十大高中平面几何几何定理汇总与证明【精】整理版
(完整word版)十大高中平面几何几何定理汇总及证明
高中平面几何定理汇总及证明1.共边比例定理有公共边AB的两个三角形的顶点分别是P、Q，AB与PQ的连线交于点M，则有以下比例式成立：△ PAB的面积：△ QAB的面积＝PM：QM.证明：分如下四种情况，分别作三角形高，由相似三角形可证S△PAB=(S△PAM-S△PMB)=(S△PAM/S△PMB-1)×S△PMB=(AM/BM-1)×S△PMB(等高底共线，面积比=底长比）同理，S△QAB=(AM/BM-1)×S△QMB所以，S△PAB/S△QAB=S△PMB/S△QMB=PM/QM(等高底共线，面积比=底长比）定理得证！特殊情况：当PB∥AQ时，易知△PAB与△QAB的高相等，从而S△PAB=S△QAB，反之，S△PAB=S△QAB，则PB∥AQ。
2.正弦定理在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆半径的2倍”，即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=R（r为外接圆半径，R为直径）证明：现将△ABC，做其外接圆，设圆心为O。
我们考虑∠C及其对边AB。
设AB长度为c。
若∠C为直角，则AB就是⊙O的直径，即c= 2r。
∵（特殊角正弦函数值）∴若∠C为锐角或钝角，过B作直径BC`交⊙O于C`，连接C'A，显然BC'= 2r=R。
若∠C为锐角，则C'与C落于AB的同侧，此时∠C'=∠C（同弧所对的圆周角相等）∴在Rt△ABC'中有若∠C为钝角，则C'与C落于AB的异侧，BC的对边为a，此时∠C'=∠A，亦可推出。
考虑同一个三角形内的三个角及三条边，同理，分别列式可得。
3.分角定理在△ABC中，D是边BC上异于B,C或其延长线上的一点，连结AD，则有BD/CD=(sin∠BAD/sin∠CAD)*(AB/AC)。
证明：S△ABD/S△ACD=BD/CD………… (1.1)S△ABD/S△ACD=[(1/2)×AB×AD×sin∠BAD]/[(1/2) ×AC×AD×sin∠CAD]= (sin∠BAD/sin∠CAD) ×(AB/AC)…………(1.2)由1.1式和1.2式得BD/CD=(sin∠BAD/sin∠CAD) ×(AB/AC)4.张角定理在△ABC中，D是BC上的一点，连结AD。
高中数学常用平面几何名定理
高中数学常用平面几何名定理定理1 Ptolemy定理托勒密(Ptolemy)定理四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。
定理2 Ceva定理定理3 Menelaus定理定理4 蝴蝶定理定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。
定理5 张角定理在△ABC中，D是BC上的一点。
连结AD。
张角定理指出:sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD定理6 Simon line西姆松(Simson)定理（西姆松线）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。
定理7 Eular line：同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半定理8 到三角形三定点值和最小的点——费马点已知P为锐角△ABC内一点，当∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°时，PA＋PB＋PC的值最小，这个点P称为△ABC的费尔马点。
定理9 三角形内到三边距离之积最大的点是三角形的重心定理10到三角形三顶点距离的平方和最小的点是三角形的重心在几何里,平面是无限延展的,是无大小的,是不可度量的,是无厚度的,通常画平行四边形来表示平面0、勾股定理，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
这是平面几何中一个最基本、最重要的定理，国外称为毕达哥拉斯定理。
1、欧拉（Euler）线：同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半2、九点圆：任意三角形三边的中点.三条高线的垂足.垂心与各顶点连线的中点,这9点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。
3、费尔马点：已知P为锐角△ABC内一点，当∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°时，PA＋PB＋PC的值最小，这个点P称为△ABC的费尔马点。
高中数学 平面几何常用的定理及其应用
平面几何常用的定理及其应用一、正弦定理、余弦定理已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ． 正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin ===，（其中R 为三角形外接圆半径）． 余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=，2222cos a c b bc A =+-，2222cos b a c ac B =+-．二、定差幂线定理定差幂线定理：PM ⊥AB 的充要条件是：AP ^2一AM^2 =BP^2 一BM^2．推论Ⅰ（定差幂线轨迹定理）已知两点A 和B ，则满足AM^2一BM^2=k^2(k 为常数)的点P 的轨迹是垂直于AB 的一条直线．推论Ⅱ(斯坦纳定理)在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是三边BC 、CA 、AB 上的点，分别过点D 、E 、F 作所在边的垂线，则这三条垂线共点的充要条件是222222BD CE AF DC EA FB ++=++．等角线的定义：在△ABC 中，在线段BC 上取P 、Q ，使得∠BAP=∠CAQ ，则称AP 、AQ 为△ABC 中的等角线．等角线的性质：对于△ABC ，和线段BC 上两点P 、Q ，若AP 、AQ 为△ABC 中的等角线，则有22AB PB QBAC PC QC⨯=⨯．（面积法）中线长（巴布斯定理）：设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+．证明：用两次余弦定理．角平分线长（斯库顿定理）：在△ABC 中,AD 为∠BAC 的平分线,则AD ^2+BD·DC=AB·AC ．证明:延长∠BAC 的平分线AD 交⊙ABC 于E,连结BE ． ∴∠E=∠C,∠BAE=∠DAC,即△ABE ∽△ADC∴AB/AE=AD/AC,化简得AD(AD+DE)=AB·AC ．即AD~2+AD·DE=AB·AC, 由相交弦定理得AD·DE=BD·DC, 因此AD ^2+BD·DC=AB·AC ．例1 如图，点P 为ABC △内部一点，PL PM PN 、、分别垂直于BC CA AB 、、，且AM AN =，BN BL =．求证：CL CM =． 证明：由定差幂线定理： PN AB ⊥⇔2222PA PB NA NB -=-；PL BC ⊥⇔2222PB PC LB LC -=-； PM CA ⊥2222PC PA MC MA ⇔-=-．上述三式相加，结合AM AN =及BN BL =，得CL CM =．BP CN例2 如图，在ABC △中，CD AB ⊥，BE AC ⊥，D 、E 是垂足，CD 与BE 交于点H ． 证明：AH BC ⊥．证明：在凹四边形ACBH 中，由CH AB ⊥得2222AC BH BC AH +=+．在凹四边形ABCH 中，由BH AC ⊥得2222AB CH BC AH +=+． 于是，在凹四边形ABHC 中，得到2222AB CH AC BH +=+，则AH BC ⊥． 由此题可得ABC △垂线H 的一个性质：222222AB CH BC AH AC BH +=+=+．例3 若点P 在ABC △三边BC 、CA 、AB 所在直线上的射影分别为X 、Y 、Z ． 证明：自YZ 、ZX 、XY 的中点分别向BC 、CA 、AB 所作的垂线共点．证明：由三角形中线长公式，有22221()42a mbc a =+-．由DX BC'⊥，EY CA '⊥，FZ AB '⊥， 则2222X B X C BD CD ''-=-22211()24BZ BY YZ =+-22211()24CY CZ YZ ⎡⎤-+-⎢⎥⎣⎦22221()2BY BZ CY CZ =+--．同理， 2222221()2Y C Y A CZ CX AZ AX ''-=+--2222221()2Z A Z B AX AY BX BY ''-=+--．以上三式相加，得222222X B X C Y C Y A Z A Z B ''''''-+-+-2222221()2XC XB YA YC ZB ZA =-+-+-．因为，由定差幂线定理可得：以上三式相加得所以222222X B X C Y C Y A Z A Z B ''''''-+-+-=0（*） 设与交于M 点，则由定差幂线定理可得，代入（*）得即所以M 在过引AB 的垂线上，所以、、三线共点．M Z'Y'F ED Y Z BP A B C D HE例4 锐角△ABC 的一边AC 为直径作圆，分别与AB 、BC 交于点K 、L ，CK 、AL 分别与△ABC 的外接圆交于点F 、D (F ≠C ，D ≠A )，E 为劣弧AC 上一点，BE 与AC 交于点N ． 若AF 2+BD 2+CE 2=AE 2+CD 2+BF 2． 求证：KNB BNL =∠∠．证明：如图，由于以AC 为直径的圆分别与AB 、BC 交于点K ，L ，则CK AB ⊥，AL BC ⊥．设CK 与AL 交于点H ，则H 为ABC △的垂心，故点H 与F 关于AB 对称，点H 与D 关于BC 对称． 从而，AF AH =，CD CH =，BD BH BF ==． 由222222AF BD CE AE CD BF ++=++，有 2222AH CE AE CH +=+．即2222AH CH AE CE -=-． 由定差幂线定理知，HE AC ⊥． 又注意到H 为垂心，有BH AC ⊥． 故知B 、H 、E 三点共线． 因为N 为边AC 与BH 的交点，则BN AC ⊥． 故KNB BNL =∠∠．三、共边比例定理、分角定理与张角定理1．共边比例定理（燕尾定理）：在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，有S △AOB ∶S △AOC =BD ∶CD S △AOB ∶S △COB =AE ∶CE S △BOC ∶S △AOC =BF ∶AF2．分角定理：在△ABC 中，D 是边BC 上异于B,C 或其延长线上的一点，连结AD ，则有BD/CD=(sin ∠BAD/sin ∠CAD)*(AB/AC) ． 证明：面积法3．张角定理：在△ABC 中，D 是BC 上的一点，连结AD ．那么sin ∠BAD/AC+sin ∠CAD/AB=sin ∠BAC/AD ． 逆定理： 如果sin sin sin BAD DAC BACAC AB AD∠∠∠+=， 那么B,D,C 三点共线．证明：面积法，同一法HNFDK LABCE4．斯特瓦尔特定理 设P 为ABC △的BC 边上任一点（P B ≠，P C ≠），则有 222AB PC AC BP AP BC BP PC BC ⋅+⋅=⋅+⋅⋅①或 2222PC BP BP PCAP AB AC BC BC BC BC BC=⋅+⋅-⋅⋅． ② 证明 如图所示，不失一般性，不妨设90APC <︒∠，则由余弦定理，有 2222cos AC AP PC AP PC APC =+-⋅⋅∠， 2222cos(180)AB AP BP AP BP APC =+-⋅⋅︒-∠ 222cos AP BP AP BP APC =++⋅⋅∠．对上述两式分别乘以BP ，PC 后相加整理，得①式或②式．斯特瓦尔特定理的逆定理：设B ，P ，C 依次分别为从A 点引出的三条射线AB ，AP ，AC 上的点，若 22AB PC AC BP AP BC BP PC BC ⋅+⋅=⋅+⋅⋅，或2222PC BP BP PCAP AB AC BC BC BC BC BC=⋅+⋅-⋅⋅， 则B ，P ，C 三点共线．证明：令1BPA θ=∠，2APC θ=∠，对△ABP 和△APC 分别应用余弦定理，有 22212cos AB AP PB AP PB θ=+-⋅⋅，22222cos AC AP PC AP PC θ=+-⋅⋅．将上述两式分别乘以PC ，BP 后相加，再与已知条件式相比较得 ()122cos cos 0AP BP PC θθ-⋅⋅⋅+=，由此推出12180θθ=︒-，即证．斯特瓦尔特定理的推广：（1）设P 为ABC △的BC 边延长线上任一点，则2222PC BP PC BPAP AB AC BC BC BC BC BC=-⋅+⋅+⋅⋅． ③ （2）设P 为ABC △的BC 边反向延长线上任一点，则2222PC BP PC BPAP AB AC BC BC BC BC BC=⋅-⋅+⋅⋅． ④ 注：若用有向线段表示，则②，③，④式是一致的．推论1 设P 为等腰ABC △的底边BC 上任一点，则22AP AB BP PC =-⋅．注：此推论也可视为以A 为圆心，AB 为半径的圆中的圆幂定理．推论2 设AP 为ABC △的BC 边上的中线，则2222111224AP AB AC BC =+-．推论3 设AP 为ABC △的A 的内角平分线，则2AP AB AC BP PC =⋅-⋅． 推论4 设AP 为ABC △的A 的外角平分线，则2AP AB AC BP PC =-⋅+⋅． 推论5 在ABC △中，若P 分线段BC 满足BPBCλ=，则2222(1)(1)AP BC AB AC λλλλ=-+-+⋅． 注：若BPk PC =，则()222221111k k AP AB AC BC k k k =⋅+-⋅+++．例1 已知O 是ABC △的内切圆，D 、E 、N 分别为、、上的切点，连结并延长交于点，连结并延长交于点． 求证：是的中点．证明:如图，联结OD ，OE ，由O 、D 、B 、N 及O 、N 、C 、E 分别四点共圆有KOD B ∠∠=，KOE C ∠=∠． 由共边比例定理，有sin sin ODK OKE S DK OD OK DOK KE S OE OK KOE ⋅⋅∠==⋅⋅∠△△sin sin sin sin DOK B ACKOE C AB∠===∠， 及sin sin ADK AEK S DK DAK KE S EAK∠==∠△△． 于是，sin sin ABM ACM S BM AB BAM MC S AC CAM ⋅∠==⋅∠△△sin sin AB DAK AC EAK ⋅∠=⋅∠AB DK AC KE =⋅1AB ACAC AB =⋅=．故M 是BC 的中点．例2 在等腰△ABC 中，∠A ＜90°，从边AB 上点D 引AB 的垂线，交边AC 于E ，交边BC 的延长线于F ． 求证：AD =CF 当且仅当△ADE 面积是△CEF 面积的两倍．证明：连接BE ，则EA 外分BED ∠． 设βα=∠=∠AEB AED ,，作BC EM ⊥． 由分角定理得：BEDEAB AD :sin sin =βα ① 在BEF ∆中，EC 内分BEF ∠，由分角定理得：BEEFBC CF :sin sin =βα ② 由①=②且CF AD =，得EF ABBCDE ⋅=． 设θ=∠ABC ，在等腰ABC ∆中，有θcos 2=ABBC． ∴θcos 2⋅=EF DE ，∴EM DE 2=，∴CEF ADE S S ∆∆=2．以上过程均可逆．AB AC BC NO DE K AK BC M M BC KEDOBCEABCFDK DENOBC例3 如图，在线段AB 上取内分点M ，使，分别以MA ，MB 为边，在AB 的同侧作正方形和MBEF ，和分别是这两个正方形的外接圆，两圆交于M ，． 求证：B ，，三点共线．证明：连MD ，ME ，NE ，ND ，NM ，则90DNM ENM ==︒∠∠，则D ，N ，E 三点共线，注意454590DME =︒+︒=︒∠．设DMN NEM α==∠∠，P ，Q 的半径分别为1r ，2r ，则MC =，2MB =，12cos MN r α=⋅= 22sin r α⋅． 对视点M ，考察点B ，C ，N 所在的三角形△MBN ． 由22sin sin sin 902sin CMB CMN MN MB r α︒+=+=∠∠()2111sin cos sin cos sin cos 2cos 2cos r r αααααααα+⋅-+⋅==⋅11cos sin 2r αα+===sin 9045sin NMBMC α︒+︒-==∠．由张角定理可知B ，C ，N 三点共线．例4 在ABC △中，60A =︒∠，AB AC >，点O 是外心，两条高BE ，CF 交于H 点，点M ，N 分别在线段BH ，HF 上，且满足BM CN =，求MH NHOH+的值．（2002年全国高中联赛题）解析：延长BE 交O 于L ，由三角形垂心性质，知L 为H 关于AC 的对称点，则LC CH =． 设O 的半径为R ，OH d =，CH x =，BH y =，由60CLB A =︒∠=∠，知LH LC CH x ===．延长OH 两端交O 于T ，S ，如图所示，由相交弦定理有TH HS BH HL ⋅=⋅， 得()()R d R d x y +-=⋅，即22R d xy =+．在△BCL 及边BL 上的点H ，应用斯特瓦尔特定理，并注意到2sin BC R A =⋅=∠ ，可得222BC LH LC BH LH BH BL CH BL ⋅+⋅=⋅⋅+⋅，即)()()222x x y x y x y x x y ⋅+⋅=⋅⋅++⋅+，亦即 ()22213R x xy y =++．于是，有()22213x xy y d xy ++=+．亦即 ()223x y d -=，即x y d -= 而当AB AC >时，MH NH BH BM CN CH BH CH y x x y +=-+-=-=-=-， 故x yMH NH OH d-+==AM BM ≤AMCD P Q N C NL ST图43四、Menelaus 、Ceva 、Pascal 定理1．梅涅劳斯定理：若直线l 不经过ABC ∆的顶点， 并且与ABC ∆的三边,,BC CA AB 或它们的延长线 分别交于,,P Q R ，则1BP CQ ARPC QA RB⋅⋅=． 其他证明方法：面积法，作平行线导边． 注：梅涅劳斯定理的逆定理也成立 （用同一法证明）梅涅劳斯定理逆定理：P Q R ABC BC CA AB P Q R ABC BP 021P Q R PC CQ ARQA RB ∆∆⋅⋅=设、、分别是的三边、、上或它们的延长线上的三点，并且、、三点中，位于边上的点的个数为或，若，则、、三点共线；''''''''''1BP BP 11PC PC 02,PQ AB R CQ AR CQ AR AR AR QA R BQA RB R B RBP Q R ABC R R AB AB R R AB R R AR AR ⋅⋅=⋅⋅=∆>证：设直线与直线交于，于是由定理得：又，则：＝由于在同一直线上的、、三点中，位于边上的点的个数也为或，因此与或者同在线段上，或者同在的延长线上；若与同在线段上，则与必定重合，不然的话，设 '''''',,AR AR AR AR AB AR AB AR BR BR BR BR BR BR-<-<>这时即于是可得这与＝矛盾''R R AB R R P Q R 类似地可证得当与同在的延长线上时，与也重合综上可得：、、三点共线；利用面积转换，可得出如下两个角元形式： 第一角元形式：1sin sin sin sin sin sin =∠∠⋅∠∠⋅∠∠FCBACFEBA CBE DAC BAD第二角元形式：1sin sin sin sin sin sin =∠∠⋅∠∠⋅∠∠FOBAOFEOA COE DOC BOD（O 为不在三边所在直线上的任意一点）例1 已知AD 为锐角三角形ABC 的一条高，K 为AD 上任一点，BK 、CK 的延长线分别交AC 、AB 于点E 、F ． 求证：∠EDK ＝∠FDK ．证明：过点A 作MN ∥BC ，与DE 、DF 的延长线分别交，于点M 、N ．由于AF FB ·BD DC ·CEEA=1．而AF FB ＝AN BD ，CE EA ＝DC AM ． ，ANAM ＝1，AN ＝AM ，即DA 是等腰三角形DMN 的底边上的高， 从而∠EDA ＝∠FDA ．例2 （完全四边形的性质）如图，四边形ABCD 中，AB 与CD 所在直线交于点E ，AD 与BC 所在直线交于点F ，BD 与EF 所在直线交于点H ，AC 与EF 所在直线交于点G ． 求证：HE FG HF EG ⋅=⋅．证明：考虑AEF ∆被直线HBD 截，应用梅涅劳斯定理可知1=⋅⋅DAFD HF EH BE AB ① 考虑AEG ∆被直线BCF 截，同理可得1=⋅⋅CAGC FG EF BE AB ②考虑AGF ∆被直线ECD 截，同理可得1=⋅⋅DAFDEF GE CG AC ③ ②×③÷①可得1=⋅EHHFFG GE ，所以原命题成立CBAFDDB CA EFK DBCA EFK MN2．赛瓦（Ceva)定理及其逆定理设点P 不在ABC ∆三边所在直线上，直线AP ，BP ，CP 分别与BC ，CA ，AB 交于点D ，E ，F ，则1=⋅⋅FBAFEA CE DC BD ，反之，若三角形三边所在直线上的点使得上述等式成立，则AD ，BE ，CF 交于一点或互相平行．证明：面积法，同一法 Ceva 定理角元形式：为了方便，我们可以从某个角开始，把六个角顺时针（或逆时针）标记为1∠至6∠，则16sin 5sin 4sin 3sin 2sin 1sin =∠∠⋅∠∠⋅∠∠．或者改为判断过ABC ∆的顶点的三条直线AX ，BY ，CZ 是否共点， 等价于1sin sin sin sin sin sin =∠∠⋅∠∠⋅∠∠YBACBYZCB ACZ XAC BAX例3 在锐角ABC △中，AD 是A ∠的内角平分线，D 在边BC 上，过D 作DE AC ⊥，DF AB ⊥，垂足分别为E ，F ，连结BE ，CF ，它们相交于点H ，求证：AH BC ⊥．分析：“过A 作BC AK ⊥于K 点，只须证：1=⋅⋅EA CEKC BK FB AF 即可HE FDABC证明：由题意知K D F A ,,,四点共圆，则BK BD BA BF ⋅=⋅K D E A ,,,四点共圆，则CA CE CD CK ⋅=⋅所以CA CE BA BF CK BK CD BD ⋅⋅=⋅又因为AD 平分BAC ∠ 所以AC AB CD BD =所以CEBFCK BK =又因为AF =AE ，所以1=⋅⋅EAAFBF CE CK BK ．所以由赛瓦定理逆定理知原命题成立．例4 四边形BCEF 内接于圆O ，其边CE 与BF 的延长线交于点A ，由点A 作圆O 的两条切线AP 和AQ ，切点分别为P ，Q ，BE 与CF 的交点为H ，求证：P ，H ，Q 三点共线．分析：考虑连结FQ ，QB ，只须说明H 是FBQ ∆的赛瓦点即可 证明：设M CF BQ L BE FQ K PQ BF === ,,则BQ PB FQ PF S S KB FK PBQ FPQ ⋅⋅==∆∆；CQFQ BCFB S S MQ BM FQC FBC ⋅⋅==∆∆； FBEF QBEQ S S LF QL EFB EQB ⋅⋅==∆∆ 所以EFBCCQ EQ PB PF LF QL MQ BM KB FK ⋅⋅=⋅⋅（*） 因为APF ∆~ABP ∆，AQE ∆~ACQ ∆，AFE ∆~ACB ∆所以AF ACEF BC AC AQ CQ EQ AB AP PB PF ===,,所以（*）可化为12=⋅AFAB AP （圆幂定理） 所以由赛瓦定理逆定理可知H 在PQ 上，所以P ，H ，Q 三点共线．HEFPQBAC3．Pascal 定理圆O 上六点654321,,,,,A A A A A A ，则164365325421,,,,,A A A A A A A A A A A A 的交点X ，Y ，Z 共线．考虑63ZA A ∆三顶点引出的直线5623,,A A ZX A A 与两边所成角的正弦值4114545612412366536563232sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin XZA XZA A A A Z A A A A A A A A XZA XZA Z A A A A A A A A Z A A ∠∠⋅∠∠⋅∠∠=∠∠⋅∠∠⋅∠∠（*）定理（角元形式）运用中，对点在Ceva X Z A A 41∆1sin sin sin sin sin sin 14441141=∠⋅∠∠⋅∠∠A XA ZXA XZA XZA Z XA A XA所以（*）为1，由Ceva 定理（角元形式）逆定理知原命题成立．注：结论与六个点在圆上的次序无关． 六个点中相邻两个点若重合，则对应两点连线变为该点的切线，从而六边形可以变为五边形或者四边形甚至三角形．例5 △ABC 内接于圆O ，P 为BC 弧上一点，点K 在线段AP 上，使得BK 平分ABC ∠，过K ，P ，C 三点的圆Ω与边AC 交于点D ，连结BD 交圆Ω于点E ，连结PE 并延长与边AB 交于点F ，证明：2ABC FCB ∠=∠．F E D K OABCP分析：设CF 与圆Ω交于点S ，考虑圆Ω上六点形KPEDCS ，由Pascal 定理可知B ，K ，S 三点共线． 证明：设圆Ω与BC 交于点T ，连结KT ，则KBC ABC APC KPC KTC ∠=∠=∠=∠=∠2． 所以FCB SCB BKT KBC ∠=∠=∠=∠，所以FCB ABC ∠=∠2．例6 如图，ABC △的外心为O ，CD 为高线，M 为边AC 的中点，射线DM 与以AD 为直径的圆Γ的另一个交点为Y ，圆Γ与⊙O 的另一个交点为X ，直线DO 与AC 交于点Z ． 证明：X ，Y ，Z 三点共线．分析：设'Z 是XY ，AC 的交点，下面证明：D O Z ,,'共线即可．证明：设直线'XYZ 交圆O 于点L ，连结XD 并延长交圆O 于点P ，那么 90=∠=∠AXD AXP ， 从而P O A ,,三点共线，所以连结AOP ，因为'Z 是XY ，AC 的交点，即XL 与AC 的交点，而延长CD 交圆O 于点G ， 则D 点就是XP 和CG 的交点，此时考虑六点形CAPXLG ，只要能证明O 是AP 和LG 的交点即可由Pascal 定理证得． 所以下面证明：L ，O ，G 三点共线． 要证L ，O ，G 三点共线，只要证：BG LB ⊥因为YDA YXA LXA LBA ∠=∠=∠=∠，所以LB //MD ，所以只要证BG MD ⊥，这由DBG MCD MDC ∠=∠=∠可得． 证毕．五、Ptolemy 定理、三弦定理、Simson 定理1． 托勒密定理：在四边形ABCD 中，有AB CD BC AD AC BD ⋅+⋅≥⋅，并且当且仅当四边形ABCD 内接于圆时，等式成立。
高中平面几何常用定理总结及高中平面解析几何知识点总结(直线、圆、椭圆、曲线)
（高中）平面几何基础知识（基本定理、基本性质）1． 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．2．射影定理（欧几里得定理） 3． 中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+； 中线长：222222a c b ma -+=． 4． 垂线定理：2222BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥． 高线长：Cb Bc A a bc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---=． 5． 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则ACAB DC BD =；（外角平分线定理）． 角平分线长：2cos 2)(2A c b bc a p bcp c b t a+=-+=（其中p 为周长一半）． 6． 正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin ===，（其中R 为三角形外接圆半径）． 7．余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=． 8． 张角定理：AB DAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin ． 9． 斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD ．10． 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．（圆外角如何转化？）11．弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角．12．圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）13．布拉美古塔（Brahmagupta）定理：在圆内接四边形ABCD中，AC⊥BD，自对角线的交点P向一边作垂线，其延长线必平分对边．14．点到圆的幂：设P为⊙O所在平面上任意一点，PO=d，⊙O的半径为r，则d2－r2就是点P对于⊙O的幂．过P任作一直线与⊙O交于点A、B，则PA·PB= |d2－r2|．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．15．托勒密（Ptolemy）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC·BD=AB·CD+AD·BC，(逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB·CD+AD·BC≥AC·BD．16．蝴蝶定理：AB是⊙O的弦，M是其中点，弦CD、EF经过点M，CF、DE交AB于P、Q，求证：MP=QM．17．费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．定理2三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马点．18． 拿破仑三角形：在任意△ABC 的外侧，分别作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，则AE 、AB 、CD 三线共点，并且AE ＝BF ＝CD ，这个命题称为拿破仑定理． 以△ABC 的三条边分别向外作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们的外接圆⊙C 1 、⊙A 1 、⊙B 1的圆心构成的△——外拿破仑的三角形，⊙C 1 、⊙A 1 、⊙B 1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；△ABC 的三条边分别向△ABC 的内侧作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们的外接圆⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2的圆心构成的△——内拿破仑三角形，⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．这两个拿破仑三角形还具有相同的中心．19． 九点圆（Nine point round 或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如:（1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;（2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;（3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕．20． 欧拉（Euler ）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上．21． 欧拉（Euler ）公式：设三角形的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，外心与内心的距离为d ，则d 2=R 2－2Rr ．22． 锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和．23． 重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成2：1的两部分；)3,3(C B A C B A y y y x x x G ++++重心性质：（1）设G 为△ABC 的重心，连结AG 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点，则1:2:=GD AG ；（2）设G 为△ABC 的重心，则ABC ACG BCG ABG S S S S ∆∆∆∆===31； （3）设G 为△ABC 的重心，过G 作DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，过G 作PF ∥AC 交AB 于P ，交BC 于F ，过G 作HK ∥AB 交AC 于K ，交BC 于H ，则2;32=++===ABKH CA FP BC DE AB KH CA FP BC DE ； （4）设G 为△ABC 的重心，则①222222333GC AB GB CA GA BC +=+=+； ②)(31222222CA BC AB GC GB GA ++=++； ③22222223PG GC GB GA PC PB PA +++=++（P 为△ABC 内任意一点）；④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即222GC GB GA ++最小；⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G 为△ABC 的重心）．24． 垂心：三角形的三条高线的交点；)cos cos cos cos cos cos ,cos cos cos cos cos cos (Cc B b A a y C c y B b y A a C c B b A a x C c x B b x A a H C B A C B A ++++++++ 垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；（2）垂心H 关于△ABC 的三边的对称点，均在△ABC 的外接圆上；（3）△ABC 的垂心为H ，则△ABC ，△ABH ，△BCH ，△ACH 的外接圆是等圆；（4）设O ，H 分别为△ABC 的外心和垂心，则HCA BCO ABH CBO HAC BAO ∠=∠∠=∠∠=∠,,．25． 内心：三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；),(cb a cy by ayc b a cx bx ax I C B A C B A ++++++++ 内心性质：（1）设I 为△ABC 的内心，则I 到△ABC 三边的距离相等，反之亦然；（2）设I 为△ABC 的内心，则C AIB B AIC A BIC ∠+︒=∠∠+︒=∠∠+︒=∠2190,2190,2190； （3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若A ∠平分线交△ABC 外接圆于点K ，I 为线段AK 上的点且满足KI=KB ，则I 为△ABC 的内心；（4）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC === A ∠平分线交BC 于D ，交△ABC 外接圆于点K ，则a c b KD IKKI AK ID AI +===； （5）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC ===I 在AB AC BC ,,上的射影分别为F E D ,,，内切圆半径为r ，令)(21c b a p ++=，则①pr S ABC =∆；②c p CD CE b p BF BD a p AF AE -==-==-==;;；③CI BI AI p abcr ⋅⋅⋅=．26． 外心：三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等；)2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin ,2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin (CB A Cy By AyC B A Cx Bx Ax O C B A C B A ++++++++ 外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等；（2）设O 为△ABC 的外心，则A BOC ∠=∠2或A BOC ∠-︒=∠2360；（3）∆=S abcR 4；（4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和．27． 旁心：一内角平分线与两外角平分线交点——旁切圆圆心；设△ABC 的三边,,,c AB b AC a BC ===令)(21c b a p ++=，分别与AB AC BC ,,外侧相切的旁切圆圆心记为C B A I I I ,,，其半径分别记为C B A r r r ,,．旁心性质：（1）,21,2190A C BI C BI A C BI C B A ∠=∠=∠∠-︒=∠（对于顶角B ，C 也有类似的式子）；（2）)(21C A I I I C B A ∠+∠=∠； （3）设A AI 的连线交△ABC 的外接圆于D ，则DC DB DI A ==（对于C B CI BI ,有同样的结论）；（4）△ABC 是△I A I B I C 的垂足三角形，且△I A I B I C 的外接圆半径'R 等于△ABC 的直径为2R ．28． 三角形面积公式：C B A R R abc C ab ah S a ABC sin sin sin 24sin 21212====∆)cot cot (cot 4222C B A c b a ++++= ))()((c p b p a p p pr ---==，其中a h 表示BC 边上的高，R 为外接圆半径，r 为内切圆半径，)(21c b a p ++=． 29． 三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系：;2sin 2cos 2cos 4,2cos 2sin 2cos 4,2cos 2cos 2sin 4;2sin 2sin 2sin4C B A R r C B A R r C B A R r C B A R r c b a ==== .1111;2tan 2tan ,2tan 2tan ,2tan 2tan r r r r B A r r C A r r C B r r c b a c b a =++=== 30． 梅涅劳斯（Menelaus ）定理：设△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P 、Q 、R 则有1=⋅⋅RBAR QA CQ PC BP ．（逆定理也成立） 31． 梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC 的∠A 的外角平分线交边CA 于Q ，∠C 的平分线交边AB 于R ，∠B 的平分线交边CA 于Q ，则P 、Q 、R 三点共线．32． 梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC 的三个顶点A 、B 、C 作它的外接圆的切线，分别和BC 、CA 、AB 的延长线交于点P 、Q 、R ，则P 、Q 、R 三点共线．33． 塞瓦(Ceva )定理：设X 、Y 、Z 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的一点，则AX 、BY 、CZ 所在直线交于一点的充要条件是AZ ZB ·BX XC ·CY YA=1． 34． 塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC 的边BC 的直线与两边AB 、AC 的交点分别是D 、E ，又设BE 和CD 交于S ，则AS 一定过边BC 的中点M ．35． 塞瓦定理的逆定理：（略）36． 塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点．37． 塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC 的内切圆和边BC 、CA 、AB分别相切于点R 、S 、T ，则AR 、BS 、CT 交于一点．38． 西摩松（Simson ）定理：从△ABC 的外接圆上任意一点P 向三边BC 、CA 、AB 或其延长线作垂线，设其垂足分别是D 、E 、R ，则D 、E 、R 共线，（这条直线叫西摩松线Simson line ）．39． 西摩松定理的逆定理：（略）40． 关于西摩松线的定理1：△ABC 的外接圆的两个端点P 、Q 关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上．41．关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点．42．史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC 的点P的西摩松线通过线段PH的中心．43．史坦纳定理的应用定理：△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条（与西摩松线平行的）直线上．这条直线被叫做点P关于△ABC的镜象线．44．牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线．这条直线叫做这个四边形的牛顿线．45．牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线．46．笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．47．笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．48．波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于△ABC交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2 ) ．49．波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于△PQR的的西摩松线交于与前相同的一点．50．波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点．51．波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC 的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦，则三点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点．52．波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一点．53．卡诺定理：通过△ABC的外接圆的一点P，引与△ABC的三边BC、CA、AB分别成同向的等角的直线PD、PE、PF，与三边的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．54．奥倍尔定理：通过△ABC的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC的外接圆的交点分别是L、M、N，在△ABC的外接圆上取一点P，则PL、PM、PN与△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．55．清宫定理：设P、Q为△ABC的外接圆的异于A、B、C的两点，P点的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．56．他拿定理：设P、Q为关于△ABC的外接圆的一对反点，点P的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，如果QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．（反点：P、Q分别为圆O的半径OC和其延长线的两点，如果OC2=OQ×OP则称P、Q两点关于圆O互为反点）57．朗古来定理：在同一圆周上有A1、B1、C1、D1四点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P，作P点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上．58．从三角形各边的中点，向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心．59．一个圆周上有n个点，从其中任意n－1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点．60．康托尔定理1：一个圆周上有n个点，从其中任意n－2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点．61．康托尔定理2：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N两点，则M和N 点关于四个三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一个的两条西摩松线的交点在同一直线上．这条直线叫做M、N两点关于四边形ABCD的康托尔线．62．康托尔定理3：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N、L三点，则M、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、L、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、M、L两点的关于四边形ABCD的康托尔线交于一点．这个点叫做M、N、L三点关于四边形ABCD的康托尔点．63．康托尔定理4：一个圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、L三点，则M、N、L三点关于四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一个康托尔点在一条直线上．这条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、B、C、D、E 的康托尔线．64．费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切．65．莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形．这个三角形常被称作莫利正三角形．66．布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF相对的顶点A和D、B 和E、C和F，则这三线共点．67．帕斯卡（Paskal）定理：圆内接六边形ABCDEF相对的边AB和DE、BC 和EF、CD和FA的（或延长线的）交点共线．68．阿波罗尼斯（Apollonius）定理：到两定点A、B的距离之比为定比m：n （值不为1）的点P，位于将线段AB分成m：n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上．这个圆称为阿波罗尼斯圆．69．库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆．70．密格尔（Miquel）点：若AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点，构成四个三角形，它们是△ABF、△AED、△BCE、△DCF，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点．71．葛尔刚（Gergonne）点：△ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E 、F ，则AE 、BF 、CD 三线共点，这个点称为葛尔刚点．72． 欧拉关于垂足三角形的面积公式：O 是三角形的外心，M 是三角形中的任意一点，过M 向三边作垂线，三个垂足形成的三角形的面积，其公式：222ABC D 4||R d R S S EF -=∆∆．高中平面解析几何知识点总结一.直线部分1．直线的倾斜角与斜率：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[︒∈α,︒=90α斜率不存在.（2）直线的斜率：αtan ),(211212=≠--=k x x x x y y k ．两点坐标为111(,)P x y 、222(,)P x y .2．直线方程的五种形式：（1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )．注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =．（2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式：121121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠).注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线；② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线．（4）截距式：1=+b y a x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）．注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线．（5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)．一般式化为斜截式：B C x B A y --=，即，直线的斜率：B Ak -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =． 已知直线横截距0x ，常设其方程为x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =．已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或x x =．（2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合．3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0.（1）直线在两坐标轴上的截距相等⇔直线的斜率为1-或直线过原点． （2）直线两截距互为相反数⇔直线的斜率为1或直线过原点． （3）直线两截距绝对值相等⇔直线的斜率为1±或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直： （1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+，有① 212121,//b b k k l l ≠=⇔； ② 12121l l k k ⊥⇔=-.（2）若0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=⇔且； ② 0212121=+⇔⊥B B A A l l ．5．平面两点距离公式： （1）已知两点坐标111(,)P x y 、222(,)P x y ，则两点间距离22122121)()(y y x x P P -+-=．（2）x 轴上两点间距离：AB x x AB -=．（3）线段21P P 的中点是),(00y x M ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=22210210y y y x x x ． 6．点到直线的距离公式：点),(00y x P 到直线0=++C By Ax l ：的距离：2200B A CBy Ax d +++=．7．两平行直线间的距离公式：两条平行直线002211=++=++C By Ax l C By Ax l ：，：的距离：2221B A C C d +-=．8．直线系方程： （1）平行直线系方程：① 直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程． ② 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=．③ 过点00(,)P x y 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为：00()()0A x xB y y -+-=．（2）垂直直线系方程：① 与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=．② 过点00(,)P x y 与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为：00()()0B x x A y y ---=．（3）定点直线系方程：① 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线x x =),其中k 是待定的系数．② 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x xB y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．（4）共点直线系方程：经过两直线0022221111=++=++C y B x A l C y B x A l ：，：交点的直线系方程为0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ (除开2l)，其中λ是待定的系数．9．两条曲线的交点坐标：曲线1:(,)0C f x y =与2:(,)0C g x y =的交点坐标⇔方程组{(,)0(,)0f x y g x y ==的解． 10.平面和空间直线参数方程：① 平面直线方程以向量形式给出：nb y nax 21--=方向向量为()n n s 21，=→下面推导参数方程：⎪⎩⎪⎨⎧+=+===--tn b y tn a x tn b y na x 2121则有令：② 空间直线方程也以向量形式给出：nb z nb y nax 321---==方向向量为()n n n s 321,，=→下面推导参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+====---t n c z t n b y t n a x t nc z nb y na x 321321则有令：注意：只有封闭曲线才会产生参数方程，对于无限曲线，例如二次函数一般不会有化为如上的参数方程。
根据高中数学平面几何定理总结
根据高中数学平面几何定理总结在高中数学中，平面几何是一个重要的分支，它涉及到平面内点、直线、角等基本概念，以及相关的定理和公式。
这些定理和公式帮助我们理解和解决平面几何问题。
以下是一些高中数学平面几何定理的总结：1. 直线的性质和定理1.1 垂直定理垂直定理：如果两条直线互相垂直，则它们的斜率乘积为-1。
即若直线L1的斜率为k1，直线L2的斜率为k2，那么k1 * k2 = -1。
1.2 平行定理平行定理：如果两条直线的斜率相等且不等于无穷大，则它们是平行的。
1.3 夹角定理夹角定理：如果两条直线互相垂直，则它们的夹角为90度。
1.4 同位角定理同位角定理：当两条直线被一条截线相交时，相对应角相等。
即对应角相等。
2. 三角形的性质和定理2.1 内角和定理内角和定理：一个三角形的三个内角的和为180度。
2.2 直角三角形定理直角三角形定理：一个三角形有一个角是90度的直角，则它是直角三角形。
2.3 相似三角形定理相似三角形定理：如果两个三角形的对应角相等，则它们是相似的。
2.4 三角形的边长关系三角形的边长关系：在一个三角形中，两边之和大于第三边，任意一边的长度小于其他两边之和。
3. 圆的性质和定理3.1 圆心角定理圆心角定理：一个圆的圆心角是其所对弧的两倍。
3.2 弧长定理弧长定理：一个圆的弧长等于圆心角的度数除以360度再乘以圆的周长。
以上是一些高中数学平面几何的重要定理和性质。
通过掌握这些定理和公式，我们能够更好地理解和解决平面几何问题，提高数学应用能力。
_注意：以上内容是对高中数学平面几何定理的总结，我们根据教材内容进行总结，但请在使用时自行核实教材或教师的讲解。
_。
著名的15个平面几何定理
1、欧拉（Euler）线：同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半证明：利用向量，简单明了设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心.，D为BC边上的中点。
∵向量OH=向量OA+向量AH=向量OA+2向量OD (1)=向量OA+向量OB+向量BD+向量OC+向量CD=向量OA+向量OB+向量OC；而向量OG=向量OA+向量AG=向量OA+1/3（向量AB+向量AC） (2)=1/3[向量OA+（向量OA+向量AB）+（向量OA+向量AC）]=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）.∴向量OG=1/3向量OH，∴O、G、H三点共线且OG=1/3OH。
2、九点圆：任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。
证明：如右图所示，△ABC的BC边垂足为D，BC边中点为L。
证法为以垂心H为位似中心，1/2为位似比作位似变换。
连结HL并延长至L'，使LL'=HL；做H关于BC的对称点D'。
显然，∠BHC=∠FHE=180°-∠A，所以∠BD'C=∠BHC=180°-∠A，从而A，B，D'，C四点共圆。
又因为BC和HL'互相平分于L，所以四边形BL'CH为平行四边形。
故∠BL'C=∠BHC=180°-∠A，从而A，B，L'，C四点共圆。
综上，A，B，C，D'，L'五点共圆。
显然，对于另外两边AB，AC边上的F，N，E，M也有同样的结论成立，故A，B，C，D'，L'，F'，N'，E'，M'九点共圆。
此圆即△ABC的外接圆⊙O。
接下来做位似变换，做法是所有的点（⊙O上的九个点和点O本身）都以H为位似中心进行位似比为1/2的位似变换。
平面几何定义定理及相关证明
目录一、平面几何定理 (2)1、三角形 (2)（1）、重心 (2)（2）、垂心 (5)（3）、内心 (10)（4）、外心 (16)（5）、基本定理及其它性质 (23)○1、正弦定理 (23)○2、余弦定理 (23)○3、正切定理 (23)○4、半角定理 (24)○5、面积公式 (24)○6、三角函数 (24)2、圆 (25)垂径定理、圆周定理、切线长定理、弦切角定理、相交弦定理、割线定理、切割线定理3、重要的几何定理（1）、托勒密定理 (26)（2）、塞瓦定理 (27)（3）、梅涅劳斯定理 (28)（4）、斯特瓦尔特定理 (29)（5）、张角定理 (29)二、反演变换 (29)三、数形结合 (33)一、平面几何定理1、三角形（1）三角形的重心三角形的中线是接三角形顶点和它的对边中点的线段。
每个三角形都有三条中线，它们都在三角形的内部 [1]。
在三角形中，三条中线的交点是三角形的重心。
三角形的三条中线交于一点，这点位于各中线的三分之二处。
3/4。
这样就构成了由中线组成的三角形，两个三角形共同的元素为○7.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
证明：S△AMB= S△BMC= S△CMA△AMB和△BMC以BM为底边，分别以AD、CE为高，易知AD＝CE∴S△AMB= S△BMC同理S△BMC= S△CMA○8.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
证明（物理法）由平方和联想到转动惯量I＝mr2(其中m是其质量，r 是质点和转轴的垂直距离),根据转动惯量平行轴定理，可知质元绕过形心之轴的转动惯量是绕该束平行轴诸转动惯量中的最小者。
而对于密度相同的平面来说，形心与重心重合，所以重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
证明（代数法）建立直角坐标系,为了方便,三角形的A顶点作为坐标原点（0,0）,AB边在X轴上,B点坐标（b,0）好算,然后设出C点的坐标(m,n)；再设三角形内的任意一点为（x,y）(x2+y2)+[(x-b)2+y2]+[(x-m)2+(y-n)2]=3x2+3y2-2bx-2mx-2ny+b2+m2+n2=3x2-2(b+m)x+3y2-2ny+b2+m2+n2=3[x-(b+m)/3]2+3(y-n/3)2+ b2+m2+n2-(b+m)2/3-n2/3 只有当2个平方项全等于0时，才最小。
十大高中平面几何几何定理汇总及证明
高中平面几何定理汇总及证明1.共边比例定理有公共边AB的两个三角形的顶点分别是P、Q，AB与PQ的连线交于点M，则有以下比例式成立：△ PAB的面积：△ QAB的面积＝PM：QM.证明：分如下四种情况，分别作三角形高，由相似三角形可证S△PAB=(S△PAM-S△PMB)=(S△PAM/S△PMB-1)×S△PMB=(AM/BM-1)×S△PMB(等高底共线，面积比=底长比）同理，S△QAB=(AM/BM-1)×S△QMB所以，S△PAB/S△QAB=S△PMB/S△QMB=PM/QM(等高底共线，面积比=底长比）定理得证！特殊情况：当PB∥AQ时，易知△PAB与△QAB的高相等，从而S△PAB=S△QAB，反之，S△PAB=S△QAB，则PB∥AQ。
2.正弦定理在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的值的比相等且等于外接圆半径的2倍”，即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=R（r为外接圆半径，R为直径）证明：现将△ABC，做其，设为O。
我们考虑∠C及其对边AB。
设AB长度为c。
若∠C为直角，则AB就是⊙O的直径，即c= 2r。
∵（特殊角正弦函数值）∴若∠C为锐角或钝角，过B作直径BC`交⊙O于C`，连接C'A，显然BC'= 2r=R。
若∠C为，则C'与C落于AB的同侧，此时∠C'=∠C（同弧所对的圆周角相等）∴在Rt△ABC'中有若∠C为，则C'与C落于AB的异侧，BC的对边为a，此时∠C'=∠A，亦可推出。
考虑同一个三角形内的三个角及三条边，同理，分别列式可得。
3.分角定理在△ABC中，D是边BC上异于B,C或其延长线上的一点，连结AD，则有BD/CD=(sin∠BAD/sin∠CAD)*(AB/AC)。
证明：S△ABD/S△ACD=BD/CD…………S△ABD/S△ACD=[(1/2)×AB×AD×sin∠BAD]/[(1/2) ×AC×AD×sin∠CAD]= (sin∠BAD/sin∠CAD) ×(AB/AC) …………由式和式得BD/CD=(sin∠BAD/sin∠CAD) ×(AB/AC)4.张角定理在△ABC中，D是BC上的一点，连结AD。
高中数学的归纳平面几何基本定理与证明总结
高中数学的归纳平面几何基本定理与证明总结在高中数学中，平面几何是一个非常重要的分支，它研究了平面内各种图形之间的关系和性质。
而在学习平面几何时，归纳法是一个常用的证明方法。
本文将对高中数学中的归纳平面几何基本定理与证明进行总结。
一、线段中点定理线段中点定理是平面几何中的基本定理之一，它指出：在一条线段的中点上，可以作一条平行于这条线段的直线。
换句话说，如果在线段AB的中点M上作一条直线l，那么l与AB平行。
证明：连接AM、BM。
由于M是线段AB的中点，所以AM=BM，且由中点连线定理可知，AM∥BM。
根据平行线的性质可知，l∥AB。
二、角平分线定理角平分线定理是另一个重要的平面几何定理，它指出：一条角的平分线将这个角分成两个相等的小角。
证明：设∠AOB为一锐角，其中OC是∠AOB的平分线。
要证明∠AOC=∠BOC，我们可以利用三角形AOB和COA的相似性来进行证明。
由于OC是∠AOB的平分线，所以∠AOC=∠BOC。
又因为∠AOB是个锐角，所以∠COA也是个锐角，故∆COA和∆AOB是相似三角形。
根据相似三角形的性质可知，AO/CO=BO/CO，即AO=BO。
因此，∠AOC=∠BOC。
三、垂直平分线定理垂直平分线定理也是平面几何中的重要定理，它指出：一条线段的垂直平分线上所有点到线段的两个端点的距离相等。
证明：设线段AB上的垂直平分线为l，垂直平分线上的一点为M。
要证明AM=BM，我们可以利用三角形AMO和BMO的全等性来进行证明。
由于l是线段AB的垂直平分线，所以AM=BM，且∠AMO=∠BMO=90°。
又因为OM是l的一部分，所以MO=MO，自反性成立。
故∆AMO和∆BMO是全等三角形。
根据全等三角形的定义，可知AM=BM。
四、角的外角定理角的外角定理指出：一个三角形的外角等于它的两个不相邻内角的和。
证明：设三角形ABC的三个内角分别为∠A、∠B和∠C，对于∠A，其外角为∠D。
我们可以利用∆ABC和∆ACD的相似性来进行证明。
高中数学竞赛平面几何基本定理
（高中）平面几何基础知识（基本定理、基本性质）1． 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．2． 射影定理（欧几里得定理）3． 中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+； 中线长：222222a c b m a -+=． 4． 垂线定理：2222BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥． 高线长：C b B c A abc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---=． 5． 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则ACAB DC BD =；（外角平分线定理）． 角平分线长：2cos 2)(2A c b bc a p bcp c b t a +=-+=（其中p 为周长一半）． 6． 正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin ===，（其中R 为三角形外接圆半径）． 7． 余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=．8． 张角定理：ABDAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin ．9． 斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD ．10． 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．（圆外角如何转化？）11． 弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角．12． 圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）13． 布拉美古塔（Brahmagupta ）定理： 在圆内接四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，自对角线的交点P 向一边作垂线，其延长线必平分对边．14． 点到圆的幂：设P 为⊙O 所在平面上任意一点，PO =d ，⊙O 的半径为r ，则d 2－r 2就是点P 对于⊙O 的幂．过P任作一直线与⊙O 交于点A 、B ，则P A·PB = |d 2－r 2|．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．15． 托勒密（Ptolemy ）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC ·BD =AB ·CD +AD ·BC ，(逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB ·CD +AD ·BC ≥AC ·BD ．16． 蝴蝶定理：AB 是⊙O 的弦，M 是其中点，弦CD 、EF 经过点M ，CF 、DE 交AB 于P 、Q ，求证：MP =QM ．17． 费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．定理2 三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马点．18． 拿破仑三角形：在任意△ABC 的外侧，分别作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，则AE 、AB 、CD 三线共点，并且AE＝BF ＝CD ，这个命题称为拿破仑定理． 以△ABC 的三条边分别向外作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们的外接圆⊙C 1 、⊙A 1 、⊙B 1的圆心构成的△——外拿破仑的三角形，⊙C 1 、⊙A 1 、⊙B 1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；△ABC 的三条边分别向△ABC 的内侧作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们的外接圆⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2的圆心构成的△——内拿破仑三角形，⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．这两个拿破仑三角形还具有相同的中心．19． 九点圆（Nine point round 或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如:（1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;（2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;（3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕．20． 欧拉（Euler ）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上．21． 欧拉（Euler ）公式：设三角形的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，外心与内心的距离为d ，则d 2=R 2－2Rr ．22． 锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和．23． 重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成2：1的两部分；)3,3(C B A C B A y y y x x x G ++++ 重心性质：（1）设G 为△ABC 的重心，连结AG 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点，则1:2:=GD AG ；（2）设G 为△ABC 的重心，则ABC AC G BC G ABG S S S S ∆∆∆∆===31； （3）设G 为△ABC 的重心，过G 作DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，过G 作PF ∥AC 交AB 于P ，交BC 于F ，过G 作HK ∥AB 交AC 于K ，交BC 于H ，则2;32=++===AB KH CA FP BC DE AB KH CA FP BC DE ； （4）设G 为△ABC 的重心，则①222222333GC AB GB CA GA BC+=+=+； ②)(31222222CA BC AB GC GB GA ++=++； ③22222223PG GC GB GA PC PB PA +++=++（P 为△ABC 内任意一点）；④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即222GC GB GA ++最小； ⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G 为△ABC 的重心）． 24． 垂心：三角形的三条高线的交点；)cos cos cos cos cos cos ,cos cos cos cos cos cos (Cc B b A a y C c y B b y A a C c B b A a x C c x B b x A a H C B A C B A ++++++++ 垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；（2）垂心H 关于△ABC 的三边的对称点，均在△ABC 的外接圆上；（3）△ABC 的垂心为H ，则△ABC ，△ABH ，△BCH ，△ACH 的外接圆是等圆；（4）设O ，H 分别为△ABC 的外心和垂心，则HCA BCO ABH CBO HAC BAO ∠=∠∠=∠∠=∠,,．25． 内心：三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；),(cb a cy by ayc b a cx bx ax I C B A C B A ++++++++ 内心性质：（1）设I 为△ABC 的内心，则I 到△ABC 三边的距离相等，反之亦然；（2）设I 为△ABC 的内心，则C AIB B AIC A BIC∠+︒=∠∠+︒=∠∠+︒=∠2190,2190,2190； （3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若A ∠平分线交△ABC 外接圆于点K ，I 为线段AK 上的点且满足KI=KB ，则I 为△ABC 的内心；（4）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC === A ∠平分线交BC 于D ，交△ABC 外接圆于点K ，则ac b KD IK KI AK ID AI +===； （5）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC ===I 在AB AC BC ,,上的射影分别为F E D ,,，内切圆半径为r ，令)(21c b a p ++=，则①pr S ABC =∆；②c p CD CE b p BF BD a p AF AE -==-==-==;;；③CI BI AI p abcr ⋅⋅⋅=．26． 外心：三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等； )2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin ,2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin (C B A Cy By Ay C B A Cx Bx Ax O C B A C B A ++++++++ 外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等；（2）设O 为△ABC 的外心，则A BOC ∠=∠2或A BOC ∠-︒=∠2360；（3）∆=S abc R 4；（4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和． 27． 旁心：一内角平分线与两外角平分线交点——旁切圆圆心；设△ABC 的三边,,,c AB b AC a BC ===令)(21c b a p ++=，分别与AB AC BC ,,外侧相切的旁切圆圆心记为C B A I I I ,,，其半径分别记为C B A r r r ,,． 旁心性质：（1）,21,2190A C BI C BI A C BI C B A ∠=∠=∠∠-︒=∠（对于顶角B ，C 也有类似的式子）； （2）)(21C A I I I C B A ∠+∠=∠； （3）设A AI 的连线交△ABC 的外接圆于D ，则DC DB DI A ==（对于C B CI BI ,有同样的结论）；（4）△ABC 是△I A I B I C 的垂足三角形，且△I A I B I C 的外接圆半径'R 等于△ABC 的直径为2R ．28． 三角形面积公式：C B A R R abc C ab ah S a ABC sin sin sin 24sin 21212====∆)cot cot (cot 4222C B A c b a ++++= ))()((c p b p a p p pr ---==，其中a h 表示BC 边上的高，R 为外接圆半径，r 为内切圆半径，)(21c b a p ++=． 29． 三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系：;2sin 2cos 2cos 4,2cos 2sin 2cos 4,2cos 2cos 2sin 4;2sin 2sin 2sin4C B A R r C B A R r C B A R r C B A R r c b a ==== .1111;2tan 2tan ,2tan 2tan ,2tan 2tan r r r r B A r r C A r r C B r r c b a c b a =++=== 30． 梅涅劳斯（Menelaus ）定理：设△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P 、Q 、R 则有 1=⋅⋅RBAR QA CQ PC BP ．（逆定理也成立）31．梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q，∠C的平分线交边AB于R，∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线．32．梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线．33．塞瓦(Ceva)定理：设X、Y、Z分别为△ABC的边BC、CA、AB上的一点，则AX、BY、CZ所在直线交于一点的充要条件是AZZB·BXXC·CYYA=1．34．塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中点M．35．塞瓦定理的逆定理：（略）36．塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点．37．塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点．38．西摩松（Simson）定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，（这条直线叫西摩松线Simson line）．39．西摩松定理的逆定理：（略）40．关于西摩松线的定理1：△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上．41．关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点．42．史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC的点P的西摩松线通过线段PH的中心．43．史坦纳定理的应用定理：△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条（与西摩松线平行的）直线上．这条直线被叫做点P关于△ABC的镜象线．44．牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线．这条直线叫做这个四边形的牛顿线．45．牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线．46．笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．47．笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．48．波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于△ABC交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2 ) ．49．波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于△PQR的的西摩松线交于与前相同的一点．50．波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点．51．波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦，则三点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点．52．波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一点．。
十大高中平面几何几何定理汇总情况和证明
高中平面几何定理汇总及证明1.共边比例定理有公共边AB的两个三角形的顶点分别是P、Q，AB与PQ的连线交于点M，则有以下比例式成立：△PAB的面积：△QAB的面积＝PM：QM.证明：分如下四种情况，分别作三角形高，由相似三角形可证S△PAB=(S△PAM-S△PMB)=(S△PAM/S△PMB-1)×S△PMB=(AM/BM-1)×S△PMB(等高底共线，面积比=底长比）同理，S△QAB=(AM/BM-1)×S△QMB所以，S△PAB/S△QAB=S△PMB/S△QMB=PM/QM(等高底共线，面积比=底长比）定理得证！特殊情况：当PB∥AQ时，易知△PAB与△QAB的高相等，从而S△PAB=S△QAB，反之，S△PAB=S△QAB，则PB∥AQ。
2.正弦定理在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆半径的2倍”，即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=R（r为外接圆半径，R为直径）证明：现将△ABC，做其外接圆，设圆心为O。
我们考虑∠C及其对边AB。
设AB长度为c。
若∠C为直角，则AB就是⊙O的直径，即c= 2r。
∵（特殊角正弦函数值）∴若∠C为锐角或钝角，过B作直径BC`交⊙O于C`，连接C'A，显然BC'= 2r=R。
若∠C为锐角，则C'与C落于AB的同侧，此时∠C'=∠C（同弧所对的圆周角相等）∴在Rt△ABC'中有若∠C为钝角，则C'与C落于AB的异侧，BC的对边为a，此时∠C'=∠A，亦可推出。
考虑同一个三角形内的三个角及三条边，同理，分别列式可得。
3.分角定理在△ABC中，D是边BC上异于B,C或其延长线上的一点，连结AD，则有BD/CD=(sin∠BAD/sin∠CAD)*(AB/AC)。
证明：S△ABD/S△ACD=BD/CD………… (1.1)S△ABD/S△ACD=[(1/2)×AB×AD×sin∠BAD]/[(1/2) ×AC×AD×sin∠CAD] = (sin∠BAD/sin∠CAD) ×(AB/AC) …………(1.2)由1.1式和1.2式得BD/CD=(sin∠BAD/sin∠CAD) ×(AB/AC)4.张角定理在△ABC中，D是BC上的一点，连结AD。
高中数学竞赛平面几何中的几个重要定理
． 证明：运用面积比可得． 根据等比定理有
， 所以．同理可得，． 三式相乘得． 注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高”还 是“等底”，这样就可以产生出“边之比”．
又因为Q/PF =PQ/F/，即Q/PF =MQ/F/．所以有
MDF/ =MQ/F/．
这说明Q/、D、F/、M四点共圆，即得MF/Q/ =Q/DM．
因为MF/Q/ =MFP，所以MFP =Q/DM．而MFP =EDM，所以EDM =Q/DM．
这说明点Q与点Q/重合，即得PM = MQ．
此定理还可用解析法来证明： 想法：设法证明直线DE和CF在x轴上的截距互为相反数． 证：以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标
பைடு நூலகம்
上．则由，得，这说明A、B、C、D四点共圆．
证法2（构造转移法）
延长DA到A/，延长DB到B/，使A、B、B/、A/四点共圆．延长DC到
C/，使得B、C、C/、B/四点共圆．（如果能证明A/、B/、C/共线，则命
题获证）
那么，据圆幂定理知A、C、C/、A/四点也 Image
共圆．
因此，，．
可得 .
另一方面，，即．
3．梅涅劳斯定理及其证明
G
定理：一条直线与ABC的三边AB、BC、CA所在直线分别交于点D、 E、F，且D、E、F均不是ABC的顶点，则有
．
证明：如图，过点C作AB的平行线，交EF于点G．
高中平面几何常见公式及结论
高中平面几何常见公式及结论1过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理：三角形两边的和大于第三边16 推论：三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°18 推论1：直角三角形的两个锐角互余19 推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理：有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等31 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合33 推论3：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角36 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1：关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理2：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3：两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45逆定理：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即 a^2+b^2=c^2 47勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形48定理：四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°51推论：任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1：平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2：平行四边形的对边相等54推论：夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4：一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1 ：矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2：矩形的对角线相等62矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1：菱形的四条边都相等65菱形性质定理2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷267菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等70正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71定理1：关于中心对称的两个图形是全等的72定理2：关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73逆定理：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理：等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79 推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80 推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82 梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=（a+b）÷2 S=L×h83 (1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d 8484(2)合比性质如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d85(3)等比性质如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例88 定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90 定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA）92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93 判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）94 判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似（SSS）95 定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96 性质定理1：相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比98 性质定理3：相似三角形面积的比等于相似比的平方99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理：不在同一直线上的三个点确定一条直线110垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧111推论1：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧112推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形114定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等115推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等116定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半117推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等118推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径119推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形120定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角121①直线L和⊙O相交 d＜r②直线L和⊙O相切 d=r③直线L和⊙O相离 d＞r122切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线123切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径124推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点125推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心126切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角127圆的外切四边形的两组对边的和相等128弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角129推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等130相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等131推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项132切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项133推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上135①两圆外离：d＞R+r ②两圆外切 d=R+r③两圆相交：R-r＜d＜R+r(R＞r)④两圆内切：d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d＜R-r(R＞r)136定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦137定理：把圆分成n(n≥3):⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形138定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆139正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n140定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形141正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长142正三角形面积√3a／4 a表示边长143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4144弧长计算公式：L=n∏R／180145扇形面积公式：S扇形=n∏R／360=LR／2146内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)。
关于平面几何的60条著名定理
关于平面几何的 60 条著名定理些平面几何的著名定理1、勾股定理（毕达哥拉斯定理）2、射影定理（欧几里得定理）3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1 的两部分4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。
6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。
7、三角形的三条高线交于一点&设三角形ABC的外心为0,垂心为H 从0向BC边引垂线，设垂足为L,则AH=20L9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线（欧拉线）上。
10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上12、库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。
13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=（s-a）（s-b）（s-c）s , s 为三角形周长的一半14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC的边BC的中点15、为P,则有AB2+AC2=2(AP2+BP2) 16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，贝U有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC217、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD勺对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B 的距离之比为定比m:n （值不为1）的点P,位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC×BD 20、以任意三角形ABC 的边BC CA AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰^ BDC △ CEA △ AFB则^ DEF是正三角形,21、爱尔可斯定理1:若^ ABC和^ DEF都是正三角形，则由线段AD BE、CF的中心构成的三角形也是正三角形。
高中平面几何定理
（高中）平面几何基础知识（基本定理、基赋性质）之南宫帮珍创作2． 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．3． 射影定理（欧几里得定理）4． 中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB+=+； 中线长：222222a c b m a -+=．5． 垂线定理：2222BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥．高线长：C b B c A a bc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---=．6． 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则AC AB DC BD =；（外角平分线定理）． 角平分线长：2cos 2)(2A c b bc a p bcp c b t a +=-+=（其中p 为周长一半）． 7． 正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin ===，（其中R 为三角形外接圆半径）．8． 余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=．9． 张角定理：AB DAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin ．10． 斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD ．11． 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．（圆外角如何转化？）12．弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角． 13． 圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）14．布拉美古塔（Brahmagupta）定理：在圆内接四边形ABCD中，AC⊥BD，自对角线的交点P向一边作垂线，其延长线必平分对边．15．点到圆的幂：设P为⊙O所在平面上任意一点，PO=d，⊙O的半径为r，则d2－r2就是点P对于⊙O的幂．过P任作一直线与⊙O交于点A、B，则PA·PB= |d2－r2|．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．16．托勒密（Ptolemy）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC·BD=AB·CD+AD·BC，(逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB·CD+AD·BC≥AC·BD．17．蝴蝶定理：AB是⊙O的弦，M是其中点，弦CD、EF经过点M，CF、DE交AB于P、Q，求证：MP=QM．18．费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．定理2三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马点．19．拿破仑三角形：在任意△ABC的外侧，分别作等边△ABD、△BCE、△CAF，则AE、AB、CD三线共点，而且AE＝BF＝CD，这个命题称为拿破仑定理．以△ABC的三条边分别向外作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙C1、⊙A1、⊙B1的圆心构成的△——外拿破仑的三角形，⊙C1、⊙A1、⊙B1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；△ABC的三条边分别向△ABC的内侧作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙C2、⊙A2、⊙B2的圆心构成的△——内拿破仑三角形，⊙C2、⊙A2、⊙B2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．这两个拿破仑三角形还具有相同的中心．20．九点圆（Ninepointround或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如:（1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;（2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;（3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕．21．欧拉（Euler）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上．22． 欧拉（Euler ）公式：设三角形的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，外心与内心的距离为d ，则d 2=R 2－2Rr ．23． 锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和．24． 重心：三角形的三条中线交于一点，而且各中线被这个点分成2：1的两部分；)3,3(C B A C B A y y y x x x G ++++重心性质：（1）设G 为△ABC 的重心，连结AG 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点，则1:2:=GD AG ；（2）设G 为△ABC 的重心，则ABC AC G BC G ABG S S S S ∆∆∆∆===31；（3）设G 为△ABC 的重心，过G 作DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，过G 作PF ∥AC 交AB 于P ，交BC 于F ，过G 作HK ∥AB 交AC 于K ，交BC 于H ，则2;32=++===AB KH CA FP BC DE AB KH CA FP BC DE ；（4）设G 为△ABC 的重心，则①222222333GC AB GB CA GA BC +=+=+； ②)(31222222CA BC AB GC GB GA ++=++；③22222223PG GC GB GA PC PB PA +++=++（P 为△ABC 内任意一点）；④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即222GC GB GA ++最小；⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G 为△ABC 的重心）．25． 垂心：三角形的三条高线的交点；)cos cos cos cos cos cos ,cos cos cos cos cos cos (C c B b A a y C c y B b y A a C c B b A a x C c x B b x A a H C B A C B A ++++++++ 垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；（2）垂心H 关于△ABC 的三边的对称点，均在△ABC 的外接圆上；（3）△ABC 的垂心为H ，则△ABC ，△ABH ，△BCH ，△ACH 的外接圆是等圆；（4）设O ，H 分别为△ABC 的外心和垂心，则HCA BCO ABH CBO HAC BAO ∠=∠∠=∠∠=∠,,．26． 内心：三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；内心性质：（1）设I 为△ABC 的内心，则I 到△ABC 三边的距离相等，反之亦然；（2）设I 为△ABC 的内心，则C AIB B AIC A BIC ∠+︒=∠∠+︒=∠∠+︒=∠2190,2190,2190；（3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若A ∠平分线交△ABC 外接圆于点K ，I 为线段AK 上的点且满足KI=KB ，则I 为△ABC 的内心；（4）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC ===A∠平分线交BC 于D ，交△ABC 外接圆于点K ，则a cb KD IK KI AK ID AI +===； （5）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC ===I 在AB AC BC ,,上的射影分别为F E D ,,，内切圆半径为r ，令)(21c b a p ++=，则①pr S ABC =∆；②cp CD CE b p BF BD a p AF AE -==-==-==;;；③CI BI AI p abcr ⋅⋅⋅=．27． 外心：三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等；外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等；（2）设O 为△ABC 的外心，则ABOC ∠=∠2或A BOC ∠-︒=∠2360；（3）∆=S abcR 4；（4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和． 28． 旁心：一内角平分线与两外角平分线交点——旁切圆圆心；设△ABC 的三边,,,c AB b AC a BC ===令)(21c b a p ++=，分别与AB AC BC ,,外侧相切的旁切圆圆心记为C B A I I I ,,，其半径分别记为C B A r r r ,,．旁心性质：（1）,21,2190A C BI C BI A C BI C B A ∠=∠=∠∠-︒=∠（对于顶角B ，C 也有类似的式子）；（2）)(21C A I I I C B A ∠+∠=∠；（3）设A AI 的连线交△ABC 的外接圆于D ，则DC DB DI A ==（对于C B CI BI ,有同样的结论）；（4）△ABC 是△I A I B I C 的垂足三角形，且△I A I B I C 的外接圆半径'R 等于△ABC 的直径为2R ． 29． 三角形面积公式：C B A R Rabc C ab ah S a ABC sin sin sin 24sin 21212====∆)cot cot (cot 4222C B A c b a ++++=))()((c p b p a p p pr ---==，其中a h 暗示BC 边上的高，R为外接圆半径，r 为内切圆半径，)(21c b a p ++=．30． 三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系：31． 梅涅劳斯（Menelaus ）定理：设△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P 、Q 、R 则有 1=⋅⋅RB AR QA CQ PC BP ．（逆定理也成立）32． 梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC 的∠A 的外角平分线交边CA 于Q ，∠C 的平分线交边AB 于R ，∠B 的平分线交边CA 于Q ，则P 、Q 、R 三点共线．33． 梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC 的三个顶点A 、B 、C 作它的外接圆的切线，分别和BC 、CA 、AB 的延长线交于点P 、Q 、R ，则P 、Q 、R 三点共线．34． 塞瓦(Ceva )定理：设X 、Y 、Z 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的一点，则AX 、BY 、CZ 所在直线交于一点的充要条件是AZ ZB ·BX XC ·CY YA=1． 35． 塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC 的边BC 的直线与两边AB 、AC 的交点分别是D 、E ，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中点M．36．塞瓦定理的逆定理：（略）37．塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点．38．塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点．39．西摩松（Simson）定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，（这条直线叫西摩松线Simson line）．40．西摩松定理的逆定理：（略）41．关于西摩松线的定理1：△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上．42．关于西摩松线的定理2（安定定理）：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点．43．史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC的点P的西摩松线通过线段PH的中心．44．史坦纳定理的应用定理：△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条（与西摩松线平行的）直线上．这条直线被叫做点P关于△ABC的镜象线．45．牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线．这条直线叫做这个四边形的牛顿线．46．牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线．47．笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．48．笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．49．波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于△ABC交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2 ) ．50．波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC 的外接圆上的三点，若P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于△PQR的的西摩松线交于与前相同的一点．51．波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点．52．波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦，则三点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点．53．波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一点．54．卡诺定理：通过△ABC的外接圆的一点P，引与△ABC的三边BC、CA、AB分别成同向的等角的直线PD、PE、PF，与三边的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．55．奥倍尔定理：通过△ABC的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC的外接圆的交点分别是L、M、N，在△ABC的外接圆上取一点P，则PL、PM、PN与△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．56．清宫定理：设P、Q为△ABC的外接圆的异于A、B、C的两点，P点的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．57．他拿定理：设P、Q为关于△ABC的外接圆的一对反点，点P的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，如果QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．（反点：P、Q分别为圆O的半径OC和其延长线的两点，如果OC2=OQ×OP则称P、Q 两点关于圆O互为反点）58．朗古来定理：在同一圆周上有A1、B1、C1、D1四点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P，作P点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上．59．从三角形各边的中点，向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心．60．一个圆周上有n个点，从其中任意n－1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点．61．康托尔定理1：一个圆周上有n个点，从其中任意n－2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点．62．康托尔定理2：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N两点，则M和N点关于四个三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一个的两条西摩松线的交点在同一直线上．这条直线叫做M、N两点关于四边形ABCD的康托尔线．63．康托尔定理3：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N、L三点，则M、N两点的关于四边形ABCD 的康托尔线、L、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、M、L两点的关于四边形ABCD的康托尔线交于一点．这个点叫做M、N、L三点关于四边形ABCD的康托尔点．64．康托尔定理4：一个圆周上有A、B、C、D、E 五点及M、N、L三点，则M、N、L三点关于四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一个康托尔点在一条直线上．这条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、B、C、D、E的康托尔线．65．费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切．66．莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形．这个三角形常被称作莫利正三角形．67．布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF 相对的顶点A和D、B和E、C和F，则这三线共点．68．帕斯卡（Paskal）定理：圆内接六边形ABCDEF 相对的边AB和DE、BC和EF、CD和FA的（或延长线的）交点共线．69．阿波罗尼斯（Apollonius）定理：到两定点A、B的距离之比为定比m：n（值不为1）的点P，位于将线段AB分成m：n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上．这个圆称为阿波罗尼斯圆．70．库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆．71．密格尔（Miquel）点：若AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点，构成四个三角形，它们是△ABF、△AED、△BCE、△DCF，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点．72．葛尔刚（Gergonne）点：△ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F，则AE、BF、CD三线共点，这个点称为葛尔刚点．73．欧拉关于垂足三角形的面积公式：O是三角形的外心，M是三角形中的任意一点，过M向三边作垂线，三个垂足形成的三角形的面积，其公式：222AB C D 4||R d R S S EF -=∆∆．。
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高中平面几何定理汇总及证明1.共边比例定理有公共边AB的两个三角形的顶点分别是P、Q，AB与PQ的连线交于点M，则有以下比例式成立：△ PAB的面积：△ QAB的面积＝PM：QM.证明：分如下四种情况，分别作三角形高，由相似三角形可证S△PAB=(S△PAM-S△PMB)=(S△PAM/S△PMB-1)×S△PMB=(AM/BM-1)×S△PMB(等高底共线，面积比=底长比）同理，S△QAB=(AM/BM-1)×S△QMB所以，S△PAB/S△QAB=S△PMB/S△QMB=PM/QM(等高底共线，面积比=底长比）定理得证！特殊情况：当PB∥AQ时，易知△PAB与△QAB的高相等，从而S△PAB=S△QAB，反之，S△PAB=S△QAB，则PB∥AQ。
2.正弦定理在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆半径的2倍”，即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=R（r为外接圆半径，R为直径）证明：现将△ABC，做其外接圆，设圆心为O。
我们考虑∠C及其对边AB。
设AB长度为c。
若∠C为直角，则AB就是⊙O的直径，即c= 2r。
∵（特殊角正弦函数值）∴若∠C为锐角或钝角，过B作直径BC`交⊙O于C`，连接C'A，显然BC'= 2r=R。
若∠C为锐角，则C'与C落于AB的同侧，此时∠C'=∠C（同弧所对的圆周角相等）∴在Rt△ABC'中有若∠C为钝角，则C'与C落于AB的异侧，BC的对边为a，此时∠C'=∠A，亦可推出。
考虑同一个三角形的三个角及三条边，同理，分别列式可得。
3.分角定理在△ABC中，D是边BC上异于B,C或其延长线上的一点，连结AD，则有BD/CD=(sin∠BAD/sin∠CAD)*(AB/AC)。
证明：S△ABD/S△ACD=BD/CD………… (1.1)S△ABD/S△ACD=[(1/2)×AB×AD×sin∠BAD]/[(1/2) ×AC×AD×sin∠CAD]= (sin∠BAD/sin∠CAD) ×(AB/AC) …………(1.2)由1.1式和1.2式得BD/CD=(sin∠BAD/sin∠CAD) ×(AB/AC)4.角定理在△ABC中，D是BC上的一点，连结AD。
那么。
证明：设∠1=∠BAD，∠2=∠CAD由分角定理，S△ABD/S△ABC=BD/BC=(AD/AC)*(sin∠1/sin∠BAC)→ (BD/BC)*(sin∠BAC/AD)=sin∠1/AC (1.1)S△ACD/S△ABC=CD/BC=(AD/AB)*(sin∠2/sin∠BAC)→ (CD/BC)*(sin∠BAC/AD)=sin∠2/AB (1.2)(1.1)式+(1.2)式即得sin∠1/AC+sin∠2/AB=sin∠BAC/AD5.帕普斯定理直线l1上依次有点A,B,C，直线l2上依次有点D,E,F，设AE,BD交于G，AF,DC交于I，BF,EC交于H，则G,I,H共线。
6.蝴蝶定理设S为圆弦AB的中点，过S作弦CF和DE。
设CF和DE各相交AB于点M和N，则S是MN的中点。
证明：过O作OL⊥ED，OT⊥CF，垂足为L、T，连接ON，OM，OS，SL，ST，易明△ESD∽△CSF∴ES/CS=ED/FC根据垂径定理得：LD=ED/2，FT=FC/2∴ES/CS=EL/CT又∵∠E=∠C∴△ESL∽△CST∴∠SLN=∠STM∵S是AB的中点所以OS⊥AB∴∠OSN=∠OLN=90°∴O，S，N，L四点共圆，（一中同长）同理，O，T，M，S四点共圆∴∠STM=∠SOM，∠SLN=∠SON∴∠SON=∠SOM∵OS⊥AB∴MS=NS7.西姆松定理过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线上的垂线，则三垂足共线。
（此线常称为西姆松线）。
证明：若L、M、N三点共线，连结BP，CP，则因PL⊥BC，PM⊥AC，PN⊥AB，有B、L、P、N 和P、M、C、L分别四点共圆，有∠NBP = ∠NLP = ∠MLP= ∠MCP.故A、B、P、C四点共圆。
若A、P、B、C四点共圆，则∠NBP= ∠MCP。
因PL⊥BC，PM⊥AC，PN⊥AB，有B、L、P、N和P、M、C、L四点共圆，有∠NBP = ∠NLP= ∠MCP= ∠MLP.故L、M、N三点共线。
西姆松逆定理：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。
证明：PM⊥AC，PN⊥AB ,所以A,M,N,P共圆8.清宫定理设P、Q为△ABC的外接圆上异于A、B、C的两点，P关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，且QU、QV、QW分别交三边BC、CA、AB或其延长线于D、E、F，则D、E、F在同一直线上.证明：A、B、P、C四点共圆，因此∠PCE=∠ABP点P和V关于CA对称所以∠PCV=2∠PCE又因为P和W关于AB对称，所以∠PBW=2∠ABP从这三个式子，有∠PCV=∠PBW另一方面，因为∠PCQ和∠PBQ都是弦PQ所对的圆周角，所以∠PCQ=∠PBQ两式相加，有∠PCV+∠PCQ=∠PBW+∠PBQ即∠QCV=∠QBW即△QCV和△QBW有一个顶角相等，因此但是，，所以同理，于是根据梅涅劳斯定理的逆定理，D、E、F三点在同一直线上。
9.密克定理三圆定理：设三个圆C1, C2, C3交于一点O，而M, N, P分别是C1 和C2, C2和C3, C3和C1的另一交点。
设A为C1的点，直线MA交C2于B，直线PA交C3于C。
那么B, N, C这三点共线。
逆定理：如果是三角形，M, N, P三点分别在边AB, BC, CA上，那么△AMP、△BMN、△CPN 的外接圆交于一点O。
完全四线形定理如果ABCDEF是完全四线形，那么三角形的外接圆交于一点O，称为密克点。
四圆定理设C1, C2,C3, C4为四个圆，A1和B1是C1和C2的交点，A2和B2是C2 和C3的交点，A3和B3是C3和C4的交点，A4和B4是C1和C4的交点。
那么A1, A2, A3, A4四点共圆当且仅当B1, B2, B3, B4四点共圆。
证明：在△ABC的BC,AC,AB边上分别取点W,M,N，对AMN,△BWN和△CWM分别作其外接圆，则这三个外接圆共点。
该定理的证明很简单，利用“圆接四边形对角和为180度”及其逆定理。
现在已知U是和的公共点。
连接UM和UN，∵四边形BNUW和四边形CMUW分别是和的接四边形，∴∠UWB+∠UNB=∠UNB+∠UNA=180度∴∠UWB=∠UNA。
同理∠UWB+∠UWC=∠UWC+∠UMC=180度∴∠UWB=∠UMC。
∵∠UMC+∠UMA=180度∴∠UNA+∠UMA=180度，这正说明四边形ANUM是一个圆接四边形，而该圆必是，U必在上。
10.婆罗摩笈多定理圆接四边形ABCD的对角线AC⊥BD，垂足为M。
EF⊥BC，且M在EF上。
那么F是A D 的中点。
证明：∵AC⊥BD，ME⊥BC∴∠CBD=∠CME∵∠CBD=∠CAD，∠CME=∠AMF∴∠CAD=∠AMF∴AF=MF∵∠AMD=90°，同时∠MAD+∠MDA=90°∴∠FMD=∠FDM∴MF=DF，即F是AD中点逆定理：若圆接四边形的对角线相互垂直，则一边中点与对角线交点的连线垂直于对边。
证明：∵MA⊥MD，F是AD中点∴AF=MF∴∠CAD=∠AMF∵∠CAD=∠CBD，∠AMF=∠CME∴∠CBD=∠CME∵∠CME+∠BME=∠BMC=90°∴∠CBD+∠BME=90°∴EF⊥BC11.托勒密定理圆接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)．圆接四边形ABCD，求证：AC·BD=AB·CD+AD·BC．证明：过C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP．得AC：BC=AD：BP，AC·BP=AD·BC ①。
又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP．得AC：CD=AB：DP，AC·DP=AB·CD ②。
①+②得AC(BP+DP)=AB·CD+AD·BC．即AC·BD=AB·CD+AD·BC．12.梅涅劳斯定理当直线交三边所在直线于点时，。
证明：过点C作CP∥DF交AB于P，则两式相乘得梅涅劳斯逆定理：若有三点F、D、E分别在边三角形的三边AB、BC、CA或其延长线上，且满足AF/FB×BD/DC×CE/EA=1，则F、D、E三点共线。
证明：先假设E、F、D三点不共线，直线DE与AB交于P。
由梅涅劳斯定理的定理证明（如利用平行线分线段成比例的证明方法）得：(AP/PB)(BD/DC)(CE/EA)=1。
∵ (AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1。
∴ AP/PB=AF/FB ；∴ (AP+PB)/PB=(AF+FB)/FB ；∴ AB/PB=AB/FB ；∴ PB=FB；即P与F重合。
∴ D、E、F三点共线。
13.塞瓦定理在△ABC任取一点O，延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则(BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1。
∵△ADC被直线BOE所截，∴(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1①∵△ABD被直线COF所截，∴(BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1②②/①约分得：(DB/CD)×(CE/EA)×(AF/FB)=114.圆幂定理相交弦定理：如图Ⅰ，AB、CD为圆O的两条任意弦。
相交于点P，连接AD、BC，由于∠B与∠D同为弧AC所对的圆周角，因此由圆周角定理知：∠B=∠D，同理∠A=∠C，所以。
所以有：，即：。
割线定理：如图Ⅱ，连接AD、BC。
可知∠B=∠D，又因为∠P为公共角，所以有，同上证得。
切割线定理：如图Ⅲ，连接AC、AD。
∠PAC为切线PA与弦AC组成的弦切角，因此有∠PBC=∠D，又因为∠P为公共角，所以有，易证图Ⅳ，PA、PC均为切线，则∠PAO=∠PCO=90°，在直角三角形中：OC=OA=R，PO为公共边，因此。
所以PA=PC，所以。
综上可知，是普遍成立的。
弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数。