微分中值定理及其应用

本科生毕业论文（设计）系（院）数学与信息科学学院专业数学与应用数学

论文题目微分中值定理及其应用

学生姓名贾孙鹏

指导教师黄宽娜（副教授）

班级 11级数应1班

学号 ********

完成日期：2015年4月

微分中值定理及其应用

贾孙鹏

数学与信息科学学院数学与应用数学 11290056

【摘要】微分中值定理是研究复杂函数的一个重要工具，是数学分析中的重要内容。我们可以运用构造函数的方法来巧妙的运用微分中值定理解决问题。本文主要研究微分中值定理的内容和不同形式之间的关系，以及它的推广形式。并归纳了它在求极限，根的存在性，级数等方面的应用。最后对中间点的问题进行了讨论。

【关键词】微分中值定理应用辅助函数

1引言

微分中值定理主要包括罗尔（Roll）定理，拉格朗日（Lagannge）中值定理，柯西(Cauchy)中值定理，以及泰勒(Taylor)公式。他们之间层层递进。研究了单个函数整体与局部，以及多个函数之间的关系。对掌握函数的性质，以及根的存在性等方面具有重要的作用。学微分中值定理这节同我们要掌握为什么要学这节，和不同定理之间的关系和应用。从教材来看，我们已经明白了导数微分重要性，但没讲明如何运用，因此有必要加强导数的应用，而微分中值定理是导数运用的理论基础。所以这部分内容很重要。它是以后研究函数极限，单调，凹凸性的基础。从微分中值定理的产生来看，其中一个基础问题就是函数最值问题。而解决此类问题就是能熟练的运用微分中值定理。此文为加深对中值定理的理解，在它推广的基础上详细解释了定理间的关系，对它的应用作了5个大方面的归纳。并对最新研究成果作了解释。

2柯西与微分中值定理

2.1柯西的证明

首先在柯西之前就有很多科学家给出了导数的定义，当然他们对导数的认识存在着差异。比如说欧拉在定义导数的时候就用了差商的形式，如将()

g x的导数定义

为

()()

g x h g h

h

+-

当趋于0时的极限。对于拉格朗日他对导数的认识开始是建立在

错误观点的，他认为任意的函数都可以展开成幂级数的形式，但是事实并不是这样。而柯西采用的是极限来定义并将其转化成了不等式的语言。我们来看下柯西的证明，它开始于：

定理： 如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，()f x '在[,]a b 上有最小和最大值C,B 则会有下面的

()()

f b f a C B b a

-≤

≤-

以下是柯西对上式的证明

分析: 当时在证明的时候Cauchy 用δ和ε表示很小的数。把区间[],a b 划分为:

012.....n a x x x x b =<<<

（i 表示相邻区间长度且i δ<）

()()

()()f x i f x f x f x i

εε+-''-≤≤+

对于划分的小区间我们有

100010()()

()()f x f x C f x f x B x x εεεε-''-≤-<

<+≤+-

211121

()()

()()f x f x C f x f x B x x εεεε-''-≤-<

<+≤+-

1111

()()

()()n n n n f B f x C f x f x B B x εεεε

-----''-≤-<

<+≤+-

整理得

1021110211

()()()()...()()

...n n f x f x f x f x f B f x C B x x x x B x εε

---+-++--<

<+-+-++-

()()

f b f a C B b a εε

--<

<+-

就可以有这样如果()g x 和它的导函数[,]a b 在上连续，则

00()()

[(()]f x f a f x x b a b a

θ-'++-=

-（01θ<<）

2.2柯西证明分析

[柯西在做此证明的时候，假设了()f x '具有连续性，这样就保证了导函数具有介值性。但是当时他没有认识到此时的()f x '

已经具有了连续性]。华东师范第

三版《数学分析》教材中给出的达布定理就说明了导函数的连续性质。而且柯西的这种证明方法对于一些函数并不实用，比如说具有有限个间断点的函数（这类函数也是连续的），说明柯西对连续和一致连续在开始阶段还不太明白所以认识存在缺

陷，到1840它才区分开来。公式中0()x b a θ+-逐渐的用ξ来代替了，这样看来这个量就不太明确，这样就证明了微分中值定理。这里我介绍这种方式主要是因为再后来科学家都用这种方式ξδ-来证明微分中值定理，原因是这种方式很严格。随着认识的深入，到后来微分中值定理证明到后来就基本成熟了。由上面的例子也可以看出一个概念思想的产生，被接受是困难的。这就需要我们深入的去探究。

3 微分中值定理

3.1 微分中值定理不同形式。

我这里简单的描述几种不同的中值定理。

罗尔中值定理：函数f 在闭区间[,]a b 连续，在其开区间可导，并在,a b 的值相等 ，

则在(,)a b 内至少有一点ξ使得

=0f ξ'（）。

拉格朗日定理：若函数f 在闭区间[,]a b 连续，在其开区间可导，则在可其区间至少

有一点ξ使的得

()()f b f f b a

ξ-'=

-（a)

柯西中值定理：函数f 和g 在[,]a b 上连续，在其开区间可导。函数g 在其开区间内有

()0g x '≠则

()(()

()()()

f f b f a

g g b g a ξξ'-=

'-） 泰勒微分中值：函数f 在0x 的某开区间(,)a b 内有阶导数，则对任意x 有

2

0000000()()()()()()()...()2!!n n

f x f x f x f x f x x x x x x x n '''=+-+-+-

3.2 几何意义

(1)罗尔几何意义