小学五年级奥数高斯课本

位值原理

一、知识引领

在十进制中，每个数都是由0~9这十个数字中的若干个组成的，而每个数字在数中都占一个数位，数的大小是由数字和数字所处的数位两方面共同决定的。比如一个数由1、2、3三个数字组成，我们并不能确定这个数是多少，因为1、2、3能组成很多数，例如213、321、123……但如果说1在百位，2在十位，3在个位这样去组成一个数，就能很清楚地知道这个数应该是123。

从这个例子可以看出，一个数字在不同的数位上表示不同的大小：

个位上的数字代表几个1；

十位上的数字代表几个10；

百位上的数字代表几个100；

……

那么可以利用这种办法将一个多位数拆开，例如123=1×100+2×10+3×1，这个结论被称为位值原理。有的时候，为了分析问题方便，我们并不能将多位数逐位展开，而是采用整体展开的办法，如23456=23×1000+45×10+6，我们将在后面的例题中看到这些方法的具体应用。

二、精讲精练

例题1：一个两位数等于它的数字和的6倍，求这个两位数。

练习一：一个两位数等于它的数字和的7倍，这个两位数可能是多少？

例题2：在一个两位数的两个数字中间加一个0，所得的三位数比原数大8倍，求这两个数。

练习2：在一个两位数的两个数字之间加一个0，所得的三位数是原数的6倍，求这个两位数。

例题3：一个三位数，把它的个位和百位调换位置之后，得到一个新的三位数，这个新三位数和原三位数的差的个位数字是7。试求两个数的差。

练习3：把一个三位数颠倒顺序后得到一个新数，这个数比原数大792，那么原来的三位数最大可以是多少？

例题4：若用相同汉字表示相同数字，不同汉字表示不同数字，则在等式“学习爱̅̅̅̅̅̅̅̅̅×2=爱学习̅̅̅̅̅̅̅̅̅×5”中，“学习爱”所表示的三位数最小是多少？

练习4：若用相同汉字表示相同数字，不同汉字表示不同数字，则在等式“用微信交作业̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅×2=交作业用微信̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅×5”中，“用微信交作业”所表示的六位数最小是多少？

三、奥赛传真

1、（1）851= ×100+ ×10+ ×1；（2）55984= ×1000+ ×10+ ×1.

2、（1）nba

̅̅̅̅̅= ×100+ ×10+ ×1; （2）3下5除2̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅= ×10000 ×100+ ×1.

3、在一个两位数的两个数字中间加一个0，所得到的三位数是原数的7倍，这个两位数是 .

4、将一个两位数的个位数字和十位数字交换位置，得到一个新的两位数。它比原来的两位数小54，那么原来的两位数最小是 .

5、将一个两位数的个位数字和十位数字交换位置，得到一个新的两位数。它与原来的两位数的和是187，那么原来两位数是 .

等积变形

一、知识引领

三角形和平行四边形的关系非常紧密，回想它们的面积公式，如果我们把一个平行四边形沿对角线分成两块，那么每个三角形的面积正好是平行四边形的一半，如图：

除了上面这种情形外，如下图中的阴影三角形由于和平行四边形底、高都相同，所以面积也是平行四边形的一半。（注意：长方形也是平行四边形）

二、精讲精练

例题1：如图，已知平行四边形ABCD的面积是100平方厘米，E是其中的任意一点，那么图中阴影部分面积是多少平方厘米？

练习1：如图，E是平行四边形ABCD中的任意一点，已知∆AED与∆EBC的面积和是40平方厘米，那么图中阴影部分的面积是多少？

例题2：如图，平行四边形ABCD的底边AD长20厘米，高CH为9厘米；E是底边BC上任意的一点，那么两个阴影三角形的面积之和是多少平方厘米？

练习2：如图平行四边形ABCD的面积是100平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？

例题3：如图，大正方形的边长是10厘米，小正方形的边长是8厘米。求阴影部分的面积。

练习3：如图，大正方形的边长是10厘米，小正方形的边长是8厘米。求阴影部分的面积。

例题4：在长方形中有几部分的面积已经标出，那么四边形ABCD的面积是多少？练习4：在长方形中有几部分的面积已经标出，那么四边形ABCD的面积是多少？

三、疯狂操练

1、如图所示，梯形ABCE是由正方形ABCD和等腰直角三角形CDE构成的，已知等腰直角三角形的斜边是10厘米，那么∆BCE的面积是平方厘米。

2、如图，长方形ABCD的面积为6，平行四边形BECF的面积为。

3、如图所示，一个长方形被分成4个不同的三角形，红色三角形的面积是9平方厘米，黄色三角形的面积是21平方厘米，绿色三角形的面积是10平方厘米，那么蓝色三角形的面积是平方厘米。

4、如图，长方形的长为16，宽为5。阴影三角形的面积和为。

5、在长方形中有几部分的面积已经标出，那么四边形ABCD的面积是。

格点与面积

一、知识引领

在平面几何知识中，面积计算是最重要的组成部分之一。我们已经学过了长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形面积公式，你还记得这些公式吗？

这一讲我们将学习格点图形的面积。用线段连结格点围成的封闭图形称之为格点图形。

虽然我们已经学习了基本直线形的面积公式，然而大多数的格点图形都无法直接计算面积，需要我们通过这节课的探索学习去找到方法。常见的格点有正方形格点和三角形格点。

二、精讲精练

例题1：图中每个小正方形的面积都是1平方厘米，那么三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米？

练习1：图中相邻两格点间的距离均为1厘米，那么阴影图形的面积分别是多少平

方厘米？

例题2：图中相邻格点围成的最小正方形的面积为1平方厘米。这个多边形的面积是多少平方厘米？

练习2：图中相邻格点围成的最小正方形的面积为1平方厘米。这个多边形的面积是多少平方厘米？

例题3：如图，相邻两格点间的距离均为1厘米，求阴影部分的面积。

练习3：如图，每一个最小正方形的面积都是2，阴影部分的面积是多少？