电路分析基础第2章 电路的等效变换

可知，对图2.2-7(a)所示的电压源模型，其等效电流源的电
流为 us Rs
10 5
2
A，并联电阻Rs=5 W，故得等效电流源如图
2.2-7(c)所示。
由图2.2-5(b)所示的电流源模型等效为电压源模型可知，
对图2.2-7(b)所示的电流源模型，其等效电压源的电压为
Rsis=3×4=12 V，串联电阻Rs=3 W，故得等效电压源如图2.27(d)所示。
第2章 电路的等效变换 图2.2-1 实际电源的外特性测试
第2章 电路的等效变换
2.2.1 实际电源的两种模型
1． 实际电源的电压源模型
由图2.2-1(b)所示的实际电源的外特性可看出，实际电
流的端电压u随着输出电流i的增大而逐渐下降。为了表征这
一特性，可用一个理想电压源和一个电阻串联组合来作为实
(2.2-9) (2.2-10)
第2章 电路的等效变换 图2.2-4 两种电源模型的等效互换
第2章 电路的等效变换
如果两种电源模型等效，则它们端口的伏安关系应该完 全相同。比较式(2.2-8)和式(2.2-10)，可得到两种电源模型的 等效条件为
u s R s i s R s R s
i
is
u Rs
(2.2-5)
由式(2.2-5)绘出其伏安特性曲线如图2.2-3(b)所示。该特性曲 线也是一条直线，直线的斜率为 1 。显然，实际电源的 内电阻Rs越大，其特性越接近于理想R 电s 流源。
第2章 电路的等效变换 图2.2-3 实际电源的电流源模型及其伏安特性
第2章 电路的等效变换
Rab=1.5+3∥(2+4)=3.5 W (2) 求图2.3-2(a)中cd端的等效电阻。相应电路如图2.32(c)所示。由图(c)得
Rcd4//2(3)290 2.3W 3
第2章 电路的等效变换 【例2.3-3】 求图2.3-3(a)所示电路ab端的等效电阻。
图2.3-3 例2.3-3用图
第2章 电路的等效变换
(2.2-11)
由式(2.2-11)，可方便地由一个电压源模型得到其等效电流
源模型, 反之亦然。两种电源模型的等效互换关系如图2.2-5
所示。
第2章 电路的等效变换 图2.2-5 两种电源模型的等效互换
第2章 电路的等效变换
上述两种电源模型的等效互换方法也适用于受控源，即 受控电压源和电阻的串联组合与受控电流源和电阻的并联组 合可以等效互换。但应注意，在变换过程中，控制量必须保 留。例如，图2.2-6(a)所示的受控电流源与电阻的并联组合 可等效为图2.2-6(b)所示的受控电压源与电阻的串联组合。
第2章 电路的等效变换 图2.2-6 受控源的等效互换
第2章 电路的等效变换
【例2.2-1】 试求图2.2-7(a)所示电源的等效电流源模 型和图2.2-7(b)所示电源的等效电压源模型。
第2章 电路的等效变换 图2.2-7 例2.2-1用图
第2章 电路的等效变换
解 由图2.2-5(a)所示的电压源模型等效为电流源模型
由式(2.1-9)可得到两个电阻并联时的等效电阻公式为
Req
R1R2 R1 R2
(2.1-12)
此式在电路分析中经常用到，应当记住。为了书写方便，我 们常用符号“∥”表示电阻的并联。如图2.1-4(a)所示，并 联等效电阻可写为
Req=R1∥R2
(2.1-13)
第2章 电路的等效变换
电阻并联有分流关系。若已知并联电阻电路的总电流， 则两并联电阻支路上的电流分别为
际电源的电路模型，如图2.2-2(a)所示，称为实际电源的电
压源模型。根据KVL，得端口伏安关系为
u=us－Rsi
(2.2-1)
由式(2.2-1)绘出其伏安特性曲线如图2.2-2(b)所示。该特性曲
线为一条直线，直线的斜率为－Rs。实际电源的内电阻Rs越 小，其特性越接近于理想电压源。
第2章 电路的等效变换 图2.2-2 实际电源的电压源模型及其伏安特性
第2章 电路的等效变换 【例2.3-5】 无源单口电路如图2.3-6(a)所示，求其等
效电阻。
图2.3-6 例2.3-5用图
第2章 电路的等效变换
解 本题无源单口电路含受控源，应采用外加激励法求 其等效电阻。在ab端外加电压U，产生电流I，如图2.3-6(b) 所示。为便于写出ab端口的伏安关系式，利用电阻并联电流 关系和电源等效变换，将图(a)变换为图(b)。这里应注意， 在对含受控源电路进行等效变换时，控制量始终要保留在电 路中。
第2章 电路的等效变换
由式(2.2-1)和图2.2-2可看出，当电压源模型端口开路时， 输出电流i=0
u=uoc=us
(2.2-2)
这种情况在图2.2-2(b)中对应于特性曲线与纵坐标轴的交点A
当电压源模型端口短路时，端电压u=0，输出电流
i
isc
us Rs
比较式(2.2-2)与式(2.2-3)，可得
解 为了判断电阻的串、并联关系，我们对电路进行改 画。先把原电路图2.3-3(a)中的节点标上字母，接着选一条 主路径，从端钮a点经c、d点至端钮b点，然后将剩余的电阻 连接到相应的节点之间，改画后的电路如图2.3-3(b)所示。 将图(b)中能看出串、并联关系的电阻用其等效电阻代替， 得图2.3-3(c)。由图(c)可方便地求得
ii1i2Ru1Ru2 R11R12u
(2.1-8)
对图(b)有
i u R eq
(2.1-9)
第2章 电路的等效变换 图2.1-4 两个电阻并联等效
第2章 电路的等效变换 根据单口电路等效的定义，如果
1 11 R eq R1 R2
即
Geq=G1+G2
(2.1-10) (2.1-11)
第2章 电路的等效变换
分流公式
(2.1-19)
ik
Gk u
Gk Geq
i
(2.1-20)
第2章 电路的等效变换
2.2 实际电源的两种模型及其等效互换
为了测试其外特性(伏安特性)，我们将一个实际电源外 接一负载电阻R，见图2.2-1(a)。调节电阻R，随着R的不同， 端电压u和电流i也不同，测得实际电源的外特性(即u-iBaidu Nhomakorabea系 曲线)如图2.1-1(b)所示。根据此特性曲线，可作出实际电源 的两种电路模型。
Rab=［(2+2)∥4+2］∥4=2 Ω
第2章 电路的等效变换
2. 含受控源无源单口电路的等效 我们把仅含受控源和电阻的单口电路称为含受控源无源 单口电路。含受控源无源单口电路与纯电阻无源单口电路一 样，可以等效为一电阻。 例如，图2.3-4(a)所示的电路仅含有受控源和电阻，不 含独立源，为含受控源无源单口电路。
等效电阻
n
ii1i2in ik k1
(2.1-16)
1 111n 1
Req R1 R2
Rn R k1 k
(2.1-17)
第2章 电路的等效变换 图2.1-5 n个电阻并联等效
第2章 电路的等效变换
亦可写为 或等效电导
R eq
1
n 1
R k 1 k
(2.1-18)
n
GeqG1G2Gn Gk k1
Rab(103//6)//8(103366)//8 12//81284.8W 128
第2章 电路的等效变换 【例2.3-2】 求图2.3-2(a)所示电路ab端和cd端的等效
电阻。
图2.3-2 例2.3-2用图
第2章 电路的等效变换
解 (1) 求图2.3-2(a)中ab端的等效电阻。相应电路如图 2.3-2(b)所示。由图(b)
律，对图(a)
u=u1+u2=R1i+R2i=(R1+R2)i
对图(b)
(2.1-1)
u=Reqi
(2.1-2)
Req=R1+R2
(2.1-3)
第2章 电路的等效变换 图2.1-2 两个电阻串联等效
第2章 电路的等效变换
电阻串联有分压关系。若已知串联电阻电路两端的总电 压，则各电阻上分有的电压为
为了便于讨论两种电源模型等效互换的条件，我们把它
们一起表示在图2.2-4中，并将电流源模型中的内阻暂记为
R's。根据KVL，由图2.2-4(a)得电压源模型端口的VAR为
u=us－Rsi
(2.2-8)
根据KCL，由图2.2-4(b)得电流源模型端口的VAR为
将上式改写为
i
is
u R s
u=R'sis－R'si
(2.2-3)
Rs
u oc isc
(2.2-4)
第2章 电路的等效变换
2． 实际电源的电流源模型
实际电源还可用一个理想电流源is和一个电阻Rs的并联 组合作为其电路模型，如图2.2-3(a)所示，称为实际电源的
电流源模型。图中，is称为源电流，为电源产生的定值电流； Rs为实际电源的内电阻，也可用电导Gs表示，称为内 电导。根据KCL，得端口的伏安关系为
i1
i
2
u R1 u R2
R2 i R1 R2
R1 R1 R2
(2.1-14)
i1
G 1u
G1 G1 G2
i
i
2
G 2u
G2 G1 G2
i
(2.1-15)
第2章 电路的等效变换
以上是两个电阻并联导出的公式，同样也可推广到n个 电阻并联的一般情况，如图2.1-5所示，则并联电阻电路的 总电流
第2章 电路的等效变换 图2.3-4 含受控源无源单口电路的等效
第2章 电路的等效变换 【例 2.3-4】 求图2.3-5(a)所示的无源单口电路的等效
电阻。
图2.3-5 例2.3-4用图
第2章 电路的等效变换
解 本题电路为含受控源无源单口电路，其等效电阻的 求取采用外加激励法。在ab端外加电压u0，产生端电流i0， u0与i0对单口电路来说参考方向关联，利用电源等效变换将 受控电压源串联电阻组合等效为受控电流源并联电阻组合， 如图2.3-5(b)所示。
由式(2.2-5)和图2.2-3可看出，当电流源模型端口开路时， 输出电流i=0，端电压
u=uoc=isRs
(2.2-6)
这就是特性曲线与横坐标轴的交点。当电流源模型端口短路
时，端电压u=0，输出电流
i=isc=is
这就是特性曲线与纵坐标轴的交点。
(2.2-7)
第2章 电路的等效变换
2.2.2 两种电源模型的等效互换
第2章 电路的等效变换 【例2.3-1】 如图2.3-1(a)所示的单口电路，求ab端的
等效电阻。
图2.3-1 例2.3-1用图
第2章 电路的等效变换
解 该单口电路是由电阻混联组成的，为了能更清楚地 判别出电阻的串、并联关系，我们将电路适当改画。先选一 条路径，从端钮a点经c点至端钮b点，然后将剩余的电阻6 W 和8 W连接到相应的节点之间，改画后的电路如图2.3-1(b)所 示。对图(b)，应用串、并联电阻等效公式，可方便地求得 ab端的等效电阻
u
1
u
2
R1i R2i
R1 R1 R2
R2 R1 R2
u u
(2.1-4)
式(2.1-4)为两串联电阻的分压公式。该式表明：串联电阻的 电压与其电阻值成正比，即电阻越大，分得的电压越大。
第2章 电路的等效变换
以上是两个电阻串联导出的公式，可将其推广到n个电 阻串联的一般情况，如图2.1-3所示，则串联电阻电路的总 电压
等效电阻
n
uu1u2un uk k1
(2.1-5)
分压公式
n
ReqR1R2Rn Rk k1
(2.1-6)
uk
Rk i
Rk Req
u
(2.1-7)
第2章 电路的等效变换 图2.1-3 n个电阻串联等效
第2章 电路的等效变换
图2.1-4(a)是两个电阻并联构成的单口电路N1，图2.1-4 (b)是仅由一个电阻构成的单口电路N2。在图2.1-4所示的电 压、电流关联参考方向下，由KCL和欧姆定律，对图(a)有
第2章 电路的等效变换
2.3 不含独立源单口电路的等效
1. 纯电阻无源单口电路的等效 我们把只含电阻的无源单口电路称为纯电阻无源单口电 路。在纯电阻无源单口电路中，电阻的连接方式既有串联， 又有并联，称为电阻混联。其等效电阻的计算可用前面介绍 的串、并联等效化简方法逐步完成。由于这种电阻混联单 口电路中各电阻的串、并联关系不易分辨出，所以往往要对 原电路进行改画。
第2章 电路的等效变换
电路分析基础第2章 电路的等效变换
第2章 电路的等效变换
2.1 单口电路等效的概念
对外只有两个端钮的电路称为二端电路或单口电路，进 出这两个端钮的电流为同一电流。图2.1-1所示为两个单口 电路N1和N2。
图2.1-1 单口电路等效概念说明图
第2章 电路的等效变换
先讨论电阻的串联等效。设有两个单口电路N1和N2， 如图2.1-2所示，N1由两个电阻R1、R2串联而成，N2仅由一 个电阻Req构成。显然，N1和N2的内部结构完全不同。在图 2.1-2所示的电压、电流关联参考方向下，由KVL及欧姆定