十大高中平面几何几何定理汇总与证明【精】整理版

高中平面几何定理汇总及证明

1.共边比例定理

有公共边AB的两个三角形的顶点分别是P、Q，AB与PQ的连线交于点M，

则有以下比例式成立：△ PAB的面积：△ QAB的面积＝PM：QM.

证明：分如下四种情况，分别作三角形高，由相似三角形可证

S△PAB=(S△PAM-S△PMB)

=(S△PAM/S△PMB-1)×S△PMB

=(AM/BM-1)×S△PMB(等高底共线，面积比=底长比）

同理，S△QAB=(AM/BM-1)×S△QMB

所以，S△PAB/S△QAB=S△PMB/S△QMB=PM/QM(等高底共线，面积比=底长比）定理得证！

特殊情况：当PB∥AQ时，易知△PAB与△QAB的高相等，从而S△PAB=S△QAB，反之，S△PAB=S△QAB，则PB∥AQ。

2.正弦定理

在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆半径的2倍”，即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=R（r为外接圆半径，R为直径）

证明：

现将△ABC，做其外接圆，设圆心为O。我们考虑∠C及其对边

AB。设AB长度为c。

若∠C为直角，则AB就是⊙O的直径，即c= 2r。

∵（特殊角正弦函数值）

∴

若∠C为锐角或钝角，过B作直径BC`交⊙O于C`，连接C'A，显然BC'= 2r=R。若∠C为锐角，则C'与C落于AB的同侧，

此时∠C'=∠C（同弧所对的圆周角相等）

∴在Rt△ABC'中有

若∠C为钝角，则C'与C落于AB的异侧，BC的对边为a，此时∠C'=∠A，亦可推出。

考虑同一个三角形的三个角及三条边，同理，分别列式可得

。

3.分角定理

在△ABC中，D是边BC上异于B,C或其延长线上的一点，连结AD，

则有BD/CD=(sin∠BAD/sin∠CAD)*(AB/AC)。

证明：

S△ABD/S△ACD=BD/CD………… (1.1)

S△ABD/S△ACD=[(1/2)×AB×AD×sin∠BAD]/[(1/2) ×AC×AD×sin∠CAD]

= (sin∠BAD/sin∠CAD) ×(AB/AC) …………(1.2)

由1.1式和1.2式得

BD/CD=(sin∠BAD/sin∠CAD) ×(AB/AC)

4.角定理

在△ABC中，D是BC上的一点，连结AD。那么。

证明：

设∠1=∠BAD，∠2=∠CAD

由分角定理，

S△ABD/S△ABC=BD/BC=(AD/AC)*(sin∠1/sin∠BAC)

→ (BD/BC)*(sin∠BAC/AD)=sin∠1/AC (1.1)

S△ACD/S△ABC=CD/BC=(AD/AB)*(sin∠2/sin∠BAC)

→ (CD/BC)*(sin∠BAC/AD)=sin∠2/AB (1.2)

(1.1)式+(1.2)式即得sin∠1/AC+sin∠2/AB=sin∠BAC/AD

5.帕普斯定理

直线l1上依次有点A,B,C，直线l2上依次有点D,E,F，设AE,BD交于G，AF,DC交于I，BF,EC交于H，则G,I,H共线。

6.蝴蝶定理

设S为圆弦AB的中点，过S作弦CF和DE。设CF和DE各相交AB于点M和N，则S是MN的中点。

证明：

过O作OL⊥ED，OT⊥CF，垂足为L、T，

连接ON，OM，OS，SL，ST，易明△ESD∽△CSF

∴ES/CS=ED/FC

根据垂径定理得：LD=ED/2，FT=FC/2

∴ES/CS=EL/CT

又∵∠E=∠C

∴△ESL∽△CST

∴∠SLN=∠STM

∵S是AB的中点所以OS⊥AB

∴∠OSN=∠OLN=90°

∴O，S，N，L四点共圆，（一中同长）

同理，O，T，M，S四点共圆

∴∠STM=∠SOM，∠SLN=∠SON

∴∠SON=∠SOM

∵OS⊥AB

∴MS=NS

7.西姆松定理

过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线上的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）。

证明：

若L、M、N三点共线，连结BP，CP，则因PL⊥BC，PM⊥AC，PN⊥AB，有B、L、P、N 和P、M、C、L分别四点共圆，有

∠NBP = ∠NLP = ∠MLP= ∠MCP.

故A、B、P、C四点共圆。

若A、P、B、C四点共圆，则

∠NBP= ∠MCP。

因PL⊥BC，PM⊥AC，PN⊥AB，

有B、L、P、N和P、M、C、L四点共圆，有

∠NBP = ∠NLP= ∠MCP= ∠MLP.

故L、M、N三点共线。

西姆松逆定理：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。

证明：PM⊥AC，PN⊥AB ,所以A,M,N,P共圆

8.清宫定理

设P、Q为△ABC的外接圆上异于A、B、C的两点，P关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，且QU、QV、QW分别交三边BC、CA、AB或其延长线于D、E、F，则D、E、F在同一直线上.

证明：

A、B、P、C四点共圆，因此

∠PCE=∠ABP

点P和V关于CA对称

所以∠PCV=2∠PCE

又因为P和W关于AB对称，所以

∠PBW=2∠ABP

从这三个式子，有

∠PCV=∠PBW

另一方面，因为∠PCQ和∠PBQ都是弦PQ所对的

圆周角，所以

∠PCQ=∠PBQ

两式相加，有

∠PCV+∠PCQ=∠PBW+∠PBQ

即∠QCV=∠QBW

即△QCV和△QBW有一个顶角相等，因此

但是，，所以

同理

，