常见离散型随机变量的分布

P(X = k) = C p (1− p)
k n k
n−k
k = 0,1,2,..., n
所服从的分布为二项分布 称X所服从的分布为二项分布 所服从的分布为二项分布. 记为 X~B(n,p)或X~b(n,p). 或
二项分布X的分布列表（q=1-p)
X P 0 qn 1 1 C n pq n −1 L L k C nk p k q n − k L L n pn
第四节 常见离散型随机变量的分布
一、两点分布 二、二项分布
三、泊松分布 四、几何分布
一、两点分布
在一次伯努利试验中，若成功率为 在一次伯努利试验中，若成功率为p ， 成功的次数X的分布为 成功的次数 的分布为
P( X = k ) = p k (1 − p )1− k , (k = 0,1)
则称X 服从参数为p的两点分布， 则称 服从参数为 的两点分布， 或参数为p的 分布 分布. 或参数为 的0-1分布
P( X = k ) = p(1 − p ) k −1 , (k = 1, 2,L)
则称X服从几何分布， 则称 服从几何分布，记作 X ~ Ge( p ) 服从几何分布
几何分布的分布列
X pk
1 2 p qp
L
L
k
L
q k −1 p L
, p + q = 1,
说明 几何分布可作为描述某个试验 “首次成功” 首次成功” 的概率模型. 的概率模型
= 1 − 0.9999
二项分布
1000
−C
1 1000
⋅ 0.0001⋅ 0.9999
泊松分布
999
np → λ ( n → +∞ )
三、泊松分布
设随机变量所有可能取 的值为 0, 1, 2, L , 而取各个 值的概率为 k! 其中 λ > 0 是常数.则称 X 服从参数为 λ 的泊松分 布, 记为 X ~ P (λ ). P{ X = k } =
Ak = {第k发命中 ，k =1, 2, …， 发命中}， 第 发命中 ，
P( X = 2) = P(AA ) = (1− p) p 1 2
P(X=1)=P(A1)=p,
P( X = 3) = P(AA A ) = (1− p)2 p 1 2 3
所求射击次数X的概率分布为： 所求射击次数 的概率分布为： 的概率分布为
两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有 两点分布是最简单的一种分布 任何一个只有 两种可能结果的随机现象, 两种可能结果的随机现象 比如新生婴儿是男还是 明天是否下雨、种籽是否发芽等, 女、明天是否下雨、种籽是否发芽等 都属于两点 分布. 分布
两点分布的期望与方差
服从参数为p的 分布 分布， 设X服从参数为 的0-1分布，则有 服从参数为
P(X = k) = C ×0.6 ×(1−0.6)
k 5 k
5−k
k = 0,1,2,3,4,5
P(X=0) =0.01024 P(X=2) =0.2304 P(X=4) =0.2592
P(X=1) =0.0768 P(X=3) =0.3456 P(X=5) =0.07776
重伯努利实验的两个对立结果,“成功 若A和A n重伯努利实验的两个对立结果 成功” 和 是 重伯努利实验的两个对立结果 成功” 可以指二者中任意一个, 成功”的概率. 可以指二者中任意一个 p 是“成功”的概率 例如: 批产品的合格率为0.8,有放回地抽取 例如 一批产品的合格率为 有放回地抽取 4次, 每次一件 取得合格品件数 以及取得不合 次 每次一件, 取得合格品件数X, 格品件数Y均服从分布为二项分布 格品件数 均服从分布为二项分布. 均服从分布为二项分布 “成功”即取得合格品的概率为p=0.8, 成功”即取得合格品的概率为 成功 X对应的实验次数为 对应的实验次数为n=4, 对应的实验次数为 类似,Y~B(4,0.2) 类似 所以, 所以 X~B(4,0.8)
= DX1 + DX
2
+L + DX
n
= n p (1 − p ) = n p q
注：利用方差和的性质时要注意相互独立的条件。 利用方差和的性质时要注意相互独立的条件 相互独立的条件
例2 设X表示 10次独立重复射击命中目标的次 表示 次独立重复射击命中目标的次 每次射中目标的概率为0.4, 则X2的数学期 数,每次射中目标的概率为 每次射中目标的概率为 望E(X2)=( 18.4 )
泊松定理： 泊松定理：
重伯努利试验中， 在n重伯努利试验中，事件 在一次试验中发生 重伯努利试验中 事件A在一次试验中发生 的概率为p 与试验次数 有关), 与试验次数n有关 成功次数X服从 的概率为 n (与试验次数 有关 则成功次数 服从 二项分布， 二项分布，当
limnpn = λ > 0,
λ1
1! e −λ =
P{X = 1} = P{X = 2}
2
λ2
2!
e −λ
由此得方程 得解
λ − 2λ = 0 λ = 2 ． (另一个解λ = 0 不合题意，舍去 )
2 4 −2 2 −2 e = e = 0.09022 所以， 所以， P{X = 4} = 3 4!
一家商店采用科学管理， 例5 一家商店采用科学管理，由该商店过去的销售 记录知道， 记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数λ=4 的泊松分布来描述，为了以95%以上的把握保证不 的泊松分布来描述，为了以 以上的把握保证不 脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？ 脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？ 某种商品多少件 设该商品每月的销售数为X, 解: 设该商品每月的销售数为 已知X服从参数 =4的泊松分布 的泊松分布. 已知 服从参数λ=4的泊松分布. 服从参数 设商店在月底应进某种商品 件 设商店在月底应进某种商品m件, 某种商品 求满足 销售数
泊松分布的期望与方差
E ( X ) = ∑ kP{ X = k} = ∑ k
k =0 k =0 +∞ +∞
X ~ P (λ )
e− λ
λk
k!
= λe−λ ∑
k =1
+∞
λ k −1
(k − 1)!
= λ e− λ eλ = λ
E( X ) = λ
+∞
D( X ) = λ
+∞
E ( X 2 ) = ∑ k 2 P{ X = k} = ∑ [k (k − 1) + k ]
P(X≤m)>0.95
进货数
的最小的m 的最小的 .
求满足 也即
P(X≤m)>0.95
的最小的m. 的最小的
∑ i! e
i =0
m
λ
i
−λ
> 0.95
查泊松分布表得
∑ i!
i =0
7
λi
e − λ = 0.948847
∑ i!
i =0
8
λi
e − λ = 0.978637
于是得 m=8（件）. （
1000 1λ 可利用泊松定理计算 C1000= 0.000100.9999999.1, = 1 − 0.9999 − ⋅ 1000 × ⋅ .0001 = 0
P { X ≥ 2} ≈ 1 − ∑
i=0
1
λi
i!
e −0.1 = 0.0047.
某射手连续向一目标射击，直到命中为止， 例6 某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知 他命中的概率是p，求射击次数X 的概率分布. 他命中的概率是 ，求射击次数 的概率分布 可能取的值是1,2, … 解: X 可能取的值是 设 于是 计算 P(X =k )， ，
k =0 k =0
λk
k!
e− λ
= λ 2e−λ ∑
k =2
+∞
λ k −2
(k − 2)!
+ E( X )
= λ 2e− λ eλ + λ = λ 2 + λ
D ( X ) = E ( X ) − [ E ( X )] = λ + λ − λ = λ
2 2 2 2
二项分布与泊松分布的关系
历史上，泊松分布是作为二项分布的近似， 历史上，泊松分布是作为二项分布的近似， 于1837年由法国数学家泊松引入的 . 年由法国数学家泊松引入的 近数十年来，泊松分布日益显示 近数十年来，泊松分布日益显示 重要性,成为概率论中最重要的几个分布 其重要性 成为概率论中最重要的几个分布 之一. 之一 在实际中，许多随机现象服从或近似服 在实际中， 从泊松分布. 从泊松分布
二项分布的期望与方差
1 如 i 次 验 功 第 试 成 Xi = 第 试 失 0 如 i 次 验 败
则 X = X1 + X2 +LXn
X ~ b ( n, p )
i =12,L n. , ,
Xi ~(0−1 分 ) 布
EX i = p, DX i = p (1 − p)
EX = E ( X 1 + X 2 + L + X n ) = EX 1 + EX 2 + L + EX n = np DX = D(X1 + X 2 +L + X n)
E( X ) = p
E( X 2 ) = p
X pk
0 1− p
1 p
wk.baidu.com
D ( X ) = E ( X 2 ) − [ E ( X )]2 = p − p 2 = p(1 − p )
二、二项分布
若在一次伯努利实验中成功（事件 发生 发生） 若在一次伯努利实验中成功（事件A发生）的概率 成功 为p(0<p<1),独立重复进行 次, 这n次中实验成功的 独立重复进行n次 次中实验成功的 独立重复进行 次中实验 次数（事件A发生的次数）X的分布列为 发生的次数） 的分布列为 的分布列为: 次数（事件 发生的次数
L L
P( X = k ) = (1− p) p k =1,2,L
k−1
四、几何分布
在独立重复伯努利试验中，若成功率（事件A发 在独立重复伯努利试验中，若成功率（事件 发 生的概率） 为首次成功（ 生的概率）为p，如果 为首次成功（事件 首次 ，如果X为首次成功 事件A首次 发生）时的试验次数， 的分布列为 发生）时的试验次数，X的分布列为
λk e −λ
, k = 0,1,2, L ,
例4、设随机变量 X 服从参数为λ的泊松分布，且已知 、 服从参数为 的泊松分布， 的泊松分布
P{X = 1} = P{X = 2} , 试求 P{X = 4}．
解：随机变量 X 的分布律为
P{X = k} =
由已知
λ
k
k!
e −λ
( k = 0， 1， 2， L )
说 ： X ~ B(n, p),则 明 若
二项分布
n=1
两点分布
某射手在相同条件下独立地进行5次射击 次射击,每次击 例1 某射手在相同条件下独立地进行 次射击 每次击 中目标的概率是0.6,求击中目标次数 的概率分布 求击中目标次数X的概率分布 中目标的概率是 求击中目标次数 的概率分布. 解: X ~ B(n, p) n=5, p=0.6
例3 有一繁忙的汽车站 每天有大量汽车通过 设 有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过 每天有大量汽车通过,设 每辆汽车在一天的某段时间内,出事故的概率为 每辆汽车在一天的某段时间内 出事故的概率为 0.0001,在每天的该段时间内有 在每天的该段时间内有1000 辆汽车通过 辆汽车通过, 在每天的该段时间内有 问出事故的次数不小于2的概率是多少 的概率是多少? 问出事故的次数不小于 的概率是多少 解 设 1000 辆车通过 辆车通过, 出事故的次数为 X , 则 X ~ b ( 1000 , 0 . 0001 ), 故所求概率为 P { X ≥ 2} = 1 − P { X = 0} − P { X = 1}
λ = np
k n k n −k
则有 P{X = k} = C p (1− p)
≈
λk
k!
e −λ
有一繁忙的汽车站, 每天有大量汽车通过, 例3 有一繁忙的汽车站 每天有大量汽车通过 设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率 设每辆汽车 在一天的某段时间内出事故的概率 在每天的该段时间内有1000 辆汽车通 为0.0001,在每天的该段时间内有 在每天的该段时间内有 问出事故的次数不小于2的概率是多少 过,问出事故的次数不小于 的概率是多少 问出事故的次数不小于 的概率是多少? 解 设1000 辆车通过 辆车通过, 出事故的次数为 X , 则 X ~ b ( 1000 , 0 . 0001 ), 所求概率为 P{ X ≥ 2} = 1 − P{ X = 0} − P{ X = 1}
n→ ∞
则对于任何非负整数k， 则对于任何非负整数 ，有
k k limP{X = k} = limCn pn (1− pn)n−k = n→ ∞ n→ ∞
λk
k!
e−λ
泊松定理的应用
由 Poisson 定理，可知 定理，
若随机变量X～ 若随机变量 ～b(n,p)
则当 n 比较大， p 比较小时，
令：