特殊数域上的多项式

1.7特殊数域上的多项式

1.分别在R 上与C 上分解因式: (1)4

5x -; (2)3

2

423x x x +--

在R 上: 42225((x x x x x x -=+=++

在C 上:425(()()(x x x x x x x x -=++=++

(2) 在R 上与在C 上都有:3

2

4231()(x x x x x x +--=-+

+ 2.已知多项式329609232()f x x x x =---有一个二重根,求()f x 的所有根.

2271209294632()()()f x x x x x '=--=-+,易知32x +是()f x 的因式,所以是

()f x 的二重因式.,所以2328()()()f x x x =+-

3.求下列多项式的有理根. (1)32

61514x x x -+-; (2) 32

4761x x x ---

(3) 5432

614113x x x x x +----

3

2

2

61514247()()x x x x x x -+-=--+,有理根为2 (2) 3

2

2

47614121()()x x x x x x ---=+--,有理根为14

-

; (3) 5

4

3

2

4

61411313()()x x x x x x x +----=+-;有理根为四重根1-,单根3; (4) 4

3243211

65421210822

()x x x x x x x x +

-++=+-++ 3121682()()x x x =

+-+,有理根为12

- 5.判断下列多项式在有理数域是否可约. (1)4

3

2

8122x x x +++;

(2)4

1x + (3)6

3

1x x ++

(4)1p x px ++,p 为奇质数.

(1)对于4

3

2

8122x x x +++;取2p =，则2

181222|,|,|,|,|p p p p p 由爱森斯坦

判别法知4

3

2

8122x x x +++在Q 上不可约。 (2)对于41x +，令1x y =+，

443214642x y y y y +=++++，

取2p =则2146422|,|,|,|,|,|p p p p p p 由爱森斯坦判别法知4324642y y y y ++++在Q 上不可约。所以4

1x +在Q 上也不可约。 (3)对于6

3

1x x ++，令1x y =+，

则63654321615211893x x y y y y y y ++=++++++，取3p = 则216152118933|,|,|,|,|,|,|,|p p p p p p p p

由爱森斯坦判别法知65432615211893y y y y y y ++++++在Q 上不可约。所以

631x x ++在Q 上也不可约。

(4)对于1p

x px ++,p 为奇质数. 令1x y =-

则11

222211112()()p p p p p p p p p x px y p y y C y

C y C y py p ---++=-+-+=-+--+-

于是1

2

2

2

12|,|,|,,|,|,|,|p p p p p p C p C p C p p p p p p - ，

由爱森斯坦判别法知111()()p

y p y -+-+在Q 上不可约。所以1p

x px ++在Q 上也不可约。

6.证明下列多项式在Q 上不可约:

(2) 1

21()p p g x x

x x --=++++ ,P 为素数;

(3) 21()p

h x x px p =++-,P 为素数;

由于1

2112!()()()!p

p p p f x x px

p p x p p x p --=++-++-⋅+

于是211|,|,|(),,|!,|!p p p p p p p p p p -

由爱森斯坦判别法知12112()()!p p p x px p p x p p x p --++-++-⋅+ 在Q 上不可约。所以()f x 在Q 上也不可约。

(2) 令1x y =+,由于11()()p x g x x -=-,111()()p yg y y +=+-

所以121122

1()p p p p p p p g x x x x y C y C y p -----=++++=++++ 于是12221|,|,|,,|,|,|p p p p p p C p C p C p p p p - ,

由爱森斯坦判别法知1

122

p p p p p y

C y

C y p ---++++ 在Q 上不可约。 所以121()p p g x x x x --=++++ 在Q 上也不可约。

(3) 如果2p =,此时223()h x x x =++由于没有实数根,故在R 上不可约,当然在Q 上也不可约;

如果3p =,则335()h x x x =++,令1x y =+,则32366()h x y y y =+++,取素数3,则由爱森斯坦判别法知32366y y y +++在Q 上不可约,所以335()h x x x =++在Q 上也不可约;

当3p >时,令1x y =+,

则1121()()()p h x y p y p =++++-1

1

23p

p p y C y

py p -=++++

由爱森斯坦判别法知1

1

23p

p p y C y

py p -++++ 在Q 上不可约。

所以21()p h x x px p =++-在Q 上也不可约

7.设()f x 是整系数多项式,证明如果01(),()f f 都是奇数,则()f x 不能有整数根.

设1

110()n

n n n f x a x a x

a x a --=++++

依题设有0a 和012n a a a a ++++ 都是奇数,因此()f x 不可能有偶数根. 如果奇数1c +是()f x 的根,这里c 是偶数. 由于 1212()(),,,,k

k k k k a c a u a k n +=+=

1222

133|,|,|,,|,|,|,|p p p p

p p C p C p C p p p p p p -