【中学课件】函数图形的描绘

a
5
第三步 用 特 殊 点 将 函 数 的 定 义 域 划 分 成 几 个 部 分 区 间 ,列 成 表 格 . 确 定 在 这 些 部 分 区 间 内 f'(x)和 f"(x)的 符 号 ， 并 由 此 确 定 函 数 的 增 减 性 、 极 值 和 函 数 的 凹 凸 性 和 拐 点 。
第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其 他变化趋势;
B(1,6), C(2,1). y
6B
1
C
3 2 1 o 1 2
2
A
3
a
x
9
例2
作函(数 x)
1
x2
e2
的图 . 形
2
解 D:(, ), W:0(x) 1 0.4. 2
偶函数, 图形关于y轴对称.
(x)
x
x2
e 2,
2
(x)(x1)x (1)ex22. 2
令 (x)0,
得驻x点 0,
令 (x)0, 得特x殊 1,点 x1.
a
12
x (, 1) 1 ( 1 , 1 ) 1
3
3
33
3
( 1 ,1 ) 3
1 (1,)
f (x)
0
0
f(x) f (x)
极大值
32
27
拐点
(1 , 16) 3 27
极小值
0
y
B (0,1)
C (3,5) 28
A (1,0)
1
1 o 1
1
x
3
a3
13
例如 yarctxa, n
有水平渐近线两条: y, y.
2
2
a
4
2、图形描绘的步骤
利用函数特性描绘函数图形. 第一步 确 定 函 数 yf(x )的 定 义 域 ,利 用 函 数 奇 偶 性 、 周 期 性 缩 小 范 围 ;
第二步 确 定 特 殊 点 :曲 线 与 x 轴 的 交 点 ,即 :f(x )= 0 ; 使 f'(x ) 0 和 f" (x ) 0 及 导 数 不 存 在 的 点 .
f(x)4(xx3 2),
f(Leabharlann Baidu)8(xx4 3).
令 f(x)0, 得驻 x点 2,
令 f(x)0, 得特殊 x点 3.
lx i m f(x)lx i [m 4(x x 21)2]2, 得水平渐y近线 2;
a
7
作函 f(x)数 4(x x 21)2的图 . 形
lx i0m f(x)lx i0[m 4(x x 21)2] , f(x)4(xx32),
lim (x)lim1
x2
e2
0,
得水平渐近 y线 0.
x
x 2
a
10
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:
x ( ,1)1 (1,0) 0 (0,1) 1 (1,)
(x)
0
(x) (x)
0 0
拐点
(1, 1 ) 2e
极大值
1
2
拐点
(1, 1 ) 2e
y1
2
1
o
a
1
x
11
例3 作函 f(x) 数 x3x2x1的.图形
解 D:(, ),无奇偶性及周期性.
f(x ) ( 3 x 1 )x ( 1 ),f(x ) 2 (3 x 1 ).
令 f(x)0, 得驻 x点 1, x1. 3
令 f(x)0,
得特殊x点 1. 3
补充点:
A(1,0),
B(0,1),
C (3 , 5). 28
列表确定函数升降区间, 凹凸区间及极值点与拐点:
第八节 函数图形的描绘
函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导 数应用的综合考察.
y
凸的
单增
y f (x)
极
凹的 最
拐 点
大 值
小
值
a
o
单减
最 大 值 极 小 值
bx
a
1
1、渐近线
定义: 当曲线 y f ( x) 上的一动点 P 沿着曲线 移向无穷点时, 如果点 P 到某定直线 L 的距离 趋向于零, 那么直线 L 就称为曲线 y f ( x) 的 一条渐近线. 铅直渐近线 (垂直于 x轴的渐近) 线
如果limf(x)或limf(x)
xx0
xx0
那么 xx0就是 yf(x)的一条铅直 . 渐近
a
2
例如 y
1
,
(x2)(x3)
有铅直渐近线两条: x 2 , x 3 .
a
3
水平渐近线 (平行于 x轴的渐近) 线
如果limf(x)b或limf(x)b (b为常) 数
x
x
那么 yb就是 yf(x)的一条水平 . 渐近
得铅直渐近 x线 0.
f(x)8(xx4 3).
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:
x ( ,3) 3 (3,2)2 (2,0) 0 (0,)
f(x) 0
不存在
f(x) f (x)
0
拐点
(3, 26) 9
极值点
a 3
间 断 点
8
补充点: (13 ,0 ),(13 ,0 );
A(1,2), 作图
第五步 描 出 与 方 程f'(x)0和 f"(x)0的 根 对 应 的 曲 线 上 的 点 ， 有 时 还 需 要 补 充 一 些 点 ， 再 综 合 前 四 步 讨 论 的 结 果 画 出 函 数 的 图 形 .
a
6
3、作图举例
例1 作函 f(x)数 4(x x 21)2的图 . 形 解 D:x0, 非奇非偶函数,且无对称性.