七年级上册--分类讨论思想
最新人教版七年级数学上册《第二章》易错疑难集训(含答案)
第二章易错疑难集训过易错易错点1对单项式的概念理解不清1.式子534x y－是单项式，还是多项式？易错点2对单项式或多项式的次数理解不清2.单项式πa3b2的次数是（）A.2B.3C.5D.63.对单项式﹣32x2y2z的系数、次数说法正确的是（）A.系数为－3，次数为7B.系数为－9，次数为5C.系数为－9，次数为4D.系数为﹣3，次数为54.多项式2x2y2－3x3＋y3－52的次数是（）A.3B.4C.10D.125.若x p＋4x2－qx2－2x＋5是关于x的五次五项式，则﹣P=______. 易错点3对同类项的判断出错6.计算：4xy2＋12x2y＋5x2y－12xy2－5.7.计算：5x2＋4－4x2－5x＋6x3＋3x－3x3.易错点4去括号时漏乘或符号错误8.计算：（3x2＋1）＋（4x2－2x－1）－（2x2－3x－1）.9.计算：（x－3x2＋1）—2（x2－1＋3x）易错点5两个多项式相减时忽略括号的作用10.已知A=x3－2x2＋1，B=2x2－3x－1，求A－B.过疑难疑难点1多项式的判断1.式子a＋b－a是单项式，还是多项式？疑难点2整式中的分类讨论思想2.若|x|=2，|y|=3，求（3x－2y）－（2x－3y）的值.疑难点3利用多项式的特点求相关字母的值3.若3x2－2x＋b与x2＋bx－1的和不含x的项，试求b的值，写出它们的和，并证明不论x取何值，它们的和总是正数.疑难点4整式的规律探索4.观察下列三行数：0，3，8，15，24，…；①2，5，10，17，26，…；②0，6，16，30，48，….③（1）第①行的数是按什么规律排列的？请写出来.（2）第②，③行的数与第①行的数对比分别有什么关系？（3）取每行的第n个数，求这三个数的和.参考答案过易错1.534x y－是多项式.易错分析本题的易错之处是将分子5x－3y看作一个整体，而误认为534x y－是单项式.式子534x y－实质上就是54x－34y,由于54x－34y是多项式，所以534x y－是多项式.名师点睛单项式的特点是表示数与字母的乘积、单独的一个数或一个字母，而多项式的特点则是几个单项式的和，当式子的分子出现几个单项式的和，且分母是一个不为零的常数时，该式子是多项式.2.C【解析】本题的易错之处是认为π是字母，而错选D.实际上π是圆周率，是一个数，不是一个字母，因此πa3b2是五次单项式.故选C.名师点睛当单项式或多项式中含有π时，不要认为π是字母，它是一个数，因此涉及有关的系数或次数时，π可以为系数或系数的一部分，而π的指数不能算次数.3.B【解析】因为单项式－32x2y2z中x的指数是2，y的指数是2，z的指数是1，因此单项式－32x2y2z的次数是2＋2＋1=5，其系数为－32，即系数为－9.故选B. 易错分析本题的易错之处是把数32的指数与单项式中所含字母的指数相加得单项式的次数，从而错选A.4.B【解析】因为多项式2x2y2－3x3＋y3－52各项中最高次数为4，所以该多项式的次数为4.故选B.名师点睛单项式的次数是所有字母的指数和，多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，在解答时要注意全面观察分析，严格按照定义进行识别与判断.5.－5【解析】根据题意可得P=5，所以﹣P=－5.6.【解析】4xy2＋12x2y＋5x2y－12xy2－5=(4－12)xy2＋（12＋5）x2y－5=72xy2＋112x2y－5.易错分析本题的易错之处是认为12x2y与－12xy2是同类项，从而产生如下错解：4xy2＋12x2y＋5x2y－12xy2－5=4xy2＋（12x2y－12xy2）＋5x2y－5=4xy2＋5x2y—5.名师点睛合并同类项之前要根据定义确定同类项，不要找错，也不要重复或遗漏，合并时还要注意系数的符号.7.【解析】5x2＋4－4x2－5x＋6x3＋3x－3x3=(5x2－4x2)＋4＋(－5x＋3x)＋(6x3－3x3)=x2＋4－2x＋3x3=3x3＋x2－2x＋4.易错分析本题易将4－4x2合并为（4－4）x2=0，从而导致错解.8.【解析】(3x2＋1)＋(4x2－2x－l)－(2x2－3x－1)=3x2＋1＋4x2－1－2x2＋3x＋1=5x2＋x＋1.易错分析本题的易错之处是去掉－(2x2－3x－1)的括号时，－3x和－1没有相应变号，从而产生如下错解：(3x2＋1)＋(4x2－2x－1)－（2x2－3x－1)=3x2＋1＋4x2—2x—1—2x2－3x—1=5x2－5x－1.9.【解析】(x－3x2＋1)－2(x2—1＋3x)=x—3x2＋1－2x2＋2—6x=－5x2—5x＋3.易错分析本题的易错之处有两处：一是第二个括号前是号，去括号时常忘记改变括号内每一项的符号；二是第二个括号前有数字因数，去括号时没有把数字因数与括号内的每一项相乘，出现漏乘的现象.产生如下错解：(x－3x2＋1)－2(x2—1＋3x)=x－3x2＋1—2x2—1＋3x=﹣5x2＋4x.名师点睛去括号时，既要考虑括号前的符号，也要考虑括号前的因、数，忽略任何一个都会造成错误结果.10.【解析】A－B=(x3－2x2＋1)－(2x2－3x－1)=x3－2x2＋1－2x2＋3x＋1=x3—4x2＋3x＋2.名师点睛当一个多项式作为整体进行加减运算时，必须将这个多项式用括号括起来，然后再进行运算.过疑难1.【解析】因为式子a＋b－a是单项式a，b，﹣a的和.所以它是多项式.名师点睛在判断一个式子是否是多项式时，不能先进行化简再去判断，要尊重原式，根据多项式的定义进行判断.2.【解析】(3x—2y)－(2x－3y)=3x－2y—2x＋3y=x＋y.根据题意，得x=±2，y=±3.①当x=2，y=3时，x＋y=2＋3=5；②当x=2，y=－3时，x＋y=2＋(－3)=－1；③当x=－2，y=3时，x＋y=－2＋3=1；④当x=－2，y=－3时，x＋y =－2＋(－3)=－5.所以x＋y=±1或±5，即（3x－2y）—(2x－3y)的值±1或±5.名师点睛把情况既不重复也不遗漏地——列举出来进行解答，这就是分类讨论思想，分类讨论思想是最常用的数学思想之一，务必要掌握.3.【解析】(3x2—2x＋b)＋(x2＋bx—1)=4x2－2x＋bx＋b—1=4x2＋(b－2)x＋(b－l)，由题意得b－2=0，解得b=2，所以3x2－2x＋b与x2＋bx－1的和是4x2＋1.因为任何数的平方都是非负数，所以4x2＋1≥1，所以不论x取何值，它们的和总是正数.4.【解析】(1)规律是12－1，22－1，32－1，42－1，52－1，….(2)第②行的数是由第①行相应的数加2得到的，第③行的数是第①行相应的数的2倍.(3)(n2－1)＋[(n2－1)＋2]＋2(n2－1)=n2－1＋n2－1＋2＋2n2－2=4n2－2.名师点睛先观察第①行的前五个数与序数1，2，3，4，5之间的关系，即可发现第①行的数的排列规律，再将第②，③行的数与第①行的数进行对比，找出第②，③行的数排列的规律，即可使问题得到解决.通过类比发现规律是常用的解题方法.。
七年级上册数学知识点总结
七年级数学（上）知识点人教版七年级数学上册主要包含了有理数、 整式的加减、 一元一次方程、 图形的认识初步四个章节的内容 . 第一章、有理数 知识框架二．知识概念1.有理数：q(p, q 为整数且 p0)(1) 凡能写成p形式的数，都是有理数 .正整数、 0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数 .注意： 0 即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数， +a 也不一定是正数；不是有理数；正有理数正整数正整数正分数整数 零有理数 零有理数负整数负有理数负整数分数正分数负分数负分数(2) 有理数的分类 : ①②2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3．相反数：(1) 只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0 的相反数还是 0；(2) 相反数的和为 0 a+b=0 a 、 b 互为相反数 .4.绝对值：(1) 正数的绝对值是其本身， 0 的绝对值是 0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；a ( a 0)a( a 0)a (a0)0) 或a0)；绝对值的问题经常分类讨论； (2) 绝对值可表示为： a (a a (a5.有理数比大小： （ 1）正数的绝对值越大，这个数越大； （2）正数永远比 0 大，负数永远比0 小；（3）正数大于一切负数； （ 4）两个负数比大小，绝对值大的反而小； （ 5）数轴上的两 个数，右边的数总比左边的数大； （ 6）大数 -小数 ＞ 0，小数 -大数 ＜ 0.16.互为倒数： 乘积为 1 的两个数互为倒数；注意： 0 没有倒数； 若 a ≠ 0，那么 a的倒数是a ；若 ab=1 a、 b 互为倒数；若ab=-1a、 b 互为负倒数 .7.有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与 0 相加，仍得这个数 .8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（ 2）加法的结合律：（ a+b）+c=a+ （ b+c） .9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（ -b） . 10有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定 .11有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律： ab=ba；（ 2）乘法的结合律：（ab） c=a（ bc）；（3）乘法的分配律： a（ b+c）=ab+ac .即a无意义12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，0.13．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时 : (-a)n=-an 或 (a-b)n=-(b-a)n , 当 n 为正偶数时 : (-a)n =an或 (a-b)n=(b-a)n .14．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；15．科学记数法：把一个大于 10 的数记成 a× 10n 的形式，其中 a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法 .16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字 .18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减.本章内容要求学生正确认识有理数的概念，在实际生活和学习数轴的基础上，理解正负数、相反数、绝对值的意义所在。
七年级上册分类讨论思想测试(通用版)(含答案)
七年级上册分类讨论思想测试（通用版）一、单选题(共10道，每道10分)1.一般地，数轴上表示m和n的两点之间的距离等于，如果数轴上表示a和-2的两点之间的距离是3，那么a=( )A.1B.-5C.-5或1D.-1或5答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值分类讨论2.已知△ABC，AB=5，BC=7，AC=9，D是AC上一点，连接BD，△ABC被分成周长之差为5的两个三角形，则AD=( )A.8B.3C.4或1D.8或3答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形的周长3.若，，则( )A.7B.-3或7C.3或-7D.±3或±7答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值分类讨论4.已知，，且，则的值为( )A.1B.7C.1或7D.1或6答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值分类讨论5.的最小值是( )A.5B.4C.3D.2答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值分类讨论6.若，则的取值共有( )A.2个B.3个C.4个D.1个答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值分类讨论7.已知A，B，C三点在同一条直线上，M，N分别为线段AB，BC的中点，且AB=9，AC=16，则MN的长为( )A.8B.C.8或D.8或答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：求线段的长8.已知线段AB=16，点C在直线AB上，BC=3AC，M，N分别为线段AB，BC的中点，则MN 的长为( )A.4B.2或14C.4或20D.2或4答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：求线段的长9.若∠AOB=50°，∠BOC=70°，OM平分∠AOB，ON平分∠AOC，则∠MON的度数为( )A.60°或10°B.10°或25°C.15°或35°D.35°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：角度的计算10.已知∠AOB=40°，∠AOC=4∠AOB，OM平分∠AOB，ON平分∠AOC，则∠MON的度数为( )A.60°B.25°或4°C.100°D.100°或60°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：角度的计算。
2024年人教版七年级上册教学设计第一章 有理数第一章 有理数
一、单元学习主题本单元是“数与代数”领域“数与式”主题中的“有理数”.二、单元学习内容分析1.课标分析《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称《标准2022》)指出初中阶段数与代数领域包括“数与式”“方程与不等式”和“函数”三个主题,是学生理解数学符号,以及感悟用数学符号表达事物的性质、关系和规律的关键内容,是学生初步形成抽象能力和推理能力、感悟用数学的语言表达现实世界的重要载体.“数与式”是代数的基本语言,初中阶段关注用字母表述代数式,以及代数式的运算,字母可以像数一样进行运算和推理,通过字母的运算和推理得到的结论具有一般性.课标的内容要求:①理解负数的意义,会用正数和负数表示具体情境中具有相反意义的量;理解有理数的意义,能用数轴上的点表示有理数,能比较有理数的大小.②借助数轴理解相反数和绝对值的意义,初步体会数形结合的思想方法,掌握求有理数的相反数和绝对值的方法.教师应把握数与式的整体性,一方面,通过对有理数的认识,帮助学生进一步感悟数是对数量的抽象,知道绝对值是对数量大小和线段长度的表达;另一方面,通过代数式和代数式运算的教学,让学生进一步理解用字母表示数的意义,通过基于符号的运算和推理,建立符号意识,感悟数学结论的一般性,理解运算方法与运算律的关系,提升运算能力.在教学过程中,要关注数学知识与实际的结合,让学生在实际背景中理解数量关系和变化规律,经历从实际问题中建立数学模型、求解模型、验证反思的过程,形成模型观念;要关注基于代数的逻辑推理,能在比较复杂的情境中,提升学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力,以及有逻辑地表达与交流的能力.2.本单元教学内容分析人教版教材七年级上册第一章“有理数”,本章包括两个小节:1.1正数和负数;1.2有理数及其大小比较.数及其运算是中小学数学课程的核心内容.小学已经安排了自然数、正分数及其运算等学习内容.本单元借助生活实例引入负数.通过添加负数这一类“新数”,使数的范围扩张到有理数.引入负数是实际的需要,也是学习后续内容,特别是“数与代数”内容的需要,学生可以从中体会根据实际和数学的需要引入“新数”的好处.有理数的概念可以利用数轴来认识、理解;同时,利用数轴又可以把这些概念串在一起.数轴是数形结合思想的产物.引进数轴后,可以用数轴上的点直观地表示有理数,为学生提供了理解相反数、绝对值的直观工具,同时也为学习有理数的运算法则做了准备.引入相反数的概念,一方面可以加深对相反意义的量的认识,另一方面可以为学习绝对值、有理数运算做准备.绝对值概念借助距离概念加以定义.在数轴上,一个点由方向和距离(长度)确定;相应地,一个实数由符号与绝对值确定.这里,“方向”与“符号”对应,“距离”与“绝对值”对应,又一次体现了数与形的结合、转化.所以,绝对值概念可以促进对数轴概念的理解,同时也是学习数的大小比较、数的运算的基础.本单元重点是理解正负数、有理数和绝对值的相关概念;难点是在理解概念的基础上,养成良好的思维习惯.三、单元学情分析本单元内容是人教版教材数学七年级上册第一章有理数.学生在小学已经学习了自然数、正分数及其运算、用字母表示数的知识,这些都是学习本章的基础.实际上,小学学过的数及运算的知识,就是有理数及其运算的知识,数的范围限制在“正数和0”.因此,本单元内容的教学,首先要做好与以往算术知识和方法的衔接,在原有基础上自然引申出新的问题和思路.例如,对负数的认识,借助实际生活、生产中大量存在的“相反意义的量”,提出引入“新数”的需要,然后借助“大于0的数叫作正数”,自然引入“在正数前面加上符号‘-’(负号)的数叫作负数”.另外,本单元渗透了用字母表示数的知识,例如,用-a表示a的相反数;用字母表示求一个数的绝对值的结论;等等.这样,既使问题阐述得更简明、更深入,也使学过的数与代数的知识得到巩固、加强和提高.总之,加强与小学学过的数及运算的衔接,不仅有利于学生理解本单元知识,也有利于培养学生提出问题的能力.四、单元学习目标1.理解有理数的意义,能用数轴上的点表示有理数,能比较有理数的大小.2.能借助数轴理解相反数和绝对值的意义,掌握求有理数的相反数和绝对值的方法,知道|a|的含义(这里a表示有理数).五、单元学习内容及学习方法概览有理数课时划分内容本质与研究方法1.1正数和负数通过提出问题,根据问题归纳正数和负数的概念;培养学生观察、发现问题的能力,培养学生积极思考、合作交流的意识和能力续表有理数课时划分内容本质与研究方法1.2有理数及其大小比较1.2.1有理数的概念提出问题,根据问题归纳有理数的概念,并对有理数进行分类;培养学生观察、发现问题的能力,培养学生分类讨论的数学思想1.2.2数轴提出问题,根据问题归纳数轴的概念,让学生积极参与探究数轴的活动,并学会与他人交流合作;让学生感受在特定的条件下数与形是可有理数课时划分内容本质与研究方法以互相转化的,让学生体验生活中的数学1.2.3相反数通过归纳相反数在数轴上所表示的点的特征,培养归纳能力;渗透数形结合思想,感受事物之间的对应统一的辩证思想1.2.4绝对值提出问题,通过探索求一个数绝对值的方法让学生通过观察,发现规律,总结方法;培养学生积极参与数学活动,在数学活动中体验成功的乐趣1.2.5有理数的大小比较经历用数轴比较有理数大小的方法和形成过程,体会负数的大小比较与自己原有认知体系的不同;经历形式多样的数学活动,让学生通过观察、思考和自己动手操作,体验有理数大小比较法则的探索过程六、单元评价与课后作业建议本单元课后作业整体设计体现以下原则:针对性原则:每课时课后作业严格按照《标准2022》设定针对性的课后作业,及时反馈学生的学业质量情况.层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识,基本技能,渗透人人学习数学,人人有所获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识.生活性原则:本节课的知识来源于生活,应回归于生活,体现数学的应用价值.根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.。
七年级上册分类讨论思想
分类讨论思想在数学中,如果一个命题的条件或结论不唯一确定,有多种可能情况,难以统一解答,就需要按可能出现的各种情况分门别类的加以讨论,最后综合归纳出问题的正确答案,这种解题方法叫做分类讨论。
在分类讨论的问题中有三个重要的注意事项。
1. 什么样的题会出现分类讨论思想--往往是在题目中的基本步骤中出现了“条件不确定，无法进行下一步”(如几何中，画图的不确定；代数中，出现字母系数等)。
2. 分类讨论需要注意什么----关键是“不重、不漏”，特别要注意分类标准的统一性。
3. 分类讨论中最容易错的是什么--总是有双重易错点“讨论有重漏，讨论之后不检验是否合题意”。
【例1】解方程：|x-1|=2【例2】【例3】试比较1+a与1-a的大小。
【例4】。
【例5】已知线段AB长度为6cm，点C在直线AB上，且AC=2cm，求BC的长度。
【例6】【例7】一张桌子有四个角，砍掉一只角后，还剩几个角？【例8】已知△ABC周长为20cm，AB=AC，其中一边边长是另一边边长的2倍，BC长多少？【例9】【例6】 富城书店推出售书优惠方案：①一次性购书不超过100元，不享受优惠；②一次性购书超过100元，但不超过200元，一律打九折；③一次性购书超过200元，一律打八折。
如果小明一次性购书 付款162元，那么小明所购书的价格为多少。
练习题1.解方程：（1）|x+4|=3 （2）22)3(-=a2.|a|+a 的值的情况讨论。
3. 如果a 、b 、c 是非零有理数，求cc b b a a -+的值5.数轴上有A 、B 两点,若A 点对应的数是-2,且A 、B 两点的距离为3,则点B 对应的数为多少（画图表示）。
6.平面内有四点，经过两点可画多少条直线。
7.平面内有三条直线,它们可能有几个交点8. 已知∠A0B=120o ，∠BOC=30o ，则∠AOC 为多少。
9.已知直线AB 上一点C ，且有CA=3AB ，则线段CA ︰CB9.在一条直线上顺次取A 、B 、C 三点，已知AB ＝5cm ，点O 是线段AC 的中点，且OB=1.5cm ，求线段BC 的长。
浙教版数学七年级上册第十七讲 分类讨论思想 专项训练
浙教版数学七年级上册第十七讲分类讨论思想专项训练1.设a是实数，则｜a｜-a的值( ）.A.可以是负数B.不可能是负数C.必是正数D.可以是正数也可以是负数2.线段AB=5cm，BC=4cm，那么A，C两点间的距离是( ）.A.1cmB.9cmC.1cm或9cmD.以上结果都不对3.若|a|=5，|b|=2，a＜b，则a，b分别为( ）.A.5，-2B.-5，-2C.-5，2D.-5，-2或-5，2(第4题）4.如图是一副特制的三角板，用它们可以画出一些特殊角.在54°，60°，63°，72°，99°，120°，144°，150°，153°，171°这些角中，能画出的角有( ）.A.6个B.7个C.8个D.9个5.一条直线上有A，B，C三点，AB＝8cm，AC＝18cm，P，Q分别是AB，AC的中点，则PQ＝.6.已知∠AOB=60°，过点O的射线OC使∠AOC∶∠AOB=3∶2，则∠BOC= ．7.阅读材料，解答下列问题.例：当a＞0时，如a=6，则｜a｜=｜6｜=6，故此时a的绝对值是它本身；当a=0时，｜a｜=0，故此时a的绝对值是零；当a＜0时，如a=－6，则｜a｜=｜－6｜=6=-(-6），故此时a的绝对值是它的相反数.∴综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想.(1）请仿照例中分类讨论的方法，分析实数a2去根号后的各种情况.（2）猜想a2与｜a｜的大小关系.8.已知线段AB=10cm，直线AB上有一点C，BC=6cm，M为线段AB的中点，N为线段BC的中点，求线段MN的长.b9.阅读材料：我们知道，对于关于x的方程ax=b，当a不等于0时，方程的解为x=a；当a等于0，b也等于0时，所有实数x都能使等式成立，也就是说方程的解为全体实数；当a等于0，而b不等于0时，使等式成立的x的值不存在，此时，我们说方程无解．根据上述知识判断，a，b为何值时，关于x的方程a（4x-2）-3b=8x-7的解为全体实数？a，b为何值时，方程无解？10.对于有理数a，b，定义一种新运算“⊙”，规定a⊙b=|a+b|+|a-b|．（1）计算2⊙（-3）的值.（2）①当a，b在数轴上的位置如图所示时，化简a⊙b.②当a⊙b=a⊙c时，是否一定有b=c或者b=-c？若是，请说明理由；若不是，请举例说明.（3）已知（a⊙a）⊙a=8+a，求a的值．(第10题）11.已知∠AOB＝90°，∠COD＝30°.（1）如图1，当点O，A，C在同一条直线上时，∠BOD的度数是.（2）将∠COD从图1的位置开始，绕点O按逆时针方向旋转n°（即∠AOC＝n°），且0＜n＜180.①若∠COD的一边与∠AOB的一边垂直，则n＝.②当60＜n＜90时（如图2），作射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，试求∠MON 的度数.图1图2（第11题）12.同一平面内三条直线互不重合，那么交点的个数可能是( ）.A.0，1，2B.0，1，3C.1，2，3D.0，1，2，3(第13题）13.如图，棋盘上有黑、白两色棋子若干，三颗颜色相同的棋子在同一直线上的直线共有( ）.A.2条B.3条C.4条D.5条14.某超市推出如下购物优惠方案：一次性购物在80元（不含80元）以内时，不享受优惠；一次性购物在80元（含80元）以上，300元（不含300元）以内时，一律享受九折的优惠；一次性购物在300元（含300元）以上时，一律享受八折的优惠.某顾客在本超市两次购物分别付款65元、252元，如果他改成在本超市一次性购买与上两次完全相同的商品，那么应付款（）.A.316元B.304元或316元C.276元D.276元或304元15.已知9，16，a三个数，要使这三个数中的一个数是另外两个数乘积的一个平方根，则所有符合条件的数a的值是．16.如图，在数轴上点A，B分别表示-15，9，点P，Q分别从点A，B同时开始沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，运动时间为t （s），在运动过程中，当点P，Q和原点O这三点中的一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点时，t的值是.（第16题）17.已知关于x 的多项式ax 4+bx 3+cx 2+dx+e 3，其中a ，b ，c ，d 为互不相等的整数，且abcd=4.当x=1时，这个多项式的值为27． （1）求a+b+c+d 的值. （2）求e 的值.（3）当x=-1时，求这个多项式的所有可能的值．18.【问题提出】已知∠AOB ＝70°，∠AOD=21∠AOC ，∠BOD ＝3∠BOC （∠BOC ＜45°），求∠BOC 的度数.【问题思考】聪明的小明用分类讨论的方法解决问题.（1）当射线OC 在∠AOB 内部时，若射线OD 在∠AOC 内部，如图1，可求∠BOC 的度数，解答过程如下：设∠BOC ＝α，∴∠BOD ＝3∠BOC ＝3α. ∴∠COD ＝∠BOD -∠BOC ＝2α. ∵∠AOD=12∠AOC, ∴∠AOD ＝∠COD ＝2α.∴∠AOB ＝∠AOD+∠BOD ＝2α+3α＝5α＝70°. ∴α＝14°.∴∠BOC ＝14°.当射线OC 在∠AOB 内部时，若射线OD 在∠AOB 外部，如图2，请你求∠BOC 的度数. 【问题延伸】（2）当射线OC 在∠AOB 外部时，请你画出图形，并求∠BOC 的度数.【问题解决】（3）综上所述，∠BOC的度数是.19.如图1，数轴上m，n，q所对应的点分别为M，N，Q，若点Q到点M的距离表示为QM，点N到点Q的距离表示为NQ，我们有QM＝q-m，NQ＝n-q.（1）如图2，点A，B，C在数轴上对应的数分别为-4，6，c，且BC＝CA，直接写出c的值：.（2）在（1）的条件下，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A，C两点出发向右运动，甲的速度为每秒4个单位长度，乙的速度为每秒1个单位长度.求经过几秒，点B与两只蚂蚁的距离和等于7.（3）在（1）（2）的条件下，电子蚂蚁乙运动到点B后立即以原速返回，到达自己的出发点后停止运动，电子蚂蚁甲运动至点B后也以原速返回，到达自己的出发点后又折返向点B 运动，到达点B后再次返回……当电子蚂蚁乙停止运动时，电子蚂蚁甲随之停止运动.求运动时间为多少时，两只蚂蚁相遇.图1图2备用图（第19题）。
七年级上册数学第二单元知识点全面解析2024人教版
七年级上册数学第二单元知识点全面解析2024人教版一、引言七年级上册数学第二单元主要涉及有理数及其运算、整式的加减、一元一次方程、图形的认识、数据的收集与整理等内容。
这些知识点不仅是初中数学学习的基础，也是学生们在日常生活中常常会用到的数学知识。
本文将对这些知识点进行详细的归纳和解析，帮助学生们更好地理解和掌握。
二、有理数及其运算1. 有理数的概念有理数包括正整数、负整数、零、正分数和负分数。
它们可以表示为分数的形式，其中分子和分母都是整数，且分母不为零。
2. 有理数的分类有理数可以分为整数和分数。
整数包括正整数、负整数和零；分数包括正分数和负分数。
3. 有理数的运算有理数的运算包括加法、减法、乘法和除法。
以下是各类运算的具体规则：加法：同号相加，取相同的符号，绝对值相加；异号相加，取绝对值较大的符号，绝对值相减。
减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。
乘法：同号相乘得正，异号相乘得负，绝对值相乘。
除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数。
4. 有理数的性质有理数具有以下性质：交换律：a + b = b + a；a × b = b × a结合律：a + (b + c) = (a + b) + c；a ×(b ×c) = (a ×b) × c分配律：a ×(b + c) = a × b + a × c三、整式的加减1. 整式的概念整式是由数字和字母通过加、减、乘、除（除法中除数不含字母）以及乘方运算组成的代数式。
整式包括单项式和多项式。
2. 单项式单项式是由数字和字母的乘积组成的代数式，如3a、-5xy²等。
单项式的系数是数字部分，次数是所有字母指数的和。
3. 多项式多项式是由几个单项式相加组成的代数式，如3a + 5b、-2x²+ 4x 7等。
多项式的项数是单项式的个数，最高次项的次数是多项式的次数。
《有理数》数学思想-分类讨论(专项练习)-七年级数学上册基础知识专项讲练(苏科版)【有答案】
专题2.25 《有理数》数学思想-分类讨论（专项练习）分类讨论是人们常用的重要思想方法，是数学解题中的一个重要思想方法，它能训练人的思维条理性和严密性。
实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。
分类讨论遵循的原则：不重不漏分类讨论的步骤：1、先明确需讨论的对象及讨论对象的取值范围；2、正确选择分类的标准，进行合理分类；3、逐类讨论解决；4、归纳并作出结论。
本章结合有理数分类、绝对值、及数轴上的点进行专题巩固学习，对初入中学学习同学来说相当重要，让学生形成数学思想，对于提升学生数学素养十分重要。
一、单选题1．下列关于有理数的分类正确的是（ ）A ．有理数可以分为正有理数和负有理数B ．有理数可分为正有理数、负有理数和0C ．有理数可分为正整数、0和负整数D ．有理数可分为自然数、0和分数 2．已知0abc >，则式子：a b c a b c ++=（ ） A ．3 B ．3-或1C ．1-或3D ．1 3．若m 满足方程20192019m m -=+，则2020m -等于（ ）A ．2020m -B ．2020m --C ．2020m +D ．2020m -+ 4．对于任意实数x ，通常用[]x 表示不超过x 的最大整数，如[2.9]2=，下列结论正确的是（ ）①[]33-=- ②[]2.92-=- ③[0.9]0= ④[][]0x x +-=A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④5．已知a ，b ，c 为有理数，且0a b c ++=，0abc <，则a b c a b c++的值为（ ） A ．1 B ．1-或3- C ．1或3- D ．1-或3 6．在数轴上和有理数a 、b 、c 对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①(1)(1)(1)0a b c ---<；②a b b c a c -+-=-；③()()()0a b b c c a +++>；④1a bc <-，其中正确的结论有（ ）个A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 7．已知：23a bb cc am c a b +++=++，且0abc >，0a b c ++=，则m 共有x 个不同的值，若在这些不同的m 值中，最小的值为y ，则x y +=（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．38．如果a ，b ，c 是非零有理数，那么a b c abc a b c abc+++的所有可能的值为（ ）． A ．4-，2-，0，2，4B ．4-，2-，2，4C ．0D ．4-，0，49．有理数a 、b 、c 在数轴上对应点的位置如图所示，若|b |＞|c |，则下列结论中正确的是（ ）A ．abc ＜0B ．b ＋c ＜0C ．a ＋c ＞0D ．ac ＞ab二、填空题10．将下列各有理数按不同的标准分类：2，413， －7，1.5，0，－5.3, －32， 6，－80%. (1)按有理数的定义分；(2)按有理数的正、负性质分．11．若0a b c ++=，则||||||a ab abc a ab abc++的值是___________． 12．若|x+3|+45|x-5|=12，则x=_____． 13．如图，A 点的初始位置位于数轴上的原点，现对A 点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B 点，第2次从B 点向左移动3个单位长度至C 点，第3次从C 点向右移动6个单位长度至D 点，第4次从D 点向左移动9个单位长度至E 点，……，依此类推，移动 6 次后该点对应的数是___；至少移动_____次后该点到原点的距离不小于20．14．在有理数范围内，我们定义三个数之间的新运算“⊗”法则：a b c a b c a b c ⊗⊗=++-+-，例如：()()()12-312-312-3⊗⊗=++-+-．在57274,,0,,,99393--这6个数中，任意取三个数作为,,a b c 的值，则a b c ⊗⊗的最大值为__________．15．点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为AB ，则在数轴上A 、B 两点之间的距离AB a b ． 所以式子2x -的几何意义是数轴上表示x 的点与表示2的点之间的距离．借助于数轴回答下列问题：①数轴上表示2和5两点之间的距离是________，数轴上表示1和3-的两点之间的距离是________．②数轴上表示x 和2-的两点之间的距离表示为________．③数轴上表示x 的点到表示1的点的距离与它到表示3-的点的距离之和可表示为：13x x -++．则13x x -++的最小值是________． ④若318x x -++=，则x =________16．若a ，b ，c 为有理数，且abc ≠0，则b abc a c a b c abc++-＝_____． 17．数学真奇妙，小慧同学研究有两个有理数a 和b ，若计算a+b ，a-b ，ab ，a b 的值，发现有三个结果恰好相同，小慧突发灵感，想考考大家，请你们求()28b a +=_____________ 18．如图，将一个半径为1个单位长度的圆片上的点A 放在原点，并把圆片沿数轴滚动1周，点A 到达点A '的位置，则点A '表示的数是 _______；若起点A 开始时是与—1重合的，则滚动2周后点A '表示的数是______．19．若|x |＝11，|y |＝14，|z |＝20，且|x +y |＝x +y ，|y +z |＝﹣（y +z ），则x +y ﹣z ＝_____．三、解答题20． 有理数的两种分类方法：有理数 有理数 21．177.6,2,, 4.1,5,23--- （1）将以上有理数按从小到大的顺序排列，并用“<”连接；（2）将以上有理数按一定的分类标准分成若干类．22．把下列各数按要求分类．2224,2, 1.5,,0.6,,0,37π-- 整数集合：{ ．．．}，分数集合：{ ．．．}，非负整数集合：{ ．．．}，有理数集合：{ ．．．}．23．如图是数学果园里的一棵“有理数”知识树，请仔细辨别分类，把各类数填在它所属的横线上．24．（1）填空：①正数：35+= ，8= ； ②负数：0.7-= ，12-= ；③零：0= ；（2）根据（1）中的规律可以发现：无论什么数，它们的绝对值一定是 数，即0a ≥ （3）请认真阅读下列材料，求2x +的最小值 解：0x ≥，∴当0x =，即0x =时，2x +的最小值是2解答下列问题 ①求2020x +的最小值；②255a --有最大值还是最小值，求出这个值，并求出a 的值25．同学们都知道，|4(2)|--表示4与2-的差的绝对值，实际上也可理解为4与2-两数在数轴上所对应的两点之间的距离：问理|3|x -也可理解为x 与3两数在数轴上所对应的两点之问的距离，试探索：（1）|4(2)|--=_______．（2）找出所有符合条件的整数x ，使|4||2|6x x -++=成立，并说明理由（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x ，|3||6|x x -+-是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 26．阅读下题和解题过程：化简：()2122x x -+--，使结果不含绝对值．解：当20x -≥时，即2x ≥时：原式21243x x x =-+-+=-+；当20x -<时，即2x <时：原式()212437x x x =--+-+=-+．这种解题的方法叫“分类讨论法”．请你用“分类讨论法”解一元一次方程：213x -=．27．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，可以这样分类：当a ＞0时，|a|=a ；当a=0时，|a|=0；当a ＜0时，|a|=﹣a ．用这种方法解决下列问题：(1)当a=5时，求a a的值． (2)当a=﹣2时，求a a的值．(3)若有理数a 不等于零，求a a的值． (4)若有理数a 、b 均不等于零，试求a a +b b的值． 28．[分类讨论思想] 甲、乙两名同学正在对8a ＞6a 进行讨论，甲说：“8a ＞6a 正确．”乙说“这不可能正确．”你认为谁的观点对？谈谈你的看法．29．阅读下题和解题过程：化简212(2)x x -+--，使结果不含绝对值．解：当20-≥x 时，即2x ≥时，原式2124x x =-+-+3x =-+；当20x -<，即2x <时，原式(2)124x x =--+-+37x =-+这种解题的方法叫“分类讨论法”．(1)请你用“分类讨论法”解一元一次方程：2(21)3x x +-=+；(2)试探究：当m 分别为何值时，方程21x m -=-①无解，②只有一个解，③有两个解30．定义：若A ，B ，C 为数轴上三点，若点C 到点A 的距离是点C 到点B 的距离2倍，我们就称点C 是[],A B 的美好点．例如；如图1，点A 表示的数为1-，点B 表示的数为2．表示1的点C 到点A 的距离是2，到点B 的距离是1，那么点C 是[,]A B 的美好点；又如，表示0的点D 到点A 的距离是1，到点B 的距高是2，那么点D 就不是[,]A B 的美好点，但点D 是[,]B A 的美好点．如图2，M ，N 为数轴上两点，点M 所表示的数为7-，点N 所表示的数为2．（1）点E ，F ，G 表示的数分别是3-，6.5，11，其中是[,]M N 美好点的是________；写出[,]N M 美好点H 所表示的数是___________．（2）现有一只电子蚂蚁P 从点N 开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t 为何值时，点P 恰好为M 和N 的美好点？31．概念学习规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如222÷÷，(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-等，类比有理数的乘方，我们把222÷÷记作32，读作“2的3次商”，(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-记作4(3)-，读作“3-的4次商”．一般地，我们把n 个(0)a a ≠相除记作n a ，读作“a 的n 次商”．初步探究（1）直接写出结果：32=________；（2）关于除方，下列说法错误的是_________．①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数n ，(1)1n -=-；③4334=；④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数．深入思考我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例：2411112222222222⎛⎫=÷÷÷=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭（3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式 4(3)-=_______；517⎛⎫= ⎪⎝⎭_______． （4）想一想：将一个非零有理数a 的n 次商写成幂的形式等于___________；（5）算一算：2453111152344⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-⨯-+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭________．参考答案1．B【分析】根据有理数的分类即可判断.【详解】有理数可以分为正有理数、负有理数和零，故A ，C ，D 错误，B 正确；故选B.【点拨】此题主要考查有理数的分类，解题的关键是熟知有理数的分类特点.2．C【分析】不妨设a ＜b ＜c ，分类讨论：①a ＜b ＜0＜c ，②a ＞0，b ＞0，c ＞0，根据绝对值的定义即可得到结论．【详解】不妨设a ＜b ＜c ．∵abc ＞0，∴分两种情况：①a ＜b ＜0＜c ，则abca b c ++=－1+（－1）+1=－1；②a ＞0，b ＞0，c ＞0，则a b c a b c ++=1+1+1=3．故选C ．【点拨】 本题考查了绝对值，有理数的混合运算，解题的关键是讨论字母的取值情况． 3．D【分析】根据绝对值的性质分情况讨论m 的取值范围即可解答.【详解】当2019m ≥时，20192019m m -=-，不符合题意；当0m ≤时，20192019m m -=+，符合题意；当02019m <<时，20192019m m -=-，不符合题意；所以0m ≤20202020m m -=-+故选D【点拨】本题考查绝对值的性质以及有理数的加减，熟练掌握以上知识点是解题关键.4．C【分析】根据符号[x]表示不超过x 的最大整数，依次判断可得答案．【详解】解：由题意可得，[-3]=-3，故①正确；[-2.9]=-3，故②错误；[0.9]=0，故③正确；当x 为整数时，[x]+[-x]=x+（-x ）=0，当x 为小数时，如x=1.2，则[x]+[-x]=1+（-2）=-1≠0，故④错误；故选：C ．【点拨】本题考查了有理数的大小比较，解答本题的关键是理解题目中的新定义．5．A【分析】先根据有理数的乘法法则推出：要使三个数的乘积为负，a ，b ，c 中应有奇数个负数，进而可将a ，b ，c 的符号分两种情况：1负2正或3负；再根据加法法则：要使三个数的和为0，a ，b ，c 的符号只能为1负2正，然后化简即得．【详解】∵0abc <∴a ，b ，c 中应有奇数个负数∴a ，b ，c 的符号可以为：1负2正或3负∵0a b c ++=。
七年级数学上册常用数学思想方法(xiuding)
七年级数学上册常用数学思想方法一、数形结合的思想。
利用数形结合，可以使研究的问题化难为易，化繁为简。
1、利用数轴解答：有一座3层楼房着火,消防员搭梯子爬往3楼去抢救物品,当他爬到正中1级时,2楼窗口喷出火来,他就往下退了3级,等到火过去了,他又爬上了7级,这时候屋顶有两块砖掉下来,他又后退了2级,幸好没有打着他,他又爬上8级,这时候他距离梯子最高层还有1级,问这个梯子共有多少级?2、.A,B两站间的路程为448千米,一列慢车从A站出发,每小时行驶60千米,一列快车从B站出发,每小时行驶80千米.问：（1)两车同时开出,相向而行,出发后多少小时相遇? （2）两车相向而行，慢车先开出28分钟，快车开出后多少小时两车相遇？（3）两车同时开出，同向而行，如果慢车在前，出发后多少小时快车追上慢车？3、3个球队进行单循环比赛（参加比赛的每个队都与其他参赛队各赛一场），那么总的比赛场数是多少？若有4个球队呢？若有5个球队呢？写出m个球队进行单循环比赛时总的比赛场数的公式。
二、整体代入的思想。
1、若a、b互为倒数，x、y互为相反数，m的绝对值等于3求：（1）5ab－m＋x－4＋y的值；（2）5x－ab＋＋5y的值；（3）x+y∕x³－ab＋m²－8的值。
2、已知x²＋x＋3的值为7，求2x²＋2x－3的值。
三、分类讨论的思想。
在数学问题中，当一个字母（或一个式子）有几种可能的取值；当一个图形有几种不同的位置或不同的形状时，往往需要分类讨论。
分类讨论应做到：分类标准必须统一，分类时不重复不遗漏。
1、已知线段AB=10cm,直线AB上有一点C,且BC=4cm,M是线段AC的中点，求AM的长。
四、割补的思想。
1﹙1﹚用含有a、b的式子表示阴影部分面积；﹙2﹚当a＝3，b＝2时，阴影部分的面积为多少？五、方程思想。
方程思想就是把未知数看成已知数，让代替未知数的字母和已知数一样参加运算，这是一种很重要的数学思想方法。
2023-2024年七年级数学上册(人教版)知识提纲
2023-2024年七年级数学上册(人教版)知识提纲
2023-2024年七年级数学上册(人教版)知识提纲如下：
一、数学基础知识
1.数与式子：整数、有理数、实数及其运算；代数式的分类与化简。
2.方程与方程组：一元一次方程的解法，二元一次方程组的解法。
3.不等式与不等式组：一元一次不等式的解法，一元一次不等式组的解法。
4.函数：平面直角坐标系，函数及其表示，一次函数的图象与性质。
二、数学思想方法
1.分类讨论思想：根据所研究对象的差异进行分类，然后逐类进行讨论，得出
结论。
2.化归思想：将复杂问题转化为简单问题，将未知问题转化为已知问题。
3.数形结合思想：利用数与形的相互对应关系解决数学问题。
4.方程思想：将实际问题转化为数学问题，通过解方程或方程组找到数学模型
的解。
5.函数思想：用函数的观点分析问题，建立数学模型，利用函数的性质解决问
题。
三、数学应用
1.利用一元一次方程解决实际问题：行程问题、工程问题、调配问题等。
2.利用一次函数解决实际问题：最值问题、优化问题等。
3.利用图形的性质解决实际问题：面积问题、体积问题等。
四、数学活动与探究
1.数学实验：通过观察、操作、实验等活动，探究数学规律和性质。
2.数学建模：根据实际问题建立数学模型，并利用数学模型解决问题。
3.数学探究：通过观察、猜想、证明等活动，探究数学规律和性质。
七年级数学(上册)集体备课经验交流讲话稿
七年级数学（上册）集体备课经验交流讲话稿各位领导、老师：大家上午好！首先感谢教育局、进修学校的领导为我们搭建了一个这样的业务交流与提升的平台，让我们聚在这里集众人智慧采众家之长。
在座的兄弟学校的老师都是教育界的行家里手，我就鲁班门前献丑了，希望能给各位起到抛砖引玉的作用。
二十年的教学生涯，使我感悟到，如果说了解学生是育人的先导，那么吃透教材则是教学的基石。
下面我就谈谈自己对最新人教版七年级数学（上册）教材的整体把握。
第一章《有理数》一、本章的主要内容：对正、负数的认识；有理数的概念及分类；相反数与绝对值的概念及求法；数轴的概念、画法及其与相反数与绝对值的关系；比较两个有理数大小的方法；有理数加、减、乘、除、乘方运算法则及相关运算律；科学记数法、近似数的概念及求法。
重点：有理数加、减、乘、除、乘方运算。
难点：混合运算的运算顺序，对结果符号的确定及对科学记数法的理解。
二、本章的地位及作用：本章的知识是本册教材乃至整个初中数学知识体系的基础，它一方面是算术到代数的过渡，另一方面是学好初中数学及与之相关学科的关键，尤其有理数的运算在整个数学及相关学科中占有极为重要的地位，可以说这一章内容是构建“数学大厦”的地基。
三、本章涉及的主要数学思想及方法：1．分类讨论的思想：主要体现在有理数的分类及绝对值一节课的教学中。
2．数形结合的思想：主要体现在数轴一节课的学习上，用数字表示数轴（图形）的形态，反过来用数轴（图形）反映数字的具体意义，达到数字与图形微观与宏观的统一，具体与抽相的结合，即用数说明图形的形象，用图形说明数字的具体，尤其利用数轴比较有理数的大小，理解相反数与绝对值的几何意义，更是直观形象。
3．转化思想：主要体现在有理数减法转化为有理数的加法，有理数的乘法转化为有理数的除法。
4．整体思想：主要体现在求一个代数式的相反数及绝对值上。
如求a b的相反数。
当然，这些拔高题放在这里也得视学生情况而定，如难掌握最好放在《整式加减》一章中，让学生整体考虑解决问题。
2019秋北师大版深圳专用数学七年级上册同步分层训练第四章专题训练(四)基本平面图形中的三种思想方法含答案
专题训练(四) 基本平面图形中的三种思想方法► 类型一 分类讨论思想1．已知∠AOB ＝70°，以O 为端点作射线OC ，使∠AOC ＝42°，则∠BOC 的度数为( ) A ．28° B ．112° C ．28°或112° D ．68°2．已知A ，B ，C 是直线l 上的三点，线段AB ＝6 cm ，且AB ＝12AC ，则BC ＝______________．3．已知A ，B ，C 三点在同一条直线上，M ，N 分别为线段AB ，BC 的中点，且AB ＝60，BC ＝40，则MN 的长为__________．4．平面上有三个点，过其中任意两个点画直线，一共可以画几条直线？5．已知∠AOB ＝60°，∠BOC ＝20°，求∠AOC 的度数．6．已知线段AB ＝10 cm ，直线AB 上有一点C ，且BC ＝2 cm ，D 是线段AB 的中点，求线段DC 的长．7．已知∠BOC在∠AOB的外部，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，OD平分∠AOC，∠AOE＝30°，∠BOD＝20°，试求∠COF的度数．8．[2017·宜黄县月考]有两根木条，一根长8 cm，一根长10 cm，将它们的一端重合，放在同一条直线上，试求此时两根木条的中点之间的距离．► 类型二 方程思想9．如图4－ZT －1，已知AC ＝56CB ，AD ＝14CB ，CD 的长为7，求AB 的长．图4－ZT －110．如图4－ZT －2，B ，C 两点把线段AD 分成2∶5∶3的三部分，M 为AD 的中点，BM ＝6 cm ，求CM 和AD 的长．图4－ZT －211．如图4－ZT－3，已知∠BOC＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝18°，求∠AOC的度数．图4－ZT－312．如图4－ZT－4，∠AOC，∠BOD都是直角，∠AOB∶∠AOD＝2∶11，求∠AOB与∠BOC的度数．图4－ZT－4►类型三整体思想13．已知：如图4－ZT－5，OM平分∠AOB(∠AOB<180°)，ON平分∠BOC.图4－ZT－5(1)当∠AOC＝90°，∠BOC＝60°时，∠MON＝________°；(2)当∠AOC＝80°，∠BOC＝60°时，∠MON＝________°；(3)当∠AOC＝80°，∠BOC＝50°时，∠MON＝________°；(4)猜想：不论∠BOC的度数是多少，∠MON的度数总等于________的度数的一半．14．如图4－ZT－6，点C在线段AB上，AC＝8 cm，BC＝6 cm，M，N分别是AC，BC的中点．(1)求线段MN的长；(2)若C为线段AB上任意一点，满足AC＋BC＝a cm，其他条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由；(3)若点C在线段AB的延长线上，且满足AC－BC＝b cm，M，N分别为AC，BC的中点，你能猜想MN 的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．图4－ZT－6详解详析1．C2．6 cm 或18 cm [解析] 分两种情况讨论：①当点B 在线段AC 上时，由AB ＝6 cm ，且线段AB ＝12AC ，得AC ＝2AB ＝12 cm.由线段的和差，得BC ＝AC －AB ＝12－6＝6(cm)；②当点B 在线段AC 的反向延长线上时，由AB ＝6 cm ，且线段AB ＝12AC ，得AC ＝2AB ＝12 cm.由线段的和差，得BC ＝AC ＋AB ＝12＋6＝18(cm)． 故答案为6 cm 或18 cm.3．50或10 [解析] (1)当点C 在线段AB 的延长线上时，如图①. 因为M ，N 分别为AB ，BC 的中点， 所以BM ＝12AB ＝30，BN ＝12BC ＝20.所以MN ＝50.(2)当点C 在线段AB 上时，如图②.同理可知BM ＝30，BN ＝20，所以MN ＝10. 故MN 的长为50或10.4．[解析] 本题没有指明三点的具体位置，因此要考虑两种不同的情况． 解：分两种情形讨论：(1)当三点不在同一条直线上时，过每两点可画1条直线，一共可画3条直线(如图①)； (2)当三点在同一直线上时，只能画1条直线(如图②)．故一共可以画1条或3条直线． 5．解：分两种情形讨论：(1)当∠BOC 在∠AOB 内部时，∠AOC ＝∠AOB －∠BOC ＝60°－20°＝40°； (2)当∠BOC 在∠AOB 外部时，∠AOC ＝∠AOB ＋∠BOC ＝60°＋20°＝80°. 故∠AOC 的度数为40°或80°.6．[解析] 由于点C 相对于A ，B 两点的位置关系不确定，所以要进行分类讨论，然后再求解． 解：分两种情形讨论：(1)当点C 在线段AB 的延长线上时，如图①所示．因为D 是线段AB 的中点， 所以DB ＝12AB ＝12×10＝5(cm)．所以DC ＝DB ＋BC ＝5＋2＝7(cm)． (2)当点C 在线段AB 上时，如图②所示．因为D 是线段AB 的中点， 所以DB ＝12AB ＝12×10＝5(cm)．所以DC ＝DB －BC ＝5－2＝3(cm)． 故线段DC 的长为7 cm 或3 cm.7．[解析] 当题目中没有给出具体的图形，而根据题设又有可能出现多种情况时，就应不重不漏地分情况加以讨论．本例∠AOB 既可大于∠BOC ，也可小于∠BOC ，故应分这两种情况进行求解．解：分两种情形讨论：(1)当∠AOB 大于∠BOC 时，如图①所示．由题意易得∠BOE ＝∠AOE ＝30°. 因为∠BOD ＝20°，所以∠DOE ＝10°，∠AOD ＝40°.因为∠COD ＝∠AOD ＝40°，∠BOD ＝20°， 所以∠BOC ＝20°. 因为OF 平分∠BOC ，所以∠COF ＝12∠BOC ＝12×20°＝10°.(2)当∠AOB 小于∠BOC 时，如图②所示．由题意易得∠BOE ＝∠AOE ＝30°. 因为∠BOD ＝20°， 所以∠AOD ＝80°.因为∠COD ＝∠AOD ＝80°，∠BOD ＝20°， 所以∠BOC ＝100°. 因为OF 平分∠BOC ，所以∠COF ＝12∠BOC ＝12×100°＝50°.故∠COF 的度数为10°或50°.8．解：设木条AB ＝8 cm ，木条CD ＝10 cm ，E 为AB 的中点，F 为CD 的中点．(1)如图①，当CD 的端点C 接在AB 的端点B 处(此时点B 与点C 重合)，且点D 在AB 的延长线上时，AD ＝AB ＋CD ＝18 cm.所以EF ＝12AB ＋12BD ＝12(AB ＋BD )＝12AD ＝12×18＝9(cm)；(2)如图②，当AB 的端点B 在CD 的端点D 处(此时点B 与点D 重合)，且点A 在CD 上时，EF ＝12CD －12AB ＝12(CD －AB )＝12×(10－8)＝1(cm)．综上可知，两根木条的中点之间的距离为1 cm 或9 cm. 9．解：设CB ＝x ，则AC ＝56x ，AD ＝14x .因为AC －AD ＝CD ，所以56x －14x ＝7，解得x ＝12.这时AC ＝56×12＝10，所以AB ＝AC ＋CB ＝22.10．解：设AB ＝2x cm ，BC ＝5x cm ，CD ＝3x cm ， 所以AD ＝AB ＋BC ＋CD ＝10x cm.因为M 为AD 的中点，所以AM ＝MD ＝12AD ＝5x cm. 所以BM ＝AM －AB ＝5x －2x ＝3x (cm)．因为BM ＝6 cm ，所以3x ＝6，解得x ＝2.故CM ＝MD －CD ＝5x －3x ＝2x ＝2×2＝4(cm)，AD ＝10x ＝10×2＝20(cm)．11．[解析] 此题比较复杂，难以理清角之间的关系，而通过设未知数，寻找相等关系，运用方程知识，则问题可迅速获解．解：设∠AOC 的度数为x °，则∠BOC 的度数为(2x )°，∠AOB 的度数为(3x )°.因为OD 平分∠AOB ，所以∠AOD ＝(32x )°. 根据∠AOD －∠AOC ＝∠COD ，列方程32x －x ＝18，解得x ＝36.即∠AOC 的度数为36°. 12．解：设∠AOB ＝2x °，则∠AOD ＝11x °.根据题意，得2x ＋90＝11x ，解得x ＝10.所以∠AOB ＝20°.所以∠BOC ＝90°－20°＝70°.13．(1)45 (2)40 (3)40 (4)∠AOC14．解：(1)因为M ，N 分别是AC ，BC 的中点，所以MC ＝12AC ＝12×8＝4(cm)，NC ＝12BC ＝12×6＝3(cm)． 所以MN ＝MC ＋NC ＝4＋3＝7(cm)．(2)能．猜想：MN ＝12a cm.理由如下：因为M ，N 分别是AC ，BC 的中点，所以MC ＝12AC ，NC ＝12BC . 所以MN ＝MC ＋NC ＝12AC ＋12BC ＝12(AC ＋BC )＝12a cm. (3)能．画图如下：结论：MN ＝12b cm. 理由如下：因为M ，N 分别是AC ，BC 的中点，所以MC ＝12AC ，NC ＝12BC . 所以MN ＝MC －NC ＝12AC －12BC ＝12(AC －BC )＝12b cm.。
线段、角中的分类讨论思想(人教版七年级上册数学)
第 1 页 共 1 页 “线段、角”中的分类讨论思想当题目中没有给出具体的图形，而根据题意又可能出现多种情况，解题时需根据题意画出示意图，再利用图形的直观性不重、不漏地分情况讨论.例1 已知C 为线段AB 的中点，点D 在直线AB 上，并且满足AD=2BD ，若CD=6 cm ，求线段AB 的长. 解析：题目中没有给出图形，需先根据条件画出图形，再根据图形计算，画图时会发现有两种情况：点D 在线段AB 上，如图1，设BD=x cm ，则AD=2x cm ，根据AB=AD+BD=2x+x ，再由点C 为线段AB 的中点，可得BC=21AB ，由CD ＝BC−BD ＝23x−x ＝6，可得x=12，所以AB=3x=36（cm ）；点D 在线段AB 的延长线上，如图2，设BD=x cm ，AD=2BD ，可得BD=AB=x cm ，根据点C 为线段AB 的中点，可得BC=21AB=21x cm ，由CD=BC+BD=21x+x=6 cm ，可得x=4，所以AB=4 cm ． 综上所述，线段AB 的长为4 cm 或36 cm ．例2 已知∠AOB=80°，射线OC 在∠AOB 内部，且∠AOC=20°，∠COD=50°，射线OE ，OF 分别平分∠BOC ，∠COD ，则∠EOF 的度数是___________．解析：根据题意，可知分OD 在∠AOB 内和OD 在∠AOB 外两种情况，画出图形，根据角的和差关系和角平分线的定义求解．如图3，OD 在∠AOB 内.因为∠AOB=80°，∠AOC=20°，所以∠BOC=60°.因为OE 平分∠BOC ，所以∠EOC=30°.因为OF 平分∠COD ，∠COD=50°，所以∠FOC=25°.所以∠EOF=∠EOC-∠COF=5°.如图4，OD 在∠AOB 外.因为∠AOB=80°，∠AOC=20°，所以∠BOC=60°.因为OE 平分∠BOC ，所以∠EOC=30°.因为OF 平分∠COD ，∠COD=50°，所以∠FOC=25°.所以∠EOF=∠EOC+∠COF=30°+25°=55°．综上，∠EOF 的度数是5°或55°．故填5°或55°．。
七年级上册数轴分类讨论
七年级上册数轴分类讨论
在解决数轴上的问题时，有时需要进行分类讨论。
以下是一些可能需要进行分类讨论的数轴问题：
1. 点在数轴上的移动：当一个点在数轴上移动时，可能需要讨论它向左还是向右移动，以及移动了多少个单位。
根据不同的移动方向和距离，点的位置会发生变化，从而影响问题的解决。
2. 数轴上两点之间的距离：当需要计算数轴上两点之间的距离时，可能需要讨论这两点的相对位置。
如果一点在另一点的左侧，那么距离就是两点之间的差的绝对值；如果一点在另一点的右侧，那么距离就是两点之和的绝对值。
3. 数轴上的区间问题：当涉及数轴上的区间时，可能需要讨论区间是开区间还是闭区间，以及区间端点的取值。
不同的区间类型和端点取值会影响区间内元素的数量和性质。
4. 数轴上的最值问题：当需要找到数轴上的最大值或最小值时，可能需要讨论数轴上元素的范围和性质。
例如，如果数轴上的元素都是正数，那么最大值就是所有元素中最大的那个；如果数轴上的元素既有正数又有负数，那么最大值可能是正数中的最大值或0。
以上是一些可能需要进行分类讨论的数轴问题。
需要注意的是，具体的分类讨论方法会根据问题的具体情况而有所不同。
因此，在解决数轴问题时，需要认真审题，理解问题的要求，并根据问题的特点选择合适的分类讨论方法。
人教版七年级数学上册知识点思维导图及总结
人教版七年级数学上册知识点思维导图及总结 人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容.第一章 有理数一、知识框架二．知识概念1.有理数：(1)凡能写成)0p q ,p (pq ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；?不是有理数；(2)有理数的分类: ① ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a 、b 互为相反数.4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2) 绝对值可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a (a )0a (0)0a (a a 或⎩⎨⎧<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论； 5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0.6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a1；若ab=1? a 、b 互为倒数；若ab=-1? a 、b 互为负倒数.7. 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数.8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）.9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）.10 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零； （3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.11 有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）；（3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac .12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0a .13．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 或(a -b)n =-(b-a)n , 当n 为正偶数时: (-a)n =a n 或 (a-b)n =(b-a)n .14．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；15．科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减.本章内容要求学生正确认识有理数的概念，在实际生活和学习数轴的基础上，理解正负数、相反数、绝对值的意义所在。
北师大版(2024新版)七年级数学上册习题练课件：应用题中的分类讨论思想
（3）在“元旦”期间，该商场针对甲、乙两种商品进行如下优惠促销活动：
一次性购物总金额
优惠措施
不超过450元
不优惠
超过450元，但不超过600元
按售价打9折优惠
超过600元
其中600元部分打8.2折优惠，超过600元
的部分打3折优惠
按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，则小华在
该商场购买乙种商品多少件？
3.某商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润率为50%；
乙种商品每件进价50元，售价80元。
%
40
（1）甲种商品每件进价为____元，乙种商品的利润率为______。
【解析】 设甲种商品每件进价为元，则60 − = 50%，解得 = 40。
故甲种商品每件进价为40元。乙种商品的利润率为 80 − 50 ÷ 50 = 60%。
解得 = > ，不符合题意；
当7月份用水超过 但不超过 时，
根据题意，得 × + − + × + × + ( − − ) = ，
解得 = ，符合题意，此时 − = 。
所以该用户7月份用水 ，8月份用水 。
（2）若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2 100元，
则分别购进甲、乙两种商品多少件？
解：设购进甲种商品件，则购进乙种商品 − 件，
由题意，得 + − = ，
解得 = ，则 − = 。
故购进甲种商品40件，乙种商品10件。
根据题意，得 − = ，
解得 = ，则 = 。
答：小明的速度为 /，爸爸的速度为 /。
湘教版七年级上册数学(XJ) 复习资料 专题复习 都2章 整式加减例题与解析
整式的加法和减法1．合并同类项(1)同类项的概念所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的项叫做同类项．常数项与常数项是同类项．如－2ab2与3ab2是同类项，5与－8是同类项．(2)同类项的辨析①判断两个项是不是同类项，要确保“两个相同”：一是所含字母相同；二是相同字母的次数也分别相同，二者缺一不可．②判断两个项是不是同类项，要明确“两个无关”：一是同类项与各项的系数的大小无关；二是同类项与各项所含字母的排列顺序无关．例如：2a2b3与－3b3a2是同类项；而2a2b3与5a3b2却不是同类项，因为相同的字母的次数不同．③特别地，所有的常数项都是同类项，一个项的同类项有无数个，每个项本身也是它的同类项．(3)合并同类项的概念把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．(4)合并同类项的法则同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的次数不变．例如：4ab2－ab－6ab2＝4ab2－6ab2－ab＝(4－6)ab2－ab＝－2ab2－ab.注意：①合并同类项之前要先判断出哪些项是同类项，当项数很多时，我们通常在同类项下面作上相同的标记．如x3－x2y＋xy2＋x2y－xy2＋y2，这样合并时就一目了然了．②合并同类项，只是系数上的变化，字母与字母的次数不变，不能将字母的次数相加；法则可简单概括为“一相加”、“两不变”，即系数相加、字母和字母的次数不变．③合并同类项的依据是加法交换律、结合律及乘法分配律．④两个同类项合并后的结果与原来的两个单项式仍是同类项或者是0；系数相加时要带上符号；系数相加得0时，结果为0.析规律合并同类项的口诀合并同类项，法则不能忘，只求系数和，字母次数不变样．【例1－1】下列合并同类项正确的是( )．A．3x＋2x＝5x2B．7a2－5a2＝2C．3x2＋4x2＝7x4D．8a2b－8ba2＝0解析：A错误，应为3x＋2x＝5x；B错误，应为7a2－5a2＝2a2；C错误，应为3x2＋4x2＝7x2；D正确，合并同类项仅仅是系数相加(合并)，字母和字母的次数不变，再者不能违背运算法则把字母及次数漏掉了．答案：D【例1－2】判断下列各组是不是同类项：(1)0.2x2y与0.2xy2；(2)4abc与4ac；(3)－(a＋b)3与2(a＋b)3；(4)－105与15；(5)4与a；(6)－5m3n2与4n2m3.分析：根据同类项的定义判断．同类项所含字母相同，并且相同字母的次数也相同．二者缺一不可，与其系数无关，与其字母顺序无关．第(1)题相同字母的次数不同；第(2)题所含字母不同；第(3)题将(a＋b)看作一个整体，次数也相同，所以是同类项；第(4)题两个常数项是同类项；第(5)题所含字母不同；第(6)题相同字母的次数相同，所以是同类项．解：(3)(4)(6)是同类项；(1)(2)(5)不是同类项．2.去括号、添括号(1)去括号法则①如果括号前面是“＋”号，去括号时括号内的各项都不改变符号．如：＋(a＋b－c)＝a＋b－c.②如果括号前面是“－”号，去括号时括号内的各项都改变符号．如：－(a＋b－c)＝－a－b＋c.(2)添括号法则①所添括号前面是“＋”号，括到括号内的各项都不改变符号．如：a＋b－c＝a＋(b－c)，a－b－c＝a＋(－b－c)．②所添括号前面是“－”号，括到括号内的各项都改变符号．如：a＋b－c＝a－(－b＋c)，a－b－c＝a－(b＋c)．(3)对法则的理解①可把去括号看成是乘法对加法的分配律的特例．②去括号时若括号前面有数字因数，常先把数字因数与括号内各项相乘，然后再去括号，注意不要漏乘括号内的常数项．③有多重括号时，一般按从小括号到大括号的顺序进行．④不论是去括号还是添括号，如果括号前面是负号，都要改变括号内各项的符号．⑤去括号和添括号都是改变了式子的形式，不改变原式的值．⑥去括号和添括号是两种相反的过程，可以互相检验正误．【例2－1】先去括号，再合并同类项：x－y－(x＋y)．分析：括号前面是负号，去括号时，括号内的各项都变号，所以－(x ＋y)＝－x－y.在去括号时，不要忽略了括号前面的负号，导致错误结果．解：原式＝x－y－x－y＝－2y.【例2－2】按下列要求，把多项式3x3－5x2－3x＋4添括号：(1)把多项式后三项括起来，括号前面带有“＋”号；(2)把多项式的前两项括起来，括号前面带有“－”号；(3)把多项式后三项括起来，括号前面带有“－”号；(4)把多项式中间的两项括起来，括号前面带有“－”号．分析：(1)题把后三项括起来，即把－5x2，－3x，＋4括起来，括号前面带有“＋”号，因此把－5x2，－3x，＋4括到括号内时不变号；(2)题要求把多项式的前两项括起来，即把3x3，－5x2括起来，括号前面带有“－”号，把3x3，－5x2括到括号内时都要变号．(3)题、(4)题可进行类似地分析．解：(1)3x3－5x2－3x＋4＝3x3＋(－5x2－3x＋4)；(2)3x3－5x2－3x＋4＝－(－3x3＋5x2)－3x＋4；(3)3x3－5x2－3x＋4＝3x3－(5x2＋3x－4)；(4)3x3－5x2－3x＋4＝3x3－(5x2＋3x)＋4.3．整式加减(1)多项式的升幂排列、降幂排列①多项式的升幂排列多项式按某个字母的次数从小到大依次排列，这种排列叫做关于这个字母的升幂排列．如多项式－1＋3x＋5x2－2x3就是按字母x的升幂排列．②多项式的降幂排列多项式按某个字母的次数从大到小依次排列，这种排列叫做关于这个字母的降幂排列．如多项式－2x3＋5x2＋3x－1就是按字母x的降幂排列．(2)对多项式的升幂排列、降幂排列的理解①升幂(或降幂)排列只针对某一字母的次数，而不是单项式的次数．②升幂(或降幂)排列后的常数项放在最前(或最后)．③多项式的升幂(或降幂)排列就是根据加法交换律按某一字母的升幂(或降幂)将各项交换位置，这种排列只是使式子变形而不改变多项式的值．④变更项的位置时，不要漏掉项的符号，尤其是“－”号．原首项省略的“＋”号交换到后面时要添上．⑤含有两个或两个以上字母的多项式，常常按照其中某一字母升幂(或降幂)排列．例如：多项式xy2－x4－y4－3x2y3－2x3y按x的升幂排列为－y4＋xy2－3x2y3－2x3y－x4；按y的升幂排列为－x4－2x3y＋xy2－3x2y3－y4.(3)整式加减①整式加减实质上就是去括号、合并同类项．②几个整式相加减，如果有括号，那么先去括号；如果有同类项，再合并同类项．③注意事项：(ⅰ)几个整式相减，第一个整式作为被减式出现可以不加括号，但其余的减式一定要加括号．(ⅱ)整式加减的结果是单项式或者是没有同类项的多项式．【例3－1】把多项式6＋2x4－x2＋7x3按x的降幂排列．分析：将多项式按x的降幂排列就是根据加法交换律按x的指数由大到小将各项交换位置，各项的符号都不改变．这种排列只是使式子变形而不改变多项式的值．解：6＋2x4－x2＋7x3＝2x4＋7x3－x2＋6.【例3－2】求多项式－x3－2x2＋3x－1与－2x2＋3x－2的差．分析：多项式相减，减数必须加括号，因为多项式是一个整体．解：(－x3－2x2＋3x－1)－(－2x2＋3x－2)＝－x3－2x2＋3x－1＋2x2－3x＋2＝－x3＋1.4．整式加减的类型整式加减的实质虽然是去括号和合并同类项的综合应用，但有关的题型却丰富多彩，常见的题型有：(1)求几个单项式的和(2)求几个多项式的和或差求几个多项式的和或差，首先用括号把每一个多项式括起来，并用加号或减号连接，然后按照去括号、合并同类项的法则进行计算．注意：求两个多项式的差，后面的多项式是减式，一定要加括号．(3)求用字母表示的整式加减求用字母表示的整式加减，有需要化简的首先将其化简，然后再将字母表示的多项式整体代换列式，再去括号、合并同类项．(4)利用分配律的整式加减在整式加减中，如果括号前面有乘数，那么首先利用分配律去括号，然后再合并同类项．必须注意：①不能漏乘；②如果乘数的前面是负号，去括号后原来的各项要改变符号．(5)含有多重括号的整式加减整式加减算式中含有多重括号，一般是先去小括号，这时如果有同类项，那么应合并同类项，这样可简化计算；然后再去中括号，最后去大括号．谈重点整式加减运算的结果的书写形式的要求(1)结果一般按照某个字母的降幂或升幂排列．(2)每一项的数字系数写在字母前面．(3)系数是带分数，带分数要化成假分数．(4)结果中一般不再有括号．【例4－1】求单项式5x2y,2xy2，－2x2y，－6xy2的和．分析：先将所有单项式用加号连接，写成和的形式；然后去括号，再合并同类项．解：5x2y＋2xy2＋(－2x2y)＋(－6xy2)＝5x2y＋2xy2－2x2y－6xy2＝3x2y－4xy2.【例4－2】求多项式－8a2b＋3ab2与多项式－2a2b＋5ab2的差．分析：求两个多项式的差，应把两个多项式各视为一个整体，用减号将两个多项式连接起来，再进行整式加减．解：(－8a2b＋3ab2)－(－2a2b＋5ab2)＝－8a2b＋3ab2＋2a2b－5ab2＝－6a2b－2ab2.【例4－3】已知A＝－3x3＋2x2－1，B＝x3－2x2－x＋4.求2A－(A－B)．分析：首先将用字母表示的整式化简，然后再将字母表示的多项式代入，再去括号、合并同类项．解：2A－(A－B)＝2A－A＋B＝A＋B＝(－3x3＋2x2－1)＋(x3－2x2－x＋4)＝－3x3＋2x2－1＋x3－2x2－x＋4＝－2x3－x＋3.【例4－4】化简(3a2b－13b2)－3(a2b＋2b2)．分析：括号前面有数字因数，应先把数字因数与括号内各项相乘，然后再去括号，即－3(a2b＋2b2)＝－(3a2b＋6b2)＝－3a2b－6b2.本题易错点是应用乘法对加法的分配律时，2b2这一项漏乘了－3.本题也可将括号外的“－3”看成一个整体，利用乘法对加法的分配律一次性去括号，即－3(a2b＋2b2)＝－3a2b－6b2.解：(3a2b－13b2)－3(a2b＋2b2)＝3a2b－13b2－3a2b－6b2＝－19b2.【例4－5】计算：2x2－{－4x2－[2x2－(－x2－3x)＋(x－6x2)]}．分析：算式中如果含有多重括号，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号．解：2x2－{－4x2－[2x2－(－x2－3x)＋(x－6x2)]}＝2x2－[－4x2－(2x2＋x2＋3x＋x－6x2)]＝2x2－[－4x2－(－3x2＋4x)]＝2x2－(－4x2＋3x2－4x)＝2x2－(－x2－4x)＝2x2＋x2＋4x＝3x 2＋4x.5.代数式的化简求值已知代数式和代数式中字母的取值，求代数式的值，一般不要直接将字母的取值代入代数式，而应该先将代数式进行化简，然后再代入求值(有时往往要用到整体思想)．若直接代入，解题繁琐，不可取，请同学们注意．含多层括号的整式加减实质上就是去括号、合并同类项的化简过程，化简多项式时，如果题中含有多重括号，可由里往外逐层去括号，也可由外往里逐层去括号，但是要注意内层括号看成一项来处理．代数式化简的结果，如果是一个常数，则原代数式的取值就与字母的取值无关．【例5－1】 先化简，再求值：12x －2⎝⎛⎭⎪⎫x －13y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ＋13y 2，其中x ＝－2，y ＝23. 解：12x －2⎝⎛⎭⎪⎫x －13y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ＋13y 2 ＝12x －2x ＋23y 2－32x ＋13y 2 ＝－3x ＋y 2.当x ＝－2，y ＝23时，原式＝－3×(－2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝6＋49＝649. ：代入求值时，要适当地添上括号，式子－3x ＋y 2中，x 用－2，y 用23代替，－3x 应是－3×(－2)，y 2应是⎝ ⎛⎭⎪⎫232，否则容易产生计算错误．6．深入理解同类项以及合并同类项的意义根据同类项的概念求整式的未知次数是一个重点题型，解决此类问题主要根据同类项的相同字母的指数相同构造关系式．注意解决本题时所体现的方程思想与分类讨论的思想．考查方式主要有以下两种：①直接告诉两个单项式是同类项；②间接告诉两个单项式是同类项，例如告诉两个单项式的和是单项式，两个单项式能够合并为一项等．析规律合并同类项的顺序只有同类项才能合并，非同类项不能合并．所以如果两个单项式能够合并为一项，则这两个单项式一定是同类项．解决此类问题时，一定要先求容易计算的单项式的次数，不容易计算的单项式的次数或者需要借助另一个未知数才能计算的单项式的次数可以放在最后计算．【例6－1】如果(Ax2－2xy＋y2)－(－x2＋Bxy＋2y2)＝5x2－10xy＋Cy2成立，那么A，B，C的值依次为( )．A．4，－8，－1 B．－4，－8，－1C．4,8，－1 D．4,8,1解析：(Ax2－2xy＋y2)－(－x2＋Bxy＋2y2)＝Ax2－2xy＋y2＋x2－Bxy－2y2＝(A＋1)x2－(2＋B)xy－y2.又因为(Ax2－2xy＋y2)－(－x2＋Bxy＋2y2)＝5x2－10xy＋Cy2，所以(A＋1)x2－(2＋B)xy－y2＝5x2－10xy＋Cy2.则A＋1＝5,2＋B＝10，C＝－1，即A＝4，B＝8，C＝－1.答案：C【例6－2】若a4b3与3a m－1b n是同类项，－2a－1b n是同类项，则x＝__________，y＝__________.答案：4 ±3【例6－3】若2－1y2与－x2y n的和是单项式，必须要求这两个单项式是同类项，根据同类项的意义可知“相同字母的指数分别相同”可得：m －1＝2，即m＝3.又知n＝2，所以(－m)n＝(－3)2＝9.答案：97.整式加减中数学思想的应用学习整式的加减，不仅要熟练地掌握运算法则进行整式的加减运算，而且还要了解其中蕴涵的数学思想方法．(1)分类讨论思想分类讨论思想就是根据问题可能存在的情况，进行分类讨论，防止出现漏解的一种数学思想方法．(2)由特殊到一般的思想(3)化归转化思想化归转化思想就是将需要研究和解决的新问题变为已经学过的老问题来处理的一种数学思想．陌生问题熟悉化，复杂问题简单化，抽象问题具体化，就是化归转化思想的具体表现．解决此类问题时，分层、分阶梯的分析、思考是一种很好的解题途径．【例7－1】若多项式2＋1是六次二项式，试求3n2＋2m－5的值．分析：求代数式3n2＋2m－5的值，必须根据条件求出n和m的值．从表面上看所给的多项式2＋1有三项，这就说明某两项是相同的，显然2x n －1和x n不可能是一项．解：由多项式2＋1是六次二项式，分两种情况讨论：若－＋1的次数也是六次，则n＝6，m＋1＝6，解得n＝6，m＝5，所以3n2＋2m－5＝3×62＋2×5－5＝113.若－＋1的次数是五次，则n＝6，m＋1＝5，解得n＝6，m＝4，所以3n2＋2m－5＝3×62＋2×4－5＝111.【例7－2】已知代数式x2－4x＋1的值是3，求代数式3x2－12x－1的值．分析：若从已知条件出发先求出x的值，再代入计算，目前来说是不可能的．因此可把x2－4x看作一个整体，采用整体代入法，则问题可迎刃而解．解：因为x2－4x＋1＝3，所以x2－4x＝2.所以3x2－12x－1＝3(x2－4x)－1＝3×2－1＝5.。
(完整版)人教版初一数学知识点总结
七年级数学（上）知识点人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容.第一章 有理数一． 知识框架二．知识概念1.有理数：(1)凡能写成)0p q ,p (pq ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数；(2)有理数的分类: ① ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)相反数的和为0 ⇔ a+b=0 ⇔ a 、b 互为相反数.4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2) 绝对值可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a (a )0a (0)0a (a a 或⎩⎨⎧<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论；5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0.6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a 1；若ab=1⇔ a 、b 互为倒数；若ab=-1⇔ a 、b 互为负倒数.7. 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数.8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）.9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）. 10 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.11 有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）；（3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac .12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0a . 13．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 或(a -b)n =-(b-a)n , 当n 为正偶数时: (-a)n =a n 或 (a-b)n =(b-a)n .14．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；15．科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减.本章内容要求学生正确认识有理数的概念，在实际生活和学习数轴的基础上，理解正负数、相反数、绝对值的意义所在。
部编数学七年级上册专题10线段中的动点问题与数学思想专题讲练(解析版)含答案
专题10 线段中的动点问题与数学思想 专题讲练线段有关的动点问题（数轴动点题）是人教版七年级上学期压轴题，而四种数学思想则一直贯穿我们整个中学数学的学习，站在中考的角度看数学思想的重要性甚至超过线段的动点问题。
本本专题主要介绍线段相关的动点问题（与中点、和差倍分结合的动点问题；存在性（探究性）问题；阅读理解（新定义）等）和四种数学思想（分类讨论思想、整体思想、数形结合思想、方程思想）。
1、知识储备考点1. 线段中点有关的动点问题考点2. 线段和差倍分关系中的动点问题考点3. 线段上动点问题中的存在性（探究性）问题考点4. 阅读理解型（新定义）问题考点5. 分类讨论思想考点6. 数形结合思想考点7. 整体思想考点8. 方程思想2、经典基础题3、优选提升题1.在与线段长度有关的问题中，常常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设x 列方程；2.线段等量代换模型：若FG EH =，则HG FG HG EH ±=±，即FHEG =3.定和型中点模型：若M ，N 分别是AC ，BC 的中点，则AB MN 21 线段的动点问题解题步骤：1.设入未知量t 表示动点运动的距离；2.利用和差（倍分）关系表示所需的线段；3.根据题设条件建立方程求解；4.观察运动位置可能的情况去计算其他结果。
考点1. 线段中点有关的动点问题变式1．（2022·贵州铜仁·七年级期末）如图1，已知点C 在线段AB 上，线段AC ＝10厘米，BC ＝6厘米，点M ，N 分别是AC ，BC 的中点．（1）求线段MN 的长度．（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC ＝a ，BC ＝b ，其他条件不变，求MN 的长度．（3）动点P 、Q 分别从A 、B 同时出发，点P 以2cm /s 的速度沿AB 向右运动，终点为B ，点Q 以1cm /s 的速度沿AB 向左运动，终点为A ，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动．设点P 的运动时间为t （s ）．当C 、P 、Q 三点中，有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点时，直接写出时间t ．变式1．（2022·广东·七年级期中）如图，已知数轴上点A 表示的数为8，B 是数轴上一点，且14AB =，动点P 从点A 出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t (0)t >秒：（1）写出数轴上点B 表示的数为______，点P 表示的数为______ （用含t 的代数式表示）；（2）动点Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P 、Q 同时出发，问点P 运动多少秒时追上点Q ？（3）若M 为AP 的中点，N 为PB 的中点，点P 在运动的过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN 的长．【答案】（1）-6，84t -；（2）点P 运动7秒时追上点Q ；（3）线段MN 的长度不发生变化，其值为7【分析】（1）根据点A 表示的数和AB 的长度即可求解；（2）根据题意列出方程4214t t =+，求解即可；（3）分类讨论即可：①当点P 在点A 、B 两点之间运动时，②当点P 运动到点B 的左侧时，根据中点的定义即可求解．【详解】（1）解：∵数轴上点A 表示的数为8，且14AB =，∴点B 表示的数为6-，点P 表示的数为84t -，故答案为：-6，84t -；（2）设点P 、Q 同时出发，点P 运动时间t 秒追上Q ，依题意得，4214t t =+，解得7t =，∴点P 运动7秒时追上点Q ；（3）线段MN 的长度没有发生变化都等于7；理由如下：①当点P 在点A 、B 两点之间运动时：MN MP NP =+1122AP BP =+1()2AP BP =+12AB =1142=´7=，②当点P 运动到点B 的左侧时：MN MP NP=-1122AP BP=-1()2AP BP=-12AB=7=，∴线段MN的长度不发生变化，其值为7．【点睛】本题考查数轴上的动点问题，掌握中点的定义、一元一次方程的应用是解题的关键．考点2. 线段和差倍分关系中的动点问题例1．（2022·江苏镇江·七年级期末）如图，线段28AB=厘米，点D和点C在线段AB上，且:5:2AC BC=，:1:4DC AB=．点P从点A出发以4厘米/秒的速度沿射线AD向点C运动，点P到达点C 所在位置后立即按照原路原速返回，到达点D所在位置后停止运动，点Q从点B出发以1厘米/秒的速度沿着射线BC的方向运动，点Q到达点D所在的位置后停止运动．点P和点Q同时出发，点Q运动的时间为t秒．（1）求线段AD的长度；（2）当点C恰好为PQ的中点时，求t的值；（3）当7PQ=厘米时，求t的值．变式1．（2022·天津和平·七年级期末）如图，直线l上有A，B两点，AB＝12cm，点O是线段AB上的一点，OA＝2OB．（1）则OA＝ cm，OB＝ cm；（2）若点C是线段AB上一点（点C不与点A、B重合），且满足AC＝CO+CB，求CO的长；（3）若动点P从点A出发，动点Q从点B同时出发，都向右运动，点P的速度为2cm/s．点Q的速度为1cm/s，设运动时间为t（s）（其中t≥0）．①若把直线l看作以O为原点，向右为正方向的一条数轴，则t（s）后，P点所到的点表示的数为 ；此时，Q点所到的点表示的数为 ．（用含t的代数式表示）②求当t为何值时，2OP﹣OQ＝4（cm）．变式2．（2022·四川成都·七年级期末）如图，已知点C在线段AB上，AB=20，BC=13AC，点D，E在射线AB上，点D在点E的左侧．(1)DE在线段AB上，当E为BC中点时，求CE的长；(2)在（1）的条件下，点F在线段AB上，CF=3，求EF的长；(3)若AB=2DE，线段DE在射线AB上移动，且满足关系式4BE=3（AD+CE），求CDAC的值．考点3. 线段上动点问题中的存在性（探究性）问题例1．（2022·广西桂林·七年级期末）如图，在直线AB 上，线段24AB =，动点P 从A 出发，以每秒2个单位长度的速度在直线AB 上运动．M 为AP 的中点，N 为BP 的中点，设点P 的运动时间为t 秒．(1)若点P 在线段AB 上的运动，当10PM =时，PN = ；(2)若点P 在射线AB 上的运动，当2PM PN =时，求点P 的运动时间t 的值；(3)当点P 在线段AB 的反向延长线上运动时，线段AB 、PM 、PN 有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由．【点睛】本题主要考查了点的运动和线段之间的关系，熟练掌握几何的基础知识是解答本题的关键．变式1．（2022·湖北青山区·七年级期中）已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0.（1）m＝ ，n＝ ；（2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动．①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长；②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E 是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）m=12，n= 4；（2）① MN=8，②在整个运动的过程中，FC-5 DE的值为定值，且定值为0．【分析】（1）由绝对值和平方的非负性，即可求出m、n的值；（2）①由题意，则MN=CM+CD+DN，根据线段中点的定义，即可得到答案；②设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a，然后列出方程，求出a=2，然后分情况进行分析，求出每一种的值，即可得到答案．【详解】解：（1）∵|m－12|＋（n－4）2＝0，∴m－12=0，n－4=0，∴m=12，n=4；故答案为：12；4．（2）由题意，①∵AB=12，CD=4，∵M是线段AC的中点，N是线段BD的中点∴AM=CM=12AC ，DN=BN=12BD∴MN=CM+CD+DN=12AC+CD+12BD=12AC +12CD+12BD+12CD=1 2(AC +CD+BD)+12CD=12(AB +CD)=8；②如图，设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a，依题意有：81013231a a+++=++解得：a=2在整个运动的过程中：BD=2t，BC=4+2t，∵E是线段BC的中点∴CE= BE=12BC=2+t；Ⅰ．如图1，F，C相遇，即t=2时F，C重合，D，E重合，则FC=0，DE=0∴FC-5 DE =0；Ⅱ．如图2，F，C相遇前，即t<2时FC =10-5t，DE =BE-BD=2+t-2t=2-t∴FC-5 DE =10-5t -5（2-t）=0；Ⅲ．如图3，F，C相遇后，即t＞2时FC =5t-10，DE = BD - BE=2t –(2+t)= t-2∴FC-5 DE =5t-10 -5（t-2）=0；综合上述：在整个运动的过程中，FC-5 DE的值为定值，且定值为0．【点睛】本题考查了线段中点的定义，线段的和差倍分的关系，一元一次方程的应用，绝对值的非负性等知识，解题的关键是熟练掌握线段的中点定义进行解题，注意运用分类讨论的思想进行分析．考点4. 阅读理解型（新定义）问题例1．（2022·北京市第七中学七年级期中）如图1，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC=2BC 时，则称点C是线段AB的内二倍分割点；如图2，如果BC=2AC时，则称点C是线段BA的内二倍分割点．例如：如图3，数轴上，点A、B、C、D分别表示数-1、2、1、0，则点C是线段AB的内二倍分割点；点D 是线段BA内二倍分割点．（1）如图4，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为-2，点N所表示的数为7．MN的内二倍分割点表示的数是；NM的内二倍分割点表示的数是．（2）数轴上，点A所表示的数为-30，点B所表示的数为20．点P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t（t>0）秒．①线段BP的长为；（用含t的式子表示）②求当t为何值时，P、A、B三个点中恰有一个点为其余两点的内二倍分割点．变式1．（2022·河南南阳·七年级期中）如图一，点C在线段AB上，图中有三条线段AB、AC和BC，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．（1）填空：线段的中点这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”）-和40，点C是线段AB的巧点，求点C在【问题解决】（2）如图二，点A和B在数轴上表示的数分别是20数轴上表示的数。
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分类讨论思想
在数学中,如果一个命题的条件或结论不唯一确定,有多种可能情况,难以统一解答,就需要按可能出现的各种情况分门别类的加以讨论,最后综合归纳出问题的正确答案,这种解题方法叫做分类讨论。
在分类讨论的问题中有三个重要的注意事项。
1. 什么样的题会出现分类讨论思想--往往是在题目中的基本步骤中出现了“条件不确定，无法进行下一步”(如几何中，画图的不确定；代数中，出现字母系数等)。
2. 分类讨论需要注意什么----关键是“不重、不漏”，特别要注意分类标准的统一性。
3. 分类讨论中最容易错的是什么--总是有双重易错点“讨论有重漏，讨论之后不检验是否合题意”。
【例1】 解方程：|x-1|=2
【例2】
【例3】 试比较1+a 与1-a 的大小。
【例4】。
【例5】 已知线段AB 长度为6cm ，点C 在直线AB 上，且AC=2cm ，求BC 的
长度。
【例6】
【例7】 一张桌子有四个角，砍掉一只角后，还剩几个角
【例8】 已知△ABC 周长为20cm ，AB=AC ，其中一边边长是另一边边长的2
倍，BC 长多少？
【例9】
【例6】 富城书店推出售书优惠方案：①一次性购书不超过100元，不享受优惠；②一次性购书超过100元，但不超过200元，一律打九折；③一次性购书超过200元，一律打八折。
如果小明一次性购书 付款162元，那么小明所购书的价格为多少。
练习题
1.解方程：（1）|x+4|=3 （2）22)3(-=a
2.|a|+a 的值的情况讨论。
3. 如果a 、b 、c 是非零有理数，求c
c b b a a -+的值
5.数轴上有A 、B 两点,若A 点对应的数是-2,且A 、B 两点的距离为3,则点B 对应的数为多少（画图表示）。
6.平面内有四点，经过两点可画多少条直线。
7.平面内有三条直线,它们可能有几个交点
8. 已知∠A0B=120o ，∠BOC=30o ，则∠AOC 为多少。
9.已知直线AB 上一点C ，且有CA=3AB ，则线段C A ︰CB
9.在一条直线上顺次取A、B、C三点，已知AB＝5cm，点O是线段AC的中点，且OB=1.5cm，求线段BC的长。
10. 已知△ABC周长为18cm，AB=AC，其中一边边长比另一边边长大3cm，BC长多少
11.在同一平面上，∠AOB=70°，∠BOC=30°，射线OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，则
∠MON
12. A、B两地相距480千米,一列慢车从A地开出,每小时行60千米,一列快车从B地开出,每小时行65千米,慢车先开出1小时,两车相向而行,慢车开出x小时后,两车相距100千米,则列方程为
甲班分两次共购买苹果70kg（第二次多于第一次），共付189元，则甲班第一次，第二次分别购买苹果多少千克。