号成立．

(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量共线时等号成立．

4． 不等式的证明方法

证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等．

二、13年高考感悟

1． (2013·重庆)若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|

答案 (－∞，8]

解析 ∵|x －5|＋|x ＋3|＝|5－x |＋|x ＋3|

≥|5－x ＋x ＋3|＝8，

∴(|x －5|＋|x ＋3|)min ＝8，

要使|x －5|＋|x ＋3|

2． (2013·江西)在实数范围内，不等式||x －2|－1|≤1的解集为________．

答案 [0,4]

解析 由||x －2|－1|≤1得－1≤|x －2|－1≤1，

解⎩⎪⎨⎪⎧

|x －2|≥0|x －2|≤2得0≤x ≤4. ∴不等式的解集为[0,4]．

3． (2013·陕西)已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为________．

答案 2

解析 由柯西不等式(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时“＝”成立，得

(am ＋bn )(bm ＋an )≥(am ·an ＋bm bn )2＝mn (a ＋b )2＝2.

4． (2012·山东)若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝________.

答案 2

解析 ∵|kx －4|≤2，∴－2≤kx －4≤2，∴2≤kx ≤6.

∵不等式的解集为{x |1≤x ≤3}，∴k ＝2.

5． (2011·湖南)设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2·⎝⎛⎭

⎫1x 2＋4y 2的最小值为________． 答案 9

解析 ⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2＝5＋1x 2y

2＋4x 2y 2 ≥5＋2 1x 2y

2·4x 2y 2＝9， 当且仅当x 2y 2＝12

时“＝”成立． 三、典型题型

题型一 含绝对值的不等式的解法

例1 (2013·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.

(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )

(2)设a >－1，且当x ∈⎣⎡⎭

⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围． 审题破题 (1)可以通过分段讨论去绝对值；(2)在x ∈⎣⎡⎭

⎫－a 2，12时去绝对值，利用函数最值求a 的范围． 解 (1)当a ＝－2时，不等式f (x )

设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，

则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －5x ，x <12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x >1，

其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y <0，所以原不等式的解集是

{x |0

(2)∵a >－1，则－a 2<12

， ∴f (x )＝|2x －1|＋

|2x ＋a |

当x ∈⎣⎡⎭

⎫－a 2，12时，f (x )＝a ＋1， 即a ＋1≤x ＋3在x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2

，12上恒成立．

∴a ＋1≤－a 2＋3，即a ≤43

， ∴a 的取值范围为⎝

⎛⎦⎤－1，43. 反思归纳 这类不等式的解法是高考的热点．

(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：

①求零点；②划区间、去绝对值；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．

(2)用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．

变式训练1 已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|－m .

(1)当m ＝5时，求f (x )>0的解集；

(2)若关于x 的不等式f (x )≥2的解集是R ，求m 的取值范围．

解 (1)由题设知|x ＋1|＋|x －2|>5，

不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：

⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，x ＋1＋x －2>5或⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x <2，x ＋1－x ＋2>5或⎩⎪⎨⎪⎧

x <－1，－x －1－x ＋2>5， 解得函数f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(3，＋∞)．

(2)不等式f (x )≥2即|x ＋1|＋|x －2|>m ＋2，

∵x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，

不等式|x ＋1|＋|x －2|≥m ＋2解集是R ，

∴m ＋2≤3，m 的取值范围是(－∞，1]．

题型二 不等式的证明

例2 (2012·福建)已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]．

(1)求m 的值；

(2)若a ，b ，c ∈R ＋，且1a ＋12b ＋13c

＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9. 审题破题 (1)从解不等式f (x ＋2)≥0出发，将解集和[－1,1]对照求m ；(2)利用柯西不等式证明．

(1)解 因为f (x ＋2)＝m －|x |，

f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m .

由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }．

又f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m ＝1.

(2)证明 由(1)知1a ＋12b ＋13c

＝1， 又a ，b ，c ∈R ＋

，由柯西不等式得

a ＋2

b ＋3

c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝⎛⎭⎫1a ＋12b ＋13c

≥⎝

⎛⎭⎫a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·13c 2＝9. 反思归纳 不等式证明的基本方法是比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法和数学归纳法，其中以比较法和综合法最为基础，使用综合法证明不等式的关键就是通过适当的变换后使用重要不等式，证明过程注意从重要不等式的形式入手达到证明的目的．