高中数学人教A版选修2-2学案：第一章 1.7 定积分的简单应用 含解析

定积分的简单应用

预习课本P56～59，思考并完成下列问题

(1)利用定积分求平面图形的面积时，需要知道哪些条件？

(2)两条曲线相交围成的平面图形能否用定积分求其面积？

[新知初探]

1．定积分与平面图形面积的关系

(1)已知函数f (x )在[a ，b ]上是连续函数，由直线y ＝0，x ＝a ，x ＝b 与曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积为S .

f (x )的符号 平面图形的面积与定积分的关系

f (x )≥0 S ＝⎠⎛a b

f (x )d x f (x )<0

S ＝－⎠⎛a b f (x )d x

(2)一般地，如图，如果在公共的积分区间[a ，b ]上有f (x )>g (x )，那么直线x ＝a ，x ＝b 与曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )围成的平面图形的面积为S ＝⎠⎛a b

[f (x )－g (x )]d x .

[点睛] 对于不规则平面图形面积的处理原则

定积分只能用于求曲边梯形的面积，对于非规则的曲边梯形，一般要将其分割或补形为规则的曲边梯形，再利用定积分的和与差求面积．对于分割或补形中的多边形的面积，可直接利用相关面积公式求解．

2．变速直线运动的路程

做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ，b ]上的定积分，即s ＝⎠⎛a b

v (t )d t .

3．力做功

(1)恒力做功：一物体在恒力F (单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移动了s ，则力F 所做的功为W ＝Fs .

(2)变力做功：如果物体在变力F (x )的作用下做直线运动，并且物体沿着与F (x )相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b (a

F (x )d x .

[点睛] 变速直线运动物体的路程、位移与定积分的关系

如果做变速直线运动物体的速度－时间函数为v ＝v (t )，则物体在区间[a ，b ]上的位移为定积分⎠⎛a b

v (t )d t ；物体在区间[a ，b ]上的路程为⎠⎛a b

|v (t )|d t .

[小试身手]

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)曲线y ＝x 3与直线

x ＋y ＝2，y ＝0围成的图形面积为⎠⎛01

x 3d x ＋⎠⎛12

(2－x )d x .( ) (2)曲线

y ＝3－x 2与直线

y ＝－1围成的图形面积为⎠⎛－2 2

(4－x 2)d x .( )

(3)速度是路程与时间的函数关系的导数．( )

(4)一个物体在2≤t ≤4时，运动速度为v (t )＝t 2－4t ，则它在这段时间内行驶的路程为

⎠⎛24

(t 2－4t )d t .( )

答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×

2．曲线y ＝cos x ⎝⎛⎭⎫0≤x ≤3π

2与坐标轴所围成的图形面积是( ) A ．2 B ．3 C.5

2 D ．4

答案：B

3．已知做自由落体运动的物体的速度为v ＝gt ，则物体从t ＝0到t ＝t 0所走过的路程为( )

A.13gt 20

B. gt 20

C. 12gt 20

D.14gt 20

答案：C

4．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v (t )＝27－0.9t ，则列车从刹车到停车所前进的路程为________．

答案：405

利用定积分求平面图形的面积

[典例] 求抛物线y 2＝2x 和直线y ＝－x ＋4所围成的图形的面积．

[解] 先求抛物线和直线的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧

y 2＝2x ，

y ＝－x ＋4，

求出交点坐标为A (2,2)和B (8，

－4)．

法一：选x 为积分变量，变化区间为[0,8]，将图形分割成两部分(如图)，则面积为

S ＝S 1＋S 2＝2⎠⎛02

2x d x ＋⎠⎛28

()2x －x ＋4d x ＝

423x 3220＋⎝⎛⎭⎫223x 32－12x 2＋4x 82

＝18.

法二：

选y 作积分变量，则y 的变化区间为[－4,2]，如图得所求的面积为 S ＝⎠⎛2－4⎝⎛⎭⎫4－y －y

2

2d y ＝⎝⎛⎭⎫4y －y 22－y

3

62－4＝18.

利用定积分求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤 (1)画出图形．

(2)确定图形范围，通过方程组求出交点的横坐标，确定积分上限和积分下限． (3)确定被积函数及积分变量，确定时可以综合考察下列因素：

①被积函数的原函数易求；②较少的分割区域；③积分上限和积分下限比较简单． (4)写出平面图形的面积的定积分表达式．

(5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积． [活学活用]

求曲线y ＝e x ，y ＝e －

x 及直线x ＝1所围成的图形的面积．

解： 如图，由⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝e x ，y ＝e －x

，

解得交点为(0,1)， 所求面积为S ＝⎠

⎛0

1(e x －e －x )d x ＝(e x ＋e －

x )10＝e ＋1e －2.

求变速直线运动的路程、位移

[典例] 有一动点P 从原点出发沿x 轴运动，在时刻为t 时的速度为v (t )＝8t －2t 2(速度的正方向与x 轴正方向一致)．求

(1)t ＝6时，点P 离开原点后运动的路程和点P 的位移； (2)经过时间t 后又返回原点时的t 值． [解] (1)由v (t )＝8t －2t 2≥0得0≤t ≤4， 即当0≤t ≤4时，P 点沿x 轴正方向运动， 当t >4时，P 点向x 轴负方向运动． 故t ＝6时，点P 离开原点后运动的路程 s 1＝⎠⎛04(8t －2t 2)d t －⎠⎛46

(8t －2t 2)d t ＝⎝

⎛⎭⎫4t 2－23t 3⎪⎪⎪ 4

0－⎝

⎛⎭⎫4t 2－23t 3⎪⎪⎪

6

4＝128

3

. 当t ＝6时，点P 的位移为⎠⎛06

(8t －2t 2)d t ＝⎝

⎛⎭⎫4t 2－23t 3⎪⎪⎪

6

0＝0.

(2)依题意，⎠⎛0t

(8t －2t 2)d t ＝0， 即4t 2－2

3

t 3＝0，解得t ＝0或t ＝6，

因为t ＝0对应于点P 刚开始从原点出发的情况，所以t ＝6为所求，

(1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．

(2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算，否则会出现计算失误．

[活学活用]

一质点在直线上从时刻t ＝0(s)开始以速度v ＝t 2－4t ＋3(m/s)运动，求点在t ＝4 s 时的位置及经过的路程．

解：在t ＝4 s 时该点的位移为 ⎠⎛04

(t 2－4t ＋3)d t ＝⎝⎛⎭⎫13t 3－2t 2＋3t ⎪⎪⎪

4

＝4

3

(m)． 即在t ＝4 s 时该点距出发点4

3

m.