趣味数学题

趣味数学题

韩信点兵

今有物，不知其数。三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何。

这是我国古代名著《孙子算经》中的一道题。意思是：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2。求适合这些条件的最小自然数。

想：此题可用枚举法进行推算。先顺序排出适合其中两个条件的数，再在其中选择适合另一个条件的数。

解：除以5余3的数：

3，8，13，18，23，28，……

除以7余2的数：

2，9，16，23，30，37，……

同时满足以上两个条件的数：

23，58，……

满足上两个条件，又满足除以3余2的最小自然数是23。

答：符合条件物体个数是23。

我国古代对解这类问题编了这样的歌诀：

三人同行七十稀，

五树梅花廿一枝，

七子团圆正月半，

除百零五便得知。

意思是：一个自然数除以3得到的余数乘以70，除以5得到的余数乘以21，除以7得到的余数乘以15，积相加。如果和大于105，连续减105，直到小于105为止，这样得到的最小自然数，就是所求的结果。具体解法是：

2×70+3×21+2×15

=140+63+30

=233

233-105×2

=233-210

=23

鸡兔同笼

今有鸡兔同笼，上有35个头，下有94只脚。鸡兔各几只？

想：假设把35只全看作鸡，每只鸡2只脚，共有70只脚。比已知的总脚数94只少了24只，少的原因是把每只兔的脚少算了2只。看看24只里面少算了多少个2只，便可求出兔的只数，进而求出鸡的只数。

解：兔的只数：

（94-2×35）÷（4-2）

=（94-70）÷2

=24÷2

=12（只）

鸡的只数：

35-12=23（只）

答：鸡有23只，兔有12只。

此题也可以假设35只全是兔，先求鸡的只数，再求兔的只数。

解决这样的问题，我国古代有人想出更特殊的假设方法。假设一声令下，笼子里的鸡都表演“金鸡独立”，兔子都表演“双腿拱月”。那么鸡和兔着地的脚数就是总脚数的一半，而头数仍是35。这时鸡着地的脚数与头数相等，每只兔着地的脚数比头数多1，那么鸡兔着地的脚数与总头数的差等于兔的头数。我国古代名著《孙子算经》对这种解法就有记载：“上署头，下置足。半其足，以头除足，以足除头，即得。”具体解法：兔的只数是94÷2-35=12（只），鸡的只数是35-12=23（只）。

百羊问题

甲赶群羊逐草茂，乙拽肥羊一只随其后；戏问甲及一百否？甲云所说无差谬，若得这般一群凑，再添半群小半群，得你一只来方凑。玄机奥妙谁猜透？

题目的意思是：甲赶了一群羊在草地上往前走，乙牵了一只肥羊紧跟在甲的后面。乙问甲：“你这群羊有一百只吗？”甲：“如果再有这么一群，再加半群，又加四分之一群，再把你的一只凑进来，才满100只。”请问甲原来赶的羊一共有多少只？

本题刊于我国明代著名数学家程大位的《算法统宗》一书上。根据程大位自述，这题以及其他一些诗歌形式的算题，是他在1406年参加《永乐大典》编纂工作时，用业余时间编制的。这道题不仅在我国流传很广，而且国外不少数学家也广为引用，或进行改编。

以谷换米

设有谷换米，每谷一石四斗（旧时的容量单位，1石=10斗，1斗=10升，1升=10合）换米八斗四升。今有谷三十二石六斗八升，问换米几何？

题意是：用稻谷1石4斗，可换米8米4斗。照这样算法，稻谷32石6斗8升，可以换得大米多少？本题出自清代康熙年间（1674年）编辑的算书《御制数理精蕴》。

二马三牛四羊

今有二马三牛四羊，价格各不满一万。若马添牛一，牛添羊一，羊添马一，则各满一万。问：三色各一，价钱几何？

题意是：今有2匹马、3头牛和4只羊，它们各自的总价都不满10000文钱（古时的货币单位）。如果2匹马加上1头牛，或者3头牛加上1只羊，或者4只羊加上1匹马，那么它们各自的总价都正好是10000文钱了。问：“马、牛、羊的单价各是多少文钱？

本钱是元代数学家朱世杰，于1299年编著的《算学启蒙》中的一道著名的题目。解答本题时，可先根据条件列出三个包含文字的等式，然后设法用消去法算得结果。

两鼠穿垣

今有垣厚五尺，两鼠对穿。大鼠日一尺，小鼠亦一尺。大鼠日自倍，小鼠日自半。问：何日相逢？各穿几何？

题意是：有垛厚五尺（旧制长度单位，1尺=10寸）的墙壁，大小两只老鼠同时从墙的两面，沿一直线相对打洞。大鼠第一天打进1尺，以后每天的进度为前一天的2倍；小鼠第一天也打进1尺，以后每天的进度是前一天的一半。它们几天可以相遇？相遇时各打进了多少？

此题刊于我国著名的古典数学名著《九章算术》一书的“盈不足”一章中。《九章算术》成书大约在公元一世纪，由于年代久远，它的作者以及准确的成书年代，至今尚未能考证出来。该书是采用罗列一个个数学问题的形式编排的。全书共收集了246道数学题，分成九大类，即九章，所以称为《九章算术》。