高中数学定积分综合练习(含答案)

定积分综合练习

一、选择题：

1．将和式的极限)0(.......321lim 1>+++++∞→p n

n P p

p p p n 表示成定积分 （ ）

A ．dx x

⎰1

01

B ．

dx x p

⎰

1

C ．dx x

p

⎰1

0)1(

D ．dx n x p ⎰1

0)(

2．下列等于1的积分是

（ ）

A ．

dx x ⎰

1

B ．dx x ⎰+10

)1(

C ．dx ⎰

1

01

D ．dx ⎰1

021

3．dx x |4|1

02

⎰

-=

（ ）

A ．

321 B ．322

C ．

3

23

D ．

3

25 4．已知自由落体运动的速率gt v =，则落体运动从0=t 到0t t =所走的路程为 （ ）

A ．3

2

0gt B ．2

0gt

C ．2

2

0gt

D ．6

2

0gt

5．曲线]2

3,0[,cos π∈=x x y 与坐标周围成的面积 （ ）

A ．4

B ．2

C ．2

5

D ．3 6．dx e e x x ⎰

-+1

)(=

（ ）

A ．e e 1

+

B ．2e

C ．

e

2

D ．e

e 1-

7．求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（ ）

A ．［0，2e ］

B ．［0，2］

C ．［1，2］

D ．［0，1］ 8．由直线1,+-==x y x y ，及ｘ轴围成平面图形的面积为 （ ） A ．()[]dy y y ⎰--101 B ．()[]dx x x ⎰-+-2101 C ．()[]dy y y ⎰--210

1 D ．()[]dx x x ⎰

+--1

01

9．如果1N 力能拉长弹簧1cm ，为将弹簧拉长6cm ，所耗费的功是 （ ） A ．0.18 B ．0.26 C ．0.12 D ．0.28

10．将边长为1米的正方形薄片垂直放于比彼一时为ρ的液体中，使其上距液面距离为2米，则该正方形薄片

所受液压力为

（ ）

A ．⎰

3

2

dx x ρ

B ．

()⎰+2

1

2dx x ρ

C ．⎰

1

dx x ρ D ．()⎰

+32

1dx x ρ

二、填空题：

12．曲线1,0,2===y x x y ，所围成的图形的面积可用定积分表示为 ．

13．由x y cos =及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为 ． 14．按万有引力定律，两质点间的吸引力2

2

1r m m k

F =，ｋ为常数，21,m m 为两质点的质量，ｒ为两点间距离，若两质点起始距离为ａ，质点1m 沿直线移动至离2m 的距离为ｂ处，试求所作之功（ｂ＞a ） ．

三、解答题：

15．计算下列定积分的值 （1）⎰

--3

1

2

)4(dx x x ； （2）⎰-2

1

5

)1(dx x ； （3）dx x x ⎰+20

)sin (π

； （4）dx x ⎰-

22

2cos π

π；

16．求曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积．

17．求由抛物线ax y 42=与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值.

18．一物体按规律x ＝bt 3作直线运动，式中x 为时间t 内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方．试

求物体由x ＝0运动到x ＝a 时，阻力所作的功．

19．设y =f （x ）是二次函数,方程f （x ）=0有两个相等的实根，且f ′（x ）=2x +2. （1）求y =f （x ）的表达式；

（2）求y =f （x ）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.

（2）若直线x =－t （0＜t ＜1＝把y =f （x ）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值.

20．抛物线y=ax 2＋bx 在第一象限内与直线x ＋y=4相切．此抛物线与x 轴所围成的图形的面积记为S ．求

使S 达到最大值的a 、b 值，并求S max ．

O

x

y

F A

B

C

D E G

图

参考答案

一、

1．B ；2．C ；3．C ；4．C ；5．D ；6．D ；7．B ；8．C ；9．A ；10．A ； 二、11．

dx x ⎰+1

011；12．dx x ⎰-102)1(；13．dx x ⎰π20|cos |；14．)11(21b

a m km -； 三、

15．（1）

（2）

（3）

（4）

16．解：首先求出函数x x x y 223++-=的零点：11-=x ，02=x ，23=x .又易判断出在)0 , 1(-内，图形在x 轴下方，在)2 , 0(内，图形在x 轴上方，

所以所求面积为dx x x x A ⎰

-++--

=0

1 2

3)2(dx x x x ⎰

++-+

2

0 23)2(12

37=

17．解：焦点坐标为)0,(a F ，设弦AB 、CD 过焦点F ，且OF AB ⊥． 由图得知：FBD FBE AGF ACF S S S S >=>，故AFBDOA ACFDOA S S >． 所求面积为：22 0

23842

a dy a y a A a ⎰

=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛

-=． 18．解：物体的速度233)(bt bt dt

dx

V ='==

．媒质阻力422229)3(t kb bt k kv F zu ===，其中k 为比例常数，k>0．