2017年定积分导学案

一，学习任务 1 •连续函数 2 •曲边梯形的面积 ⑴曲边梯形：
(2)求曲边梯形面积的方法与步骤： ① 分割： ② 近似代替： ③ 求和：
④ 取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，^即为曲边梯 形的面积. —
【例题1】求由直线x = 1, y = 0及曲线y = x 2所围成的图形的面积S.
思考1在求曲边梯形面积中第一步“分割”的目的是什么?
思考2求曲边梯形面积时，能否直接对整个曲边梯形进行“以直代曲”呢？怎样才能减小误差?
3 •变速直线运动的路程
一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为 v = v(t),那么也可以采用分割、近似代替、求和、 取极限的方法，求出它在a <t < b 内的位移s.
【例题2】一辆汽车做变速直线运动，设汽车在时刻 t 的速度v(t) = - t 2+2 ,求汽车在t = 0到t =1这段时间内运动的路程s.
0000000000000000000000000
B .『1+y 2+ y 3+y 4+y 5+ 1 D . (y 1+ 1)( y 2+1)…(y 5+ 1) y = f(x)(f(x) >0)及y = 0围成的曲边梯形的面积S 时，在区间［a ，
b ］上等间隔地插入n —1个分点，分别过这些分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形, 下列1.5定积分的概念(一)
二，巩固练习
5
1 .和式 (y j 1)可表示为。

i 1
A . (y 1 + 1) + (y 5+ 1)
C . y 1 + y 2+ y 3+ y 4+y 5+ 5
2 .在求由 x = a 、x = b(avb)、
①n个小曲边梯形的面积和等于S；②n个小曲边梯形的面积和小于S；
③n 个小曲边梯形的面积和大于 S ；④n 个小曲边梯形的面积和与 S 之间的大小关系无法确定 A. 1个 B . 2个 C. 3个 D. 4个 3•在“近似代替”中，函数f(x)在区间[X i , X i +1]上的近似值等于。

( )
A.只能是左端点的函数值f(xj
B
.只能是右端点的函数值f(X i +1)
C •可以是该区间内任一点的函数值 f( E
i )( [X i , X i +1]) D .以上答案均不正确
1
4.在求由函数y =-与直线X = 1、X = 2、y = 0所围成的平面图形的面积时，把区间[1,2]等分成n
X 00000000000000000000
i i + 1 D .[-，- ] n n 」 5.曲线 y = cosx(0 w
x w
2 n
)与 y = 1 围成的面积是。

6 .当n 很大时，函数f(x) = x 2在区间[」,丄](i = 1,2，…，n)上的值可以用 __________ 似代替(
)
n n
A. - B . f (1
) C . f (丄)D .-
n n n n 7.求直线x = 0、x = 2、y = 0与曲线y = x 2所围
成曲边梯形的面积.
学习报告(学生)： 教学反思(教师)：
1.5定积分的概念(二)
一，基础知识 1、定积分的定义
个小区间，则第i 个小区间为。

i — 1 i n + i — 1 A . [ ，—] B .[-
o 0
n + i
—]C . [i -1, i]
5
n
~2
C . 3 n
D . 2
n
f(x)dx
; a 叫 ， b 叫 ，
a
a,b 叫 ______ , ____ f (x)叫 ________ , ______ x 叫 _______ , f (x)dx 叫 _________________
、 八 b
2、疋积分 f (x)dx 的几何意义是：。

a
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
b b 3 f 1(x)dx — f 2(x)dx 的几何意义是： __________________________________________________ 。

a
a
4、定积分的性质： ___________________________________ 。

二、解答题：
例1.函数f(x) x 在区间a,b 上连续，如同曲边梯形面积得四步曲求法写出运算过程.
例2.计算下列定积分的值，并从几何上解释这个值表示什么？
1 _ 1 2
(1) 0x 3
dx (2) 0( t 2
2)dt
例3.利用定积分的几何意义说明 \ , 1 x 2 dx 的大小.
，巩固练习
1.设连续函数f (x) 0,则当a b
b 时，定积分 a f (x)dx 的符
号。

000000000
A. 一定是正的 2.
与定积分
B. 一定是负的
3 2 0
C.当 0 a b 时是正的
D. 以上都不对
A. 3. sin xdx 相等的是。

000000
3
2 sin xdx B.
3
2
sin xdx C. sin xdx -
0 0
3 2
sin xdx
3
2
sin xdx
定积分的
f (x) dx 白勺大小。

000000000000000000000000
A. 与f (x)和积分区间a, b 有关,与i 的取法无关.
B. 与f(x)有关,与区间a,b 以及i 的取法无关
C. 与f (x)以及i 的取法有关,与区间a,b 无关
D.
与f(x)以及i 的取法和区间a,b 都有关
1
9.计算 6x 3dx
学习报告(学生)： 教学反思(教师)：
1.6微积分基本定理
,基础知识
1 .微积分基本定理 内容
4. A. 下列等式成立的是 b 0 dx b a B. a
5. 已知
6. 已知
7. 已知
8.计算
0 0 0 0 0 b 1
xdx
C.
a 2
b
f (x)dx =6,则 a 6 f (x)dx
a b (f(x) g(x))
dx a
2 2 0 f(x)dx 3,则 o 1
1x 2dx 0
3
18, f(x)
0 0 0 0 0 0
1
xdx 2 0 xdx
00000000
b (x 1)dx
a
D.。

( )
b xdx
a
b a g(x)dx
6 dx
b
10,贝 U f (x)dx =
a
符号 (1)若 f(x) cosx,则 F (x) (2)若f (x) sin x,则
F (x) (3)若
f (x) e x ,则
F(x) (4)若 f(x) -,则 F(x) x
(5)若
f(x) x n ,则
F(x) (6)若 f(x) x 3,则
F(x) (7)若 f(x) ■4,则 F(x) (8)若
f(x) 5,则
F(x) 2.利用基本初等函数的求导公式求下列函数的原函数 x
3.定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在x 轴上方的面积为 当曲边梯形在
S 上，在x 轴下方的面积为S 下，则
b 当曲边梯形在
则
x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图③, 若 S 上=S 下，贝U f (x)dx = _______________
a 当曲边梯形在
b a
f (x)dx =
上=S 下, 例1计算下列定积分: (1)严; o
sin xdx
；
2
(2x
1
2
)dx
；
x
二，巩固练习
1 •判断：(
正确的打“V”，错误的打“X” )
(1)若 F ' (x) = f(x)，则 F(x)唯 00000000000000000
00000000
2.定积分b f(x)dx 的几何意义是由x 轴、函数y = f(x)的图象以及直线
x = a ，x = b 围成的各部分
面积的代数和. 3•下列各式中，正确的是 A . b
F ' (x)dx = F ' (b) — F ' (a) B.
a
(
(
b
F ' (x)dx = F ' (a) — F ' (b)
a
4. b F (x)dx = F(b) —F(a) a
下列积分值等于1的是。

A. 1xdx B . 1(x+ 1)dx
0 0 c. 11dx
5. 22(x —
6.计算下列定积分：
2 2 1
(1) 2(x2+0dx；⑵
1
n
sin x 0< x<~2 ,
7 .已知函数f (x) = n
1 — < x <
2 ,
x—1 2<x<4 ,上的定积分.
学习报告(学生)：
教学反思(教师)：(x)dx = F(a) —F(b)
000000000000000000000
ll
dx
D
.
9(1 + ■x)d x.
4
先画出函数图象，再求这个函数在区间[0,4]
1.7.1微积分基本定理与应用一，基础知识
1,不分割型图形面积的求解
求不分割型图形面积的一般步骤如下：
面图形的面积总是非负的.
例1计算由曲线y = x 2— 2x + 3与直线y = x + 3所围成图形的面积.
2分割型图型面积的求解
由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区段内位于上方和下方的函数有所变
化，通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将积分区间进行细化区段，然后根据图象对各 个区段分别求面积进而求和，在每个区段上被积函数均是由上减下；若积分变量选取 x 运算较为复 杂，可以选y 为积分变量，同时更改积分的上、下限. 例2，求直线y = x ，y = 2x ，以及曲线y = x 2所围成的平面图形的面积.
二，巩固练习
1、如图，求由两条曲线y 线y=
同时，要注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平
x 2，4y x 2
-1所围成图形的面积.
2、如图，抛物线C:y= -x2与抛物线C2:y=x2-2ax(a>0) 交于O A两点•若过原点的直线I与抛物线C2所围成的图形面积为9a3，求直线I的方程.
2
2 1
3, 在曲线y二x2(x>0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成图形的面积为12试求: 切点A 的坐标，过切点A的切线方程.
n 5 ,
4, 求曲线y = sin x与直线x = ——, x =彳冗，y = 0所围图形的面积.
学习报告(学生)：教学反思(教师)：
1.7.1定积分在物理中的应用
一求变速直线运动的路程、位移
求做变速直线运动物体位移与路程的方法
(1) 做直线运动物体的位移与路程是两个不同的概念，位移是指物体位置的改变，位移不但有大小, 而且有方向，是一个矢量(或向量)；路程是物体运动轨迹即质点运动时所经过的实际路径的长度，路程只有大小，没有方向，是个标量(或数量)•
(2) 用定积分计算做直线运动物体的路程，要先判断速度v(t)在时间区间内是否为正值，若v(t) > 0，则运动物体的路程为s = a v(t)dt ；若v(t) v 0,则运动物体的路程为s = a I v(t)|d t =
v(t)dt.
s，等于其速度v = v(t)在时间区间［a，b］上的积分，即(3)物体做变速直线运动时，经过的位移
v(t)dt.
例1,、已知一辆汽车的速度---- 时间的函数关系为：(单位：v(m/s),t(s).)
3 2 t2, 0 t 10;
10
v(t) 30, 10 t 40;
1.5t 90, 40 t 60.
求(1)汽车10s行驶的路程；(2)汽车50s行驶的路程；(3)汽车1min行驶的路程.
练习1:变速直线运动的物体速度为v(t) 1 t2,初始位置为X。

1,求它在前2s内所走的路程及2s末所在的位置.
例2动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t) = 8t - 2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)•求:
(1) 点P从原点出发，当t二6时，求点P离开原点的路程和位移；
(2) 点P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值.
练习2、已知一辆汽车的速度--- 时间的函数关系为：(单位：v(m/s),t(s).)
0 t10;
*
10
v(t) 30,10 t40;
1.5t90, 40 t60.
求(1)汽车10s行驶的路程；(2)汽车50s行驶的路程；(3)汽车1min行驶的路程.
二，求变力做功的方法步骤
(1) 首先要明确变力的函数式F(x) = kx，确定物体在力的方向上的位移.
(2) 利用变力做功的公式W；F(x)dx计算.
(3) 注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳.
例3,—物体在力F(x)(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向运动，力一一位移曲线如图所示.求该物体从x= 0处运动到x = 4(单位：m)处，力F(x)做的功.
练习3,设有一长25 cm的弹簧，若加以100 N的力，则弹簧伸长到30 cm,又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25 cm伸长到40 cm所做的功.
学习报告(学生)：教学反思(教师)：
定积分的概念基础巩固
1. 定积分3( —3) dx等于(
1
A.—6
B. 6
C. —3
D. 3
2. 已知定积分6f(x) dx 二8,且f(x)为偶函数，贝U 6f(x) dx等于(
0 -6
A. 0
B. 16
C. 12
D. 8
3. 下列命题不正确的是(
A.若f(x)是连续的奇函数，则a f(x) dx = 0
-a
B.
若f(x)是连续的偶函数，贝U
a
f(x) dx = 2 a f(x) dx
-a
C. 若f(x)在［a , b ］上连续且恒正，则 b f(x) dx > 0
a
D. 若f(x)在［a , b ］上连续且b f(x) dx >0,贝U f(x)在［a , b ］上恒正
a
4. 设f(x)是［a , b ］上的连续函数，贝U b f(x) dx — b f(t) dt 的值
( )
a
a
A.大于零
B.等于零
C.小于零
D.不能确定 5. 下列各阴影部分的面积 S 不可以用S = b ［f(x) — g(x)］ dx 求出
的是 ( )
a
6. 若 b f(x) dx = 3, _____________________________ b
g(x) dx = 2,贝U b [f(x) + g(x)] dx =
.
a
a
a
7. ____________________________________________________________________________ 若 ^cosxdx = 1,则由x = 0, x = n
, f(x) = sin x 及x 轴围成的图形的面积为 ______________________ .
8. ____________________________________________________________________________ 直线x = 1, x = — 1, y = 0及曲线y = x 3+ sin x 围成的平面图形的面积可表示为 _______________ . 9 .计算 3 ( ；'9— x 2 — x 3) dx 的值.
-3
3.
若 a 2x + - dx = 3+ "2
,贝9 a 的值是 x 1. A. n
(cosx + 1)dx 等于
1 微积分基本定理基础巩固
(
2. 设 f(x) A.
1 2
x dx
-1
B. 0
2
x , =2x
, B.
C. x >
0,
x v
,
12x dx
-1
D.
n
1 -1
0 2 - ,
x dx + -1 f (x)dx 的值是
1^x
2 dx
D.
02x
dx +
-1
1x 2
dx
1
A. 6
B. 4
C. 3
D. 2
=x m + nx 的导函数是 f ' (x) = 2x + 1,则 2f( — x) dx =
已知a€
0, 2，则当“(cosx — 3sinx)dx 取得最大值时,
定积分的应用
1
、 1 由y ,x 轴及x 1,x x
2围成的图形的面积为
(
)
Al n2
B.lg2 C .-
2
D.1
2
、
y sin x,0 x 2与
x 轴围成的图形的面积为
(
)
A.0
B.2
C.2
D.4
3、
由曲线y f(x)(f (x)
0), x a,b ,x a., x b(a
b)和x 轴围成的曲边梯形的面积S =
( )
、选择题
b
b
b 4.若函数f(x) C3
i D-6
5.已知函数 f(a)=
n
sin xdx ,则 f f 2
=
A. 1 6.已知 1 — cosl C. 0 D. cosl — 1 A. 7.
B. 2f(x) dx =
19x 2dx ，贝U
2[f(x) +
6] dx
=
B. 12 9 已知t >0,
0 0
C. 15
D. 18
若 © — 2) dx = 3,则 t =
8. 9. 已知t>1, 10.已知 f(x)
若 l2x + 1)dx = t 2,贝U t = _________ .
1
ax 2 + bx + c(a 工0)，且 f( — 1) = 2, f ' (0) =
1
f(x) dx = — 2,求 a 、b 、c 的值.
b
J f
(X )
A. f(x)dx
a B. f(x)dx
a a dx D. f(x)
b dx
a
4、由曲线y x 2与直线y 2x 所围成的平面图形的面积为
5、若y f (x)与y g(x)是[a,b]上的两条光滑曲线的方程则由这两条曲线及直线 面区域的面积为 b
b b b A. [f (x) g(x)]dx B .
[g(x) f (x)]dx C .
| f (x) g(x) |dx D . | f (x)
a a
a
a
6、已知自由下落物体的速度为v gt ，则物体从t 0到t t 。

所走过的路程为 A 知2
B
. gt
02
C
.轨2
D
7、曲线y COSx(0 x —)与坐标轴所围图形的面积是
A. 2 B . 3 C
二、填空题
2 -------------- 2-
1. V 4 x dx =
.
0 ------------------------------------------------------------
2. 一物体在力F(x) 3x 4 (单位：N )的作用下，沿着与力相同的方向从 位：)则力F(x)所作的功为 _____________________ . 三、解答题：
1、求下列曲线所围成的图形的面积
2、求下列曲线所围成的图形的面积 (1) y
e x 1, x In 2, y e 1.
(3)
y sin x, y cosx, x 0,x
—. 2
x2 2ax(a 0)
所围成的图形面积为9a3
，求直线l 的方程.
B.8
C.4
D.?
(1) y e x , y e, x 0. (2) y cosx, x , x
2
0.
x a,x b 所围成的平
()
g(x)dx|
()
-gt 02 4
x 0处运动到x 4处(单 (2) y x, y 3 和 xy 1 .
3、过原点的直线I 与抛物线：y
4、计算抛物线y22x与直线y x 4所围成的图形面积
5、计算由曲线y2x , y x2所围图形的面积S.
6、计算由直线y x 4，曲线y・2x以及x轴所围图形的面积S.。