1.4.1生活中的优化问题举例(学、教案)-含答案
1.4生活中的优化问题举例第4课时精品教案
1.4.4 生活中的优化问题举例【教课目的】：（1）知识与技术：生活中常常碰到求收益最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题都是优化问题，感觉解决这些优化问题（也称最值问题）的特别现实的意义。
（2）感情态度与价值观：让学生充足领会到生活中到处有数学。
（3 ）过程与方法：培育学生主动发现问题、剖析问题、解决问题的能力，进一步培育学生应用数学的意识 , 领会导数在解决实质问题中的作用 .【教课要点】：正确理解求最优化问题的意义；【教课难点】：数学模型的成立；【教课打破点】：查漏补缺，实时纠正，学习中存在的问题【教法和学法设计】：教法：情形研究，师生互动。
学法：自主研究，合作沟通。
【课前准备】： Powerpoint【教课过程设计】：教课活动设计企图教课环节一、※作业存在的问题：练习格式问题评讲求导过程不熟习．．．．．．．．※《同步》习题二、房价应订为多少查漏补缺，实时纠正，学习中存在的问题补增补例题：某旅馆有５０个房间供游旅居住，当每个房间每日的订价为１８０元时，房间会充所有住满；房间的单价每增添１０元，就会有练一个房间安闲．假如游旅居住宅间，旅馆每日习每间需花销２０元的各样维修费．房间订价多少时，旅馆的收益最大？解:设旅馆订价为 (180＋10x)元时，旅馆的收益Ｗ最大经过实例创建问题情境，培育学生的分析能力，激发他们的学习兴趣。
练习练习 2：已知某商品为 a 元／件，依据过去经验，当售价是 b（ b≥4a）元／件时，可卖出 c 件，市场检查表3明，当售价降落 10％时，销量可增添４ 0％，现决定一次性降价，当售价定为多少时，可获取的收益最大？让学生充足发布建议，指引学生发现问题、思虑问题练习：用总长的钢条制成一个长方体容器的框架，假如所制做容器的底面的一边比另一边长，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。
解：设容器底面短边长为x m，则另一边长为x 0.5 m，高为 4 x44 x 2x由2x 0 和 x 0 ，得0 x ，设容器的容积为ym 3，设置这个则有 y x x 2x 0 x练习，既能够提升培育学生独立整理，得 y 2x 3 2.2 x 2 ，思虑的能力，练习∴ y 6x 2 x 1.6 令 y 0 ，有6x 2 0 ，又可加强对优即15 x 2 11 4 0 ，化问题的理x4 解，解得x 1，x2 （不合题意，舍去）。
高中数学 1.4 1生活中的优化问题举例教案 新人教A版选修2-2
2013年高中数学 1.4 1生活中的优化问题举例教案新人教A
版选修2-2
教学目标：
知识目标：1.利用导数研究函数的切线、单调性、极大（小）值以及函数在连续区间[a，
b]上的最大（小）值；
2.利用导数求解一些实际问题的最大值和最小值。
能力目标：1.通过研究函数的切线、单调性、极大（小）值以及函数在连续区间[a，
b]上的最大（小）值，
培养学生的数学思维能力；
2.通过求解一些实际问题的最大值和最小值，培养学生分析问题、解决问题的能力，
以及数学建模能力。
思想目标：逐步培养学生养成运用数形结合、等价转化、函数与方程等数学思想方法思考问题、解决问题的习惯
教学重难点：
将实际问题转化成函数问题，利用导数来解决优化问题
教学基本流程：
教学过程：。
1.4生活中的优化问题举例
练习1、 一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个 正方形，要使两个正方形的面积和最小， 两段铁丝的长度分别是多少？
解：设两段铁丝的长度分别为x,l-x,
其中0<x<l 则两个正方形面积和为
S
=
s1
+ s2
=( x)2 4
+( l
- x)2 4
=
1 (2x2 16
-
2lx
+
l2
)
S 1 (4x 2l) 1 (2x l)
生活中经常遇到求利润最大、用料 最省、效率最高等问题，这些问题称 为优化问题，优化问题有时也称为最 值问题．解决这些问题具有非常重要 的现实意义．
通过前面的学习，我们知道，导数是求函 数最大（小）值的有力工具，本节我们运 用导数，解决一些生活中的优化问题。
类型一：求面积、容积的最大问题
例1、海报版面尺寸的设计： 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，
解：设版心的高为xdm，则版心的
1dm
m
宽 128 dm，此时四周空白面积为 2dm x
S( x) ( x 4)(128 2) 128 x
2x 512 8 ( x 0) x
S
'(
x
)
2
512 x2
2dm
S(
x)
2
x
512 x
8，S
'(
x)
2
512 x2
令S '(x) 0可解得x 1（6 x -16舍去）
V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60).
令
V(x)= 60x - 3 x2 = 0 2
,解得x=0(舍去),x=40.且
人教A版选修1-1教案：1.4.1生活中的优化问题举例(1)(含答案)
§1．4．1生活中的优化问题举例(1)
【学情分析】：
导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：
1、与几何有关的最值问题；
2、与物理学有关的最值问题；
3、与利润及其成本有关的最值问题；
4、效率最值问题。
【教学目标】：
1.掌握利用导数求函数最值的基本方法。
2.提高将实际问题转化为数学问题的能力.提高学生综合、灵活运用导数的知识解决生活中问题的能力
3．体会导数在解决实际问题中的作用.
【教学重点】：
利用导数解决生活中的一些优化问题．
【教学难点】：
将生活中的问题转化为用函数表示的数学问题，再用导数解决数学问题，从而得出问题的最优化选择。
【教学突破点】：
利用导数解决优化问题的基本思路：
【教法、学法设计】：。
1.4.1生活中的优化问题举例(学、教案)---含答案
1.4.1生活中的优化问题举例(学、教案)---含答案§1.4.1生活中的优化问题举例课前预习学案【预习目标】预习优化问题，初步体会导数在解决实际问题中的作用。
【预习内容】1、简述如何利用导数求函数极值和最值？2、通常称为优化问题。
3、利用导数解决优化问题的基本思路：优化【提出疑惑】同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中（一）合作探究、精讲点拨例1：海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。
现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。
如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？探究1：在本问题中如何恰当的使用导数工具来解决最优需要？例2．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响①你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？②是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是2分，其中r是0.8r瓶子的半径，单位是厘米。
已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm.问题：①瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？①瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？探究2：换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？例3．磁盘的最大存储量问题计算机把数据存储在磁盘上。
磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。
磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。
磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特（bit）。
为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于m，每比特所占用的磁道长度不得小于n。
为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。
数学：《生活中的优化问题举例 》课件(人教A版选修)
1.半径为２cm 时，利润最小，这时 f (2) 0
表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本， 此时利润是负值 ２．半径为６cm时，利润最大
注:如果不用导数工具,直接从函数的图象上 观察,你有什么发现?(图见课本第40页)
积最大?
提示： S 2 Rh+ 2 R2 h S 2 R2
h
2 R
R
V(R)= S 2 R2 R2 = 1 (S 2 R2 )R 1 SR R3
2 R
2
2
令V '(R) =0 S 6 R2
6 R2 2 Rh 2 R2 h 2R ．
11
２．已知:某商品生产成本Ｃ与产量q的函数关系式为 C 100 4q , 价格p与产量q的函数关系式为
p 25 1 q 8
求产量 q 为何值时，利润 L 最大？
12
房价应订为多少
３．某宾馆有５０个房间供游客居住，当每 个房间每天的定价为１８０元时，房间会全 部住满；房间的单价每增加１０元，就会有 一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆每 天每间需花费２０元的各种维修费．房间定 价多少时，宾馆的利润最大？
3
导数法
不等式法
解：设版心的宽为x dm ，长为y dm 2
y x
4
例2.饮料瓶大小对饮料公司利润的 影响 （1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般
比大包装的要贵些？ （2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？
背景知识：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料。
瓶子的制造成本是 0.8分r 2，其中 r 是瓶
1.4生活中的优化问题教案
§1.4生活中的优化问题举例（2课时）教学目标：1．使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用提高将实际问题转化为数学问题的能力教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题．教学过程：一．创设情景生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题。
例1：海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。
现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。
如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？探究1：在本问题中如何恰当的使用导数工具来解决最优需要？例2．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响①你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？②是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米。
已知每出售1 mL的饮料，0.8r制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm问题：①瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？②瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？探究2：换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？例3．磁盘的最大存储量问题计算机把数据存储在磁盘上。
磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。
磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。
磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特（bit）。
为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于m，每比特所占用的磁道长度不得小于n 。
《生活中的优化问题举例》教案2(新人教版选修1-1)
1.4生活中的优化问题举例教学目标：掌握导数在生活中的优化问题问题中的应用教学重点：掌握导数生活中的优化问题问题中的应用．教学过程一、复习：利用导数求函数极值和最值的方法二、引入新课例1在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？ 解法一：设箱底边长为x cm ，则箱高602x h -=cm ，得箱子容积 260)(322x x h x x V -== )600(<<x ． 令 23()602x V x x '=-＝0，解得 x=0（舍去），x=40，并求得 V(40)=16 000由题意可知，当x 过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm 时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm 3解法二：设箱高为x cm ，则箱底长为(60-2x )cm ，则得箱子容积 x x x V 2)260()(-=)300(<<x ．（后面同解法一，略）由题意可知，当x 过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．事实上，可导函数260)(322x x h x x V -==、x x x V 2)260()(-=在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积S=2πRh+2πR 2由V=πR 2h ，得2V h Rπ=，则S(R)= 2πR2V R π+ 2πR 2=2V R+2πR 2 令 22()V s R R '=-+4πR=0 解得，，从而h=2V R π即 h=2R因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？提示：S =2Rh π+22R π⇒h =R R S ππ222- ⇒V (R )=R R S ππ222-πR 2=3221)2(21R SR R R S ππ-=- )('R V )=026R S π=⇒ ⇒R h R Rh R 222622=⇒+=πππ．例3已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C =100+4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为q p 8125-=．求产量q 为何值时，利润L 最大？ 分析：利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格．由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润． 解：收入211252588R q p q q q q ⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎝⎭， 利润221125(1004)2110088L R C q q q q q ⎛⎫=-=---=-- ⎪⎝⎭(0100)q << 令0L '=，即12104q -+=，求得唯一的极值点84q = 答：产量为84时，利润L 最大小结：本节课学习了导数在解决实际问题中的应用.课堂练习：第37页练习A 、B课后作业：第38页B:5，6，7。
人教A版选修1-1教案：1.4.1生活中的优化问题举例(2)(含答案)
例 3、已知某厂生产 x 件产品的成本为 C= 25000
（1） 要使平均成本最低，应生产多少件产品？
200 x
Байду номын сангаас
1 x2 （元），问： 40
（2） 若产品以每件 500 元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？ 解：（ 1）设平均成本为 y 元，则
y
25000 200x 1 x2 40
25000 200
【教学目标】：
1． 掌握利用导数求函数最值的基本方法。 2. 体会导数在解决实际问题中的作用 .
3．提高将实际问题转化为数学问题的能力 力
. 提高学生综合、灵活运用导数的知识解决生活中问题的能
【教学重点】：
利用导数解决生活中的一些优化问题．
【教学难点】：
将生活中的问题转化为用函数表示的数学问题， 再用导数解决数学问题， 从而得出问题的最优化选择。
1、用边长为 48cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时， 在铁皮的四角各剪去一个面积相等的小正方形，
然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角剪去的正方形的边长为 （B ）
人教 A 版选修 1-1 教案： 1.4.1 生活中的优化问题举例（ 2）（含答案）
A 6cm
人教 A 版选修 1-1 教案： 1.4.1 生活中的优化问题举例（ 2）（含答案）
人教 A 版选修 1-1 教案： 1.4.1 生活中的优化问题举例（ 2）（含答案）
人教 A 版选修 1-1 教案： 1.4.1 生活中的优化问题举例（ 2）（含答案） 人教 A 版选修 1-1 教案： 1.4.1 生活中的优化问题举例（ 2）（含答案）
最大容积为 1.8m 3。
(4) 加 强巩固 1
1.4生活中的优化问题举例教学设计
1.4生活中的优化问题举例教学设计1教材分析教材关于导数的应用，主要涉及的是可导函数单调性、极值和最大 (小) 值的判定，其中关键是函数极值的判定.通过判定可导函数的极值，可以使学生加深对函数单调性与其导数的关系的了解:并且，掌握了函数极值的判别法，再学习函数的极大值与极小值的判定方法，有了这些准备工作学习本节不成问题本节研究增长率、膨胀率、效率、利润、速度等有关导数应用的实例，例如，通过使利润最大、用料最省效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的广泛作用和强大实力，主要目的是:(1) 培养应用意识应用导数，解决生活中的优化问题.(2) 培养学生数学建模的思想，对于一个优化问题，解决的思路是: 第步将优化问题转化为用函数表示的数学问题，第一C步是应用导数这个工具解决数学问题，进而得到问题的答案.2学情分析学生已经学习了函数以及导数的基础知识，知道了利用导数研究函数的基本性质，用导数来处理函数单调性、极值、最值等问题的基本思路，但如何利用导数来解决一些具体的问题，学生的能力还比较薄弱，这都造成了本节课的困难，需要进行问题的引导.1）学生的难点是如何建模，应注重这方面的引导训练:2)考虑对自变量的实际限制，规范解题步骤的表述;3）充分体会导数在解决数学及其他学科实际应用题中的工具性作用.3教学目标1）.体会导数在解决实际问题中的作用，能解决利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，2.形成求解优化问题的思路和方法。
过程与方法2）.通过逐步形成用到导数知识分析问题和解决问题，进一步培养学生发散思维能力。
3）.提高将实际问题转化为数学问题的能力。
情感、态度、价值观培养学生用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题地积极态度4 教学重难点教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题。
教学难点：理解导数在解决实际问题时的作用，并利用其解决生活中的一些优化问题。
5 教法与学法教法分析：根据本节课的教学内容和教学重难点，本节课采用从具体到抽象，从特殊到一般的方法形成增函数的定义，再引导学生通过类比归纳的方法形成减函数的定义。
1.4生活中的优化问题举例第1课时 精品教案
1.4.1生活中的优化问题举例【教学目标】：（1）知识与技能：生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题都是优化问题，感受解决这些优化问题（也称最值问题）的非常现实的意义。
（2）情感态度与价值观：让学生充分体会到生活中处处有数学。
（3）过程与方法：培养学生主动发现问题、分析问题、解决问题的能力，进一步培养学生应用数学的意识,体会导数在解决实际问题中的作用.【教学重点】：利用导数解决生活中的一些优化问题;【教学难点】：数学模型的建立；【教学突破点】：创设丰富的具有现实意义的问题背景，设置悬念，激发学生的学习兴趣。
【教法和学法设计】：教法：情景探究，师生互动。
学法：自主探索，合作交流。
【课前准备】：Powerpoint【教学过程设计】：练习与测试：1、要做一个圆形漏斗，其母长为20cm ，要使其面积最大，则其高应该为（ ） A ．3620cm B ．100cm C ．20cm D ．320cm 答案：A解释：设圆锥体积为V ，低面半径为r(0<r<20)，则高为2400r h -=，所以2224003131r r h r v -==ππ，6453'400)61600(3rr r r v --⋅=π令0'=v ，可得38002=r ∴3620=r此时33204002=-=r h ，由于函数在0<r<20内只有一个极值，所以这个极大值就是最大值。
2、以长为10的线段为直径做半圆，则它的内接矩形的面积最大值为（ ） A ．10 B ．15 C ． 20 D ．50 答案：C3、若底面积为等边三角形的棱柱的体积为v ，则其表面积最小时，低面边长为（ ）A ．3vB ．32vC ．34vD ．32v 答案：C解释：设此三棱柱底面边长为a ，高为h ，则V=,432h a ∴表面积为,342334322av a ah h a s +=+=令0'=s ，可得=a 34v4、面积为s 的一切矩形中，其周长最小的是 。
教学设计4：1.4 生活中的优化问题举例
1.4生活中的优化问题举例教学目标1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．教学知识梳理知识点生活中的优化问题(1)生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．(2)利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．(3)解决优化问题的基本思路：上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．教学探究类型一几何中的最值问题例1请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解∵V(x)＝(2x)2×(60－2x)×2 2＝2x2×(60－2x)＝－22x3＋602x2(0<x<30)．∴V′(x)＝－62x2＋1202x＝－62x(x－20)．令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.∵当0<x<20时，V′(x)>0；当20<x<30时，V′(x)<0.∴V(x)在x＝20时取极大值也是唯一的极值，故为最大值．∴底面边长为2x＝202(cm)，高为2(30－x )＝102(cm)， 即高与底面边长的比值为12.反思与感悟 面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验． 跟踪训练1 (1)已知圆柱的表面积为定值S ，当圆柱的容积V 最大时，圆柱的高h 的值为 ________．(2)将一段长为100 cm 的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，当正方形与圆形面 积之和最小时，圆的周长为________ cm. 【答案】(1)6πS 3π (2)100π4＋π【解析】(1)设圆柱的底面半径为r ， 则S 圆柱底＝2πr 2，S 圆柱侧＝2πrh ， ∴圆柱的表面积S ＝2πr 2＋2πrh . ∴h ＝S －2πr 22πr ，又圆柱的体积V ＝πr 2h ＝r 2(S －2πr 2)＝rS －2πr 32， V ′(r )＝S －6πr 22，令V ′(r )＝0，得S ＝6πr 2，∴h ＝2r ， ∵V ′(r )只有一个极值点， ∴当h ＝2r 时圆柱的容积最大． 又r ＝S6π，∴h ＝2S 6π＝6πS 3π. 即当圆柱的容积V 最大时， 圆柱的高h 为6πS 3π. (2)设弯成圆的一段铁丝长为x (0<x <100)，则另一段长为100－x . 设正方形与圆形的面积之和为S ，则正方形的边长a ＝100－x 4，圆的半径r ＝x2π.故S ＝π⎝⎛⎭⎫x 2π2＋⎝⎛⎭⎫100－x 42(0<x <100)． 因此S ′＝x 2π－252＋x 8＝x 2π－100－x 8，令S ′＝0，则x ＝100π4＋π.由于在(0,100)内，函数只有一个导数为0的点，则问题中面积之和的最小值显然存在， 故当x ＝100π4＋π cm 时，面积之和最小．类型二 实际生活中的最值问题 命题角度1 利润最大问题例2 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解 (1)因为当x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，所以a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润为 f (x )＝(x －3)⎣⎡⎦⎤2x －3＋10(x －6)2＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6.从而f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)(x －6)，令f ′(x )＝0，得x ＝4或x ＝6. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可得，x ＝4 所以当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．反思与感悟 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有 (1)利润＝收入－成本．(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．跟踪训练2 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎨⎧10.8－130x 2，0<x ≤10，108x －1 0003x 2，x >10.(1)求年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值．解 (1)当0<x ≤10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －x 330－10；当x >10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝98－1 0003x－2.7x .所以W ＝⎩⎨⎧8.1x －x 330－10，0<x ≤10，98－1 0003x－2.7x ，x >10.(2)当0<x ≤10时，由W ′＝8.1－x 210＝0，得x ＝9，当x ∈(0,9)时，W ′>0，当x ∈(9,10)时，W ′<0， 所以当x ＝9时，W 取得最大值， 且W max ＝8.1×9－130×93－10＝38.6，当x >10时，W ＝98－⎝⎛⎭⎫1 0003x ＋2.7x ≤98－21 0003x×2.7x ＝38， 当且仅当1 0003x ＝2.7 x ，即x ＝1009时，W max ＝38，综上可得，当x ＝9时，W 取得最大值38.6.故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元．命题角度2 用料、费用最少问题例3 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元．(1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ 解 (1)设需新建n 个桥墩， 则(n ＋1)x ＝m ，即n ＝mx －1.所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x ＝256⎝⎛⎭⎫m x －1＋m x (2＋x )x ＝256m x＋m x ＋2m －256.(2)由(1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋12m 12x -＝m2x2(32x －512)． 令f ′(x )＝0，得32x ＝512， 所以x ＝64.当0<x <64时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0,64)上为减函数； 当64<x <640时，f ′(x )>0，f (x )在区间(64,640)上为增函数， 所以f (x )在x ＝64处取得最小值． 此时n ＝m x －1＝64064－1＝9.反思与感悟 (1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f ′(x )＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．跟踪训练3 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值． 解 (1)设隔热层厚度为x cm ，由题设，每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5，再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5，而建造费用为C 1(x )＝6x .因此得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)． (2)f ′(x )＝6－ 2 400(3x ＋5)2.令f ′(x )＝0，即 2 400(3x ＋5)2＝6，解得x ＝5，x ＝－253(舍去)．当0<x <5时，f ′(x )<0；当5<x <10时，f ′(x )>0，故当x ＝5时，f (x )取到最小值，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70.答 当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值为70万元. 当堂检测1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( )A ．8 B.203 C ．－1 D ．－8【答案】C【解析】原油温度的瞬时变化率为f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1(0≤x ≤5)，所以当x ＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.2．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则高应为( ) A.1033 cmB.2033 cmC.1633 cmD.33 cm 【答案】B【解析】设圆锥的高为h cm,0<h <20， ∴V 圆锥＝13π(202－h 2)×h ＝13π(400－h 2)h∴V ′＝13π(400－3h 2)，令V ′(h )＝0得h ＝2033，当h ∈⎝⎛⎭⎫0，2033时，V ′>0，当h ∈⎝⎛⎭⎫2033，20时，V ′<0，故当h ＝2033时，体积最大．3．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P 元，销售量为Q 件，且销量Q 与零售价P 有如下关系：Q ＝8 300－170P －P 2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( ) A ．30元 B ．60元 C ．28 000元 D ．23 000元【答案】D【解析】毛利润为(P －20)Q ， 即f (P )＝(P －20)(8 300－170P －P 2)， f ′(P )＝－3P 2－300P ＋11 700 ＝－3(P ＋130)(P －30)． 令f ′(P )＝0，得P ＝30或P ＝－130(舍去)． 又P ∈[20，＋∞)， 故f (P )max ＝f (P )极大值，故当P ＝30时，毛利润最大， 所以f (P )max ＝f (30)＝23 000(元)．4．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元． 【答案】160【解析】设底面长为x ，由题意得底面宽为4x .设总造价为y ，则y ＝20x ×4x ＋10×1×⎝⎛⎭⎫2x ＋2×4x ， 即y ＝20x ＋80x＋80，y ′＝20－80x 2，令y ′＝0，得x ＝2.∴当x ＝2时，y min ＝160(元)．5．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x (单位：元，0≤x ≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，每星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解(1)设商品降价x元，则多卖出的商品件数为kx2.若记商品一个星期的获利为f(x)，则有f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)．由已知条件，得24＝k×22，于是有k＝6.所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,21]．(2)由(1)得，f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12)．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：故当因为f(0)＝9 072，f(12)＝11 664.所以定价为30－12＝18(元)，才能使一个星期的商品销售利润最大．。
4生活中的优化问题举例(学教案)含答案
生活中的优化问题举例章节一：引言教学目标：1. 让学生了解优化问题的概念。
2. 让学生明白优化问题在生活中的应用。
教学内容：1. 优化问题的定义。
2. 优化问题在生活中的实例。
教学步骤：1. 引入优化问题的概念。
2. 举例说明优化问题在生活中的应用。
作业：1. 思考生活中还有哪些优化问题。
章节二：路线规划教学目标：1. 让学生学会使用最短路径算法解决优化问题。
2. 让学生能够应用最短路径算法解决实际生活中的问题。
教学内容：1. 最短路径算法的原理。
2. 最短路径算法在生活中的应用。
教学步骤：1. 讲解最短路径算法的原理。
2. 通过实例让学生应用最短路径算法解决问题。
作业：1. 尝试使用最短路径算法解决实际问题。
章节三：时间管理教学目标：1. 让学生学会如何合理安排时间。
2. 让学生能够应用时间管理技巧提高效率。
教学内容：1. 时间管理的原则。
2. 时间管理技巧的应用。
教学步骤：1. 讲解时间管理的原则。
2. 分享时间管理技巧并让学生进行实践。
作业：1. 制定个人时间管理计划。
章节四：资源分配教学目标：1. 让学生学会如何合理分配资源。
2. 让学生能够应用资源分配技巧解决问题。
教学内容：1. 资源分配的原则。
2. 资源分配技巧的应用。
教学步骤：1. 讲解资源分配的原则。
2. 通过实例让学生应用资源分配技巧解决问题。
作业：1. 尝试使用资源分配技巧解决实际问题。
章节五：购物优化教学目标：1. 让学生学会如何优化购物决策。
2. 让学生能够应用购物优化技巧提高购物效率。
教学内容：1. 购物优化技巧。
2. 购物优化在生活中的应用。
教学步骤：1. 讲解购物优化技巧。
2. 通过实例让学生应用购物优化技巧解决问题。
作业：1. 尝试使用购物优化技巧进行购物决策。
章节六：能源使用优化教学目标：1. 让学生了解能源优化的重要性。
2. 让学生学会如何在生活中优化能源使用。
教学内容：1. 能源优化概念。
2. 家庭能源使用优化实例。
学案7：1.4 生活中的优化问题举例
1.4 生活中的优化问题举例知识梳理知识点：生活中的优化问题举例提出问题某厂家计划用一种材料生产一种盛500 mL溶液的圆柱形易拉罐．问题1：生产这种易拉罐，如何计算材料用得多少呢？问题2：如何制作使用材料才能最省？导入新知1．优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．2．用导数解决优化问题的基本思路化解疑难1．在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．2．在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的取值范围．例题讲解：题型一：利用导数解决面积、体积最大问题例1：如图①，∠ACB＝45°，|BC|＝3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折叠，使∠BDC＝90°(如图②所示)．当BD的长为多少时，三棱锥ABCD的体积最大？类题通法利用导数解决优化问题的一般步骤(1)抽象出实际问题的数学模型，列出函数解析式y＝f(x)．(2)求函数f(x)的导数f′(x)，并解方程f′(x)＝0，即求函数可能的极值点．(3)比较函数f(x)在区间端点的函数值和可能极值点的函数值的大小，得出函数f(x)的最大值或最小值．(4)根据实际问题的意义给出答案．活学活用：如图，要设计一矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告牌面积最小？题型二：利用导数解决费用最省问题例2：为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式．(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求出最小值．类题通法解决优化问题应关注两点(1)在列函数解析式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域． (2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值．如果函数f (x )在给定区间内只有一个极值点或函数f (x )在开区间上只有一个点使f ′(x )＝0，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较．活学活用：甲、乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P (元)关于速度v (千米/时)的函数关系是P ＝119 200v 4－ 1160v 3＋15v . (1)求全程运输成本Q (元)关于速度v 的函数关系式．(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值．题型三：利用导数解决利润最大问题例3：某公司为了获得更大的利益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t (单位：百万元)，可增加销售额约为－t 2＋5t (单位：百万元，且0≤t ≤5)．(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x (单位：百万元)，可增加的销售额约为－13x 3＋x 2＋3x (单位：百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大(注：收益＝销售额－投入)．类题通法利润最大问题的解决方法利润问题是经济生活中最为常见的问题．一般来说，利润等于总收入减去总成本，而总收入等于产量乘价格．由此可以得到利润与产量的函数关系式，进而用导数求最大利润． 活学活用：某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x (吨)与每吨产品的价格p (元/吨)之间的关系式为p ＝24 200－15x 2，且生产x 吨的成本为R ＝50 000＋200x (元)．问：该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？题型四：导数在实际问题中的应用例4：有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km 的B 处，乙厂到河岸的垂足D 与A 相距50 km ，两厂要在此岸边合建一个供水站C ，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a 元和5a 元，问：供水站C 建在岸边何处才能使水管费用最省？课堂检测：1．做一个容积为256 m 3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为( )A ．6 mB ．8 mC ．4 mD ．2 m2．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 ( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件3．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的体积是27π，且用料最省，则水桶的底面半径为________．4．某产品的销售收入y 1(万元)是产量x (千台)的函数：y 1＝17x 2(x ＞0)，生产成本y 2(万元)是产量x (千台)的函数：y 2＝2x 3－x 2(x ＞0)，为使利润最大，应生产________千台．5．一个圆柱形圆木的底面半径为1 m ，长为10 m ，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD (如下图所示，其中O 为圆心，C ，D 在半圆上)，设∠BOC ＝θ，木梁的体积为V (单位：m 3)，表面积为S (单位：m 2)．(1)求V关于θ的函数表达式．(2)求θ的值，使体积V最大．(3)问：当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．参考答案知识梳理提出问题问题1：答：计算出圆柱的表面积即可．问题2：答：要使用料最省，只需圆柱的表面积最小．可设圆柱的底面半径为x，列出圆柱表面积S ＝2πx 2＋1 000x (x ＞0)，求S 最小时，圆柱的半径、高即可．例题讲解：题型一：利用导数解决面积、体积最大问题例1：解：在如图①所示的△ABC 中，设|BD |＝x (0＜x ＜3)，则|CD |＝3－x .由AD ⊥BC ，∠ACB ＝45°知，△ADC 为等腰直角三角形，所以|AD |＝|CD |＝3－x . 由折叠前AD ⊥BC 知，折叠后，如图②所示，AD ⊥DC ，AD ⊥BD ，且BD ∩DC ＝D ， 所以AD ⊥平面BCD .又∠BDC ＝90°，所以S △BCD ＝12|BD |·|CD |＝12x (3－x )．于是V A BCD ＝13|AD |·S △BCD ＝13(3－x )·12x (3－x )＝16(x 3－6x 2＋9x )．令f (x )＝16(x 3－6x 2＋9x )，由f ′(x )＝12(x －1)·(x －3)＝0，且0＜x ＜3，解得x ＝1.当x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(1,3)时，f ′(x )＜0.所以当x ＝1时，f (x )取得最大值f (1)＝23，即V A BCD 取得最大值23.故当|BD |＝1时，三棱锥A BCD 的体积最大．活学活用：解：设广告牌的高和宽分别为x cm 、y cm ，则每栏的高和宽分别为x －20，y －252，其中x >20，y >25.两栏面积之和为2(x －20)·y －252＝18 000，由此得y ＝18 000x －20＋25.广告牌面积为S (x )＝x ⎝⎛⎭⎫18 000x －20＋25＝18 000xx －20＋25x ， ∴S ′(x )＝18 000[(x －20)－x ](x －20)2＋25＝－360 000(x －20)2＋25.令S ′(x )>0，得x >140；令S ′(x )<0，得20<x <140.∴函数S (x )在(140，＋∞)上单调递增，在(20,140)上单调递减， ∴S (x )的最小值为S (140)． 当x ＝140时，y ＝175，即当x ＝140，y ＝175时，S (x )取得最小值24 500，故当广告牌的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告牌的面积最小. 题型二：利用导数解决费用最省问题例2：解：(1)由题设，每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5.而建造费用为C 1(x )＝6x .最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)． (2)f ′(x )＝6－ 2 400(3x ＋5)2，令f ′(x )＝0，即 2 400(3x ＋5)2＝6，解得x ＝5或x ＝－253(舍去)．当0＜x ＜5时，f ′(x )＜0；当5＜x ＜10时，f ′(x )＞0，故x ＝5是f (x )的最小值点， 对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70. 当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元．活学活用：解：(1)Q ＝P ·400v ＝119 200v 4－1160v 3＋15v ·400v＝⎝⎛⎭⎫119 200v 3－1160v 2＋15·400 ＝v 348－52v 2＋6 000(0＜v ≤100)． (2)Q ′＝v 216－5v .令Q ′＝0，则v ＝0(舍去)或v ＝80. 当0＜v ＜80时，Q ′＜0； 当80＜v ≤100时，Q ′＞0，∴v ＝80千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且Q min ＝Q (80)＝2 0003(元).题型三：利用导数解决利润最大问题例3：解：(1)设投入t 百万元的广告费后增加的收益为f (t )百万元，则有f (t )＝(－t 2＋5t )－t ＝－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋4(0≤t ≤3)， ∴当t ＝2时，f (t )取得最大值4，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．(2)设用于技术改造的资金为x 百万元，则用于广告促销的资金为(3－x )百万元， 又设由此获得的收益是g (x )，则g (x )＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋x 2＋3x ＋[－(3－x )2＋5(3－x )]－3 ＝－13x 3＋4x ＋3(0≤x ≤3)，∴g ′(x )＝－x 2＋4.令g ′(x )＝0，解得x ＝－2(舍去)或x ＝2. 当0≤x ＜2时，g ′(x )＞0； 当2＜x ≤3时，g ′(x )＜0，故g (x )在[0,2)上是增函数，在(2,3]上是减函数．∴当x ＝2时，g (x )取最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销时，该公司由此获得的收益最大．活学活用：解：依题意，每月生产x 吨时的利润为f (x )＝⎝⎛⎭⎫24 200－15x 2x －(50 000＋200x ) ＝－15x 3＋24 000x －50 000(x ≥0)．f ′(x )＝－35x 2＋24 000，令f ′(x )＝0，解得x 1＝200，x 2＝－200(舍去)． 当0<x <200时f ′(x )>0，当x >200时f ′(x )<0， ∴x ＝200时，f (x )取最大值，最大值为f (200)＝－15×2003＋24 000×200－50 000＝3 150 000.故该厂每月生产200吨产品才能使利润达到最大，最大利润为315万元． 题型四：导数在实际问题中的应用例4：解：如图所示，依题意，点C 在线段AD 上，设C 点距D 点x km ，则AC ＝50－x ，因为BD ＝40， 所以BC ＝BD 2＋CD 2＝402＋x 2.设总的水管费用为y 元，则y ＝3a (50－x )＋5a x 2＋402(0＜x ＜50)， y ′＝－3a ＋5axx 2＋402.令y ′＝0，解得x 1＝30，x 2＝－30(舍去)． 当0＜x ＜30时，y ′＜0； 当30＜x ＜50时，y ′＞0， 所以当x ＝30时，y 取得最小值， 此时AC ＝50－30＝20(km)，即供水站建在A ，D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省．课堂检测：1．【解析】设底面边长为x m ，高为h m ，则有x 2h ＝256，所以h ＝256x2.所用材料的面积设为S m 2，则有S ＝4x ·h ＋x 2＝4x ·256x 2＋x 2＝256×4x ＋x 2.S ′＝2x －256×4x 2，令S ′＝0得x ＝8，因此h ＝25664＝4(m)．【答案】C2．【解析】因为y ′＝－x 2＋81，所以当x >9时，y ′<0；当0＜x ＜9时，y ′>0，所以函数y ＝－13x 3＋81x －234在(9，＋∞)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以x ＝9时函数取最大值． 【答案】C3．【解析】设圆柱形水桶的表面积为S ，底面半径为r (r >0)，则水桶的高为27r 2，所以S ＝πr 2＋2πr ×27r 2＝πr 2＋54πr (r >0)，求导数，得S ′＝2πr －54πr2，令S ′＝0，解得r ＝3.当0<r <3时，S ′<0；当r >3时，S ′>0，所以当r ＝3时，圆柱形水桶的表面积最小，即用料最省．【答案】34．【解析】设利润为y ，则y ＝y 1－y 2＝17x 2－(2x 3－x 2)＝－2x 3＋18x 2(x ＞0)，∴y ′＝－6x 2＋36x ＝－6x (x －6)．令y ′＝0，解得x ＝0或x ＝6.经检验知x ＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点． 【答案】65．解：(1)等腰梯形ABCD 的面积S ABCD ＝2cos θ＋22·sin θ＝sin θcos θ＋sin θ，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 故木梁的体积V (θ)＝10(sin θcos θ＋sin θ)，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (2)由(1)知V ′(θ)＝10(2cos 2θ＋cos θ－1) ＝10(2cos θ－1)·(cos θ＋1)，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 令V ′(θ)＝0，得cos θ＝12或cos θ＝－1(舍去)．∵θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴θ＝π3. 当θ∈⎝⎛⎭⎫0，π3时，12<cos θ<1，V ′(θ)>0，V (θ)为增函数； 当θ∈⎝⎛⎭⎫π3，π2时，0<cos θ<12，V ′(θ)<0，V (θ)为减函数． ∴当θ＝π3时，体积V 最大．(3)∵木梁的侧面积S 侧＝(AB ＋2BC ＋CD )·10 ＝20⎝⎛⎭⎫cos θ＋2sin θ2＋1，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴S ＝2S ABCD ＋S 侧＝2()sin θcos θ＋sin θ＋20⎝⎛⎭⎫cos θ＋2sin θ2＋1， θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 设g (θ)＝cos θ＋2sin θ2＋1，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∵g (θ)＝－2sin 2 θ2＋2sin θ2＋2，∴当sin θ2＝12，即θ＝π3时，g (θ)最大．又由(2)知θ＝π3时，sin θcos θ＋sin θ取得最大值，∴θ＝π3时，木梁的表面积S 最大．综上可知，当木梁的体积V 最大时，其表面积S 也最大．。
最新人教版高中数学选修1-1《生活中的优化问题举例》示范教案
最新人教版高中数学选修1-1《生活中的优化问题举例》示范教案1．4生活中的优化问题举例教材分析本节内容是导数知识的应用，是利用前面所学的导数知识来解决生产生活中的实际问题．要使问题解决达到最优化，首先要建立合适的函数关系，并确定函数的定义域，然后通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决．在这个过程中，可以利用导数分析函数单调性、极值和最值，从而得出像利润最大、用料最省、效率最高等优化问题的结论．因此，导数是解决生活中优化问题的一个有力工具．课时分配1课时．教学目标1．知识与技能目标会利用导数求利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用，提高将实际问题转化为数学问题的能力．2．过程与方法目标在利用导数解决实际问题中的优化问题的过程中，进一步巩固导数的相关知识，学生通过自主探究，体验数学发现与创造的历程，提高学生的数学素养．3．情感、态度与价值观在学习应用数学知识解决问题的过程中，培养学生善于发现问题、解决问题的自觉性，以及科学认真的生活态度，并以此激发他们学习知识的积极性．重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．难点：将实际问题转化为数学问题，根据实际利用导数解决生活中的优化问题．教学过程引入新课提出问题1：将一根长为1米的铁丝弯成一个矩形，怎么弯才能使矩形的面积最大？活动设计：学生讨论，主动发言，教师评论，提醒学生说明理由．学情预测：由于该问题可操作性强，学生积极性应该很高，可以猜想，也可以计算．活动成果：弯成正方形时，面积最大．可以用二次函数或平均值不等式来证明．提出问题2：一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别为多少？活动设计：继续讨论，像问题1一样需要学生说明理由．学情预测：除了猜想、证明外，不少学生尝试计算．l活动成果：两个小正方形边长都是时，其面积和最小．8学情预测：学生会用导数知识重新审视问题1、2，思考之后，部分学生可以答出一些理由．通过几个比较简单的问题，一是激发学生的学习兴趣，二是引出用代数(函数)的方法解决问题．两个问题都可以用二次函数、不等式等知识解决，同样应用导数也能解决，为应用导数知识解决实际问题做铺垫．探究新知提出问题：如图，在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体箱子，箱底边长为多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？活动设计：以小组为单位，研究实施方案，教师巡视、指导．学情预测：由于问题相对复杂，学生在猜想无果时，会尝试用函数知识解决．活动成果：60－某解法一：设箱底边长为某cm，则箱高h＝(cm)，得箱子容积260某2－某33某2V(某)＝某h＝(02223某2令V′(某)＝60某－＝0，解得某1＝0(舍去)，某2＝40，2并求得V(40)＝16000.由题意可知，当某过小(接近0)或过大(接近60)时，箱子容积都很小．经检验可知，16000是最大值．答：当箱底边长为40cm时，箱子容积最大，最大容积是16000cm3.解法二：设箱高为某cm，则箱底边长为(60－2某)cm，则箱子容积V(某)＝(60－2某)2·某(0由题意可知，当某过小或过大时，箱子容积都很小，所以最大值出现在极值点处．60某2－某3事实上，可导函数V(某)＝某h＝、V(某)＝(60－2某)2·某在各自的定义域中都只有22一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值．设计意图对于比较复杂的实际问题，单靠猜想——证明的方法显然不行，这样就更提高了学生用导数知识解决问题的主动性，从而引出本节课的课题，并初步形成解题思路和解题步骤．求实际应用题的最大(最小)值的一般方法是：(1)分析问题中各量之间的关系，把实际问题转化为数学问题，建立函数关系式；(2)确定函数的定义域，并求出极值点；(3)比较各极值与定义域端点函数值的大小，结合实际，确定最值或最值点．理解新知例1圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？活动设计：学生自行设计图形，分组讨论、交流协作．学情预测：对于圆柱体的体积公式，学生可能会遗忘，需要教师提示．解：设圆柱的高为h，底面半径为R，容积为V，则表面积S＝2πRh＋2πR2.V由V＝πR2h，得h＝2.πRV2V则S(R)＝2πR2＋2πR2＝＋2πR2.πRR3V2V令S′(R)＝－2＋4πR＝0，解得R＝，R2π34V3VVV从而h＝2＝＝＝2，即h＝2R.πRπ2π3V2π2π因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值．答：当罐的高与底面直径相等时，所用材料最省．点评：实际应用问题的最优化，可以转化为函数在指定范围内的最大值问题．因此，恰当设变量，准确构建函数关系式(明确定义域)，并用导数法(其他方法也可)求出函数最值是这类问题的基本解题步骤．例2学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？活动设计：两名学生板演，其他学生独立完成，最后教师讲评．学情预测：如何设变量，准确列出函数表达式，明确函数定义域，多数学生还不够规范．128解：设版心的高为某dm，则版心的宽为dm，此时四周空白面积为某128512S(某)＝(某＋4)(＋2)－128＝2某＋＋8，某>0.某某512求导数，得S′(某)＝2－2.某512128128令S′(某)＝2－2＝0，解得某＝16(某＝－16舍去)．所以版心的宽为＝＝8(dm)．某某16当某∈(0,16)时，S′(某)<0；当某∈(16，＋∞)时，S′(某)>0.因此，某＝16是函数S(某)的极小值，也是最小值点．所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使海报四周空白面积最小．答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小．运用新知例3饮料瓶大小对饮料公司利润的影响．(1)你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？你想从数学上知道它的道理吗？(2)是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？【背景知识】某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径．已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm.问题：(1)瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？(2)瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是43r322y＝f(r)＝0.2某πr－0.8πr＝0.8π(－r)，033令f′(r)＝0.8π(r2－2r)＝0，解得r＝2(r＝0舍去)．当r∈(0,2)时，f′(r)<0；当r∈(2,6)时，f′(r)>0.因此，当半径r>2时，f′(r)>0，它表示f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；半径r<2时，f′(r)<0，它表示f(r)单调递减，即半径越大，利润越低．(1)半径为2cm时，利润最小，这时f(2)<0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．(2)半径为6cm时，利润最大．点评：通过对解答过程的分析，我们可以发现：当r＝3时，f(3)＝0，即瓶子的半径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当r>3时，利润才为正值．当r∈(0,2)时，f′(r)<0，f(r)为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cm时，瓶子的半径越大，利润越小，当半径为2cm时，利润最小．巩固练习一条水渠的断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD的面积为定值S时，使得四周l＝AB＋BC＋CD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h和下底边长b.13解：由梯形的面积公式，得S＝(AD＋BC)h，其中AD＝2DE＋BC，DE＝h，BC＝b，23231233∴AD＝h＋b.∴S＝(h＋2b)h＝(h＋b)h.①3233∵CD＝＝h，AB＝CD，∴l＝h某2＋b.②co30°33S3由①，得b＝－h，代入②，h343S3S∴l＝h＋－h＝3h＋，3h3hSSSSl′＝3－2＝0.∴h＝.当h时，l′>0.h444333∴h＝S44时，l取最小值，此时b＝23·S.3点评：1.解决优化问题的方法是：首先要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，创造在闭区间内求函数最值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决．在这个过程中，导数是一个有力的工具．2．利用导数解决优化问题的基本思路：变练演编变式1：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使圆柱形饮料罐的容积最大？变式2：某厂生产某种产品某件的总成本c(某)＝1200＋某3(万元)，又知产品单价的平75方与产品件数某成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，问产量定为多少时总利润最大？变式3：已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C＝100＋4q，价格p与产量。
人教A版选修1-1教案：生活中的优化问题举例(1)(含答案)
§1．4．1生活中的優化問題舉例(1)
【學情分析】：
導數在實際生活中的應用主要是解決有關函數最大值、最小值的實際問題，主要有以下幾個方面：
1、與幾何有關的最值問題；
2、與物理學有關的最值問題；
3、與利潤及其成本有關的最值問題；
4、效率最值問題。
【教學目標】：
1.掌握利用導數求函數最值的基本方法。
2.提高將實際問題轉化為數學問題的能力.提高學生綜合、靈活運用導數的知識解決生活中問題的能力
3．體會導數在解決實際問題中的作用.
【教學重點】：
利用導數解決生活中的一些優化問題．
【教學難點】：
將生活中的問題轉化為用函數表示的數學問題，再用導數解決數學問題，從而得出問題的最優化選擇。
【教學突破點】：
利用導數解決優化問題的基本思路：
【教法、學法設計】：
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§1.4.1 生活中的优化问题举例
课前预习学案
【预习目标】
预习优化问题，初步体会导数在解决实际问题中的作用。
【预习内容】
1、简述如何利用导数求函数极值和最值？
2、通常称为优化问题。
3、利用导数解决优化问题的基本思路：
优化问题
【提出疑惑】
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点疑惑内容
课内探究学案
【学习目标】
1、掌握有关实际问题中的优化问题；
2、形成求解优化问题的思路和方法。
学习重难点：理解导数在解决实际问题时的作用，并利用其解决生活中的一些优化问题。
【学习过程】
（一）情景问题：
汽油的消耗量 w （单位：L）与汽车的速度 v （单位：km/h）之间有一定的关系，汽油的消耗量 w 是汽车速度 v 的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题：
①是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？
②“汽油的使用率最高”的含义是什么？
（二） 合作探究、精讲点拨 例 1：海报版面尺寸的设计
学校或班级举行活动， 通常需要张贴海报进行宣传。
现让你设计一张如图
1.4-1 所示的
竖向张贴的海报，要求版心面积为 128dm 2, 上、下两边各空 2dm,左、右两边各空 1dm 。
如何设 计
海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？
探究 1：在本问题中如何恰当的使用导数工具来解决最优需要？
例 2．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响①你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？②是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？
【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是 0.8 r 2
分，其
中 r 是瓶子的半径，单位是厘米。
已知每出售
1 mL 的饮料，制造商可获利
0.2 分, 且制
造商能制作的瓶子的最大半径为6cm.
问题：①瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
② 瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？
探究 2：换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发
现？
例 3．磁盘的最大存储量问题
计算机把数据存储在磁盘上。
磁盘是带有磁性介质的圆盘，
并有操作系统将其格式化成
磁道和扇区。
磁道是指不同半径所构成的同心轨道， 扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。
磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据
0 或 1，这个基本
单元通常被称为比特（
bit ）。
为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于
m ，每比特所占用的磁道长度不得
小于 n 。
为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。
问题： 现有一张半径为 R 的磁盘，它的存储区是半径介于 r 与 R 之间的环形区域．
① 是不是 r 越小，磁盘的存储量越大？
②
r 为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？
探究 3：如果每条磁道存储的信息与磁道的长度成正比，那么如何计算磁盘的存储量？
此时，是不是r 越小，磁盘的存储量越大？
（三）反思总结
1、导数在解决实际生活中的问题应用方向是什么？
2、解决优化问题的方法是怎样的？
（四）当堂检测
练习：圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？
变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？
课后练习与提高
1、一边长为 a 的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x 的小正方形，然后做成一个
无盖的方盒。
①试把方盒的体积V 表示为x的函数。
② x 多大时，方盒的容积V 最大？
2、某宾馆有50 个房间供游客居住，当每个房间定价为每天180 元时，房间会全部住满；房间单价每增加 10 元，就会有一个房间空闲。
如果游客居住房间，宾馆每天需花费 20 元的各种维护费用，房间定价多少时，宾馆利润最大？
§ 1.4.1生活中的优化问题举例
【教学目标】
1、会解决使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，深入体会导数在解决实际问
题中的作用；
2、提高将实际问题转化为数学问题的能力。
【教学重难点】
教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．
教学难点：理解导数在解决实际问题时的作用，并利用其解决生活中的一些优化问题。
【教学过程】
( 一 ) 预习检查、总结疑惑
检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
（二）情景导入、展示目标
教师：我们知道，汽油的消耗量 w （单位：L）与汽车的速度 v （单位：km/h）之间有一定的关系，汽油的消耗量 w 是汽车速度 v 的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题：
①是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？
②“ 汽油的使用率最高”的含义是什么？
通过实际问题引发学生思考，进而导入本节课，并给出本节目标。
（三）合作探究、精讲点拨
（ 1）提出概念
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利
用导数，解决一些生活中的优化问题．
（ 2）引导探究
例 1：海报版面尺寸的设计
学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。
现让你设计一张如图 1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2, 上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。
如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？
探究 1：在本问题中如何恰当的使用导数工具来解决最优需要？
例 2．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
①你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？
②是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？
【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是
0.8r 2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米。
已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利
0.2分 , 且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm
问题：①瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
②瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？
探究 2：换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发
现？
例 3．磁盘的最大存储量问题
计算机把数据存储在磁盘上。
磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。
磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区
域。
磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0 或 1，这个基本单元通常被称为比特（bit ）。
为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于m ，每比特所占用的磁道长度不得
小于 n 。
为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。
问题：现有一张半径为R 的磁盘，它的存储区是半径介于r 与R之间的环形区域．
①是不是 r 越小，磁盘的存储量越大？
②r 为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？
探究 3：如果每条磁道存储的信息与磁道的长度成正比，那么如何计算磁盘的存储量？
此时，是不是r 越小，磁盘的存储量越大？
由学生结合已有的知识，提出自己的看法，同伴之间进行交流。
老师及时点评指导，最
后归纳、总结，讲评。
（四）反馈测评
练习：圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？
变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？
（五）课堂总结
导数在实际生活中的应用方向：主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主
要有以下几个方面： 1、与几何有关的最值问题； 2、与物理学有关的最值问题； 3、与利润及其成本有关的最值问题； 4、效率最值问题。
解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函
数关系。
再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数
是一个有力的工具．
利用导数解决优化问题的基本思路：
优化问题用函数表示的数学问题
解决数学模
作答
优化问题的答案用导数解决数学问题
【作业布置】
发导学案、布置预习。