3.1直线方向向量与直线向量方程(1)(2)
直线的方向向量与直线的向量方程
§3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程一．知识梳理1．给定一个定点A 和一个向量a ，再任给一个实数，以A 为起点作向量AP →＝ta ，这时点P 的位置被完全确定．当t 在R 上变化时，点P 的轨迹是一条通过点A 且平行于向量a 的一条直线l 0.反之，在直线上任取一点P ，一定存在一个实数t ，使AP →＝ta ，向量方程AP →＝ta 通常称作_____________________ __，也表示为OP →＝OA →＋ta 及OP →＝(1－t )OA →＋tOB →2．设O 是空间任一点，M 是线段AB 的中点，则线段AB 中点的向量表示式是OM →＝ _. 3．设空间直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1，v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔________.4．已知两个非零向量v 1，v 2与平面α共面，一条直线l 的一个方向向量为v ，则l ∥α(或l ⊂α)⇔ __________________________________________________________.5. 已知两个不共线的向量v 1，v 2与α共面，则由两平面平行的判定和性质，得α∥β或α与β重合⇔ ；6.设两条直线所成角为θ(锐角)，则直线方向向量的夹角与θ相等或互补，设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l 1⊥l 2⇔_________，cos θ＝ ；.二．典型例题[例1] （线线平行）在长方体OAEB －O1A1E1B1中，|OA|＝3，|OB|＝4，|OO1|＝2，点P 在棱AA1上，且|AP|＝2|PA1|，点S 在棱BB1上，且|SB1|＝2|BS|，点Q 、R 分别是O1B1、AE 的中点，求证：PQ ∥RS.【例2】（线面平行）如图所示，在正方体ABCD －A1B1C1D1中，M 、N 分别是C1C 、B1C1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD .【例3】（线线成角） 如图所示，已知正四棱锥S —ABCD 侧棱长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成角的大小为______．【例4】（线线垂直问题）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，点D 是AB 的中点．(Ⅰ)求证：AC ⊥BC 1；(Ⅱ)求证：AC 1∥平面CDB 1．§3.2.2平面的法向量与平面的向量表示一．知识梳理1．已知平面α，如果一个向量n的基线与平面α垂直，则向量n叫做_____________________________．。
人教版【高中数学】选修2-1第三章直线的方向向量与直线的向量方程讲义
案例（二）——精析精练课堂合作探究重点难点突破知识点一 空间直线的向量参数方程给定一个定点A 和一个向量a ，再任给一个实数t ，以A 为起点作向量ta AP =①，如 下左图，这时点P 的位置被完全确定，向量方程①通常称作直线l 以t 为参数的参数方程，向量a 称为该直线的方向向量。
如上右图，ta OA AP OA OP +=+=②，若在直线l 上取a AB =，则②式可化为()()OB t OA t OA OB t OA AB t OA OP +-=-+=+=1③，①或②或③都叫做空间直线的向量参数方程。
②和③的推导依据的是向量加法的三角形法则。
知识点二 用向量方法证明平行关系。
（1）设直线1l 和2l 的方向向量分别为1v 和2v ，则由向量共线的条件，得21//l l （或1l 与2l 重合）21//v v ⇔。
（2）已知两个非零向量，1v ，2v 平面α共面，一条直线l 的一个方向向量为v ，则由共面向量定理，可得α//l 或⇔⊂αl 存在两个实数y x ,，使21yv xv v +=。
（3）如果C B A ,,三点不共线，则点M 在平面ABC 内的充分必要条件是：存在一对实数y x ,，使向量表达式AC y AB x AM +=成立。
（4）已知两个不共线的向量21,v v 与平面α共面，则由两平面平行的判定与性质，得βα//或α与β重合β//1v ⇔且β//2v 。
知识点三 用向量运算求证两条直线垂直或求两条直线所成的角（1）两直线垂直的条件如果我们知道两条直线的方向向量，我们就可以利用两个方向向量是否垂直来判定两直线是否垂直，如下左图，设直线1l 、2l 的方向向量分别为1v 、2v ，则有2121v v l l ⊥⇔⊥。
由上述条件，证明空间两条直线21l l ⊥可转化为证明两条直线的方向向量垂直，即证明021=⋅v v 。
（2）两条直线所成的角 设空间两条直线所成的角为θ，当两直线平行时︒=0θ，当两直线垂直时︒=90θ，既 不平行也不垂直的两直线所成的角()︒︒∈90,0θ，所以空间两直线所成的角[]︒︒∈90,0θ。
高二数学 3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程(一)
3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程(一) 1．用向量表示直线或点在直线上的位置(1)在直线l 上给定一个定点A 和它的一个方向向量a ，对于直线l 上的任意一点P ，则有 AP →＝______或OP →＝____________或OP →＝_______________(AB →＝a )，上面三个向量等式都叫做空间直线的________________．向量a 称为该直线的方向向量．(2)线段AB 的中点M 的向量表达式OM →＝____________________.2．用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则由向量共线的条件，得l 1∥l 2或l 1与l 2重合⇔________________.(2)已知两个不共线向量v 1，v 2与平面α共面，一条直线l 的一个方向向量为v ，则由共面向量定理，得l ∥α或l 在α内⇔______________________________________.(3)已知两个不共线向量v 1，v 2与平面α共面，则由两平面平行的判定与性质，得α∥β或α与β重合⇔________________.探究点一 用向量表示直线或点在直线上的位置问题1 在平面中，可以用向量确定平面上一点的位置或点的集合．空间中一点的位置或点的集合怎样确定？问题2 若点A 为定点，向量a 为给定向量，对任给实数t ，有AP →＝ta ，那么点P 的轨迹是什么？问题3 已知两定点A 、B ，点M 满足OM →＝12(OA →＋OB →)，试确定点M 的位置． 例1 已知点A (3,4,5)，B (3,4,0)，BC →＝2OA →(O 为坐标原点)，求点C 的坐标．跟踪1 已知点A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C 为线段AB 上一点且|AC →||AB →|＝13，则点C 的坐标为 ( ) A. ⎝⎛⎭⎫72，－12，52 B. ⎝⎛⎭⎫38，－3，2 C. ⎝⎛⎭⎫103，－1，73 D. ⎝⎛⎭⎫52，－72，32 探究点二 用向量方法证明平行问题问题1 怎样利用向量证明两条直线平行？问题2 怎样利用向量判定一条直线l 和一个平面α平行？问题3 利用向量怎样判定两平面平行？例2 如图,已知正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′,点M ，N 分别是面对角线A ′B 与面对角线A ′C ′的中点．求证：MN ∥侧面AD ′；MN ∥AD ′，并且MN ＝12AD ′.跟踪2 (1)在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝3，|AD |＝4，|AA 1|＝2.点M 在棱BB 1上，且|BM |＝2|MB 1|，点S 在DD 1上，且|SD 1|＝2|SD |，点N ，R 分别为A 1D 1，BC 的中点，求证：MN ∥RS .(2)如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证：AM ∥平面BDE .探究点三 四点共面的证明方法 问题 如何证明四点共面呢？例3 已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外一点O ，有OP →＝25OA →＋15OB →＋25OC →.求证：P 、A 、B 、C 四点共面．跟踪3 如图，已知平行四边形 ABCD ，过平面AC 外一点O 作射线OA ，OB ，OC ，OD ，在四条射线上分别取点E ，F ，G ，H ，并且使OE OA ＝OF OB ＝OG OC ＝OH OD＝k ，求证：E ，F ，G ，H 四点共面．【达标检测】1．若A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为 ( )A ．(1,2,3)B ．(1,3,2)C ．(2,1,3)D ．(3,2,1)2．直线l 的方向向量为a ，平面α内两共点向量OA →，OB →，下列关系中能表示l ∥α的是( )A ．a ＝OA →B ．a ＝kOB →C ．a ＝pOA →＋λOB →D ．以上均不能3．已知向量a ＝(4－2m ，m －1，m －1)，b ＝(4,2－2m,2－2m )，若a ∥b ，则实数m 的值为 ( )A ．1B ．3C ．1或3D ．以上答案都不正确4．已知直线l 1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l 2的一个方向向量为(x ，y,8)，且l 1∥l 2，则x ＝______，y ＝______.5．已知A (4,1,3)，B (2,3,1)，C (3,7，－5)，点P (x ，－1,3)在平面ABC 内，则x ＝______.【课堂小结】1．利用向量可以表示直线或点在直线上的位置．2．线线平行、线面平行、面面平行问题都可以转化两个向量的平行问题．证明依据是空间向量共线、共面定理．3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程(一)一、基础过关1．已知A (3，－2,4)，B (0,5，－1)，若OC →＝23AB →，则C 的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫2，－143，103B.⎝⎛⎭⎫－2，143，－103C.⎝⎛⎭⎫2，－143，－103D.⎝⎛⎭⎫－2，143，1032．已知线段AB 的两端点的坐标为A (9，－3,4)，B (9，2,1)，则线段AB 与哪个坐标平面平行( )A ．xOyB ．xOzC ．yOzD ．xOy 或yOz3．从点A (2，－1,7)沿向量a ＝(8,9，－12)的方向取线段长AB ＝34，则B 点的坐标为 ( )A ．(－9，－7,7)B ．(18,17，－17)C ．(9,7，－7)D ．(－14，－19,31)4．已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1、l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则 ( )A ．x ＝6，y ＝15B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝1525．已知A (1,1，－1)，B (2,3,1)，则直线AB 的模为1的方向向量是________________．6．已知点A (2,3,1)，B (－1,6,4)，点M 满足2AM →＝MB →，则点M 的坐标为__________．7．如图，正四面体A —BCD 中，E 、F 分别是棱BC 、AB 的中点，则EF和平面ACD 的关系是____________．二、能力提升8．已知A 、B 、C 三点不共线，点O 是平面ABC 外一点，则在下列各条件中，能得到点M 与A 、B 、C 一定共面的条件为 ( )A.OM →＝12OA →＋12OB →＋12OC →B.OM →＝13OA →－13OB →＋OC → C.OM →＝OA →＋OB →＋OC → D.OM →＝2OA →－OB →－OC →9.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、P 、Q 分别为棱AB 、CD 、BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则①A 1M ∥D 1P ；②A 1M ∥B 1Q ；③A 1M ∥平面DCC 1D 1；④A 1M ∥平面D 1PQB 1.以上结论中正确的是 ( )A ．①③④B ．①②③④C ．①③D ．③④ 10．证明四点A (3,0,5)，B (2,3,0)，C (0,5,0)，D (1,2,5)共面．11.如图，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD ，E 、F 分别为AB 、SC 的中点．证明：EF ∥平面SAD .12.如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是C 1C 、B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD .三、探究与拓展13.如图所示，在正方体AC1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D 1BQ∥平面P AO?。
课件4：3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程
解 (1)∵a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)， ∴a＝－13b，∴a∥b. ∴l1∥l2.(或 l1 与 l2 重合) (2)∵a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)， ∴a·b＝0. ∴a⊥b.∴l1⊥l2.
课堂例题演练
例1 已知点A(2,4,0)，B(1,3,3)，如图，以A→B 的方向为 正向，在直线AB上建立一条数轴，P，Q为轴上的两 点，且分别满足条件： (1)AP∶PB＝1∶2； (2)AQ∶QB＝－2. 求点P和点Q的坐标.
如果在 l 上取A→B＝a，则②式可化为O→P＝O→A＋tA→B
＝O→A＋t(O→B－O→A)，即O→P＝(1－t)O→A＋tO→B.
③
以上三种形式都叫做空间直线的向量参数方程．
(3)线段 AB 的中点 M 的向量表达式 设 O 是空间任一点，M 是线段 AB 的中点，则O→M＝ __12_(_O→_A__＋__O→_B_)_____.
例2 如图，已知正方体ABCD—A′B′C′D′，点M，N
分 别 是 面 对 角 线 A′B 与 面 对 角 线 A′C′ 的 中 点 . 求 证 ：
MN∥侧面AD′；MN∥AD′，并且MN＝
1 2
AD′.
证明 设A→B＝a，A→D＝b，A→A′＝c， 则A→M＝12(a＋c)，A→N＝c＋21(a＋b)， 因此M→N＝A→N－A→M＝21(b＋c).
＝42＋32－02＝25，
M→N·A→C＝12(b＋c－a)·(c－a) ＝12(b·c＋|c|2－a·b－2a·c＋|a|2)
＝12125＋9－10－0＋16＝445.
cos θ＝|cos〈M→N，A→C〉| ＝||MM→→NN|·|AA→→CC||
45
＝
高中数学直线的方向向量与直线的向量方程知识点解析
知识点二 用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平
面平行
1.设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则由向量共线的条件，得l1∥l2或l1 与l2重合⇔ v1∥v2 . 2.已知两个不共线向量v1，v2与平面α共面，一条直线l的一个方向向量为v， 则由共面向量定理，可得 l∥α或l在α内⇔ 存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2 .
2 题型探究
PART TWO
题型一 空间中点的位置确定
例1 已知点A(2,4,0)，B(1,3,3)，如图，以A→B 的方向为正向，在直线AB上建立 一条数轴，P，Q为轴上的两点，且分别满足条件： (1)AP∶PB＝1∶2；求点P的坐标.
(2)AQ∶QB＝2∶1.求点Q的坐标.
解 因为AQ∶QB＝2∶1， 所以A→Q＝－2Q→B，O→Q－O→A＝－2(O→B－O→Q)， O→Q＝－O→A＋2O→B，
2.求两直线所成的角应注意的问题
在已知的两条直线上(或同方向上)取两条直线的方向向量v1，v2，所以
cos〈v1，v2〉＝
v1·v2 |v1||v2|
.但要注意，两直线的夹角与〈v1，v2〉并不完全相同，
当〈v1，v2〉为钝角时，应取其 补角 作为两直线的夹角.
思考辨析 判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
|AB|
点 C 的坐标为
A.72，－21，52
B.83，－3，2
√C.130，－1，73
D.52，－27，32
解析 设C(x，y，z)， →
课件8：3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程
(1)∵A→E＝F→C1,∴AE∥FC1.又 FC1⊄平面 ADE，AE⊂平面 ADE, ∴FC1∥平面 ADE. (2)∵F→B1＝(2,2,1)，D→E＝(2,2,1), ∴F→B1＝D→E，∴FB1∥DE. 又 FB1⊄平面 ADE，DE⊂平面 ADE，∴FB1∥平面 ADE， 又由(1)知 FC1∥平面 ADE，而 FB1∩FC1＝F, ∴平面 ADE∥平面 B1C1F.
法二:R→S＝R→C＋C→S＝12D→C－D→A＋12D→D1, P→Q＝P→A1＋A→1Q＝12D→D1＋12D→C－D→A, ∴R→S＝P→Q,∴R→S∥P→Q,∴RS∥PQ.
题型三 用向量法证明两直线垂直或求两直线所成的角 例 3 如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分 别是 D1D、BD 的中点,G 在棱 CD 上,且 CG＝14CD.应用空间 向量方法解决下列问题. (1)求证:EF⊥B1C； (2)求 EF 与 C1G 所成角的余弦值.
解：如图,建立空间直角坐标系 Dxyz. 由已知有 E(0,0,12)，F(12,12,0),C(0,1,0)，C1(0,1,1)， B1(1,1,1)，G(0,34,0).
(1)证明：E→F＝(12,12,0)－(0,0,12)＝(12,12,－12)， B→1C＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1,0,－1)， E→F·B→1C＝12×(－1)＋12×0＋(－12)×(－1)＝0， 得E→F⊥B→1C，∴EF⊥B1C.
A.(1,2,3)
B.(1,3,2)
C.(2,1,3)
D.(3,2,1)
【答案】A
2.用向量方法证明线线平行、线面平行、面面平行
(1)设空间直线l1与l2的方向向量分别为v1，v2,则l1∥l2(或l1 与l2重合)⇔__v_1_∥__v_2 ___. (2)已知两个非零向量v1，v2与平面α共面,一条直线l的一个 方 向 向 量 为 v ， 则 l∥α( 或 l ⊂ α) ⇔ 存 在 两 个 实 数 x ， y ， 使 _v_＝__x_v_1_＋__y_v_2 .
原创1：3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程
B．2
1
C.2
D．3
【解析】
∵l1⊥l2，
∴a·b＝0，
即－2＋6－2m＝0，
解得 m＝2，故选 B.
)
再见
当堂达标
1．若 A(2,3,4)，B(5,6,7)在直线 l 上，则直线 l 的一个方
向向量为(
)
A．(1,1,1)
B．(1,3,2)
C．(2,1,3)
D．(3,2,1)
【解析】
由方向向量的定义易知选 A.
2．设 l1 的方向向量为 a＝(1,2，－2)，l2 的方向向量为 b
＝(－2,3，m)，若 l1⊥l2，则 m 等于(
首先必须把点、直线、平面的位置用向量表示出来.
知识点一：点的位置向量
如何确定一个点在空间的位置?
P
在空间中，取一定点O作为基点，
那么空间中任意一点P的位置就可以用
向量OP来表示.
把向量OP称为点P的位置向量.
O
知识点二：直线的方向向量
在空间中给一个定点A和一个定方向(向量),
P
能确定一条直线在空间的位置吗?
∴〈 ，
−1
1
＝－ ，
2× 2
2
2
〉＝ .
3
∴异面直线BM与AC所成的角为 .
3
归纳小结
向量法解决几何问题的步骤
(1)建立空间图形与空间向量的关系，把几何问题转化为向量问题．
(2)进行向量的加减、数乘、数量积运算，得出向量运算的结果．
(3)把向量运算的结果转化为相应的几何问题的结果．
2
2
因为a，b，c不共线，
所以由对应系数相等可得，x=1，y=1
所以1 ＝ ＋1 ，即1 、 、 1 是共面向量．
直线的向量方程-高中数学知识点讲解
直线的向量方程
1．直线的向量方程
【知识点的知识】
直线的方向向量与直线的向量方程：
→→→
（1）给定一个定点A 和一个向量푎，再任给一个实数t，以A 为起点作向量퐴푃=t푎①，这时点P 的位置被t 的值
→
完全确定．当t 在实数集R 中取遍所有值时，点P 的轨迹是通过点A 且平行于向量푎的一条直线l，反之，在l 上
→→
任取一点P，一定存在一个实数t，使向量퐴푃=t，则向量方程①通常称作直线l 以t
为参数的参数方程．푎称为该
直线的方向向量．
→（2）对空间任一确定的点O，点P 在直线l 上的充要条件是存在唯一的实数t，满足等式푂푃=
→
푂퐴
+푡푎②．如果在
→
l 上取퐴퐵=→→→→
푎，则②式可化为푂푃=(1―푡)푂퐴+푡푂퐵
③①或②或③都叫做空间直线的向量参数方程，它们都与
平面的直线向量参数方程相同．
【解题方法点拨】
1、向量法证明平行：
（1）证两条直线平行可转化为证明两直线的方向向量平行．
（2）用向量法证明线面平行：一是证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；二是证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量且直线不在平面内．
（3）利用向量证明面面平行，可转化为证明线面平行．
1/ 2
2、利用向量求异面直线所成角的步骤为：
（1）确定空间两条直线的方向向量；
（2）求两个向量夹角的余弦值；
（3）确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时，即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角．
2/ 2。
立体几何中的向量方法(人大附中)选修2-1：3.2.1直线方向向量和直线的向量方程
| MN |2 MN MN 1 45 2 2 2 (| a | | b | | c | 2b c 2a b 2a c) 2 4 | AC |2 AC AC | a |2 | c |2 2a c 25 ， 1 45 MN AC (b c a) (c a) ， 2 4 MN AC 3 5 因此 cos MN , AC ， | MN | | AC | 10
平行
2．如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，
AB＝AA1＝2，BC＝3，M为AC1与CA1的
3 (1, , 1) 交点，则M点的坐标为__________. 2
3．空间四个点A(1, 0, 1)，B(4, 4, 6)，C(2,
共面 2, 3)，D(10, 14, 17)，则这四个点_______ (填共面或不共面)．
z Q B P O x A y
5 11 (1) P ( , , 1) 3 3
(2) (0，2，6)
2．用向量的方法证明直线与直线平行、直 线平面平行、平面与平面平行 （1）设直线l1和l2的方向向量分别为 v1和v2
则由向量共线的条件得
l1
l1 / /l2 (或l1与l2重合) v1 / /v2
例4．已知三棱锥O－ABC，OA=4，OB=5，
OC=3，∠AOB=∠BOC=60°,∠COA=90°, M、N分别是棱OA、BC的中点，求：直线 MN与AC所成的角的余弦值。
O c b C N B M a A
3 5 10
解：设 OA a, OB b, OC c ，
1 则 MN ON OM (b c a ) ， AC c a ， 2
方程①通常称作直线l的参数方程，向量
3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程【公开课】
谢谢!
x
A
例1
(2)因为AQ : QB 2, 所以 AQ 2QB, OQ OA 2(OB OQ), OQ OA 2OB,
l z Q B P
O
x
A
y
设点Q的坐标为( x, y, z ),则上式换用坐标表示， 得 ( x, y, z ) 2(2,4,0) 2(1,3,3) (0,2,6) 即x 0, y 2, z 6 因此, 点Q的坐标是(0,2,6).
证明:因为x y 1, 所以y 1 x
即MA x MB ห้องสมุดไป่ตู้ (1 x) MC x( MB MC ) MC MA MC x( MB MC ) 即CA xCB 所以A, B, C三点共线
跟踪练习2
OA 2OB 3OC, 则A, B, C三点是否共线？
点,这就是线段AB中点的向量表达式. ⑵ ③中
OP 、 OA 、 OB有共同的起点.
⑶ ③中OA 、 OB的系数之和为1.
• 思考探究： • 观察到空间直线向量参数方程中的系数满 足（1－t）＋t＝ 1, 这与点A , P , B三点共 线有关系吗？ • （1）若令t＝0或1， 则点P在直线AB的什 么位置？ • （2）若令t＝或2， 则点P在直线AB的什么 位置？ • （3）若令t＝或3， 则点P在直线AB的什么 位置？ • （4）若令t＝－1， 则点P在直线AB的什 么位置？
3.2 空间向量在立体几 何中的应用
已知向量a，在空间固定一个基
点，再作向量 OA a ，则点A在空间 的位置就被向量a所惟一确定了，这
时，我们称这个向量为位置向量。
3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程
3.2.1直线的方向向量与直线向量方程
能力训练
2.已知两点 A , 点 Q 在 OP （， 1 2， 3 ）,（ B 2， 1， 2 ）,（， P 1 1， 2 ） 上运动,求当 QA QB 取得最小值时,点 Q 的坐标.
解:设 OQ OP ( ) ∴ QA QB 6 16 , ∴当 时, QA QB 取得最小值, 4 4 8 此时 Q( , , ) 3 3 3
O
x
设点P坐标为(x, y,z),则上式换用坐标表示 ,得 2 1 y A (x, y,z) (2,4,0) (1,3,3), 3 3
5 11 所以, x ,y , z 1 3 3 5 11 因此, 点P的坐标是 ( , ,1 ) 3 3
2 1 OP OA OB. 3 3
例1
3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程
基础知识
2.直线的向量方程:
定点A，向量
a ，t R, P , a //
则： AP ta
为直线 的参数方 程，其中t为参数 称为直线的方向向量
a
A
O
P
a
OP OA ta, t R
基础知识
2.直线的向量方程:
P
① AP ta, t R ② OP OA ta, t R
5.A，B，C，三点不共线，四点A，B，C，M 共面的充要条件是：
AM xAB y AC,( x, y R)
图示：
M
C A B
基础知识
6.用向量方法证明平面与平面平行:
两个不共线向量 v1 , v2 与平面 共面
// 或与 重合 v1 // 且v2 //
v1
(2)因为AQ : QB 2, 所以 AQ 2QB,
直线的方向向量与直线的向量方程
1 (2)MN∥AD1 ,并且 MN AD1 . 2 D1
C1
C
例9. 在正方体 ABCD A1B1C1D1中，E, F分别是面对角线 BA1和AC的前三等分点. 求证： EF∥侧面A1B1CD.
EF EB BA AF
D1 B1
C1
D
F
E
C B
课堂小结
一、基础知识
（一）用向量表示直线或点在直线上的位置
1. 空间直线的向量参数方程（用向量表示直线）： AP ta OP OA ta OP (1 t )OA tOB 2. 用向量表示点在直线上的位置： OP (1 t )OA tOB
l1⊥l2 v1 ⊥ v2
l2
v2
v1 l1
三、用向量运算求两条直线所成的角
思考：
两条直线所成的角与这两条直线的方向
向量的夹角之间有什么关系？
l2 l2
v2
v1 l1
v2
v1 l1
三、用向量运算求两条直线所成的角
设两条直线所成的角为θ ，则它们的 方向向量的夹角与θ 相等或互补.
设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2 ，则
B(1,1, 0), C (0,1,0), B1 (1,1,1), 1 1 1 1 A1 A1 (1,0,1), M (1,1, ), N ( , , ), 2 2 2 2 BB1 (0,0,1), AC (1,1, 1), 1 1 1 MN ( , , 0), D 2 2 1 1 MN BB1 0 ( ) 0 0 1 0 2 2 A 1 1 MN A1C (1) ( ) 1 0 (1) 0 2 2 MN BB1; MN AC 1 .
直线方向向量与直线的向量方程-PPT课件
2 1 1
1 AM CN 2 2 则 cos . AM CN 5 5 4
例 4.如图 ,直三棱柱 ABC A B C , 底面 ABC 中 ,
1 1 1
CA CB 1,BCA 90, 棱AA 2, M、N分别 C
1
是A B、A A的中点 .
1 1 1
z
1
A1
1 1
1 1
1 1 A B ( 1 , 1 , 2 ), C M (, , 0 ) 2 2
1 1
x
1 1 1 1
BA 6 ,CB 5 .. A BA CB 1 cos BA CB 30 . 10 BA CB
1 1
z
C1 B1 M
1
1
1
1
1
1
1
N
C A B y
1 1 ( 3 ) 依题意得 C ( 0 , 0 , 2 ), M (, , 2 ), 2 2
1
11 A B C M 0 0 ， 22 A B CM .
AP ta— 称作直线 l以 t为参数的参数方程
对空间任意一点 O ，点 P 在直线 l 上的充要条件 在唯一的实数 t ，满足等式 OP OA ta （ 2 ）
P B
a A l
O
如果在 l上取 AB a ，则（ 2 ）可变形为 OP （ 1t） OA tOB （ 3 ） — （ 1 ）（ 2 ）（ 3 ）都叫空间直线的向量 参数方程 .
人教版数学选修21第三章直线的方向向量与直线的向量方程讲义
案例（二）——精析精练课堂合作探究重点难点突破知识点一 空间直线的向量参数方程给定一个定点A 和一个向量a ，再任给一个实数t ，以A 为起点作向量ta AP =①，如下左图，这时点P 的位置被完全确定，向量方程①通常称作直线l 以t 为参数的参数方程，向量a 称为该直线的方向向量。
如上右图，ta OA AP OA OP +=+=②，若在直线l 上取a AB =，则②式可化为()()OB t OA t OA OB t OA AB t OA OP +-=-+=+=1③，①或②或③都叫做空间直线的向量参数方程。
②和③的推导依据的是向量加法的三角形法则。
知识点二 用向量方法证明平行关系。
（1）设直线1l 和2l 的方向向量分别为1v 和2v ，则由向量共线的条件，得21//l l （或1l 与2l 重合）21//v v ⇔。
（2）已知两个非零向量，1v ，2v 平面α共面，一条直线l 的一个方向向量为v ，则由共面向量定理，可得α//l 或⇔⊂αl 存在两个实数y x ,，使21yv xv v +=。
（3）如果C B A ,,三点不共线，则点M 在平面ABC 内的充分必要条件是：存在一对实数y x ,，使向量表达式y x +=成立。
（4）已知两个不共线的向量21,v v 与平面α共面，则由两平面平行的判定与性质，得βα//或α与β重合β//1v ⇔且β//2v 。
知识点三 用向量运算求证两条直线垂直或求两条直线所成的角（1）两直线垂直的条件如果我们知道两条直线的方向向量，我们就可以利用两个方向向量是否垂直来判定两直线是否垂直，如下左图，设直线1l 、2l 的方向向量分别为1v 、2v ，则有2121v v l l ⊥⇔⊥。
由上述条件，证明空间两条直线21l l ⊥可转化为证明两条直线的方向向量垂直，即证明021=⋅v v 。
（2）两条直线所成的角设空间两条直线所成的角为θ，当两直线平行时︒=0θ，当两直线垂直时︒=90θ，既不平行也不垂直的两直线所成的角()︒︒∈90,0θ，所以空间两直线所成的角[]︒︒∈90,0θ。
3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程
平行于 ______向量 a 的一条直线 l．
直线l 上任取一点 P，一定_______ 存在 一个 反之，在______ → → AP＝t a 通常称作直线 实数 t，使AP＝t a .向量方程_______
向量a 称为该直线的方 l 以 t 为参数的参数方程， _______
又 FC1⊄平面 ADE，AE⊂平面 ADE， 所以 FC1∥平面 ADE. → → (2)因为FB1＝(2,2,1)，DE＝(2,2,1)， → → 所以FB1＝DE，所以 FB1∥DE. 又 FB1⊄平面 ADE，DE⊂平面 ADE， 所以 FB1∥平面 ADE， 又由(1)知 FC1∥平面 ADE， 而 FB1∩FC1 ＝F， 所以平面 ADE∥平面 B1C1F.
所以MN / /平面A1 BD, 即MN / /平面A1BD.
3.如图，已知空间四边形OABC，各边及对角线长 都相等，E，F 分别为AB、OC的中点，求OE与BF 所成的角.
O
F
C
A
E B
解：设OA a, OB b, OC c, 且 a b c 1,
【证明】 如图所示建立空间直角坐标系， 则有 D(0,0,0) ， A(2,0,0) ， C1(0,2,2) ， E(2,2,1) ， F(0,0,1)，B1(2,2,2)， → 所以FC1＝(0,2,1)， → → DA＝(2,0,0)，AE＝(0,2,1)． → → (1)因为AE＝FC1，所以 AE∥FC1.
1 又因为b c AD, 所以MN ＝ AD. 2 1 因此MN / / AD，MN AD. 2
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基础训练
2.如图所示，平行六面体ABCD A1B1C1D1底面
是菱形，且C1CB C1CD BCD 600
求证：(1）CC1
BD;(2)当 CD CC1
的值为多少时，
能使A1C 平面C1BD,并加以证明。
基础训练
CD
解：设CC1为1个单位，CC1
满 足 向 量 关 系 式 OP xOA yOB zOC ( 其 中 x y z 1 )的点 P 与点 A、B 、C 是否共面?
思考： 已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A、B 、C ,
满 足 向 量 关 系 式 OP xOA yOB zOC ( 其 中 x y z 1 )的点 P 与点 A、B 、C 是否共面?
2
A' D'
N B'
M
C'
A D
B C
基础知识
5.用向量方法证明平面与平面平行:
两个不共线向量 v1, v2 与平面 共面
// 或与 重合 v1 // 且v2 //
v1
v2
基础训练
解题反思：（1）用向量法证两直线垂直的步骤是： a)以不共面的三个向量为基底， b)用基底表示欲证的两直线的方向向量， c)验证这两个方向向量的数量积为零。 （2）空间四边形中有两组对边垂直，则第三组对边也垂直。
求证:点 M 在直线 OE 上.
G
E
分析:Leabharlann CF证三点共线可 尝试用向量来分析.
B M
D
O
O
A
基础训练
4:已知A、B、P三点共线，O为直线AB
外一点 , 且 OP xOA yOB，求 x y的值.
解:∵ A 、B 、P 三点共线,∴ t R ,使OP OA t AB
∴ OP (1 t )OA tOB
学习目标 1.会用向量表示点、直线、平面 2.掌握用向量法证明线与线、
线与面、面与面的平行的方法
3. 能根据具体问题合理选定基底、建系
基础知识
空间向量在立体几何中的应用
平面向量 推广到
空间向量
向量 渐渐成为重要工具
立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形)
基础知识
证明:⑴充分性 ∵ OP xOA yOB zOC 可变形为 OP (1 y z)OA yOB zOC ,
∴ OP OA y(OB OA) z(OC OA) ∴ AP y AB z AC
∴点 P 与 A、B 、C 共面.
⑵必要性
∵点 P 在平面 ABC 内, 不共线的三点 A、B 、C ∴存在有序实数对 (m, n) 使 AP m AB nAC
a
，则CD=CB=a，设∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=
则 BD CD CB
(1)CC1 BD CC1 CD CC1 CB
a cos a cos 0∴C1C⊥BD；
基础训练
3: 已 知 OE 是 以 OA、OB 、OC 为 棱 的 平 行 六 面 体
OADB─CFEG 的对角线,点 M 是△ABC 的重心.
∵ A 、B 、P 、O 四点在同一个平面内, 且 OP xOA yOB
∵ O 为直线 AB 外一点,∴ OA、OB 不共线
∴由平面向量基本定理可知 x 1 t , y t
∴x y1
反过来,如果已知 OP xOA yOB ,且 x y 1 , 那么 A 、B 、P 三点共线吗?
思考： 已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A、B 、C ,
3 同法可求得Q(0,2,6)
3
33
基础知识
3.用向量方法证明直线与直线平行:
直线 1 的方向向量为 v1 思考：如何用向
直线 2 的方向向量为 v2 量证两直线平行？
结论：
1 //
或与
2
1
重合
2
v1
//
v2
图示：
v1
1
v2
1
2
v1
v2
2
基础知识
4.用向量方法证明直线与平面平行:
直线 的方向向量为 v 思考：如何用向
1.用向量表示空间中的点:
在空间中，我们取一定点 O 作为基点，那 么空间中任意一点 P 的位置就可以用向量 OP 来表示，我们把向量 OP 称为点 P 的位置向量.
P
O
基础知识
2.用向量表示空间中的直线及直线的向量方程:
定点A，向量 a ，t R, P , a //
则： AP ta
a
为直线 的参数方
两个不共线向量 v1, v2 与平面量证共线面面平行？
结论：//或 x、y R,使v xv1 yv2
图示：
v
v1
v2
例2．如图，已知正方体ABCD－A’B’C’D’，点M，N 分别 是面对角线A’B 与面对角线A’C’的中点，求证：MN//侧 面AD’；MN//AD’；并且MN= 1 AD.
P
程，其中t为参数
A
a 称为直线的方向向量
基础知识
2.直线的向量方程:
定点A，向量 a ，t R, P , a //
则： AP ta
a
为直线 的参数方
P
程，其中t为参数
A
a 称为直线的方向向量
O
OP OA ta,t R
基础知识
2.直线的向量方程:
① AP ta,t R
② OP OA ta,t R
满足条件（1）AP：PB=1：2；
B
（2）AQ：QB=－2， 求点P 和点Q 的坐标。
P
O
y
解：由已知得PB 2AP
A
l
OB OP 2(OP OA)
x
OP 2 OA 1 OB)
33 设P(x，y，z),则
( x,
y, z)
2 (2,4,0)
1 (1,3,3)
3 x
5,
y
311 , z
1
P(5 ,11 ,1)
得证.
为什么?
如图，已知平行四边形ABCD,从平 面AC外一点O引向量 OE kOA, OF kOB, OG kOC , OH kOD , 求证： ⑴四点E、F、G、H共面； ⑵平面EG//平面AC.
∴ OP OA m(OB OA) n(OC OA) ∴ OP (1 m n)OA mOB nOC
∵OP xOA yOB zOC . 又∵点 O 在平面 ABC 外,∴ OA 、OB 、OC 不共面, ∴ x 1 m n, y m, z n , ∴ x y z 1
P Ba
A
③
OP OA t AB,t R
O
OP (1 t)OA tOB,t R
OP xOA yOB,(x y 1)
①、②、③都叫做空间直线的向量参数方程
例1．已知点A(2，4，0)，B(1，3，3)， Q 以AB 的方向为正向，在直线AB上建立 z
一条数轴，P，Q 为轴上两点，且分别