第1章 动态系统的状态空间描述(2版)

2. 动态系统的两类数学描述
(1)外部描述-经典控制（微分方程）
外部描述通常称为输入、输出描述，这种 描述将系统的输出取为系统外部输入的直接响 应，回避了表征系统内部的动态过程即把系统 当成一个“黑匣”，认为系统的内部结构和内 部信息全然不知，系统描述直接反映了输出变 量与输入变量间的动态因果关系。
■系统:是由相互制约的各个部分有机结合，且具有一定 功能的整体。 ■静态系统:对于任意时刻t，系统的输出惟一地取决于 同一时刻的输入，这类系统称为静态系统。静态系统 亦称为无记忆系统。静态系统的输入、输出关系为代 数方程。 ■动态系统:对任意时刻，系统的输出不仅与t时刻的输 入有关，而且与t时刻以前的累积有关(这种累积在 t0(t0<t)时刻以初值体现出来)，这类系统称为动态系 统。由于t0时刻的初值含有过去运动的累积，故动态 系统亦称为有记忆系统。 动态系统的输入、输出关系为微分方程。
第1章 动态系统的状态空间描述
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 引言 动态系统的状态空间模型 动态系统数学模型变换 离散系统的状态空间描述 MATLAB在系统数学模型变换中的应用
1.1 引言
经典控制理论
(线性、定常、SISO系统)
现代控制理论
（线性、定常、SISO系统 非线性、时变、MIMO系统）
0 B1 L
列写状态方程的一般步骤： （1）确定状态变量（完全、确定的描述系统的 最小独立变量个数）； （2）由物理规律写出关于状态变量的一阶微分 方程组； （3）写出状态变量的导数在等式左端、状态变 量在等式右端的标准形式。
(7)输出方程
在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量及输入 变量间的函数关系式称为系统的输出方程。 例1-2中，若指定uC (t)为输出，且输出一般用y(t)表示， 则输出方程为 (1-10)
1.2 动态系统的状态空间模型
1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 状态空间的基本概念 动态系统状态空间表达式的一般形式 状态空间模型的图示 由系统机理建立状态空间模型示例
1.2.1 状态空间的基本概念 1.系统的基本概念 2. 动态系统的两类数学描述 3.系统状态空间描述的基本概念
1.系统的基本概念
（1-4） 状态方程
RL y ucn RL R0
(1-5) 输出方程
在已知输入u的情况下，解方程式（1-4）、式（1-5）,不仅 可求出输出响应y，而且能获悉系统内部电容上电压随时间变 化的动态过程信息。因此,式（1-4）、式(1-5)是图1-4所示电网 络系统的一种完全描述。
3.系统状态空间描述的基本概念
1.2.2 动态系统状态空间表达式的一般形式
1. 2.
3.
4.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
单输入单输出线性定常连续系统 多输入多输出线性定常连续系统 多输入多输出线性时变连续系统 非线性系统
1.单输入单输出线性定常连续系统
设单输入（u）单输出（y）线性定常n阶连续系统， n 个状态变量为x1(t),x2(t),…,xn(t)，各个系数为常数。 状态方程的一般形式为
(1-8)
令 x1 uc (t ), x2 i(t )
式（1-8）可简写为
0 式中, A 1 L
x1 1 dx (t ) x ，记 x ，x ， x 2 dt 2 x
Ax Bu x
,
(1-9)
1 C R L
【例1-2】建立图1-5所示RLC电路的状态方程
取电容上的电压uC (t)和电感中的电流i(t)作为状态变量， 根据电路原理有
du c (t ) C i (t ) dt di (t ) L Ri(t ) u c (t ) u (t ) dt
(1-6)
将式（1-6）中状态变量的一阶导数放在方程左边， 其余项移至方程右边，整理得一阶微分方程组为
du c (t ) 1 i (t ) dt C di (t ) 1 R 1 u c (t ) i (t ) u (t ) dt L L L
(1-7)
式（1-7）即为图1-5所示电路的状态方程,并将其写成向 量-矩阵形式，即
du c (t ) dt 0 di(t ) 1 dt L 1 0 C u c (t ) 1 u (t ) R i ( t ) L L
【例1-1】确定图1-5所示电路的状态变量。
图1-5 RLC电路
要惟一地确定t时刻电路的运动行为，除了要知道输 入电压u(t)外，还必须给出流过电感上的初始电流i(t0)和 电容上的初始电压uC (t0) ，或者说uC (t)和i(t)这两个变量 可用来完全地描述该电路的运动行为，且它们之间是独 立的，故uC (t)和i(t)是该电路的状态变量。
(1-13)
输出方程
为正确理解状态空间的基本概念,应注意如下几点: ■系统输出和系统状态在概念上的不同 ■状态变量的非惟一性 ■任意两组状态变量之间的关系
同一系统所任意选取的两个状态向量之间为线性 非奇异变换关系。
■线性非奇异变换下，系统任意两个状态空间表 达式的关系
系统的状态空间表达式不具有惟一性,选取不同的 状态变量,便会有不同的状态空间表达式,但它们均描 绘同一系统。对于一个动态系统，一组状态变量下的 状态空间表达式可用另一组状态变量下的状态空间表 达式经线性非奇异变换得到。
（1-23）
y c1 x1 c2 x2 cn xn Du
(1-24)
则其向量-矩阵方程形式的状态空间表达式为
1 a11 a12 x 2 x a 21 a 22 n a n1 a n 2 x y c1 c 2 式(1-25)简记为 a1n x1 b1 x b a2n 2 2 u a nn x n bn x1 x c n 2 Du xn
考察图1-4所示的n级RC网络。图中虚线框内为具有放大 器隔离的n级RC电路,设放大器的输入阻抗为无穷大，输出 阻抗为零，放大倍数为1。
图1-4 n级RC网络
系统以输入u、输出y作为变量的外部描述为式(1-3) 所示的高阶线性常系数微分方程,即
y
( n)
a1 y
( n1)
an1 y
(1)
an y bu
（1-3）
在已知输入u的情况下，解方程式（1-3），可求出输出响应y, 但不能得知系统内部电容上电压随时间变化的动态过程。
(2)内部描述-现代控制（状态空间）
状态空间描述是内部描述的基本形式，这种描述是基 于系统内部结构分析的一类数学模型。其由两个数学方程 组成:
一个是反映系统内部状态变量x1,x2,…,xn 和输入 变量u1,u2,…,ur间因果关系的数学表达式，称为 x 状态方程。其数学表达式的形式对于连续时间系 统为一阶微分方程组，对于离散时间系统为一阶 差分方程组; ② 另一个是表征系统内部状态变量x1,x2,…,xn及输入 变量u1,u2,…,ur与输出变量y1,y2,…,ym 转换关系的 数学表达式，称为输出方程。其数学表达式的形 式为代数方程。
(1-25)
Ax Bu x y Cx Du
(1-26)
Ax Bu x y Cx Du
式中 , x x1
a11 a A 21 a n1
(9)工程问题中状态变量的选取 ■状态变量可以用来直接描述系统能量。动态系统需用微分方程
描述是因为动态系统含有储能元件,因而,动态系统是一个能存 储输入信息的系统。对同一系统的任何一种不同的状态空间表 达式而言,其状态变量的数目是惟一的,必等于系统的阶数,即 系统中独立储能元件的个数。在具体工程问题中，可选取独立 储能元件的能量方程中的物理变量作为系统的状态变量。 在交流电路中,平均功率为0,也就是无功率消耗,无能量的消 耗,只有能量的转换.所以称为储能元件（储能元件：电容（存 储电荷）、电感（存储磁通引起的材料极化能）、化学电池） ■状态变量是可以直接被测量的。 状态变量不一定是物理可测量的，有时仅有数学意义而无任何物 理意义。在具体工程问题中，为了实现状态的反馈控制，以选 择容易测量的量作为状态变量为宜，例如,选择机械系统中的 线（角）位移和线（角）速度作为状态变量，电路中电容上的 电压和流经电感的电流作为状态变量。
y(t ) u c (t ) x1
将式(1-10)写成写成向量-矩阵形式,得
u c (t ) y(t ) 1 0 i ( t )
或
x1 y 1 0 x2
(1-11) (1-12)
式（1-11）可简写成 式中, C [1 0] 。
1 a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1u x 2 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 u x n a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn u x
输出方程的一般形式为
(5)状态轨迹 状态向量的端点在状态空间中的位置代表 了某一特定时刻系统的状态。系统的状态是时 间t的函数。在不同时刻，系统状态不同，则随 着t的变化,状态向量的端点不断移动，其移动 的路径就称为系统的状态轨迹。 (6)状态方程 描述系统状态变量间或状态变量与系统输 入变量间关系的一个一阶微分方程组(连续系 统)或一阶差分方程组（离散系统）,称为状态 方程。
(3)状态向量
设x1(t),x2(t),…,xn(t)是系统的一组状态变量，将这些状 态变量视为向量x(t)的分量，则x(t)就称为状态向量，记为
x1 (t ) x (t ) x n (t )