特殊数域上的多项式
数域上的一元多项式的带余除法及其应用
莆田学院数学与应用数学系《高等代数选讲》课程论文题目数域上一元多项式环中的带余除法及其应用学生姓名黄秋秋学号010401018专业数学与应用数学（师范）班级数学1012013年 6 月 6 日数域上的一元多项式环中的带余除法及其应用摘要：本文通过介绍了数域上的一元多项式在环数域上的带余除法的定理，证明以及它的两种计算格式和两种求带余除法的算法—辗转相除法和其在数域上的应用并举例子来说明带余除法的广泛用法。
关键词：一元多项式 带余除法 算法一、数域上的一元多项式环中的带余除法的定义与性质[1]带余除法的定义：对于[]p x 中任意两个多项式()f x 与()g x ，其中()0g x ≠。
一定有[]p x 中多项式()q x ，()r x 存在，使()()()()f x q x g x r x =+成立。
其中()()()()r x g x ∂<∂或()0r x =。
并且这样的()q x ，()r x 是唯一决定的。
证明：存在性()1()0f x =，取()()0q x r x ==。
()2设()0f x ≠，令()(),f x g x 的次数分别为,n m 对()f x 的次数n 作数学归纳当n m <时，显然()0q x =，()()r x f x =成立。
当n m ≥时，令,n m ax bx 分别为()(),f x g x 的首项。
显然()1n m b ax g x --与()f x 有相同的首项，因而多项式()()()11n m f x f x b ax g x --=-的次数小于n 或0。
对于次数为0，取()1n m q x b ax --=，()0;r x =对于次数小于n ，由归纳法假设，对()()1,f x g x 有()()11,q x r x 存在。
使 ()()()()111f x q x g x r x =+，其中()()()()1r x g x ∂<∂或者()10r x =。
数域f上次数等于n的全体多项式
数域f上次数等于n的全体多项式
在数学中，我们通常会研究定义在某一数域f上的多项式。
当我们限制多项式的次数时，我们可以得到一个次数等于n的多项式集合。
这个集合中的所有多项式都可以表示为以下形式之一：
p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0 其中a_i为数域f上的常数。
现在我们来研究数域f上次数等于n的全体多项式的性质。
首先，我们可以证明这个集合是一个向量空间，它的维度为n+1。
这意味着我们可以用n+1个线性无关的多项式来表示这个集合中的任何一个
多项式。
其次，我们可以证明这个集合中的多项式具有加法和标量乘法的性质。
也就是说，如果我们有两个次数等于n的多项式p(x)和q(x)，以及一个数域f上的常数c，那么它们的和p(x) + q(x)和标量积c·p(x)都是次数等于n的多项式。
最后，我们可以将这个集合中的多项式表示为一个矩阵的形式，这个矩阵被称为范德蒙矩阵。
这个矩阵的第i行第j列的元素为
x_i^{j-1}，其中x_i为数域f上的一个常数。
这个矩阵具有一些特
殊的性质，比如它的行列式值为prod_{i<j}(x_i - x_j)，其中x_i
为数域f上的不同常数。
总之，数域f上次数等于n的全体多项式是一个非常有趣的数学对象，它在数学中有着广泛的应用。
- 1 -。
有理数域上分圆多项式的不可约性
有理数域上分圆多项式的不可约性有理数域上的分圆多项式，也叫线性有理函数，它由一系列“常数"和“幂”组成，并满足特定数学关系，即“多项式函数”。
也就是说，它是一组有关有理数的函数关系，在有理数域上可以被表示为一组简单的函数公式。
有理数域上的分圆多项式有若干特殊性质，其中不可约性是一个重要性质，其原理也是本文的重点内容。
一般来说，分圆的多项式是指当它的次数(即多项式中的项数)不为一时，多项式的其他项(即多项式中的比一次项更高次数的项)可以用较小的多项式相除而得，得出一个多项式比例，而这个多项式比例小数据结构体中的所有分母项，被称为非可约多项式。
化简分圆多项式的方法是一般的方法：把原先的多项式以最高幂的多项式为系数除以最高幂的多项式，得出一个新的多项式，该多项式的次数比原先的多项式的次数少1，即称作除以最高幂的多项式的分子数。
接下来，以新出的多项式系数重复上述操作，直到整个多项式可以分解出有理数作为分子数和分母数，即可以带有系数的分数表示，这就是多项式化简到有理数的方法。
在某些情况下，多项式不能再按上述方法化简为有理数，即没有分数表示，也没有微分解出有理数，此时，多项式就称为不可约多项式。
不可约多项式不产生有理数比例式，而是得到一批多项式，其中有一个多项式的次数和分数的分母一样。
化简的结果是，有理数域上分圆多项式不可约，也就是说它无法归约。
将有理数域上分圆多项式用有理数域上的多项式方法表示方法做进一步讨论，不可约的多项式L(x)，在有理数领域里可以表示为：L(x)=A(x*p+q)+B(x*r+s)其中，A,B,p,q,r,s分别为实数常数，x表示有理数域上变量。
当p/r和q/s 都不等于任何有理数时，多项式不可约。
有理数域上分圆多项式的不可约性，是一个重要的主题，它不仅体现了有理数域上的多项式的特性，而且对学习数学有极大的意义。
从单纯的几何角度来说，当两个平行线表示的不可约多项式曲线相交时，刻画出的曲线形式简单明了，可以更加清晰地表示出不可约多项式的几何性质；从多项式的角度来说，不可约多项式有着一定的函数构造及函数分析性质，具有基础性意义；从数论的角度来说，不可约多项式给了一些有意义的多项式，而这些多项式经常用在大量的数学问题上，所以有必要探讨它们的不可约性及其特性。
2.有限域上的不可约多项式有限域上的不可约多项式
3.域 扩域,代数元 求 3 5 在有理数域上的极小多项式. 4.根域 确定根域,及扩张次数 有限域的根域存在性,唯一性证明方法 重根与形式微商 Zp上n次不可约多项式根域
Zp上的n次不可约多项式f(x)的根域是什 么？ 定理:Zp上的n次不可约多项式f(x)的根域 是GF(pn)=Zp()
定 理 2( 艾 森 斯 坦 (Eisenstein) 判 别 法 ) ： 设 f(x)=a0+a1x+…+anxn 是 整 系 数 多项 式 ， 若 能 找到一个素数p，使得 (1)p不能整除an； (2)p|a0,a1,┅,an-1； (3)p2不能整除a0； 那么，f(x)在有理数域上不可约。 1.证明2xn+9x2+6(n>2)是有理数域上的不可约 多项式。 p=3
艾森斯坦判别法是充分条件，不满足定理2的 多项式，不一定就可约。 如x2+3x+2和x2+1，都不满足定理2条件， 前者在有理数域上可约，后者不可约。
2.有限域上的不可约多项式 有限域上的不可约多项式，最直观的就是将 域上所有n次多项式按次数列成表， 次数小的在前面，大的在后，次数相等的按 某种规定排列先后，排在最前面的多项式就 是不可约的，把它圈出来， 再把该多项式倍式的多项式从表中划去。 剩下没有圈和划去的多项式中排在最前的就 是不可约的， 重复这一过程即可，但当n适当大时，工作量 就很大。
如何判别一个多项式不可约，并没有一个行 之有效的方法 1.在无限数域上的不可约多项式问题 复数域上的任何多项式都是可约的。 实数域上任何多项式，根据复根共轭的性质， 知道实数域上只有2次不可约多项式。 有理数域，存在任意次不可约多项式。
高等代数 第4章多项式 4.7 特殊域上的多项式
假设对结论次数<n的多项式结论成立， 现考虑 ( f ( x)) n ，由代数基本定理，f ( x) 有一复根 。 若 为实数 则 f ( x) ( x ) f1 ( x) ，其中 若 不为实数，则 也是 f ( x)的复根，于是
高等代数
f ( x) ( x )( x ) f2 ( x) ( x ( ) x ) f2 ( x)
2018/10/5 高等代数
f x 假设结论对n-1次多项式成立，则当 是n次多项式时，由于 f x 在C上至少有一个根， f1 x ，
多项式。由归纳假设知 f1 x 在C上有n-1个根， 它们也是 f x 在C上的根，所以 f x 在C上有 n个根。
2018/10/5 高等代数
f x a0 xn a1xn1
n a1 n1 a0 x x a0
an1x an
an1 an x a0 a0
a0 x 1
a1 a0 1
x n
n
x n
n2
x n 1
n x n 1
1i j n
i j x
1 1 2
n
n
—（2） 比较（1）与（2）的展开式中同次项的系数，
2018/10/5 高等代数
得根与系数的关系为：
a1 1 n
n1n a2 12 13
性可转化为求整系数多项式在Q上的可约性。 一、整系数多项式的可约性 定义1（本原多项式）： 若整系数多项式 f x 的系数互素，则称 f x 是一个本原多项式。 例如：f x 3x2 6x 4, g x 5x2 1 是本原多项式。 本原多项式的加、减运算所得的未必是本原多 项式，但相乘之后必是本原多项式。
多项式
(2) 数域 P 上的多项式 g(x) 称为整除
f (x) ，如果有数域 P 上的多项式 h(x) 使等式 f (x) = g(x) h (x)
成立. 我们用“g(x) | f (x)”表示 g(x) 整除 f (x) ，
用“g(x) | f (x)”表示 g(x) 不能整除 f (x) . 当 g(x) | f (x) 时， g(x) 就称为 f (x) 的因式， f (x) 称为 g(x) 的倍式.
的一个最大公因式.
(2) 最大公因式有以下性质：
1) P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x)一定有最大 公因式. 两个零多项式的最大公因式是零多项式， 它是唯一确定的. 两个不全为零的多项式的最大 公因式总是非零多项式，它们之间只有常数因子 的差别；这时，首系数为1的最大公因式是唯一 确定的. f(x)与g(x)的首系数为1的最大公因式记为 (f(x), g(x)).
注：由于重因式一定是不可约因式，所以f (x)的
重因式也和所在的数域有关.
(3) 关于重因式有下列结论：
1) 如果不可约多项式 p(x) 是 f (x) 的 k重因式
(k 1)，那么它是导数 f (x) 的 k - 1 重因式. 特别
(2) 不可约多项式 p(x) 称为多项式 f (x)
的 k 重因式，如果 pk(x) | f (x) , pk+1(x) | f (x) . 如果 k = 0 , 那么 p(x) 根本不是 f (x) 的因式；
如果 k = 1 , 那么 p(x) 称为 f (x) 的单因式； 如果
k > 1 , 那么 p(x) 称为 f (x) 的重因式.
2) 设f (x) , g(x) 是P[x] 中两个多项式，g(x) 0，
数域F上多项式的最大公因式的讲解
厂 （ ） （ ） ＋ｇ （ ） （ ）＝ｄ （ ） 。 辗转 相除法是求两个多项式 的最大公 因式的一般 方法 ，
－
在每次作除法时用 的是带 余除 法 。它 的原 理 和一般 实例可 以参 见《 高等代数》 ， 为 了运算 的简化 ， 我们 可以用一个 非零
的 一题 多解 。
关键词 ： 多项 式； 最 大公 因式 ； 辗转相 除法； 一题 多解
中图分类号： Ｇ ６ ４ ２ ． ０ ； ０ １ ３
文献标志码 ： Ａ
文章编号： １ ６ ７ ４ — ６ ３ ４ １ （ ２ ０ １ ３ ） ０ １ — ０ １ ０ ７ — ０ ２
ｌ
一 一
ｄ （ ） 的 因式 ； 则称 ｄ （ ） 为 ） 与ｇ （ ） 的一个最大公 因式 。 定理： Ｆ ［ ］ 对 中任 意两个 多项式 ， （ ） ， ｇ （ ｘ ） ， 则（ １ ） ， （ ） 与ｇ （ ） 的最大公 因式一定存 在 ； （ ２ ） 若ｄ （ ｘ ） 是， （ ） 与ｇ （ ） 的一个最大公 因式 ， 那么ｃ ｄ（ ） （ ｃ 是 Ｆ 中非 零 常数 ） 也是
’ ＿ｒ
Ｘ—ｌ
０
其 最 后 不为 零的 余式为一 ÷％ 一 ÷， 所以， （ ） 与ｇ （ ） 的 最
大公 因式 （ ， （ ） ， ｇ （ ） ）＝ ＋１ 。
由于两个 多项式 的最大 公 因式 是这两个多项 式辗转相 除时最后不为零 的余式 ， 而在相 除 的一开始或 中途 ， 对 除式
最大公因式的性质 ： 设， （ ） ， ｇ （ ） Ｅ ， ［ ］ ， ｄ （ ） 是ｆ （ ） 与ｇ （ ） 的一个最大公 因式 ， 则存在 “ （ ） ， （ ） Ｅ Ｆ ［ ］ ， 使 得
高等数学(高教版)第一章多项式第二节
(ai bi ) x .
i i 0
n
3. 乘法
f (x) ·g(x) = anbmxn+m + (anbm-1 + an-1bm )xn+m-1
+ … + (a1b0 + a0b1)x + a0b0 , 其中 s 次项的系数是
在数域 P 中的一元多项式，或者简称为数域 P
上的一元多项式.
在多项式 中，aixi 称为 i
次项，ai 称为
i 次项的系数.
以后我们用 f (x) , g(x) , … 或 f , g ,
… 等来代表多项式.
注意
的形式表达式.
我们这儿定义的多项式是符号或文字
当这符号是未知数时，它是中学所
看应用需要，这个符号还可以 为了能统一研究未知数和其他
asb0 as 1b1 a1bs 1 a0bs
所以 f (x) g(x) 可表成
i j s
a b
i
j
.
s x . f ( x) g ( x) a b i j s 0 i j s
m n
显然，数域 P 上的两个多项式经过加、减、乘 等运算后，所得结果仍然是数域 P 上的多项式. 对于多项式的加减法，不难看出 ( f (x) g(x) ) max( ( f (x) ) , (g(x) ) ) 对于多项式的乘法，可以证明，如果 f (x) 0, g(x) 0 , 那么 f (x) g(x) 0 , 并且
学代数中的多项式. 代表其他待定事物.
Hale Waihona Puke 待定事物的多项式，我们才抽象地定义上述形式表 达式. 并且还要对它们引入运算来反映各个待定事
第一章 多项式
3)当 a0 a1 an 0 时，称 f (x) 为零多项式， 零多项式是唯一不定义次数的多项式。 3. 多项式环 数域P上一切多项式全体所成集合称作多项式环， 记为 Px ，数域P上一切次数小于n的多项式全体 记为 Px n P7 定义4
推广：如果 ( f1 ( x), f 2 ( x),, f s ( x)) 1 那么多项式
f1 ( x), f 2 ( x),, f s ( x)
就称为互素的.
注：①如果
f1 ( x), f 2 ( x),, f s ( x) 互素，不一定两两互素。
②互素关系不因为数域改变而改变。
2.互素的判定条件
f ( x) | (u1 ( x) g1 ( x) u2 ( x) g 2 ( x) ur ( x) g r ( x))
其中 u i (x) 是数域P上任意的多项式。
（8）若 f ( x) | g ( x), f ( x) | h( x) 则 f ( x) | g ( x) h( x)
其中， (r ( x)) ( g ( x)) 或者 r ( x) 0
P8带余除法定理
2.综合除法 （略）
用途： （1）求 f ( x) 在
x c 点的值。
（2）判断多项式 f ( x) 是否有一次因式。 （3）判断多项式 f ( x) 是否有根 x=c。 （4）把多项式 f ( x) 表示成x-c的方幂和。即
3. 定理：任何一个数域都包含有理数域，即有理数域 是最小的数域。 P3 4. 会验证一个数集是否为数域或者数环。 二、一元多项式 1. 数域P上一元多项式定义
n n1 定义：形式表达式 f ( x) an x an1 x a1 x a0
第二章 多项式 第七节 复数实数域上的多项式课件
其中，1 , 2 ,
f (x) a(x 1)k1 (x s )ks
,s 是不同的复数，k1, k2, , ks 是正整数，并且
k1 k2 ks n.
定理2.7.3
任何n (n > 0)次多项式在复数域中有n个根(重根按 重数计算) . 证 设f (x)是一个次多项式,那么由定理2.7.1,它在复
一、代数基本定理 二、实系数多项式的性质定理
一、代数基本定理
定理2.7.1(代数基本定理) 任何n (n > 0)次多项式在复数域中至少有一个根.
定理2.7.2(复系数多项式因式分解定理) 复数域C上任一n (n > 0)次多项式可以唯一地 分解为n一次因式的乘积.
由定理2.7.2， n (n > 0)次复系数多项式 f (x) 的标准分解式为
二、实系数多项式的性质定理
定理2.7.4
若实系数多项式 f (x)有一个非实的复数根 ,那么 的共轭数 也是f (x)的根, 并且 与 有同一重数.
换句话说,实系数多项式的非实的复数根两两成对.
证 令f (x) a0 xn a1xn1 an . 由假设
a0 xn a1xn1 an 0.
数域C中有一个根 1, 因此在C [x]中
f (x) (x 1) f1(x),
这里 f1(x是) C上的一个n – 1 次多项式.若n – 1 > 0,那
么在C中有一个根 2 , 因而在C [x]中
f (x) (x 1)(x 2 ) f2 (x).
这样继续下去,最后f (x)在C [x]中完全分解成n个一 次因式的乘积,而在f (x) C中有n个根.
整除.由共轭复数的性质知道g (x)的系数都是实数.故 f (x) g(x)h(x), 此处h (x) 也是,那么它一定是h (x)的根,因而根 据方才所证明的, 也是h (x)的一个根.这样也是f (x) 的重根.重复应用这个推理方法,容易看出, 与的重
第一章 多项式1.数域,2.一元多项式 [兼容模式]
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1参考书目高等教育出版社高等教育出版社• 高等代数(第三版)张禾瑞郝鈵新编• 高等代数(第二版)北大数学系几何代数教研室毛纲源编华中科技大学出版社• 线性代数解题方法技巧归纳(第二版)代数小组编高等代数第一章多项式多项式的研究源于“代数方程求解”,是最古老数学问题之一.有些代数方程,如x+1= 0,在负数被接受前,被认为是无解的.另一些多项式,如f(x)= x2+1,是没有任何实数根.若允许复数,则实系数多项式或复系数多项式都有根,这就是代数基本定理.能否用根式求解的方法,表达出多项式的根,曾经是文艺复兴后欧洲数学主要课题.一元二次多项式的根相对容易.三次多项式的根需要引入复数来表示.即使是实数多项式的实数根.四次多项式的情况也是如此.经过多年,数学家仍找不到用根式求解五次多项式3的一般方法,终于在1824年阿贝尔证明了这种一般的解法不存在,震撼数坛.数年后,伽罗瓦引入了群的概念,证明不存在用根式求解五次或以上的多项式的一般方法.其理论被引申为伽罗瓦理论.伽罗瓦理论也证明了古希腊难题三等分角不可能.另一个难题化圆为方的不可能证明,亦与多项式有关,证明的中心是圆周率乃一个超越数,即它不是有理数多项式的根.4§1.1 数域集合一些特殊的集合数域的定义及例子小结作业567,A x ∈若两个集合},2,1{=A 一般地,BA ⊂若.B A =},2,1{=A 如},023{2=+−=x x x B .B A =则,B x ∈则必子集则称集合A 与B 相等,B A ⊂记作则称A 是B的}4,3,2,1{=B8).(∅记作如==+∈}01,R {2x x x .∅空集.不含任何元素的集合称为,B A B A ≠⊂且若则称A 是B 的真子集记作A ⊂≠.B 如N Z Q R.⊂≠⊂≠⊂≠真子集,空集规定空集为任何集合的子集.今后在提到一个集合时,一般都是如不加特别声明,非空集.注意:空集∅与集{0}是是两个不同的概念.注对几个常用的数集规定记号如下:自然数集},L nN L=,2,1{,,整数集Z,有理数集Q,实数集R,复数集C.定义1设集P⊂C,满足:(1) 0, 1∈P.(2) 对∀a, b∈P,有a+b∈P.,a-b,a×b,a÷b (b≠0)则称P 是一个数域.P 中元素关于加、减、乘、除运算封闭910问题1:自然数集N,整数集Z,有理数集Q,实数集R,复数集C 是否是数域？解答:(2)显然哪些是数域？问题2:}Q ,|2{)2(Q ∈+=b a b a (1)),2(Q 2000∈+=∈+=ba +=∀α对βα+d cb a ++=βα故是数域.)2(Q ),2(Q 2∈+=d c ββα−∈×βα又)2)(2()2)(2(d c d c d c b a −+−+=),2(Q ∈问题3:任意数域P 和有理数域Q 有何关系?小结自然数集N,整数集Z,有理数集Q,实数集R,复数集C.含0和1 的数集,且其对加,减,乘,除运算封闭.数域:1112是否是数域？1.}Z ,|{][Z ∈+=n m i n m i 作业是否是数域？2.}Q ,|{)(Q ∈+=b a i b a i 为什么?为什么?§1.2 一元多项式多项式定义多项式加法和乘法多项式的算律小结作业1314定义2(1)设P 是数域,形式表达式其中称为系数在数域P 中的简称为数域P 上的一元多项式.多项式(1)中,称为i 次项,我们用等来代表多项式.(2)若在多项式f (x )与g (x )中,除去系数为零的项外,次项的系数全相等,0111a x a x a x a n n nn ++++−−L (1),,,,10P a a a n ∈L 一元多项式,ii x a 称为i 次项的系数.i a L ),(),(x g x f 则称f (x )与g (x )相等,记为系数全为零的多项式称为零多项式,同f (x )=g (x ).记为0.一元多项式一元多项式n 是一非负整数,15(3)在多项式如果那么称为多项式f (x )的首项,n 称为多项式f (x ) 的次数,零多项式是唯一不定义次数的多项式.0111)(a x a xa x a x f n n nn ++++=−−L 中,0≠n a 称为nnx a n a 首项系数,记为.))((n x f =∂(4)系数在数域P 的多项式全体所成集合P [x ]中的元素按照多项式的加法和乘法构成一个环,P [x ]称为数域F 上的一元多项式环.记为P [x ],16定义3若n ≥m ,0111)(a x a xa x a x f n n nn ++++=−−L (1)f (x )与g (x )的和:设,∑==ni ii x a 0111)(b x b xb x b x g m m mm ++++=−−L ∑==mj j j x b 0].[x P ∈为方便记,在g (x )中令.011====+−m n n b b b L 则f (x )与g (x )的和为)()(x g x f +)()()()(0011111b a x b a x b a x b a n n n nn n ++++++++=−−−L .)(0∑=+=ni ii i x b a17(2)f (x )与g (x )的乘积:其中s 次项系数是,)(0∑∑+==+=nm s ssj i j i x b a )()(x g x f ⋅001001111)()(b a x b a b a xb a b a xb a m n m n m n mn m n ++++++=−+−−+L s s s s b a b a b a b a 011110++++−−L .∑=+=sj i j i b a18例,2835)(23++−=x x x x f 设432)(2++=x x x g ].[Q x ∈(1) 则f (x )与g (x )的和为)()(x g x f +)42()38()23()05(23+++++−++=x x x 611523++−=x x x (2)f (x )与g (x )的乘积为)()(x g x f ⋅23)25(+⋅=x4)2)3(35(x ⋅−+⋅+3)283)3(45(x⋅+⋅−+⋅+2)22384)3((x ⋅+⋅+⋅−+x )3248(⋅+⋅+)42(⋅+8388379102345+++++=x x x x x ].[Q x ∈].[Q x ∈19容易观察到的事实:(1) 数域P 上的两个多项式经过加, 减, 乘运算后(2))).)((),)((max())()((x g x f x g x f ∂∂≤±∂若f (x ) ≠0, g (x ) ≠0,乃得到数域P 上的多项式.则f (x ) g (x ) ≠0,且).)(())(())()((x g x f x g x f ∂+∂=∂,)(0111a x a x a x a x f n n nn ++++=−−L ,)(0111b x b x b x b x g m m m m ++++=−−L 事实上,,0≠n a ,0≠m b 则)()(x g x f 首项为.m n m n x b a +设20多项式的一些运算规律:(1) 加法交换律:).()()()(x f x g x g x f +=+(2) 加法结合律:(3) 乘法交换律:(4) 乘法结合律:(6) 乘法消去律:若(5) 乘法对加法的分配律:.))()(()()())()((x h x g x f x h x g x f ++=++).()()()(x f x g x g x f =.))()()(()())()((x h x g x f x h x g x f =).()()()())()(()(x h x f x g x f x h x g x f +=+)()()()(x h x f x g x f =且,0)(≠x f 则).()(x h x g =0))()(()(=−x h x g x f21一元多项式1. 一元多项式.2. 多项式加法运算.4. 两个多项式加法, 乘法运算后的次数.5. 多项式加法, 乘法的6. 乘法对加法的分配律.小结3. 多项式乘法运算.7. 乘法消去律.交换律, 结合律.数域作业1. 证明: 多项式乘法对加法的分配律.2. 多项式这些运算的规律成立的本质是根据什么？22。
《高等代数》第一章 多项式
§1 数域关于数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为数的代数性质.代数所研究的问题主要涉及数的代数性质，这方面的大部分性质是有理数、实数、复数的全体所共有的.定义1 设P 是由一些复数组成的集合，其中包括0与1.如果P 中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是中的数，那么P 就称为一个数域.显然全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都是数域.这三个数域分别用字母Q 、R 、C 来代表.全体整数组成的集合就不是数域.如果数的集合P 中任意两个数作某一种运算的结果都仍在P 中，就说数集P 对这个运算是封闭的.因此数域的定义也可以说成，如果一个包含0，1在内的数集P 对于加法、减法、乘法与除法（除数不为零）是封闭的，那么P 就称为一个数域.例1 所有具有形式2b a +的数（其中b a ,是任何有理数），构成一个数域.通常用)2(Q 来表示这个数域.例2 所有可以表成形式m m nn b b b a a a ππππ++++++ 1010 的数组成一数域，其中m n ,为任意非负整数，),,1,0;,,1,0(,m j n i b a j i ==是整数.例 3 所有奇数组成的数集，对于乘法是封闭的，但对于加、减法不是封闭的.性质：所有的数域都包含有理数域作为它的一部分.一、一元多项式定义2 设n 是一非负整数，形式表达式111a x a x a x a n n n n ++++-- ,(1) 其中n a a a ,,,10 全属于数域P ，称为系数在数域P 中的一元多项式，或者简称为数域P 上的一元多项式.在多项式（1）以后用 ),(),(x g x f 或 ,,g f 等来表示多项式.注意：这里定义的多项式是符号或文字的形式表达式.定义3 如果在多项式)(x f 与)(x g 中，除去系数为零的项外，同次项的系数全相等)()(x g x f =.系数全为零的多项式称为零多项式，记为0.在（1）中，如果0≠n a n a 称为首项系数，n 称为多项式（1）的次数.零多项式是唯一不定义次数的多项式.多项式)(x f二、多项式的运算设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=--0111)(b x b x b x b x g m m m m ++++=--是数域P 上两个多项式，那么可以写成∑==ni i i x a x f 0)(∑==mj j j x b x g 0)(在表示多项式)(x f 与)(x g 的和时，如m n ≥，为了方便起见，在)(x g 中令011====+-m n n b b b ，那么)(x f 与)(x g 的和为∑=---+=++++++++=+n i i i i n n n n n n xb a b a x b a x b a x b a x g x f 00011111)()()()()()()(而)(x f 与)(x g 的乘积为其中s 次项的系数是∑=+--=++++s j i j i s s s sb a b a b a b a b a 011110所以)(x f )(x g 可表成显然，数域P 上的两个多项式经过加、减、乘运算后，所得结果仍然是数域P 上的多项式.对于多项式的加减法，不难看出对于多项式的乘法，可以证明，若0)(,0)(≠≠x g x f ，则0)()(≠x g x f ，并且由以上证明看出，多项式乘积的首项系数就等于因子首项系数的乘积.显然上面的结果都可以推广到多个多项式的情形.多项式的运算满足以下的一些规律：1. 加法交换律：)()()()(x f x g x g x f +=+.2. 加法结合律：))()(()()())()((x h x g x f x h x g x f ++=++3. 乘法交换律：. )()()()(x f x g x g x f =4. 乘法结合律：))()()(()())()((x h x g x f x h x g x f =5. 乘法对加法的分配律：)()()()())()()((x h x f x g x f x h x g x f +=+6. 乘法消去律：若)()()()(x h x f x g x f =且0)(≠x f ，则)()(x h x g =.定义4 所有系数在数域P 中的一元多项式的全体，称为数域P 上的一元多项式环，记为][x P ，P 称为][x P 的系数域.§3 整除的概念在一元多项式环中，可以作加、减、乘三种运算，但是乘法的逆运算—除法—并不是普遍可以做的.因之整除就成了两个多项式之间的一种特殊的关系.一、整除的概念带余除法 对于][x P 中任意两个多项式)(x f 与)(x g ，其中0)(≠x g ，一定有][x P 中的多项式)(),(x r x q 存在，使(1))(),(x r x q 是唯一决定的.带余除法中所得的)(x q 通常称为)(x g 除)(x f 的商，)(x r 称为)(x g 除)(x f 的余式.定义5 数域P 上的多项式)(x g 称为整除)(x f ，如果有数域P 上的多项式)(x h 使等式成立.用表示)(x g 整除)(x f ，用“)(|)(x f x g /”表示)(x g 不能整除)(x f .当)(|)(x f x g 时，)(x g 就称为)(x f 的因式，)(x f 称为)(x g 的倍式.当0)(≠x g 时，带余除法给出了整除性的一个判别条件.定理1 对于数域P 上的任意两个多项式)(x f ，)(x g ，其中0)(≠x g ，)(|)(x f x g 的充要条件是)(x g 除)(x f 的余式为零.带余除法中)(x g 必须不为零.但)(|)(x f x g 中，)(x g 可以为零.这时0)(0)()()(=⋅=⋅=x h x h x g x f .当)(|)(x f x g 时，如0)(≠x g ，)(x g 除)(x f 的商)(x q 有时也用)()(x g x f 来表示.二、整除的性质1. 任一多项式)(x f 一定整除它自身.2. 任一多项式)(x f 都能整除零多项式.3. 零次多项式，即非零常数，能整除任一个多项式.4. 若)(|)(),(|)(x f x g x g x f ，则)()(x cg x f =,其中c 为非零常数.5. 若)(|)(),(|)(x h x g x g x f ，则)(|)(x h x f （整除的传递性）.6. 若r i x g x f i ,,2,1),(|)( =，则))()()()()()((|)(2211x g x u x g x u x g x u x f r r +++ ,其中)(x u i 是数域P 上任意的多项式.通常，)()()()()()(2211x g x u x g x u x g x u r r +++ 称为)(,),(),(21x g x g x g r 的最后，两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大而改变.即若)(x f ，)(x g 是][x P 中两个多项式，P 是包含P 的一个较大的数域.当然，)(x f ，)(x g 也可以看成是][x P 中的多项式.从带余除法可以看出，不论把)(x f ，)(x g 看成是][x P 中或者是][x P 中的多项式，用)(x g 去除)(x f 所得的商式及余式都是一样的.因此，若在][x P 中)(x g 不能整除)(x f ，则在][x P 中，)(x g 也不能整除)(x f .例1 证明若)()(|)(),()(|)(2121x f x f x g x f x f x g -+，则)(|)(),(|)(21x f x g x f x g例2 求l k ,，使1|32++++kx x l x x .例3 若)(|)(),(|)(x h x g x f x g /，则)()(|)(x h x f x g +/.§4 多项式的最大公因式一 、多项式的最大公因式如果多项式)(x ϕ既是)(x f 的因式，又是)(x g 的因式，那么)(x ϕ就称为)(x f 与)(x g 的一个公因式.定义 6 设)(x f 与)(x g 是][x P 中两个多项式. ][x P 中多项式)(x d 称为)(x f ，)(x g 的一个公因式,如果它满足下面两个条件：1）)(x d 是)(x f 与)(x g 的公因式；2）)(x f ，)(x g 的公因式全是)(x d 的因式.例如，对于任意多项式)(x f ，)(x f 就是)(x f 与0的一个最大公因式.特别地，根据定义，两个零多项式的最大公因式就是0.引理 如果有等式)()()()(x r x g x q x f += (1)成立，那么)(x f ，)(x g 和)(x g ，)(x r 有相同的公因式.定理2 对于][x P 的任意两个多项式)(x f ，)(x g ，在][x P 中存在一个最大公因式)(x d ，且)(x d 可以表成)(x f ，)(x g 的一个组合，即有][x P 中多项式)(),(x v x u 使由最大公因式的定义不难看出，如果)(),(21x d x d 是)(x f ，)(x g 的两个最大公因式，那么一定有)(|)(21x d x d 与)(|)(12x d x d ，也就是说0),()(21≠=c x cd x d .这就是说，两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是唯一确定的.两个不全为零的多项式的最大公因式总是一个非零多项式.在这个情形，我们约定，用来表示首项系数是1的那个最大公因式.定理证明中用来求最大公因式的方法通常称为辗转相除法(division algorithm).例 设343)(234---+=x x x x x f32103)(23-++=x x x x g求（)(x f ，)(x g ），并求)(),(x v x u 使)()()()()(x g x v x f x u x d +=.注：定理2的逆不成立.例如令1)(,)(+==x x g x x f ,则122)1)(1()2(2-+=-+++x x x x x x .但1222-+x x 显然不是)(x f 与)(x g 的最大公因式.但是当(2)式成立，而)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个公因式，则)(x d 一定是)(x f 与)(x g 的一个最大公因式.二、多项式互素定义7 ][x P 中两个多项式)(x f ，)(x g 称为互素（也称为互质）的，如果显然,两个多项式互素,那么它们除去零次多项式外没有其他的公因式，反之亦然.定理3 ][x P 中两个多项式)(x f ，)(x g 互素的充要条件是有][x P 中多项式)(),(x v x u 使推论2 如果1))(),((1=x g x f ,1))(),((2=x g x f ,那么1))(),()((21=x g x f x f 推广：对于任意多个多项式)2)((,),(),(21≥s x f x f x f s ，)(x d 称为)2)((,),(),(21≥s x f x f x f s 的一个最大公因式，如果)(x d 具有下面的性质：1）s i x f x d i ,,2,1),(|)( =;2）如果s i x f x i ,,2,1),(|)( =ϕ，那么)(|)(x d x ϕ.我们仍用))(,),(),((21x f x f x f s 符号来表示首项系数为1的最大公因式.不难证明)(,),(),(21x f x f x f s 的最大公因式存在，而且当)(,),(),(21x f x f x f s 全不为零时，))()),(,),(),(((121x f x f x f x f s s -就是)(,),(),(21x f x f x f s 的最大公因式，即))(,),(),((21x f x f x f s =))()),(,),(),(((121x f x f x f x f s s -同样，利用以上这个关系可以证明，存在多项式s i x u i ,,2,1),( =,使))(,),(),(()()()()()()(212211x f x f x f x f x u x f x u x f x u s s s =+++如果1))(,),(),((21=x f x f x f s ，那么)(,),(),(21x f x f x f s 就称为互素的.同样有类似定理3的结论.注意 1)当一个多项式整除两个多项式之积时,若没有互素的条件,这个多项式一般不能整除积的因式之一.例如222)1()1(|1-+-x x x ,但22)1(|1+/-x x ,且22)1(|1-/-x x .2) 推论1中没有互素的条件,则不成立.如1)(2-=x x g ,1)(1+=x x f , )1)(1()(2-+=x x x f ,则)(|)(),(|)(21x g x f x g x f ,但)(|)()(21x g x f x f .注意:s )2(≥s 个多项式)(,),(),(21x f x f x f s 互素时,它们并不一定两两互素.例如,多项式34)(,65)(,23)(232221+-=+-=+-=x x x f x x x f x x x f是互素的,但2))(),((21-=x x f x f . 令P 是含P 的一个数域, )(x d 是][x P 的多项式)(x f 与)(x g 在][x P 中的首项系数为1的最大公因式,而)(x d 是)(x f 与)(x g 在][X P 中首项系数为1的最大公因式,那么)()(x d x d =.即从数域P 过渡到数域P 时, )(x f 与)(x g 的最大公因式本质上没有改变. 互素多项式的性质可以推广到多个多项式的情形：1)若多项式),()()(|)(21x f x f x f x h s )(x h 与)(,),(),(,),(111x f x f x f x f s i i +- 互素，则)1)((|)(s i x f x h i ≤≤.2) 若多项式)(,),(),(21x f x f x f s 都整除)(x h ，且)(,),(),(21x f x f x f s 两两互素，则)(|)()()(21x h x f x f x f s .3) 若多项式)(,),(),(21x f x f x f s 都与)(x h 互素，则1))(),()()((21=x h x f x f x f s .§5 因式分解定理一、不可约多项式Con i x i x x x R on x x x Q on x x x )2)(2)(2)(2()2)(2)(2()2)(2(42224+-+-=++-=+-=-. 定义8 数域P 上次数1≥的多项式)(x p 称为域P 上的不可约多项式(irreducible polynomical)，如果它不能表成数域P 上的两个次数比)(x p 的次数低的多项式的乘积.根据定义，一次多项式总是不可约多项式.一个多项式是否可约是依赖于系数域的.显然，不可约多项式)(x p 的因式只有非零常数与它自身的非零常数倍)0)((≠c x cp 这两种，此外就没有了.反过来，具有这个性质的次数1≥的多项式一定是不可约的.推广：如果不可约多项式)(x p 整除一些多项式)(,),(),(21x f x f x f s 的乘积)()()(21x f x f x f s ，那么)(x p 一定整除这些多项式之中的一个.二、因式分解定理因式分解及唯一性定理 数域P 上次数1≥的多项式)(x f 都可以唯一地分解成数域P 上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，如果有两个分解式)()()()()()()(2121x q x q x q x p x p x p x f t s ==,那么必有t s =，并且适当排列因式的次序后有s i x q c x p i i i ,,2,1,)()( ==.其中),,2,1(s i c i =是一些非零常数.应该指出，因式分解定理虽然在理论上有其基本重要性，但是它并没有给出一个具体的分解多项式的方法.实际上，对于一般的情形，普遍可行的分解多项式的方法是不存在的.在多项式)(x f 的分解式中，可以把每一个不可约因式的首项系数提出来，使它们成为首项系数为1的多项式，再把相同的不可约因式合并.于是)(x f 的分解式成为)()()()(2121x p x p x cp x f s r s r r =,其中c 是)(x f 的首项系数，)(,),(),(21x p x p x p s 是不同的首项系数为1的不可约多项式，而s r r r ,,,21 是正整数.这种分解式称为标准分解式.如果已经有了两个多项式的标准分解，就可以直接写出两个多项式的最大公因式.多项式)(x f 与)(x g 的最大公因式)(x d 就是那些同时在)(x f 与)(x g 的标准分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带的方幂的指数等于它在)(x f 与)(x g 中所带的方幂中较小的一个.由以上讨论可以看出，带余除法是一元多项式因式分解理论的基础.若)(x f 与)(x g 的标准分解式中没有共同的不可约多项式，则)(x f 与)(x g 互素.注意：上述求最大公因式的方法不能代替辗转相除法，因为在一般情况下，没有实际分解多项式为不可约多项式的乘积的方法，即使要判断数域P 上一个多项式是否可约一般都是很困难的.例 在有理数域上分解多项式22)(23--+=x x x x f 为不可约多项式的乘积.§6 重因式一、重因式的定义定义9 不可约多项式)(x p 称为多项式)(x f 的k 重因式,如果)(|)(x f x p k ,但)(|)(1x f x p k /+.如果0=k ，那么)(x p 根本不是)(x f 的因式；如果1=k ，那么)(x p 称为)(x f 的单因式；如果1>k ，那么)(x p 称为)(x f 的重因式.注意. k 重因式和重因式是两个不同的概念,不要混淆.显然，如果)(x f 的标准分解式为)()()()(2121x p x p x cp x f s r s r r =,那么)(,),(),(21x p x p x p s 分别是)(x f 的1r 重，2r 重，… ,s r 重因式.指数1=i r 的那些不可约因式是单因式；指数1>i r 的那些不可约因式是重因式.使得)()()(x g x p x f k =,且)(|)(x g x p /.二、重因式的判别设有多项式0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- ,规定它的微商（也称导数或一阶导数）是1211)1()(a x n a nx a x f n n n n ++-+='--- .通过直接验证,可以得出关于多项式微商的基本公式:).()()()()()(()())((),()())()((x g x f x g x f x g x f x f c x cf x g x f x g x f '+'=''=''+'='+）))()(())((1x f x f m x f m m '='-同样可以定义高阶微商的概念.微商)(x f '称为)(x f 的一阶微商；)(x f '的微商)(x f ''称为)(x f 的二阶微商；等等. )(x f 的k 阶微商记为)()(x f k .一个)1(≥n n 次多项式的微商是一个1-n 次多项式；它的n 阶微商是一个常数；它的1+n 阶微商等于0.定理6 如果不可约多项式)(x p 是多项式)(x f 的一个)1(≥k k 重因式,那么)(x p 是微商)(x f '的1-k 重因式.分析: 要证)(x p 是微商)(x f '的1-k 重因式,须证)(|)(1x f x p k '-,但)(|)(x f x p k '/.注意:定理6的逆定理不成立.如333)(23++-=x x x x f , 22)1(3363)(-=+-='x x x x f ,1-x 是)(x f '的2重因式,但根本不是)(x f 是因式.当然更不是三重因式.推论 1 如果不可约多项式)(x p 是多项式)(x f 的一个)1(≥k k 重因式,那么)(x p 是)(x f ，)(x f ',…,)()1(x f k -的因式,但不是)()(x f k 的因式.)(x f 与)(x f '的公因式.推论3 多项式)(x f 没有重因式1))(),((='⇔x f x f这个推论表明，判别一个多项式有无重因式可以通过代数运算——辗转相除法来解决，这个方法甚至是机械的.由于多项式的导数以及两个多项式互素与否的事实在由数域P 过渡到含P 的数域P 时都无改变,所以由定理6有以下结论:若多项式)(x f 在][x P 中没有重因式,那么把)(x f 看成含P 的某一数域P 上的多项式时, )(x f 也没有重因式.例1 判断多项式2795)(234+-+-=x x x x x f有无重因式三、去掉重因式的方法设)(x f 有重因式,其标准分解式为s r s r r x p x p x cp x f )()()()(2121 =.那么由定理5),()()()()(1121121x g x p x p x p x f s r s r r ---='此处)(x g 不能被任何),,2,1)((s i x p i =整除.于是11211)()()()())(),((21---=='s r s r r x p x p x p x d x f x f用)(x d 去除)(x f 所得的商为)()()()(21x p x p x cp x h s =这样得到一个没有重因式的多项式)(x h .且若不计重数, )(x h 与)(x f 含有完全相同的不可约因式.把由)(x f 找)(x h 的方法叫做去掉重因式方法.例2 求多项式16566520104)(23456++++--=x x x x x x x f的标准分解式.§7 多项式函数到目前为止，我们始终是纯形式地讨论多项式，也就是把多项式看作形式表达式.在这一节，将从另一个观点，即函数的观点来考察多项式.一、多项式函数设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- (1)是][x P 中的多项式，α是P 中的数，在(1)中用α代x 所得的数0111a a a a n n n n ++++--ααα称为)(x f 当α=x 时的值,记为)(αf .这样，多项式)(x f 就定义了一个数域上的函数.可以由一个多项式来定义的函数就称为数域上的多项式函数.因为x 在与数域P 中的数进行运算时适合与数的运算相同的运算规律，所以不难看出，如果,)()()(,)()()(21x g x f x h x g x f x h =+=那么.)()()(,)()()(21ααααααg f h g f h =+=定理7(余数定理)用一次多项式去除多项式)(x f ，所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值)(αf .如果)(x f 在α=x 时函数值0)(=αf ，那么α就称为)(x f 的一个根或零点. 由余数定理得到根与一次因式的关系.推论 α是)(x f 的根的充要条件是)(|)(x f x α-.由这个关系，可以定义重根的概念. α称为)(x f 的k 重根，如果)(α-x 是)(x f 的k 重因式.当1=k 时，α称为单根；当1>k 时，α称为重根.定理8 ][x P 中n 次多项式)0(≥n 在数域P 中的根不可能多于n 个，重根按重数计算.二、多项式相等与多项式函数相等的关系在上面看到，每个多项式函数都可以由一个多项式来定义.不同的多项式会不会定义出相同的函数呢？这就是问，是否可能有)()(x g x f ≠,而对于P 中所有的数α都有)()(ααg f =?由定理8不难对这个问题给出一个否定的回答.定理9 如果多项式)(x f ,)(x g 的次数都不超过n ,而它们对n+1个不同的数有相同的值即)()(i i g f αα=,1,,2,1+=n i ,那么)(x f =)(x g .因为数域中有无穷多个数，所以定理9说明了，不同的多项式定义的函数也不相同.如果两个多项式定义相同的函数，就称为恒等，上面结论表明，多项式的恒等与多项式相等实际上是一致的.换句话说，数域P 上的多项式既可以作为形式表达式来处理，也可以作为函数来处理.但是应该指出，考虑到今后的应用与推广，多项式看成形式表达式要方便些.三、综合除法根据余数定理,要求)(x f 当c x =时的值,只需用带余除法求出用c x -除)(x f 所得的余式.但是还有一个更简便的方法,叫做综合除法.设n n n n n a x a x a x a x a x f +++++=---122110)(并且设r x q c x x f +-=)()()(. (2)其中.)(12322110-----+++++=n n n n n b x b x b x b x b x q比较等式(2)中两端同次项的系数.得到.,,,,121112201100-----=-=-=-==n n n n n cb r a cb b a cb b a cb b a b a⇒ .,,,,112121210100n n n n n a cb r a cb b a cb b a cb b a b +=+=+=+==---- 这样,欲求系数k b ,只要把前一系数1-k b 乘以c 再加上对应系数k a ,而余式r 也可以按照类似的规律求出.因此按照下表所指出的算法就可以很快地陆续求出商式的系数和余式:rb b b b cb cb cb cb a a a a ac n n n n n |)|12101210121---------------------------------+ 表中的加号通常略去不写.例1 用3+x 除94)(24-++=x x x x f .例2 求k 使355)(234+++-=kx x x x x f 能被3-x 整除注意 :若)(x f 缺少某一项,在作综合除法时该项系数的位置要补上零.四、拉格朗日插值公式已知次数n ≤的多项式)(x f 在)1,,2,1(+==n i c x i 的值)1,,,2,1()(+==n i b c f i i .设∑+=++-----=111111)())(()()(n i n i i i c x c x c x c x k x f依次令c x =代入)(x f ,得)())(()(1111++-----=n i i i i i i i i c c c c c c c c b k ∑+=++-++---------=1111111111)())(()()())(()()(n i n i i i i i i n i i i c c c c c c c c c x c x c x c x b x f 这个公式叫做拉格朗日(Lagrange)插值公式.例3 求次数小于3的多项式)(x f ,使3)2(,3)1(,1)1(==-=f f f .下面介绍将一个多项式表成一次多项式α-x 的方幂和的方法.所谓n 次多项式)(x f 表成α-x 的方幂和，就是把)(x f 表示成0111)()()()(b x b x b x b x f n n n n +-++-+-=--ααα的形式.如何求系数011,,,,b b b b n n -，把上式改写成01211)]()()([)(b x b x b x b x f n n n n +-++-+-=---ααα ,就可看出0b 就是)(x f 被α-x 除所得的余数，而12111)()()(b x b x b x q n n n n ++-+-=--- αα就是)(x f 被α-x 除所得的商式.又因为123121)]()()([)(b x b x b x b x q n n n n +-++-+-=---ααα .又可看出1b 是商式)(1x q 被α-x 除所得的余式，而233122)()()()(b x b x b x b x q n n n n +-++-+-=---ααα .就是)(1x q 被α-x 除所得商式.这样逐次用α-x 除所得的商式，那么所得的余数就是n n b b b b ,,,,110- .例4 将5)2()2(3)2(2)2()(234+-+---+-=x x x x x f 展开成x 的多项式. 解 令2-=x y ，则2+=y x .于是532)2(234++-+=+y y y y y f .问题变为把多项式532234++-+y y y y 表成2+y （即x ）的方幂和,-2 | 1 2 -3 1 5+) -2 0 6 -14--------------------------------------------------------2 | 1 0 -3 7 | -9+) -2 4 -2-------------------------------------------------------2 | 1 -2 1 | 5+) -2 8------------------------------------------------2 | 1 -4 | 9+) -2----------------------------------1 | -6所以9596)(234-++-=x x x x x f .注意：将)(x f 表成α-x 的方幂和，把α写在综合除法的左边，将α-x 的方幂和展开成x 的多项式，那么相当于将)(x f 表成c c x +-)(的方幂和，要把c -写在综合除法的左边.§8 复系数和实系数多项式的因式分解一、 复系数多项式因式分解定理代数基本定理 每个次数1≥的复系数多项式在复数域中有一个根.利用根与一次因式的关系，代数基本定理可以等价地叙述为：每个次数1≥的复系数多项式在复数域上一定有一个一次因式.由此可知，在复数域上所有次数大于1的多项式都是可约的.换句话说，不可约多项式只有一次多项式.于是，因式分解定理在复数域上可以叙述成：复系数多项式因式分解定理 每个次数1≥的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.因此，复系数多项式具有标准分解式s l s l l n x x x a x f )()()()(2121ααα---=其中s ααα,,,21 是不同的复数，s l l l ,,,21 是正整数.标准分解式说明了每个n 次复系数多项式恰有n 个复根（重根按重数计算）.二、实系数多项式因式分解定理对于实系数多项式，以下事实是基本的：如果α是实系数多项式)(x f 的复根，那么α的共轭数α也是)(x f 的根,并且α与α有同一重数.即实系数多项式的非实的复数根两两成对.实系数多项式因式分解定理 每个次数1≥的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与含一对非实共轭复数根的二次因式的乘积.实数域上不可约多项式,除一次多项式外,只有含非实共轭复数根的二次多项式.因此，实系数多项式具有标准分解式r s k r r k l s l l n q x p x q x p x c x c x c x a x f )()()()()()(211221121++++---= 其中r r s q q p p c c ,,,,,,,,111 全是实数，s l l l ,,,21 ,r k k ,,1 是正整数，并且),,2,1(2r i q x p x i i =++是不可约的，也就是适合条件r i q p i i ,,2,1,042 =<-..代数基本定理虽然肯定了n 次方程有n 个复根，但是并没有给出根的一个具体的求法.高次方程求根的问题还远远没有解决.特别是应用方面，方程求根是一个重要的问题，这个问题是相当复杂的，它构成了计算数学的一个分支.三、n 次多项式的根与系数的关系.令.)(11n n n a x a x x f +++=- (1)是一个n (>0)次多项式,那么在复数域C 中)(x f 有n 个根,,,,21n ααα 因而在][x C 中)(x f 完全分解为一次因式的乘积:).())(()(21n x x x x f ααα---=展开这一等式右端的括号,合并同次项,然后比较所得出的系数与(1)式右端的系数,得到根与系数的关系.,)1(),()1(),(),),(21323112111124213213131212211n n n n n n n n n n n n n n a a a a a αααααααααααααααααααααααααααααα-=+++-=+++-=+++=+++-=------（其中第),,2,1(n k k =个等式的右端是一切可能的k 个根的乘积之和,乘以k )1(-.若多项式 n n n a x a x a x f +++=- 110)(的首项系数,10≠a 那么应用根与系数的关系时须先用0a 除所有的系数,这样做多项式的根并无改变.这时根与系数的关系取以下形式:.)1(,),(21013121022101n n n n n n a a a a a a αααααααααααα-=+++=+++-=-利用根与系数的关系容易求出有已知根的多项式.例1 求出有单根5与-2,有二重根3的四次多项式.例2. 分别在复数域和实数域上分解1-n x 为标准分解式.§9 有理系数多项式作为因式分解定理的一个特殊情形，有每个次数≥1的有理系数多项式都能分解成不可约的有理系数多项式的乘积.但是对于任何一个给定的多项式，要具体地作出它的分解式却是一个很复杂的问题，即使要判别一个有理系数多项式是否可约也不是一个容易解决的问题，这一点是有理数域与复数域、实数域不同的.在这一节主要是指出有理系数多项式的两个重要事实：第一，有理系数多项式的因式分解的问题，可以归结为整（数）系数多项式的因式分解问题，并进而解决求有理系数多项式的有理根的问题.第二，在有理系数多项式环中有任意次数的不可约多项式.一、有理系数多项式的有理根设011)(a x a x a x f n n n n +++=--是一个有理系数多项式.选取适当的整数c 乘)(x f ，总可以使)(x cf 是一个整系数多项式.如果)(x cf 的各项系数有公因子，就可以提出来，得到)()(x dg x cf =,也就是)()(x g cd x f = 其中)(x g 是整系数多项式，且各项系数没有异于±1的公因子.如果一个非零的整系数多项式011)(b x b x b x g n n n n +++=-- 的系数01,,,b b b n n -没有异于±1的公因子,也就是说它们是互素的,它就称为一个本原多项式.上面的分析表明，任何一个非零的有理系数多项式)(x f 都可以表示成一个有理数r 与一个本原多项式)(x g 的乘积，即)()(x rg x f =.可以证明，这种表示法除了差一个正负号是唯一的.亦即，如果)()()(11x g r x rg x f ==,其中)(),(1x g x g 都是本原多项式，那么必有)()(,11x g x g r r ±=±=因为)(x f 与)(x g 只差一个常数倍，所以)(x f 的因式分解问题，可以归结为本原多项式)(x g 的因式分解问题.下面进一步指出，一个本原多项式能否分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积与它能否分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积的问题是一致的.定理10(Gauss 引理) 两个本原多项式的乘积还是本原多项式.定理11 如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定可以分解两个次数较低的整系数多项式的乘积.以上定理把有理系数多项式在有理数域上是否可约的问题归结到整系数多项式能否分解成次数较低的整系数多项式的乘积的问题.推论 设)(x f ，)(x g 是整系数多项式，且)(x g 是本原多项式，如果)()()(x h x g x f =，其中)(x h 是有理系数多项式，那么)(x h 一定是整系数多项式.这个推论提供了一个求整系数多项式的全部有理根的方法. 定理12 设011)(a x a x a x f n n n n +++=--是一个整系数多项式.而sr是它的一个有理根,其中s r ,互素,那么(1) 0|,|a r a s n ;特别如果)(x f 的首项系数1=n a ，那么)(x f 的有理根都是整根，而且是0a 的因子.(2) ),()()(x q srx x f -= 其中)(x q 是一个整系数多项式.给了一个整系数多项式)(x f ,设它的最高次项系数的因数是k v v v ,,,21 ,常数项的因数是.,,,21l u u u 那么根据定理12,欲求)(x f 的有理根,只需对有限个有理数ji v u 用综合除法来进行试验.当有理数jiv u 的个数很多时,对它们逐个进行试验还是比较麻烦的.下面的讨论能够简化计算.首先,1和-1永远在有理数jiv u 中出现,而计算)1(f 与)1(-f 并不困难.另一方面,若有理数)1(±≠a 是)(x f 的根,那么由定理12,)()()(x q x x f α-=而)(x q 也是一个整系数多项式.因此商)1(1)1(),1(1)1(--=+-=-q af q af 都应该是整数.这样只需对那些使商a f a f +--1)1(1)1(与都是整数的ji v u来进行试验.(我们可以假定)1(f 与)1(-f 都不等于零.否则可以用1-x 或1+x 除)(x f 而考虑所得的商.)例1 求多项式2553)(234-+++=x x x x x f的有理根.例2 证明15)(3+-=x x x f在有理数域上不可约.二、有理数域上多项式的可约性定理13 (艾森斯坦(Eisenstein)判别法) 设011)(a x a x a x f n n n n +++=--是一个整系数多项式.若有一个素数p ,使得1. n a p |/;2. 021,,,|a a a p n n --;3. 02|a p /.则多项式)(x f 在有理数域上不可约.由艾森斯坦判断法得到:有理数域上存在任意次的不可约多项式.例如2)(+=n x x f .,其中n 是任意正整数.艾森斯坦判别法的条件只是一个充分条件.有时对于某一个多项式)(x f ,艾森斯坦判断法不能直接应用,但把)(x f 适当变形后,就可以应用这个判断法.例3 设p 是一个素数,多项式1)(21++++=--x x x x f p p叫做一个分圆多项式,证明)(x f 在][x Q 中不可约.证明：令1+=y x ，则由于1)()1(-=-p x x f x ,yCyC y y y yf p pp ppp 1111)1()1(--+++=-+=+ ,令)1()(+=y f y g ，于是1211)(---+++=p p p p p C yC y y g ,由艾森斯坦判断法，)(y g 在有理数域上不可约，)(x f 也在有理数域上不可约.第一章 多项式(小结)一元多项式理论,主要讨论了三个问题:整除性理论(整除,最大公因式,互素);因式分解理论(不可约多项式,典型分解式,重因式);根的理论(多项式函数,根的个数).其中整除性是基础,因式分解是核心.一、基本概念.1.一元多项式(零多项式),多项式的次数.多项式的相等,多项式的运算,一元多项式环.2．基本结论:(1) 多项式的加法,减法和乘法满足一些运算规律.(3) 多项式乘积的常数项(最高次项系数)等于因子的常数项(最高次项系数)的乘积.二、整除性理论1.整除的概念及其基本性质.2.带余除法. (1) 带余除法定理.(2) 设1)()()()(|)(,0)(][)(),(=⇔≠∈x r x f x g x f x g x g x F x g x f 的余式除，. 因此多项式的整除性不因数域的扩大而改变.3. 最大公因式和互素. (1) 最大公因式,互素的概念.(2) 最大公因式的存在性和求法------辗转相除法.(3) 设)(x d 是)(x f 与)(x g 的最大公因式,反之不然.三、 因式分解理论 1.不可约多项式(1) 不可约多项式的概念.(2) 不可约多项式p(x)有下列性质:(4) 艾森斯坦判断法. 2.因式分解的有关结果: (1) 因式分解及唯一性定理.(2) 次数大于零的复系数多项式都可以分解成一次因式的乘积.(3) 次数大于零的实系数多项式都可以分解成一次因式和二次不可约因式的乘积.3.重因式(1) 重因式的概念.(2) 若不可约多项式)(x p 是)(x f 的k 重因式)1(≥k ,则)(x p 是)(x f 的1-k 重因式.(4) 消去重因式的方法:))(),(()(x f x f x f '是一个没有重因式的多项式,它与)(x f 具有完全相同的不可约因式.四、多项式根的理论1.多项式函数,根和重根的概念.2.余数定理.c x -去除)(x f 所得的余式为)(x f ,则.0)()(|=⇔-c f x f c x3.有理系数多项式的有理根的求法.4.实系数多项式虚根成对定理.5.代数基本定理.每个)1(≥n n 次复系数多项式在复数域中至少有一个根.因而n 次复系数多项式恰有n 个复根(重根按重数计算).6.韦达定理.。
6.7 复数域和实数域上的多项式讲解
mr
其中， a0 为 f x 的首项系数，且 m1 m2 mr 0 f x
3
高等代数与解析几何
6.7 复数域和实数域上的多项式
6.7.2 实数域上的多项式
定理 6.23 设 f x 为实系数多项式， 为 f x 的虚根，则 也是 f x 的根，且 与 的重数相同.
4
高等代数与解析几何
6.7 复数域和实数域上的多项式
从而， x - , x - 都是 f x 的因式.
令 g( x) x x x2 x R x 因 g ( x) f ( x) (?) ，则可令 f ( x) g ( x)h( x), h( x) R x .
5
高等代数与解析几何
6.7 复数域和实数域上的多项式
证 因 p x 不可约，则 0 ( p x )> 0 ，故 p x 在 C 内必有一个根
.若 为实数，则因 x - p x ，令 p x x q x ，但 p x 不可
约，则 q x c c 0 ，可见， p x c x ；若 为虚数，则 也 是 p x 的根， 从而 g x x x x 2 x 为 p x 的因 式，但 p x 不可约，则 p x b[ x 2 x ] (b 0) ，即 p x 是 含共轭虚根的二次多项式.
证 1 n 0 时， f x 有零个根，结论成立；
2 设 n 0 ，且当 n 1 时结论成立，而由定理 6.21 知： f x
必有一个根 .于是， x - f ( x ) .设
数域在多项式整除和求根中的应用
在 高等 代数 中 ， 域 是 一 个 很重 要 的概 念 ， 常 数 经
ｃｉ ｄ 一 ０ ， ＋
由于不 注意 这个 概念 ， 出现 错 误 ， 面 我 们 选取 适 从 而 而 下
当的数域 来 研究 多项 式 的整 除 与根 的关 系 ． 记数 域 ：
Ｃ — ｄ 一 ０ ．
Ｑ √ 一 ｛ ｚ— ａ ； ， ∈ Ｑ） ［ ｚＩ ＋６ ｎ ｂ ．
并 将方程 厂（ ）一 ０的根 简 称为 ，（ ）的根 ．
例 １ 设
则
ｆ（ ａ＋ ）一 ｇ（ｃ （ ＋ １ ． ｓ ） ）
将 ｚ＝一 ｉ 入得 带
ｆ（ — ｉ ＝０ ａ— ｈ）： ． ＝
， ）∈ ＲＥ ｌ ａ ｂ∈ Ｒ， ０ （ ＝ ，， ６ ．
ｉ ｚ 已知 ａ＋ ｂ 是 厂（ ｉ ）的根 ， ａ— ｂ 也是 厂 ｚ 证 ｉ （ ）的根． 即 ａ— ｂ 是 ，（ ）的根 ． 对 于 实系 数 多 项 式 厂 ） 据 文献 Ｅ ３ 若 已知 复 （ ， １， 证 明 因 为
Ｅ３ ３ 李天胜． 经济数学基础 ： 微积 分Ｅ ． Ｍ３ 成都 ： 电子科 技大学
出版 社 ，０ ２ ２０．
Ｅ］ ４ 王建锋． 求 ＋ ＋ ＝ ， 的特解 的一种方法［］ 数 （） Ｊ．
学 理 论 与 应 用 ，０ ３ ２ （） ２ ０ ，３ ２ ．
８ ４
高 等数 学 研 究
Ｖｏ ． ３． ． １ １ Ｎ０ １
Ｊ ｎ ，２ １ ａ． ００
Ｓ ＴＵＤＩ Ｎ ０ＬＬ ＥＳ Ｉ Ｃ ＥＧＥ Ｍ ＡＴＨ ＥＭ ＡＴＩ ＣＳ
高 等 数 学 研 究
８３
数 域 在 多项 式 整 除和 求 根 中 的应 用
有理数域上不可约多项式
有理数域上不可约多项式
有理数域上的不可约多项式是指在有理数范围内不能被分解为两个次数较低的多项式乘积的多项式。
在代数和数学的其他领域中，这些多项式具有非常重要的性质和应用。
首先，我们需要明确什么是有理数域。
有理数域是由所有有理数（即可以表示为两个整数之比的数）构成的数域。
有理数包括所有的整数、分数以及有限小数和无限循环小数。
有理数域在数学中占有重要地位，因为它是实数域的一个子域，并且许多数学定理和结论都是在有理数域上得出的。
接下来，我们讨论有理数域上的不可约多项式。
一个多项式如果在有理数域上不能被分解为两个次数较低的多项式的乘积，则称该多项式为有理数域上的不可约多项式。
例如，多项式 x
2
−2 在有理数域上就是不可约的，因为它不能表示为两个一次多项式的乘积。
不可约多项式在代数中具有重要地位。
它们是多项式环中的“原子”，类似于整数环中的质数。
正如质数在整数分解中起到基本构建块的作用一样，不可约多项式在多项式分解中也扮演着类似的角色。
许多代数定理和结论都是基于不可约多项式的性质和存在性得出的。
此外，不可约多项式还与代数方程的解密切相关。
例如，一个代数方程在有理数域上是否有解，往往取决于其对应的多项式是否可以在有理数域上分解为线性因子的乘积。
如果多项式是不可约的，并且次数大于1，那么该方程在有理数域上就没有解。
总之，有理数域上的不可约多项式是代数和数学中的一个重要概念。
它们在多项式分解、代数方程的解以及更高级的代数理论中都具有广泛的应用和深刻的内涵。
有理数域上整系数奇次多项式不可约的一个判别法
有理数域上整系数奇次多项式不可约的一个判别法
黄宗文
【期刊名称】《广西教育学院学报》
【年(卷),期】2002(000)004
【摘要】某些特殊多项式的可约性,如果按常规方法去判别,可能出现判别失效的情形,针对这一情况给出一个有理数域上奇次多项式不可约的判别法,并以例子说明它的用法.
【总页数】3页(P77-79)
【作者】黄宗文
【作者单位】玉林师范学院,数学与计算机系,广西,玉林,537000
【正文语种】中文
【中图分类】O151.2
【相关文献】
1.整系数多项式在有理数域内不可约的一种新判别方法 [J], 张洪刚;张力宏
2.整系数多项式在有理数域上不可约判别法 [J], 巩娟
3.整系数多项式在有理数域上不可约判别法 [J], 鲁翠仙
4.整系数多项式在有理数域上不可约的几个判定定理 [J], 黄瑞芳
5.整系数多项式在有理数域上不可约的判定方法 [J], 王守峰
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齐次多项式
定理
定理
若以标准形式给出的多项式的所有项有相同的次数n，即 则称为n次齐次多项式或n次型。每一个单项式也被认为是齐次多项式。每一个不等于零的数可以看作是零次 齐次式。
性质
性质
齐次多项式有下列性质： 设p(x，y，…，z)为n次型，则 其中，t是不等于零的常数。齐次多项式的积也是齐次多项式。
推广
推广
齐次多项式有时也称作代数形式或形式。二次齐次多项式是二次型，在特征不等于二的域（如实数或复数域） 上可以用对称矩阵表示。代数形式的理论很广，并在数学及物理中有大量应用。
各项次数(各未知数的指数之和)都相同的代数多项式。例如x2+xy+y2，就是x、y的一个齐二次多项式。 各项次数相同的多项式。例如，3x+5y，3x2-4xy+y2都是x、y的齐次多项式。前者称一次齐次式或线性型； 后者称二次齐次式或二次型。
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齐次多项式
数学术语
01 定理
03 广
目录
02 性质 04 相关
基本信息
一种特殊的多元多项式.若数域P上的n元多项式各项的次数都等于m，则称该多项式为n元m次齐次多项式，简 称m次齐式，亦称n个变量的m次型。一次型亦称线性型.两个n元齐次多项式的乘积仍是齐次多项式，且次数就等 于这两个齐次多项式次数之和.数域P上任一个n元多项式都可以唯一地表示为P上齐次多项式之和。
分解定理
F[x]中任一个次数不小于 1的多项式都可以分解为F上的不可约多项式的乘积，而且除去因式的次序以及常 数因子外，分解的方法是惟一的。
当F是复数域C时，根据代数基本定理，可证C[x]中不可约多项式都是一次的。因此，每个复系数多项式都 可分解成一次因式的连乘积。
当F是实数域R时，由于实系数多项式的虚根是成对出现的，即虚根的共轭数仍是根，因此R[x]中不可约多 项式是一次的或二次的。所以每个实系数多项式都可以分解成一些一次和二次的不可约多项式的乘积。实系数二 次多项式αx2+bx+с不可约的充分必要条件是其判别式b2-4αс<0。
八进制本原多项式
八进制本原多项式八进制本原多项式是一个在八进制数域上的不可约多项式。
在数学中，多项式是由一系列项组成的代数表达式，每一项由系数和幂次组成。
而本原多项式是在某个数域上的最高次数项系数为1的不可约多项式。
八进制数是一种数制系统，它是以8为基数的计数系统。
在八进制数中，使用的数字是0到7，而不包括8及以上的数字。
八进制数系统在计算机科学中有广泛的应用，特别是在计算机编程和数字存储方面。
因此，八进制本原多项式在计算机科学中具有重要的意义。
八进制本原多项式可以表示为P(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0，其中n为多项式的次数，a_i为八进制数域上的系数。
在计算机科学中，本原多项式常用于生成伪随机数序列，其中最常见的应用是在密码学中的伪随机数生成器。
伪随机数序列是一组看似随机但实际上是通过某种算法生成的数字序列。
本原多项式的特殊性质使得通过它生成的伪随机数序列具有良好的统计特性和随机性。
本原多项式还可以用于构造有限域。
有限域是一个由有限个元素组成的数学结构，其中包含加法和乘法运算。
有限域在计算机科学和通信领域中有广泛的应用，例如在纠错编码、密码学和数字通信中。
八进制本原多项式的选择是基于数学上的严格性和计算机实现的效率。
为了选择一个合适的八进制本原多项式，需要考虑多项式的次数、系数的选择和多项式的不可约性。
同时，还需要考虑多项式的性质，如周期性和统计特性。
在实际应用中，八进制本原多项式的选择是一个非常重要且复杂的问题。
需要综合考虑多个因素，如安全性、效率和可实现性。
同时，还需要进行大量的数学计算和分析来验证所选择的多项式是否符合要求。
八进制本原多项式是在八进制数域上的不可约多项式。
它在计算机科学中具有重要的应用，特别是在生成伪随机数序列和构造有限域方面。
选择合适的八进制本原多项式是一个复杂的问题，需要综合考虑多个因素。
通过研究和分析，我们可以得到满足要求的八进制本原多项式，从而在实际应用中发挥其重要作用。
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1.7特殊数域上的多项式
1.分别在R 上与C 上分解因式: (1)4
5x -; (2)3
2
423x x x +--
在R 上: 42225((x x x x x x -=+=++
在C 上:425(()()(x x x x x x x x -=++=++
(2) 在R 上与在C 上都有:3
2
4231()(x x x x x x +--=-+
+ 2.已知多项式329609232()f x x x x =---有一个二重根,求()f x 的所有根.
2271209294632()()()f x x x x x '=--=-+,易知32x +是()f x 的因式,所以是
()f x 的二重因式.,所以2328()()()f x x x =+-
3.求下列多项式的有理根. (1)32
61514x x x -+-; (2) 32
4761x x x ---
(3) 5432
614113x x x x x +----
3
2
2
61514247()()x x x x x x -+-=--+,有理根为2 (2) 3
2
2
47614121()()x x x x x x ---=+--,有理根为14
-
; (3) 5
4
3
2
4
61411313()()x x x x x x x +----=+-;有理根为四重根1-,单根3; (4) 4
3243211
65421210822
()x x x x x x x x +
-++=+-++ 3121682()()x x x =
+-+,有理根为12
- 5.判断下列多项式在有理数域是否可约. (1)4
3
2
8122x x x +++;
(2)4
1x + (3)6
3
1x x ++
(4)1p x px ++,p 为奇质数.
(1)对于4
3
2
8122x x x +++;取2p =，则2
181222|,|,|,|,|p p p p p 由爱森斯坦
判别法知4
3
2
8122x x x +++在Q 上不可约。
(2)对于41x +，令1x y =+，
443214642x y y y y +=++++，
取2p =则2146422|,|,|,|,|,|p p p p p p 由爱森斯坦判别法知4324642y y y y ++++在Q 上不可约。
所以4
1x +在Q 上也不可约。
(3)对于6
3
1x x ++，令1x y =+，
则63654321615211893x x y y y y y y ++=++++++，取3p = 则216152118933|,|,|,|,|,|,|,|p p p p p p p p
由爱森斯坦判别法知65432615211893y y y y y y ++++++在Q 上不可约。
所以
631x x ++在Q 上也不可约。
(4)对于1p
x px ++,p 为奇质数. 令1x y =-
则11
222211112()()p p p p p p p p p x px y p y y C y
C y C y py p ---++=-+-+=-+--+-
于是1
2
2
2
12|,|,|,,|,|,|,|p p p p p p C p C p C p p p p p p - ，
由爱森斯坦判别法知111()()p
y p y -+-+在Q 上不可约。
所以1p
x px ++在Q 上也不可约。
6.证明下列多项式在Q 上不可约:
(2) 1
21()p p g x x
x x --=++++ ,P 为素数;
(3) 21()p
h x x px p =++-,P 为素数;
由于1
2112!()()()!p
p p p f x x px
p p x p p x p --=++-++-⋅+
于是211|,|,|(),,|!,|!p p p p p p p p p p -
由爱森斯坦判别法知12112()()!p p p x px p p x p p x p --++-++-⋅+ 在Q 上不可约。
所以()f x 在Q 上也不可约。
(2) 令1x y =+,由于11()()p x g x x -=-,111()()p yg y y +=+-
所以121122
1()p p p p p p p g x x x x y C y C y p -----=++++=++++ 于是12221|,|,|,,|,|,|p p p p p p C p C p C p p p p - ,
由爱森斯坦判别法知1
122
p p p p p y
C y
C y p ---++++ 在Q 上不可约。
所以121()p p g x x x x --=++++ 在Q 上也不可约。
(3) 如果2p =,此时223()h x x x =++由于没有实数根,故在R 上不可约,当然在Q 上也不可约;
如果3p =,则335()h x x x =++,令1x y =+,则32366()h x y y y =+++,取素数3,则由爱森斯坦判别法知32366y y y +++在Q 上不可约,所以335()h x x x =++在Q 上也不可约;
当3p >时,令1x y =+,
则1121()()()p h x y p y p =++++-1
1
23p
p p y C y
py p -=++++
由爱森斯坦判别法知1
1
23p
p p y C y
py p -++++ 在Q 上不可约。
所以21()p h x x px p =++-在Q 上也不可约
7.设()f x 是整系数多项式,证明如果01(),()f f 都是奇数,则()f x 不能有整数根.
设1
110()n
n n n f x a x a x
a x a --=++++
依题设有0a 和012n a a a a ++++ 都是奇数,因此()f x 不可能有偶数根. 如果奇数1c +是()f x 的根,这里c 是偶数. 由于 1212()(),,,,k
k k k k a c a u a k n +=+=
1222
133|,|,|,,|,|,|,|p p p p
p p C p C p C p p p p p p -
所以 111111012()()()n n n n n n f c a u a u a u a a a a ---+=++++++++ 其结果是一个偶数加一个奇数,不可能等于零,所以()f x 不能有整数根
8.设1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ 是整系数多项式,若0,n a a 都是奇数,11(),()f f -中至少有一个是奇数,证明()f x 没有有理根.
用反证法,假设()f x 有有理根
b
a
,那么,1()()()f x ax b f x =-,这里()g x 也是整系数多项式1211210()n n n n f x b x b x b x b ----=++++ .
首先假定1()f 是奇数,依题意00()f a =, 所以100()bf bb -=-是奇数,故0,b b 都是奇数;
111()()()f a b f =+是奇数,所以11()f 也必然是奇数,同时由于,a b b +都是奇数,所以a 是
偶数,于是1n n a ab -=是奇数导出1n b -是奇数,这说明1()f x 与()f x 具有相同的特点:
10,n b b -都是奇数,11()f 是奇数,但1()()f x f x ∂<∂;
上面的推导还可以继续下去:于是得到一串次数不断降低的多项式满足
12()()()()k f x f x f x f x ∂>∂>∂>>∂>
但()f x 的次数有限,上述步骤只能进行到一次多项式1()n f x a x b -''=+满足:
,a b ''都是奇数,且a b ''+也是奇数,而这时不可能的,所以()f x 没有有理根
同理可以证明1()f -是奇数的情形.
,并且虚数根成对出现(共轭),去掉这些成对的虚数根后,至少剩下一个不能配对的根,因此这个根就只能是实数,所以奇数次实系数多项式至少有一个实数根.。