4.5狄拉克符号
mathtype狄拉克符号
mathtype狄拉克符号狄拉克符号是量子力学中的一种数学表示方法，由英国物理学家狄拉克（Paul Dirac）于1927年提出。
它是一种用于描述量子力学中粒子的状态和性质的符号表示法，具有简洁、直观和高效的特点。
在狄拉克符号中，我们可以用一对尖括号来表示一个量子态，例如|ψ⟩，其中ψ表示量子态的名称。
狄拉克符号的核心思想是将量子力学中的物理量（如态矢量、算符等）表示为抽象的数学对象，而不是具体的数值。
这种抽象的表示方法使得我们可以更方便地进行计算和推导，同时也更加符合量子力学的基本原理。
在狄拉克符号中，态矢量用右矢表示，记作|ψ⟩，而其对偶态则用左矢表示，记作⟨ψ|。
这两种符号分别代表了量子态的列矢量和行矢量表示。
通过内积运算，我们可以将右矢和左矢相互转换，从而得到它们之间的关系。
狄拉克符号中的内积运算是一种重要的数学操作，用于计算两个量子态之间的相似度。
内积运算的结果是一个复数，表示两个量子态之间的相对相位和强度。
内积运算的表达式为⟨ψ|φ⟩，其中ψ和φ分别表示两个量子态。
除了内积运算，狄拉克符号还可以表示其他一些重要的物理量和操作。
例如，算符可以用希腊字母表示，如哈密顿算符H、动量算符p 等。
我们可以用算符作用于量子态，得到新的量子态。
这种操作可以用狄拉克符号表示为H|ψ⟩和p|ψ⟩，分别表示对量子态|ψ⟩进行哈密顿算符和动量算符的作用。
狄拉克符号还可以表示量子态的叠加和叠乘。
叠加表示将两个量子态相加，叠乘表示将两个量子态相乘。
这种表示方法使得我们可以更方便地描述量子态之间的相互作用和演化。
狄拉克符号在量子力学的各个领域都有广泛的应用。
例如，在量子力学的基本原理中，狄拉克符号可以用来表示量子态的叠加和叠乘，描述量子态的演化和测量过程。
在量子力学的算符理论中，狄拉克符号可以用来表示算符的作用和性质，进行算符的运算和推导。
在量子力学的量子力学中，狄拉克符号可以用来表示量子力学中的物理量和操作，进行量子力学的计算和分析。
狄拉克符号（Dirac）
狄拉克符号（Dirac）狄拉克符号（Dirac ）1狄拉克符号量⼦体系状态的描述，前述波动⼒学和矩阵⼒学两种⽅法，其共同特点是：与体系有关的所有信息都有波函数给出；极为重要的是波函数可以写成各类⼒学量的本征函数的线性组合，⽽展开系数模平⽅具有⼒学量概率的含义。
问题：能否不从单⼀⾓度描述体系，⽽⽤统⼀的⽅式全⾯概括体系的所有性质及概念？狄拉克从数学理论⽅⾯，构造了⼀个抽象的、⼀般⽮量--态⽮，并引进了⼀套“狄拉克符号”，简洁、灵活地描述量⼦⼒学体系的状态。
1.1狄拉克符号的引⼊ 1.1.1 态空间任何⼒学量完全集的本征函数系{})(x u n 作为基⽮构成希尔伯特空间（以离散谱为例），微观体系的状态波函数ψ作为该空间的⼀个态⽮，有∑=nn n u a ψ（1）n a 即为态⽮ψ在基⽮n u 上的分量，态⽮ψ在所有基⽮{}n u 上的分量{}n a 构成了态⽮在{}n u 这个表象中的表⽰（矩阵）= n a a a 21ψ (),,,,**2*1n a a a =+ψ（2）微观体系所有可以实现的状态都与此空间中某个态⽮相对应，故称该空间为态空间注意：（1）式中的n u 只是表⽰某⼒学量的本征态，⽽抛开其具体表象；（2）式的右⽅是ψ的{}n u 表象1.1.2 态空间中内积（标积）的定义设态空间中两个任意态⽮A ψ与B ψ在同⼀表象{}n u 中的分量表⽰各为{}n a 与{}n b ，则两态⽮内积的定义为()∑==+n n n n n B Ab a b b b a a a *21**2*1,,,, ψψ（3）注意：A B B A ψψψψ++≠1.1.3狄拉克符号的引⼊态空间中的ψ与+ψ在形式上具有明显的不对称性，狄拉克认为它们应该分属于两个不同的空间?伴随空间引⼊符号>，称为右⽮ [Ket ⽮，Bra ⽮（Bracket 括号><）]微观体系的⼀个量⼦态ψ⽤>ψ表⽰，>ψ的集合构成右⽮空间，>ψ在右⽮空间中的分量表⽰可记为矩阵=> n a a a 21ψ（4）约定：右⽮空间的态⽮ ,,,B A ψψψ⼀律⽤字母 ,,,>>>B A ψψψ表⽰⼒学量的本征态⽮⼀律⽤量⼦数 ,,,2,1>>>>nlm n ，或连续本征值>λ表⽰引⼊符号 <，称为左⽮微观体系的⼀个量⼦态ψ也可⽤ψ<表⽰，但在同⼀表象中>ψ与ψ<的分量互为共轭复数(),,,,**2*1n a a a =<ψ（5）ψ<的集合构成左⽮空间引⼊狄拉克符号后，任意两个态⽮>>B A ,的内积定义为同⼀表象下伴随空间中相应分量之积的和∑=++>=nn n n b a b a b a A B ***11| （6）这⾥*||>>=<>λ|,|n 仍为抽象的本征⽮ 1.2 基⽮的狄拉克符号表⽰ 1.2.1 离散谱⼒学量完全集的本征函数{}n u 具有离散的本征值{}n Q 时，对应的本征⽮>>>n |,2|,1| 或>nlm |等，构成正交归⼀化的完全系，可以作为⽮量空间的基⽮，作为基⽮可表⽰为??>= 0011| ?>= 0102| …… ←>= 010|n 第n ⾏（7）（1）基⽮具有正交归⼀性 mn n m δ>=<| （8）（2）展开定理 ∑>>=nn n a ||ψ（9）两边同时左乘|m <得∑∑==><>=m mn n nn a a n m a m δψ|| （10）说明展开系数是态⽮在基⽮上的分量（3）封闭性把>=<ψ|n a n 代⼊>ψ|中得，><>>=∑ψψ|||n n n所以 1||=<>∑n n n（11）称为基⽮的封闭性※狄拉克符号运算中⾮常重要的关系式 1.2.2 连续谱当⼒学量本征值构成连续谱λ时，对应的基⽮记为{}>λ|x 表象中)()(|x x x u x x '-=>='<δ，动量表象中px ip e x u x p -=>=<2/1)2(1)(|π，同理 )(|x u n x n >=< )(|p u n p n >=< 1|>==< px ie p x2/1)2(1|π>=< 1.3 态⽮在基⽮下的形式 1.3.1 离散谱基⽮为{}>n |，态⽮记为>ψ|或 ,|,|>>B A ，⽤基⽮展开><>>=?>=∑ψψψ|||1|n n n（16）展开系数>=<ψ|n a n 构成>ψ|在>n |表象中的分量，也可写成><><><= >= ψψψψ||2|1|21n a a a n （17）相应的左⽮ ∑><<= n n |||ψψ（18）()()><><><==1ψψψψ（19）1.3.2 连续谱><>>=ψλλλψ|||d （20）或 ?<><=<|||λλλψψd （21）1.3.3 注意：>ψ|只表⽰⼀个抽象的态⽮，只有),(|t x x ψψ>=<为x 表象的波函数；n a n >=<ψ| 为>n |表象的波函数1.4 线性厄⽶算符的作⽤1.4.1 离散谱（1）算符作⽤在基⽮上∑∑>>=><>=∧∧n算符矩阵元 >=<∧m F n F nm || （23）（2）算符作⽤在态⽮上（算符⽅程）>>=∧ψ||F （24）即有 >>=<<∧?ψ|||n F n （25）或 ∑∑><>=><<>=<∧mmnm m F m m F n n ψψ?||||| （26）注意：（24）式是抽象的算符⽅程，（25），（26）式是具体表象中的算符⽅程，><>n |表象中的分量，nm F 也是具体表象中的矩阵元。
22狄拉克符号
ˆ nHψ =E nψ
∑
m
ˆ n H m mψ =E nψ
即
∑H
m
nm
a m = Ea n
七、平均值公式的狄拉克符号表示
在 Q 表象下
* ˆ ˆ F = ψ F ψ = ∑ ψ m m F n n ψ = ∑ am Fmn an
mn
mn
八、表象变换的狄拉克符号表示
表象、 设 A 表象、 B 表象的基矢分别为 m 、α ，则 α = ∑ m m α = ∑ Smα m
m m
其中， 其中，Smα = m α 。 ψ 在 A 表象、 B 表象的表示 表象、
am = m ψ
有
m
bα = α ψ
m
bα = α ψ = ∑ α m m ψ = ∑ Sα m am
其中， 其中，Sα m = α m 。
一般表示与狄拉克符号表示对照表
ψ ψ
xψ ˆ Fψ = φ
ψ ( x)
ˆ Fψ ( x) = φ ( x)
§4-4 狄拉克符号
一个量子态相当于一个态矢量。 一个量子态相当于一个态矢量。在希尔伯特空间中选定一组基 即选定表象后，态矢量可以用在这组基矢上的投影（ 矢，即选定表象后，态矢量可以用在这组基矢上的投影（即矢量的 分量）表示，这就是波函数。 分量）表示，这就是波函数。与数学中表示一个矢量可以不引入坐 标系不用它的分量而直接用矢量表示相似， 标系不用它的分量而直接用矢量表示相似，在量子力学中表示一个 量子态也可以不引进具体的表象，直接用矢量符号表示。 量子态也可以不引进具体的表象，直接用矢量符号表示。这就是狄 拉克符号。 拉克符号。
一、右矢和左矢
量子力学体系的一切可能状态构成一个希尔伯特空间 希尔伯特空间即 1 ． 量子力学体系的一切可能状态构成一个 希尔伯特空间 即 态 空间，态空间包括一个右矢空间和一个相应的左矢空间 右矢空间和一个相应的左矢空间。 空间，态空间包括一个右矢空间和一个相应的左矢空间。 右矢空间中矢量 A 写成 A ，左矢空间的矢量 B 写成 B 。 表示坐标的本征态， 如： x ′ 表示坐标的本征态，对应的本征值为 x′ ； p′ 表示动量的本征态，对应的本征值为 p ′ ； 表示动量的本征态，
P(四章第四讲)狄拉克符号课件
n
n
n
( na*nbn n )* *
n
P(四章第四讲)狄拉克符号
波函数归一化
(,)2d3r*d3r1
本征矢的正交归一化
x | x
x|x' (x',x)(xx') ' （-'）
p |p ') (p ',p )(p ' p ) qq' （q-q'）
n | n
mn(um,un)m n lm |l'm ')(Y l'm ',Y lm )ll' m m '
t
P(四章第四讲)狄拉克符号
定义波函数演化算符：
U ˆ(t,t0)(t0)(t) (1 )
作用于 t 0 时刻的态 (t0 ) 得到t时刻的态 (t )
分析：
（1） Uˆ(t0,t0)I
U ˆ(t0,t0)(t0) (t0),
（2）求它的具体形式
i (t) H ˆ(t)
t
i tU ˆ(t,t0 ) (t0 ) H ˆU ˆ(t,t0 ) (t0 ) P(四章第四讲)狄拉克符号
算符的矩阵
设态矢 经算符 F ˆ 的作用后变成态矢 ,即
Fˆ
|1|nn n
F ˆ n n n
mmF ˆnn n
Fmn mFˆ n
bm Fmnan n
b1 F11 F12
b2
F21
F22
P(四章第四讲)狄拉克符号源自a1 a2Schrödinger方程的矩阵形式
P(四章第四讲)狄拉克符号
态矢量在具体表象中的表示 (x) x (p) p
本征态上的展开系数（投影）
n | n
狄拉克符号
= b*j j k k b*j jk ak
jk
jk
= bk*ak
k
（4.5.15）
4.5 狄拉克符号
③ 算符的狄拉克符号表示
算符 Fµ作用在态矢量 中，得出另一个态矢量
Fµ
（4.5.16）
现在在 Q 表象中将算符 Fµ用狄拉克符号表示，由
bk k k Fµ k Fµ j j Fkja j （4.5.17）
B A anbn*
n
（4.5.1）
显然，标积满足： B A * A B
（4.5.2）
若 B A 0，则称态矢量 A 和 B 正交。归一条件为
A A 1
（4.5.3）
4.5 狄拉克符号
若 A 、 B 为某一线性厄米算符Fµ对应于本征值 i和 j的
本征态，将 A 和 B 分别记为 i 和 j ，则其正交归一条
ak k
k
展开系数 ak 为 ak k
代入（4.5.7）式得： k k
k
（4.5.7） （4.5.8） （4.5.9）
定义算符 Pk 为 Pk k k
（4.5.10）
4.5 狄拉克符号
它对任何矢量的运算，相当于把这个矢量投影到基矢 k 上 去，使它变成在基矢 k 方向上的分量，即
Fµ
薛定谔方程
一般表示
(x)
Fµ(x, ih ) (x) (x)
x
狄拉克符号表示
x
Fµ x Fµ x
ih (x) Hµ (x)
t
ih
Hµ
t
ih x x Hµ
狄拉克符号运算法则
狄拉克符号运算法则
狄拉克符号是描述量子力学体系中的粒子态的数学工具。
狄拉克符号的运算法则如下：
1. 内积：两个不同的狄拉克符号之间的内积为0，相同的狄拉克符号之间的内积为1。
2. 线性性：狄拉克符号遵循线性性原则，即有一个常数倍的狄拉克符号，其内积等于常数倍的内积。
3. 相反数：两个用狄拉克符号表示的态之间的内积的相反数等于它们的交换。
4. 转置：如果两个用狄拉克符号表示的态的内积表示为矩阵形式，那么它们的转置内积等于它们的内积转置。
以上就是狄拉克符号的运算法则。
第四章矩阵力学基础——表象理论
第四章矩阵力学基础——表象理论部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑第四章矩阵力学基础(Ⅱ>——表象理论4.1态和算符的表象表示1．态的表象表示(1> 坐标表象以坐标算符的本征态为基底构成的表象称为坐标表象。
以一维的x 坐标为例。
算符本征方程是(4-1-1>本征函数是量子态总可按x的本征函数系展开，得<4.1.2）展开系数必就是该量子态在x表象的表示，即波函数。
(2> 动量表象以动量算符的本征态为基底构成的表象是动量表象。
选x为自变量，动量算符的本征函数是平面波。
以动量算符为例，其本征态为：b5E2RGbCAP(4 .1 .3>将量子态按展开(4 .1 .4>C(px>就是动量表象中的波函数。
这正是第二章中已熟知的结果。
动量表象也可以用动量为自变量表示。
在Px表象中，粒子具有确定动量分量Px的波函数是以Px为自变量的函数p1EanqFDPw<4.1.5）在动量表象中的波函数也可以用类似于(4. 1. 2>式的方式给出。
(3> 任意表象设有某一线性厄M算符。
为叙述方便起见，假定算符具有分立本征值谱。
它的本征方程为(4.1.6>将波函数按算符的正交归一本征函数系展开<4.1.7）展开系数{an(t>}就是波函数必在Q表象中的表示。
它可由的正交归一性推出。
将(4.1.7>式两边分别乘并对空间积分，得DXDiTa9E3d(4 .1 .8>an(t>的物理意义是：当体系处在以(r,t>所描述的状态时，力学量Q具有确定值Qn的概率是具有和波函数统计解释相同的概率解释。
因此我们可以用一组系数RTCrpUDGiT{(t>}代替户(,t>来描述该状态。
将数列 a 1(t>，a2(t>，…，an(t>，…写成一个列矩阵，则(r,t>在Q表象的表示为5PCzVD7HxA<4.1.9）它的共轭矩阵是<4.1.10）归一条件是<4.1.10）(4.1.9>式是波函数在Q表象中的表示。
表象与变换
第四章 表象与变换内容简介：本章讨论各种不同的表象以及它们之间的变换关系。
这就如同，在数学中给定坐标系后，应该讨论坐标系之间的坐标变换一样。
另外，我们还曾指出，一个量子态，相当于一个态“矢量”。
在数学中，一个矢量，在选定坐标系后，可以用它在该坐标系中的一组分量来表示。
但是，一个矢量，也可以用一个矢量符号表示。
这种表示并不依赖于坐标系的选取，但同样可以进行各种矢量运算。
同样，在量子力学中，一个态矢量也可用类似的方法表示，这就是狄拉克符号。
在本章将介绍这种表示法以及运算规则。
除表象外，本章还要介绍一些有关绘景的知识。
§ 4.1 矢量空间§ 4.2 态和算符的表象表示§ 4.3 量子力学公式的矩阵表示§ 4.4 幺正变换§ 4.5 狄拉克符号§ 4.6 线性谐振子粒子数表象§ 4.7 绘景的分类1.线性矢量空间定义：无穷多个抽象的数学元素的集合，规定了下列两种运算，则称这个集合为一个线性矢量空间。
运算一：集合内任意两个矢量 和 ，总有一个确定的 与 之对应，记作 这种对应法称为加法。
加法运算满足下列条件：① 交换律 ② 结合律存在唯一零矢量 ，对任意矢量 都有 ④ 对集合中的任意矢量 ，都有唯一的逆矢量 存 在，满足运算二：规定一种确定的对应方法，使得 中的任意矢量 和数域中任意数 ，在集合中总有一个矢量 与之对应，这种对应法则叫数乘，记作 数乘满足下列条件： ② ③2.线性相关与线性无关线性无关：对于线性矢量空间 个矢量集合 ，若线性组合 ，只有当所有系数 时才成立，则称 个矢量线性无关，否则 个矢量称线性相关。
一个线性矢量空间中可以找到的线性无关矢量个数的最大值 ，称为该线性矢量空间的维数。
3.内积运算 规定一种确定的对应方法，对于线性矢量空间中的任意两个矢量 和 ，总有一个复数 与之对应，且满足下列条件，则称为矢量的内积： 4.标准正交基作为标准正交基，必须满足下列条件：① 是线性无关的; ②③ 具有完备性：内积空间的任意矢量 可以表示为4.2 态和算符的表象表示 在量子力学中，态和力学量的具体表达方式称为表象。
狄拉克(Dirac)符号
< n | F | ψ >=< n | ϕ > < n | ϕ >= ∑ < n | F | m >< m | ψ >= ∑ Fnm < m | ψ >
m m
∧
注意 ： ）式是抽象的算符方程 ， ） ）式是具体表象中的算符方程， 意： （ 24 24） 程， （ 25 25） ， （ 26 26） < m | ψ >, < n | ϕ > 是算符作用前、后的态矢在 {| n >}表象中的分量， Fnm 也是具体表象中 的矩阵元。 1.4.2 连续谱 （1）算符作用在基矢 | λ > 上
（6）
n
这里 < B | A >=< A | B > * 1.2 基矢的狄拉克符号表示 1.2.1 离散谱
| n >, | λ > 仍为抽象的本征矢
力学量完全集的本征函数 {u n } 具有离散的本征值 {Qn }时，对应的本征矢 | 1 >, | 2 >,⋯ | n > 或 | nlm > 等，构成正交归一化的完全系，可以作为矢量空间的基矢，作为基矢可表示为 ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ | 1 >= ⎜ ⎟ 0 ⎜ ⎟ ⎜⋮⎟ ⎝ ⎠ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜1⎟ | 2 >= ⎜ ⎟ 0 ⎜ ⎟ ⎜⋮⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜⋮⎟ | n >= ⎜ 1 ⎟ ← 第 n 行 ⎜ ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜⋮⎟ ⎝ ⎠ （8）
∧ ∧
） （29 29） （30 ） 30） ） （31 31）
< λ ′ | ϕ >=< λ ′ | F | ψ >
< λ ′ | ϕ >= ∫ | < λ ′ | F | λ > dλ < λ | ψ >= ∫ Fλ ′λ < λ | ψ > dλ 例如 < x ′ | ϕ >=< x ′ | F | ψ >= ∫ Fx′x < x | ψ > dx 即为 x 表象中方程
量子力学知识：量子力学与狄拉克符号
量子力学知识：量子力学与狄拉克符号这篇文章并不是关于费恩曼讲义书中任何一章的笔记，只是单独的一篇讲狄拉克符号含义和用法的文章。
我在看书的过程中对狄拉克这个简洁又多功能的符号产生过很多疑惑，今天就尝试将这些疑惑和自己找到的答案写出来，希望对其他同学有些许帮助。
如果大家有发现错误也希望可以进行批评指正。
狄拉克符号在量子力学中是一个很神奇的符号，它的外观非常的简洁、洋气，在量子力学中的作用就像路标对开车的作用一样重要，所以受到大量学习量子力学的人的喜爱。
其含义非常简单，最基本的狄拉克符号如下所示<状态2|状态1>狄拉克符号是从右往左看的，<状态2|状态1>表示的是从状态1到状态2的概率幅（关于概率幅的含义可以看我之前的推送量子力学笔记——电子在晶格中的传播）。
状态(state)在量子力学可以用来表示很多信息，比如一个粒子它处于某一位置可以称为处于某一状态，相应的它的特定的动量、角动量等信息都可以描述为状态（因为更多人直接称之为“态”，所以下文会直接简写为态）。
值得注意的是，态是矢量，具有方向性，<态2|为左矢量，|态1>为右矢量。
狄拉克符号还可以有各种“拆卸组装转换”的方法：1、狄拉克符号可以拆分成局部，比如：<态2|，或者|态1>拆分好处一来可以减少字数，二来空缺的那一部分要补充时可以填入任何态，增加使用的灵活性。
2、狄拉克符号还可以连着使用，比如：<态3|态2><态2|态1>表示为态1到态2，然后从态2再到态3的概率幅。
3、狄拉克符号转换前后位置时需要取复数共轭：<态2|态1> = <态1|态2>*（变换的原理会在下文讲到）4、狄拉克符号还可以量化两个状态跳转的过程：<态2|Q|态1>Q的含义为一个算符(operator)，意思是态1经过算符变换到态2，这个算符可以是施加外力、旋转、使粒子穿过一个特殊设备、甚至静置一段时间，等等……对比一下同样表示概率幅的波函数，狄拉克符号没有像指数、复数这些复杂的东西，而且可以任意“拆分组装”，所以显得非常友好。
4.5狄拉克符号
狄拉克符号
优点： （1）运算简捷 （2）不用在具体表象中讨论问题 一.态的描述 1. 左矢（bra）与右矢（ket）
x表象
Q表象
无表象 右矢
左矢
本征态，常用本征值或相应量子数标记
完备性：
若： 2. 内积—— x表象 与
则
Q表象
无表象 是一个数
显然:
3.本征态的正交归一条件
例如：坐标的本征矢
动量表象
影算符，对任一矢量运算后，把该矢量 变为它的基矢 方向上的分矢量，或者说 的作
用是把任意态矢量在 4. 单位算符
方向上的分量挑选出来。 同理，连续谱：
迪拉克符号表示的本征矢 分立谱 连续谱
四、算符和态在具体表象中的表示
1.算符具体表象中的表示
无表象
Q表象，
而
——算符的狄拉克表示
2.任意态函数在具体表象中的狄拉克表示
例如：1. 坐标在自身表象中的本征函数 无表象
动量在坐标表象中的本征函数 动量在自身表象中的本征函数
坐标在动量表象中的本征函数
坐标表象 坐标算符 动量算符 对易式 坐标算符 本征函数 动量算符 本征函数
* u l ( x ' )u l ( x)dl = d ( x ' - x)
二、基本公式的狄拉克表示
1.本征方程
x表象 Q表象 无表象
2. 薛定谔方程
Q表象 无表象：
3．平均值公式 x表象 Q表象
无表象：
三、态矢量在具体表象中的狄拉克符号表示
1. 任意态矢量 由完备性：
分立谱
连续谱
狄拉克表示：
2. 展开系数
：
展开系数
是态矢在
上的分量。当所有的
§4-5狄拉克符号
态矢在Q 四、态矢在Q表象中投影 （1）Discrete Spectrum ）
| Ψ >= ∑ a n un >
n
⇔ Ψ ( x,t) =
∑a
n
n
( t )un ( x )
上式左乘<m| 上式左乘
< m Ψ >=
=
∑a
n
n
< m n>
∑
n
a nδ m n
= am
所 以 ， 态 矢 量 |ψ > 在 Q 表 象 中 投 影 为 ： a m＝ < m Ψ > （ 离 散 谱 ）
态矢(波函数） 二、态矢(波函数）的狄拉克表示
本征态矢量（本征函数） ２．本征态矢量（本征函数） 离散谱） （1）Discrete Spectrum （离散谱）{un(x)} ） |un(x)> |n> 例如１ 线性谐振子哈密顿算符的本征函数为 例如１：线性谐振子哈密顿算符的本征函数为ψn(x) 用狄拉克符号可以表示为： 用狄拉克符号可以表示为： |n> 例如２ 氢原子哈密顿算符的本征函数为 例如２：氢原子哈密顿算符的本征函数为:ψnlm 用狄拉克符号可以表示为： 用狄拉克符号可以表示为： |nlm> |200>态 能量为Ｅ 如果氢原子处于 |200>态，能量为Ｅ２；角动 量为： 角动量Ｌ 量为：l(l+1)ħ＝０;角动量Ｌz=mħ＝０
< n n' > = δ nn' ⇔ ∫ u* um dx = δ nm n
本征函数正交归一化方程
例如：线性谐振子哈密顿算符的本征函数为 例如：线性谐振子哈密顿算符的本征函数为ψn(x) 则内积可以写为： 则内积可以写为：
P四章第四讲狄拉克符号
狄拉克：
要这么复杂吗？我认为量子力学的波函数，算符和定律 等与具体表象无关。
1. 狄拉克(Dirac)符号
定义：左矢(bra)、右矢(ket) （源于词：bracket）
A *(rr )Aˆ (rr )drr ( , Aˆ ) Aˆ
t
ih m m Hˆ
t
m Hˆ 1
m Hˆ n n n
ih t am n Hmnan
平均值公式1的矩阵形式
F Fˆ 1 Fˆ 1
m m Fˆ n n mn
am* Fmnan mn
平均值公式2的的矩阵形式
( , ) 2 d 3r * d 3r 1
本征矢的正交归一化
x | x
x | x ' ( x', x ) (x x ') pr | pr ') ( pr ', pr ) ( pr ' pr )
n | n m n (um , un ) mn
量子力学与统计物理
Quantum mechanics and statistical physics
光电信息学院 李小飞
第四章：表象与矩阵力学
第四讲：狄拉克(Dirac)符号
引入：一对奇妙的组合
狄拉克：沉默寡 言，追求精确。
剑桥大学同事 定义了“一个小 时说一个字”为 一个“狄拉克” 单位
海森堡：活泼开 朗，喜唱歌跳舞， 是团队中的开心 果。
F | an |2 fn n n Fˆ n
狄拉克符号
如果在某一本征函数系既有分离谱又有连续谱，完备
性为：
k k dq q q 1 k
（4.5.15）
在 Q 表象中，态 和 的标积可写成：
（4.5.14）
k k ak k
k
k
k k bk k
k
k
j j k k
jk
= b*j j k k b*j jk ak
jk
们排列成一个列矩阵 a1
a2
an
这就是波函数。A
在
Q
表象中的分量
(a* , 1
a* 2
,
, a* , n
)，
可将他们排成一个行矩阵。A 是 A 的共轭矢量。
4.5 狄拉克符号
现在讨论如何用狄拉克符号对表示态矢和算符，以 及进行态矢量运算：
① 标量积
在同一表象中，A 和 B 相应的分量的乘积之和称为 A 与 B 的标量积，简称标积。记作
jk
= bk*ak
k
（4.5.15）
4.5 狄拉克符号
③ 算符的狄拉克符号表示
算符 F 作用在态矢量 中，得出另一个Q 表象中将算符 F用狄拉克符号表示，由
bk k k F k F j j Fkja j （4.5.17）
j
j
所以
Fkj k F j
在 Q 表象中，上式写为
F k k F j j j
（4.5.20） （4.5.21） （4.5.22） （4.5.23）
（4.5.24）
4.5 狄拉克符号
④ 表象变换的狄拉克符号表示
设 A 表象的基矢为 m ，B 表象的基矢为 ， 在 A 表
象中的表示为
am m
（4.5.25）
§4.5-4.6 狄拉克符号 占有数表象
ˆ |ψ >=F | φ >
<ψ | Qm >=<
=∑
n
n
ˆ Qm |ψ > *= ∑ < Qm | F | Qn >< Qn | φ n
* * > = ∑ Fmn < Qn | φ > n
因为 |ψ > 是任意态矢， 是任意态矢，所以有 同理， 同理，对于 |x’ |x > 和 |p' > 分 别 有
< q' | ψ >= ∫ a q ( t ) < q' | q > dq
= ∫ aq ( t ) δ (q'−q) dq
∫
| q > dq < q |= 1
= aq ' ( t )
∫
| x ' > dx ' < x ' |= 1
ψ=Fφ
Q 表象
平均值公式
ˆ F =<ψ | F |ψ >
插入 单位算符
ˆ F = ∑ <ψ | Qm ><Qm | F | Qn ><Qn |ψ >
mn
∑ | Q ><Q |
m m m
和 ∑ | Qn ><Qn |
n
=
∑
mn
* a m F mn a n
（2）共轭式（左矢空间） ）共轭式（左矢空间）
右矢空间的任一矢量 |ψ> 可按该空间的某一 完备基矢展开。 完备基矢展开。
例如： 例如：
| ψ >=
∑
n
an | n >
量子力学教程 第二版 4.5 狄拉克符号.
于是： A n n A
n
（完全性关系）
（上式复数共轭）
()
同样可得 A A n n
所以： n n 1
n
n
Q 的本征矢 n 的封闭性，即插入算符（恒等算符） 此即为力学量 。
' ' 说明： n n 1在 x 表象中的表示为 u 。 x u x x x n n n n
表示为 m ，其正交归一性为： , m ' , m ' ' mm'
4. 封闭性 (a)连续谱情况：任何一态矢 A 在坐标表象中用波函数 x ' , t
描写， x ' , t x ' A 就是刃 A 在 x 表象中的分量。
ˆ 在自身表象中的基矢 x ' x x ' 组成完全系，则 A 由于 x
可按 x
展开，即：
'
A x ' dx ' x ' , t
x t A x
'
用 x 与 A 作标积，得：
x A x x ' dx ' x ' , t x x ' dx ' x ' , t x, t
所以展开系数为：
ˆ 的本 征值为分立谱Q n 1,2, ，本征 刃 Q (b) 分立谱情况： n
ˆ n 具有完全性，可将任意刃矢 A 按 Q A n Cn n 而 m A m n C C
n m n
的本征刃展开，即：
即展开系数 Cn n A （ C ，它表示 A 在基矢 n 上 n A n ） 的投影。
4.5狄喇克符号
∑
n
a n ( t )un ( x )
an (t ) =
∫u
n
n
* ( x ) Ψ ( x . t ) dx
即为
| ψ >= ∑ an | u n >
an = un Ψ
所以
| ψ >= ∑ an | u n >|= ∑ | u n >< u n | ψ >
n n
| ψ >= ∑ an | u n >|= ∑ | u n >< u n | ψ >
n n
所以
∑
n
| un >< un |= 1
上式即为本征矢的封闭性.
B | 。刃和
刁是两种性质不同的矢量，两者不能相加， 刁是两种性质不同的矢量，两者不能相加，它们在同一种
态矢量在Q表象中的分解是 态矢量在 表象中的分解是
ψ = ∑ cnun
n
ψ = ∑ cn n ,
n
基δ mn
*
m n = δ mn ,
平均值公式是: 平均值公式是:
|
微观体系的状态可以用一种矢量来表示， 微观体系的状态可以用一种矢量来表示，它的符号是 称为刃矢 右矢） 简称为刃 刃矢（ ，称为刃矢（右矢），简称为刃，表示某一确定的刃 称为刁矢 左矢） 刁矢（ | ，称为刁矢（左矢），
矢A，可以用符号 | A 。微观体系的状态也可以用另一种 ， 矢量来表示， 矢量来表示，这种矢量符号是 简称为刁 表示某一确定的刁矢 可以用符号 简称为刁。表示某一确定的刁矢B可以用符号 表象中的相应分量互为共厄复数。 表象中的相应分量互为共厄复数。
§4.4 狄喇克(Dirac)符号
量子力学第四章 第5节Dirac 符号
因为|ψ> 在 x 表象的表示 是ψ(x, t)，所以显然有：
x | (x,t) | x x | * * (x,t)
3）右矢空间任一右矢可以和左矢空间中任一左矢进行标积运算。
4 本征函数的封闭性
I 分立谱
展开式
两边左乘 <m| 得:
| an | n
n
| | n n |
n
m | an (t) m | n an (t)mn am (t)
n
n
将 a n 代回原式得：
aq (t) (q'q) dq
| | q dq q |
因为 |ψ > 是任意态矢，所以有
| q dq q | 1
同理，对于 |x'> 和 |p' > 分别 有
aq'(t)
| x' dx' x'| 1 | p' dp' p'| 1
由于
这就是连续本征值的本征矢的封闭性。
| n n | 1
n
| q' dq' q'| 1
| x' dx' x'| 1
所以它们也称为单位算符，在运 算中可插入到（乘到）公式任何地方而 不改变原公式的正确性。
例如：在 |ψ > 左侧插入算符
| n n |
右矢空间和左矢空
间称为伴空间或对偶空
间，<ψ | 和 |ψ> 称 为 伴 矢 量 。 <p’ |, <x’|, <Qn| 组 成 左 矢
空间的完备基组， 任
P(四章第四讲)狄拉克符号
ˆ (t ), H ˆ ˆ (t )] A 则 d A(t ) 1 [ A dt i t
(4)
上式称为Heisenberg方程。
3）狄拉克（Dirac）绘景与狄拉克方程 也称相互作用绘景（I绘景），他把哈密顿量 分解成两部分（比如：能精确求解的和含微扰的 哈密顿量；也称不含时的和含时的哈密顿量）
展开系数构成坐标矩阵
3、描述量子力学的波函数、算符和定律等在不同表象中虽具有 不同的矩阵形式，却可相互转换（幺正变换）
狄拉克：
要这么复杂吗？我认为量子力学的波函数，算符和定律 等与具体表象无关。
1. 狄拉克(Dirac)符号 定义： 左矢(bra)、右矢(ket) （源于词：bracket）
ˆ (r )dr ( , A ˆ) A ˆ A (r )A
定义波函数演化算符：
ˆ (t , t ) (t ) (t ) U 0 0
分析： ˆ (t , t ) I （1） U 0 0
(1)
作用于 t0 时刻的态 (t0 ) 得到t时刻的态 (t )
ˆ (t , t ) (t ) (t ), U 0 0 0 0
（2）求它的具体形式 ˆ (t ) i (t ) H t ˆ ˆ ˆ (t , t ) (t ) i U (t , t0 ) (t0 ) HU 0 0 t
*量子力学到经典力学的过渡
在海森堡绘景中，只是算符随时间深化，现考察自由粒子的位 置算符随时间的演化
现令t0=0
d 1 1 iHt / 2 iHt / r (t ) [ r (t ), H ] e [ r , p / 2 m]e dt i i p iHt / p iHt / e e m m
量子力学课件：4.5 狄拉克符号
*(x)F (x,
i
) (x
x
x) (x)dxdx
*(x)Fˆ (x)dx
四、表象变换
设 A表象：基矢为 n, 任一量子态 an n
n
B表象：基矢为 , 同一量子态 b
n
A表象 → B表象
量子态 an n
b
因为 b n n Snan
n
n
故 b Sa
n
封闭性
uq* ( x)uq ( x)dq ( x x)
公式
( x, t ) Fˆ ( x, pˆ x )( x, t )
本征方程
Fˆ
(r ,
pˆ )
(r )
(r )
平均值
F *Fˆdx
矩阵元 S 方程
Fmn
* m
Fˆ
n
dx
i
(r , t)
Hˆ (r,i)(r, t )
t
Dirac 符号
（1）F^算符
设 B Fˆ A 取 Q 表象：
①设Q具有分立本征谱,则基矢 Qn 或 n
B n n B bn n
n
n
A n n A an n
n
n
n n B Fˆ n n A
n
n
以 m左乘上式 ，再利用 m n mn
m n n B m Fˆ n n A
n
n
m B m Fˆ n n A
具体的态矢量： A , , En
③ 左矢与右矢的关系
是A 的A共轭矢量，即它们在同一表象中的 相应分量互为共轭复数
是 的共轭矢量
En 是 En的共轭矢量
2．左矢与右矢的标积
①定义： B A a1b1 a2b2 anbn anbn
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狄拉克符号
优点： （1）运算简捷 （2）不用在具体表象中讨论问题 一.态的描述 1. 左矢（bra）与右矢（ket）
x表象
Q表象
无表象 右矢
左矢
本征态，常用本征值或相应量子数标记
完备性：
若： 2. 内积—— x表象 与
则
Q表象
无表象 是一个数
显然:
3.本征态的正交归一条件
例如：坐标的本征矢
二、基本公式的狄拉克表示
1.本征方程
x表象 Q表象 无表象
2. 薛定谔方程
Q表象 无表象：
3．平均值公式 x表象 Q表象
无表象：
三、态矢量在具体表象中的狄拉克符号表示
1. 任意态矢量 由完备性：
分立谱
连续谱
狄拉克表示：
2. 展开系数
：
展开系数
是态矢在
上的分量。当所有的
。因此态Biblioteka 都给定时，就确定了一个态
2.任意态函数在具体表象中的狄拉克表示
例如：1. 坐标在自身表象中的本征函数 无表象
动量在坐标表象中的本征函数 动量在自身表象中的本征函数
坐标在动量表象中的本征函数
坐标表象 坐标算符 动量算符 对易式 坐标算符 本征函数 动量算符 本征函数
* ' ' l = d - x) u ( x ) u ( x ) d ( x l l
3. 投影算符
把
代入
为一投影算符，对任一矢量运算后，把该矢量 变为它的基矢 方向上的分矢量，或者说 的作
用是把任意态矢量在 4. 单位算符
方向上的分量挑选出来。 同理，连续谱：
迪拉克符号表示的本征矢 分立谱 连续谱
四、算符和态在具体表象中的表示
1.算符具体表象中的表示
无表象
Q表象，
而
——算符的狄拉克表示
动量表象
任意态函数