积分变换课后答案.docx

1-1
1．试证：若 f t 满足Fourier积分定理中的条件，则有
f t a cos td b sin td
00
1
f cos d , b 1
sin d .
其中 a f
ππ
分析：由 Fourier 积分的复数形式和三角形式都可以证明此题，请读者试用三角形式证明 .
证明：利用 Fourier积分的复数形式，有
f t1f e j t e j t d
2π
11f cos j sin d e j t d
2π
1
j b cos t j sin t d
a
2
由于 aa, b b, 所以
f
1
a cos td
1
b sin td t
2
2
a cos td
b sin t d
00
2．求下列函数的 Fourier积分：
1）f
1t 2 ,t 21
2)f
0,t0 t
t 2
;t;
0,1 e t sin 2t, t0
0,t1
3)f
1,1t0 t
0t1
1,
0,1t
分析：由 Fourier积分的复数形式和三角形式都可以解此题，请读者试用三角形式解 .
解： 1）函数f
1t 2 , t 21
t
t 2
为连续的偶函数，其 Fourier 变换为0,1
F () F [ f (t )] f (t)e j t d t2 f (t )cos tdt 21
t 2 )cos tdt (1
—
sin t2t cos t2sin t t 2 sin t 1
cos )
4(sin
(偶函
2233
数)
f(t)的 Fourier积分为
f (t )1 F ()e j t d1 F ()cos td
2ππ 0
4(sin cos)
td
π 03cos
2) 所给函数为连续函数，其Fourier变换为
F ω F f (t ) f (t )e j t dt e t sin 2te j t dt
0e t e2tj e 2tj e j t dt1
[e( 1 2j
j ) t
e (1 2j j )t ]d t
2j2j
1e( 1 2j j
)t e (1 2j j
)t
2j 1 2j j 1 2j j0
j11 2 5 2 1 (2)j 1 (2)j25 62
2 j
24（实部为偶函数，虚
数为奇函数）
f (t)的 Fourier变换为
f t1 F ()e j t d
2π
1252
2j
cos t jsin t d
2π25624
152 cos t2sin t152 sin t 2 cos t
π25624d
π25 624
d
252 cos t2sin t
π 025624d
这里用到奇偶函数的积分性质 .
3）所给函数有间断点 -1 ，0，1且 f(- t)= - f(t)是奇函数，其 Fourier变换为
F F f ( t ) f ( t)e j t dt2j
f (t )sin tdt
—
2j
1
tdt
2j(cos
1)
（奇函数）
1 sin
f(t)的 Fourier 积分为
f ( t) = 1
F
e j t d
j
Fsin td
2π 0
π 0
2 1 cos
td
sin
π 0
其中 t
-1 ， ， （在间断点 f t 0
0 f t 0
代替）
.
0 1 t 0 处，右边 f(t)应以
2
3．求下列函数的 Fourier
变换，并推证下列积分结果：
1） f t
e t
(
0), 证明：
cos t
π t
2
2 d
2 e
;
t 2 2
cos
πe t cos t;
2） f ( t)
e cost ，证明：
0 4
td
4
2
sin t, t
π
sin πsin
t π
π 3） f ( t)
sin t , t
0,
t
，证明：
1
2
d
2
π
0,
t
π
证明： 1）函数 f t
e t 为连续的偶函数，其 Fourier
变换为
F
F
f t
e
t
e j t dt
2
e t cos tdt
e t
cos
t
sin t
t
2
2
2
2
2 2
t 0
再由 Fourier 变换得
f
t 1 F
e
j t d
1
2
2 cos
tdt
2π
π 0
2
即
cos
t
π e t
2
2
d
2
2）函数
f t e t cos 为连续的偶函数，其
Fourier 变换为
t
F ( )
f t e j t dt
e t cos te j t dt
—
e t e j t
e j t
e j t dt
2
1 0
j )t
dt 0
e (1 j
j )t
dt
e ( 1 j ) t dt
e (1 j j ) t dt
e ( 1 j
j
2
1e (1 j
j )t
e (1 j j ) t
e ( 1 j j ) t
e (1 j j
)t
2 1 j
j 1 j
j
1 j j
0 1 j j
1 1
1
1
1
2 2
4
2
1 j
j 1 j j
1 j j
1 j j
4
再由 Fourier 变换公式得
1
e j t d
1
1 2
f ( t)
F
F
cos td
4
2π
π 0
π 0
2 2
cos td
πe t
即
0 4
cos t
4
2
2
c os td
4
3）给出的函数为奇函数，其 Fourier 变换为
F
f t e j t
dt π
t
dt π
t jsin
t
dt
sin te j
sin t cos
π
π
π
tdt j π
1 t cos
1 t dt
2j sin t sin
cos
sin 1 t π sin
1 t π j
sin
sin
2jsin
j
1
1
1
1
2
1
F
-1
F 1 F e
j t
d
1 2jsin π
cos t jsin
t d
2π
2π
2
1
2 sin πsin t
sin t, t π
π
2
1
d
0,
t
π
故
sin πsin t
π π
2 sin t , t
1
2
d
0, t π
4. 求函数 f t
e t
0,t 0 的 Fourier 正弦积分表达式和 Fourier 余弦积
分表达式 .
解：根据 Fourier 正弦积分公式，并用分部积分法，有
2 f
sin d sin td
f t
2
e t sin d sin td
π 0
2 π 2 π
e
sin
cos t
2
2
sin td
0 2
2 sin td .
根据 Fourier 余弦积分公式，用分部积分法，有
2 f
cos
d
cos td
f t
π 0 0
2 e t cos
d
cos
td
π 0 0
2
e
sin
cos
t
cos td
π 0
2
2
2 2 2 cos td .
π 0
1-2
1．求矩形脉冲函数 f (t )
A, 0
t
变换 .
0,
的 Fourier
其他
解：
e
j t
A 1 e j t
f (t )e j t
dt
Ae j t
dt
F ( ) F
f ( t)
A
j
j
2. 设 F 是函数 f t 的 Fourier 变换，证明 F
与 f t 有相同的奇偶
性 .
证明： F
与 f t 是一个 Fourier
变换对，即
F
f t e j
t
dt ， f t
1 F
e j t d
2π
如果 F
为奇函数，即 F
F
，则
f
t
1 Fe j
t
d
1 F
e j t d
（令u ）1 F u e jut du
2π
（换积分变量 u 为）1F e j t d f t
2π
所以 f t 亦为奇函数 .
如果 f t为奇函数，即 f t f t ，则
F f t e j t dt f t e j t d t
（令 t u ） f u e j u du
（换积分变量 u 为t）f t e j t dt F
所以 F亦为奇函数 .
同理可证 f t 与 F同为偶函数 .
4．求函数 f t e t t0的 Fourier正弦变换，并推证
sin2dπe0
12
解：由 Fourier正弦变换公式，有
F s () F s f t f t sin t dt e t sin tdt
00
e t sin t cos t
12012
由 Fourier正弦逆变换公式，有
f t F s1F s ()2F s ()sin td2sin2t d
π 0π 01
由此，当 t0 时，可得
sin
d ππ
2f e
122
5．设 F f t F ( ) ，试证明：
—1） f t为实值函数的充要条件是 F () F () ；
2） f t为虚值函数的充要条件是 F () F () .
证明：在一般情况下，记 f t f r t j f i t其中 f r t和 f i t 均为 t 的实值函数，且分别为f t的实部与虚部 .因此
F f t e j t dt f r t j f i t cos t jsin t dt
f r t cos t f i t sin t dt j f r t sin t f i t cos t dt
Re F j Im F
其中 Re F f r t cos t f i t sin t dt ，a
Im F f r t sin t f i t cos t dt b
1）若 f t 为 t 的实值函数，即 f t f r t , f i t0. 此时， a 式和 b 式分别为
Re F f r t cos tdt
Im F f r t sin tdt
所以
F Re F jIm F
Re F jIm F F
反之，若已知 F F，则有
Re F jIm F Re F jIm F
此即表明 F的实部是关于的偶函数；F的虚部是关于的奇函数.因此，必定有
F f r t cos tdt j f r t sin tdt
亦即表明 f t f r t 为 t 的实值函数 . 从而结论 1）获证 .
2）若 f t 为 t 的虚值函数，即 f t j f i t , f r t0 . 此时， a 式和 b 式分别为
Re F f i t sin tdt
Im F f i t cos tdt
所以
F Re F jIm F
Re F jIm F
Re F jIm F
F
反之，若已知 F F，则有
Re F jIm F Re F jIm F
此即表明 F的实部是关于的奇函数； F的虚部是关于的偶函数 . 因此，必定有
F f i t sin tdt j f i t cos tdt ，
亦即表明 f t jf i t为 t 的虚值函数 . 从而结论 2）获证 .
6. 已知某函数的 Fourier
sin
，求该函数 f t .变换 F ( )
sin
解： F ( )为连续的偶函数，由公式有
f tπF e j t d1sin cos td
2π 0
1sin 1t1sin 1t
d 2π 0d2π 0
但由于当 a0 时
sin a sin a
d( a)sin t
dt
π
0d
0t2 0
当 a0 时
sin a sin(a)
d π
0d
02
1，
1
2t
当 a0时，sin a0,所以得f1，1
04
，
1
0t
7．已知某函数的Fourier变换为Fπ δδ，求该
00
函数 f t .
解：由函数δ t t0g t dt g t 0，易知
f t1F e j t d
2π
1πδ0e j t d1πδ0 e j t d
2π2π
1 e j t 1 e j t cos0
t
2020
8．求符号函数（又称正负号函数）sgn t
1, t0
变换 . 1, t
的 Fourier
解：容易看出 sgn t u t u t，而 F[u(t )] F ( )
1
j
πδ( ).
9．求函数 f t 1
aδ t
a
δ t
a
的 Fourier δ t a δ t
2
22
变换 .
解：
F
F
f t
1 δ t a
δ t a
δ t
a δ t
a e j t d
2
2
2
1 e j t
a
e j
t
e j
t
a
e j t
t
a
2
t
t a
t
2
2
cosa
a
cos.
2
10 . 求函数 f t cost sin t 的 Fourier 变换 .
解: 已知
F sin
0 t
j π δ
δ
由 f
t
cost sin t
1
sin 2t 有 F
f t
πj δ
2
δ
2 2
2
11. 求函数 f t sin 3 t 的 Fourier 变换 .
解: 已知 F
e
j 0
t
2πδ
, 由
e jt e jt
3
f t
sin 3 t
2j
j
e 3j t 3e jt 3e -j t e 3j t
8
即得
F f t
πj
δ3 3δ1 3δ1 δ3
4
12. 求函数 f t
sin 5t
π
的 Fourier
变换 .
3
解: 由于
f t
sin 5t
π 1
sin5 t
3
cos5t
3
2
2
故 F
f t
πj δ5 δ5
3π
δ5 δ5 .
2
2
14. 证明：若 F e
j t
F ，其中
t
为一实数，则
F cos
t
1 F
F
2
F sin t
1 F
F
2j
其中 F 为 F
的共轭函数 .
证明：因为 F
e j
t
e j t dt F e j t e j
t
dt
e j
t
e j t dt
1 F F
e j
t
e j t
e j t d tcos t e j t dt F cos t
2
2
同理可证另一等式 .
17．求作如图的锯齿形波的频谱图 . （图形见教科书） .
1
t T
解 ： 0
2π
, f t
ht ,0
T
T
0,
其他
1 C 0
T
T 1
T 1 h
f t dt
T
T
ht dt
0 0
2
1
C n
F n
T
T
j n 0t
dt
1 T
ht
jn 0t
dt
h T
j n 0 t
dt
f t e
T
e
T 2
te
T
h 1 e
jn 0t T
1 T j n 0 t
dt
j h T 2
j n 0
j n e
2n π
0 0
F
h
2πδ
j h 2πδ n 0
πh δ
2
n
2n π
n
n 0
n 0
j h δn 0 .
n
1－ 3
1．若 F 1( ) F [ f 1( t )], F 2 ( )
F [ f 2 (t )],
, 是常数，证明（线性性
质）：
F
f 1 (t ) f 2 (t )
F 1 ( )
F 2 ( )
F -1
F 1 ( )
F 2 ( )
f 1 (t )
f 2 (t )
分析：根据 Fourier 变换的定义很容易证明 .
证明：根据 Fourier 变换与逆变换的公式分别有
F
f 1 (t )
f 2 (t )
f 1 ( t) f 2( t ) e j t dt
f 1( t )e j t
dt
f 2 (t )e j t
dt
F 1 (
) F 2 ( )
F
-1
F 1 ( )
F 2 ( )
1 F 1 ( )
F 2 ( ) e j t d
2π
1 F 1 ( ) e j
t
d
1 F
2 (
e j
t d
2π
2π
)
f 1( t ) f 2 ( t)
6．若 F ( ) F [ f (t)] ，证明（翻转性质）： F (
) F [ f ( t )]
分析：根据 Fourier 变换的定义，再进行变量代换即可证明 .
证明： F
[ f ( t )]
f
t e
j
t
dt
（令 t
u ）f u e j
u
du
（换 u 为 t ）
f t e j
t
dt
F (
)
9．设函数 f t
1, t 1 sin t π, 1
0, t
，利用对称性质，证明：F
t
0,
.
1
1
证明： F [ f (t )]
f t e
t
dt
1
t
dt
j
e j
1
1 cos
tdt
1
sin t d
t
由对称性质： F
[ f (t )] F
，则 F [ F (t )]
2πf
, 有
F
[ F ( t)] F
sin t 2πf
t
F sin t πf π, 1 t
0,
1
12．利用能量积分
f t
2
1 F
2
，求下列积分的值：
d t
2π
d
1）
1
cos x
d x ； 2 ）
sin 4
x
d x ；
x 2
x 2
3）
1
2 d x ；4）
x 2
2 d x . 1x 21x 2
1cos x d x
2sin 2x
解： 1）
x22
dx
x 2
（令x
sin t
2
t ） d t
2t
12
F
sin t
2πt
d
112
π
πd
2π1
4
22
sin x d sin x1cos x
2）x d x
x 2
x 2
sin x2sin x cos x2
d x d x
x x
π 1
sin t
2
d t 2t
π-π
=
π22
112112 3）
2 d x dt F d ，其
1 x
2 1 t 22π 1 t 2中
F1212e j t d t2cos2t
d t 2
π
eπe
1t1t01t2从而
1
d x 1
πe2
122
dπ
1
e2
π
2πdππe0
2022 1x2
4）x 22 d x x 21 1
2 d x12 d x12 dx
1x21x21x1x2
arctan x ππ π π π22222
1－ 4
1.证明下列各式：
2） f1 t f 2 t f 3 t f 1 t f 2 t f 3 t；
6）
d
f1 t f 2 t d
f1 t f 2 t f 1 t
d
f 2 t ;
dt dt dt
10) f t u t t
d f
分析：根据卷积的定义证明.
证明： 2) f 1t f 2t f 3t f1 f 2t f 3 t d
f 1 f 3 u f 2 t u du d
f1 f 3 u f 2 t u du d
f1 f 2 t u d f 3 u du
f 1 t u f 2 t u f 3 u du
f1 t f 2t f 3t
6）d
f 1 t f 2 t d f1 f 2 t d
dt dt
d f1 f 2 t d f1 t
d
f 2 t,
d t d t
d
1 t
f 2 t
d
f 1 t f 2d
f
dt dt
d
f 1 t f 2d d
f1 t f 2 t
.
dt dt 10)f t u t f u t d
u t
1,t t
f d.
0,t
2．若 f1 t e t u t, f 2t sin tu t ，求 f 1t f 2t .注意：不能随意调换f1 t和 f 2 t的位置 .
e t
, t
， f 2
sin t , t0
解：由 f 1t u t t sin tu
t e t，
0,t00, t0
所以 f1 t f 2 t f 2 t f 1 t f2f1 td
要确定 f 2 f 1 t0 的区间，采用解不等式组的方法 . 因为
0, f20; t0, f 1t0 . 即必须满足
, 即
t
, 因此
0t
f1 t f 2 t f 2 t f 1 t
f 2 f 1 t d
t
t
sin e d
e t
t
e d sin
（分部积分法）e t
e sin cos t
2
10
e t
e sin cos1
2
121
sin cos e t
21
4 . 若 F1F f1t, F2F f 2t，证明 :
F f 1 t f 2 t
1F
1* F 2 2π
证明 : 1
F1F21F1 u F2u du
2π2π
1F2u f1t e j ut dt d u
2π
1F2u f 1 t e j ut dt du
2π
1F2u e j ut f1 t du dt
2π
1 f 1 t
F 2
u e j ut du dt
2π
1 f 1 t
F 2
s e jst
e j t ds dt
2π
f 1 t
e j t
f 2 t dt F f 1 t f 2 t
5. 求下列函数的 Fourier 变换：
1） f t sin
0t
u t ；
2） f t e t sin
0t
u t ；
5） f t
e j 0
t u t t 0
；
解: 1 ）已知 F
u t
πδ
1
, 又
j
f t
sin
0 t
u t
1 e j 0 t
u
t e j
0 t
u t .
2j
由位移性质有
F
f t
1 πδ
1
πδ
1
2j
j
j
π δ
δ
2j
0 2
2
.
2）由 Fourier 变换的定义，有
F
e t sin
0t
u t
e
t
sin
0t
u t e j
t
dt
sin 0 te
j
t
d t
e j t j sin
0 t
0 cos
0t
j
2
2 0
0 j 2 2
5）利用位移性质及 u t 的 Fourier 变换，有
F
u t t 0
e j
t 0
F
u t
e j
t 0
1 πδ
j
—再由象函数的位移性质，有
F e j0t u t t0e j0 t 01
πδ0
j0
7．已知某信号的相关函数R1e 2a，求它的能量谱密度 S，其
4
中 a0 .
解由定义知
S R e j d1e 2 a e j d
4
102a
e j d 1
e2a j
4e
4
e d
1 e
2 a j01e 2a j
4 2a j42a j0
111a
42a j2a j4a22 9．求函数 f t e t u t,0的能量谱密度 .
解: 因为f t e t u t e t , t0
, 0,t0
t e t,t
f t e t
u
0,t
当0 时， f t f t0 的区间为 0,，所以
R f t f t dt e t t
e
e e 2 t dt e1e 2 t
020dt
1e
2
当0 时， f t f t0 的区间为,，所以
R f t f t dte t e
t
dt
e e 2 t dt e 1 e2t
e
1 e
2 1 e
2
2
因此， R
1 e ，现在可以求得 f t 的能量谱密度，即
2
S
R
e j d
1 e
e j
d
2
1 0
j
d
e
j
2
e
d
1
1
j 0
1
j
2
e
j
e
j
1 1 1
2
j
j
1
2
2
1－ 5
1．求微分方程 x t
x t t ,( t ) 的解 .
分析：求解微分、积分方程的步骤：
1）对微分、积分方程取 Fourier 变换得象函数的代数方程； 2）解代数方程得象函数；
3）取 Fourier 逆变换得象原函数（方程的解） .
解：设 F
x t
X
, 对方程两边取 Fourier 变换，得
j X
X
1.
即
X
1
j .
1
其逆变换为 x 0, t 0 t
t , t
.
e 0
4．求解下列积分方程：
1）
y
d
1
2 0 a b ;
2
t 2
t
a 2 b
t 2
2）
e t
y d
2πe 2 .
解： 1）利用卷积定理可以求解此类积分方程 . 显然，方程的左端是未知函
数 y t
与
1
的卷积，即 y t
1 . 设 F y t
Y, 对方程两边取
2
a 2
2
a 2
t
t
Fourier 变换，有
F y
t
1
F
1
t 2 a 2
2
b 2
t
即
F
y t
F
1
F
1
t
2
a
2
t
2
b
2
易知：
cos t d
π e t
，有
2
2
2
Y
1 e j t d t t
2 1
b 2 e j t d t t 2
a 2
即
Y
2 cos t d t
2
cos t d t 0 t 2 a 2
t 2 b 2
πe b
a
所以 Y
2b
e
b a
π
a
b
2a e
由上可知
1
cos t
π a
F
t 2
a 2
2
0 t 2
a 2
dt
a e ，
y t
F
-1 a e b a
b
a b - a F
-1
π e b
a
b a
b
π
a b - a
2 .
π t 2
b - a b
2）设 F y t
Y , 对方程两边取 Fourier 变换，同理可得
t2 F y t e t F2πe 2
利用钟形脉冲函数的Fourier 变换F Ae t 2π
Ae
2
4及由 Fourier变换的
定义可求得： F e t 2
，从而22
F y t F e t
t 2 F2πe 2
即
2πe Y
2
1
2
2 2
π 12e2 2
πe 从而
22
π j
2
2
e2
22
y t πF -1 e 2πF-1j 2
2
，e
2
1t 2
其中，记 F f t e 2，则f t e 2，上式中第二项可利用微分性质
2π
2
F f t j 2
f t j
2
2 ，则
F e
22d2t 22
F -1j f t1e t 1 e
e2
d t 22
π
2π
2
因此t2 2
y tπ 1
e
2πt 2t21
2e
π
2π
t2
22π
t 2t 2
1 e 2.
2
5.求下列微分方程的解 x t ：
ax t b x f t d ch t
其中 f t ,h t 为已知函数，a,b, c均为已知常数 .
解：设
F f t F,F h t H,F x t X. 对方程两边取
—
Fourier 变换，可得
aj X bX F cH
即
cH X
,
aj
bF
从而
x t F -1
X 1 cH e j t d . π j 2 a bF
2－ 1
1．求下列函数的 Laplace 变换，并给出其收敛域，再用查表的方法来验证结果 .
1) f t
sin
t
.
2
分析：用 Laplace 变换的定义解题 .
t t st
1
j
j
s t
解： L
s t
sin
sin
dt
2
2 dt
2
2 e
2j 0
e e
1 1
1
2
Re(s) 0 .
2j s
j
s j
4s 2
1
2
2
2) f t e 2 t .
解：
2t
2t
st
2 s t 1
L
e
e e
dt
e
dt s 2 Re(s)
.
3) f t t 2 .
解：
2
2
st
1 2
st
1 t
2
e
st
st
L
t
t
e
dt
s
t d(e
)
s 0
2
te dt
2
td(e
st
)
2 te st
e
st
dt
2 Re( s) 0 .
2
2
3
s
s
s
4) f t sin t cost .
解： L
sin t cost
0 sin t cos te st dt
1
sin 2te st
dt
2 0
—
1 2
1 .
2 s 2
4 s 2
4
7) f t cos 2 t .
解 ： L
cos 2 t
cos 2 te st dt
1 cos2t e st dt
2
1 1 cos2te st dt 1 1
e 2j s t
2s 2 0 2s
4 0
1 1
1
1
s 2 2
2s
4 s 2j
s 2j
s s 2 .
4
2．求下列函数的 Laplace 变换：
3, 0 t
2
1) f
t
1, 2 t 4.
0, t
4
st
2
st
4
st
解： L
f t
f t e
dt 3 0 e dt
2 e
dt
3
st 2 1 st 4 1
2 s
4s
s e 0
s e 2
s 3 4
ee .
3, t
π
2) f
2 . t
cost , t
π
2
e st dt
π
st
dt
π
coste st dt
解： L
f t
f t 3 2 e
2
3
π
j t -j t 3
πs
st 2
π
e
e e st
dt
1
e
e
2
s
2
s
2
e 2j
s t
dt
j s t j s t
1 e
e
π
2 j s
j s 2
πs
j s π
j s π
πs
πs
3
1
e
1 e 2
e
2 3
1 e
1
e Re(s) 0
2
2
s 2 2
s
2 j s
j s
s
1
3)
f t
2 t
δ e
5 t
2t
2 s t
e
1 5e st t
5
1
Re( s) 2 .
s
2
s
2
4) f t cost δ t sin t u t
解：
L
f t
0 δ t cos t
u t sin t
e st
dt
coste
st
1
j t
j t
st
dt
t
e e
e
2j
1
1
1 1 1
1
2j j s j s 1 s 2
2－ 2
1．求下列函数的 Laplace 变换式： 1） f t t 2 3t
2 .
解 : 由 L
m
m ! 及 L
1
有 L
2
t
s m
1
1
s
t
3t
2
2) f
t
1 te t .
1
t
1
t
解 ： L
t
s 2 ,L
t
e
s+ 1
2 ,L
t
e
3) f t
t
2
e t .
1 解：
L
t-1 2
L
t 2e t 2te t e t
e t
2 3
2 2
1 s
2 4s
3 5 .
s-1
s-1
s- 1
s-1
δ t coste st dt
sin te st dt
j s t
j s t
1
1 e
e
2j j s
j s
s 2
Re(s)
.
1 s 2
2 3 2 . s 3 s 2 s
1
1
2 .
s
s- 1
5） f t t cosat .
解 : 由微分性质有 :
t cosat
d d s s 2 a 2 L
ds
L
cosat
a 2
2 2
ds s 2
s
2 a
6) f t 5sin2 t 3cos2 t
解 : 已知 L sin t
2 , L
cos t
s
s
2 s 2
2 , 则
L
sin 2t
3cos 2t
5 2
2 10 3s
4
3
4
s 2
4
s 2
s 2 8) f t
e 4 t cos4t .
解 : 由 L cos4t
=
s
及位移性质有
4t
L
e
cos4t s 2
16
s+ 4
2
（ s ＋4）
.
16
3．若 L
f t
F s ，证明（象函数的微分性质） :
F n
s
n
L
t n f t , Re s c
1
特别地， L
tf t
F s ，或 f t
1 L 1
F s
，并利用此结论计
t
算下列各式：
1） f t
te 3t sin2 t ，求 F s .
3 t
2
解： L e sin 2t
2
22
s + 3
2,
s + 3
4
L
te
3t d 2 2 2 s
3
4 s
3
sin 2t
d s
2
2
2
2
2
s+ 3
4
s+ 3
4
s+ 3
4
2) f t t
t 3t
sin 2tdt ，求 F s .
e
t
3 t
1 3t
1 2
解： L
e
sin 2tdt
s
L
e sin 2t
s s 3 2 4 ,
t
3t
2
2 3s 2 12s 13
e
L t
sin 2tdt
2
3 2
2
s s 3 4
s 2 s 4
3) F
s ln s
1
，求 f t .
s 1
解: F s
ln
s
1
, 令 L
F s
f t ,
s 1
F ' s
2 s 1
1 s 1
1
t
t
s 2
1 L
e e L t
f tLtf t
故 L
F s f
2sinh t
t
.
t
4．若 L f t
F s ，证明（象函数的积分性质） :
f t
F s ds ，或 f t
tL
1
F s ds
L
s t
s
并利用此结论计算下列各式：
1) f
t
sin kt ，求 F s .
t
解 :
L sin kt
k
,
s 2
2
k
2
k 2
s
L
sin kt
s s 2
k ds
1 2
d
s
arctan
s
π
arctan s
t
k 2
s 1
s
k
k s
2
k
k
2)
f t
e 3 t sin 2t ，求 F s .
t
解 : L
e 3 t sin 2t
s
2 2 ,
3 4
L
e 3t sin 2t
2
ds
π arctan
s 3
t
s
s
3
2
4 2
2
2－ 3
1．设 f 1 t , f 2 t 均满足 Laplace 变换存在定理的条件 （若它们的增长指数
均 为 c ）， 且 L f 1 t
F 1 s , L
f 2 t
F 2 s ，则 乘积 f 1 t
f 2 t 的
Laplace 变换一定存在，且
L f 1 t f 2
1
t
2πj
—
j
j F1 q F2 s q dq
其中c,Re s c.
证明：已知 f 1 t , f 2t 均满足 Laplace变换存在定理的条件且其增长指数均为 c ，由Laplace变换存在定理知f1t f 2t也满足 Laplace变换存在定理的条件且
f1 t f2 t f 1t f 2 t M e ct M e ct M 2 e2ct ,0t
表明f 1 t f2 t 的增长指数为 2c . 因此 f 1t f 2t的 Laplace 变换
F s
f1 t f 2 t e st dt
在半平面 Re s2c 上一定存在，且右端积分在Re s c c 上绝对且一致收敛，并且在Re s2c 的半平面内， F s 为解析函数 .
根据 L f1t F1s ，则 f1 t 的 Laplace 反演积分公式为
1j
f1t
2πj j
F1 q e qt dq
从而
L f 1 t f 2 t f1 t f2 t e st dt
1j
st dt
F1 q e q t dq f 2 t e 2πj j
1（交换积分次序）
2πj
j
f 2 t e s q t dt dq F1 q
j0
1 2πj
j
j F1 q F2s q dq
2．求下列函数的 Laplace 逆变换（象原函数）；并用另一种方法加以验证.
1
1）F s s2a2
.
2） F s
s
s .
a s b
—
3） F s
s c
2 .
s a
s b
10） F s s
.
s
2
1 s
2
4
解： 1 ） L
1
1
1
sin at .
s 2 a 2
a
2）
s
1
a
b ,
s a s b
a b s a
s b
L
1
a s
b
1 b e at a e bt b . s s a
3） F s
s c
c a
1 1 b c 1 ,
2
2
s a s b
b a
2
s a s b
b a
s b
故
L 1
s c b 2
c a 2 e at b c t a c 2 e bt
s a s b a
b a
a b
10）由 F s
s 2
s
＝ 1
s － s ，有
1 s 2
4
3 s 2 1 s 2 4
f t
L
1
F
s
1 cost cos2t
.
3
3．求下列函数的 Laplace 逆变换：
1） F s
1
2 .
s
2
4
6） F s
s 2
1
.
ln
s 2
13） F s
1
e 2s
. s 2
解 ： 1 ）用留数计算法，由于
s 1 2j, s 2
2j 均为 F s 的二级极点，
所以
f t L
1
F s
L
1 1
2
Res F
st
2
2
s e
s 2j
s 2j
s s k
k 1
—
d
e st
lim
d
e st
lim
s 2j 2
s 2 s
2j
ds
s
2 j
ds
2j
st
2 s 2j
st
2 s
2j
lim
te
e st
lim
te
e st
2
4
2
4
s
2j
s 2j
s 2j s
2 j s 2j
s
2 j
t e 2j t 8j e 2j t t e 2j t 8j e 2j t
16 256 16
256
t e 2j t e 2j t
1 e 2j t e 2j t
sin 2t t cos2t
8
2
16
2j
16
8
6）令 F s
ln s 2 1 , F s
ln 2
,
s 2 s s 2
1
F s
1 s 1
2 L e t e t
2
L tf t
,
s 1 1 s
L
1 ln s
2 1
f t
2
cosht .
s 2
1
t
13） L
1
1 e
2 s
L
1
1
L
1 e
2 s
s 2
s 2
s 2
2
s
t
t 2 u t
2
2
t 1
, t 2
t ,
0 .
t 2
2－ 4
1. 求下列卷积：
3） t m t n （ m, n 为正整数） .
解： t
m
t
n
t
n
k
C n k t n k k d
t
d
t
n
m
m
1
k 0
t
n
k
n
k
t
1 m k
dC n k t n k
1 C n k t n k m k d
k 0
k
n
k t m k 1 t
n k
n
k
k t m n 1
k
1 m k
C n
1
C n m k 1
k 0
1
k
m ! n ! t m n 1 m n 1 ! .
注: 本小题可先用卷积定理求出
t m
t n 的 Laplace 变换 , 再由 Laplace 逆变
—换求出卷积
6) sin kt sin kt k0 .
解：sin kt sin kt t
1 sin k sin k t d
02
t
coskt cos 2k kt d 0
1
t cos kt1t cosk 2 t d 2 t k 24k0
1
t coskt sin2t k
24k
7) t sinh t
解： t sinh t sinh t t sinh t d
t
0t
1sin kt
t coskt.
22k
1t
d 1t
d
2
e t
2
e t 00
1 2t1t t d(e )1t t
t d(e )2t e e sinh t t 020200
9)u t a f t a 0.
解： u t a f t t a f t d 0,t a
u t.
0 f t d , t a
a
10)δ t af t a0 .
解：当 t a , δ t a f t0 .
当 t a ,
δ t a f t t a f t d
δ
δ a f t d f t f t a .
a
2. 设 L f t F s，利用卷积定理，证明 : L t
F s f t d t
0s
证明： L f t u t L f t L u t F s 1 ，
s
—
L f t
u t
L
t f t
d
L
t d
L
t u f t
f t dt
3.
利用卷积定理，证明 : L
1
s
2
t
sin at .
s
2
a 2
2a
证明 ： F s
s
s
1
, 由
2 2
a
2
s 2
a 2
s
2 a 2
s
L
1
s 2 s cosat , L
1
1
1
sin at
a 2
s 2
a 2
a
有
f t
L 1 F
s 1 sin at
1
t
cosa t
d
cosat a
sin a
a
1
t
sin at
sin
2a
at
d
2a 0
t sin at
1 t
t
d a 2
t
2a
4a
2 sin a 2
t sin at
1
2 cosa 2 t
2a
4a t
t sin at
2a
2-5
1. 求下列常系数微分方程的解：
1） y y e 2 t , y 0 0 ；
8） y
3 y 3 y
y 1, y 0 y 0
y 0 0 ；
12） y 4 2 y
y 0, y 0 y 0
y 0 0, y 0 1 ；
16） y y 10sin 2t , y
0 π 1 。

0, y
2
分析：解题步骤，首先取 Laplace 变换将微分方程化为象函数的代数方程 ,
解代数方程求出象函数 , 再取 Laplace 逆变换得最后的解 .
解： 1）方程两边取 Laplace 变换，并结合初始条件可得
sY s Y
s
L
e 2t
1
2
s
即
Y s
1
1 1 .
从而方程的解为
y t L1Y s e2t e t
8）对方程两边取Laplace 变换，并结合初始条件，有
s3Y s 3s2Y s 3sY s Y s1
s
即
Y s
11 s s33s23s13
s s 1
由留数计算法，由于 s10 是Y s 的一个一级极点，s2 1 是Y s 的一个三级极点，从而方程的解为
1 Y 2
s e st
f t L s Res Y
k 1s s k
e st
s s 1
lim d 21e st
s
3
2!
s s22
s 11ds
1
1 e st s2t 22st
2 lim
s
3
s 1 2
1 1 t2t1 e t.
2
12）对方程两边取 Laplace变换，并结合初始条件，有
s4Y s s3 y 0s2 y0sy0y 0 2s2Y s 2sy 0 2y0 Y s 0即
Y s
s s1 s2 1
2
s21s21
从而方程的解为
y t L1 Y s cost sin t1t sin t .
2
16）对方程两边取Laplace 变换，并结合初始条件，有
s2Y s sy 0y 0 Y s 10 22
s4
即 Y s
20y020 11y0
1 s24s21 3 s
2 1 s24s2，从而
s21
y t
L
1
Y s
20
sin t
10
sin 2t y 0 sin t .
3
3
为了确定 y
π 代入上式可得 y 0
17
，所以方程的解为
0 ，将条件 y
1
2
3
y t
sin t
10
sin 2t
3
2. 求下列变系数微分方程的解：
1） ty y 4ty 0, y 0 3, y 0 0 ；
3） ty 2 t 1 y t 2 y 0, y 0 2 ； 5） ty
1 n y
y 0, y 0
y 0
0, n 0 .
解: 1 ）方程两边取 Laplace 变换，有
L ty y 4ty
即 L
ty
L y
4L
ty 0 ，亦即
d s 2
Y s sy 0 y 0 sY s y 0
4 d
Y s 0
ds
ds
从而 s 2
4 dY
sY s
ds
dY sds 0
Y
s
2
4
两边积分可得
ln Y
1
ln s 2
4
c 1 或 Y s
c 4
2
s 2
取其逆变换，有 y t
cJ 0
2t
欲求 c ，可由条件 y 0 3 得到，即 y 0
cJ 0 0 c 3 ，所以方程的解为
y t
3J 0
2t
k
x 2 k
其中 J 0 x
1 称为零阶第一类 Bessel 函数 .
k
0 k !
k 1 2
3）方程两边取 Laplace 变换，有
L ty
2L t 1 yL t 2 y
d s 2
Y s sy 0 y 0 2
d
sY s
y 0
ds ds
2 sY s
y 0
d
Y s 2Y s 0
ds
整理化简后可得
s
2
2s 1 d
Y s 4 s 1 Y s 6
ds
即
d Y s 4
Y s
6 2
ds
s 1
s 1 这是一阶线性非齐次微分方程，这里
P s
4 6
, Q s
s 1
2
s 1
所以
Y s
P s ds
P s ds
e Q s e ds c
1
2
4
6 s 1 ds c
s 1
2 c
s 1
s
1
从而方程的解为
4
y t
L
1
Y s
2e t
c
t 3
e
t
2 c 1t
3 e t （ c 1 为任意常数）
3!
5）方程两边取 Laplace 变换，有
L ty 1 n L y L y 0
即
d
s 2Y s
sy 0 y 0 1 n sY s y 0 Y s 0
ds
整理化简后可得
—
dY s 1 n 1 s
ds
Y s s2
两边积分可得
ln
Y s1 cs n 1s
即
n 11
c1
Y s cs e s e s
s n 1
从而方程的解为
n
y t ct 2 J n2 t （c为任意常数）
其中J n称为n阶第一类Bessel函数。

3.求下列积分方程的解：
1）y t t sin t y d ；
at
t
y y t d16sin 4t 3）；
t
y y t d t 2e t.
5）
解:1 ）显然，原方程可写为
y t at y t sin t
两边取 Laplace 变换，并利用卷积定理，有
a
Y s 1
Y s
1
s2s2
所以
a s2111
Y s a
s4
s4s2
从而方程的解为
y t L 1 Y s a t t 3
6
3）原方程可写为
y t y t16sin4 t
两边取 Laplace 变换，并利用卷积定理，有
264
Y s
即Y s
—
8
s216
取其 Laplace 逆变换，有
y t L1 Y s8J0 4t，
即表明y t8J 04t 及 y t8J 0 4t 均为所求 . 这里，J0为零阶第一类
Bessel函数 .
5）原方程可写为
y t y t t 2e t
两边取 Laplace 变换，并利用卷积定理，有
Y s2
2
s 3
1所以
Y s
2
s1s1
从而方程的解为
y t L1Y s 2 2t e t4t e t，
ππ
即 y t4t e t及 y t4t e t均为所求 .
ππ
4.求下列微分积分方程的解：
t
cos t d y t , y 0 1 ；
1）y
3）y t 2 y t t d u t b , y 02 ；
2 y
5）y t 4 y t 4 y d 1
t 3 , y 0 0 ；
t
3解:1 ）原方程可写为
y t cost y t
两边取 Laplace 变换，得
s
Y s
s21
sY s 1
即
s 2 1 1
1
Y s
s
3
s
s
3
从而方程的解为
y t L
1
Y s
1 1 t 2
2
3）利用微分性质与积分性质，对方程两边取
Laplace 变换，有
sY s
y 0 2Y s
2
Y s
1 e
sb
s
s
即
e sb
2s
e sb
2s
Y s
2
1 2
1
2
1
s 1
s 1 s 1
e sb
2s
2
s 1
1
s 1 2
2
1
s 1
2
1 s 1
1
利用延迟性质，方程的解为
y t e t b sin t
b u t b
2e t cost sin t
5）利用微分性质与积分性质，对方程两边取
Laplace 变换，有
sY s 4Y
s
4
s 1 3!
Y 3 s 4
s
即
Y s
2
3 1 1 1 1 1 3 1 1 1
s 2 2
8 s 2 s 2 2 s 3 8 s 2 4
2
s 3
s 2
方程的解为
y t
L
1
Y s
3 1 t 1 t 2 3 e 2t 1 te 2t
8 2
2
8
4
5．求下列微分、积分方程组的解：
1）
x
x y e t
y 0 1
；
y3x 2 y 2e t ,
x 0
x
x y z 0, x
1,
4） x y
y z 0, y 0 z 0 x 0 ; x y z
z 0, y
z 0
x2x t
d0 y
8）0, x 0 0, x 0 1.
e t
4 x x y
解： 1）对方程组的两个方程两边分别取Laplace 变换，有
sX s x0X s
1 Y s
s 1
sY s y03X s
2 2Y s
s1
即
s 1 X s Y
s
s
1
s
3 X s s 2 Y
s1 s
1
s
解之可得
11
X s,Y s
s 1s 1
取其逆变换，可得方程组的解为
x t e t
y t e t
4）对方程组的三个方程两边分别取Laplace 变换，有s21X s Y s Z s s
X s s2 1 Y s Z s0
X s Y s s21Z s0
解之可得（注意：后两个方程表明Y s Z s 且 X ss2Y s ）
X s
s32s1s s2 1 s22 3 s2 2 3 s21
Y s Z s 1s1s 3 s22 3 s21
取其逆变换，可得解为
x t L1X s 2
cosh2t
1
cost 33
y t z t L1Y s1cosh2t1cos t
33。