特殊数域上的多项式
1.7特殊数域上的多项式
1.分别在R 上与C 上分解因式: (1)4
5x -; (2)3
2
423x x x +--
在R 上: 42225((x x x x x x -=+=++
在C 上:425(()()(x x x x x x x x -=++=++
(2) 在R 上与在C 上都有:3
2
4231()(x x x x x x +--=-+
+ 2.已知多项式329609232()f x x x x =---有一个二重根,求()f x 的所有根.
2271209294632()()()f x x x x x '=--=-+,易知32x +是()f x 的因式,所以是
()f x 的二重因式.,所以2328()()()f x x x =+-
3.求下列多项式的有理根. (1)32
61514x x x -+-; (2) 32
4761x x x ---
(3) 5432
614113x x x x x +----
3
2
2
61514247()()x x x x x x -+-=--+,有理根为2 (2) 3
2
2
47614121()()x x x x x x ---=+--,有理根为14
-
; (3) 5
4
3
2
4
61411313()()x x x x x x x +----=+-;有理根为四重根1-,单根3; (4) 4
3243211
65421210822
()x x x x x x x x +
-++=+-++ 3121682()()x x x =
+-+,有理根为12
- 5.判断下列多项式在有理数域是否可约. (1)4
3
2
8122x x x +++;
(2)4
1x + (3)6
3
1x x ++
(4)1p x px ++,p 为奇质数.
(1)对于4
3
2
8122x x x +++;取2p =，则2
181222|,|,|,|,|p p p p p 由爱森斯坦
判别法知4
3
2
8122x x x +++在Q 上不可约。 (2)对于41x +，令1x y =+，
443214642x y y y y +=++++，
取2p =则2146422|,|,|,|,|,|p p p p p p 由爱森斯坦判别法知4324642y y y y ++++在Q 上不可约。所以4
1x +在Q 上也不可约。 (3)对于6
3
1x x ++，令1x y =+，
则63654321615211893x x y y y y y y ++=++++++，取3p = 则216152118933|,|,|,|,|,|,|,|p p p p p p p p
由爱森斯坦判别法知65432615211893y y y y y y ++++++在Q 上不可约。所以
631x x ++在Q 上也不可约。
(4)对于1p
x px ++,p 为奇质数. 令1x y =-
则11
222211112()()p p p p p p p p p x px y p y y C y
C y C y py p ---++=-+-+=-+--+-
于是1
2
2
2
12|,|,|,,|,|,|,|p p p p p p C p C p C p p p p p p - ，
由爱森斯坦判别法知111()()p
y p y -+-+在Q 上不可约。所以1p
x px ++在Q 上也不可约。
6.证明下列多项式在Q 上不可约:
(2) 1
21()p p g x x
x x --=++++ ,P 为素数;
(3) 21()p
h x x px p =++-,P 为素数;
由于1
2112!()()()!p
p p p f x x px
p p x p p x p --=++-++-?+
于是211|,|,|(),,|!,|!p p p p p p p p p p -
由爱森斯坦判别法知12112()()!p p p x px p p x p p x p --++-++-?+ 在Q 上不可约。所以()f x 在Q 上也不可约。
(2) 令1x y =+,由于11()()p x g x x -=-,111()()p yg y y +=+-
所以121122
1()p p p p p p p g x x x x y C y C y p -----=++++=++++ 于是12221|,|,|,,|,|,|p p p p p p C p C p C p p p p - ,
由爱森斯坦判别法知1
122
p p p p p y
C y
C y p ---++++ 在Q 上不可约。 所以121()p p g x x x x --=++++ 在Q 上也不可约。
(3) 如果2p =,此时223()h x x x =++由于没有实数根,故在R 上不可约,当然在Q 上也不可约;
如果3p =,则335()h x x x =++,令1x y =+,则32366()h x y y y =+++,取素数3,则由爱森斯坦判别法知32366y y y +++在Q 上不可约,所以335()h x x x =++在Q 上也不可约;
当3p >时,令1x y =+,
则1121()()()p h x y p y p =++++-1
1
23p
p p y C y
py p -=++++
由爱森斯坦判别法知1
1
23p
p p y C y
py p -++++ 在Q 上不可约。
所以21()p h x x px p =++-在Q 上也不可约
7.设()f x 是整系数多项式,证明如果01(),()f f 都是奇数,则()f x 不能有整数根.
设1
110()n
n n n f x a x a x
a x a --=++++
依题设有0a 和012n a a a a ++++ 都是奇数,因此()f x 不可能有偶数根. 如果奇数1c +是()f x 的根,这里c 是偶数. 由于 1212()(),,,,k
k k k k a c a u a k n +=+=
1222
133|,|,|,,|,|,|,|p p p p
p p C p C p C p p p p p p -
所以 111111012()()()n n n n n n f c a u a u a u a a a a ---+=++++++++ 其结果是一个偶数加一个奇数,不可能等于零,所以()f x 不能有整数根
8.设1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ 是整系数多项式,若0,n a a 都是奇数,11(),()f f -中至少有一个是奇数,证明()f x 没有有理根.
用反证法,假设()f x 有有理根
b
a
,那么,1()()()f x ax b f x =-,这里()g x 也是整系数多项式1211210()n n n n f x b x b x b x b ----=++++ .
首先假定1()f 是奇数,依题意00()f a =, 所以100()bf bb -=-是奇数,故0,b b 都是奇数;
111()()()f a b f =+是奇数,所以11()f 也必然是奇数,同时由于,a b b +都是奇数,所以a 是
偶数,于是1n n a ab -=是奇数导出1n b -是奇数,这说明1()f x 与()f x 具有相同的特点:
10,n b b -都是奇数,11()f 是奇数,但1()()f x f x ?
上面的推导还可以继续下去:于是得到一串次数不断降低的多项式满足
12()()()()k f x f x f x f x ?>?>?>>?>
但()f x 的次数有限,上述步骤只能进行到一次多项式1()n f x a x b -''=+满足:
,a b ''都是奇数,且a b ''+也是奇数,而这时不可能的,所以()f x 没有有理根
同理可以证明1()f -是奇数的情形.
,并且虚数根成对出现(共轭),去掉这些成对的虚数根后,至少剩下一个不能配对的根,因此这个根就只能是实数,所以奇数次实系数多项式至少有一个实数根.
不可约多项式的判定及应用(黄嘉盛)详解
不可约多项式的判定及应用 摘 要 多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念. 本文主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳, 较为系统的给出不可约多项式的判定方法。对于一般的不可约多项式的判定有Eisenstein 判别法、Kronecker 判别法、Perron 判别法、Browm 判别法等。研究了各判定方法的等价和包含关系。此外，我们还给出了不可约多项式的一些应用。 关键词 不可约多项式；判定方法；应用 2. 不可约多项式的概念及性质 2.1 整除的概念 设P 是一个数域，对于[]P x 中任意两个多项式()f x 与()g x ，其中()0g x ≠，一定有[]P x 中的多项式()q x ，()r x 存在，使得 ()()()()f x q x g x r x =+ 成立，其中(())(())r x g x ?
证明: 如果()r x = 0那么()f x =()()q x g x ,即()g x |()f x 。反过来，如果()g x |()f x ，那么()f x =()()q x g x =()()q x g x +0，即()r x = 0。 注1: 带余除法中()g x 必须不为零。 下面介绍整除性的几个常用性质: （1） 如果()f x |()g x ,()g x |()f x ,那么()()f x cg x =，其中c 为非零常数。 （2）如果()f x |()g x ,()g x |()h x ，那么()f x |()h x （整除的传递性）。 （3） ()f x |()g x ,()f x |()g x 1,2,,i r =，那么 ()f x |()1122()()()()()()r r u x g x u x g x u x g x +++， 其中()i u x 是数域P 上任意多项式。[1] 2.2 本原多项式 若是一个整系数多项式()f x 的系数互素， 那么()f x 叫做一个本原多项式。 2.3 有理数域上多项式的等价 设()g x 有理数域上的一个多项式， 若()g x 的系数不全是整数，那么以()g x 系数分母的一个公倍数乘()g x 就得到一个整系数多项式()f x 。显然，多项式()g x 与()f x 在有理数域上同时可约或同时不可约。 2.4 多项式的不可约相关概念 在中学我们学过一些具体方法，把一个多项式分解为不能再分的因式的乘积，但并没有深入探讨和讨论这个问题，并没有严格地论证它们是否真的不可再分，所谓不可再分的概念，其实不是绝对的，而是相对于系数的数域而言，有例如下 把49x -进行分解，可分解为 49x -()()2233x x =+-
三次正多项式p_不可约的充要条件(精)
第 19卷第 2期宁波大学学报(理工版 V ol.19 No.2 2006年 6月 JOURNAL OF NINGBO UNIVERSITY ( NSEE June 2006 文章编号 :1001-5132(2006 02-0193-03 三次正多项式 p -不可约的充要条件 解烈军 (宁波大学理学院 , 浙江宁波 315211 摘要:通过对所有可能正分解的详细讨论,给出了三次正多项式 p -不可约的显式充要条件, 该条件为由三次正多项式的系数构成的一个简单不等式 . 本文使用的主要工具是笛卡尔符号法则的推论和多项式完全判别系统相关结论等 . 关键字:正多项式; p -不可约;充要条件 中图分类号:O151.1 文献标识码:A 在许多生理过程中都包含所谓的“蛋白质-配位体的键合(protein-ligand binding ”过程 . 在众多的用于描述和解释这个过程的数学模型中, Wyman J [1]引入了键合多项式(binding polyno- mial这个基本工具 . 在生物化学领域,这样的一个事实是熟知的:如果某个大分子的键合多项式是 p -不可约的, 则其所有键合位点组成“联动结构” (linkage , 即配位体在一个位点的键合会加速或抑制其他位点的键合过程 . 反之,如果对应的键合多项式有正分解,则其位点可以分解成若干独立的组,不同组的位点互不影响 . 这样,一个大分子的诸键合位点是否联动的问题就归结为其键合多项式是否有正分解,即是否为 p -不可约的问题, 而键合多项式都是正多项式 . 所以,由一个正多项式的系数直接给出其 p -不可约的充要条件,就显得非常重要 . 关于这个问题,已有不少学者进行了讨论 [1-3]. 但是研究的多项式都是四次正多项式 . 显然,不能将这些结论简单地移植到三次正多项式,相对于四次,讨论三次正多
反证法证明多项式不可约
反证法证明多项式不可约 在有理数域上，直接判别一个多项式是否不可约，是一件及其困难和复杂的事情，此时我们可以利用反证法来判别． 例 1 已知)(x p 是次数大于零的多项式，若对于任意两个多项式)(x f 和)(x g ，由)()(|)(x g x f x p 可以推出)(|)(x f x p 或)(|)(x g x p ，则)(x p 是不可约多项式． 证明 假设)(x p 可约，则必存在次数小于))((x p ?的多项式)(x f 与)(x g ，使得)()()(x g x f x p =，即)()(|)(x g x f x p ，又由已知条件，知)(|)(x f x p ，)(|)(x g x p ，但))(())((x p x f ??x f ，所以)(x f 在整数环Z 上也可约，即有整系数多项式)(1x f 与)(2x f ，使得)()()(21x f x f x f =，其中))(())((x f x f i ?
多项式
第二章 多项式 §2.1一元多项式的定义和运算 1．设),(x f )(x g 和)(x h 是实数域上的多项式．证明：若是 (6) 222)()()(x xh x xg x f +=， 那么.0)()()(===x h x g x f 2．求一组满足（6）式的不全为零的复系数多项式)(),(x g x f 和).(x h 3．证明： ! ) )...(1()1(! ) 1)...(1()1(!2)1(1n n x x n n x x x x x x n n ---=+---+--+ - §2.2 多项式的整除性 1．求)(x f 被)(x g 除所得的商式和余式： ( i ) ;13)(,14)(234--=--=x x x g x x x f (ii) ;23)(,13)(3235+-=-+-=x x x g x x x x f 2．证明：k x f x )(|必要且只要).(|x f x 3．令()()()x g x g x f x f 2121,,),(都是数域F 上的多项式，其中()01≠x f 且 ()()()()()().|,|112121x g x f x f x f x g x g 证明：()().|22x f x g 4．实数q p m ,,满足什么条件时多项式12++mx x 能够整除多项式.4q px x ++ 5．设F 是一个数域，.F a ∈证明：a x -整除.n n a x - 6．考虑有理数域上多项式 ()() ()() ()(),121211 n k n k n k x x x x x x f ++++++=-++ 这里k 和n 都是非负整数．证明： ()()() .11|1 n k 1+++++-x x f x x k
不可约多项式本源多项式
有限域第一次大作业 一、实验内容 （1）构造有限域202F . （2）找到有限域202F 上的任意元素的极小多项式； （3）找到2F 上的一个本原多项式。 二、算法设计 （1）我们知道有限域()n q F q p =的表达有三种形式：()i {} q q F ααα==，α为 ()q h x x x =-的根；()ii []()()()[],p q p F x F f x F x n f x =∈的次不可约多项式； ()iii {}0,q q F F α=U 为上的一个生成元；在这里我们主要通过找到2F 上的一个20次可约多项式来构造有限域202F ，并进行相应的运算。由于只要找到一个2F 上的不可约多项式，我们采用的算法：()a 随机生成一个20次2F 上的多项式，()b 判断多项式为不可约的，pari 代码见附录1；通过pari 我们得到了一个20次的不可约多项式()(x)f ，则[]()2(x)F x f 即为我们想要的有限域，在这有限域上可以直接进行相应的代数运算，pari 代码见附录2； （2）找到有限域202F 上的任意元素α的极小多项式()f x 的思路 第一步：通过元素α的共轭元个数来判断极小多项式()f x 的次数； 第二步：通过α的共轭元生成极小多项式()f x ； 第三步：进一步判断该元素α是否为本原元，若是，则生成的极小多项式()f x 就是2F 上的本原多项式。 pari 代码见附录3；
（3）由于上述方法（2）生成的极小多项式不一定是本原多项式，因此，我们还给出一个能找到上的本原多项式的方法，该方法也是基于随机生成多项式并判断是否为本原多项式，我们知道一个n 次不可约多项式()f x 是本原多项式的条件是其周期达到最大1n p -，由于()() 11n p f x x --，所以只要11n k p p p -=L 时，若()|f x ()11 1,,n i p p x i k -?? ?-= ???L ，则()f x 就是本原多项式，所用的算法思路如下 第一步：随机产生一个2F 上的20次多项式()f x ； 第二步：利用方法一判断该多项式()f x 是否为不可约的； 第三步：进一步判断该多项式()f x 是否为本原多项式。 pari 代码见附录4； 三、实验结果 （1）第一问产生的不可约多项式 我们选择()20191814136++1f x x x x x x x =++++作为我们的所要的不可约多项式 第一问有限域上元素的运算
有限域的运算
有限域GF（2n）运算 在研究的数字电路系统中，如加解密算法、信道编码和数字信号处理等领域会涉及近似代数的相关理论，如群伦、Galois域等基础知识。同时我们引入概念，域。一个域是一组元素的集合，它可以在集合中完成加减乘除等四则运算。加法和乘法必须满足交换、结合和分配的规律。 给定一个集合G，在其上定于了一个二元运算*。 交换：对于G中任意的元素a和b，满足a*b=b*a，则G称为交换群（Abel群） 结合：二元运算*具有结合性，即对任何a,b,c属于G，a*(b*c)=(a*b)*c. 分配：对于F域中任意三个元素a,b,c，有a*(b+c)=a*b+a*c;域中元素的个数称为域的阶（order），此时该域的阶为3. 有限域多项式： GF(2)=x^6+x^4+x^2+x+1等价于比特串01010111，即16进制表示的57。 1、有限域加法 多项式之和等于先对具有相同x次幂的系数求和，然后各项再相加。而各系数求和是在域F中进行的； c(x)=a(x)+b(x) 等价于ci=ai+bi 2、有限域乘法 多项式乘法关于多项式加法满足结合律、交换律和分配律。单元元素为x0项的系数等于1和0次多项式。为使乘法运算在F域上具有封闭性，选取一个1次多项式m(x),当多项式a （x）和b(x)的乘积定义为模多项式m(x)下的多项式乘积： C(x)=a(x).b(x)等价于c(x)恒=a(x)*b(x) (mod m(x)) 二进制域GF（2）在编码理论扮演重要的角色，而在数字计算机和数据传输或是存储系统中同样得到了普遍的运用。 在多项式表达中，有限域2^8内的乘法就是乘法所得到的结果经一个不可约简的8次二进制多项式取模后的结果。不可约简的多项式是指多项式除了它本身和1以外没有其他的因式。Rijndael中这个多项式被命名为m（x），定义如下： m(x)=x^8+x^4+x^3+x+1 (b7b6b5b4b3b2b1b0)* '01' = （b7b6b5b4b3b2b1b0） (b7b6b5b4b3b2b1b0)* '02' = （b6b5b4b3b2b1b00）+(000b7b70b7b7) (b7b6b5b4b3b2b1b0)* '03' = （b7b6b5b4b3b2b1b0）* '01'+ (b7b6b5b4b3b2b1b0)* '02' 记为xtime（）。乘以一个高于一次的多项式可以通过反复使用xtime（）操作，然后将多个中间结果相加的方法来实现。 有限域上的乘法（全面理解） 对于有限域GF(256),可以先计算出其乘法表。 在GF(256)中，加法就是异或运算，任意一个元素都可以表示成GF(2) 上的一个最多7次的多项式， 所以 0=000 就是0 1=001 就是 1 2=0010就是x+0=x 3=0011就是x+1 4=00100就是x^2 然后对于两个变量 u,v
特殊数域上的多项式
1.7特殊数域上的多项式 1.分别在R 上与C 上分解因式: (1)4 5x -; (2)3 2 423x x x +-- 在R 上: 42225((x x x x x x -=+=++ 在C 上:425(()()(x x x x x x x x -=++=++ (2) 在R 上与在C 上都有:3 2 4231()(x x x x x x +--=-+ + 2.已知多项式329609232()f x x x x =---有一个二重根,求()f x 的所有根. 2271209294632()()()f x x x x x '=--=-+,易知32x +是()f x 的因式,所以是 ()f x 的二重因式.,所以2328()()()f x x x =+- 3.求下列多项式的有理根. (1)32 61514x x x -+-; (2) 32 4761x x x --- (3) 5432 614113x x x x x +---- 3 2 2 61514247()()x x x x x x -+-=--+,有理根为2 (2) 3 2 2 47614121()()x x x x x x ---=+--,有理根为14 - ; (3) 5 4 3 2 4 61411313()()x x x x x x x +----=+-;有理根为四重根1-,单根3; (4) 4 3243211 65421210822 ()x x x x x x x x + -++=+-++ 3121682()()x x x = +-+,有理根为12 - 5.判断下列多项式在有理数域是否可约. (1)4 3 2 8122x x x +++;
matlab有限域上的运算教案资料
m a t l a b有限域上的运 算
1 有限域基础知识 1.1 有限域（Galois域）的构造 令p为一个素数. 则对任意的一个正整数n，存在一个特征为p，元素个数为p n的有限域GF(p n). 注：任意一个有限域，其元素的个数一定为p n，其中p为一个素数（有限域的特征），n为一个正整数. 例1（有限域GF(p)）令p为一个素数，集合 GF(p)=Z p={0,1,2,…,p?1}. 在GF(p)上定义加法⊕和乘法⊙分别为模p加法和模p乘法，即任意的a,b∈GF(p)， a⊕b=(a+b)mod p, a⊙b=(a?b)mod p 则
例注1：给定a和p，例1中的等式ab+pc=1可以通过扩展的欧几里得除法得到，从而求得GF(p)中任意非零元素的逆元. 例2（有限域GF(p n)）从GF(p)出发，对任意正整数n，n≥2，我们可以构造元素元素个数为p n的有限域GF(p n)如下： 令g(x)为一个GF(p)上次数为n的不可约多项式，集合 GF(p n)=GF(p)[x]/?g(x)?={a0+a1x+a2x2+?+a n?1x n?1 | a i∈ GF(p),0≤i≤n?1} 在GF(p n)上定义加法⊕和乘法⊙分别为模g(x)加法和模g(x)乘法，即任意的a(x),b(x)∈GF(p n)， a(x)⊕b(x)=a(x)+b(x), a(x)⊙b(x)=(a(x)?b(x))mod g(x) 则
不可约多项式外文文献加翻译
不可约多项式外文文献加翻译
不可约多项式外文文献加翻译irreducible polynomial Let f(x) = f1(x)l1…fk(x)lk be the standard factorization of f(x) in the polynomial ring F[x], where fi(x) is an irreducible polynomial with leading coefficient 1 and degree ni. f(x)=f_1(x)~l1…f_k(x)~lk是f(x)在多项式环F[x]中的标准分解式,f_i(x)是最高系数为1、次数为n_i的不可约多项式. In this note, we suppose n is a composite, Z_n is a residue class ring mod n, r(x)∈Z_n[x] and r(x) is a monic irreducible polynomial of degree k (k>0) over Z_n. 设n是一个合数,Z_n表示模n的剩余类环,r(x)∈Z_n[x]是一个首一的k(>0)次不可约多项式。 From these, the cyclic Zq? code with the generator hm(x) whichis primitive basic irreducible polynomial over Zq can be mapped for nonlinearcode with big distance over Zp. 由此将Zq上的一类由本原基本不可约多项式hm(x)生成的循环码映射成Zp上具有较大距离的非线性码,其中本原基本不可约多项式hm(x)是指 hm(x)在模p映射下的象hm(x)是Zp[x]中的本原多项式. As a matter of fact, the method starts from Z_2, and there is an irreducible polynomial x~2+x+l over Z_2. As a generating element, which may be regarded as a Princpal Ideal (x~2+x+1). Therefore, as are know from the thory of Modern Algebra, Z_2[x]/(x~2+x+1) is a Finite Fields. 这一方法实质上是从Z_2出发,以Z_2上的一个不可约多项式 x~2+x+1为生成元做一个主理想(x~2+x+1),然后由近世代数的理论知 Z_2[x]/(x~2+x+1)是一个有限域,从而得到了GF(4)。 Irreducible Polynomial of Integral Coefficient 关于整系数不可约多项式 prime polynomial This paper directly proves that a prime polynomial has the radical solutionsover a finite field. 直接证明了有限域上的不可约多项式有根号解 “不可约多项式”译为未确定词的双语例句 We give a definition for n is Generalized Carmichael Number of order k modulo r(x) and denote this by n∈C_(k,r(x)). So we give another definition: C_k={UC_(k,r(x))|r(x) are all monic irreducible polynomials of degree k (k>0) over Z_n}. 本文引入n是k阶摸r(x)的Carmichael数的定义,全体这样的数记为集C_(k,r)(x),由此给出k阶Carmichael数集:C_k={∪C_(k,r)(x)|r(x)过
毕业设计论文-有理数域上的多项式的因式分解-应用数学论文
嘉应学院 本科毕业论文（设计） （2014届） 题目：有理数域上的多项式的因式分解姓名：江志会 学号：101010100 学院：数学学院 专业：数学与应用数学 指导老师：许鸿儒 申请学位：学士学位 嘉应学院教务处制
摘要 在多项式理论中，对于有理数域上多项式的因式分解的研究有着极其重要的地位。判断一元多项式是否能因式分解是不容易的。本文根据多项式的可约性和有理根的判断与求法的理论，探究多项式的因式分解的方法，并进行了归纳、整理和补充。 关键词：有理数域, 可约, 因式分解
Abstract In polynomial, the research on rational polynomial factorization has an extremely important position. Determine whether a polynomial can be factoring or not is not easy. According to the theory of irreducible polynomials and rational roots, we explore polynomial factorization method, and make some the induction, consolidation and supplements. Key words： rational number field, reducible, factorization
目录 1 有理数域上的多项式基本内容 (i) 1.1 多项式因式分解的基本概念 (1) 1.2 本原多项式 (2) 1.3 不可约多项式的艾森斯坦判别法 (5) 2 多项式的有理根及因式分解 (7) 2.1多项式在有理数域上的性质 (7) 2.2多项式有理根的判定 (8) 2.3多项式有理根的求法及因式分解 (10) 2.4因式分解的特殊解法 (12) 参考文献................................................... 错误！未定义书签。
多项式运算e
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不可约多项式外文文献加翻译
不可约多项式外文文献加翻译不可约多项式外文文献加翻译 = irreducible polynomial Let f (x) = fl (x)ll--fk(x)lk be the standard factorization of f(x) in the polynomial ring F[x], where fi (x) is an irreducible polynomial with leading coefficient 1 and degree ni. f (x) =f_l (x) 1???f_k (x) ~lk是f (x)在多项式环F[x]中的标准分 解 式,f_i (x)是最高系数为1、次数为n_i的不可约多项式. In this note, we suppose n is a composite, Z_n is a residue class ring mod n> r (x) WZ_n[x] and r (x) is a monic irreducible polynomial of degree k (k>0) over Z_n. 设n是一个合数,Z_n表示模n的剩余类环,r (x) EZ_n[x]是一个首一的k(>0)次不可约多项式。 From these, the cyclic Zq? code with the generator hm(x) whichis primitive basic irreducible polynomial over Zq can be mapped for nonlinearcode with big distance over Zp. 由此将Zq上的一类由本原基本不可约多项式hm(x)生成的循环码映射成Zp上具有较大距离的非线性码，其中本原基本不可约多项式hm(x)是指hm(x)在模p映射下的象hm(x)是Zp [x]中的本原多项式. As a matter of fact, the met hod starts from Z_2, and t here is an irreducible polynomial x~2+x+l over Z_2. As a generating element, which may be regarded as a Princpal Ideal (x~2+x+l). Therefore, as are know from the thory of Modern Algebra, Z_2[x]/(x~2+x+l) is a Finite Fields. 这一方法实质上是从Z_2岀发，以Z_2上的一个不可约多项式x~2+x+l 为生成元做一个主理想(x~2+x+l),然后由近世代数的理论知Z_2[x]/(x~2+x+l)是一个有限域，从而得到了GF⑷。
有理数域的认识
对有理数域的认识 1.有理数的认识 数学上，有理数是一个整数a和一个非零整数b的比（ratio），通常写作a/b，故又称作分数。希腊文称为λογο?，原意为“成比例的数”（rational number），但并非中文翻译不恰当。 有理数这一概念最早源自西方《几何原本》，在中国明代，从西方传入中国，而从中国明代传入日本时，出现错误。 明末数学家徐光启和学者利玛窦翻译《几何原本》前6卷时的底本是拉丁文。他们将这个词（即“logos”）译为“理”，这个“理”指的是“比值”。日本在明治维新以前，欧美数学典籍的译本多半采用中国文言文的译本。日本学者将中国文言文中的“理”直接翻译成了理，而不是文言文所解释的“比值”。后来，日本学者直接用错误的理解翻译出了“有理数”和“无理数”。 当有理数从日本传回中国时又延续错误。 清末中国派留学生到日本，将此名词传回中国，以至现在中日两国都用“有理数” 和“无理数”的说法 可见，由于当年日本学者对中国文言文的理解不到位，才出现了今天的误译。 不是有理数的实数遂称为无理数。 所有有理数的集合表示为Q，Q+,或。定义如下： 有理数的小数部分有限或为循环。 定义：有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。除了无限不循环小数以外的实数统称有理数（rational number）。整数和分数统称为有理数，任何一个有理数都可以写成分数m/n（m，n都是整数，且n≠0）的形式。 分类：有理数可分为整数和分数。 也可分为三种：一；正数，二；0，三；负数。 以下都是有理数： (1) 整数包含了：正整数、0、负整数统称为整数。 (2）分数包含了：正分数、负分数统称为分数。
有限域上的多项式理论
有限域上的多项式理论Polynomial Theory of Finite Fields
摘要 域的概念的提出为代数学中的讨论的方便提供了条件，而作为在域中占有重要地位的有限域而言，更是在组合设计、编码理论、密码学、计算机代数和通信系统等领域发挥着自己的作用。多项式理论又是代数学中的基础，它的应用在其它领域也是常见的，本文的主要思想就是将高等代数中建立在数域中的多项式理论进行推广，将有关的性质、定理在有限域上进行验证，进而形成一套建立在有限域上的多项式理论。 当下，通信技术已经飞速发展，而保证信息在传输过程中的准确性是通信安全的一个重要前提。本文在第三章给出了有限域上的多项式在该领域的一个具体应用——利用本原多项式来进行纠错码的操作。 正文部分的结构组成包括：有限域的基本知识、一元多项式、多项式的整除和带余除法、最大公因式、因式分解定理、重因式、多元多项式及本原多项式在纠错码中的应用。 本文通过大量理论证明，验证了关于多项式的定理，性质，将数域上的多项式理论建立在有限域上。从结果中可以看出，对于建立在一般数域的多项式理论，大部分的结果在有限域上也是普遍成立的，但是不排除一些特殊的情况。同时，在部分章节的最后也给出了一些只有在有限域中成立，在普通数域中不成立的结论。 关键词：有限域；多项式；带余除法；纠错码
Abstract With the concept of the field being raised, it has provided the conditions for the convenience of the discussion in Algebra. Meanwhile, the finite field also plays an important role in combination of design, coding theory, cryptography, commuter and communications systems. Polynomial theory is the basis of Algebra. The main idea is to put the polynomial theory to the finite field and check the related properties and theorems. Nowadays, the communicational technology has developed rapidly. Keeping accuracy is an important prerequisite for communication security. In the third chapter, this paper introduces the primitive polynomial’s applications: Error-correcting code. The text contains: The basis knowledge of finite field, polynomial, divisibility of polynomials, greatest common factor, factorization theorem, repeated divisors, multivariate polynomial and the primitive polynomial’s applications: Error-correcting code. In this paper, a number of properties and theorems are checked by theoretical proof. We will establish the polynomial theory of finite field. According to it, we can see that the most parts of the polynomial theory of number field are established in finite field except in some special situations. At the same time, some conclusions which only established in finite field are given in some chapters. Keywords: finite fields; polynomial; divisibility of polynomials; Error-correcting code
伯恩斯坦多项式的性质及其应用
Bernstein 多项式的性质及其应用 作者：张* 指导教师：汪** 摘要 Bernstein 多项式的性质在B ézier 曲线上的应用更加的广泛，鉴于此，必须先给出Bernstein 多项式的性质，然后再得出B ézier 曲线的性质和应用。在工程应用领域，从设计要求出发，人们希望使用某种逼近方法，而非传统的插值方法，该法能模仿曲线、曲面的设计过程，又便于设计者使用。B ézier 于1962年提出了以逼近为基础的曲线曲面设计系统，名为UNISURF,随后，Forrest,Gordon 和Riesenfeld 等对B ézier 方法作了深入研究，揭示了B ézier 方法与Bernstein 多项式的联系，从而使其具有更坚实的理论基础。本文旨在介绍Bernstein 多项式，给出其性质，结合B ézier 曲线的性质，得出Bernstein 多项式在B ézier 曲线上的应用。 关键词 Bernstein 多项式 B ézier 曲线 逼近 1 引言 用多项式一致逼近连续函数是函数逼近论中的重要结果，在科学与工程中有广泛的应 用。而Bernstein 多项式是不可缺少的重要工具。 1.1 Bernstein 多项式 定义：设 f 是[0,1]上的函数,n * ∈ ,约定0 1=.称[0,1]上的多项式函数 ()()()()(1)n n k k n n k n k B f x B f x f x x k n -=??==-? ??∑； 为 f 的第n 个Bernstein 多项式.应当将n B 视为一个映射,它把[0,1]上的函数映为[0,1] 上的多项式函数.称n B 为第n 个Bernstein 算子. 命题 若,f g 是[0,1]上的函数,,αβ是常数,I 是[0,1]上的恒等映射,则 (1) ( )n B f 的次数n ≤； (2) ()()()n n n B f g B f B g αβαβ+=+；(线性性质) (3) ()n B I I αβαβ +=+. 证明: (1),(2)显然成立,故只需证(3).
不同域上的不可约多项式
论文题目
目录 1、前言................................................................................................... 错误!未定义书签。 2、因式分解定理及唯一性定理 ..................................................... 错误!未定义书签。 3、复系数多项式................................................................................. 错误!未定义书签。 4、实系数多项式................................................................................. 错误!未定义书签。 5、有理系数多项式 ............................................................................ 错误!未定义书签。 艾森斯坦（Eisenstein）判别法 .................................. 错误!未定义书签。 艾森斯坦因（Eisenstein）判别法的变式..................... 错误!未定义书签。 艾森斯坦因（Eisenstein）判别法的等价定理............. 错误!未定义书签。 多项式的复根与其不可约性......................................... 错误!未定义书签。 n次整系数多项式在有理数域上的不可约的又一充分性错误!未定义书签。 6、有限域上的不可约多项式.......................................................... 错误!未定义书签。 判断有限域上一元多项式是否可约进而得到分解式的方法错误!未定义书签。 q阶有限域上的不可约多项式.................................... 错误!未定义书签。致谢.......................................................................................................... 错误!未定义书签。参考文献 ................................................................................................ 错误!未定义书签。
常系数非齐次线性微分方程的算子解法
常系数非齐次线性微分方程的算子解法 摘要：本文讨论了求常系数非齐次线性微分方程特解的算子解法，结果说明当非齐次项是指数函数、三角函数、幂函数及其混合函数时，用这种方法可以直接求出一个特解，运算简单。 关键词：线性微分方程；算子方法；特解 1.引言 微分方程在解决实际问题中有着广泛的应用,例如单摆运动、传染病的预防等方面都要用到常微分方程.教材中一般只介绍用待定系数法和常数变易法求解常系数非齐次线性微分方程,然而用上述的两种方法需经大量的运算,甚至涉及到求解线性方程组.基于上述的情况,本文讨论求解线性微分方程的算子解法 2.基本概念 对于常系数非齐次线性微分方程 )(1 11 t f x a a n dt x d dt x d n n n n =+++-- (1) 其中i a ),,3,2,1(n i =均为常数. 令dt d D = 表示对x 求微商的运算,称它为微分算子;k k dt d k D = 表示对x 求k 次 微商的运算.于是方程(1)化为 () ()t f x a D a D a D a D n n n n n =++++---12211 (2) 记()() n n n n n a D a D a D a D D P +++++=---12211 ,称为算子多项式.所以(2)的一个解可简单的表示为()()t f D P x 1=,称() D P 1 为逆算子. 特别地 ()()dt t f t f D ?=1,()()()k k k dt t f t f D ??=1. 3. 算子多项式 3.1性质 设()D P 是上述定义的算子多项式,()()t f t f 21,都是可导函数,则有如下的 结论: