1.2 常用的典型信号

郑州铁路职业技术学院教师教案

1.2.3 常用的典型信号

1.典型的连续时间信号 （1）实指数信号

实指数信号的数学表达式为

t

Ke t x α=)( (1-3)

（2）复指数信号

复指数信号的数学表达式为

t j t t j st e Ke Ke Ke t x ωσωσ===+)()(

（3）)(t Sa 信号（抽样信号）

抽样信号用符号)(t Sa 表示，其数学表达式为

t

t

t Sa sin )(=

(1-5) 它是一个偶函数，在0=t 处取得最大值，在πππm t ±±±=,...,2,时，函数值等于零，在t 的正、负两方向振幅都逐渐衰减。

)(t Sa 函数还具有以下性质：

()2

Sa t dt π

∞

=

⎰

-

()Sa t dt π∞

∞=⎰

（4）单位阶跃信号

单位阶跃信号)(t u 的数学表达式为

0()0t u t t 1>⎧=⎨

0<⎩

(1-7)

如果接入电源的时间推迟到0t t =时刻)0(0>t ，则可用一个延时的单位阶跃信号表示

000()t t u t t t t 1>⎧-=⎨0<⎩

(1-8)

（5）门函数

门函数)(t g τ的数学表达式为

1()22 0t g t t

τττ⎧-<<⎪

=⎨⎪⎩ 其它 (1-9)

它可以用单位阶跃函数表示，其表达式为

)2

()2()(τ

ττ--+=t u t u t g (1-10)

（6）符号函数

符号函数)sgn(t 的数学表达式为

⎩⎨

⎧<->=0

10

1)sgn(t t t (1-11) 符号函数可以用单位阶跃函数表示，其表达式为

1)(2)()()sgn(-=--=t u t u t u t (1-12)

（7）单位冲激信号 ①定义

方法一：表达式定义

单位冲激信号)(t δ的数学表达式为

()00

()0()1t t t t t dt δδδ∞

∞

⎧=≠⎧⎨

⎪⎪=∞=⎩⎨⎪=⎪⎩⎰－ (1-13)

方法二：极限定义法 ②性质

性质1 )(t δ函数是偶函数，即)()(t t -=δδ； 性质2 取样性或筛选性

设)(t x 为连续时间信号，且在0t t =处连续，则)()()()(000t t t x t t t x -=-δδ 特例：)()0()()(t x t t x δδ=

若要从连续时间信号)(t x 中抽取任一时刻的函数值)(0t x ，只要乘以冲激函数)(0t t -δ并在),(∞-∞区间积分即可，即

)()()()()()()(0 000 0 000t x dt t t t x dt t t t x dt t t t x t t =-=-=-⎰⎰⎰

+

-

∞

∞

-∞

∞

-δδδ

特例：

)0()()0()()0()()( 0 0 x dt t x dt t x dt t t x ⎰⎰⎰

∞

∞

-∞

∞

-+

-

===δδδ

取样性说明冲激函数可以把冲激所在位置处的函数值抽取出来。 性质3 冲激函数和阶跃函数互为微积分关系 冲激函数为阶跃函数的微分，即

dt

t du t )

()(=

δ

阶跃函数为冲激函数的积分，即ττδd t u t

⎰

∞

-= )()(。 （40min ）

2.典型的离散时间信号 （1）单位脉冲序列

单位脉冲序列)(n δ在有的书上称为单位冲激序列)(n δ或单位样值序列)(n δ，数学表达式为

10

()0 0

n n n δ=⎧=⎨

≠⎩ (1-14)

序列)(n δ仅在0=n 处取单位值1，其余0≠n 处的值均为零。

注意：)(n δ和)(t δ的区别。)(n δ是离散时间信号，而)(t δ是连续时间信号；)(n δ在

0=n 处取有限值1，而)(t δ是在0=t 处幅度为无穷大，面积为1的信号。

移位k 个单位的单位脉冲序列为

1()0 n k n k n k δ=⎧-=⎨

≠⎩ 或 1()0 n k

n k n k

δ=-⎧+=⎨≠-⎩

式中，k 为正整数。

任一序列)(n x 可由单位脉冲序列及相应的移位单位脉冲序列表示出来。例如序列

{}{}7,5,1,1,3,2)4(),3(),2(),1(),0(),1()(--=-=x x x x x x n x ，则此序列在2=n 处的值可通

过)2()2()2()(-=-n x n n x δδ表示出，即序列)(n x 在k n =处的样本可用移位单位脉冲序列表示为

)()()()(k n k x k n n x -=-δδ (1-15)

式(1-15)也可称为)(n δ的取样性质。

根据)(n δ的取样性质，上述序列)(n x 可表示为

)

4()4()3()3()2()2()1()1()()0()1()1()(-+-+-+-+++-=n x n x n x n x n x n x n x δδδδδδ )4(7)3(5)2()1()(3)1(2-+-+-+--++-=n n n n n n δδδδδδ

同理，任一序列)(n x 可表示为

∑∞

-∞

=-=

k k n k x n x )()()(δ (1-16)

（2）单位阶跃序列

单位阶跃序列)(n u 的数学表达式为 10

()0 0

n u n n ≥⎧=⎨

<⎩ (1-17)

和单位阶跃信号)(t u 类似，单位阶跃序列)(n u 可以用来表示单边信号，即有范围限制