直线和圆的三种位置关系
直线与圆的位置关系—知识讲解
直线与圆的位置关系—知识讲解责编：常春芳【学习目标】1.理解并掌握直线与圆的三种位置关系；2.理解切线的判定定理和性质定理.【要点梳理】要点一、直线与圆的位置关系1．直线和圆的三种位置关系：(1) 相交：当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交．(2) 相切：当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切．这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点．(3) 相离：当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离．2．直线与圆的位置关系的判定和性质．直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．一般地，直线与圆的位置关系有以下定理：如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么，（1）d＜r直线l与⊙O相交；（2）d=r直线l与⊙O相切；（3）d＞r直线l与⊙O相离.要点诠释：这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．要点二、切线的判定定理和性质定理1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 2．切线的性质定理：经过切点的半径垂直于圆的切线.【典型例题】类型一、直线与圆的位置关系【高清ID号：356966 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3厘米，BC=4厘米，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？(1)r=2厘米； (2)r=2.4厘米； (3)r=3厘米【答案与解析】解：过点C作CD⊥AB于D，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=3，BC=4，得AB=5，，∴AB·CD=AC·BC，∴AC BC34CD===2.4AB5∙⨯(cm)，（1）当r=2cm时，CD＞r，∴圆C与AB相离；（2）当r=2.4cm时，CD=r，∴圆C与AB相切；(3）当r=3cm时，CD＜r，∴圆C与AB相交．【总结升华】欲判定⊙C与直线AB的关系，只需先求出圆心C到直线AB的距离CD的长，然后再与r比较即可．举一反三：【变式】已知⊙O的半径为10cm，如果一条直线和圆心O的距离为10cm，那么这条直线和这个圆的位置关系为（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 相交或相离【答案】B.类型二、切线的判定与性质2．如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D．求证：AC是⊙D的切线．【思路点拨】作垂直，证半径．【答案与解析】证明：过D作DF⊥AC于F．∵∠B＝90°，∴DB⊥AB．又AD平分∠BAC，∴ DF＝BD＝半径．∴ AC与⊙D相切．【总结升华】如果已知条件中不知道直线与圆有公共点，其证法是过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长等于半径的长即可．3．（2016•三明）如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长．【思路点拨】（1）直线DE与圆O相切，理由如下：连接OD，由OD=OA，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到∠ODE为直角，即可得证；（2）连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8﹣x，在直角三角形OCE中，利用勾股定理列出关于x 的方程，求出方程的得到x的值，即可确定出DE的长．【答案与解析】解：（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：连接OD，∵OD=OA，∴∠A=∠ODA，∵EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED，∴∠B=∠EDB，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ODA+∠EDB=90°，∴∠ODE=180°﹣90°=90°，∴直线DE与⊙O相切；（2）连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8﹣x，∵∠C=∠ODE=90°，∴OC2+CE2=OE2=OD2+DE2，∴42+（8﹣x）2=22+x2，解得：x=4.75，则DE=4.75．【总结升华】此题考查了直线与圆的位置关系，以及线段垂直平分线定理，熟练掌握直线与圆相切的性质是解本题的关键．4．如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AE＝8，⊙O的半径为5，求DE的长．【思路点拨】（1）连接OD，证明OD∥AD即可；（2）作DF⊥AB于F，证明△EAD≌△FAD，将DE转化成DF来求.【答案与解析】解：（1）直线DE与⊙O相切．理由如下：连接OD．∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠OAD．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD．∴∠ODA＝EAD．∴EA∥OD．∵DE⊥EA，∴DE⊥OD．又∵点D在⊙O上，∴直线DE与⊙O相切．（2）如上图，作DF⊥AB，垂足为F．∴∠DFA＝∠DEA＝90°．∵∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，∴△EAD≌△FAD．∴AF＝AE＝8，DF＝DE.∵OA＝OD＝5，∴OF＝3．。
直线与圆的三种位置关系
(1)若直线AB与⊙C相离，则r的取值范围为
____________
(2)若直线AB与⊙C相切，
B
则r的取值为____________
4
(3)若直线AB与⊙C相交，
则r的取值范围为____________ C
5
D
3A
思维拓展：
如图直线l1与l2垂直，垂足为O，AM⊥l1于M，AN⊥l2于 N，AM=4,AN=3，以A为圆心，R为半径作⊙A根据下列
类似点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系 是否也可以用数量关系来刻画呢?
A
B
A
类似点和圆的位置关系，直线和圆的位 置关系是否也可以用数量关系来刻画呢?ຫໍສະໝຸດ .Odr .A
.B
.O
d r .D
l
C
H 相离
l 相切
1、直线与圆相离 <=> d>r 2、直线与圆相切 <=> d=r 3、直线与圆相交 <=> d<r
C
A
D
B
练习、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm， BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB 有怎样的位置关系？为什么？ （1）r=2cm；（2）r=2.4cm； (3)r=3cm．
B
4
D
C
3A
练习2：在△ABC中，AB=5㎝,CB=4㎝,AC=3㎝,
以点C为圆心，r为半径画⊙C，
条件，确定R的取值范围。
L1
M
A
L2
O
N
1）若⊙A与两直线无公共点,则R的取值范围为____； 2）若⊙A与两直线共有一个公共点,则R的取值为__； 3）若⊙A与两直线共有两个公共点,则R的取值范围为_； 4）若⊙A与两直线共有三个公共点，则R的取值为____； 5）若⊙A与两直线共有四个公共点，则R的取值范围为_。
直线与圆的三种位置关系
点和圆的位置关系有几种？
A C
点到圆心的距离为d， B 圆的半径为r，则：
点在圆外 点在圆上 点在圆内
d>r; d=r； d<r.
数形结合： 位置关系
数量关系
同学们，在我们的生活中到处都 蕴含着数学知识，下面老师请同学们 欣赏美丽的
海上日出
从海上日出这种自然现象中可以抽象出 哪些基本的几何图形呢？
B
分析：要了解AB与⊙C的位置
关系，只要知道圆心C到AB的
距离d与r的关系．已知r，只需4
求出C到AB的距离d。
C
D
d A
3
解：过C作CD⊥AB，垂足为D
在△ABC中，
AB= AC2 BC2 32 42 5 根据三角形的面积公式有
1 CD AB 1 AC BC
2
2
∴ CD AC BC 3 4 2.4(cm)
2、判定直线 与圆的位置关系的方法有_两___种： （1）根据定义，由_直__线___与__圆__的__公__共__点__的 个数来判断；
（2）根据性质，由_圆__心__到__直__线__的__距__离__d____ ______与__半__径__r__的关系来判断。
在实际应用中，常采用第二种方法判定。
知识像一艘船
让它载着我们 驶向理想的 ……
AB
5
D
d
即圆心C到AB的距离d=2.4cm 所以 (1)当r=2cm时, 有d>r, 因此⊙C和AB相离。
（2）当r=2.4cm时,有d=r, 因此⊙C和AB相切。
D
d
（3）当r=3cm时，有d<r， 因此，⊙C和AB相交。
D
d
直线与圆的位置关系
直线与圆、圆与圆的位置关系【知识梳理】1.点与圆的位置关系: 有三种：点在圆外，点在圆上，点在圆内.设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ，则点在圆外⇔d ＞r ．点在圆上⇔d=r ．点在圆内⇔d ＜r ．2.直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离．设圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，则直线与圆相交⇔d ＜r ，直线与圆相切⇔d=r ，直线与圆相离⇔d ＞r3.圆与圆的位置关系(1)同一平面内两圆的位置关系：①相离:如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离．②若两个圆心重合，半径不同观两圆是同心圆.③相切:如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切．④相交:如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交．(2)圆心距：两圆圆心的距离叫圆心距．(3)设两圆的圆心距为d ，两圆的半径分别为R 和r ，则①两圆外离⇔d ＞R+r ；有4条公切线；②两圆外切⇔d=R ＋r ；有3条公切线；③两圆相交⇔R －r ＜d ＜R+r （R ＞r ）有2条公切线；④两圆内切⇔d=R －r （R ＞r ）有1条公切线；⑤两圆内含⇔d ＜R —r （R ＞r ）有0条公切线．（注意：两圆内含时，如果d 为0，则两圆为同心圆）4.切线的性质和判定(1)切线的定义：直线和圆有唯一公共点门直线和圆相切时，这条直线叫做圆的切线．(2)切线的性质：圆的切线垂直于过切点的直径．(3)切线的判定：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．【例题精讲】例1.⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离为5，则直线a 与⊙O 的位置关系为（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含例2. 如图1，⊙O 内切于ABC △，切点分别为D E F ，，．50B ∠=°，60C ∠=°，连结OE OF DE DF ，，，，则EDF ∠等于（ ）例题2图A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°例3. 如图，已知直线L 和直线L 外两定点A 、B ，且A 、B 到直线L 的距离相等，则经过A 、B 两点且圆心在L 上的圆有（ ）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．0个或1个或无数个例4．已知⊙O 1半径为3cm ，⊙O 2半径为4cm ，并且⊙O 1与⊙O 2相切，则这两个圆的圆心距为（ ） A.1cm B.7cm C.10cm D. 1cm 或7cm例5．两圆内切，圆心距为3，一个圆的半径为5，另一个圆的半径为 例6．两圆半径R=5，r=3，则当两圆的圆心距d 满足___ ___•时，•两圆相交；• 当d•满足___ ___时，两圆不外离．例7．⊙O 半径为6.5cm ，点P 为直线L 上一点，且OP=6.5cm ，则直线与⊙O•的位置关系是____例8．如图，P A 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交P A 、PB 于点E 、F ，切点C 在弧AB 上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是 _．例9. 如图，⊙M 与x 轴相交于点(20)A ，，(80)B ，，与y 轴切于点C ，则圆心M 的坐标是 例10. 如图，四边形ABCD 内接于⊙A ，AC 为⊙O 的直径，弦DB ⊥AC ，垂足为M ，过点D 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点E ，若AC=10，tan ∠DAE=43，求DB 的长．【当堂检测】1.如果两圆半径分别为3和4，圆心距为7，那么两圆位置关系是（ ）A ．相离B ．外切C ．内切D ．相交2.⊙A 和⊙B 相切，半径分别为8cm 和2cm ，则圆心距AB 为（ ）A ．10cmB ．6cmC ．10cm 或6cmD ．以上答案均不对3.如图，P 是⊙O 的直径CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于（ ）A. 15 B. 30 C. 45 D.604. 如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于 （ ） A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）2145.如图，在10×6的网格图中(每个小正方形的边长均为1个单位长)．⊙A 半径为2，⊙B 半径为1，需使⊙A 与静止的⊙B 相切，那么⊙A 由图示的位置向左平移个单位长. OD C B Ax y M B A O C l B A 例题3图 例题8图 例题9图 •A B P C EF •O 例题10图 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图OO2O16. 如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C＝90，AO的延长线交BC于点D，AC＝4，DC ＝1，，则⊙O的半径等于（）A.45B.54C.43D.657.⊙O的半径为6，⊙O的一条弦AB长63，以3为半径⊙O的同心圆与直线AB的位置关系是( ) A.相离 B.相交 C.相切 D.不能确定8.如图，在ABC△中，12023AB AC A BC=∠==，°，，A⊙与BC相切于点D，且交AB AC、于M N、两点，则图中阴影部分的面积是（保留π）．9.如图，B是线段AC上的一点，且AB：AC=2：5，分别以AB、AC为直径画圆，则小圆的面积与大圆的面积之比为_______．10. 如图，从一块直径为a+b的圆形纸板上挖去直径分别为a和b的两个圆，则剩下的纸板面积是___．11. 如图，两等圆外切，并且都与一个大圆内切．若此三个圆的圆心围成的三角形的周长为18cm．则大圆的半径是______cm．12.如图，直线AB切⊙O于C点，D是⊙O上一点，∠EDC=30º，弦EF∥AB，连结OC交EF于H点，连结CF，且CF=2，则HE的长为_________．13. 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B，若直径AC=12cm，∠P=60°．求弦AB的长．中考题型一、选择题1.（2009年·宁德中考）如图，直线AB与⊙O相切于点A，⊙O的半径为2，若∠OBA = 30°，则OB的长为（）A．43 B．4 C．23 D．2（第1题图）（第2题图）2.（2009年·潍坊中考）已知圆O的半径为R，AB是圆O的直径，D是AB延长线上一点，DC是圆O的切线，C是切点，连结AC，若∠CAB=30°，则BD的长为（）A．2R B．3R C．R D．32RBPAOC第8题图第9题图第11题图第10题图第12题图第13题图3.（2009年·襄樊中考）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，DC 切⊙O 于C,若∠A=25°则∠D 等于（ ）A ．40°B ．50°C ．60° D．70°（第3题图） （第4题图）4．（2009年湖南省邵阳市）如图AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，，A 为切点，连结BC 交圆0于点D,连结AD,若∠ABC ＝450,则下列结论正确的是（ ） A.AD ＝21BC B.AD ＝21AC C.AC ＞AB D.AD ＞DC二、填空题5.（2009年·綦江县中考）如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交O ⊙于点C ，连结BC ，若34A ∠=°，则C ∠= ．（第5题图） （第6题图）6.（2009年·庆阳市中考）如图直线AB 与⊙O 相切于点B ，BC 是⊙O 的直径，AC 交⊙O 于点D ，连结BD ，则图中直角三角形有 个．三、解答题7.（2009桂林百色）如图，△ABC 内接于半圆，AB 是直径，过A 点作直线MN ，若∠MAC＝∠ABC ．（1）求证：MN 是半圆的切线； （2）设D 是弧AC 的中点，连结BD 交AC 于G ，过D 作DE⊥AB 于E ，交AC 于F ．求证：FD ＝FG ．（3）若△DFG 的面积为4.5，且DG ＝3，GC ＝4，试求△BCG 的面积．课后练习题一、填空题：1、在直角坐标系中，以点（1,2）为圆心，1为半径的圆必与y轴，与x轴2、直线m上一点P与O点的距离是3，⊙O的半径是3，则直线m与⊙O的位置关系是3、R T⊿ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，则以2.4cm为半径的⊙C与直线AB的位置关系是4、如图1，AB为⊙O的直径，CD切⊙O于D，且∠A=30°，⊙O半径为2cm，则CD=5、如图2，AB切⊙O于C，点D在⊙O上，∠EDC=30°，弦EF∥AB，CF=2，则EF=6、如图3，以O为圆心的两个同心圆中，大圆半径为13cm,小圆半径为5cm，且大圆的弦AB切小圆于P，则AB=7、如图4，直线AB与CD相交于点O，∠AOC=30°，点P在射线OA上，且OP=6cm，以P为圆心，1cm为半径的⊙P以1cm/s的速度沿射线PB方向运动。
初三数学直线和圆的位置关系
初三数学直线和圆的位置关系一.直线和圆的位置关系：①相交：直线和圆有两个公共点，这时说这条直线和圆相交；这条直线叫做圆的割线；②相切：直线和圆有唯一公共点，这时说这条直线和圆相切；这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点.③相离：直线和圆没有公共点，这时说这条直线和圆相离．二.直线和圆的位置关系的判定：（1）定理：若⊙O的半径为R，圆心到直线l 的距离为d. 则直线l与⊙O相交d﹤R；直线l与⊙O相切 d =R；直线l与⊙O相离d﹥R；（2）“圆心到直线的距离d和半径R的数量关系”与“直线和圆的位置关系”之间的对应与等价关系列表如下：例1、1.在Rt△ABC中，∠C=，AC=3cm，AB=6cm，以点C为圆心，与AB边相切的圆的半径为_________cm.2.如图，⊙O的半径OD为5cm，直线l⊥OD，垂足为O，则直线l沿射线OD方向平移_________cm时与⊙O相切.3.已知⊙O的直径为6cm，如果直线l上的一点C到圆心的距离为3cm，则直线l与⊙O的位置关系是_________.4.⊙O的半径为R，圆心O到直线l的距离d与R是方程x2－6x＋9=0的两个实数根，则直线l和⊙O的位置关系是_________.三．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；2．切线的性质：①切线垂直于过切点的半径；②切线和圆心的距离等于半径；③经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；④经过切点垂直于切线的直线必过圆心.综上所述，在解决有关圆的切线的问题，连接圆心和切点的线段是最常见的辅助线.四、切线长的定义及切线长定理过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长，如图所示，PA，PB 是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段PA，PB的长即为点P到⊙O的切线长．切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等．例2、如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AD∥CO.求证：CD是⊙O的切线.1、⊙O的半径为R，直线l和⊙O有公共点，若圆心到直线l的距离是d，则d与R的大小关系是（）A.d>RB.d<RC.d≤RD.d≥R2、点A为直线l上任一点，过A点与直线l相切的圆有（）个.A.1 B.2C.不存在 D.无数个3、在Rt△ABC中，∠A=，BA=12，CA=5，若以A为圆心，5为半径作圆，则斜边BC与⊙A的位置关系是（）A.相交 B.相离C.相切 D.不确定4、等边△ABC的边长为6，点O为△ABC的外心，以O为圆心，为半径的圆与△ABC的三边（）A.都相交B.都相离C.都相切D.不确定5、两个同心圆的半径分别为3cm和5cm，作大圆的弦MN=8cm，则MN与小圆的位置关系是（）A．相交 B．相切C．相离D．无法判断6、如图，在直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线与⊙O的位置关系是（）A．相离 B．相交C．相切 D．以上三种情形都有可能7、下列说法正确的是（）A．垂直于切线的直线必过切点B．垂直于半径的直线是圆的切线C．圆的切线垂直于经过切点的半径D．垂直于切线的直线必经过圆心8、已知Rt△ABC的直角边AC=BC=4cm，若以C为圆心，以3cm的长为半径作圆，则这个圆与斜边所在的直线的位置关系是（）A．相交 B．相切C．相离 D．不能确定9、如右上图，在△ABC中，AB=2，AC=1，以AB为直径的圆与AC相切，与边BC交于点D，则AD的长为（）10、如下图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作⊙O的切线，切点为C，若∠A=25°，∠D=__________．11、如图，⊙O的半径为1，圆心O在正三角形的边AB上沿图示方向移动，当⊙O移动到与AC相切时，OA=__________．12、设⊙O的半径为R，⊙O的圆心到直线的距离为d，若d、R是方程x2－6x＋m=0的两根，则直线l 与⊙O相切时，m的值为__________．13、已知∠ABC=60°，点O在∠ABC的平分线上，OB=5cm，以O为圆心，2cm为半径作⊙O，则⊙O与BC的位置关系是__________．14、如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠A的平分线交BC于D，E为AB上一点，DE=DC，以D为圆心，DB的长为半径作⊙D．求证：（1）AC是⊙D的切线；（2）AB＋EB=AC．15、如图，以边长为4的正△ABC的BC边为直径作⊙O与AB相交于点D，⊙O的切线DE交AC于E，EF⊥BC，点F是垂足，求EF的长．16、如图，PA是⊙O的切线，切点是A，过点A作AH⊥OP于点H，交⊙O于点B．求证：PB是⊙O的切线．17、如图，已知AB是⊙O的直径，AB=2，∠BAC=30°，点C在⊙O上，过点C与⊙O相切的直线交AB 的延长线于点D，求线段BD的长．1．弧长公式：n°的圆心角所对的弧长l公式不要死记硬背，可依比例关系很快地随手推得：2．扇形面积公式：（1）和含n°圆心角的扇形的面积公式同样不要死记硬背，可依比例关系很快地随手推得：．（2）将弧长公式代入扇形面积公式中，立即得到用弧长和半径表示的扇形面积公式：。
直线圆的位置关系1直线与圆的位置关系
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法二：直线 l 的方程为 y=k（x-4），即 kx-y-4k=0.
圆心 O 到直线 l 的距离 d= | 4k | ，圆 O 的半径 r=2 2 . k2 1
（1）当 d= | 4k | <2 2 ,即-1<k<1 时，直线 l 与圆 O 相交. k2 1
（2）当 d= | 4k | =2 2 ,即 k=±1 时，直线 l 与圆 O 相切. k2 1
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1.直线与圆有三种位置关系: (1)直线与圆相交,有两个公共点; (2)直线与圆相切,只有一个公共点; (3)直线与圆相离,没有公共点. 2.直线与圆的位置关系的判定方法: (1)代数法:直线与圆的方程联立消去 y(或 x)得到关于 x(或 y)的一元二次方程,此方程的判别式为 Δ,则
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探究要点一:直线与圆相交 1.直线与圆相交求交点坐标,只需联立两方程求解二元二次方程组即可. 2.直线与圆相交时弦长的求法 (1)求出交点坐标,利用两点间距离公式,求出弦长; (2)利用弦长公式求:
d=|x1-x2| 1 k 2 = (1 k 2 ) (x1 x2 )2 4x1x2
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变式训练 1-1：已知圆 O：x2+y2=8，过 P（4，0）的直线 l 的斜率 k 在什么范围内取值时，直线 l 与圆 O： （1）相交？（2）相切？（3）相离？
解：法一：设直线 l 的方程为 y=k（x-4），
y k(x 4)
关于解决直线与圆的位置关系问题的几种常用方法
关于解决直线与圆的位置关系问题的几种常用方法李志民1 直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离。
判断直线与圆的位置关系常见的有三种方法：判别式 相交1.1代数法： 相切Δ=b2-4ac 相离1.2 几何法:利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系:d＜r 相交,d=r 相切,d＞r相离(三)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．此法适用于动直线问题。
2 计算直线被圆截得的弦长的常用方法2.1 几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算。
2.2 代数方法一是直接求出直线与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式得出；二是运用韦达定理及弦长公式|AB|= |x A-x B|=.]4))[(1(22BABAxxxxk-++说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法。
3 求过点P（x0,y0）的圆x2+y2=r2的切线方程3.1 若P（x0，y0）在圆x2+y2=r2上， 则以P为切点的圆的切线方程为：x0x+y0y=r23.2 若P（x0，y0）在圆x2+y2=r2外，则过P的切线方程可设为：y-y0=k（x-x0），利用待定系数 法求解。
说明：k为切线斜率，同时应考虑斜率不存在的情况.4 例题选讲：例1. 已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12。
(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；(2)求直线l被圆C截得的最短弦长。
(1)证明 由消去y得(k2＋1)x2－(2－4k)x－7＝0，因为Δ＝(4k－2)2＋28(k2＋1)>0，所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．(2)解 设直线与圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则直线l被圆C截得的弦长|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝28－4k＋11k21＋k2＝2 11－4k＋31＋k2，令t＝4k＋31＋k2，则tk2－4k＋(t－3)＝0，当t＝0时，k＝－34，当t≠0时，因为k∈R，所以Δ＝16－4t(t－3)≥0，解得－1≤t≤4，且t≠0，故t＝4k＋31＋k2的最大值为4，此时|AB|最小为27。
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系一、直线与圆的位置关系位置关系有三种：相交、相切、相离•判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：(1)代数法：将直线方程与圆的方程联立成方程组，利用消元法消去一个元后，得到关于另一个元的一元二次方程，求出其厶的值，然后比较判别式厶与0的大小关系.若.■: ::: 0，则直线与圆相离；若抡.=0, 则直线与圆相切；若■ = 0，则直线与圆相交.(2)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系：d ::：r=相交，d =r：=相切，d . r = 相离.二、计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1 )几何方法：运用弦心距、弦长的一半及半径构成的直角三角形计算.(2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式AB =・1亠孑x A -X B = (1亠k2)[(x A亠x B)2 4X A X B]三、圆与圆的位置关系的判定设|_G ：(x -印)2 (y -b i)2=r j(「i . 0), _ C2 ：(x-a2)2• (y -b?)2=『(「2 0)，则有：C1C2 r i r^LJC i 与L C2 外离；C1C2 =r i tuLIC i 与L C2外切；「1 •；：■ C iG| .；：丁1 ■「2 u |_| C i 与L C2 相父；GG =「i -「2(「i =「2)= LI C i与L C2 内切；GG :::「1 一「2 = LlG 与L C2 内含；四、圆的切线方程问题(1)已知|_O i :x2 y2=「2, _ O2：( x -a)2 (y -b)2=「2O3：x2 y2 Dx Ey F = 0,则以M (x0, y0) 为切点的LI O i的切线方程xx0 • yy°二「2; L O2的切线方程(x 7)化- a) • (y - b)( y° -b)二「2,L Q切线方程xx yy0匹亠.旦j F =02 2(2)已知圆的x2，y2二「2的切线斜率为k，则圆的切线方程为y = kx「k21(3)已知切线过圆外一点P(x i,y i)，可设切线方程为y - ％二k(x - x i),利用相切条件确定斜率k，此时必有两条切线，不能漏掉斜率不存在的那一条切线.(4)切线长公式：从圆外一点P(X0,y。
直线和圆的位置关系
直线和圆的位置关系一直线和圆的位置关系是几何学中的经典问题之一。
直线和圆的相交情况可以分为三种情况：相离、相切和相交。
在本文中，我们将探讨这些情况，并讨论在给定条件下如何确定直线和圆之间的位置关系。
相离的情况是指直线和圆不相交，也不相切。
换句话说，直线没有交叉或触及圆。
当直线与圆没有公共点时，它们被认为是相离的。
这种情况是最简单的情况，因为直线上的任意一点到圆的距离都大于圆的半径。
因此，如果给定一个直线和一个圆，并且它们的半径和位置都已知，我们可以通过计算直线上的任意一点到圆的距离，来确定它们是否相离。
接下来是相切的情况。
当直线与圆相切时，直线刚好触及圆的一个点。
在几何学中，相切的定义是两个图形仅有一个公共点。
对于直线和圆的情况而言，这个点就是直线与圆的切点。
在相切的情况下，直线的斜率与直线上的切点与圆心的连线的斜率相等。
因此，我们可以通过计算直线上两个点的斜率，并比较其与圆心的斜率是否相等，来确定它们是否相切。
最后是相交的情况。
当直线与圆相交时，它们有两个公共点。
如果给定一个直线和一个圆，并且它们的半径和位置都已知，我们可以通过解方程组来确定直线与圆的交点。
一种常见的方法是使用二次方程，通过将直线的方程和圆的方程联立，然后求解二次方程来计算交点的坐标。
如果二次方程有实数解，那么直线与圆相交；如果二次方程没有实数解，那么直线和圆不相交。
当直线与圆相交时，它们的交点具有很多有趣的性质。
例如，交点的坐标可以用来计算直线与圆的切线方程、直线与圆之间的夹角等。
另外，当直线与圆相交时，我们还可以根据交点和圆心的相对位置来判断交点的位置关系。
如果交点在圆心的左侧，那么直线与圆在交点处是外切的；如果交点在圆心的右侧，那么直线与圆在交点处是内切的。
总结起来，直线和圆的位置关系可以通过计算直线上的任意一点到圆的距离来判断它们是否相离；可以通过比较直线上两个点的斜率与圆心的斜率是否相等来判断它们是否相切；可以通过解方程组来计算直线和圆的交点，并根据交点和圆心的相对位置来判断交点的位置关系。
直线与圆、圆与圆的位置关系
直线与圆、圆与圆的位置关系一、直线与圆的位置关系：1、直线与圆的位置关系有三种：如图所示. （1）直线与圆相交：有两个公共点； （2）直线与圆相切：有一个公共点； （3）直线与圆相离：没有公共点.2、直线与圆的位置关系的判定的两种方法：直线l 和圆C 的方程分别为：Ax+By+C=0，x 2+y 2+Dx+Ey+F=0. 1）代数法判断直线与圆的位置关系：由l 和C 的方程联立方程组220Ax By C x y Dx Ey F ++=⎧⎨++++=⎩， ①若方程有两个不相等的实数根（△>0），则直线与圆相交； ②若方程有两个相等的实数根（△=0），则直线与圆相切； ③若方程无实数根（△<0），则直线与圆相离.2）几何法判断直线与圆的位置关系：圆心C(a ，b)到直线的距离d=22||Aa Bb C A B+++与半径r 作比较①若d<r 时，直线l 和圆C 相交；②若d=r 时，直线l 和圆C 相切；③若d>r 时，直线l 和圆C 相离. 3、圆的切线的求法：（1）当点(x 0，y 0)在圆x 2+y 2=r 2上时，切线方程为x 0x+y 0y=r 2；（2）若点(x 0，y 0)在圆(x －a)2+(y －b)2=r 2上时，切线方程为(x 0－a)(x －a)+(y 0－b)(y －b)=r 2； （3）斜率为k 且与圆x 2+y 2=r 2相切的切线方程为21y kx k =±+；斜率为k 且与圆(x －a)2+(y －b)2=r 2相切的切线方程的求法：先设切线方程为y=kx+m ，然后变成一般 式kx －y+m=0，利用圆心到切线的距离等于半径来列出方程求m ；（4）点(x 0，y 0)在圆外面，则切线方程为y －y 0=k(x －x 0)，再变成一般式，因为与圆相切，利用圆心到直线距离 等于半径，解出k ，注意若此方程只有一个实根，则还有一条斜率不存在的直线，务必要补上. 4、直线与圆相交的弦长公式1）平面几何法求弦长公式：如图所示，直线l 与圆相交于两点A 、B ，线段AB 的长 即为直线l 与圆相交的弦长.设弦心距为d ，圆的半径为r ，弦长为AB ，则有 222()2AB d r +=，即AB=222r d - . 2）解析法求弦长公式：如图所示，直线l 与圆相交于两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，当直线AB 的倾斜角存在时，联 立方程组，消元得到一个关于x 的一元二次方程，求得x 1+x 2和x 1x 2.于是2121212||()4x x x x x x -=+-，这样就求得2121221||1||1||AB k x x y y k=+-=+-。
九年级数学第三章直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系【学习目标】1.理解并掌握直线与圆的三种位置关系；2.理解切线的判定定理和性质定理.【要点梳理】要点一、直线与圆的位置关系1.切线的定义：直线与圆有唯一的公共点时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点.此时直线与圆的位置关系称为相切.2．直线和圆的三种位置关系：(1) 相交：当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交．(2) 相切：当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切．这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点．(3) 相离：当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离．3．直线与圆的位置关系的判定和性质．直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．一般地，直线与圆的位置关系有以下定理：如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么，（1）d＜r直线l与⊙O相交；（2）d=r直线l与⊙O相切；（3）d＞r直线l与⊙O相离.要点进阶：这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．要点二、切线的性质定理和判定定理1．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.要点进阶：切线的性质定理中要注意：圆的切线是与过切点的半径垂直，不是与任意半径都垂直.2．切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线.要点进阶：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 要点三、三角形的内切圆1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.要点进阶：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).【典型例题】类型一、直线与圆的位置关系例1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3厘米，BC=4厘米，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？(1)r=2厘米； (2)r=2.4厘米； (3)r=3厘米举一反三：【变式】已知⊙O的半径为10cm，如果一条直线和圆心O的距离为10cm，那么这条直线和这个圆的位置关系为（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 相交或相离类型二、切线的判定与性质例2．如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D．求证：AC是⊙D的切线．例3.如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC交⊙O于D，D是BC的中点．（1）求BC的长；（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线．例4．如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AE＝8，⊙O的半径为5，求DE的长．O C B A举一反三：【变式1】如图，在△ABC 中，∠CAB=90°，∠CBA=50°，以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，点E 在边AC 上，且满足ED=EA ． （1）求∠DOA 的度数；（2）求证：直线ED 与⊙O 相切．举一反三：【变式2】如图所示，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，以AB 为直径的⊙O 与BC 相切于点B ，则AC 等于( )A ．2B ．3C ．22D ．23类型三、三角形的内切圆例5．如图，已知O 是△ABC 的内心，∠A=50°，求∠BOC 的度数.O C BA【变式】如图，△ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=3，⊙O 内切与△ABC ，则△ABC 去除⊙O 剩余阴影部分的面积为（ ）A.12-πB. 12-2πC. 14-4πD. 6-π【巩固练习】一、选择题1.已知：如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于A ，B 点，C 为⊙O 上一点，∠ACB=65°，则∠APB 等于( ) A ．65° B ．50° C ．45° D ．40°2．如图，AB 是⊙O 的直径，直线EC 切⊙O 于B 点，若∠DBC=α，则( ) A ．∠A=α B ．∠A=90°－α C ．∠ABD=α D ．∠α2190o-=ABD第1题图 第2题图3．设⊙O 的半径为3，点O 到直线l 的距离为d ，若直线l 与⊙O 至少有一个公共点，则d 应满足的条件是( )A.d=3B. d ＜3C. d≤3D.d＞34.如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB 是直径，∠BCD=120°，过D 点的切线PD 与直线AB 交于点P ，则∠ADP 的度数为（ ）A ．40°B ． 35°C ． 30°D ． 45°5．如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于D ，且CO ＝CD ，则∠PCA＝（ ） A.30° B.45° C.60° D.67.5°6．已知AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一个动点，过P作⊙O的切线，切点为C，∠APC的平分线交AC于点D，则∠CDP等于（）A.30°B.60°C.45°D.50°二、填空题7．如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O于点D.若AC=5，BC=3，则⊙O的半径为_______.8．如图，⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点P，C为切点.若∠P=30°，⊙O的半径为1，则PB的长为______________.9．在△ABO中，OA=OB=2cm，⊙O的半径为1cm，当∠ABO=时，直线AB与⊙O相切．10.如图所示，已知直线AB是⊙O的切线，A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，且∠OBA＝40°，则∠ADC＝________．OCB A 11．如图所示，已知△ABC ，AC ＝BC ＝6，∠C ＝90°，O 是AB 的中点，⊙O 与AC 、BC 分别相切于点D 与点E ．点F 是⊙O 与AB 的一个交点，连DF 并延长交CB 的延长线于点G ，则CG ＝________．12．木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r .用角尺的较短边紧靠O ，并使较长边与O 相切于点C .假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点为B ，较短边8cm AB .若读得BC 长为cm a ，则用含a 的代数式表示r 为 .三、解答题13. 如图，已知⊙O 是边长为2的等边△ABC 的内切圆，求⊙O 的面积.14． AB 是⊙O 的直径，BC 切⊙O 于B ，AC 交⊙O 于D 点，过D 作⊙O 的切线DE 交BC 于E.求证：CE=BE.15.如图，AB是⊙O的弦，OC⊥OA，交AB与点P，且PC=BC，求证：BC是⊙O的切线．。
直线与圆的位置关系
切 的方 法 各 有 下秋 ．
Ｉ ｆ ， ｆ ｒ ｌ，ｓ ｏ ｓｇ ｏ １ ｓｂ ｄ ａ ｗｅｂ ｌ ｖ ｔ ｏ ｂ ． ｅ ａ ｔ ｌ ｉ ｎ ｔ ｏ ｄＯ＂ ａ ｓ ｅ ｉ ｅｉ ｔ ｅ ｉ ｅａ ａ ａ ｅ
Ｃ 证明
・
．
如 图 ， 已知 Ｄ ｃ是 ／ Ｂ 的平分 线 ， 是 Ｄ ＿ＡＯ Ｄ ｃ上一 点 ， （Ｄ 与 Ｏ 相 切于 点 Ｅ， 证 ： Ｂ与 （ Ｏ相 切 ． Ｄ Ａ 求 Ｏ Ｄ 过 Ｄ 作 Ｄ Ｌ Ｂ于点 Ｆ， Ｆ＿Ｏ 连接 Ｄ ． Ｅ
，
Ｂ Ｃ与 ｏＯ 相交．
三
切 线的判 定
在 直 线 与 圆 的 三 种 位 置 关 系 中 ． 切 是 最 为 重 要 的 一 种 ， 以 相 所 切线 的性质 和判定显 得尤 为重要 ．
注 意 （ ） 阗 外 一 点 可 以 １过
引 圆 的两 条 切线 ． （ ） 圆 上 一 点 可 以 引 厕 的 ２过
与 这 个 圆相 离 ．
以上是 判 定直 线与 圆位 置关 系最 根本 的 方法— — 定 义法 （ 一 般 不用 。 比较繁 琐 ） ．
＝ 直 线 与团位 置 关系 的判定 定理 和性 质 定理 （ 用数 形 结 利
合 的方 法得 到 圆心到 直线 的距 离 与 圆半 径 ｒ的关 系 ） 设 圆半径 为 ｒ 圆心到 直线 的距 离为 ｄ ， ． ｄ 惜 Ｚ ｏＤ相 切． ＝ 与
ｏＤ 切 Ｏ 于 ， Ａ
ＤＥ 上 Ｄ４ ．
’
’
．
．
又
・ ．
’
Ｏ Ｄ平 分 ＡＯ Ｂ，
ＤＥ＝ Ｅ Ｄ
‘
． ．
即 ｄ ． ＝ｒ
・ ． ．
ｏＤ 与 Ｏ Ｂ相 切．这 是典 型 的应 用 方法 ｂ证 明 的题 目． （ ）
直线和圆的位置关系
直线和圆的位置关系介绍直线和圆是几何中常见的元素，它们在空间中的相对位置关系对于多个学科领域都具有重要意义。
本文将介绍直线和圆的四种基本位置关系：相离、相切、相交和包含。
相离相离是指直线和圆没有任何交点，它们在空间中完全没有重叠部分。
如果一条直线与一个圆都是无限延伸的，直线与圆的位置关系就可以通过它们的公式来确定。
设直线方程为Ax + By + C = 0，圆心坐标为(h, k)，半径为r，则直线与圆的位置关系可以通过以下公式判断：d = |Ah + Bk + C| / sqrt(A^2 + B^2)if d > r：相离else：其他位置关系其中，d为直线到圆心的距离。
相切相切是指直线与圆只有一个交点，这个交点同时位于直线上和圆上。
相切的情况可以进一步分为两种：外切和内切。
外切外切是指直线与圆相切，且直线在圆的外部。
对于直线方程Ax + By + C = 0和圆心坐标(h, k)，半径r，判断直线与圆是否外切的公式如下：d = |Ah + Bk + C| / sqrt(A^2 + B^2)if d = r：外切else：其他位置关系内切内切是指直线与圆相切，且直线在圆的内部。
同样，可以通过直线方程和圆的参数来判断直线与圆是否内切：d = |Ah + Bk + C| / sqrt(A^2 + B^2)if d = -r：内切else：其他位置关系相交相交是指直线与圆有两个不重复的交点。
如果直线方程和圆的参数已知，可以通过以下公式来判断直线与圆是否相交：d = |Ah + Bk + C| / sqrt(A^2 + B^2)if d < r：相交else：其他位置关系包含包含是指直线经过圆的中心，这是一种特殊的位置关系。
如果直线方程和圆心坐标已知，可以通过以下公式判断直线是否包含圆：Ah + Bk + C = 0结论直线与圆的位置关系可以通过直线方程和圆的参数来判断。
相离、相切、相交和包含是直线和圆的四种基本位置关系。
直线和圆的位置关系
直线和圆的位置关系
直线和圆的位置关系有三种，具体如下：
1、相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；
2、相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，
3、相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
直线定义：直线是由无数个点构成，两端都没有端点、可以百向两端无限延伸、不可测量长度的一条线。
圆的定义：在一个平面内，围绕一个点并以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆。
直线与圆的位置关系(2)
解：∵圆的圆心在直线 y＝2x 上，设圆的圆心为(m,2m)， 则因圆过点(3,2)，则半径 r＝ m－32＋2m－22. m－32＋2m－22.
|2m－2m＋5| ∵圆与直线 y＝2x＋5 相切．∴ ＝ 2 2 2 ＋－1 4 解得 m＝2 或5.
当 m＝2 时，圆心为(2,4)，半径 r＝ 4 4 8 当 m＝ 时，圆心为( ， )，半径 r＝ 5 5 5 故所求的圆的方程为：
2 2
直线 l: y=x+b, 求b的
取值范围,使
(1)圆上没有一个点到直线l的距离等于1； (2)圆上恰有一个点到直线l的距离等于1； (3)圆上恰有两个点到直线l的距离等于1； (4)圆上恰有三个点到直线l的距离等于1； (5)圆上恰有四个点到直线l的距离等于1。
数形结合问题
例8.若直线y=x+k与曲线 x 1 y 2 恰有一个公共点,则k的取值 范围是__________________.
当直线与圆相离时，d>r，∴b< 2 2 或b>2 2 .
【规律方法】
本题判定直线与圆的位置关系时，采
用了几何法，几何法判定直线与圆的位置关系的主要步骤
是：
①把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径r.
②利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离d.
③判断：当d>r时，直线与圆相离；
当d＝r时，直线与圆相切；
求弦长|AB|的值
解法一：（求出交点利用两点间距离公式） y B
y x 1 由 2 消去y 2 x y 4 得2 x 2 2 x 3 0 1 7 1 7 A , x2 2 2 1 7 1 7 y1 , y2 2 2 1 7 1 7 1 7 1 7 A( , ), B( , ) 2 2 2 2 | AB | 14 x1
直线与圆的位置关系分类与应用
课程导学重 难 点 聚 焦直线与圆的位置 关系分类与应用安徽省蚌埠五中 杨明正直线与圆的位置关系是高中数学的重点内容之一，我们通常将这部分内容与平面几何、 直 线的斜率和截距以及圆等知识结合起来进行综合考查， 同时考查数形结合 、 函数与方程等数学 思想和数学方法。
为了帮助同学们更好地学习直线与圆的位置关系， 本文从以下几个方面谈谈 直线与圆的位置关系的分类及应用。
一 、直线与圆的位置关系分类可以从形与数两个角度来把握。
直线与圆有三种位置关系， １．几何角度。
记圆心到直线的距离为d， 圆的半径为r。
直线与圆无公共点， 则直线与圆相离， 此时d>r； 直线与圆仅有一个公共点， 则直线与圆相切， 此时d=r； 直线与圆有两个相异的公共点， 则直线与圆相交， 此时d<r， 直线被圆截得的线段称为圆的弦。
根据消元后所得方程的解的情况来判断， 2.代数角度。
将表示直线的方程代入圆的方程中， 即将l的方程Ax+By+C=0 （A、 ） 代入圆方程 （x-a ）+ 消去x或y， 不妨设消去 （y-b ）=r 中， B不同时为0 记Δ=b -4ac。
y后得到的方程为ax +bx+c=0， 直线与圆相交； ①当Δ>0时， 直线与圆相切； ②当Δ=0时， 直线与圆没有公共点， 即相离。
③当Δ<0时，例1 如果直线 l:y=kx+2 与圆O:x +y =1没有公共点 ，求k的取值范围 。
2 2 2 2 2 2 2解析 （几何法 ） 由题意知， 直线与圆相离， 则圆心到直线的距离大于圆的半径， 即d>r，１ １２０１６．１０重 难 点 聚 焦课程导学代入数据得d=· |k 0-0+2|姨k +12 2 x +y =1， ） 联立 （1+k ） （代数法 消去y可得二元一次方程 x +4kx+3=0， y=kx+2，%2化简得k +1<4， 解得k∈ （- 姨 3 ， 。
九年级数学直线和圆的位置关系
(2) 当 r = 2.4cm时, 有 d = r, 因此C和AB相切.
(3) 当 r = 3cm时, 有 d < r, 因此C和AB相离.
（四） 课堂练习
一 判断题
1. 直线上一点到圆的距离大于半径 , 则直线与圆相离 ( ) 2. 直线上一点到圆的距离等于半径,则直线与圆相切( ) 3. 直线上一点到圆的距离小于半径,则直线与圆相交( )
直 线 和 圆 的 位 置 关 系
直线和圆的位置关系
教学内容:
1 直线和圆的三种位置关系及有关定义 2 直线和圆的位置关系的性质与判定 3 例题讲述
4 课堂练习
5 内容小结
6 课后作业布置
l
一 ） 直 线 和 圆 的 位 置 关 系
(
1.直线和圆的位置关系有三种(从直线与圆 公共点的个数) 2.用图形表示如下:
B D B A D B D
C
C
A
(1)
C
A
(2)
(3)
解：过C作CD⊥AB，垂足为D（如上图）.在RtABC中,根据勾股定理
得:AB=5cm. 再根据三角形的面积公式有 CD· AB=AC· BC,
∴CD•5=3Х4 ∴CD=2.4cm 即圆心C到AB的距离d=2.4cm.
(1) 当 r = 2cm时, 有 d > r, 因此C和AB相离.
1
M
B
(五) 内容小节
一 直线和圆的位置关系有三种
相离 相切 相交
二 直线和圆位置关系的性质与判定 （ r与d的数量大小关系）
① 直线L和O相离
(性质）
（判定） （性质） （判定） （性质） （判定）
d>r
②
直线L和O相切
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24．2.2直线和圆的位置关系(3课时)
第1课时直线和圆的三种位置关系
(1)了解直线和圆的位置关系的有关概念．
(2)理解设⊙O的半径为r，直线l到圆心O的距离为d，则有：
直线l和⊙O相交⇔d<r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d>r.
重点
理解直线和圆的三种位置关系．
难点
由上节课点和圆的位置关系迁移并运动直线导出直线和圆的位置关系的三个对应等价．
一、复习引入
(老师口问，学生口答，老师并在黑板上板书)同学们，我们前一节课已经学到点和圆的位置关系．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d.
则有：点P在圆外⇔d>r，如图(a)所示；
点P在圆上⇔d＝r，如图(b)所示；
点P在圆内⇔d<r，如图(c)所示．
二、探索新知
前面我们讲了点和圆有这样的位置关系，如果这个点P改为直线l呢？它是否和圆还有这三种的关系呢？
(学生活动)固定一个圆，把三角尺的边缘移动，如果把这个边缘看成一条直线，那么这条直线和圆有几种位置关系？
(老师口问，学生口答)直线和圆有三种位置关系：相交、相切和相离．
(老师板书)如图所示：
如图(a)，直线l和圆有两个公共点，这时我们就说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．
如图(b)，直线l和圆有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．
如图(c)，直线l和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离．
我们知道，点到直线l的距离是这点向直线作垂线，这点到垂足D的距离，按照这个定义，作出圆心O到l的距离的三种情况．
(学生分组活动)：设⊙O的半径为r，圆心到直线l的距离为d，请模仿点和圆的位置关
系，总结出什么结论？
老师点评：直线l 和⊙O 相交⇔d<r ，如图(a)所示；
直线l 和⊙O 相切⇔d ＝r ，如图(b)所示；
直线l 和⊙O 相离⇔d>r ，如图(c)所示．
例1 如图，已知Rt △ABC 的斜边AB ＝8 cm ，AC ＝4 cm .
(1)以点C 为圆心作圆，当半径为多长时，直线AB 与⊙C 相切？
(2)以点C 为圆心，分别以2 cm 和4 cm 为半径作两个圆，这两个圆与直线AB 分别有怎样的位置关系？
解：(1)如图，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D.
在Rt △ABC 中，
BC ＝82－42＝4 3.
∴CD ＝43×48
＝23， 因此，当半径为2 3 cm 时，AB 与⊙C 相切．
(2)由(1)可知，圆心C 到直线AB 的距离d ＝2 3 cm ，所以
当r ＝2时，d>r ，⊙C 与直线AB 相离；
当r ＝4时，d<r ，⊙C 与直线AB 相交．
三、巩固练习
教材第96页 练习
四、课堂小结
(学生归纳，总结发言，老师点评)
本节课应掌握：
1．直线和圆相交(割线)、直线和圆相切(切线、切点)、直线和圆相离等概念．
2．设⊙O 的半径为r ，直线l 到圆心O 的距离为d 则有：
直线l 和⊙O 相交⇔d<r ；
直线l 和⊙O 相切⇔d ＝r ；
直线l 和⊙O 相离⇔d>r.
五、作业布置
教材第101页 习题第2题．。