数列极限数学归纳法上

【考点梳理】
一、 考试内容
1•数列，等差数列及其通项公式，等差数列前 n 项和公式。

2•等比数列及其通项公式，等比数列前 n 项和公式。

3•数列的极限及其四则运算。

4•数学归纳法及其应用。

二、 考试要求
1•理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出 数列的前n 项和。

2•理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式，并能够应用这些知
识解决一些问题。

3•理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式，并能够运用这些知 识解决一些问题。

4•了解数列极限的定义，掌握极限的四则运算法则，会求公比的绝对值小于 1的无穷等
比数列前n 项和的极限。

5•了解数学归纳法的原理，并能用数学归纳法证明一些简单的问题。

三、 考点简析 1•数列及相关知识关系表
------------------------------------- - -----------
2•作用地位 (1)
数列是函数概念的继续和延伸，是定义在自然集或它的子集 {1,2,…,n}上的函数。

对于等差数列而言，可以把它看作自然数
n 的“一次函数”，前n 项和是自然数n 的“二次
函数”。

等比数列可看作自然数 n 的“指数函数”。

因此，学过数列后，一方面对函数概念加 深了了解，拓宽了学生的知识范围；另一方面也为今后学习高等数学中的有关级数的知识和 解决现实生活中的一些实际问题打下了基础。

(2) 数列的极限这部分知识的学习，教给了学生“求极限”这一数学思路，为学习高 等数学作好准备。

另一方面，从数学方法来看，它是一种与以前学习的数学方法有所不同的 全新方法，它有着现代数学思想，它把辩证唯物主义的思想引进了数学领域，因而，学习这 部分知识不仅能接受一种新的数学思想方法， 同时对培养学生唯物主义的世界观也起了一定
的作用。

(3) 数学归纳法是一种数学论证方法，学生学习了这部分知识后，又掌握了一种新的 数学论证方法，开拓了知识领域，学会了新的技能；同时通过这部分知识的学习又学到一种 数学思想。

学好这部分知识，对培养学生逻辑思维的能力，计算能力，熟悉归纳、演绎的论
数列扱限
1——诫学归纳法
证方法，提高分析、综合、抽象、概括等思维能力，都有很好的效果。

(4)数列、极限、数学归纳法这部分知识，在高考中占有相当的比重。

这部分知识是必考的内容，而且几乎每年有一道综合题，其中1999年高考有两道综合题。

3•等差数列
(1)定义：a n+i —a n=d(常数d为公差)
(2)通项公式：a n=a i+(n —1)d
(3)前n项和公式：S n=n(a i啦=门a i+凹d
2 2
(4)通项公式推广：a n=a m+(n —m)d
4•等差数列｛a n｝的一些性质
(1)对于任意正整数n,都有a n+i 一a n=a2一a1
(2)｛a n｝的通项公式：a n= (a2 —a1) n+(2a1—a2)
(3)对于任意正整数p,q,r,s,如果p+q=r+s，则有a p+a q=a r+a s
(4)对于任意正整数p,q,r,如果p+r=2q,则有a p+a r=2a q
(5)对于任意正整数n>1，有2a n=a n-计a n+1
(6)对于任意非零实数b,若数列｛ba n｝是等差数列，则数列｛a n｝也是等差数列
(7)已知数列｛b n｝是等差数列，则｛a n土b n｝也是等差数列
(8)｛a2n｝, ｛a2n-1｝, ｛a3n｝, ｛a3n-1｝, ｛a3n-2｝等都是等差数列
(9)S3m=3 ( S2m一S m)
(10)右S n=S m(m 丰 n),贝V S m+n=O
(11)若S p=q,S q=p，则S p+q=—(p+q)(p 丰 q)
(12)S n=an2 3 4 5 6+bn，反之亦成立
5•等比数列
(1)定义: =q(常数q为公比)
a n
(2)通项公式：a n=a1q n—1
(3)前n项和公式
na1 q 1
n= aM1 q n)
S
1 q q 1
特别注意q=1时，S n=na1这一特殊情况。

(4)通项公式推广：a n=a m • q n—m
6•等比数列｛a n｝的一些性质
2对于任意正整数p、q、r、s,只要满足p+q=r+s，贝U a p •a q=a r • a s
3对于任意正整数p、q、r，如果p+r=2q，则a p • a r=a q2
4对任意正整数n>1,有a n2=a n —1 • a n+1
5对于任意非零实数b,｛ba n｝也是等比数列
6已知｛a n｝、｛b n｝是等比数列，则｛a n b n｝也是等比数列
(1)对于任意正整数n,均有
a
n 1 32
(7) 如果a n >0，则{log a a n }是等差数列
(8) 数列{log a a n }成等差数列，则a n 成等比数列
(9) {a 2n } , {a 2n -1} , {a 3n - 1} , {a 3n -2} , {a 3n }等都是等比数列 7•数列极限 (1) 极限的定义“£ — N ” (2) 极限的四则运算 若 lim a n =A ， lim b n =B ，则
n
n
lim (a n 土 b n )= n
lim a n ± lim b n =A ± B
n
n
lim n (a n • b n ) =lim a n • lim n n b n =A • B lim n (a n /b n )= lim a n / lim b n = n n
A (
B 工 0)
B
(3)
两个重要极限
m c = 1
c 0 ①lir
c 0
不存在
|r
其中 p,q € N,a °M 0,
0。

(4) 无穷递缩等比数列各项和公式
a 1
S= lim S n = 一 (|q|<1) n
1 q 应用：化循环小数为分数。

8•递归数列
数列的连续若干项满足的等量关系
a n+k =f(a n+k -1,a n+k -2,…,a n )称为数列的递归关系。

由递
归关系及k 个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列。

如由 a n+1=2a n +1，及a 1=1，确定的
数列{2n 1}即为递归数列。

递归数列的通项的求法一般说来有以下几种: (1) 归纳、猜想、数学归纳法证明。

(2) 迭代法。

(3) 代换法。

包括代数代换，对数代数，三角代数。

②lim n
r n =
不存在
|r | 1或r
中学数学中数列求极限最终都化成这两类的极限问题。

式的极限。

由①我们可以得到多项式除多项
a 。

lim
n
a °n p
a 〔n p 1
b 0n q
b 1 n q 1
电=
a
q
b o
0 不存在
(4)作新数列法。

最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题。

9. 数列求通项与和
(1)数列前n项和S n与通项a n的关系式：
£s n 1 a n=
S n 2 n 1
(2)求通项常用方法
①作新数列法。

作等差数列与等比数列。

②累差叠加法。

最基本的形式是：a n=(a n—a n-i)+(a n- i+a n-2)+…+(a2 —a i)+a i
③归纳、猜想法。

(3)数列前n项和
①重要公式
1
1+2+ …+n= n(n +1)
2
12+22+ …+n2 =1
n(n +1)(2 n+1) 6
13+23+ …+n3 =
1
=(1+2+ …+n)2= — n2(n+1)2
4
②等差数列中，S m+n=S m+S n+m nd
③等比数列中，S m+n=S n+q n S m=S m+q m S n
④裂项求和
将数列的通项分成两个式子的代数和，即a n=f(n+1) —f(n)，然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。

用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项，如：
1 1 ________ 1_
n(n 1) n n 1
n • n! =(n+1)! —n!
1
=COt a —C0t2 a
si n2a
C n-1r 1=C n r—C n-1r
n 1 1
--------- = --- — ---------- 等o
(n 1)! n! (n 1)!
⑤错项相消法
对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和，常用错项相消法。

⑥并项求和
把数列的某些项放在一起先求和，然后再求S n。

数列求通项及和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

10. 数学归纳法
(1)数学归纳法的基本形式
设P(n)是关于自然数n的命题，若
1 ° p(n o)成立(奠基)；
2°假设P(k)成立(k> n o)，若可以推出P (k+1)成立(归纳)，贝U P(n)对一切大于等于n0 的自然数n 都成立。

( 2)数学归纳法的应用
数学归纳法适用于有关自然数n 的命题。

具体来讲，数学归纳法常用来证明恒等式，不等式，数的整除性，几可中计数问题，数列的通项与和等。

四、思想方法数列、极限、数学归纳法中，主要注意如下的基本思想方法：
1. 分类讨论思想。

如等比数列的求和分公比等于 1 和不等于1 两种情形；已知数列前n
项和求通项分n=1和n > 2两种情形；求极限时对两个参数进行大小比较的讨论等。

2. 函数思想。

将数列视为定义域为自然数或其子集的函数。

3. 数形结合思想。

如等差数列的通项公式和前n 项和公式分别视为直线、二次曲线的方程。

4. 转化思想。

如将非等差数列、非等比数列转化为等差数列、等比数列。

5. 基本量思想。

如把首项及公差、公比视为等差数列、等比数列的基本量。

6. 构造思想。

如由旧数列构造新数列。

7. 特殊化思想。

为研究一般问题可先退化到特殊问题的研究。

在这部分内容中，处处充满了由具体到抽象，由特殊到一般，由有限到无限的辩证法，这就要求我们在思考问题时要用辩证的观点，由具体认识抽象，由特殊窥见一般，由有限逼近无限。

其中，我们常用的“归纳——猜想——证明”法就体现了这一点。

8. 一般化思想。

为研究一个特殊问题，我们先研究一般的情形。

我们采用的数学归纳法，就主要体现一般化思想，先证命题对一般值成立，然后再证对每一个特殊的n 值也成立。