力学中的泛函分析和变分原理第六讲
弹性力学变分原理PPT课件
fiuikdv
tiuikds
s
ij
k ij
dv
V
S
V
并取
s ij
ij
fi (ui ui )dv ti (ui ui )ds
外荷载做功的增量: W
弹性体 应 变能增 量: V
对于弹性静力学问题,根据热力学第一定律:
W V
第21页/共83页
微元体在某一应变状态获得的应变能增量为
V fiuidv tiuids
V
V
其中,ui为弹性体变形过程中的位移增量。
利用高斯公式得:
fiδ uidv σij n jδ uids
弹性体应变能是状态函数,故上式积分与 路径无关。
对于线性问题,可假设在变形过程中应力、 应变分量等比例增长。
* ij
:
0
tij
(0
t
1)
* ij
:
0
t
ij
(0
t
1)
v
1
σ
* ij
δε
* ij
1
tσij εijt
0
0
1 2
σij εij
第27页/共83页
2. 余应变能、余应变能密度
对于单向拉伸问题
a
a
结论:变分运算和积分运算可以交换次序
第11页/共83页
四、泛函的驻值与极值
1、函数的驻值和极值
如果函数y(x)在x=x0的邻近任一点上的值都 不大于或都不小于y(x0),即
y(x)-y(x0)≤0或≥0
则称函数y(x)在x=x0处达到极大值或极小
值。极值的必要条件为
dy dx
0
第12页/共83页
弹性力学的变分解法
七、弹性力学参量的下标表示法前面给出的力分量、应力分量、应变分量和位移分量,其表示方法引用的是记号法;这是一种公认的弹性力学参量表示方法。
下标表示法书写简洁,便于力学问题的理论推导。
1. 下标符号具有相同性质的一组物理量,可用一个带下标的字母表示:如:位移分量u, v, w 表示为u 1, u 2, u 3,缩写为u i (i =1,2,3)坐标x, y, z 表示为x 1, x 2, x 3,缩写为x i (i =1,2,3)单位矢量i, j, k 表示e i (i =1,2,3)。
体力分量X, Y, Z 表示为X 1, X 2, X 3,缩写为X i (i =1,2,3)应力分量:z zy zx yz y yxxz xy x 可表示为:333231232221131211 缩写为:)3,2,1;3,2,1( j i ij4. 克罗内克(Kroneker)符号具有如下性质 )cos(j i ij e ej i e eji ji ij 01 100010001333231232221131211 ij ij (1)3ii j i ij A A ij 也称换名算子同理:ijkj ik A a (2)选取可能位移:十、利用位移变分原理的近似解法m mm m mm mm m w C w w v B v v u A u u 000其中系数是完全任意的m m m C B A 、、1、瑞雷—里兹法(1)是在边界上满足位移边界条件的设定函数000w v u 、、(2)是在边界上为零的设定函数m m m w v u 、、可见,由(1)、(2)选取出来的是可能位移w v u 、、。
(53页PPT幻灯片修改版)泛函分析课件
例子
n维Euclid空间是可分的 连续函数集C[a, b]是可分的
目的:用简单的逼近复杂的
距离空间的完备性
柯西序列
设{xn}是(X, ρ)中的点列,若对任意的ε>0,存在N>0,当 n, m>N时,有ρ(xn, xm)< ε. 则称 {xn}是X中的柯西(Cauchy) 序 列,或称基本序列
距离空间:定义
设 X 是非空集合,对于X中的任意两元素x与y,按某一法则都 对 应唯一的实数ρ(x, y),并满足以下三条公理(距离公理) :
1. 2.
3.
非负性: ρ(x, y) ≥0, ρ(x, y) =0当且仅当x=y; 对称性: ρ(x, y) =ρ(y, x); 三角不等式;对任意的x, y, z ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y)
取 x (1,1,...,1,...), (0, 0,..., 0,...)
1 2 1 ( x, ) i 2 i 1 2 1 1
(2 x, )
i 1
1 2 2 i 2 1 2 3
2 ( x, ) (2 x, )
巴拿赫(Banach)空间
极限是数学分析中的基本概念之一,有了它可以派 生 出许多其它概念.泛函分析用距离来导出一般化 的极 限概念.
如n→∞时xn→a,我们应理解为xn与a的距离当n→∞时趋向 于零.
距离空间: Rn
n 维实(或复)Euclid空间 Rn 是 n 维向量x = (a1,a2,…,an)的全体,其中ai是实(或复)数. 对 任何的x = (a1,a2,…,an), y = (b1,b2,…,bn),规定
有限元基础(泛函、变分与变分法)
因此
aT K a = aT K a
= aT( Ka - P ) = 0 由 a 的任意性,就得到(1.3.6)式:
Ka — P = 0
1.3.2 变分原理的建立
1.线性、自伴随微分算子
线性算子
具有以下性质的算子 L 称为线性算子
其中和是两个常数
内积
算子L(u)与任意函数v的 内积 定义为
则被积函数 (x) 在区间 a ≤x≤b 上必处处为零,即
1.3 变分原理和里兹方法
1.3.1 变分原理
变分原理定义
部分物理问题存在一个泛函: 而问题的解 u 使泛函取驻值,即 利用此式求解的方法称为变分法或变分原理
里兹(Ritz)法
选择试探函数:
其中N为已知函数,a为待定参数
代入泛函积分式,泛函变为普通实函数 令泛函变分为零
5. 变分法
求泛函极值的数学方法称为变分法。 泛函极值的必要条件: J = 0
充分条件:J = 0 且:2J >0 极小值 2J < 0 极大值
变分法基本预备定理:
设 (x) 是闭区间 a ≤x≤b 上的连续函数,y 是该区间上自变函数 y(x) 的变分,如果 y 在满足 约束条件的前提下任意变化时,下式始终成立
与以上微分提法相等效的伽辽金提法为
(1.3.21)
若算子L是线性、自伴随的,则有如下关系:
将其代入(1.3.21)式得
若令 则上式可表示为变分原理:
(1.3.23) 此处Π就是原问题的泛函,因为此泛函中u的最高 次为二次,所以是二次泛函。
3. 泛函的极值性
条件:
1.算子L是偶数(2m)阶的;
由于 y 与 y, y, , y(n) 无关,所以
实变函数论泛函分析课件
02 实变函数的定义与性质
实变函数的定义
01
02
03
定义域
实变函数的定义域是实数 集的一个子集,可以是有 限或无限的。
值域
实变函数的值域是实数集 的一个子集,可以是有限 或无限的。
函数表达式
实变函数可以表示为从定 义域到值域的映射关系, 通常用符号 f(x) 表示。
实变函数的性质
单调性
如果对于任意 x1<x2,都有 f(x1)≤f(x2),则称 f(x) 在其定义
微积分的应用
介绍微积分在各个领域的应用,如物理学、工程学、经济学等。
微积分的进一步发展
介绍微积分的进一步发展,如变分法、最优控制等。
04 泛函分析的基本概念
泛函的定义与性质
定义
泛函是将函数空间的每一个元素作为自变量,其值是实数或 复数的函数。
性质
泛函是定义在函数空间上的,它具有连续性、可加性、线性 等性质。
么该空间是自完备的。
共鸣定理
在赋范线性空间中,如果存在 一个与所有单位球相交的集合,
那么该空间是自完备的。
开映射定理
如果X和Y是赋范线性空间,T 是X到Y的开映射,那么T是满
射。
闭图像定理
如果X和Y是赋范线性空间,T 是X到Y的连续线性映射,那
么T的像集是闭的。
05 泛函分析的应用领域
微分方程的求解
分析中的某些问题。
应用领域
实变函数论和泛函分析 在许多应用领域都有交 叉,如 质
线性性质
对于任意实数k和函数f,g,有 $k(f+g)=(kf)+(kg)$, $(kf)+(kg)=(k+k)(f)$。
连续性质
如果f_n(x)是函数空间中的收敛序列, 那么$f_n(x)$的极限函数也是连续的。
变分法泛函极值问题PPT课件
F x
d dt
(
F x
)
0
(3-3)
上式称为欧拉——拉格朗日方程。
(3-2)式中第二项为零的条件要分两种情况来讨论:
.
15
1、 固定端点的情况
这时 x(t0 ) x0 , x(t f ) x f,它们不发生变化,所 以 x(t0 ) x(t f ) 0 。而(3-2)中第二项可写成
F x
x
JX ,X X
这里,JX ,X 是X 的线性泛函,若 X 0时, 有 0,则称JX ,X 是泛函 JX 的变分。J 是 J
的线性主部。
.
9
6、泛函的极值:若存在 0 ,对满足的
X X一* 切 X,
J (X ) 具J (有X *同) 一符号,则
称 J ( X ) 在 X X *处有极值。
(3-21)与(3-22)一起称为哈密顿正则程。
.
39
(3-23)是控制方程,它表示 H 在最优控制处取 极值。
注意,这是在U为任意时得出的方程,当 U (t)有界且 在边界上取得最优值时,就不能用这方程,这时要用 极小值原理求解。
(3-24)是在 固定、t f
自X (t由f ) 时得出的横截条件。
容易验证 x(t) 0时, J 0 对应局部极小;x(t) 2t 3
时, J 4 27 ,对应局部极大。
.
28
3.3 有约束条件的泛函极值 ——动态系统的最优控制问题
前面讨论泛函极值问题时,对极值轨迹 X *(t) 没有附 加任何约束条件。但在动态系统最优控制问题中, 极值轨迹必须满足系统的状态方程,也就是要受到 状态方程的约束。考虑下列系统
是指同属于函数类X (t)中两个函数X1(t) 、X 2 (t) 之差
2+弹性力学、泛函、变分等基本知识
2013-7-31 有限元法预备知识
σ
来表
7
2.1 弹性力学基本知识 [ 位 移 ]
z
z
x
x
x
E
(6)
y
y
式中,E为弹性模量。弹性体在x方 向的伸长还伴随有侧向收缩,即在y 和z方向的单位缩短可表示为:
x
z
0 x
图 1-7
y
x x y , z (7) E E
式中,μ 为泊松比。 上述两个方程可用于简单和压缩。
2013-7-31
有限元法预备知识
x y z xy yz zx 0
有 u 0,v 0,w 0,u v 0,v w 0,w u 0 x y z y z z x x y
积分得
式中,u0、v0、w0、 x、 y、 z、为积分常数,即刚体位移。
2013-7-31
有限元法预备知识
4
2.1 弹性力学基本知识 [ 应力的概念 ]
•正应力 为了表明这个正应力的作用面和 作用方向,加上一个角码,例如, 正应力σx是作用在垂直于x轴的面 上同时也沿着x轴方向作用的。 •剪应力 加上两个角码,前一个角 码表明作用面垂直于哪一个坐 标轴,后一个角码表明作用方 向沿着哪一个坐标轴。例如, 剪应力τxy是作用在垂直于x轴 的面上而沿着y轴方向作用的。
由
F 0 ,得
x
x
xy
Gx
x
Gy
yx
泛函与变分概念
1 xy 2
e yy e m
1 zy 2
1 xz 2 1 yz 2
e zz
em
应变球张量
应变偏张量
§i1 张量5
求和定约
张量表达式的某一项内的一个下标出现两次, 则对此下标从1到3求和。
aii a11 a22 a33
aijbij a1 j b1 j a2 j b2 j a3 j b3 j (a11b11 a12b12 a13b13 ) (a21b21 a22b22 a23b23 ) (a31b31 a32b32 a33b33 )
i=1,2,3 j=1,2,3
s z 2e z
§i1 张量10
(4)边界条件
应力边界条件
f x s x l yx m zx n f y xy l s y m zy n f z xz l yz m s z n
位移边界条件
设(n1 , n2 , n3 ) (l , m, n)
a b
f f dy dy) dy及dy高阶项) ]dx y y
b a
J [df dy及dy高阶项) ]dx
取线性主部
dJ dfdx
a
b
k d J d a fdx 函数的变分与积分运算可以交换. k
b
§i2 变分法9
三. 泛函极值与驻值
1、函数的极值 如果函数y(x) 在x=x0的邻近任一点上的值都不大于(不 小于)y(x0),即
1 e ij s ij s kkd ij E E
s kk s x s y s z
s x 2e x
泛函极值及变分法
第二章 泛函极值及变分法(补充内容)2.1 变分的基本概念2.1.1 泛函和变分泛函是一种广义的函数,是指对于某一类函数{y (x )}中的每一个函数y (x ),变量J 有一值与之对应,或者说数J 对应于函数y (x )的关系成立,则我们称变量J 是函数y (x )的泛函,记为J [y (x )]。
例1:如果表示两固定端点A (x A ,y A ),B (x B ,y B )间的曲线长度J (图2.1.1),则由微积分相关知识容易得到:dx dx dy J BAx x ⎰+=2)/(1 (2.1.1)显然,对于不同的曲线y (x ),对应于不同的长度J ,即J 是函数y (x )的函数,J =J [y (x )]。
图2.1.1 两点间任一曲线的长度例2:历史上著名的变分问题之一——最速降线问题,如果2.1.2所示。
设在不同铅垂线上的两点P 1与P 2连接成某一曲线,质点P 在重力作用下沿曲线由点P 1自由滑落到点P 2,这里不考虑摩擦作用影响,希望得到质点沿什么样的曲线滑落所需时间最短。
图2.1.2 最速降线问题选取一个表示曲线的函数y (x ),设质点从P 1到P 2沿曲线y =y (x )运动,则其运动速度为:dsv dt ==其中,S 表示曲线的弧长,t 表示时间,于是:dt =设重力加速度为g ,则gy v 2=。
因为P 1和P 2点的横坐标分别为x 1到x 2,那么质点从P 1到P 2所用时间便为:1[()]x x J y x =⎰211/2211[()]2[()()]x x y x dx g y x y x ⎧⎫'+=⎨⎬-⎩⎭⎰(2.1.2)则最速降线问题对应于泛函J [y (x )]取最小值。
回顾函数的微分:对于函数的微分有两种定义: 一种是通常的定义,即函数的增量:),()()()(x x x x A x y x x y y ∆+∆=-∆+=∆ρ (2.1.3) 其中A (x )与∆x 无关,且有∆x →0时ρ(x ,∆x )→0,于是就称函数y (x )是可微的,其线性部分称为函数的微分()()dy A x x y x x '=∆=∆,函数的微分就是函数增量的主部。
力学的变分原理PPT课件
如果F不显含自变量 t , 则欧拉方程有初积分 :
F - q F 常 数
2021/3/7
q
CHENLI
13
例 : 求 最 速 落 径 方 程 . ( 已 知 F 1 y '2 ) 2 gy
解:
因F
不显含
x,
则有 F
-
y'
f y '
C1.
即:
1 y '2 2gy
y
'
y
'
1 y '2 2gy
其中t为自变量,q为力学系统的广义坐标,此函数关系
如图中曲线所示。当自变量
t有微小增量dt时,对应的
q
函数q的微小增量的线性主部
dq称为函数的微分,记为
d qq'(t)d t
(1 )
或: q' (t) dq dt
2021/3/7
o
CHENLI
, q=q(t)+εη(t)
p δq dq q=q(t)
常
数
1
y '2
y '
y'
常数
2gy
2 g y (1 y '2 )
2 g y (1 y '2 ) 常 数 y (1 y '2 ) C 1 引 入 参 数 , 使 y ' c tg y C 1 C 1 (1 c o s 2 )
1 ctg 2 2
2021/3/7
CHENLI
比如,牛顿提出的力学三大定律,就是力学的基本原理,由这些基本原理出发,经过严 格的逻辑推理和数学演绎,可以获得经典力学的整个理论框架。
力学原理可以分为两大类:不变分原理和变分原理。每一类又可 分为微分形式和积分形式。
变分原理
变分原理泛函是指某一个量,它的值依赖于其它一个或者几个函数。
因此泛函也称为函数的函数。
变分法的基本问题是求解泛函的极值。
对于弹性力学问题,根据能量关系可以使偏微分方程的边值问题转化为代数方程。
弹性体的应变能是基本未知量应力或者应变分量的函数,当然应力或者应变分量是坐标的函数。
因此,应变能就是泛函。
在数学分析中,讨论函数和函数的极值。
变分法讨论泛函的极值,是极值问题的推广。
下面简单介绍复变函数的定义和基本性质。
如果需要深入探讨复变函数问题,请查阅参考资料。
§1 泛函和泛函的极值首先引入泛函的概念。
泛函是指某一个量,它的值依赖于其它一个或者几个函数。
因此泛函也称为函数的函数。
变分法的基本问题是求解泛函的极值作为变分法的简单例题。
考察x,y平面上连接两个定点的所有曲线中,求满足边界条件的任意曲线y(x)中的最短曲线。
(补充图)设P1(x1,y1)和P2(x2,y2)为平面上给定的两点,y(x)为连接两点的任意曲线。
于是,这一曲线的长度为连接P1,P2两点的曲线有无数条,每一条曲线都有一个L值与其对应。
满足边界条件的y(x)称为容许函数,问题是要从这些曲线,容许函数中找出使得曲线长度L最小的一条。
根据上式,L [y]依赖于y(x),而y(x)是x的函数,因此称y(x)为自变函数;L [y]是倚赖于自变函数的函数,称为泛函。
求解最短程线问题,即在满足边界条件在x=x1时,y(x1)=y1,y'(x1)= y'1在x=x2时,y(x2)=y2,y'(x1)= y'2的函数y(x)中,求使得泛函L [y]为极值的特定函数。
因此y(x)称为容许函数。
上述问题应用变分法可以概括为求解泛函在边界条件y(x1)=y1,y(x2)=y2的极小值问题。
§2 泛函极值的必要条件-欧拉方程假设函数y(x)是使得泛函L [y]为最小的特定函数(真实的)。
变分法有兴趣研究的是邻近于y(x)的任意容许函数引起泛函L [ ]的改变。
泛函分析(变分法)
欧拉(Euler Lonhard,1707~1783)和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis,1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法,从 而确立了数学的一个新分支——变分学。
2021/4/11
北京师范大学网络教育-云南学习中心
泛函的值是由自变量的函数的选取而确定的,所以将21/4/11
中心
9
第二章 变分法及其在最优控制中的应用
例2.1.1 函数的定积分
1.连续时间系统:
1
J 0 x(t)dt
是泛函 吗?
q
2. 离散系统 J x2 (i) 2u2 (i) i 1
2
第二章 变分法及其在最优控制中的应用
2.1 变分法简介
作为数学的一个分支,变分法(calculus of variations)的诞生,是现实世界许多现象不断探索的 结果:
约翰·伯努利(Johann Bernoulli,1667-1748)1696 年向全欧洲数学家挑战,提出一个难题:“设在垂直 平面内有任意两点,一个质点受地心引力的作用,自 较高点下滑至较低点,不计摩擦,问沿着什么曲线下 滑,时间最短?”这就是著名的“最速降线”问题 (The Brachistochrone Problem)。
2021/4/11
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5
第二章 变分法及其在最优控制中的应用
伽利略(Galileo, 1564~1643)比贝努利更早注意到悬链
线,他猜测悬链线是抛物线,从外表看的确象,但实际上不是。
惠更斯(Huygens, 1629~1695)在1646年(当时17岁),经 由物理的论证,得知伽利略的猜测不对,但那时,他也求不出
泛函分析ppt课件
傅里叶变换与小波变换的应用
傅里叶变换的应用
傅里叶变换在信号处理、图像处理、语音处理等领域 有着广泛的应用。例如,在信号处理中,可以通过傅 里叶变换将信号从时域转换到频域,从而方便地进行 信号的分析和合成。在图像处理中,可以通过傅里叶 变换对图像进行频域滤波,从而实现图像的降噪和增 强。在语音处理中,可以通过傅里叶变换对语音信号 进行分析和处理,从而实现语音的识别、压缩和加密 等任务。
REPORTING
在物理学中的应用:量子力学与相对论
量子力学
泛函分析在量子力学中有着广泛的应用,如波函数的形式化 描述、薛定谔方程的推导等。
相对论
泛函分析也被用于相对论中的时空变换和场方程的构造,以 及在广义相对论中研究黑洞的性质等。
在工程学中的应用:控制理论、电气工程等
控制理论
泛函分析在控制理论中有着重要的应用 ,如研究系统的稳定性、时域响应等。
PART 05
泛函分析在信号处理中的 应用
REPORTING
信号处理的基本概念
信号的定义与分类
信号是传递或表达某些信息的数据或数据流。它可以分为 离散信号和连续信号,离散信号是离散时间点的数据,而 连续信号是连续时间点的数据。
信号处理的定义与目的
信号处理是对信号进行变换、分析和解释的过程,目的是 从原始信号中提取有用的信息,或者将原始信号变换为另 一种形式,使其更易于分析和理解。
其他应用
泛函分析还可以应用于滤波器设计、压缩感知等领域。例如,基于小波变换的压缩感知方 法可以在保持信号质量的同时,实现信号的压缩和存储。
实例分析:信号的傅里叶变换与小波变换
傅里叶变换的基本原理
傅里叶变换是一种将时域信号转换到频域的方法。它将一个时域信号表示为一系列不同频率的正弦和 余弦函数的线性组合。通过傅里叶变换,我们可以将信号从时域转换到频域,从而可以更好地分析信 号的频率特性。
第二章 泛函与变分
总应变能为:
1 l d 2w 2 U dU EI ( 2 ) dx 0 2 0 dx
l
如此等等。只要预先给定一个函数,就能算出泛函的值
常用的泛函一般都是积分形式,最简单的泛函为
J [ y ( x)] F ( x, y, y ')dx
x0 x1
一般地,有 一个一元自变函数的泛函:
0
x1
(2 y y 2 y ' y ')dx 2 ( y y y ' y ')dx
x0 x0
x1
x1
2 J [ y ] ( y y y ' y ')dx 2 [( y ) 2 ( y ') 2 )dx
x0 x0
x1
x1
解: J [u ( x, y, z )] [( u )2 ( u ) 2 ( u ) 2 2uf ( x, y, z )]d
3.泛函的变分
一阶变分: J x Fdx
0
x1
,二阶变分: 2 J x 2 Fdx
0
x1
变分号可由积分号外移到积分号内,即积分与变分运算的次序可以调换 根据上述性质,泛函的变分运算,可转化为对其被积函数的变分运算
2 2 解: J [ y ] x ( y y ' )dx
2 x1 2 x1
在不引起混淆时,也把一次变分简称为泛函的变分
对于依赖于多个函数的泛函也可类似地给出它们的一阶变分、二次变分… 例如,泛函: J [ y ( x), z ( x)] x F ( x, y, y ', z , z ') dx
0
x1
第六章能量泛函的转换形式及其应用(16K)
112第六章 能量泛函的转换形式及其应用§6.1 总位能泛函转换形式及其应用由§4.1节中的(4-16)式,定义了总位能泛函,即⎰⎰σ--ε=∏S i i Vi i ij S u T V u F A d d ])([P (4-16)该泛函为单变量变分原理,其自变量要求满足位移应变关系及位移边界条件,即)(21,,i j j i ij u u +=ε 0=-i i u u所以,这种变分原理是有条件的,并可以进一步证明总位能原理是极小值原理,解的收敛性得到保证。
这种原理是目前广为流行的绝大部分有限元素模型的基础,比较理想的情形是“保续元”的建立,而放松某些边界协调条件则构成了有限元素法中的“非保续元”。
【例1】 梁元素的总位能泛函及其变换。
图6-1所示的一维梁,承受横向分布载荷)(x p ,简支端(L x =)作用一集中力矩M ,梁的另一端为固持。
显然,其边界条件为0=x :0)0()0(='=w w L x =:0)(=L w ,及M L M =)( 6-1)总位能泛函根据定义可写为 V U +=∏p (6-2)其中⎰''=L x w EJ U 02d )(21 (应变能) (6-3) )(d 0L w M x w p V L '+-=⎰ (外力位能) (6-4)上面各式中,w 表示挠度,它是坐标x 的函数,而w '与w ''分别代表x w d d 及22d d x w。
现在对总位能取一阶变分,)(δd δd δδδδ0p L w M x w p x w w EJ V U LL '--''''=+=∏⎰⎰ (6-5)当弯曲刚度EJ 沿长度不变时,可将它放在积分号之前,再利用Green 公式,可得[][]⎰⎰+'''-'''=''''LLLL x w EJw w w EJ w w EJ x w w EJ 0)4(000d δδδd δ (6-6)将(6-6)式代入(6-5)式中,利用条件(6-1)式,整理后可得图6-1 一维弯曲梁113w M w EJ x w p EJw L x L'-''+-=∏=⎰δ][d δ][δ0)4(p (6-7)现令(6-7)的0δp =H ,利用变分法中的预备定理,可得到0)4(=-p EJw (6-8)0=-''=M w EJ L x (6-9)(6-8)式即为平衡方程,与材料力学所导出的公式完全一致,(6-9)式为力的边界条件,即相当于(6-1)式中的最后一个公式。
2021泛函分析与应用.完整资料PPT
泛函分析与应用
泛函分析的研究对象
何谓“泛函分析”?根据关肇直先生给出的定义,“泛 函分析是研究无穷维线性空间上的泛函数与算子理论的一门 分析数学。无穷维线性空间是描述具无限多自由度的物理系 统的数学工具。因此,泛函分析是定量地研究诸如连续介质 力学、电磁场理论等一类具有无穷多自由度的物理系统的有 力工具”
一类特殊的度量空间称为“赋范线性空间”,它兼有线性 空间的代数结构和赋范数的拓扑结构,是用以描述具无限多自 由度运动过程的一般数学工具。而在赋范线性空间中,又有一 类更接近有限维空间(欧氏空间)特性的无限维线性空间,称 为“内积空间”,其上定义了内积,类似欧氏空间上பைடு நூலகம்量间的 标量积,从而可以引入向量间的夹角、向量直交等概念。对各 种抽象空间的研究,是泛函分析的研究内容之一。
泛函分析的研究内容
其次要把有限维空间上的线性变换推广到一般度量空间上 的算子理论,特别是赋范线性空间上的线性算子理论。事实上, 相当广泛的一类实际系统,都可以用某些抽象空间,以及存在 于这些空间上的算子描述。算子理论,特别是线性算子理论, 这是泛函分析的主要研究内容。算子的性态,诸如连续性、有 界性、紧性和闭性等,又是算子理论研究的重点。
本课程的特时点与可学习能方法产生的行为。这样的一类函数或称函数类、函数空间
控制理论所研究的问题,可以概括为系统分析、系统综合、建模和优化。
其次要把有同限维样空间具上的无线性限变换多推广自到一由般度度量空。间上而的算定子理义论,于特别其是赋上范线的性空泛间上函的线数性算或子理算论。子,则可
[理学]泛函与变分原理导引
α β
变分命题 (III)
z
函数:f(x)是变量x的实函数,即在其定义域内,任一x 值都有一个实数f(x)与之对应 泛函:Π(y)是函数y(x)的泛函,即在其定义域内,任 一函数y(x)都有一个实数Π(y)与之对应 变分命题:寻找y(x)使得泛函Π(y)取极值 变分方法:设使泛函取得极值的函数y(x)存在,通过 变分法求得这个极值函数y(x)所需满足的微分方程
z
可取δy,δy’都是同级的微分量
z
当泛函的被积函数是F(x, y, y’,y”)时,函数y要 求有二阶接近度
z
可取δy,δy’, δy’’都是同级的微分量
第一类变分问题
z
设函数y(x)是下式的极值解
∏( y ) = ∫ F ( x, y, y ')dx
α β
z
且满足端点条件 y (α ) = y1 , y ( β ) = y2
z z z z
两点间的最短连线问题 最速下降线问题 短程线问题 …
两点间的最短连线问题
z
为什么“任意两点间的最短连线是连接两端的直线”?
y y=y(x)
O
x
两点间的最短连线问题
z
为什么“任意两点间的最短连线是连接两端的直线”? 问题的假设:
z z z z
z
二维平面空间,一点是坐标原点(0,0),一点在(a,b) 两点间的连接曲线是 y = y(x) 2 d y ⎛ ⎞ 曲线的弧长微元是 ds 2 = dx 2 + dy 2 或 ds = 1 + ⎜ ⎟ dx ⎝ dx ⎠ 曲线的总弧长是
o A
实变函数与泛函分析全套课件
Lebesgue积分思想简介
微积分基本定理
若f(x)在[a,b]上连续,则
d ((R) x f (t)dt) f (x)
dx
a
导数(切线斜率)
定积分(面积)
若F `(x) 在[a,b]上连续,则
x
(R)a F '(t)dt F (x) F (a)
xi-1 xi
微积分发展的三个阶段
创立(17世纪):Newton(力学)Leibniz(几何) (无穷小)
0
n
分划T,有 ixi 1 i 1
注:D(x)的下方图形 可看成由[0,1]中每个 有理点长出的单位线
段组成。
(3)Riemann积分的局限性
a.微积分基本定理 定理:若f(x)在 [a,b]上可微且f `(x)在[a,b]上
Riemann 连续,则 x f ' (t)dt f (x) f (a) a
• 1881年Volterra作出一可微函数,导函数有界但不Riemann可积;
注:推荐大家看看龚升写的 《话说微积分》, 《简明微积分》, 数学历史的启示(《数学教学》,2001.1), 微积分严格化后(《高等数学研究》,2002,1-3)
b.积分与极限交换次序(一般要求一致收敛)
例:设{rn}为[0,1]中全体有理数(因为其为可数集,故可把它排成序 列),作[0,1]上的函数列
第一章 集合, 点集, 第五章 微分与不定积分, 第六章 L^p空间
4.集合论中的一些例子
(1) Achilles追龟
甲的速度为1,乙的速度为1/2
0(甲)
½(乙)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3/4
7/8 15/16 1
1 1 1
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定理4:设������是Hilbert空间ℍ中的闭凸子集, ������ ∈ ℍ\������,则下列命题等价
(i) ������ ∈ ������是������的最佳元,即对任意的������ ∈ ������,均有 ������ − ������ ≤ ������ − ������ ; (ii) ������ ∈ ������满足:对任意的������ ∈ ������,均有 ������ − ������ , ������ − ������ ≤ 0; (iii) ������ ∈ ������满足:对任意的������ ∈ ������,均有 ������ − ������, ������ − ������ ≥ 0.
算子的图像
令������是定义在������ ������ ⊂ ������上并在������1 中取值的线性算子,������的图像是指������ × ������1 中 元素 ������, ������ ������ 的全体,记为������ ,其中������取遍整个定义域������ ������ . ������
§3.1 线性算子
算子范数
设������: ������ → ������为有界线性算子,则对于一切������ ∈ ������ ������ 使得不等式 ������ ������ ������ ������ 为
������ 成立的正数������的下确界称为算子������的范数。或者说数集 ������
§3.2 有界线性算子空间
设������和������都是线性赋范空间,定义在整个������上,而在������上����, ������ . 如果规定������ ������, ������ 中任意两个算子
(1) 加法为: ������ + ������ ������ = ������ ������ + ������ ������ 1 2 1 1 (2) 数与算子乘积为: ������������ ������ = ������������ ������ 则������ ������, ������ 便成为线性空间。 定理:设������为线性赋范空间,而������为Banach空间,则������ ������, ������ 为Banach空间。
子”。
§3.1 线性算子
线性算子
设������和������是给定的两个线性空间,算子������: ������ → ������,且������满足 (1)∀ ������, ������ ∈ ������ ������ ; ������ ������ + ������ = ������ ������ + ������ ������ ; (2)∀ ������ ∈ ������ ������ , ∀ ������ ∈ ℝ; ������ ������������ = ������������ ������ ; 则称������为由������到������的线性算子。
2
= ������
2;
(ii) 若有一元素������ ∈ ℍ与每个������������ 都正交,则������ = ������.
正交补
设������为ℍ中的子集,ℍ中所有正交于������的元素集合称为������的正交补,记为������⊥ . 定理:设������是ℍ中的闭子空间,则ℍ = ������⨁������⊥ ,且 ������⊥
������ ������ 1/2 2 ������������
������ =
������
������ ������
+
������
������′ ������
2 ������������
2.4.2
空间ℍ1 ������, ������ 在范数(2.4.2)意义下的完备化空间记为ℍ1 ������, ������ ,称为Sobolev空间。
������∈������
推论:设������是ℍ中的闭子空间,������ ∈ ℍ\������,则存在������ ∈ ������,使得 ������ − ������ = ������ ������, ������ 定理2:若������ ⊥ ������,则 ������ + ������
研究生课程
力学中的泛函分析 与变分原理
第六讲:有界线性算子
授课教师:郭旭教授
大连理工大学工程力学系
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定理1:设������是ℍ中的闭凸子集,������ ∈ ℍ\������,则必存在唯一的������ ∈ ������,使得 ������ − ������ = inf ������ − ������
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第三章 有界线性算子
算子
设������和������是给定的两个线性赋范空间,集合������ ⊂ ������,若对������中每一个元素������,均对 应������中一个确定的元素������,就说这种对应关系确定了一个算子,用花体大写字母 ������, ������, …表示,记为������ = ������������或������ = ������ ������ .������称为������的像,������称为������的原像。集合������称
⊥
= ������.
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索伯列夫空间
将区间 ������, ������ 上一阶连续可微函数全体构成的集合记为ℍ1 ������, ������ .在通常的函数 加法、数乘意义下,ℍ1 ������, ������ 是线性空间.对于任意的������ ������ ,������ ������ ∈ ℍ1 ������, ������ ,定义
算子有界
如果存在正常数������,使得对每一个������ ∈ ������ ������ ,均有: ������ ������
������
≤ ������ ������
������
则称算子������: ������ → ������是有界的。
算子连续
设������: ������ → ������,������在������0 ∈ ������的邻域内有定义,如果当 ������������ − ������0 → 0, ������ → ∞ 时, 有 ������ ������������ − ������ ������0 → 0, ������ → ∞ ,则称算子������ 在������0 处是连续的,如果������ 在 ������ ������ 的每一点处都连续,则称������是连续的算子。 定理:设������: ������ → ������是线性算子,假定������ 在某一点������0 ∈ ������ ������ 连续,则������ 在 ������ ������ 内处处连续;������连续的充分必要条件是������有界。 2
≤
������ ������ ������ (简记 ������ ������
������ ������ ������
)是有上界的,取其最小者为������的范数,即: ������ = sup
������ ≠0
������ ������ ������
定理:设������: ������ → ������为有界线性算子,则 ������ = sup
为算子������的定义域,常记为������ ������ .而集合
������ ������ = ������ ∈ ������; ������ = ������ ������ , ������ ∈ ������ ������ 称为算子������的值域。对于算子������,常用记号"������: ������ → ������",读作“������是由������到������的算
算子强收敛
设 ������ ⊂ ������ ������, ������ ,������ ⊂ ������ ������, ������ , 如果对∀ ������ ∈ ������, 均有 ������ ������ − ������ ������ ������ ������ 称算子 ������ 强收敛于������. ������ → 0, 则
∞ ������=1 ������������ ������������ ,其中������������
= ������, ������������ ,
(i) 对于∀ ������~
∞ ������=1 ������������ ������������
∈ ℍ,均有
∞ ������=1
������������
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正交化方法
设 ������1 , ������2 , … 是 ℍ 的 一 组 元 素 , 如 果 对 任 意 的 ������ ≠ ������, ������, ������ ∈ ℕ+ , 均 有 ������������ , ������������ = 0,则称 ������1 , ������2 , … 是ℍ中的正交集;如果每个������������ 都是单位元素(即 范数为1),则称之为规范正交集. 设 ������������ 是ℍ的规范正交集,若对∀ ������ ∈ ℍ,均有������ = 则称 ������1 , ������2 , … 是完全的。 定理:设 ������1 , ������2 , … 是ℍ中的规范正交集,则其为完全的充分必要条件是
2 2 2.
= ������
+ ������
定理3(投影定理):设������是ℍ的闭子空间,������ ∈ ℍ\������,则������ 是������在������中的最佳元 的充要条件是 ������ − ������ ⊥ ������,即对∀ ������ ∈ ������,均有 ������ − ������ , ������ = 0. ������ 称为元素������在 闭子空间������上的投影。