力学中的泛函分析和变分原理第六讲

§3.1 线性算子
算子范数
设������: ������ → ������为有界线性算子，则对于一切������ ∈ ������ ������ 使得不等式 ������ ������ ������ ������ 为
������ 成立的正数������的下确界称为算子������的范数。或者说数集 ������
它们的内积为
������ ������
������, ������ =
������
������ ������ ������ ������ ������������ +
������
������′ ������ ������ ′ ������ ������������
2.4.1
不难验证它满足内积的四条公理，因而ℍ1 ������, ������ 是内积空间，相应的范数为
定理4：设������是Hilbert空间ℍ中的闭凸子集， ������ ∈ ℍ\������,则下列命题等价
(i) ������ ∈ ������是������的最佳元，即对任意的������ ∈ ������,均有 ������ − ������ ≤ ������ − ������ ; (ii) ������ ∈ ������满足：对任意的������ ∈ ������,均有 ������ − ������ , ������ − ������ ≤ 0; (iii) ������ ∈ ������满足：对任意的������ ∈ ������,均有 ������ − ������, ������ − ������ ≥ 0.
������∈������
推论：设������是ℍ中的闭子空间，������ ∈ ℍ\������,则存在������ ∈ ������,使得 ������ − ������ = ������ ������, ������ 定理2：若������ ⊥ ������,则 ������ + ������
⊥
= ������.
课 程 回 顾
索伯列夫空间
将区间 ������, ������ 上一阶连续可微函数全体构成的集合记为ℍ1 ������, ������ .在通常的函数 加法、数乘意义下,ℍ1 ������, ������ 是线性空间.对于任意的������ ������ ,������ ������ ∈ ℍ1 ������, ������ ,定义
课 程 回 顾
第三章 有界线性算子
算子
设������和������是给定的两个线性赋范空间，集合������ ⊂ ������,若对������中每一个元素������,均对 应������中一个确定的元素������,就说这种对应关系确定了一个算子，用花体大写字母 ������, ������, …表示，记为������ = ������������或������ = ������ ������ .������称为������的像，������称为������的原像。集合������称
∞ ������=1 ������������ ������������ ,其中������������
= ������, ������������ ,
百度文库(i) 对于∀ ������~
∞ ������=1 ������������ ������������
∈ ℍ,均有
∞ ������=1
������������
研究生课程
力学中的泛函分析 与变分原理
第六讲：有界线性算子
授课教师：郭旭教授
大连理工大学工程力学系
课 程 回 顾
定理1：设������是ℍ中的闭凸子集，������ ∈ ℍ\������,则必存在唯一的������ ∈ ������,使得 ������ − ������ = inf ������ − ������
4
研究生课程
谢谢大家！ 欢迎提问！
2 2 2.
= ������
+ ������
定理3(投影定理)：设������是ℍ的闭子空间，������ ∈ ℍ\������,则������ 是������在������中的最佳元 的充要条件是 ������ − ������ ⊥ ������,即对∀ ������ ∈ ������,均有 ������ − ������ , ������ = 0. ������ 称为元素������在 闭子空间������上的投影。
子”。
§3.1 线性算子
线性算子
设������和������是给定的两个线性空间，算子������: ������ → ������,且������满足 (1)∀ ������, ������ ∈ ������ ������ ; ������ ������ + ������ = ������ ������ + ������ ������ ; (2)∀ ������ ∈ ������ ������ , ∀ ������ ∈ ℝ; ������ ������������ = ������������ ������ ; 则称������为由������到������的线性算子。
≤
������ ������ ������ (简记 ������ ������
������ ������ ������
)是有上界的，取其最小者为������的范数，即： ������ = sup
������ ≠0
������ ������ ������
定理：设������: ������ → ������为有界线性算子，则 ������ = sup
算子有界
如果存在正常数������,使得对每一个������ ∈ ������ ������ ,均有： ������ ������
������
≤ ������ ������
������
则称算子������: ������ → ������是有界的。
算子连续
设������: ������ → ������,������在������0 ∈ ������的邻域内有定义，如果当 ������������ − ������0 → 0, ������ → ∞ 时， 有 ������ ������������ − ������ ������0 → 0, ������ → ∞ ,则称算子������ 在������0 处是连续的，如果������ 在 ������ ������ 的每一点处都连续，则称������是连续的算子。 定理：设������: ������ → ������是线性算子，假定������ 在某一点������0 ∈ ������ ������ 连续，则������ 在 ������ ������ 内处处连续；������连续的充分必要条件是������有界。 2
2
= ������
2;
(ii) 若有一元素������ ∈ ℍ与每个������������ 都正交，则������ = ������.
正交补
设������为ℍ中的子集,ℍ中所有正交于������的元素集合称为������的正交补，记为������⊥ . 定理：设������是ℍ中的闭子空间，则ℍ = ������⨁������⊥ ,且 ������⊥
算子的零空间
设������和������是两个线性空间，������是由������到������的算子，集合 ℕ ������ = ������; ������ ������ = ������, ������ ∈ ������ ������ 称为算子������的零空间。
1
§3.1 线性算子
������ ������ 1/2 2 ������������
������ =
������
������ ������
+
������
������′ ������
2 ������������
2.4.2
空间ℍ1 ������, ������ 在范数(2.4.2)意义下的完备化空间记为ℍ1 ������, ������ ,称为Sobolev空间。
算子强收敛
设 ������ ⊂ ������ ������, ������ ,������ ⊂ ������ ������, ������ , 如果对∀ ������ ∈ ������, 均有 ������ ������ − ������ ������ ������ ������ 称算子 ������ 强收敛于������. ������ → 0, 则
������ ≠0
������ ������ ������
= sup ������ ������
������ =1
= sup ������ ������
������ ≤1
算子乘积
设������ : ������ → ������,������ : ������ → ℤ且������ ������ ⊂ ������ ������ ,则������ 与������ 的乘积是一个由������到ℤ的算 1 2 1 2 1 2 子，记为 ������ ������ ������ = ������ ������ ������ . 2 1 2 1 3
算子的图像
令������是定义在������ ������ ⊂ ������上并在������1 中取值的线性算子，������的图像是指������ × ������1 中 元素 ������, ������ ������ 的全体，记为������ ,其中������取遍整个定义域������ ������ . ������
课 程 回 顾
正交化方法
设 ������1 , ������2 , … 是 ℍ 的 一 组 元 素 ， 如 果 对 任 意 的 ������ ≠ ������, ������, ������ ∈ ℕ+ , 均 有 ������������ , ������������ = 0,则称 ������1 , ������2 , … 是ℍ中的正交集；如果每个������������ 都是单位元素(即 范数为1)，则称之为规范正交集. 设 ������������ 是ℍ的规范正交集，若对∀ ������ ∈ ℍ,均有������ = 则称 ������1 , ������2 , … 是完全的。 定理：设 ������1 , ������2 , … 是ℍ中的规范正交集，则其为完全的充分必要条件是
§3.2 有界线性算子空间
设������和������都是线性赋范空间，定义在整个������上，而在������上取值的有界线性算
子的全体，记为������ ������, ������ . 如果规定������ ������, ������ 中任意两个算子
(1) 加法为： ������ + ������ ������ = ������ ������ + ������ ������ 1 2 1 1 (2) 数与算子乘积为： ������������ ������ = ������������ ������ 则������ ������, ������ 便成为线性空间。 定理：设������为线性赋范空间，而������为Banach空间，则������ ������, ������ 为Banach空间。
为算子������的定义域，常记为������ ������ .而集合
������ ������ = ������ ∈ ������; ������ = ������ ������ , ������ ∈ ������ ������ 称为算子������的值域。对于算子������,常用记号"������: ������ → ������",读作“������是由������到������的算