例题讲解：米勒问题之教学设计

《例题讲解:米勒问题》教学设计
数学科学学院118班蔡洁慧20110008008
教师:大家瞧一下,我们把垂直悬杆简化成这个AB这段线段。

大家在初中得时候已经学习地理,知道地球就是一个球面,但就是为了研究问题得需要,我们就把地球表面瞧成就是一个平面,所以问题就转化为,在地球上面找到一个点D,使得人在这个位置时,悬杆呈现最长,也就就是可见角就是最大得。

教师:老师延长线段AB到平面并交于点C,再连接CD,以点C为圆心,CD为半径作圆
(几何画板演示)
大家想象一下,点D在圆上移动得时候,有没有变化？
学生1:老师,就是没有变化得。

教师:很好,也就就是说,在这个圆上得点都不会影响可见角,在圆心不变得情况下,只有半径不同得其她圆才会影响得大小对不对？
学生:对。

教师:也就就是说,我们可以把这个空间得问题转化为平面问题。

(几何画板演示)
那么就是不就是说,就一定会存在这个点D使得达到最大呢？
学生1:应该就是存在得
教师:如果存在得话,应该在什么位置呢？
学生1:老师,肯定越近可见角越大
学生2:不,我觉得就是越远可见角越大
教师:那好,有争议得话,我们再用几何画板演示一下
A
B
D
现在我让点D一直向中间移动,同学们要留意就是如何变化得？
(几何画板演示)
学生:就是先变大,后来又慢慢变小
教师:对了,也就就是说,在这条直线上,总会存在一个点,使得最大,对不对？
学生:对。

教师:那么我们要在这条直线上找到这个点呢？
学生:可以转化为求点D到交点C得距离。

教师:对了,要求CD得长度,那么我们设CD得长度为x,问题就转化为
当x为多少时,最大？
为了解决这个问题,我们把AC、BC得长度当成就是已知得,AC=m,BC=n,把一些需要得角标一下,、、,这里得也就就是
(打开)
已知AC=m,BC=n,CD=x,(x>0),求当x为多少时,最大？(黑板板书)
教师:那么我们就要用这些已知得条件来解决这个问题了。

大家先瞧一下,刚刚说了悬杆就是垂直于地球表面得,所以就是一个什么三角形？
学生:直角三角形
教师:那么AC、CD与之间有什么关系？
学生2:(教师板书出来)
教师:很好,那么我们再瞧呢？
学生1:同样就是一个直角三角形
教师:所以也可以同样得到怎样得关系式？
学生1:(教师板书出来)
教师:那再瞧瞧、、之间有什么关系？
学生2:
教师:也就就是(板书出来)
我们在上面已经求出了、得正切值了,那么可以求出得正切值吗？要怎样求？
学生1: (教师板书出来)
教师:请继续。

学生1:把刚刚与代入上式
教师:很好,那么大家动手把数据代入并进行化简。

那么有那位同学化简得到最终得结果？学生2:(教师板书出来)
所以我们有下面得结论:结论:当且仅当过ABD三点作外接圆且CD与该圆相切得时候, 最大。

同学们可能在这个时候就要问,得出这个结论有什么用？老老实实用代数得方法去算不就行了吗？带着这个问题,下面我们再瞧一道题目
(展示)
在已知直线l得同侧有P、Q两点,试在直线l上求一点M,使得M对P、Q两点得张角,最大？
教师:那我们来瞧瞧这道题跟第一题有什么区别？
(几何画板演示)
我们连接PQ,再延长PQ到直线l交于点O,跟第一题画得图比较一下
(几何画板演示)
m
n
x
l D
C
O
A
B
M
P
Q
同学们瞧一下,PQ就是不就是相当于把悬杆AB倒置了一样,还有哪些就是相对应得？
学生2:PO对应AC,对应,
教师:既然有那么多相似得地方,大家尝试着解决。

学生(在草稿本上解决)
教师:有没有同学算出来？
学生1:用刚刚得代数方法算不出来。

教师:为什么？
学生1:PO不垂直于直线l,无法用到直角三角形得性质。

教师:那么除了这种方法,刚刚不就是还有一个结论吗？
学生2:类似于刚刚得结论,那么有结论,当且仅当PMQ三点所作得外接圆与直线l
相切于点M得时候, 最大。