前六章工程光学习题及解答

第一章几何光学基本原理

1. 作图分析下列光学元件对波前的作用：

(1) 图1.1中（a ）、（b ）中所示，各向均匀同性介质中的点光源P 发出球面波，P '为其共轭理想像点.假设在相同时间间隔内形成的球面波前间距为d .求该波前入射到折射率大于周围介质的双凸透镜或凹透镜上，波前在透镜内和经透镜折射后的波前传播情况.

(2) 图1.1中（c ）所示，各向均匀同性介质中的无限远点光源发出平面波，求该波前入射到折射率大于周围介质的棱镜上，波前在棱镜内和经棱镜折射后的波前传播情况

.

P

d

图

1.1(b)

图1.1(c)

P '

图1.1(a)

解：(1)

P d d

d '

d '

P '

d

(2)

2. 当入射角很小时，折射定律可以近似表示为ni=n′i′，求下述条件的结果：

(1) 当n =1，n′=1.5时，入射角的变化范围从0~65º.表格列出入射角每增加5º，分别由

实际与近似公式得到的折射角，并求出近似折射角的百分比误差.请用表格的形式列出结果.

(2) 入射角在什么范围时，近似公式得出的折射角i′的误差分别大于0.1%，1%和10%. 解：(1) 当1n =，1.5n '=时，

由折射定律：sin sin n I n I ''=，得：1

1sin sin sin sin 1.5n I I I n --⎛⎫⎛⎫'==

⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭

由折射定律近似公式：ni n i =''，得： 1.5

ni i

i n '=

=

' 入射角在0~65º范围内变化时，折射角和折射角近似值以及近似折射角的百分比误差如下表所示：

(2) ()/=0.1%i I I '''-时，=5.7I ︒；()/=1%i I I '''-时，=18.2I ︒=53.3I ︒.

3．由一玻璃立方体切下一角制成的棱镜称为三面直角棱镜或立方角锥棱镜，如图1.2所示.用矢量形式的反射定律试证明：从斜面以任意方向入射的光线经其它三面反射后，出射光线总与入射光线平行反向.同时，说明这种棱镜的用途.

解：（法一）如下图所示，设光线沿ST 方向入射经T 、Q 、R 点反射后，由RS '方向出射，设1A 、2A 、3A 、4A 分别为ST 、TQ 、QR 和RS 的单位矢量，

射向反射面AOB 的入射光线1A 的单位矢量可表示为1=A li mj nk ---，式中l 、m 、n 为光

线1

A 在x 、y 、z 轴上的方向数，222

1l m n ++=，光线1A 经AOB 面反射后，射向反射面BOC ，反射面AOB 的法线单位

矢量为1n k =-，则反射光线2A 单位矢量可由矢量反射定律决定，即

2112()2[()]A A A k k li mj nk li mj nk k k li mj nk =-=-------=--+

反射面BOC 的法线方向单位矢量为2n i =-，光线2A 射向BOC 后的反射光线3A 的单位矢量为

3222()2[()]A A A i i li mj nk li mj nk i i li mj nk =-=-------=-+

反射面COA 的法线方向单位矢量为3n j =-，光线3A 射向COA 反射后的光线经4A 的单位矢量为

4332()2[()]+A A A j j li mj nk li mj nk j j li mj nk =-=-------=+

对光线1A 和4A 作点积，得

22214()()()1A A li mj nk li mj nk l m n =-++++=-++=-

说明入射光线1A 和出射光线4A 在空间上是平行的，而且方向相反，即有180︒夹角.

（法二）如下图所示，入射光线从斜面进入棱镜后的折射光线方向为1A ，且1

=(,,)A l m n ，然后经过AOB 面的反射后的折射方向为2A ，再依次经过BOC 反射面、COA 反射面后的方向分别为3A 、4A .其中，反射面AOB 、BOC 、COA 的法线单位矢量分别为1=N （0,0,1），

2=N （1,0,0），3=N （0,1,0）.这样由矢量形式的反射定律，有

图 1-2

1

A R

)

a 3

A 4

A 2A S '

第一次AOB 面反射式，21111=-2()(,,)A A N N A l m n ⋅=- 第二次BOC 面反射式，32222=-2()(,,)A A N N A l m n ⋅=-- 第三次COA 面反射式，433133=-2()(,,)A A N N A l m n A ⋅=---=-

说明入射光线1A 和出射光线4A 在空间上是平行的，而且方向相反，即有180︒夹角. 4.已知入射光线cos cos cos A i j k αβγ=++，反射光线cos cos cos A i j k αβγ''''''''++＝，求此时平面反射镜法线的方向. 解：反射定律为=-2()''A A N N A ,

在上式两边对A 做标积，有212()''=-A A A N , 由此可得12''=-A A A N ,

将上式代入反射定律得

cos =α=

''A N A A

）

（）

5. 发光物点位于一个透明球的后表面，从前表面出射到空气中的光束恰好为平行光如图1.3所示，求此透明材料的折射率的表达式.当出射光线为近轴光线时，求得的折射率是多少？ 解：设空气折射率为0n ，透明球的折射率为1n ，则由折射定律

01sin sin n i n i '=，得此透明球的折射率表达式为：10

sin =sin i n n i

'

由三角关系有2i i '=，那么上式可以写作10=2cos n n i .

近轴成像时，sin sin i i '、

分别被i i '、代替，从而可得1022n n == 6.设光纤纤芯折射率1 1.75n =，包层折射率2 1.50n =，试求光纤端面上入射角在何值范围内变化时，可保证光线发生全反射通过光纤.若光纤直径40μm D =，长度为100m ，求光线在光纤内路程的长度和发生全反射的次数. 解：

图1.3