大学物理上册(机械工业出版社 许瑞珍 贾谊明编著)第8章 静电场中的导体与电介质

第八章 静电场中的导体与电介质
8－1 点电荷+q 处在导体球壳的中心，壳的内外半径分别为R l 和R 2，试求，电场强度和电势的分布。

解：静电平衡时，球壳的内球面带－q 、外球壳带q 电荷 在r<R 1的区域内
r
r q ˆ4E 2
01πε=
，)1
11(42
101R R r q
U +-=πε 在R 1<r<R 2的区域内
,02=E .,42
02R q U πε=
在r>R 2的区域内:.ˆ4E 203r r πεq
=
.403
r
q U πε= 8－2 把一厚度为d 的无限大金属板置于电场强度为E 0的匀强电场中，E 0与板面垂
直，试求金属板两表面的电荷面密度。

解：静电平衡时，金属板内的电场为0， 金属板表面上电荷面密度与紧邻处的电场成正比 所以有
,001E εσ-=.002E εσ=
8－3 一无限长圆柱形导体，半径为a ，单位长度带有
电荷量λ1，其外有一共轴的无限长导体圆简，内外半径分别为b 和c ，单位长度带有电荷量λ2，求（1）圆筒内外表面上每单位长度的电荷量；（2）求电场强度的分布。

解：（1）由静电平衡条件，圆筒内外表面上每单位长度的电荷量为
;,21λλλ+-
（2）在r<a 的区域内:E=0 在a<rb 的区域内:E r
01
2πελ=
e n
在r>b 的区域内:E r
02
12πελλ+=e n
8－4 三个平行金属板A 、B 和C ，面积都是200cm 2，A 、B 相距4.0mm ，A 、C 相距
2.0mm ，B 、C 两板都接地，如图所示。

如果A 板带正电
3.0×10－
7C ，略去边缘效应（1）求B 板和C 板上感应电荷各为多少?（2）以地为电势零点，求A 板的电势。

解：（1）设A 板两侧的电荷为q 1、q 2，由电荷守恒
习题 8－3图
R 2
R 1
习题 8－1图
q
-q q
E 0 E 0 习题 8－2图
σ1 σ2 A B C
d 1
2
原理和静电平衡条件，有
A q q q =+21（1）
1q q B -=，2q q C -=（2）
依题意V AB =V AC ,即
101d S q ε＝202d S q ε112
122q q d d
q ==→代入（1）（2）式得 q 1＝1.0×10-7C ，q 2＝2.0×10-7C ，q B ＝－1.0×10-7C ，q C =-q 2＝－2.0×10-7C ，
（2）101d S q U A ε=＝202d S q ε==⨯⨯⨯⨯⨯⨯----31247
10210
85810200102. 2.3×103V 8－5 半径为R 1=l.0cm 的导体球带电量为q=1.0×10－
10 C ，球外有一个内外半径分别
为R 2=3.0cm 和R 3=4.0cm 的同心导体球壳，壳带有电量Q=11×10－
10 C ，如图所示，求（1）两球的电势；（2）用导线将两球连接起来时两球的电势；（3）外球接地时，两球电势各为多少？（以地为电势零点）
解：静电平衡时，球壳的内球面带－q 、外球壳带q+Q 电荷 （1）)(
413
210
1R Q q R q R q U ++-=
πε代入数据 )4
11
13111(101085.814.34100.1212101++-⨯⨯⨯⨯⨯=---U
＝3.3×102V
2024R Q q U πε+=4
)111(101085.814.34100.121210+⨯⨯⨯⨯⨯=---
=2.7×102V
（2）用导线将两球连接起来时两球的电势为
2024R Q
q U πε+=4
)111(101085.814.34100.12
1210+⨯⨯⨯⨯⨯=---=2.7×102V （3）外球接地时，两球电势各为
)(41
2101R q R q U -=πε)3
111(101085.814.34100.12
12101-⨯⨯⨯⨯⨯=---U ＝60V 02=U
8－6 证明:两平行放置的无限大带电的平行平面金属板A 和B 相向的两面上电荷面密度大小相等，符号相反，相背的两面上电荷面密度大小等，符号相同。

如果两金属板的面积
同为100cm 2，带电量分别为Q A =6×10－8 C 和Q B =4×10－
8C ，略去边缘效应，求两个板的四个表面上的电面密度。

证：设A 板带电量为Q A 、两侧的电荷为q 1、q 2，
习题 8－5图
q
-q
q+Q
2 A B
q 1 q 3 4
B 板板带电量为Q B 、两侧的电荷为q 3、q 4。

由电荷守恒有
A Q q q =+21（1）
B Q q q =+43（2）
在A 板与B 板内部取两场点，金属板内部的电场为零有
020122εεS q S q -0220
403=--εεS q
S q ，得04321=---q q q q （3） 020122εεS q S q +0220
403=-+εεS q
S q ，得04321=-++q q q q （4） 联立上面4个方程得：241B A Q Q q q +=
=,2
32B
A Q Q q q -=-= 即相向的两面上电荷面密度大小相等，符号相反，相背的两面上电荷面密度大小等，符
号相同，本题得证。

如果两金属板的面积同为100cm 2，带电量分别为Q A =6×10－8 C 和Q B =4×10－
8C ，则
=⨯⨯⨯+=
=--8
4
411010
1002)46(σσ 5.0×10－6C/m 2, =⨯⨯⨯-=-=--84
321010
1002)
46(σσ 1.0×10-6C/m 2 8－7 半径为R 的金属球离地面很远，并用细导线与地相联，在与球心相距离为D=3R 处有一点电荷+q ，试求金属球上的感应电荷。

解：设金属球上的感应电荷为Q ，金属球接地 电势为零，即
04400=+D
Q R q πεπε
3
Rq q
Q D =-
=- 8－8 一平行板电容器，两极板为相同的矩形，宽为a ，长为b ，间距为d ，今将一厚
度为t 、宽度为a 的金属板平行地向电容器内插入，略去边缘效应，求插入金属板后的电容量与金属板插入深度x 的关系。

解：设如图左边电容为C 1，右边电容为C 2 d x b a C )(0
1-=ε t
d ax
C -=
02ε 左右电容并联，总电容即金属板后的电容量与金属板插入深度x 的关系，为
d x b a C C C )
(021-=
+=εt
d ax
-+
0ε
=)(0t
d tx
b d a -+
ε 8－9 收音机里的可变电容器如图（a ）所示，其中共有n 块金属片，相邻两片的距离
t
习题 8－8图
均为d ，奇数片联在一起固定不动（叫定片）偶数片联在起而可一同转动（叫动片）每片的形状如图（b ）所示。

求当动片转到使两组片重叠部分的角度为θ时，电容器的电容。

解：当动片转到使两组片重叠部分的角度 为θ时，电容器的电容的有效面积为
1802)(2122⨯-=θπr r S 360
)(2122θπr r -=
此结构相当有n-1的电容并联，总电容为
d
S n C 0)1(ε-=
＝d r r n 360)
()1(21220--θπε 8－10 半径都为a 的两根平行长直导线相距为d （d>>a ），（1）设两直导线每单位长
度上分别带电十λ和一λ求两直导线的电势差；（2）求此导线组每单位长度的电容。

解：（1）两直导线的电电场强度大小为
r
E 022πελ
⨯
= 两直导线之间的电势差为
⎰=r dr V 0πελ⎰
-=
a
d a
r dr 0
πελa a d -=ln 0
πελ
（2）求此导线组每单位长度的电容为
V
C λ
=
=
a
a
d -ln 0
πε
8－11 如图，C 1=10μF ，C 2=5μF ，C 3=5μF ，求（1）AB 间的电容；（2）在AB 间加上100V 电压时，求每个电容器上的电荷量和电压；（3）如果C 1被击穿，问C 3上的电荷量和电压各是多少？
解：（1）AB 间的电容为
20
15
5)(321213⨯=+++=
C C C C C C C =3.75μF ；
（2）在AB 间加上100V 电压时，电路中的总电量就是C 3电容器上的电荷量，为
C CV q q 4631073.31001073.3--⨯=⨯⨯===
V C C q V V 2510
151073.36
4
2121=⨯⨯=+==-- V V 75251003=-= C V C q 4
6
111105.22510
10--⨯=⨯⨯==
C V C q 462221025.125105--⨯=⨯⨯==
(a) (b)
习题 8－9图
A
B
C C 3
2 习题 8－11图
o
（3）如果C 1被击穿，C 2短路，AB 间的100V 电压全加在C 3上，即V 3=100V ， C 3上的电荷量为
C V C q 46333100.5100105--⨯=⨯⨯==
8－12 平行板电容器，两极间距离为l.5cm ，外加电压39kV ，若空气的击穿场强为30kV/cm ，问此时电容器是否会被击穿？现将一厚度为0.3cm 的玻璃插入电容器中与两板平行，若玻璃的相对介电常数为7，击穿场强为100kV/cm ，问此时电容器是否会被击穿？结果与玻璃片的位置有无关系?
解：（1）未加玻璃前，两极间的电场为
cm kV cm kV E /30/265
.139
<==
不会击穿
（2）加玻璃后，两极间的电压为
397
3
.02.1=+E
E cm kV cm kV E /30/31>=→ 空气部分会击穿，此后，玻璃中的电场为 cm kV cm kV E /100/1303
.039
>==
，玻璃部分也被击穿。

结果与玻璃片的位置无关。

8－13 一平行板电容器极板面积为S ，两板间距离为d,其间充以相对介电常数分别为εr1、εr2，的两种均匀电介质，每种介质各占一半体积，如图所示。

若忽略边缘效应，求此电容器的电容。

解：设如图左边电容为C 1，右边电容为C 2
d S C r 2
/101εε= d
S C r 2
/202εε=
左右电容并联，总电容为
=
+=21C C C +
d S r 2
/10εεd
S r 2
/20εε
)2
(
2
10r r d S εεε+=
8－14 平行板电容器两极间充满某种介质，板间距d 为2mm ，电压600V ，如果断开电源后抽出介质，则电压升高到1800V 。

求（1）电介质相对介电常数；（2）电介质上极化电荷面密度；（3）极化电荷产生的场强。

解：设电介质抽出前后电容分别为C 与C
/
V
习题 8－12图
习题 8－13图
0022
002253
62
005003
5550(1),1800,3
600600(2)310/210(1) 5.3110/1800(3),910/210910/310/610/r r r r S S
C C Q CU C U d d S S U V U U d d U V U V E V m d m
D E E C m U V
E E E E V m d m
E E E V m V m V εεεεεεεσεεε---'''=
==='∴===='===⨯⨯∴=-=-=⨯''=+===⨯⨯'∴=-=⨯-⨯=⨯m
0022
002253
62
005003
5550(1),1800,3
600600(2)310/210(1) 5.3110/1800(3),910/210910/310/610/r r r r S S
C C Q CU C U d d S S U V U U d d U V U V E V m d m
D E E C m U V
E E E E V m d m
E E E V m V m V εεεεεεεσεεε---'''=
==='∴===='===⨯⨯∴=-=-=⨯''=+===⨯⨯'∴=-
=⨯-⨯=⨯m
8－15 圆柱形电容器是由半径为R 1的导体圆柱和与它共轴的导体圆筒组成。

圆筒的半径为R 2，电容器的长度为L ，其间充满相对介电常数为εr 的电介质，设沿轴线方向单位长度上圆柱的带电量为+λ，圆筒单位长度带电量为-λ，忽略边缘效应。

求（1）电介质中的电位移和电场强度；（2）电介质极化电荷面密度。

解：
0110220
12
2,22(1)(1),22r
r r r r ds D rl l
D E r r P D E P D E R R πλλλππεεελελ
σεσεεπεπ⋅=⋅=∴=
=--==-===-=⎰取同轴圆柱面为高斯面，由介质中的高斯定理可得
D
8－16 半径为R 的金属球被一层外半径为R /的均匀电介质包裹着，设电介质的相对介电常数为εr ，金属球带电量为Q,求（1（3）金属球的电势。

解：
习题 8－16图
U 2
1
2
122
1212
22000012100220021(1)4,44411(2)()444(3)r r R R r
r R R Q D ds D r Q D D r D D Q Q
E E r r Q Q
U E dl E dl r R R Q U E dl r
U E dl E ππεεεπεεπεπεεπεπε'
∞
'
∞
'∞⋅=⋅=∴==∴=====⋅+⋅=
-+
''
=⋅=⋅+⎰⎰⎰⎰⎰取同心高斯球面，由介质的高斯定理得
介质层内的电势介质层外的电势＝
金属球的电势1
01011()44R R r Q Q
dl R R R πεεπε'⋅=
-+
''
⎰
8－17 球形电容器由半径为R 1的导体球和与它同心的导体球壳组成，球壳内半径为R 2，其间有两层均匀电介质，分界面半径为r ，电介质相对介电常数分别为εr1、εr2，如图所示。

求（1）电容器的电容；（2）当内球带电量为+Q 时各介质表面上的束缚电荷面密度。

解：
1
2
2
122
1212
220102010221022011021211221221(1)4,4,441111
()()
444()(r r r r r
R R r
r r r r r r r Q D ds D r Q D D r D D Q Q
E E r r Q Q U E dl E dl r R R r
R R r Q
C U R R r R R ππεεεεπεεπεεπεεπεεπεεεεεεε⋅=⋅=∴==∴====∴=⋅+⋅=
-+-∴=
=
-+-⎰⎰⎰取同心高斯球面，由介质的高斯定理得
111011
22
1111234222
1222
)
11
(1)(1),(1)44111
(1),(1),(1)444r r r r r r Q Q D E R R Q Q Q r r R σεσεεππσσσεεεπππ=-=
-∴=--=
-=--=-
8－18 一平行板电容器有两层介质（如图），εr1＝4，εr2＝2，厚度为d 1=2.0mm ，d 2=3.0mm ，
极板面积S=40cm 2，两极板间电压为200V 。

（1）求每层电介质中的能量密度；（2）计算电容器的总能量；（3）计算电容器的总电容。

解：
R 1 R 2
r
习题 8－17图
习题 8－18图
02112210122121
1222231101011
22
232202022
020112210102121/221(1)
/433
50,15011
() 1.110/,
2211(
) 2.210/22
(2)r r r r e r r e r r r r r r S
U Q C d d S U Q C d d U V U V
U E J m d U E J m d S S
C C d d C S S C C d εεεεεεωεεεεωεεεεεεεεεεεε--⨯=====⨯∴==∴===⨯===⨯=
=++227
002
020*******
001021212
11
22200 3.51022
(3)2 1.7910r r r r W CU d S S
C C d d C F
S S
C C d d εεεεεεεεεεε--=∴==⨯⨯=⨯=
===⨯++
8－19 平板电容器的极板面积S=300cm 2两极板相距d 1=3mm ，在两极板间有一个与地
绝缘的平行金属板，其面积与极板的相同，厚度d 1=1mm 。

当电容器被充电到600V 后，拆去电源，然后抽出金属板，问（1）电容器间电场强度是否变化；（2）抽出此板需作多少功?
解：
1
1
53
11153
2
2
(1),600 3.010/(31)103,21.5600 3.010/3102,22S
S
Q CU U
d d d d U V
E V m d d m
S
U
S
d d Q
d U
U U S d d d d
U V E V m E d m Q Q
W W C C εεεεε--==--=
==⨯--⨯-''==='
-'⨯'===⨯=⨯'==
'
00000未拆电源前，
C=
拆去电源并抽出金属板后，C =
＝
C 所以电场强度没有发生变化。

（）抽出前抽出金属板后所以抽出此板需要做2
2
511
()11
11(
) 1.21022
S
U
d d Q W J S S C C
d d d εεε--∆-=⨯'-000的功为＝（－）=
8－20 半径为R 1=2.0cm 的导体球，外套有一同心的导体球壳，球壳内外半径分别为
R 2=4.0cm 、R 3=5.0cm 。

球与壳之间是空气，壳外也是空气，当内球带电荷为Q=3.0×10-8C 时，求（1）整个电场贮存的能量；（2）如果将导体球壳接地，计算贮存的能量，并由此求其电容。

解：
00222
02
022
4
22
2500
420(2)(24)40(45)(5)44,128881.821028e e e e r Q r r
E r Q
r r r dr dv r dr Q dr dW dv E dv r Q dr
Q dr W r r J
Q dr
W πεπεπωεπεπεπεπ∞-≤⎧⎪⎪≤≤⎪⎨
≤≤⎪⎪≥⎪
⎩====
+⨯⎰⎰（1）由高斯定理可得，＝取半径为，厚度为的球壳，其体积元为所以在此体积元内电场的能量为
电场的总能量为
＝＝（）如果导体壳接地则
＝4
42
20
124201.01104.5104J
r Q Q
C F
Qdr U
r
επε--⨯==⨯⎰⎰＝＝。