第八章 弹性体的应力和应变

（3）
其中，G 为剪切模量，反映材料抵抗剪切应变的能力。
通过理论推导，对于各向同性的，均匀的弹性体， 有： E
G
2(1 )
上式说明了：三个量之间只有两个是独立的。其中：E 是 杨氏模量，反映材料抵抗拉伸与压缩的能力；G 是剪切模量， 反映材料抵抗剪切形变的能力； 是泊松系数，描写材料横向 收缩或膨胀的特性。但几个不同特性的量是有联系的。
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同理，例如，在横波中：
＝
y ( x x ) y ( x )
x
当 x 0 时：
＝ lim
因此，
y ( x x ) y ( x )
x 0
x

y x
＝G
y x
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五、剪切形变的弹性势能
E
0 p
1 2
G V
2
（4）
弹性势能密度（单位体积的弹性势能）
b b0 b0 b b0
横向应变
（3）
其中：设想直杆横截面是正方形每边长为 b0，横向形变后为 b 。 横向形变和纵向形变之比为泊松系数：

1
（4）
8
3. 胡克定律 当应变较小时，应力与应变成正比：
＝E
或
（5）
Fn S
E
l l0
（6）
其中：E 或Y 称为杨氏模量，反映材料对于拉伸或压缩变形的抵抗能力。
二、剪应力

F S
（1）
其中：S为假想截面ABCD的面积，力F 在该面上均匀分布。
三、剪切形变
特征：表现为平行截面间的相对滑移。如图示： tg 若 很小，则
tg l l
l
l
剪应变
（2）
11
切应角
四、剪切形变的胡克定律
若形变在一定限度内，剪切应力与剪切应变成正比：
G
设一纵波传播中，t 时刻 x 处媒质的变形情况， x表示 所取媒质的长度，x 处媒质的位移为 y(x) ， x处媒质 x 的位移为 y( x x ) ，因此 媒质的应变为： y / x ，取 x 0 ，即为 x 处媒 质的应变：
x 0
lim
y ( x x ) y ( x )
弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用
下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物 体即恢复原状。绝对弹性体是不存在的。物体在外力除 去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。
2
弹性力学的发展简史
人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比如古代弓箭就是利用物体弹性
的例子。当时人们还是不自觉的运用弹性原理，而人们有系统、定量地研究弹性力学， 是从17世纪开始的。 弹性力学的发展初期主要是通过实践，尤其是通过实验来探索弹性力学的基本规律。 英国的胡克和法国的马略特于1680年分别独立地提出了弹性体的变形和所受外力成正比 的定律，后被称为胡克定律。牛顿于1687年确立了力学三定律。 同时，数学的发展，使得建立弹性力学数学理论的条件已大体具备，从而推动弹性 力学进入第二个时期。在这个阶段除实验外，人们还用最粗糙的、不完备的理论来处理 一些简单构件的力学问题。这些理论在后来都被指出有或多或少的缺点，有些甚至是完 全错误的。 在17世纪末第二个时期开始时，人们主要研究粱的理论。到19世纪20年代法国的纳
x

y
x

所以：
Fn S
E
y x
（7）
9
4. 拉伸或压缩的形变势能——属于形变物体本身所有
Ep 1 2 E V
2
（8）
同时有：弹性势能密度，即单位体积中的弹性势能：
1 2
E
0 p
E
2
（9）
10
§8.2 弹性体的剪切形变
一、剪切形变
当物体受到力偶作用使物体的两个平行截面间发生相对平行移动时的 形变叫做剪切形变。例如：用剪刀剪断物体前即发生这类形变。
维和柯西才基本上建立了弹性力学的数学理论。柯西在1822～1828年间发表的一系列论
文中，明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量的概念，建立了弹性力学的几何 方程、运动(平衡)方程、各向同性以及各向异性材料的广义胡克定律，从而奠定了弹性 力学的理论基础，打开了弹性力学向纵深发展的突破口。
第三个时期是线性各向同性弹性力学大发展的时期。这一时期的主要标志是弹性力
E
0 p
1 2
N
2
（5）
注意：
切变只能在固体中产生，流体中不会产生。所以流 体中只能传播纵波，而固体中既能传播纵波，也能传播
横波。
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§8.3 梁的弯曲和杆的扭曲 一 、梁的弯曲
中性层：一根杆中处于中间的既不拉伸又不压缩的层， 如图中的 CC ' 层。 对于纯梁弯曲形变有：
k 1 R 12 Ebh
3
其中：R 和 k 分别为中性层的半径和曲率；h 和b 分别 为梁的或度和宽度，τ为梁仅受的靠端部的力偶。
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二、 杆的扭曲
产生扭转的力偶 和实心圆柱扭转角 的关系：

NR
2l
4
c
其中：和分别为圆柱的半径和长度，N 是剪切模量， 式中 c 是圆柱的扭转系数：
c
NR
2l的介绍，为振动部分和Fra bibliotek动部分作准备。
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§8.1 弹性体力学－－弹性体的应力和应变简介
弹性体有四种形变：拉伸压缩、剪切、扭转和弯曲。其实， 最基本的形变只有两种：拉伸压缩和剪切形变；扭转和弯曲可 以看作是由两种基本形变的组成。
弹性体的拉伸和压缩形变
1. 正压力（拉伸压缩应力）
＝
Fn S
（1）
其中， 沿作用力截面的法线方向。 F
例：如图示， 0
7
2. 线应变（相对伸长或压缩）
绝对伸长（或压缩）与原长之比称为相对伸长（或压缩）。公式：
线应变

l l0
（2）
当 0 时，为拉伸形变； 0 时，为压缩形变，因而，它很好地 反映形变程度。如直杆拉伸压缩时，还产生横向形变，则对应的应变(或 形变)为：
1
5
数学弹性力学的典型问题主要有一般性理论、柱体扭转和弯曲、 平面问题、变截面轴扭转，回转体轴对称变形等方面。 在近代，经典的弹性理论得到了新的发展。例如，把切应力的成 对性发展为极性物质弹性力学；把协调方程(保证物体变形后连续，各 应变分量必须满足的关系)发展为非协调弹性力学；推广胡克定律，除 机械运动本身外，还考虑其他运动形式和各种材科的物理方程称为本 构方程。对于弹性体的某一点的本构方程，除考虑该点本身外还要考 虑弹性体其他点对该点的影响，发展为非局部弹性力学等。 但是，由于课程所限，我们在以下几节里仅对弹性体力学作简单
普通物理学教程
（Chapter 8 Stress and strain of elastic body）
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§8.0 弹性力学简介 弹性力学是固体力学的重要分支，它研究弹性物体 在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称 为弹性理论。它是材料力学、结构力学、塑性力学和某 些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航 天等工程领域。
学广泛应用于解决工程问题。同时在理论方面建立了许多重要的定理或原理，并提出了 3 许多有效的计算方法。
1855～1858年间法国的圣维南发表了关于柱体扭转和弯曲的论文，可以说是第三个时期 的开始。在他的论文中，理论结果和实验结果密切吻合，为弹性力学的正确性提供了有力的 证据；1881年德国的赫兹解出了两弹性体局部接触时弹性体内的应力分布；1898年德国的基 尔施在计算圆孔附近的应力分布时，发现了应力集中。这些成就解释了过去无法解释的实验 现象，在提高机械、结构等零件的设计水平方面起了重要作用，使弹性力学得到工程界的重 视。 在这个时期，弹性力学的一般理论也有很大的发展。一方面建立了各种关于能量的定理 (原理)。另一方面发展了许多有效的近似计算、数值计算和其他计算方法，如著名的瑞利— —里兹法，为直接求解泛函极值问题开辟了道路，推动了力学、物理、工程中近似计算的蓬 勃发展。 从20世纪20年代起，弹性力学在发展经典理论的同时，广泛地探讨了许多复杂的问题， 出现了许多边缘分支：各向异性和非均匀体的理论，非线性板壳理论和非线性弹性力学，考 虑温度影响的热弹性力学，研究固体同气体和液体相互作用的气动弹性力学和水弹性理论以 及粘弹性理论等。磁弹性和微结构弹性理论也开始建立起来。此外，还建立了弹性力学广义 变分原理。这些新领域的发展，丰富了弹性力学的内容，促进了有关工程技术的发展。
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弹性力学的基本内容
弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和
运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。弹性力学中 许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。
连续变形规律是指弹性力学在考虑物体的变形时，只考虑经过连续变
形后仍为连续的物体，如果物体中本来就有裂纹，则只考虑裂纹不扩展的 情况。这里主要使用数学中的几何方程和位移边界条件等方面的知识。 求解一个弹性力学问题，就是设法确定弹性体中各点的位移、应变和 应力共15个函数。从理论上讲，只有15个函数全部确定后，问题才算解决。 但在各种实际问题中，起主要作用的常常只是其中的几个函数，有时甚至 只是物体的某些部位的某几个函数。所以常常用实验和数学相结合的方法， 就可求解。
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