学案导学与随堂笔记苏教必修二数学课时作业与单元检测模块综合检测B
学案导学与随堂笔记苏教数学选修21全套备课精选单元测试：第3章 空间向量与立体几何 单元检测B卷
第3章 单元检测(B 卷)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．在以下命题中，不正确的个数为________． ①|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件； ②若a ∥b ，则存在惟一的实数λ，使a ＝λb ； ③若a·b ＝0，b·c ＝0，则a ＝c ；④若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一基底； ⑤|(a·b )·c |＝|a|·|b|·|c |.2．已知a 与b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是________． 3．若向量a ＝(1，x,2)，b ＝(2，－1,2)，且a ，b 夹角的余弦值为89，则x ＝________.4．若a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1－e 2－e 3，c ＝e 1＋e 2，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3({e 1，e 2，e 3}为空间的一个基底)，且d ＝x a ＋y b ＋z c ，则x ，y ，z 分别为__________．5．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 值是________． 6．已知a ＝(2，－1,2)，b ＝(2,2,1)，则以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为________． 7.在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值为________． 8.如图所示，∠BAD ＝90°的等腰直角三角形ABD 与正三角形CBD 所在平面互相垂直，E 是BC 的中点，则AE 与平面BCD 所成角的大小为________． 9.如图，在五面体ABCDEF 中，F A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ∥FE ，AB ⊥AD ，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD ，则异面直线BF 与DE 所成的角的大小为________．10.已知四面体ABCD 的六条棱长都是1，则直线AD 与平面ABC 的夹角的余弦值为________． 11．已知四边形ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD 的中点分别为E ，F ，则EF →＝__________.12．如果向量a ＝(1,0,1)，b ＝(0,1,1)分别平行于平面α，β且都与此两平面的交线l 垂直，则二面角α—l —β的大小是________． 13.如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，二面角B —A 1C 1—B 1的正切值为________． 14．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ， B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角B ＝________. 二、解答题(本大题共6小题，共90分) 15．(14分)如图所示，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，连结P A 、PB 、PC 、PD ，点E 、F 、G 、H 分别为△P AB 、△PBC 、△PCD 、△PDA 的重心，应用向量共面定理证明：E 、F 、G 、H 四点共面．16．(14分)如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H、M、N分别是正方体六个表面的中心，试确定平面EFG和平面HMN的位置关系．如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，AB＝BC＝2，BB1＝3，D为A1C1的中点，F在线段AA1上，(1)AF为何值时，CF⊥平面B1DF?(2)设AF＝1，求平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB＝2EF，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．(1)求证：FH∥平面EDB；(2)求证：AC⊥平面EDB；(3)求二面角B—DE—C的大小．已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2，底面ABCD是直角梯形，∠A为直角，AB ∥CD，AB＝4，AD＝2，DC＝1，求异面直线BC1与DC所成角的余弦值．20．(16分)在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中，∠ABC ＝90°，SA ⊥面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12.求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值．第3章 空间向量与立体几何(B)1．4解析 ①不正确，由|a |－|b |＝|a ＋b |知a 与b 反向，a 与b 共线，但a 与b 共线不一定有|a |－|b |＝|a ＋b |；②不正确，应加上条件b ≠0；③不正确，当b ＝0时，a 与c 不一定相等；④正确；⑤不正确，应为|(a·b )·c |≤|a|·|b|·|c |. 2.π3解析 由已知(a －2b )·a ＝0，(b －2a )·b ＝0 ∴a 2＝2ab ＝b 2.∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝a·b |a |2＝12，∴〈a ，b 〉＝π3.3．－2或255解析 cos 〈a ，b 〉＝a·b|a||b |＝6－x 35＋x 2＝89，解得x ＝－2或x ＝255.4.52，－12，－1 解析 d ＝x a ＋y b ＋z c ＝(x ＋y ＋z )e 1＋(x －y ＋z )e 2＋(x －y )e 3＝e 1＋2e 2＋3e 3，空间任一向量都可以用一个空间基底惟一表示， 从而得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝1，x －y ＋z ＝2，x －y ＝3.解得x ＝52，y ＝－12，z ＝－1.5.756.65解析 因为|a |＝|b |，所以平行四边形为菱形， 又a ＋b ＝(4,1,3)，a －b ＝(0，－ 3,1)， |a ＋b |＝26，|a －b |＝10， S ＝12|a ＋b ||a －b |＝12×26×10＝65. 7.25解析 建立如图所示，空间直角坐标系D —xyz ，则AM →＝⎝⎛⎭⎫0，12，1， CN →＝⎝⎛⎭⎫1，0，12，AM →·CN →＝12， |AM →|＝|CN →|＝52，所以cos 〈AM →，CN →〉＝1252×52＝25.8．45° 9．60°解析 以点A 为坐标原点，AB ，AD ，AF 分别为x ，y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系A —xyz ，设AB ＝1，依题意得B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，E (0,1,1)，F (0,0,1)． BF →＝(－1,0,1)，DE →＝(0，－1,1)，于是cos 〈BF →，DE →〉＝BF →·DE →|BF →||DE →|＝0＋0＋12×2＝12.所以异面直线BF 与DE 所成的角的大小为60°. 10.3311．3a ＋3b －5c 解析 取AD 中点P ，连结EP ，FP ， 则PF →＝12AB →，EP →＝12CD →，所以EF →＝EP →＋PF →＝12AB →＋12CD →＝12(6a ＋6b －10c )＝3a ＋3b －5c .12．60°或120° 解析 cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |＝0＋0＋12×2＝12，所以a 与b 夹角为60°或120°，即α—l —β大小为60°或120°. 13. 214.π6解析 由题意知m·n ＝0，∴3cos A －sin A ＝0，∴tan A ＝3，A ＝π3，又∵a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，即sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin 2C ，sin(A ＋B )＝sin 2C ，sin(π－C )＝sin 2C ，sin C ＝sin 2C ，∴sin C ＝1，∴C ＝π2，∴B ＝π6.15．证明 分别延长PE 、PF 、PG 、PH 交对边于M 、N 、Q 、R .∵E 、F 、G 、H 分别是所在三角形的重心， ∴M 、N 、Q 、R 为所在边的中点，顺次连结M 、N 、Q 、R ，所得四边形为平行四边形，且有PE →＝23PM →，PF →＝23PN →，PG →＝23PQ →，PH →＝23PR →.∵MNQR 为平行四边形，∴EG →＝PG →－PE →＝23PQ →－23PM →＝23MQ →＝23(MN →＋MR →) ＝23(PN →－PM →)＋23(PR →－PM →) ＝23⎝⎛⎭⎫32PF →－32PE →＋23⎝⎛⎭⎫32PH →－32PE → ＝EF →＋EH →.∴由共面向量定理得E 、F 、G 、H 四点共面． 16．解 如图，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，易得E (1,1,0)，F (1,0,1)，G (2,1,1)， H (1,1,2)，M (1,2,1)，N (0,1,1)． ∴EF →＝(0，－1,1)，EG →＝(1,0,1)， HM →＝(0,1，－1)，HN →＝(－1,0，－1)．设m ＝(x 1，y 1，z 1)，n ＝(x 2，y 2，z 2)分别是平面EFG 、平面HMN 的法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧m ·EF →＝0m ·EG →＝0⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧ －y 1＋z 1＝0x 1＋z 1＝0， 令x 1＝1，得m ＝(1，－1，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·HM →＝0n ·HN →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧y 2－z 2＝0－x 2－z 2＝0， 令x 2＝1，得n ＝(1，－1，－1)．∴m ＝n ，故m ∥n ，即平面EFG ∥平面HMN .17．解 (1)因为直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，BB 1⊥面ABC ，∠ABC ＝π2. 以B 点为原点，BA 、BC 、BB 1分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系．因为AB ＝BC ＝2，从而B (0,0,0)，A (2，0,0)，C (0，2，0)，B 1(0,0,3)，A 1(2，0,3)，C 1(0，2，3)，D ⎝⎛⎭⎫22，22，3. 所以CA 1→＝(2，－2，3)，设AF ＝x ，则F (2，0，x )，CF →＝(2，－2，x )， B 1F →＝(2，0，x －3)，B 1D →＝⎝⎛⎭⎫22，22，0. CF →·B 1D →＝2·22＋(－2)·22＋x ·0＝0， 所以CF →⊥B 1D →.要使CF ⊥平面B 1DF ，只需CF ⊥B 1F .由CF →·B 1F →＝2＋x (x －3)＝0，得x ＝1或x ＝2，故当AF ＝1或2时，CF ⊥平面B 1DF .(2)由(1)知平面ABC 的法向量为n 1＝(0,0,1)．设平面B 1CF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·CF →＝0，n ·B 1F →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y ＋z ＝0，2x －2z ＝0， 令z ＝1得n ＝⎝⎛⎭⎫2，322，1， 所以平面B 1CF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值cos 〈n ，n 1〉＝11×2＋92＋1＝3015. 18．(1)证明 ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ⊥BC .又EF ∥AB ，∴EF ⊥BC .又∵EF ⊥FB ，BC ∩FB ＝B ，∴EF ⊥平面BFC .∴EF ⊥FH ，∴AB ⊥FH .又BF ＝FC ，H 为BC 的中点，∴FH ⊥BC .∴FH ⊥平面ABC .以H 为坐标原点，HB →为x 轴正向，HF →为z 轴正向，建立如图所示坐标系．设BH ＝1，则A (1，－2,0)，B (1,0,0)，C (－1,0,0)，D (－1，－2,0)，E (0，－1,1)，F (0,0,1)．设AC 与BD 的交点为G ，连结GE ，GH ，则G (0，－1,0)，∴GE →＝(0,0,1)，又HF →＝(0,0,1)，∴HF →∥GE →.又∵GE ⊂平面EDB ，HF 不在平面EDB 内，∴FH ∥平面EDB .(2)证明 ∵AC →＝(－2,2,0)，GE →＝(0,0,1)，∴AC →·GE →＝0，∴AC ⊥GE .又AC ⊥BD ，EG ∩BD ＝G ，∴AC ⊥平面EDB .(3)解 BE →＝(－1，－1,1)，BD →＝(－2，－2,0)，CD →＝(0，－2,0)，CE →＝(1，－1,1)．设平面BDE 的法向量为n 1＝(1，y 1，z 1)，则BE →·n 1＝－1－y 1＋z 1＝0，DB →·n 1＝－2－2y 1＝0，∴y 1＝－1，z 1＝0，即n 1＝(1，－1,0)． 设平面CDE 的法向量为n 2＝(1，y 2，z 2)，则n 2·CD →＝0，y 2＝0，n 2·CE →＝0,1－y 2＋z 2＝0，z 2＝－1，故n 2＝(1,0，－1)，cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝12·2＝12， 即〈n 1，n 2〉＝60°，即二面角B —DE —C 为60°.19．解 以D 为坐标原点，以DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．则A (2,0,0)，B (2,4,0)，C (0,1,0)，C 1(0,1,2)，∴DC →＝(0,1,0)，BC 1→＝(－2，－3,2)，|DC →|＝1， |BC 1→|＝22＋32＋22＝17.∴cos 〈DC →，BC 1→〉＝DC →·BC 1→|DC →||BC 1→|＝－317＝－31717. ∴异面直线DC 与BC 1所成的角的余弦值为31717. 20．解建立如图所示的空间直角坐标系A —xyz ， 则A (0,0,0)，B (－1,0,0)，C (－1,1,0)，D ⎝⎛⎭⎫0，12，0， S (0,0,1)，SA →＝(0,0，－1)，SB →＝(－1,0，－1)，SC →＝(－1,1，－1)，SD →＝⎝⎛⎭⎫0，12，－1. 设平面SAB 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)． 平面SCD 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，平面SAB 与平面SCD 所成的角为θ.由n 1·SA →＝0与n 1·SB →＝0.可得n 1＝(0,1,0)．由n 2·SC →＝0与n 2·SD →＝0，可得n 2＝(1,2,1)．∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝21×6＝63. ∴cos θ＝63，sin θ＝33，∴tan θ＝22. 即面SCD 平面SBA 所成的二面角的正切值为22.。
学案导学高中数学(苏教版,选修21)课时作业与单元检测模块综合检测(3份)模块综合检测(B)
模块综合检测(B)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．用“p 或q ”“p 且q ”“ p ”填空，命题“a 2＋1≥1”是________形式，命题“奇数的平方不是偶数”是________形式．2．已知p ：－4<x －a <4，q ：(x －2)(3－x )>0，若p 是q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________________．3．若双曲线x 24－y 2b ＝1 (b >0)的渐近线方程为y ＝±12x ，则b ＝________. 4．设F 1、F 2为曲线C 1：x 26＋y 22＝1的焦点，P 是曲线C 2：x 23－y 2＝1与C 1的一个交点，则△PF 1F 2的面积为________．5．若点P 到直线y ＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P 的轨迹方程为________．6．已知M (－1,3)，N (2,1)，点P 在x 轴上，且使PM ＋PN 取得最小值，则最小值为________．7．已知m 、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题：①若α∩β＝n ，m ∥n ，则m ∥α，m ∥β；②若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β；③若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α；④若m ⊥α，n α，则m ⊥n .其中所有真命题的序号是________．8．已知向量a ＝(－2,3,2)，b ＝(1，－5，－1)，则m a ＋b 与2a －3b 相互垂直的充要条件为________．9．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的右焦点为F 1，右准线为l 1，若过点F 1且垂直于x 轴的弦的弦长等于点F 1到l 1的距离，则椭圆的离心率是________．10．设F 为抛物线x 2＝8y 的焦点，点A ，B ，C 在此抛物线上，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB→|＋|FC →|＝________.11．已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋λe 2，CD →＝6e 1－2e 2，当A ，C ，D三点共线时，λ＝________. 12.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝22a ，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是________．13．已知OA →＝(1,1,0)，OB →＝(4,1,0)，OC →＝(4,5，－1)，则向量AB →和AC →的夹角的余弦值为________． 14.如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝AA 1＝3，∠ABC ＝60°，则二面角A —A 1C —B 的余弦值是________．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知命题p ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －10≤0， 命题q ：1－m ≤x ≤1＋m ，m >0，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．16.(14分)椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条直线l 经过点F 1与椭圆交于A ，B 两点．(1)求△ABF 2的周长；(2)若l 的倾斜角为π4，求△ABF 2的面积．17.(14分)如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，面ABCD 与面D 1C 1CD 垂直，且∠D 1DC ＝π3，DC ＝DD 1＝2，DA ＝3，∠ADC ＝π2，求异面直线A 1C 与AD 所成角余弦值．18.(16分)已知命题p ：方程ax 2＋ax －2＝0在[－1,1]上只有一个解；命题q ：只有一个实数x 满足x 2＋2ax ＋2a ≤0.若命题“p ∨q ”为假命题，求实数a 的取值范围．19．(16分)在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝BD＝2AE，M(1)求证：CM ⊥EM ；(2)求CM 与平面CDE 所成角的大小．20.(16分)已知直线(1＋4k )x －(2－3k )y －(3＋12k )＝0 (k ∈R )所经过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点，且椭圆C 的长轴长为10.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线l ：mx ＋ny ＝1，当点P (m ，n )在椭圆C 上运动时，求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围．模块综合检测(B)1．p 或q 綈p解析 a 2＋1≥1，即a 2＋1>1或a 2＋1＝1是p 或q 形式，奇数的平方不是偶数为綈p 形式．2．－1≤a ≤6解析 由已知q ⇒p ，∴(2,3)⊆(a －4，a ＋4)．∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2a ＋4≥3，∴－1≤a ≤6. 3．14. 2 解析 设P 点在第一象限，由⎩⎨⎧ x 26＋y 22＝1x 23－y 2＝1，得P 点坐标为⎝⎛⎭⎫322，22.∴S △PF1F2＝12F 1F 2·y p ＝12×4×22＝ 2. 5．x 2＝12y解析 点P 到直线y ＝－3的距离和它到点(0,3)的距离相等．6．5解析 设M 关于x 轴的对称点为M ′，则M ′(－1，－3)，所求最小值为M ′N ＝(2＋1)2＋(1＋3)2＝5.7．②④8．m ＝1713解析 由(m a ＋b )·(2a －3b )＝0，可得(－2m ＋1,3m －5,2m －1)·(－7,21,7)＝0.∴14m －7＋63m －105＋14m －7＝0.∴91m ＝119，∴m ＝1713. 9.12解析 由已知得2b 2a ＝a 2c －c ＝b 2c， ∴a ＝2c ，∴椭圆的离心率e ＝c a ＝12. 10．1211．－2解析 设AB →＋BC →＝kCD →，即有3e 1＋(1＋λ)e 2＝6k e 1－2k e 2，所以k ＝12，λ＝－2. 12．平行解析 MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝12(A 1A →＋A 1B 1→)＋BC →＋12(CB →＋CD →)＝12(A 1A →＋CB →)＋BC → ＝12B 1B →＋12BC →＝12B 1C →. 所以MN ∥平面BCC 1B 1. 13.32626解析 AB →＝(3,0,0)，AC →＝(3,4，－1)，cos 〈AB →，AC →〉＝32626. 14.15515．解 p ：x ∈[－2,10]，q ：x ∈[1－m,1＋m ]，m >0，∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴p ⇒q 且qp .∴[－2,10] [1－m,1＋m ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m ≤－2，1＋m ≥10. ∴m ≥9.16．解 (1)由椭圆的定义，得AF 1＋AF 2＝2a ，BF 1＋BF 2＝2a ，又AF 1＋BF 1＝AB ，又因为a 2＝4，所以a ＝2，故△ABF 2点周长为8.(2)由条件，得F 1(－1,0)，因为AB 的倾斜角为π4，所以AB 斜率为1， 故直线AB 的方程为y ＝x ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 24＋y 23＝1，消去x ，得7y 2－6y －9＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，解得y 1＝3＋627，y 2＝3－627， 所以，S △ABF 2＝12F 1F 2·|y 1－y 2| ＝12×2×1227＝1227. 17．解 建立如图所示的空间直角坐标系，则A (3，0,0)，D 1(0,1，3)，C (0,2,0)，D (0,0,0)，由AA 1→＝DD 1→得A 1(3，1，3)．∴A 1C →＝(－3，1，－3)．D 1A →＝(3，－1，－3)．∴cos 〈A 1C →，D 1A →〉＝A 1C →·D 1A →|A 1C →|·|D 1A →|＝(－3，1，－3)·(3，－1，－3)7·7＝－17. ∴异面直线A 1C 与AD 1所成角的余弦值为17. 18．解 p ：方程ax 2＋ax －2＝0在[－1,1]上只有一个解，令f (x )＝ax 2＋ax －2，则f (－1)·f (1)<0或f (1)＝0或Δ＝0⇒a ≥1或a ＝－8；q ：x 2＋2ax ＋2a ≤0，只有一个x 满足，则Δ＝4a 2－8a ＝0⇒a ＝0或a ＝2.若p ∨q 为假命题，则p 假，且q 假．p 为假，则a <1，且a ≠－8，而q 为假，则a ≠0且a ≠2. 综合得a <1且a ≠0，a ≠－8.19．(1)证明 分别以CB ，CA 所在直线为x ，y 轴，过点C 且与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系C —xyz .设AE ＝a ，则M (a ，－a,0)，E (0，－2a ，a )，所以CM →＝(a ，－a,0)，EM →＝(a ，a ，－a )，所以CM →·EM →＝a ×a ＋(－a )×a ＋0×(－a )＝0，所以CM ⊥EM .(2)解 CE →＝(0，－2a ，a )，CD →＝(2a,0,2a )，设平面CDE 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧ －2ay ＋az ＝0，2ax ＋2az ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧z ＝2y ，x ＝－z ，令y ＝1，则n ＝(－2,1,2)，cos 〈CM →，n 〉＝CM →·n |CM →||n |＝a ×(－2)＋(－a )×1＋0×22a ×3＝－22， 所以，直线CM 与平面CDE 所成的角为45°.20．解 (1)由(1＋4k )x －(2－3k )y －(3＋12k )＝0 (k ∈R )，得(x －2y －3)＋k (4x ＋3y －12)＝0， 则由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －3＝04x ＋3y －12＝0，解得F (3,0)， 设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝3a ＝5，所以椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1. (2)因为点P (m ，n )在椭圆C 上运动，所以1＝m 225＋n 216<m 2＋n 2， 从而圆心O 到直线l ：mx ＋ny ＝1的距离d ＝1m 2＋n2<1＝r . 所以直线l 与圆O 恒相交．又直线l 被圆O 截得的弦长为L ＝2r 2－d 2＝21－1m 2＋n 2 ＝21－1925m 2＋16 由于0≤m 2≤25，所以16≤92＋16≤25，则L ∈⎣⎡⎦⎤152，465， 即直线l 被圆O 截得的弦长的取值范围是L ∈⎣⎡⎦⎤152，465.。
学案导学与随堂笔记苏教必修二数学课时作业与单元检测2空间两条直线的位置关系
1.2.2空间两条直线的位置关系【课时目标】1．会判断空间两直线的位置关系．2．理解两异面直线的定义及判定定理，会求两异面直线所成的角．3．能用公理4及等角定理解决一些简单的相关证明．1．空间两条直线的位置关系有且只有三种：________、____________、____________．2．公理4：平行于同一条直线的两条直线____________．3．等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角________．4．异面直线(1)定义：________________________的两条直线叫做异面直线．(2)判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是______________．5．异面直线所成的角：直线a，b是异面直线，经过空间任一点O，作直线a′，b′，使__________，__________，我们把a′与b′所成的________________叫做异面直线a与b所成的角．如果两条直线所成的角是________，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，两条异面直线所成的角α的取值范围是____________．一、填空题1．若空间两条直线a，b没有公共点，则其位置关系是____________．2．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是______________．3．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱共有________条．4．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连结四边中点的四边形的形状是________．5．给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②平行于同一直线的两直线平行；③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．其中假命题的个数是________．6．有下列命题：①两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行；②四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形；③经过直线外一点有无数条直线和已知直线垂直；④若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，则OB∥O1B1．其中正确命题的序号为________．7．空间两个角α、β，且α与β的两边对应平行且α＝60°，则β为________．8．已知正方体ABCD—A′B′C′D′中：(1)BC′与CD′所成的角为________；(2)AD与BC′所成的角为________．9．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．以上结论中正确结论的序号为________．二、解答题10．已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD、AD的中点．求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1．11．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E、F 分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小．能力提升12．如图所示，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填序号)．13．如图所示，在正方体AC1中，E、F分别是面A1B1C1D1和AA1D1D的中心，则EF 和CD所成的角是______．1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．另外，我们解决空间有关线线问题时，不要忘了我们生活中的模型，比如说教室就是一个长方体模型，里面的线线关系非常丰富，我们要好好地利用它，它是我们培养空间想象能力的好工具．2．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角α的范围为0°<α≤90°，解题时经常结合这一点去求异面直线所成的角的大小．作异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．1．2．2空间两条直线的位置关系答案知识梳理1．相交直线平行直线异面直线2．互相平行3．相等4．(1)不同在任何一个平面内(2)异面直线5．a′∥a b′∥b锐角(或直角)直角0°<α≤90°作业设计1．平行或异面2．相交、平行或异面解析异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明a、b异面，直线c的位置可如图所示．3．64．矩形解析易证四边形EFGH为平行四边形．又∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF∥AC，又FG∥BD，∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．而AC与BD所成的角为90°，∴∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．5．2解析①④均为假命题．①可举反例，如a、b、c三线两两垂直．④如图甲时，c、d与异面直线l1、l2交于四个点，此时c、d异面，一定不会平行；当点A在直线a上运动(其余三点不动)，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c、d共面相交．6．③7．60°或120°8．(1)60°(2)45°解析连结BA′，则BA′∥CD′，连结A′C′，则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．由△A′BC′为正三角形，知∠A′BC′＝60°，由AD∥BC，知AD与BC′所成的角就是∠C′BC．易知∠C′BC＝45°．9．①③解析把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．10．证明 (1)如图，连结AC ， 在△ACD 中，∵M 、N 分别是CD 、AD 的中点， ∴MN 是三角形的中位线，∴MN ∥AC ，MN ＝12AC ．由正方体的性质得：AC ∥A 1C 1，AC ＝A 1C 1．∴MN ∥A 1C 1，且MN ＝12A 1C 1，即MN ≠A 1C 1，∴四边形MNA 1C 1是梯形．(2)由(1)可知MN ∥A 1C 1，又因为ND ∥A 1D 1， ∴∠DNM 与∠D 1A 1C 1相等或互补．而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均是直角三角形的锐角， ∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1． 11．解 取AC 的中点G ， 连结EG 、FG ， 则EG ∥AB ，GF ∥CD ，且由AB ＝CD 知EG ＝FG ， ∴∠GEF(或它的补角)为EF 与AB 所成的角，∠EGF(或它的补角)为AB 与CD 所成的角．∵AB 与CD 所成的角为30°， ∴∠EGF ＝30°或150°．由EG ＝FG 知△EFG 为等腰三角形，当∠EGF ＝30°时，∠GEF ＝75°； 当∠EGF ＝150°时， ∠GEF ＝15°．故EF 与AB 所成的角为15°或75°． 12．②④解析 ①中HG ∥MN ． ③中GM ∥HN 且GM ≠HN ， ∴HG 、MN 必相交． 13．45°解析连结B1D1，则E为B1D1中点，连结AB1，EF∥AB1，又CD∥AB，∴∠B1AB为异面直线EF与CD所成的角，即∠B1AB＝45°．。
学案导学高中数学(苏教版,必修五)课时作业与单元检测
模块综合检测(A)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 3，则a 5＋a 6的值为________．2．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝4∶3∶2，则cos A 的值是________．3．在正项等比数列{a n }中，a 1和a 19为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 8·a 10·a 12等于________．4．等差数列{a n }满足a 24＋a 27＋2a 4a 7＝9，则其前10项之和为________．5．如果不等式2x 2＋2mx ＋m 4x 2＋6x ＋3<1对一切实数x 均成立，则实数m 的取值范围是________． 6．如图所示，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝1，cos C ＝34，则sin(2A ＋C )＝____________.7．已知各项都为正数的等比数列{a n }的公比不为1，则a n ＋a n ＋3与a n ＋1＋a n ＋2的大小关系是________．8．已知公差不为0的等差数列的第4,7,16项恰好分别是某等比数列的第4,6,8项，则该等比数列的公比是________．9．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －my ＋1≥0，且x ＋y 的最大值为9，则实数m 等于________． 10．如果方程x 2＋(m －1)x ＋m 2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是________．11．设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y的最大值为________． 12．在△ABC 中，三个角A ，B ，C 的对边边长分别为a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C 的值为________．13．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝abx ＋y (a >0，b >0)的最大值为8，则a ＋b 的最小值为________．14．在△ABC 中，D 为BC 边上一点，BC ＝3BD ，AD ＝2，∠ADB ＝135°，若AC ＝2AB ，则BD ＝__________.二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．(1)求通项a n 及S n ；(2)设{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的通项公式及前n 项和T n .16．(14分)已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，(1)求a，b；(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.17．(14分)在△ABC中，a比b长2，b比c长2，且最大角的正弦值是32，求△ABC的面积．18．(16分)已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a(单位：m2)，其中有部分旧住房需要拆除．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b(单位：m2)的旧住房．(1)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式．(2)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？(计算时取1.15＝1.6)19．(16分)已知1≤x＋y≤5，－1≤x－y≤3，求2x－3y的取值范围．20．(16分)某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值．答案：模块综合检测(A)1．152解析 a 5＋a 6＝S 6－S 4＝63－43＝152.2．－14解析 由正弦定理得a ∶b ∶c ＝4∶3∶2，设a ＝4k ，b ＝3k ，c ＝2k ，则cos A ＝9k 2＋4k 2－16k 22×3k ×2k＝－14. 3．64解析 ∵{a n }是等比数列且由题意得a 1·a 19＝16＝a 210(a n >0)，∴a 10＝4，∴a 8·a 10·a 12＝a 310＝64.4．±15解析 a 24＋a 27＋2a 4a 7＝(a 4＋a 7)2＝9.∴a 4＋a 7＝±3，∴a 1＋a 10＝±3，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝±15. 5．(1,3)解析 ∵4x 2＋6x ＋3＝⎝⎛⎭⎫2x ＋322＋34>0， ∴原不等式⇔2x 2＋2mx ＋m <4x 2＋6x ＋3⇔2x 2＋(6－2m )x ＋(3－m )>0，x ∈R 恒成立⇔Δ＝(6－2m )2－8(3－m )<0，∴1<m <3. 6.378解析 由余弦定理，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝2，那么AB ＝ 2.由cos C ＝34，且0<C <π，得sin C ＝74，由正弦定理AB sin C ＝BC sin A ，解得sin A ＝BC sin C AB ＝148，所以cos A ＝528.由倍角公式得sin 2A ＝2sin A cos A ＝5716，cos 2A ＝1－2sin 2A ＝916，故sin(2A ＋C )＝sin 2A cos C ＋cos 2A sin C ＝378. 7．a n ＋a n ＋3>a n ＋1＋a n ＋2解析 因为a n ＋a n ＋3＝a n (1＋q 3)，a n ＋1＋a n ＋2＝a n (q ＋q 2)，所以a n ＋a n ＋3－(a n ＋1＋a n ＋2)＝a n (1＋q 3－q －q 2)＝a n (1－q )(1－q 2)＝a n (1－q )2(1＋q )>0.8．±3解析 等差数列记作{a n }，等比数列记作{b n }，则q 2＝b 8b 6＝b 6b 4＝b 8－b 6b 6－b 4＝a 16－a 7a 7－a 4＝9d 3d ＝3，∴q ＝±3. 9．1解析 如图，作出可行域． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －my ＋1＝0，2x －y －3＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3m －1＋2m ，5－1＋2m ，平移y ＝－x ，当其经过点A 时，x ＋y 取得最大值，即1＋3m－1＋2m ＋5－1＋2m＝9，解得m ＝1. 10．(0,1) 解析 实数m 满足不等式组⎩⎨⎧f (－1)<0f (1)<0解得0<m <1. 11．1解析 因为a >1，b >1，a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，所以x ＝log a 3，y ＝log b 3.1x ＋1y ＝1log a 3＋1log b 3＝log 3a ＋log 3b ＝log 3ab ≤log 3⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝log 3⎝⎛⎭⎫2322＝1，当且仅当a ＝b 时，等号成立．12.612解析 bc cos A ＝bc ·b 2＋c 2－a 22bc ＝12(b 2＋c 2－a 2)； 同理，ca cos B ＝12(a 2＋c 2－b 2)；ab cos C ＝12(a 2＋b 2－c 2)．∴bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C ＝12(a 2＋b 2＋c 2)＝612. 13．4解析 如图所示，线性约束条件表示的区域为图中的阴影部分，A (0,2)，B (12，0)，C (1,4)，当直线l ：y ＝－abx ＋z 过点C 时，z 取最大值8，即8＝ab ＋4，∴ab ＝4.又∵a >0，b >0， ∴a ＋b ≥2ab ＝24＝4(a ＝b ＝2时取等号)．14．2＋ 5解析 如图，设AB ＝k ，则AC ＝2k .再设BD ＝x ，则DC ＝2x .在△ABD 中，由余弦定理得k 2＝x 2＋2－2·x ·2·⎝⎛⎭⎫－22＝x 2＋2＋2x ，① 在△ADC 中，由余弦定理得2k 2＝4x 2＋2－2·2x ·2·22＝4x 2＋2－4x ， ∴k 2＝2x 2＋1－2x .②由①②得x 2－4x －1＝0，解得x ＝2＋5(负值舍去)．15．解 (1)∵{a n }是首项为a 1＝19，公差为d ＝－2的等差数列，∴a n ＝19－2(n －1)＝21－2n ，S n ＝19n ＋12n (n －1)×(－2)＝20n －n 2. (2)由题意得b n －a n ＝3n －1，即b n ＝a n ＋3n －1，∴b n ＝3n －1－2n ＋21，∴T n ＝S n ＋(1＋3＋…＋3n －1)＝－n 2＋20n ＋3n －12. 16．解 (1)因为不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1. 由根与系数的关系，得⎩⎨⎧ 1＋b ＝3a ，1×b ＝2a.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2. 所以a ＝1，b ＝2. (2)所以不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0，即x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0.当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |2<x <c }；当c <2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |c <x <2}；当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为∅.综上，当c >2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |2<x <c }；当c <2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |c <x <2}；当c ＝2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为∅.17．解 据题意知a －b ＝2，b －c ＝2，∴边长a 最大，∴sin A ＝32， ∴cos A ＝±1－sin 2A ＝±12. ∵a 最大，∴cos A ＝－12. 又a ＝b ＋2，c ＝b －2，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋(b －2)2－(b ＋2)22b (b －2)＝－12， 解得b ＝5，∴a ＝7，c ＝3，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×5×3×32＝1534. 18．解 (1)第一年末的住房面积为a ·1110－b ＝(1.1a －b )(m 2)． 第二年末的住房面积为⎝⎛⎭⎫a ·1110－b ·1110－b ＝a ·⎝⎛⎭⎫11102－b ⎝⎛⎭⎫1＋1110＝(1.21a －2.1b )(m 2)． (2)第三年末的住房面积为⎣⎡⎦⎤a ·⎝⎛⎭⎫11102－b ⎝⎛⎭⎫1＋1110·1110－b ＝a ·⎝⎛⎭⎫11103－b ⎣⎡⎦⎤1＋1110＋⎝⎛⎭⎫11102， 第四年末的住房面积为a ·⎝⎛⎭⎫11104－b ⎣⎡⎦⎤1＋1110＋⎝⎛⎭⎫11102＋⎝⎛⎭⎫11103， 第五年末的住房面积为a ·⎝⎛⎭⎫11105－b ·⎣⎡⎦⎤1＋1110＋⎝⎛⎭⎫11102＋⎝⎛⎭⎫11103＋⎝⎛⎭⎫11104＝1.15a －1－1.151－1.1b ＝1.6a －6b . 依题意可知1.6a －6b ＝1.3a ，解得b ＝a 20，所以每年拆除的旧住房面积为a 20m 2. 19．解作出一元二次方程组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤5－1≤x －y ≤3所表示的平面区域(如图)即可行域． 考虑z ＝2x －3y ，把它变形为y ＝23x －13z ，得到斜率为23，且随z 变化的一族平行直线，－13z 是直线在y 轴上的截距，当直线截距最大且满足约束条件时目标函数z ＝2x －3y 取得最小值；当直线截距最小且满足约束条件时目标函数z ＝2x －3y 取得最大值．由图可知，当直线z ＝2x －3y 经过可行域上的点A 时，截距最大，即z 最小． 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1x ＋y ＝5，得A 的坐标为(2,3)． 所以z min ＝2x －3y ＝2×2－3×3＝－5.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3x ＋y ＝1，得B 的坐标为(2，－1)， 所以z max ＝2x －3y ＝2×2－3×(－1)＝7.∴2x －3y 的取值范围是[－5,7]．20.解 (1)若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向．如图所示，设小艇与轮船在C 处相遇．在Rt △OAC 中， OC ＝20cos 30°＝103，AC ＝20sin 30°＝10.又AC ＝30t ，OC ＝v t .此时，轮船航行时间t ＝1030＝13，v ＝10313＝30 3. 即小艇以30 3海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)如图所示，设小艇与轮船在B 处相遇．由题意，可得(v t )2＝202＋(30t )2－2·20·30t ·cos(90°－30°)，化简，得v 2＝400t 2－600t ＋900＝400(1t －34)2＋675. 由于0<t ≤12，即1t≥2， 所以当1t ＝2时，v 取得最小值1013， 即小艇航行速度的最小值为1013海里/时．。
学案导学与随堂笔记苏教必修二数学课时作业与单元检测221第1课时圆的标准方程
§2.2 圆与方程2.2.1 圆的方程第1课时 圆的标准方程【课时目标】 1．能用定义推导圆的标准方程，并能表达点与圆的位置关系．2．掌握求圆的标准方程的不同求法．1．设圆的圆心是A (a ，b )，半径长为r ，则圆的标准方程是__________________，当圆的圆心在坐标原点时，圆的半径为r ，则圆的标准方程是____________．2．设点P 到圆心的距离为d ，圆的半径为r ，点P 在圆外⇔________；点P 在圆上⇔________；点P 在圆内⇔________．一、填空题1．点(sin θ，cos θ)与圆x 2＋y 2＝12的位置关系是__________． 2．设两点M 1(4,9)，M 2(6,3)，则以M 1M 2为直径的圆的方程为______________．3．若直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，则圆(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝1的圆心位于第________象限．4．圆(x －3)2＋(y ＋4)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程是__________．5．方程y ＝9－x 2表示的曲线轨迹是__________．6．已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x 轴和y 轴上．则此圆的方程是________________________________________________________________________．7．已知圆的内接正方形相对的两个顶点的坐标分别是(5,6)，(3，－4)，则这个圆的方程是________________________________________________________________________．8．圆O 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25，点(2,3)到圆上的最大距离为________．9．如果直线l 将圆(x －1)2＋(y －2)2＝5平分且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是________．二、解答题10．已知圆心为C 的圆经过点A (1,1)和B (2，－2)，且圆心C 在直线l ：x －y ＋1＝0上，求圆心为C 的圆的标准方程．11．已知一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且该圆经过点A (6,1)，求这个圆的方程．能力提升12．已知圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝4和直线l：x－y＝5，求C上的点到直线l的距离的最大值与最小值．13．已知点A(－2，－2)，B(－2,6)，C(4，－2)，点P在圆x2＋y2＝4上运动，求P A2＋PB2＋PC2的最值．1．点与圆的位置关系的判定：(1)利用点到圆心距离d与圆半径r比较．(2)利用圆的标准方程直接判断，即(x0－a)2＋(y0－b)2与r2比较．2．求圆的标准方程常用方法：(1)利用待定系数法确定a，b，r，(2)利用几何条件确定圆心坐标与半径．3．与圆有关的最值问题，首先要理清题意，弄清其几何意义，根据几何意义解题；或对代数式进行转化后用代数法求解．§2．2圆与方程2．2．1圆的方程第1课时圆的标准方程答案知识梳理1．(x－a)2＋(y－b)2＝r2x2＋y2＝r22．d>r d＝r d<r作业设计1．点在圆外解析 将点的坐标代入圆方程，得sin 2θ＋cos 2θ＝1>12，所以点在圆外． 2．(x －5)2＋(y －6)2＝10解析 M 1M 2＝210，故半径r ＝10，M 1，M 2的中点M (5,6)是所求圆的圆心．3．四 解析 (－a ，－b )为圆的圆心，由直线经过一、二、四象限，得到a <0，b >0，即－a >0，－b <0，再由各象限内点的坐标的性质得解．4．(x ＋4)2＋(y －3)2＝1解析 主要考查对对称性的理解，两个半径相等的圆关于直线对称，只需要求出关于直线对称的圆心即可，(3，－4)关于y ＝x 的对称点为(－4,3)即为圆心，1仍为半径．即所求圆的方程为(x ＋4)2＋(y －3)2＝1．5．半个圆解析 由y ＝9－x 2知，y ≥0，两边平方移项，得x 2＋y 2＝9．∴曲线表示以(0,0)为圆心，3为半径的半个圆．6．(x －2)2＋(y ＋3)2＝13解析 设直径的两个端点为M (a,0)，N (0，b )，则a ＋02＝2⇒a ＝4，b ＋02＝－3⇒b ＝－6． 所以M (4,0)，N (0，－6)．因为圆心为(2，－3)，故r ＝(2－4)2＋(－3－0)2＝13．所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13．7．(x －4)2＋(y －1)2＝26解析 圆心即为两相对顶点连线的中点，半径为两相对顶点距离的一半．8．5＋ 2解析 点(2,3)与圆心连线的延长线与圆的交点到点(2,3)的距离最大，最大距离为点(2,3)到圆心(3,4)的距离2加上半径长5，即为5＋2．9．[0,2]解析 由题意知l 过圆心(1,2)，由数形结合得0≤k ≤2．10．解 因为A (1,1)和B (2，－2)，所以线段AB 的中点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，－12， 直线AB 的斜率k AB ＝－2－12－1＝－3，因此线段AB 的垂直平分线l ′的方程为y ＋12＝13⎝⎛⎭⎫x －32，即x －3y －3＝0． 圆心C 的坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y －3＝0，x －y ＋1＝0的解． 解此方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3，y ＝－2.所以圆心C 的坐标是(－3，－2)．圆心为C 的圆的半径长r ＝AC ＝(1＋3)2＋(1＋2)2＝5．所以，圆心为C 的圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25．11．解 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2 (r >0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ |a |＝r a －3b ＝0(6－a )2＋(1－b )2＝r 2．解得a ＝3，b ＝1，r ＝3或a ＝111，b ＝37，r ＝111．所以圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x －111)2＋(y －37)2＝1112．12．解 由题意得圆心坐标为(3，1)，半径为2，则圆心到直线l 的距离为d ＝|3－1－5|2＝32－62，则圆C 上的点到直线l 距离的最大值为32－62＋2，最小值为32－62－2． 13．解 设P 点坐标(x ，y )，则x 2＋y 2＝4．P A 2＋PB 2＋PC 2＝(x ＋2)2＋(y ＋2)2＋(x ＋2)2＋(y －6)2＋(x －4)2＋(y ＋2)2＝3(x 2＋y 2)－4y ＋68＝80－4y ．∵－2≤y ≤2，∴72≤P A 2＋PB 2＋PC 2≤88．即P A 2＋PB 2＋PC 2的最大值为88，最小值为72．。
高中数学必修2《课时作业与单元检测》含答案第3章3.3.1
y－2＝－ 2(x－ 1)，
y＝－ x＋ 1
x＝ 5
由
，得
，
y－ 2＝－ 2 x－ 1
y＝－ 6
故 C 点坐标为 (5，－ 6) ．
13． 解 设原点关于 l 的对称点 A 的坐标为 (a， b)，由直线
OA 与 l 垂直和线段
AO 的中点在 l 上得
ba·－
4 3
＝－
1
8×a2＋ 6× b2＝ 25
(2＋ a) x＋( a－1)y＋ 3a＝ 0 恒过一个定点，这个定点的坐标为
________ ．
10．求经过两直线 2x＋y－ 8＝ 0 与 x－ 2y＋ 1＝0 的交点，且在 y 轴上的截距为 x 轴上截距的两倍的直线 l 的方程．
1
11．已知△ ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点分别是 D(－2，－ 3)，E(3,1)，F (－ 1,2)．先画出这个三角形， 再求出三个顶点的坐标．
a＝ 4
，解得
，
b＝ 3
∴A 的坐标为 (4,3)． ∵反射光线的反向延长线过 A(4,3)， 又由反射光线过 P(－ 4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为
y＝ 3．
7
y＝3 由方程组
，解得 x＝ 8 ，
8x＋ 6y＝ 25
y＝ 3
4
∴反射光线与直线 l 的交点坐标为 7， 3 ． 8
解得 m＝0 或 m＝－ 1 或 m＝ 3．
又当 m＝3 时， l1 与 l 2 重合， 故 m＝ 0 或 m＝－ 1． ]
6．D [ 设直线 l 与直线 y＝ 1 的交点为 A( x1,1) ，直线 l 与直线 x－ y－7＝ 0 的交点为 B(x2，y2)，因为 M(1，
学案导学高中数学(苏教版,必修五)课时作业与单元检测
模块综合检测(B)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝x ·3n －1－16，则x ＝________.2．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1＝________.3．在△ABC 中，已知sin 2B －sin 2C －sin 2A ＝3sin A sin C ，则角B 的大小为________．4．关于x 的不等式ax －b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax ＋bx －2≤0的解集是________．5．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4，x －y ≤1，x ＋2≥0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为________．6．不等式2x －3x ＋1≤12(x >0)的解为______________．7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 21＝42，记A ＝2a 211－a 9－a 13，则A 的值为________． 8．设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为________．9．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________.10．已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ≠1，设P ＝12(log 0.5a 5＋log 0.5a 7)，Q ＝log 0.5a 3＋a 92，P 与Q 的大小关系是________． 11．已知f (x )＝32x －k ·3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围为________．12．已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a nn 的最小值为________．13．设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则u ＝x 2＋y 2xy的取值范围是________．14．在△ABC 中，A 、B 、C 分别为a 、b 、c 边所对的角．若a 、b 、c 成等差数列，则B 的取值范围是________． 二、解答题15．(14分)记等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，设S 3＝12，且2a 1，a 2，a 3＋1成等比数列，求S n .ABC 的面积为32，求b .17．(14分)已知a 、b 、c 都是实数，求证：a 2＋b 2＋c 2≥(a ＋b ＋c )23.18．(16分)C位于A城的南偏西20°的位置，B位于A城的南偏东40°的位置，有一人距C为31千米的B处正沿公路向A城走去，走了20千米后到达D处，此时CD间的距离为21千米，问这人还要走多少千米才能到达A城？19．(16分)某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐，已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？20．(16分)在数列{a n }中，a 1＝1,2a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫1＋1n 2·a n (n ∈N *)． (1)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 2是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝a n ＋1－12a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .模块综合检测(B)1.12解析 S n ＝x ·3n －1－16＝x 3·3n －16，∴x 3＝16，即x ＝12.2.22解析 a 3·a 9＝a 26＝2a 25，∴(a 5q )2＝2a 25.∴q 2＝2.又q >0，∴q ＝ 2.∴a 1＝a 22＝22. 3．150°解析 sin 2B －sin 2C －sin 2A ＝3sin A sin C ⇔a 2＋c 2－b 2＝－3ac ⇒cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－3ac2ac＝－32⇒B ＝150°. 4．[－1,2)解析 ∵ax －b >0的解集是(1，＋∞)，∴a ＝b >0. ax ＋b x －2≤0⇔a (x ＋1)x －2≤0⇔x ＋1x －2≤0⇔－1≤x <2. 5. 5解析 作出可行域，如图所示．由图可知，目标函数z ＝3x －y 在点A (2,1)处取得最大值，z max ＝3×2－1＝5. 6．(0,1]解析 ∵2x －3x ＋1≤12＝2－1，∴x －3x ＋1≤－1.∴x 2＋2x －3x ≤0，即(x ＋3)(x －1)x≤0(x >0)．故不等式的解为(0,1]．7．1解析 由S 21＝21(a 1＋a 21)2＝21a 11＝42，∴a 11＝2.∴a 211－(a 9＋a 13)＝a 211－2a 11＝0.∴A ＝2a 211－a 9－a 13＝20＝1.解析 由题意知3a ·3b ＝3，即3a ＋b ＝3，所以a ＋b ＝1.因为a >0，b >0，所以1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 9.2393解析 ∵S △ABC ＝12bc sin A ＝34c ＝3，∴c ＝4.由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，解得a ＝13.由a sin A ＝b sin B ＝csin C，得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A＝1332＝2393.10．P >Q解析 P ＝log 0.5a 5a 7＝log 0.5a 3a 9，Q ＝log 0.5a 3＋a 92，由a 3＋a 92>a 3a 9 (q ≠1，a 3≠a 9)，又y ＝log 0.5x 在(0，＋∞)上递减， ∴log 0.5a 3＋a 92<log 0.5a 3a 9，即Q <P .11．(－∞，22)解析 由f (x )>0得32x －k ·3x ＋2>0，解得k <3x ＋23x ，而3x ＋23x ≥22，∴k <2 2.12.212 解析 由a n ＋1－a n ＝2n ，得a n －a n －1＝2(n －1)， a n －1－a n －2＝2(n －2)，…，a 2－a 1＝2.将这n －1个式子累加得a n －a 1＝2(n －1)(1＋n －1)2＝n 2－n .∵a 1＝33，∴a n ＝n 2－n ＋33，∴a n n ＝n 2－n ＋33n ＝n ＋33n－1.当n ＝6时，a n n 有最小值212.13.⎣⎡⎦⎤2，103 解析可行域如图，k OA ＝13，k OB ＝2，u ＝y x ＋x y ，而y x ＝t ∈⎣⎡⎦⎤13，2，函数u ＝t ＋1t 在t ∈⎣⎡⎦⎤13，1上为减函数，且在[1,2]上为增函数，∴t ＝1时，u min ＝2，t ＝13时，u max ＝103.14．0<B ≤π3解析 ∵2b ＝a ＋c ，∴b ＝12(a ＋c )，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－14(a ＋c )22ac ＝4(a 2＋c 2)－(a ＋c )28ac ＝3(a 2＋c 2)－2ac 8ac ≥3×2ac －2ac 8ac ＝12，∴0<B ≤π3.15．解 设数列{}a n 的公差为d ，依题设有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1(a 3＋1)＝a 22，a 1＋a 2＋a 3＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 21＋2a 1d －d 2＋2a 1＝0，a 1＋d ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－4.因此S n ＝12n (3n －1)或S n ＝2n (5－n )．16．解 ∵S △ABC ＝12ac sin B ＝12ac sin 30°＝32，∴ac ＝6.∵2b ＝a ＋c .由余弦定理，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac ·cos 30°， ∴b 2＝4b 2－12－63，得b 2＝4＋23，∴b ＝1＋ 3. 17．证明 ∵a 2＋b 2≥2ab ，① b 2＋c 2≥2bc ，② c 2＋a 2≥2ac ，③a 2＋b 2＋c 2＝a 2＋b 2＋c 2，④ 由①＋②＋③＋④得：3(a 2＋b 2＋c 2)≥a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ， 3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c )2，即a 2＋b 2＋c 2≥(a ＋b ＋c )23.18．解设∠ACD ＝α，∠CDB ＝β. 在△BCD 中，由余弦定理得cos β＝BD 2＋CD 2－CB 22BD ·CD ＝202＋212－3122×20×21＝－17，则sin β＝437，而sin α＝sin(β－60°)＝sin βcos 60°－cos βsin 60°＝437×12＋32×17＝5314，在△ACD 中，由正弦定理得21sin 60°＝ADsin α，∴AD ＝21sin αsin 60°＝21×531432＝15(千米)．答 这人还要走15千米才能到达A 城．19．解 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，则依题意，得z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.作出可行域如图，让目标函数表示的直线2.5x ＋4y ＝z 在可行域上平移，由此可知z ＝2.5x ＋4y 在B (4,3)处取得最小值．因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．20．(1)证明 由条件得a n ＋1(n ＋1)2＝12·a n n2，又n ＝1时，a nn 2＝1， 故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 2构成首项为1，公比为12的等比数列．从而a n n 2＝12n －1，即a n ＝n 22n －1.(2)解 由b n ＝(n ＋1)22n －n 22n ＝2n ＋12n ，得S n ＝32＋522＋…＋2n ＋12n ，12S n ＝322＋523＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1，两式相减得12S n ＝32＋2⎝⎛⎭⎫122＋123＋…＋12n －2n ＋12n ＋1，所以S n ＝5－2n ＋52n .。
《学案导学与随堂笔记》苏教版数学选修2-3全套备课精选单元测试第二章概率章末检测(B)
第2章 概率(B)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X ，那么随机变量X 可能取得的值有________个．2．盒中装有6件产品，其中取4件一等品，2件二等品，从中不放回地取产品，每次1件，取两次．已知第二次取得一等品，则第一次取得的是二等品的概率是________．3．若P (ξ≤n )＝1－a ，P (ξ≥m )＝1－b ，其中m <n ，则P (m ≤ξ≤n )＝________. 4．任意确定四个日期，其中至少有两个是星期天的概率为________．5．如图是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3的三种正态密度曲线N (0，σ2)图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是____________．6．在比赛中，如果运动员A 胜运动员B 的概率是23，那么在五次比赛中运动员A 恰有三次获胜的概率是________．7．某校14岁女生的平均身高为154.4 cm ，标准差是5.1 cm ，如果身高服从正态分布，那么在该校200个14岁的女生中，身高在164.6 cm 以上的约有________人．8．假设每一架飞机的引擎在飞机中出现故障的概率为1－p ，且各引擎是否有故障是相互独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可成功飞行，要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则p 的取值范围是________．9．设X ～N (－2，14)，则X 落在(－∞，－3.5]∪18．(16分)张华同学上学途中必须经过A ，B ，C ，D 4个交通岗，其中在A ，B 岗遇到红灯的概率均为12，在C ，D 岗遇到红灯的概率均为13.假设他在4个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，X 表示他遇到红灯的次数．(1)若X ≥3，就会迟到，求张华不迟到的概率；(2)求E (X )．19．(16分)在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．20．(16分)有10张卡片，其号码分别为1,2,3，…，10.从中任意抽取3张，记号码为3的倍数的卡片张数为X ，求X 的数学期望、方差及标准差．第2章 概率(B)答案1．17解析 X 的可能的取值为3,4,5,6,7,8,9，…，19，共有17个． 2.25解析 令第二次取得一等品为事件A ，第一次取得二等品为事件B .则P (AB )＝C 12·C 14C 16·C 15＝415，P (A )＝C 14·C 13＋C 12·C 14C 16·C 15＝23，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝415×32＝25.3．1－(a ＋b )解析 P (m ≤ξ≤n )＝1－P (ξ>n )－P (ξ<m )＝1－－＝1－(a ＋b )． 4.2412 401解析 记“取到的日期为星期天”为事件A ，则P (A )＝17，A i 表示取到的四个日期中有i (i ＝0,1,2,3,4)个星期天，则P (A 0)＝C 04⎝⎛⎭⎫170⎝⎛⎭⎫1－174＝1 2962 401，P (A 1)＝C 14⎝⎛⎭⎫171⎝⎛⎭⎫1－173＝8642 401， 故至少有两个星期天的概率为1－＝2412 401.5．0<σ1<σ2＝1<σ3解析 对正态分布N (0，σ2)，σ反映的是正态分布的离散程度，σ越小，越集中，曲线越“高瘦”，由图可知σ1<σ2<σ3，对σ2对应的曲线，由图知，μ＝0，且当x ＝0时，P (x )max ＝12π，又由曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π知σ2＝1.6.80243解析 根据二项分布，所求概率为C 35(23)3×(1－23)2＝80243. 7．5解析 设某校14岁女生的身高为X (cm)，则X ～N (154.4,5.12)．由于P (154.4－2×5.1<X≤154.4＋2×5.1)＝0.954，所以P (X >164.6)＝12×(1－0.954)＝0.023.因为200×0.023＝4.6，所以身高在164.6 cm 以上的约有5人．8．(13，1)解析 4引擎飞机成功飞行的概率为C 34p 3(1－p )＋p 4，2引擎飞机成功飞行的概率为p 2.若要使C 34p 3(1－p )＋p 4>p 2，则必有13<p <1. 9．0.3%解析 ∵μ＝－2，σ＝12∴X 在(－3.5，－0.5)内的概率为99.7%，故X 落在(－∞，－3.5]∪[－0.5，＋∞)内的概率为0.3%.10.20273解析 P (X ＝3)＝C 35×C 110C 415＝20273. 11.1212．0.128解析 由题设，分两类情况：(1)第1个正确，第2个错误，第3、4个正确，由乘法公式得P 1＝0.8×0.2×0.8×0.8＝0.102 4；(2)第1、2个错误，第3、4个正确，此时概率P 2＝0.2×0.2×0.8×0.8＝0.025 6.由互斥事件概率公式得P ＝P 1＋P 2＝0.102 4＋0.025 6＝0.128. 13．4 760 14．0.3解析 X 的取值为0,1,2,3，X ＝k 表示前k 次为次品，第k ＋1次为正品．所以P (X ＝0)＝C 19C 112＝34；P (X ＝1)＝C 13C 112·C 19C 111＝944；P (X ＝2)＝C 13C 112·C 12C 111·C 19C 110＝9220；P (X ＝3)＝C 13C 112·C 12C 111·C 11C 110·C 19C 19＝1220，所以X 的概率分布表为所以E (X )＝944＋18220＋3220＝66220＝0.3.15．解 设A ＝“甲地为雨天”，B ＝“乙地为雨天”，则根据题意有：P (A )＝0.20，P (B )＝0.18，P (AB )＝0.12.(1)P (A |B )＝P (AB )P (B )＝0.120.18≈0.67，∴乙地为雨天时，甲地也为雨天的概率约为0.67.(2)P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.120.20＝0.60，∴甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率为0.60. 16．解 (1)ξ的所有可能取值为1,3,4,6.P (ξ＝1)＝13，P (ξ＝3)＝16，P (ξ＝4)＝16，P (ξ＝6)＝13，ξ的概率分布表为(2)E (ξ)＝1×13＋3×16＋4×16＋6×13＝72(小时)．17．解 设“甲译出密码”为事件A ；“乙译出密码”为事件B ，则P (A )＝13，P (B )＝14，(1)P ＝P (A ·B )＋P (A ·B )＝13×34＋23×14＝512.(2)n 个乙这样的人都译不出密码的概率为 (1－14)n .∴1－(1－14)n ≥99100.解得n ≥17.∴达到译出密码的概率为99100，至少需要17人．18．解 (1)P (X ＝3)＝C 12×(12)2×(13)2＋C 12×13×23×(12)2＝16；P (X ＝4)＝(12)2×(13)2＝136. 故张华不迟到的概率为P (X ≤2)＝1－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝2936.(2)X∴E (X )＝0×19＋1×13＋2×1336＋3×16＋4×136＝53.19．解 分别记这段时间内开关S A ，S B ，S C 能够闭合为事件A ，B ，C .由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响．根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是：P (A ·B ·C )＝P (A )·P (B )·P (C )＝＝(1－0.7)(1－0.7)(1－0.7)＝0.027，所以这段时间内线路正常工作的概率是：1－P (A ·B ·C )＝1－0.027＝0.973. 20．解 X 的可能值为0,1,2,3，所以P (X ＝0)＝C 03C 37C 310＝724；P (X ＝1)＝C 13C 27C 310＝2140；P (X ＝2)＝C 23C 17C 310＝740；P (X ＝3)＝C 33C 07C 310＝1120，故X 的数学期望为E (X )＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910，V (X )＝(0－910)2×724＋(1－910)2×2140＋(2－910)2×740＋(3－910)2×1120＝49100；V (X )＝49100＝710.。
学案导学与随堂笔记苏教数学选修21全套备课精选单元测试：第1章 常用逻辑用语 单元检测B卷
第1章 单元检测(B 卷)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．下列命题：①∀x ∈R ，不等式x 2＋2x >4x －3成立；②若log 2x ＋log x 2≥2，则x >1；③命题“若a >b >0且c <0，则c a >c b”的逆否命题； ④若命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1≥1.命题q ：∃x 0∈R ，x 20－2x 0－1≤0，则命题p ∧⌝q 是真命题．其中真命题有________．(填序号)2．下列命题中，假命题的个数为________．①若a ≥b >－1，则a 1＋a ≥b 1＋b； ②若正数m 和n 满足m ≤n ，则m (n －m )≤n 2； ③设P (x 1，y 1)为圆O 1：x 2＋y 2＝9上任意一点，圆O 2以Q (a ，b )为圆心且半径为1，当(a －x 1)2＋(b －y 1)2＝1时，圆O 1和圆O 2相切．3．下列命题中真命题的序号为________．①∀x ∈R,2x ＋1是整数；②∃x ∈R ，sin x >1；③∃x ∈Z ，x 2＝3；④∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0.4．已知a ，b 是实数，则“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的________条件．5．下列说法正确的是________(填序号)．①若a ，b 都是实数，则“a 2>b 2”是“a >b ”的既不充分也不必要条件；②若p ：x >5，q ：x ≥5，则p 是q 的充分而不必要条件；③条件甲：“a >1”是条件乙：“a >a ”的必要而不充分条件；④在△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”的充分必要条件．6．“x ≠y ”是“sin x ≠sin y ”的____________条件．7．命题p ：若a ≥b 则c >d ，命题q ：若e ≤f 则a <b ，若p 为真，q 的否命题为真，则“c ≤d ”是“e ≤f ”的________条件．8．已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的序号是________．(1)(⌝p )∨q ；(2)p ∧q ；(3)(⌝p )∧(⌝q )；(4)(⌝p )∨(⌝q )．9．已知三个不等式：ab >0，bc －ad >0，c a －d b>0(a ，b ，c ，d 均为实数)，以其中两个不等式作为条件，余下一个作为结论组成命题，可组成真命题的个数是________．10．已知条件p ：x 2－x ≥6，q ：x ∈Z ，若“p 且q ”与“非q ”同时为假命题，则x 的取值集合为________________．11．命题“ax 2－2ax ＋3>0恒成立”是假命题，则实数a 的取值范围是______________．12．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________________________．13．命题“若A B，则A＝B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是________．14．若|x－1|<a的充分条件是|x－1|<b(其中a，b>0)，则a，b之间的关系是________．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)分别写出由下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的命题，并判断它们的真假．(1)p：平行四边形对角线相等；q：平行四边形的对角线互相平分；(2)p：方程x2－16＝0的两根的符号不同；q：方程x2－16＝0的两根的绝对值相等．16．(14分)已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.17.(14分)已知a>0，设命题p：函数y＝a x在R上单调递增；命题q：不等式ax2＋ax＋1>0对 x∈R恒成立，若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围．18．(16分)已知条件p：|2x－1|>a和条件q：1x2－4x＋3>0，请选取适当的正实数a的值，分别利用所给的条件作为A、B构造命题“若A，则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题．19.(16分)已知p：a＝0，q：直线l1：x－2ay－1＝0与直线l2：2x－2ay－1＝0平行，求证：p是q的充要条件．20．(16分)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(－1,0)，是否存在常数a 、b 、c 使不等式x ≤f (x )≤1＋x 22对一切实数x 均成立？第1章 常用逻辑用语(B)1．①②③2．1解析 ①②均为真命题，③是假命题．3．④4．充要解析 对于“a >0且b >0”可以推出“a ＋b >0且ab >0”，反之也是成立的，故为充要条件．5．①②④解析 ③中，a >a ⇔a >1，a >1是a >a 的充要条件．6．必要不充分解析 因为“sin x ＝sin y ”是“x ＝y ”的必要不充分条件，所以“x ≠y ”是“sin x ≠sin y ”的必要不充分条件．7．充分解析 命题q 的否命题为“若e >f ，则a ≥b ”，且为真命题，而命题p ：若a ≥b 则c >d ，且为真命题，则有“若e >f ，则c >d ”，即“e >f ”是“c >d ”的充分条件，由等价命题关系可知“c ≤d ”是“e ≤f ”的充分条件．8．(4)解析 不难判断命题p 为真命题，命题q 为假命题，从而只有(綈p )∨(綈q )为真命题．9．3解析 共可组成3个命题，且都为真命题．10．{－1,0,1,2}解析 由题意得p 假q 真，所以x 2－x <6且x ∈Z ，解得x ＝－1,0,1,2，故x 的取值集合为{－1,0,1,2}．11．(－∞，0)∪∴p ：a >1；又不等式ax 2－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立，∴Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a <0， ∴0<a <4，∴q ：0<a <4.而命题p 且q 为假，p 或q 为真，那么p 、q 中有且只有一个为真，一个为假． ①若p 真q 假，则a ≥4；②若p 假q 真，则0<a ≤1.所以a 的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞)．18．解 已知条件p 即2x －1<－a 或2x －1>a ，∴x <1－a 2或x >1＋a 2；已知条件q 即x 2－4x ＋3>0， ∴x <1或x >3.令a ＝5，则p 即x <－2或x >3，此时必有p ⇒q ，反之不然．故可以选取一个实数a ＝5，令A 为p ，B 为q ，构造命题“若|2x －1|>5，则1x 2－4x ＋3>0”，由以上过程可知这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题为假命题．19．证明 (1)当a ＝0时，l 1：x ＝1，l 2：x ＝12， 所以l 1∥l 2，即由“a ＝0”能推出“l 1∥l 2”．(2)当l 1∥l 2时，若a ≠0，则l 1∶y ＝12a x －12a ，l 2：y ＝1a x －12a， 所以12a ＝1a，无解． 若a ＝0，则l 1：x ＝1，l 2：x ＝12， 显然l 1∥l 2，即由“l 1∥l 2”能推出“a ＝0”．综上所述a ＝0⇔l 1∥l 2，所以p 是q 的充要条件．20．解 假设存在常数a 、b 、c 使题设命题成立．∵f (x )的图象过点(－1,0)，∴a －b ＋c ＝0.又x ≤f (x )≤1＋x 22对一切x ∈R 均成立， ∴当x ＝1时，也成立，即1≤a ＋b ＋c ≤1，故a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝12，c ＝12－a . ∴f (x )＝ax 2＋12x ＋12－a .故有x ≤ax 2＋12x ＋12－a ≤1＋x 22时，x ∈R 成立． 即⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－12x ＋12－a ≥0，(1－2a )x 2－x ＋2a ≥0，恒成立． ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ Δ1≤0Δ2≤0a >01－2a >0⇔⎩⎨⎧ 14－4a ⎝⎛⎭⎫12－a ≤0，1－8a (1－2a )≤0，0<a <12，∴a ＝14，c ＝14， 从而f (x )＝14x 2＋12x ＋14， ∴存在一组常数a 、b 、c 使得不等式x ≤f (x )≤1＋x 22对于x ∈R 恒成立．。
学案导学与随堂笔记苏教必修二数学课时作业与单元检测4习题课
习题课【课时目标】 1．能熟练应用直线、平面平行与垂直的判定及性质进行有关的证明．2．进一步体会化归思想在证明中的应用．a 、b 、c 表示直线，α、β、γ表示平面． 位置 关系 判定定理 (符号语言) 性质定理(符号语言)直线与平面平行 a ∥b 且__________⇒a ∥αa ∥α，________________⇒a ∥b 平面与平面平行a ∥α，b ∥α，且________________⇒α∥βα∥β，________________⇒a ∥b直线与平面垂直 l ⊥a ，l ⊥b ，且____________⇒l ⊥α a ⊥α，b ⊥α⇒____ 平面与平面垂直a ⊥α，____⇒α⊥βα⊥β，α∩β＝a ， __________⇒b ⊥β一、填空题1．不同直线m 、n 和不同平面α、β．给出下列命题：①⎭⎪⎬⎪⎫α∥βm ⊂α⇒m ∥β； ② ⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ∥β⇒n ∥β； ③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αn ⊂β⇒m ，n 异面； ④⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βm ∥α⇒m ⊥β． 其中假命题的个数为________．2．下列命题中：(1)平行于同一直线的两个平面平行；(2)平行于同一平面的两个平面平行；(3)垂直于同一直线的两直线平行；(4)垂直于同一平面的两直线平行．其中正确命题的为________．3．若a 、b 表示直线，α表示平面，下列命题中正确的有________个． ①a ⊥α，b ∥α⇒a ⊥b ；②a ⊥α，a ⊥b ⇒b ∥α；③a ∥α，a ⊥b ⇒b ⊥α．4．过平面外一点P ：①存在无数条直线与平面α平行；②存在无数条直线与平面α垂直；③有且只有一条直线与平面α平行；④有且只有一条直线与平面α垂直，其中真命题的个数是________．5．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总是保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是________．6．设a ，b 为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是________． ①若a ，b 与α所成的角相等，则a ∥b ； ②若a ∥α，b ∥β，α∥β，则a ∥b ； ③若a ⊂α，b ⊂β，a ∥b ，则α∥β； ④若a ⊥α，b ⊥β，α⊥β，则a ⊥b ．7．三棱锥D －ABC 的三个侧面分别与底面全等，且AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则二面角A －BC －D 的大小为______．8．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________．9．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为BD 1的中点，则△PAC 在该正方体各个面上的射影可能是________．(填序号)二、解答题10．如图所示，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE ＝CA ＝2BD ，M 是EA 的中点，求证：(1)DE ＝DA ；(2)平面BDM ⊥平面ECA ； (3)平面DEA ⊥平面ECA ．11．如图，棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形，B 1C ⊥A 1B ． (1)证明：平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1；(2)设D 是A 1C 1上的点且A 1B ∥平面B 1CD ，求A 1DDC 1的值．能力提升12．四棱锥P—ABCD的顶点P在底面ABCD中的投影恰好是A，其三视图如图：(1)根据图中的信息，在四棱锥P—ABCD的侧面、底面和棱中，请把符合要求的结论填写在空格处(每空只要求填一种)：①一对互相垂直的异面直线________；②一对互相垂直的平面________；③一对互相垂直的直线和平面________；(2)四棱锥P—ABCD的表面积为________．(棱锥的表面积等于棱锥各面的面积之和)13．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB＝2EF，EF∥AB，EF⊥FB，BF＝FC，H为BC的中点．(1)求证：FH∥平面EDB；(2)求证：AC⊥平面EDB．转化思想是证明线面平行与垂直的主要思路，其关系为即利用线线平行(垂直)，证明线面平行(垂直)或证明面面平行(垂直)；反过来，又利用面面平行(垂直)，证明线面平行(垂直)或证明线线平行(垂直)，甚至平行与垂直之间的转化．这样，来来往往，就如同运用“四渡赤水”的战略战术，达到了出奇制胜的目的．习题课答案知识梳理位置判定定理性质定理关系(符号语言) (符号语言)直线与平面平行a∥b且a⊄α，b⊂α⇒a∥αa∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b平面与平面平行a∥α，b∥α，且a⊂β，b⊂β，a∩b＝P⇒α∥βα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b直线与平面垂直l⊥a，l⊥b，且a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥αa⊥α，b⊥α⇒a∥b平面与平面垂直a⊥α，a⊂β⇒α⊥βα⊥β，α∩β＝a，b⊥a，b⊂α⇒b⊥β1．3解析命题①正确，面面平行的性质；命题②不正确，也可能n⊂β；命题③不正确，如果m、n有一条是α、β的交线，则m、n共面；命题④不正确，m与β的关系不确定．2．2解析(2)和(4)对．3．1解析①正确．4．2解析①④正确．5．线段B1C解析连结AC，AB1，B1C，∵BD⊥AC，AC⊥DD1，BD∩DD1＝D，∴AC⊥面BDD1，∴AC⊥BD1，同理可证BD1⊥B1C，∴BD1⊥面AB1C．∴P∈B1C时，始终AP⊥BD1．6．④7．90°解析由题意画出图形，数据如图，取BC的中点E，连结AE、DE，易知∠AED为二面角A—BC—D的平面角．可求得AE＝DE＝2，由此得AE2＋DE2＝AD2．故∠AED＝90°．8．36解析 正方体的一条棱长对应着2个“正交线面对”，12条棱长共对应着24个“正交线面对”；正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”，12条面对角线对应着12个“正交线面对”，共有36个． 9．①④10．证明 (1)如图所示，取EC 的中点F ，连结DF ，∵EC ⊥平面ABC ， ∴EC ⊥BC ，又由已知得DF ∥BC ， ∴DF ⊥EC ．在Rt △EFD 和Rt △DBA 中，∵EF ＝12EC ＝BD ，FD ＝BC ＝AB ， ∴Rt △EFD ≌Rt △DBA ， 故ED ＝DA ．(2)取CA 的中点N ，连结MN 、BN ，则MN 綊12EC ，∴MN ∥BD ，∴N 在平面BDM 内，∵EC ⊥平面ABC ，∴EC ⊥BN ．又CA ⊥BN ， ∴BN ⊥平面ECA ，BN ⊂平面MNBD ， ∴平面MNBD ⊥平面ECA ． 即平面BDM ⊥平面ECA ．(3)∵BD 綊12EC ，MN 綊12EC ，∴BD 綊MN ，∴MNBD 为平行四边形， ∴DM ∥BN ，∵BN ⊥平面ECA ， ∴DM ⊥平面ECA ，又DM ⊂平面DEA ， ∴平面DEA ⊥平面ECA ．11．(1)证明 因为侧面BCC 1B 1是菱形， 所以B 1C ⊥BC 1．又B1C⊥A1B，且A1B∩BC1＝B，所以B1C⊥平面A1BC1．又B1C⊂平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1．(2)解设BC1交B1C于点E，连结DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线．因为A1B∥平面B1CD，所以A1B∥DE．又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点，即A1DDC1＝1．12．(1)①PA⊥BC(或PA⊥CD或AB⊥PD)②平面PAB⊥平面ABCD(或平面PAD⊥平面ABCD或平面PAB⊥平面PAD或平面PCD⊥平面PAD或平面PBC⊥平面PAB)③PA⊥平面ABCD(或AB⊥平面PAD或CD⊥平面PAD或AD⊥平面PAB或BC⊥平面PAB)(2)2a2＋2a2解析(2)依题意：正方形的面积是a2，S△PAB＝S△PAD＝12a 2．又PB＝PD＝2a，∴S△PBC＝S△PCD＝22a2．所以四棱锥P—ABCD的表面积是S＝2a2＋2a2．13．(1)证明如图，设AC与BD交于点G，则G为AC的中点．连结EG，GH，由于H 为BC的中点，故GH綊12AB．又EF綊12AB，∴EF綊GH．∴四边形EFHG为平行四边形．∴EG∥FH．而EG⊂平面EDB，FH⊄平面EDB，∴FH∥平面EDB．(2)证明由四边形ABCD为正方形，得AB⊥BC．又EF∥AB，∴EF⊥BC．而EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC．∴EF⊥FH．∴AB⊥FH．又BF＝FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC．∴FH⊥平面ABCD．∴FH⊥AC．又FH∥EG，∴AC⊥EG．又AC⊥BD，EG∩BD＝G，∴AC⊥平面EDB．。
学案导学与随堂笔记苏教必修二数学课时作业与单元检测3第4课时直线与平面垂直的性质
第4课时 直线与平面垂直的性质【课时目标】 1．掌握直线与平面垂直的性质定理．2．会求直线与平面所成的角．1．直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线________． 该定理用图形表示为：用符号表示为：________________________．2．直线和平面的距离：一条直线和一个平面________，这条直线上______________到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离．3．平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面______________．规定：若直线与平面垂直，则直线与平面所成的角是________．若直线与平面平行或直线在平面内，则直线与平面所成的角是________的角．一、填空题1．与两条异面直线同时垂直的平面有________个．2．若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为________． ① ⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ⊥α⇒n ⊥α； ② ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ； ③ ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ∥α⇒m ⊥n ； ④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αm ⊥n ⇒n ⊥α． 3．已知直线PG ⊥平面α于G ，直线EF ⊂α，且PF ⊥EF 于F ，那么线段PE ，PF ，PG 的大小关系是______________．4．PA 垂直于以AB 为直径的圆所在平面，C 为圆上异于A ，B 的任一点，则下列关系正确的是________(填序号)．①PA ⊥BC ；②BC ⊥平面PAC ；③AC ⊥PB ；④PC ⊥BC ．5．P 为△ABC 所在平面外一点，O 为P 在平面ABC 内的射影．(1)若P 到△ABC 三边距离相等，且O 在△ABC 的内部，则O 是△ABC 的________心；(2)若PA ⊥BC ，PB ⊥AC ，则O 是△ABC 的______心；(3)若PA ，PB ，PC 与底面所成的角相等，则O 是△ABC 的________心．6．线段AB 在平面α的同侧，A 、B 到α的距离分别为3和5，则AB 的中点到α的距离为________．7．直线a 和b 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的两个不同平面内，使a ∥b 成立的条件是________．(只填序号)①a 和b 垂直于正方体的同一个面；②a 和b 在正方体两个相对的面内，且共面；③a和b平行于同一条棱；④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是________；(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是________．9．如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是________．(正三棱柱：侧棱与底面垂直，底面为正三角形的棱柱)二、解答题10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．11．如图所示，设三角形ABC的三个顶点在平面α的同侧，AA′⊥α于A′，BB′⊥α于B′，CC′⊥α于C′，G、G′分别是△ABC和△A′B′C′的重心，求证：GG′⊥α．能力提升12．如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M 是EA的中点，N是EC的中点，求证：平面DMN∥平面ABC．13．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M，N分别是A1B，B1C1的中点．(1)求证：MN⊥平面A1BC；(2)求直线BC1和平面A1BC所成的角的大小．1．直线和平面垂直的性质定理可以作为两条直线平行的判定定理，可以并入平行推导链中，实现平行与垂直的相互转化，即线线垂直⇒线面垂直⇒线线平行⇒线面平行．2．求线面角，确定直线在平面内的射影的位置，是解题的关键．因为只有确定了射影的位置，才能找到直线与平面所成的角，才能将空间的问题转化为平面的问题来解．第4课时直线与平面垂直的性质答案知识梳理1．平行a⊥α，b⊥α⇒a∥b2．平行任意一点3．所成的角直角0°作业设计1．02．3解析 ①②③正确，④中n 与面α可能有：n ⊂α或n ∥α或相交(包括n ⊥α)．3．PE>PF>PG解析 由于PG ⊥平面α于G ，PF ⊥EF ，∴PG 最短，PF<PE ，∴PE>PF>PG ．4．①②④解析 PA ⊥平面ABC ，得PA ⊥BC ，①正确；又BC ⊥AC ，∴BC ⊥面PAC ，∴BC ⊥PC ，②、④均正确．5．(1)内 (2)垂 (3)外6．4解析 由直线与平面垂直的性质定理知AB 中点到α距离为以3和5为上、下底的直角梯形的中位线的长．7．①②③解析 ①为直线与平面垂直的性质定理的应用，②为面面平行的性质，③为公理4的应用．8．(1)45° (2)30° (3)90°解析(1)由线面角定义知∠A 1BA 为A 1B 与平面ABCD 所成的角，∠A 1BA ＝45°．(2)连结A 1D 、AD 1，交点为O ，则易证A 1D ⊥面ABC 1D 1，所以A 1B 在面ABC 1D 1内的射影为OB ，∴A 1B 与面ABC 1D 1所成的角为∠A 1BO ，∵A 1O ＝12A 1B ，∴∠A 1BO ＝30°． (3)∵A 1B ⊥AB 1，A 1B ⊥B 1C 1，∴A 1B ⊥面AB 1C 1D ，即A 1B 与面AB 1C 1D 所成的角为90°．9．30°解析 取AC 的中点E ，连结C 1E ，BE ，则∠BC 1E 即为所求的角．又由BC 1＝3， BE ＝32， 所以sin ∠BC 1E ＝12，∠BC 1E ＝30°． 10．证明 (1)∵ADD 1A 1为正方形，∴AD 1⊥A 1D ．又∵CD ⊥平面ADD 1A 1，∴CD ⊥AD 1．∵A 1D ∩CD ＝D ，∴AD 1⊥平面A 1DC ．又∵MN ⊥平面A 1DC ，∴MN ∥AD 1．(2)连结ON ，在△A 1DC 中，A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC ．∴ON 綊12CD 綊12AB ，∴ON ∥AM ．又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形，∴ON ＝AM ．∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB ，∴M 是AB 的中点．11．证明连结AG 并延长交BC 于D ，连结A ′G ′并延长交B ′C ′于D ′，连结DD ′，由AA ′⊥α，BB ′⊥α，CC ′⊥α，得AA ′∥BB ′∥CC ′．∵D 、D ′分别为BC 和B ′C ′的中点，∴DD ′∥CC ′∥BB ′，∴DD ′∥AA ′，∵G 、G ′分别是△ABC 和△A ′B ′C ′的重心，∴AGGD ＝A ′G ′G ′D ′，∴GG ′∥AA ′，又∵AA ′⊥α，∴GG ′⊥α．12．证明 ∵M 、N 分别是EA 与EC 的中点，∴MN ∥AC ，又∵AC ⊂平面ABC ，MN ⊄平面ABC ，∴MN ∥平面ABC ，∵DB ⊥平面ABC ，EC ⊥平面ABC ，∴BD ∥EC ，四边形BDEC 为直角梯形，∵N 为EC 中点，EC ＝2BD ，∴NC 綊BD ，∴四边形BCND 为矩形，∴DN ∥BC ，又∵DN ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴DN ∥平面ABC ，又∵MN ∩DN ＝N ，∴平面DMN ∥平面ABC ．13．(1)证明 如图所示，由已知BC ⊥AC ，BC ⊥CC 1， 得BC ⊥平面ACC 1A 1．连结AC 1，则BC ⊥AC 1．由已知，可知侧面ACC 1A 1是正方形，所以A 1C ⊥AC 1． 又BC ∩A 1C ＝C ，所以AC 1⊥平面A 1BC ．因为侧面ABB 1A 1是正方形，M 是A 1B 的中点，连结AB 1，则点M 是AB 1的中点． 又点N 是B 1C 1的中点，则MN 是△AB 1C 1的中位线，所以MN ∥AC 1．故MN ⊥平面A 1BC ．(2)解 如图所示，因为AC 1⊥平面A 1BC ，设AC 1与A 1C 相交于点D ，连结BD ， 则∠C 1BD 为直线BC 1和平面A 1BC 所成的角．设AC ＝BC ＝CC 1＝a ，则C 1D ＝22a ，BC 1＝2a ． 在Rt △BDC 1中，sin ∠C 1BD ＝C 1D BC 1＝12， 所以∠C 1BD ＝30°，故直线BC 1和平面A 1BC 所成的角为30°．。
数学·必修2(苏教版)模块综合检测卷(二) Word版含解析
模块综合检测卷(二)
(时间：分钟满分：分)
一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)．若是圆＋＝的弦，的中点是(，)，则直线的方程是( )
．＋－＝
．＋－＝
．－＝
．－＋＝
解析：由题意知＝＝，
所以＝－.
所以直线的方程为：
－＝－(－)，
即：＋－＝.
答案：．直线通过两直线＋－＝和－＝的交点，且点(，)到的距离为
，则的方程是( )
．－＋＝
．＋＋＝
．－－＝
．－－＝
解析：由得交点(，)．
设的方程为－＝(－)，
即－＋－＝，
所以＝，解得＝.
所以的方程为－－＝.
答案：．在坐标平面上，到点(，，)，(，，)距离相等的点有( )
．个
．个
．无数个
．不存在
解析：在坐标平面内，设点(，，)，依题意得＝，
整理得＝－，∈，
所以符合条件的点有无数个．
答案：
．已知直线：＋－＝(∈)是圆：＋－－＋＝的对称轴．过点(－，)作圆的一条切线，切点为，则＝( )
．．．．
解析：圆的标准方程为(－)＋(－)＝，
圆心为(，)，半径为＝，
因此＋·－＝，＝－，即(－，－)，
＝＝＝.
答案：
．已知两点(－，)，(，)．点是圆＋－＝上任意一点，则△面积的最小值是( )
．－．＋
．－
解析：：－＋＝，
圆心(，)到的距离＝＝，
所以边上的高的最小值为－.
所以＝××＝－.
答案：
．若点(－，－，)关于坐标平面及轴的对称点的坐标分别是(，，)，(，，)，则与的和为( )
．．－．－．。
学案导学与随堂笔记苏教数学选修23全套备课精选单元测试：第二章 概率 章末检测B
第2章 概率(B)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X ，那么随机变量X 可能取得的值有________个．2．盒中装有6件产品，其中取4件一等品，2件二等品，从中不放回地取产品，每次1件，取两次．已知第二次取得一等品，则第一次取得的是二等品的概率是________．3．若P (ξ≤n )＝1－a ，P (ξ≥m )＝1－b ，其中m <n ，则P (m ≤ξ≤n )＝________. 4．任意确定四个日期，其中至少有两个是星期天的概率为________．5．如图是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3的三种正态密度曲线N (0，σ2)图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是____________．6．在比赛中，如果运动员A 胜运动员B 的概率是23，那么在五次比赛中运动员A 恰有三次获胜的概率是________．7．某校14岁女生的平均身高为154.4 cm ，标准差是5.1 cm ，如果身高服从正态分布，那么在该校200个14岁的女生中，身高在164.6 cm 以上的约有________人．8．假设每一架飞机的引擎在飞机中出现故障的概率为1－p ，且各引擎是否有故障是相互独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可成功飞行，要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则p 的取值范围是________．9．设X ～N (－2，14)，则X 落在(－∞，－3.5]∪18．(16分)张华同学上学途中必须经过A ，B ，C ，D 4个交通岗，其中在A ，B 岗遇到红灯的概率均为12，在C ，D 岗遇到红灯的概率均为13.假设他在4个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，X 表示他遇到红灯的次数．(1)若X ≥3，就会迟到，求张华不迟到的概率；(2)求E (X )．19．(16分)在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．20．(16分)有10张卡片，其号码分别为1,2,3，…，10.从中任意抽取3张，记号码为3的倍数的卡片张数为X ，求X 的数学期望、方差及标准差．第2章 概率(B)答案1．17解析 X 的可能的取值为3,4,5,6,7,8,9，…，19，共有17个． 2.25解析 令第二次取得一等品为事件A ，第一次取得二等品为事件B .则P (AB )＝C 12·C 14C 16·C 15＝415，P (A )＝C 14·C 13＋C 12·C 14C 16·C 15＝23，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝415×32＝25.3．1－(a ＋b )解析 P (m ≤ξ≤n )＝1－P (ξ>n )－P (ξ<m )＝1－－＝1－(a ＋b )． 4.2412 401解析 记“取到的日期为星期天”为事件A ，则P (A )＝17，A i 表示取到的四个日期中有i (i ＝0,1,2,3,4)个星期天，则P (A 0)＝C 04⎝⎛⎭⎫170⎝⎛⎭⎫1－174＝1 2962 401， P (A 1)＝C 14⎝⎛⎭⎫171⎝⎛⎭⎫1－173＝8642 401， 故至少有两个星期天的概率为1－＝2412 401.5．0<σ1<σ2＝1<σ3解析 对正态分布N (0，σ2)，σ反映的是正态分布的离散程度，σ越小，越集中，曲线越“高瘦”，由图可知σ1<σ2<σ3，对σ2对应的曲线，由图知，μ＝0，且当x ＝0时，P (x )max ＝12π，又由曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π知σ2＝1.6.80243解析 根据二项分布，所求概率为C 35(23)3×(1－23)2＝80243. 7．5解析 设某校14岁女生的身高为X (cm)，则X ～N (154.4,5.12)．由于P (154.4－2×5.1<X≤154.4＋2×5.1)＝0.954，所以P (X >164.6)＝12×(1－0.954)＝0.023.因为200×0.023＝4.6，所以身高在164.6 cm 以上的约有5人．8．(13，1)解析 4引擎飞机成功飞行的概率为C 34p 3(1－p )＋p 4，2引擎飞机成功飞行的概率为p 2.若要使C 34p 3(1－p )＋p 4>p 2，则必有13<p <1. 9．0.3%解析 ∵μ＝－2，σ＝12∴X 在(－3.5，－0.5)内的概率为99.7%，故X 落在(－∞，－3.5]∪[－0.5，＋∞)内的概率为0.3%.10.20273解析 P (X ＝3)＝C 35×C 110C 415＝20273.11.1212．0.128解析 由题设，分两类情况：(1)第1个正确，第2个错误，第3、4个正确，由乘法公式得P 1＝0.8×0.2×0.8×0.8＝0.102 4；(2)第1、2个错误，第3、4个正确， 此时概率P 2＝0.2×0.2×0.8×0.8＝0.025 6.由互斥事件概率公式得P ＝P 1＋P 2＝0.102 4＋0.025 6＝0.128. 13．4 760 14．0.3解析 X 的取值为0,1,2,3，X ＝k 表示前k 次为次品，第k ＋1次为正品．所以P (X ＝0)＝C 19C 112＝34；P (X ＝1)＝C 13C 112·C 19C 111＝944；P (X ＝2)＝C 13C 112·C 12C 111·C 19C 110＝9220；P (X ＝3)＝C 13C 112·C 12C 111·C 11C 110·C 19C 19＝1220，所以X X 0 1 2 3 P3494492201220所以E (X )＝944＋18220＋3220＝66220＝0.3.15．解 设A ＝“甲地为雨天”，B ＝“乙地为雨天”，则根据题意有：P (A )＝0.20，P (B )＝0.18，P (AB )＝0.12.(1)P (A |B )＝P (AB )P (B )＝0.120.18≈0.67，∴乙地为雨天时，甲地也为雨天的概率约为0.67.(2)P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.120.20＝0.60，∴甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率为0.60.16．解 (1)ξ的所有可能取值为1,3,4,6.P (ξ＝1)＝13，P (ξ＝3)＝16，P (ξ＝4)＝16，P (ξ＝6)＝13，ξ的概率分布表为ξ 1 3 4 6P 13 16 16 13(2)E (ξ)＝1×13＋3×16＋4×16＋6×13＝72(小时)．17．解 设“甲译出密码”为事件A ；“乙译出密码”为事件B ， 则P (A )＝13，P (B )＝14，(1)P ＝P (A ·B )＋P (A ·B )＝13×34＋23×14＝512.(2)n 个乙这样的人都译不出密码的概率为 (1－14)n .∴1－(1－14)n ≥99100.解得n ≥17.∴达到译出密码的概率为99100，至少需要17人．18．解 (1)P (X ＝3)＝C 12×(12)2×(13)2＋C 12×13×23×(12)2＝16；P (X ＝4)＝(12)2×(13)2＝136. 故张华不迟到的概率为P (X ≤2)＝1－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝2936.(2)X 的概率分布表为X1 2 3 4 P 19 13 133616 136∴E (X )＝0×19＋1×13＋2×1336＋3×16＋4×136＝53.19．解 分别记这段时间内开关S A ，S B ，S C 能够闭合为事件A ，B ，C .由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响．根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是：P (A ·B ·C )＝P (A )·P (B )·P (C )＝＝(1－0.7)(1－0.7)(1－0.7)＝0.027，所以这段时间内线路正常工作的概率是：1－P (A ·B ·C )＝1－0.027＝0.973.20．解 X 的可能值为0,1,2,3，所以P (X ＝0)＝C 03C 37C 310＝724；P (X ＝1)＝C 13C 27C 310＝2140；P (X ＝2)＝C 23C 17C 310＝740；P (X ＝3)＝C 33C 07C 310＝1120，故X 的数学期望为E (X )＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910，V (X )＝(0－910)2×724＋(1－910)2×2140＋(2－910)2×740＋(3－910)2×1120＝49100；V (X )＝49100＝710.。
学案导学高中数学(苏教版,必修五)课时作业与单元检测模块综合检测(3份)模块综合检测(C)
模块综合检测(C)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三内角A ，B ，C 的对边，且sin 2A －sin 2C ＝(sin A －sin B )·sin B ，则角C ＝________.2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 7－a 10＝8，a 11－a 4＝4，则S 13＝________.3．若1a <1b <0，则下列不等式：①|a |>|b |；②a ＋b >ab ；③b a ＋a b >2；④a 2b<2a －b 中，正确的不等式序号为________．4．△ABC 中，a ＝1，b ＝3，A ＝30°，则B ＝________.5．已知0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列不等式中，正确的为________．(填序号)①log 2a >0；②2a －b <12；③log 2a ＋log 2b <－2；④2a b ＋b a <12. 6．已知各项不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且a 7＝b 7，则b 6b 8＝________.7．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝________. 8．企业生产甲、乙两种产品．已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得的利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润为________万元．9．已知数列{a n }中，a 1＝1，1a n ＋1＝1a n ＋13，则a 10＝________. 10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若a ＝c sin A ，则a ＋b c的最大值为________． 11．已知数列{a n }为等比数列，若a 2a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则a 7＝________. 12．已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 到C 的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西40°，A ，B 两船的距离为3 km ，则B 到C 的距离为________km.13．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n 的两个零点，则b 10＝_________________________________________________________________.14．不等式⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥0y ≤－kx ＋4k(k >1)所表示的平面区域为M .若M 的面积为S ，则kS k －1的最小值为__________________________________________________________________．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且有b cos C ＋c cos B ＝2a cos B .(1)求B 的大小；(2)若△ABC 的面积是334，且a ＋c ＝5，求b .16．(14分)已知数列{a n }的首项为a 1＝12，且2a n ＋1＝a n (n ∈N *)． (1)求{a n }的通项公式；(2)若数列b n 满足b n ＝n a n，求{b n }的前n 项和T n .17．(14分)设某企业每月生产电机x 台，根据企业月度报表知，每月总产值m (万元)与总支出n (万元)近似地满足下列关系：m ＝92x －14，n ＝－14x 2＋5x ＋74.当m －n ≥0时，称不亏损企业，当m －n <0时，称亏损企业，且n －m 为亏损额．(1)企业要成为不亏损企业，每月至少生产多少台电机？(2)当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少？18．(16分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且1＋tan A tan B ＝2c b. (1)求角A ；(2)若a ＝3，试判断bc 取得最大值时△ABC 的形状．19．(16分)某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P 与日产量x (万件)之间大体满足关系：P ＝⎩⎨⎧16－x ， 1≤x <623， x ≥6.(注：次品率＝次品数/生产量，如P ＝0.1表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品)．已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量．(1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T (万元)表示为日产量x (万件)的函数；(2)当日产量x 为多少时，可获得最大利润？20．(16分)已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，且S n ＝n －5a n －85，n ∈N *.(1)证明：{}a n －1是等比数列；(2)求数列{}S n 的通项公式，并求出n 为何值时，S n 取得最小值？并说明理由．(参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.48)．模块综合检测(C)1.π3解析 由已知得sin 2C ＝sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ，由正弦定理得：a 2＋b 2－c 2＝ab .由余弦定理得：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12. 又0<C <π，∴C ＝π3. 2．156解析 ∵a 3＋a 7－a 10＝8，a 11－a 4＝4.∴(a 3＋a 7－a 10)＋(a 11－a 4)＝(a 3＋a 11)＋a 7－(a 4＋a 10)＝a 7＝12.∴S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7＝13×12＝156. 3．③④解析 ∵1a <1b<0，∴a <0，b <0且a >b . ∴|a |<|b |，故①错；∵a ＋b <0，ab >0，∴a ＋b <ab ，故②错；∵b a >0，a b >0且a b ≠b a， ∴b a ＋a b>2.故③正确； ∵a 2b<2a －b ⇔a 2>2ab －b 2⇔a 2＋b 2>2ab ⇔(a －b )2>0，故④正确．正确的不等式有③④. 4．60°或120°解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B， ∴sin B ＝b sin A ＝3.∵b >a ，∴B >A ，∴B ＝60°或120°.5．③解析 ∵0<a <b ，a ＋b ＝1.∴0<a <12，12<b <1. ∴log 2a <log 212＝－1，①错误； ∵－1<a －b <0，∴2a －b >2－1＝12，②错误； ∵b a ＋a b >2，∴2a b ＋b a>4.④错误． ∵log 2b <log 21＝0，log 2a <－1，∴log 2a ＋log 2b <－1.6．16解析 ∵2a 3－a 27＋2a 11＝0.∴a 27＝2a 3＋2a 11＝4a 7.∵a 7≠0，∴a 7＝4.∴b 7＝4.∴b 6b 8＝b 27＝16.7.323(1－4－n ) 解析 ∵a 5a 2＝q 3＝18，∴q ＝12， ∴a n ·a n ＋1＝4·⎝⎛⎭⎫12n －1·4·⎝⎛⎭⎫12n ＝25－2n ， 故a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋…＋a n a n ＋1＝23＋21＋2－1＋2－3＋…＋25－2n＝8⎝⎛⎭⎫1－14n 1－14＝323(1－4－n )． 8．27解析 设生产甲产品x 吨、乙产品y 吨，则获得的利润为z ＝5x ＋3y.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，可行域如图阴影所示．由图可知当x 、y 在A 点取值时，z 取得最大值，此时x ＝3，y ＝4，z ＝5×3＋3×4＝27(万元)． 9.14解析 1a 10＝1a 1＋9×13＝1＋3＝4.∴a 10＝14.解析 ∵a ＝c sin A ，∴sin A ＝sin C ·sin A .∴sin C ＝1.C ＝90°.∴A ＋B ＝90°，∴a ＋b c ＝sin A ＋sin B sin C＝sin A ＋sin B ＝sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋45°)≤ 2. 11.14解析 ∵a 2a 3＝2a 1，∴a 21q 3＝2a 1，∴a 1q 3＝2.∴a 4＝2.又∵a 4＋2a 7＝52. ∴2a 7＝52－a 4＝12.∴a 7＝14. 12.6－1解析 如图所示，由已知条件可得∠ACB ＝80°＋40°＝120°，AC ＝2，AB ＝3，由余弦定理可得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ，即BC 2＋2BC －5＝0，解得BC ＝－1±6(负值舍去)，∴B 到C 的距离为(6－1)km.13．64解析 依题意有a n a n ＋1＝2n ，所以a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，两式相除得a n ＋2a n＝2，所以a 1，a 3，a 5，…成等比数列，a 2，a 4，a 6，…成等比数列，而a 1＝1，a 2＝2，所以a 10＝2·24＝32，a 11＝1·25＝32.又因为a n ＋a n ＋1＝b n ，所以b 10＝a 10＋a 11＝64. 14．32解析 据已知约束条件可得其表示的平面区域M 的面积S ＝12×4×4k ＝8k ，故kS k －1＝8k 2k －1＝8·(k －1)2＋2(k －1)＋1k －1＝8[(k －1)＋1k －1＋2]，由于k >1，故由基本不等式可得kS k －1＝8[(k －1)＋1k －1＋2]≥8(2(k －1)×1k －1＋2)＝32，当且仅当k ＝2时取等号． 15．解 (1)由b cos C ＋c cos B ＝2a cos B 及正弦定理得：sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin A cos B ，即sin(B ＋C )＝2sin A cos B ，又A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin A ，从而sin A ＝2sin A cos B ，又0<A <π.故cos B ＝12，又0<B <π，所以B ＝π3. (2)又S ＝12ac sin π3＝334， 所以ac ＝3，又a ＋c ＝5，从而b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－3ac ＝25－9＝16，故b ＝4.16．解 (1)由于数列{a n }满足a 1＝12，且2a n ＋1＝a n (n ∈N *)． 11∴a n ＝12×(12)n －1＝(12)n . (2)由已知b n ＝n a n＝n ·2n . ∴T n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n .∴2T n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －2)·2n －1＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1∴－T n ＝1×2＋1×22＋1×23＋…＋1×2n －1＋1×2n －n ·2n ＋1＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1 ＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1，∴T n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.17．解 (1)由题意知，m －n ＝92x －14－(－14x 2＋5x ＋74)≥0， 即x 2－2x －8≥0，解得x ≤－2或x ≥4(舍负值)．∴x ≥4，即至少生产4台电机企业为不亏损企业．(2)企业亏损最严重，即n －m 取最大值．n －m ＝－14x 2＋5x ＋74－92x ＋14＝－14[(x －1)2－9]＝94－14(x －1)2， ∴当x ＝1时，最大亏损额为94万元， 此时m ＝92－14＝174(万元)． ∴当月总产值为174万元时，企业亏损最严重，最大亏损额为94万元． 18．解 (1)1＋tan A tan B ＝2c b ⇒1＋sin A cos B sin B cos A ＝2sin C sin B， 即sin B cos A ＋sin A cos B sin B cos A ＝2sin C sin B， ∴sin (A ＋B )sin B cos A ＝2sin C sin B ，∴cos A ＝12. ∵0<A <π，∴A ＝π3. (2)在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，且a ＝3，∴(3)2＝b 2＋c 2－2bc ·12＝b 2＋c 2－bc . ∵b 2＋c 2≥2bc ，∴3≥2bc －bc ，即bc ≤3，当且仅当b ＝c ＝3时，bc 取得最大值，又a ＝3， 故bc 取得最大值时，△ABC 为等边三角形．19．解 (1)当x ≥6时，P ＝23， 则T ＝13x ×2－23x ×1＝0. 当1≤x <6时，P ＝16－x， 则T ＝(1－16－x )x ×2－(16－x )x ×1＝9x －2x 26－x. 综上所述，日盈利额T (万元)与日产量x (万件)的函数关系为：P ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 9x －2x 26－x ， 1≤x <60， x ≥6.(2)由(1)知，当x ≥6时，每天的盈利为0.当1≤x <6时，T (x )＝9x －2x 26－x ＝15－2[(6－x )＋96－x]， ∵6－x >0，∴(6－x )＋96－x ≥2(6－x )·96－x＝6，∴T ≤3. 当且仅当x ＝3时，T ＝3.综上，当日产量为3万件时，可获得最大利润3万元．20．(1)证明 ∵S n ＝n －5a n －85，∴当n ＝1时，S 1＝1－5a 1－85，即a 1＝1－5a 1－85，解得a 1＝－14；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n －5a n －85)－[(n －1)－5a n －1－85]＝－5a n ＋5a n －1＋1， 整理得6a n ＝5a n －1＋1，∴6(a n －1)＝5(a n －1－1)， ∴a n －1a n －1－1＝56.又a 1－1＝－15， ∴数列{}a n －1是以－15为首项，56为公比的等比数列． (2)解 由(1)知，a n －1＝－15×(56)n －1， ∴a n ＝－15×(56)n －1＋1，代入S n ＝n －5a n －85得， S n ＝n －5⎣⎡⎦⎤(－15)×(56)n －1＋1－85＝n ＋75×(56)n －1－90. 设S k 为最小值，则⎩⎪⎨⎪⎧S k －1≥S k ，S k ＋1≥S k ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a k ≤0，a k ＋1≥0，即⎩⎨⎧ －15×(56)k －1＋1≤0，－15×(56)k ＋1≥0，即⎩⎨⎧ (56)k －1≥115，(56)k ≤115，∴⎩⎨⎧ k －1≤log 56115，k ≥log 56115， 即log 56115≤k ≤log 56115＋1. 又log 56115＝lg 115lg 56＝－(lg 3－lg 2＋1)1－2lg 2－lg 3＝1＋lg 3－lg 22lg 2＋lg 3－1. lg 2≈0.3，lg 3≈0.48，∴log 56115≈14.75.即当n＝15时，S n取得最小值．。
最新苏教版高中数学必修二模块综合测评及答案解析.docx
（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修二模块综合测评(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)1．下列叙述中不正确的序号是________．①若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应；②每一条直线都有唯一对应的倾斜角；③与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°；④若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α.【解析】当α＝90°时，tan α不存在，所以④错误，由直线斜率和倾斜角的知识知①②③正确．【答案】④2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是________．【解析】如图所示，由V＝Sh得，S＝4，即正四棱柱底面边长为2.∴A1O1＝2，A1O＝R＝ 6.∴S 球＝4πR 2＝24π. 【答案】 24π3．已知直线l 1：ax ＋4y －2＝0与直线l 2：2x －5y ＋b ＝0互相垂直，垂足为(1，c )，则a ＋b ＋c 的值为________．【解析】 垂足(1，c )是两直线的交点，且l 1⊥l 2，故－a 4·25＝－1，∴a ＝10.l 1：10x ＋4y －2＝0.将(1，c )代入l 1，得c ＝－2；将(1，－2)代入l 2，得b ＝－12.则a ＋b ＋c ＝10＋(－12)＋(－2)＝－4. 【答案】 －44．圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角的度数为________．【解析】 S 底＋S 侧＝3S 底，2S 底＝S 侧，即2πr 2＝πrl ，得2r ＝1. 设侧面展开图的圆心角为θ，则θπl180°＝2πr ，∴θ＝180°.【答案】 180°5．过点(3，－4)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是________. 【导学号：60420098】【解析】 当截距均为0时，设方程为y ＝kx ，将点(3，－4)，代入得k ＝－43，即直线方程为4x ＋3y ＝0；当截距不为0时，设方程为x a ＋ya ＝1，将点(3，－4)代入得a ＝－1，即直线方程为x ＋y ＋1＝0.【答案】 4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝06．若x ，y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，则x 2＋y 2的最小值为________．【解析】配方得(x－1)2＋(y＋2)2＝25，圆心坐标为(1，－2)，半径r＝5，所以x2＋y2的最小值为半径减去原点到圆心的距离，即5－5，故可求x2＋y2的最小值为30－10 5.【答案】30－10 57．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是________．(填序号)①若l⊥α，α⊥β，则l⊂β；②若l∥α，α∥β，则l⊂β；③若l⊥α，α∥β，则l⊥β；④若l∥α，α⊥β，则l⊥β.【解析】当l⊥α，α⊥β时不一定有l⊂β，还有可能l∥β，故①不对；当l∥α，α∥β时，l⊂β或l∥β，故②不对；若α∥β，α内必有两条相交直线m，n与平面β内的两条相交直线m′，n′平行，又l⊥α，则l⊥m，l⊥n，即l⊥m′，l⊥n′，故l⊥β，因此③正确；若l∥α，α⊥β，则l与β相交或l∥β或l⊂β，故④不对．【答案】③8．在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BD1与平面A1B1CD所成角的正切值是________．【解析】连结B1C交BC1于O，则B1C⊥BC1，又A1B1⊥BC1，所以BC1⊥平面A1B1CD，取D1B的中点O1，连结O1O，则∠BO1O就是直线BD1与平面A1B1CD所成的角．不妨设正方体棱长为1，则BD1＝3，BO＝22，O1O＝12，在Rt△BOO1中，tan∠BO1O＝BOO1O＝ 2.【答案】 29．已知直线l：y＝x＋m(m∈R)，若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，则该圆的方程为__________．【解析】由题意知P(0，m)，又直线l与圆相切于点P，则MP⊥l，且直线l的倾斜角为45°，所以点P的坐标为(0,2)，|MP|＝22，于是所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.【答案】(x－2)2＋y2＝810．从直线3x＋4y＋8＝0上一点P向圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0引切线PA，PB，A，B为切点，则四边形PACB的周长的最小值为__________．【解析】圆心到直线的距离为d＝|3＋4＋8|5＝3，圆的半径为1，所以四边形PACB的周长的最小值为232－12＋2＝42＋2.【答案】42＋211.图1如图1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于________．【解析】如图，取A1B1的中点M，连结GM，HM.由题意易知EF∥GM，且△GMH为正三角形．∴异面直线EF与GH所成的角即为GM与GH的夹角∠HGM.而在正三角形GMH中，∠HGM＝60°.【答案】60°12．侧棱长为a的正三棱锥PABC的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，则该球的表面积为__________．【解析】侧棱长为a的正三棱锥PABC其实就是棱长为a的正方体的一角，所以球的直径就是正方体的对角线，所以球的半径为3a2，该球的表面积为3πa2.【答案】3πa213．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为23，则a＝________.【解析】两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x2＋y2＋2ay－6)－(x2＋y2)＝0－4⇒y＝1a，又a>0，结合图象(略)，再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知1a＝22－(3)2＝1⇒a＝1.【答案】 114．(2014·全国卷Ⅱ改编)设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．【解析】如图，过点M 作⊙O 的切线，切点为N ，连接ON .M 点的纵坐标为1，MN 与⊙O 相切于点N .设∠OMN ＝θ，则θ≥45°，即sin θ≥22，即ONOM ≥22.而ON ＝1，∴OM ≤2.∵M 为(x 0,1)，∴x 20＋1≤2，∴x 20≤1，∴－1≤x 0≤1，∴x 0的取值范围为[－1,1]． 【答案】 [－1,1]二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0.试确定m ，n 的值，使(1)l 1∥l 2；(2)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.【解】 (1)∵l 1∥l 2，∴A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0， 即⎩⎪⎨⎪⎧m ·m －2×8＝0，8×(－1)－m ×n ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.(2)由l 1在y 轴上的截距为－1，得m ·0＋8×(－1)＋n ＝0，∴n ＝8. 又l 1⊥l 2，∴A 1A 2＋B 1B 2＝0， 即m ×2＋8m ＝0，∴m ＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝8.16．(本小题满分14分)在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，已知平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，且B 1D ⊥BC 1.(1)求证：A 1C ∥平面B 1AD ； (2)求证：BC 1⊥平面B 1AD .图2【证明】 (1)如图，连结BA 1交AB 1于点O ，连结OD .由棱柱知侧面AA 1B 1B 为平行四边形，所以O 为BA 1的中点．又D 是BC 的中点，所以OD ∥A 1C .因为A 1C ⊄平面B 1AD ，OD ⊂平面B 1AD ，所以A 1C ∥平面B 1AD . (2)因为D 是BC 的中点，AB ＝AC ，所以AD ⊥BC .因为平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，平面BB 1C 1C ∩平面ABC ＝BC ，AD ⊂平面ABC ，所以AD ⊥平面BB 1C 1C .因为BC 1⊂平面BB 1C 1C ，所以AD ⊥BC 1.又BC 1⊥B 1D ，且AD ∩B 1D ＝D ，所以BC 1⊥平面B 1AD .图317．(本小题满分14分)如图3所示，圆x 2＋y 2＝8内有一点P (－1,2)，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦．(1)当α＝135°时，求|AB |；(2)当弦AB 被点P 平分时，求直线AB 的方程．【解】 (1)过点O 作OG ⊥AB 于G ，连接OA ，当α＝135°时，直线AB 的斜率为－1，故直线AB 的方程为x ＋y －1＝0，∴|OG |＝|0＋0－1|2＝22，∴|GA |＝8－12＝152＝302， ∴|AB |＝2|GA |＝30.(2)连结OP .当弦AB 被P 平分时，OP ⊥AB ，此时k OP ＝－2，∴k AB ＝12，∴直线AB 的方程为y －2＝12(x ＋1)，即x －2y ＋5＝0.图418．(本小题满分16分)(2015·安徽高考)如图4，三棱锥P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°.(1)求三棱锥P ABC 的体积；(2)证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，并求PM MC的值．【解】 (1)由题设AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°， 可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝32.由PA ⊥平面ABC ，可知PA 是三棱锥P ABC 的高．又PA ＝1， 所以三棱锥P ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·PA ＝36.(2)证明：在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N .在平面PAC 内，过点N 作MN ∥PA 交PC 于点M ，连接BM .由PA ⊥平面ABC 知PA ⊥AC ，所以MN ⊥AC . 由于BN ∩MN ＝N ，故AC ⊥平面MBN . 又BM ⊂平面MBN ，所以AC ⊥BM .在直角△BAN 中，AN ＝AB ·cos ∠BAC ＝12，从而NC＝AC－AN＝32.由MN∥PA，得PMMC＝ANNC＝13.19．(本小题满分16分)(2014·全国卷Ⅰ)已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．【解】(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0,4)，半径为4.设M(x，y)，则CM→＝(x，y－4)，MP→＝(2－x,2－y)．由题设知CM→·MP→＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上．又P在圆N上，从而ON⊥PM.因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－1 3，故l的方程为y＝－13x＋83.又|OM|＝|OP|＝22，O到l的距离为4105，|PM|＝4105，所以△POM的面积为165. 20．(本小题满分16分)如图5(1)，在边长为1的等边三角形ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，AD ＝AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G .将△ABF 沿AF 折起，得到如图5(2)所示的三棱锥A BCF ，其中BC ＝22.(1) (2)图5(1)证明：DE ∥平面BCF ；(2)证明：CF ⊥平面ABF ；(3)当AD ＝23时，求三棱锥F DEG 的体积V F DEG . 【解】 (1)证法一：在折叠后的图形中，因为AB ＝AC ，AD ＝AE ，所以ADAB ＝AEAC ，所以DE ∥BC .因为DE ⊄平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，所以DE ∥平面BCF .证法二：在折叠前的图形中，因为AB ＝AC ，AD ＝AE ， 所以AD AB ＝AE AC ，所以DE ∥BC ，即DG ∥BF ，EG ∥CF .在折叠后的图形中，仍有DG ∥BF ，EG ∥CF .又因为DG ⊄平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，所以DG ∥平面BCF ，同理可证EG ∥平面BCF .又DG ∩EG ＝G ，DG ⊂平面DEG ，EG ⊂平面DEG ，故平面DEG ∥平面BCF .又DE ⊂平面DEG ，所以DE ∥平面BCF .(2)证明：在折叠前的图形中，因为△ABC 为等边三角形，BF ＝CF ， 所以AF ⊥BC ，则在折叠后的图形中，AF ⊥BF ，AF ⊥CF .又BF ＝CF ＝12，BC ＝22， 所以BC 2＝BF 2＋CF 2，所以BF ⊥CF .又BF ∩AF ＝F ，BF ⊂平面ABF ，AF ⊂平面ABF ，所以CF ⊥平面ABF .(3)由(1)知，平面DEG ∥平面BCF ，由(2)知AF ⊥BF ，AF ⊥CF ，又BF ∩CF ＝F ，所以AF ⊥平面BCF ，所以AF ⊥平面DEG ，即GF ⊥平面DEG .在折叠前的图形中，AB ＝1，BF ＝CF ＝12，AF ＝32. 由AD ＝23知AD AB ＝23，又DG ∥BF ， 所以DG BF ＝AG AF ＝AD AB ＝23，所以DG＝EG＝23×12＝13，AG＝23×32＝33，所以FG＝AF－AG＝3 6.故三棱锥FDEG的体积为V三棱锥F－DEG＝13S△DEG·FG＝13×12×⎝⎛⎭⎪⎪⎫132×36＝3 324.。
学案导学与随堂笔记苏教数学选修21全套备课精选单元测试：第2章 圆锥曲线与方程 单元检测B卷
第2章 单元检测(B 卷)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．以x 轴为对称轴，抛物线通径长为8，顶点在坐标原点的抛物线的方程为__________．2．双曲线9x 2－4y 2＝－36的渐近线方程是__________．3．若抛物线y 2＝2px 上的一点A (6，y )到焦点F 的距离为10，则p ＝________.4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >b >0)的离心率为62，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的离心率为________． 5．设F 1、F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积是________．6．过双曲线M ：x 2－y 2h 2＝1的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且AB ＝BC ，则双曲线M 的离心率是________．7．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为________．8．椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为________． 9．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m ＝________.10．曲线y ＝1＋4－x 2与直线y ＝k (x －2)＋4有两个交点时，实数k 的取值范围是__________．11．在平面直角坐标系中，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径作圆，过点⎝⎛⎭⎫a 2c ，0作圆的两切线互相垂直，则离心率e ＝________.12．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的焦点为F 1，F 2，两条准线与x 轴的交点分别为M ，N ，若MN ≤2F 1F 2，则该椭圆离心率的取值范围是________．13．若点M 是抛物线y 2＝4x 到直线2x －y ＋3＝0的距离最小的一点，那么点M 的坐标是__________．14．过双曲线x 29－y 218＝1的焦点作弦MN ，若MN ＝48，则此弦的倾斜角为________． 二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为145，求双曲线方程．16.(14分)抛物线y2＝2px(p>0)有一内接直角三角形，直角的顶点在原点，一直角边的方程是y＝2x，斜边长是53，求此抛物线方程．17．(14分)设P是椭圆x2a2＋y2＝1 (a>1)短轴的一个端点，Q为椭圆上的一个动点，求PQ 的最大值．18.(16分)点A、B分别是椭圆x236＋y220＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，P A⊥PF.求点P的坐标．19．(16分)已知抛物线y 2＝2x ，直线l 过点(0,2)与抛物线交于M ，N 两点，以线段MN 的长为直径的圆过坐标原点O ，求直线l 的方程．20.(16分)已知抛物线C ：y ＝2x 2，直线y ＝kx ＋2交C 于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N .(1)证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；(2)是否存在实数k 使NA →·NB →＝0，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．第2章 圆锥曲线与方程(B)1．y 2＝±8x解析 2p ＝8，抛物线开口向左或向右．2．y ＝±32x 3．8解析 ∵6＋p 2＝10，∴p ＝8. 4.22解析 ∵a 2＋b 2a 2＝⎝⎛⎭⎫622＝64＝32，∴a 2－b 2a 2＝12. ∴椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率为22. 5．1解析 由题意，得PF 1－PF 2＝±4，PF 21＋PF 22＝5×4＝20.∴2PF 1·PF 2＝20－16＝4，∴S △F1PF2＝12PF 1·PF 2＝1. 6.10解析 直线l 的方程是y ＝x ＋1，两条渐近线方程为y ＝±hx ，由AB ＝BC ，可得B 是A 、C 的中点，－2h ＋1＝－1＋1h －1，解得h ＝0(舍去)或h ＝3，故e ＝1＋h 21＝10. 7.3 8.－1925或21 9．－14解析 y 2－x 2－1m＝1，∴－1m ＝4，∴m ＝－14. 10.⎝⎛⎦⎤512，34解析 y ＝1＋4－x 2即为x 2＋(y －1)2＝4(y ≥1)表示上半圆．直线过(－2,1)时k ＝34；直线与半圆相切时，|3－2k|k 2＋1＝2，得k ＝512.所以k ∈⎝⎛⎦⎤512，34. 11.22解析 由2c ＝2，所以c ＝1.因为两条切线互相垂直，所以a 2c ＝2R ＝2a ，所以c a ＝22. 12.⎣⎡⎭⎫22，1 解析 MN ＝2a 2c，F 1F 2＝2c ，MN ≤2F 1F 2， 则a 2c ≤2c ，该椭圆离心率e 的取值范围是⎣⎡⎭⎫22，1. 13.⎝⎛⎭⎫14，1解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，2x －y ＋m ＝0，得y 2－2y ＋2m ＝0. 因为Δ＝0得m ＝12，所以y ＝1，x ＝14， 所以M ⎝⎛⎭⎫14，1.14．60°或120°解析 设弦的方程为y ＝k(x －33)，代入2x 2－y 2＝18得(2－k 2)x 2＋63k 2x －27k 2－18＝0，所以x 1＋x 2＝63k 2k 2－2，x 1x 2＝27k 2＋18k 2－2. ∴MN ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝48，∴k ＝±3.故倾斜角为60°或120°.15．解 由于椭圆焦点为F(0，±4)，离心率为e ＝45， 所以双曲线的焦点为F(0，±4)，离心率为2，从而c ＝4，a ＝2，b ＝2 3.所以所求双曲线方程为：y 24－x 212＝1. 16．解 设△AOB 为抛物线的内接直角三角形，直角顶点为O ，AO 边的方程是y ＝2x ，则OB 边方程为y ＝－12x. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x y 2＝2px ，可得A 点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，p . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x y 2＝2px，可得B 点坐标为(8p ，－4p)． ∵AB ＝53，∴ (p ＋4p )2＋⎝⎛⎭⎫p 2－8p 2＝5 3. ∵p>0，解得p ＝23913， ∴所求的抛物线方程为y 2＝43913x. 17．解 依题意可设P(0,1)，Q(x ，y)，则PQ ＝x 2＋(y －1)2，又因为Q 在椭圆上， 所以，x 2＝a 2(1－y 2)，PQ 2＝a 2(1－y 2)＋y 2－2y ＋1＝(1－a 2)y 2－2y ＋1＋a 2＝(1－a 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫y －11－a 22－11－a 2＋1＋a 2. 因为|y|≤1，a>1，若a ≥2，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪11－a 2≤1， 当y ＝11－a 2时，PQ 取最大值a 2a 2－1a 2－1. 18．解 由已知可得点A(－6,0)，F(4,0)， 设点P 的坐标是(x ，y)，则AP →＝(x ＋6，y)，FP →＝(x －4，y)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1(x ＋6)(x －4)＋y 2＝0， 则2x 2＋9x －18＝0，x ＝32或x ＝－6. 由于y>0，只能x ＝32，于是y ＝523， ∴点P 的坐标是⎝⎛⎭⎫32，523.19．解 由题意知直线l 的斜率存在， 设为k ，则直线l 的方程为y ＝kx ＋2， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋2y 2＝2x ， 消去x 得ky 2－2y ＋4＝0，Δ＝4－16k>0⇒k<14 (k ≠0)， 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2k ，y 1y 2＝4k， ⎩⎨⎧x 1＝12y 21x 2＝12y 22⇒x 1x 2＝14(y 1y 2)2＝4k 2. OM ⊥ON ⇒k OM ·k ON ＝－1，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴4k 2＋4k＝0，解得k ＝－1. 所以所求直线方程为y ＝－x ＋2， 即x ＋y －2＝0.20．(1)证明如图，设A(x 1,2x 21)，B(x 2，2x 22)，把y ＝kx ＋2代入y ＝2x 2得2x 2－kx －2＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝k 2，x 1x 2＝－1， ∴x N ＝x M ＝x 1＋x 22＝k 4， ∴N 点的坐标为⎝⎛⎭⎫k 4，k 28.设抛物线在点N 处的切线l 的方程为y －k 28＝m ⎝⎛⎭⎫x －k 4， 将y ＝2x 2代入上式得2x 2－mx ＋mk 4－k 28＝0， ∵直线l 与抛物线C 相切，∴Δ＝m 2－8⎝⎛⎭⎫mk 4－k 28＝m 2－2mk ＋k 2＝(m －k)2＝0，∴m ＝k.即l ∥AB.(2)假设存在实数k ，使NA →·NB →＝0，则NA ⊥NB ，又∵M 是AB 的中点，∴MN ＝12AB. 由(1)知y M ＝12(y 1＋y 2) ＝12(kx 1＋2＋kx 2＋2) ＝12＝12⎝⎛⎭⎫k 22＋4＝k 24＋2. ∵MN ⊥x 轴，∴MN ＝|y M －y N |＝k 24＋2－k 28＝k 2＋168. 又AB ＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2⎝⎛⎭⎫k 22－4×(－1) ＝12k 2＋1k 2＋16.∴k 2＋168＝14k 2＋1k 2＋16，解得k＝±2.即存在k＝±2，使NA→·NB→＝0.。
2020学年高中数学模块综合检测苏教版必修2(2021-2022学年)
模块综合检测(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,共6０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）１．在空间直角坐标系O 。
xyz 中,点A 在z 轴上,它到点（2错误!未定义书签。
,错误!未定义书签。
，１)的距离是13，则点Ａ的坐标是( ）A ．(0,0，-1）B ．(0,1，1） Ｃ．(0,０,1） ﻩ D.(0,０,13)解析:选C 由点A 在z 轴上,可设A （0，0,z ）,∵点A 到点(2错误!，错误!,1）的距离是错误!，∴（2错误!－０）2+（错误!未定义书签。
-0)2＋(z -1)2＝13，解得z =1,故A 的坐标为（0,0,1)，故选C.2．圆x 2+y 2+2x -4y ＝0的圆心坐标和半径分别是（ ） A.（１，－2），5 ﻩ B.(１，－2),错误!C.(-1,２)，5 ﻩD ．（－1，2),错误!未定义书签。
解析:选D 圆的方程化为标准方程为(x ＋1）2＋（y －２)2＝5,其圆心是(-１,2),半径为 5. 3．用与球心距离为1的平面去截球,所得截面面积为π，则球的体积为( ) A ．错误!πＢ.错误!C.8错误!π ﻩＤ．错误!π解析：选D 所得截面圆的半径ｒ=1，因此球的半径R =错误!未定义书签。
＝错误!未定义书签。
,球的体积为43πR 3＝错误!未定义书签。
π。
４．已知ｌ,m 表示两条不同的直线，α表示平面，则下列说法正确的是( ） Ａ.若l ⊥α，m ⊂α，则l ⊥ｍ Ｂ．若l ⊥m ，m ⊂α,则l ⊥α C ．若ｌ∥m ，m ⊂α,则l ∥α Ｄ.若l ∥α，m ⊂α,则l ∥m解析：选Ａ 对于A ，若l ⊥α,m ⊂α，则根据直线与平面垂直的性质，知l ⊥m ,故A 正确；对于B,若l ⊥m ，m ⊂α，则ｌ可能在α内，故Ｂ不正确；对于C,若ｌ∥m ，ｍ⊂α,则ｌ∥α或ｌ⊂α，故C 不正确；对于Ｄ,若lﻬ∥α，m ⊂α，则l 与m 可能平行,也可能异面，故D 不正确．故选A 。
学案导学与随堂笔记苏教必修二数学课时作业与单元检测232空间两点间的距离
2.3.2 空间两点间的距离【课时目标】 1．掌握空间两点间的距离公式．2．能够用空间两点间距离公式解决简单的问题．1．在空间直角坐标系中，给定两点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)，则P 1P 2＝_________________________________________________________________． 特别地：设点A (x ，y ，z )，则A 点到原点的距离为：OA ＝________________．2．若点P 1(x 1，y 1,0)，P 2(x 2，y 2,0)，则P 1P 2＝__________________________________________________________________．3．若点P 1(x 1,0,0)，P 2(x 2,0,0)，则P 1P 2＝________________．一、填空题1．若A (1,3，－2)、B (－2,3,2)，则A 、B 两点间的距离为________．2．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若D (0,0,0)、A (4,0,0)、B (4,2,0)、A 1(4,0,3)，则对角线AC 1的长为________．3．到点A (－1，－1，－1)，B (1,1,1)的距离相等的点C (x ，y ，z )的坐标满足的关系式为____________．4．已知A (2,1,1)，B (1,1,2)，C (2,0,1)，则△ABC 的形状为____________三角形．5．已知A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，当AB 取最小值时，x 的值为________．6．点P (x ，y ，z )满足(x －1)2＋(y －1)2＋(z ＋1)2＝2，则点P 的集合为____________________________．7．在空间直角坐标系中，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A (3，－1,2)，其中心M 的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长为________．8．已知P ⎝⎛⎭⎫32，52，z 到直线AB 中点的距离为3，其中A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则z ＝________．9．在空间直角坐标系中，已知点A (1,0,2)，B (1，－3,1)，点M 在y 轴上，且M 到A 与到B 的距离相等，则M 的坐标是________．二、解答题10．在xOy 平面内的直线x ＋y ＝1上确定一点M ，使它到点N (6,5,1)的距离最小．11．如图所示，BC＝4，原点O是BC的中点，点A的坐标为(32，12，0)，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，求AD的长度．能力提升12．已知正方形ABCD、ABEF的边长都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC 上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0＜a＜2)．(1)求MN的长；(2)当a为何值时，MN的长最小．13．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝AD＝3，AA1＝2，点M在A1C1上，MC1＝2A1M，N在D1C上且为D1C中点，求M、N两点间的距离．空间中两点的距离公式，是数轴上和平面上两点间距离公式的进一步推广，反之，它可以适用于平面和数轴上两点间的距离的求解．设P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)，则d (P 1，P 2)＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＋(z 2－z 1)2，当P 1，P 2两点落在了坐标平面内或与坐标平面平行的平面内时，此公式可转化为平面直角坐标系中的两点间距离公式，当两点落在坐标轴上时，则公式转化为数轴上两点间距离公式．2．3．2 空间两点间的距离 答案知识梳理 1．(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2x 2＋y 2＋z 22．(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)23．|x 1－x 2|作业设计1．5解析 AB ＝(1＋2)2＋(3－3)2＋(－2－2)2＝5．2．29解析 由已知求得C 1(0,2,3)，∴AC 1＝29．3．x ＋y ＋z ＝0解析 AC ＝BC ⇒(x ＋1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2．即x ＋y ＋z ＝0．4．直角解析 AB ＝2，BC ＝3，AC ＝1，∴AB 2＋AC 2＝BC 2．故构成直角三角形．5．87解析 AB ＝(x －1)2＋(3－2x )2＋(3x －3)2＝14x 2－32x ＋19，∴当x ＝－－322×14＝87时，AB 最小． 6．以点(1,1，－1)为球心，以2为半径的球面7．23938．0或－4 解析 利用中点坐标公式，则AB 中点C ⎝⎛⎭⎫12，92，－2，PC ＝3，即⎝⎛⎭⎫32－122＋⎝⎛⎭⎫52－922＋[z －(－2)]2＝3，解得z ＝0或z ＝－4．9．(0，－1,0)解析 设M 的坐标为(0，y,0)，由MA ＝MB 得(0－1)2＋(y －0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y ＋3)2＋(0－1)2，整理得6y ＋6＝0，∴y ＝－1，即点M 的坐标为(0，－1,0)．10．解 ∵点M 在直线x ＋y ＝1(xOy 平面内)上， ∴可设M (x,1－x,0)． ∴MN ＝(x －6)2＋(1－x －5)2＋(0－1)2 ＝2(x －1)2＋51≥51，当且仅当x ＝1时取等号，∴当点M 坐标为(1,0,0)时，(MN )min ＝51．11．解 由题意得B (0，－2,0)，C (0,2,0)，设D (0，y ，z )，则在Rt △BDC 中，∠DCB ＝30°，∴BD ＝2，CD ＝23，z ＝3，y ＝－1．∴D (0，－1，3)．又∵A (32，12，0)， ∴AD ＝(32)2＋(12＋1)2＋(3)2＝6． 12．解 ∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，AB ⊥BE ， ∴BE ⊥平面ABCD ，∴AB 、BC 、BE 两两垂直．过点M 作MG ⊥AB ，MH ⊥BC ，垂足分别为G 、H ，连结NG ，易证NG ⊥AB ． ∵CM ＝BN ＝a ，∴CH ＝MH ＝BG ＝GN ＝22a ， ∴以B 为原点，以AB 、BE 、BC 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B —xyz ，则M ⎝⎛⎭⎫22a ，0，1－22a ， N ⎝⎛⎭⎫22a ，22a ，0． (1)MN＝⎝⎛⎭⎫22a －22a 2＋⎝⎛⎭⎫0－22a 2＋⎝⎛⎭⎫1－22a －02 ＝a 2－2a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －222＋12， (2)由(1)得，当a ＝22时，MN 最短，最短为22，这时M 、N 恰好为AC 、BF 的中点． 13．解 如图分别以AB 、AD 、AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系． 由题意可知C (3,3,0)，D (0,3,0)，∵DD 1＝CC 1＝2， ∴C 1(3,3,2)，D 1(0,3,2)， ∵N 为CD 1的中点，∴N ⎝⎛⎭⎫32，3，1． M 是A 1C 1的三分之一分点且靠近A 1点， ∴M (1,1,2)．由两点间距离公式，得 MN ＝⎝⎛⎭⎫32－12＋(3－1)2＋(1－2)2＝212．。
【学案导学与随堂笔记】2022-2021学年高一数学人教版A版必修二模块综合检测(B)
模块综合检测(B)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．在某几何体的三视图中，正视图、侧视图、俯视图是三个全等的圆，圆的半径为R ，则这个几何体的体积是( )A ．13πR 3B ．23πR 3C ．πR 3D ．43πR 32．已知水平放置的△ABC 是按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝32，那么△ABC 是一个( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．三边互不相等的三角形3．已知直线m 、n 与平面α、β，给出下列三个命题：①若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ；②若m ∥α，n ⊥α，则n ⊥m ；③若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β．其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．34．已知两点A (－1,3)，B (3,1)，当C 在坐标轴上，若∠ACB ＝90°，则这样的点C 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．三视图如图所示的几何体的全面积是( )A ．2＋ 2B ．1＋ 2C ．2＋ 3D ．1＋36．已知圆心为(2，－3)，一条直径的两个端点恰好在两个坐标轴上，则圆的方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝5 B ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝21 C ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝13 D ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝527．如右图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 1、BC 1的中点，则以下结论中不成立．．．的是( )A ．EF 与BB 1垂直B ．EF 与BD 垂直C ．EF 与CD 异面 D ．EF 与A 1C 1异面8．过圆x 2＋y 2＝4上的一点(1，3)的圆的切线方程是( ) A ．x ＋3y －4＝0 B ．3x －y ＝0 C ．x ＋3y ＝0 D ．x －3y －4＝09．已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于( )A ．36B ．34C ．22D ．3210．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －3)2＋(y －73)2＝1B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．⎝⎛⎭⎫x －322＋(y －1)2＝1 11．设r >0，两圆(x －1)2＋(y ＋3)2＝r 2与x 2＋y 2＝16可能( ) A ．相离 B ．相交 C ．内切或内含或相交 D ．外切或外离12．一个三棱锥S －ABC 的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两相互垂直，且长度分别为1，6，3，已知该三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为( )A ．16πB ．32πC ．36πD ．64π二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角为________． 14．如图所示，已知AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，则图中相互垂直的平面有________________________．15．已知直线5x ＋12y ＋a ＝0与圆x 2－2x ＋y 2＝0相切，则a 的值为________．16．过点P (1，2)的直线l 将圆C ：(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k 为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知平行四边形两边所在直线的方程为x ＋y ＋2＝0和3x －y ＋3＝0，对角线的交点是(3,4)，求其他两边的方程．18．(12分) 已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，SA ⊥平面ABC ，AD ⊥SC ． 求证：AD ⊥平面SBC ．19．(12分)已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高线BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求(1)顶点C的坐标；(2)直线BC的方程．20．(12分)已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0，若直线l过点P且被圆C截得的线段长为43，求l的方程．21．(12分) 如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点．求证：(1)直线BD1∥平面P AC；(2)平面BDD1⊥平面P AC；(3)直线PB1⊥平面P AC．22．(12分)已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0．(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M、N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m；(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．模块综合检测(B) 答案1．D[由三视图知该几何体为半径为R的球，知V＝43πR3．]2．A3．C[①中m与n可能相交，也可能异面，∴①错误．]4．C[由题意，点C应当为以AB为直径的圆与坐标轴的交点．以AB为直径的方程是(x＋1)(x－3)＋(y －3)(y－1)＝0，令x＝0，解得y＝0或4；令y＝0，解得x＝0或2．所以该圆与坐标轴的交点有三个：(0,0)，(0,4)，(2,0)．]5．A[由所给三视图可知该几何体为四棱锥，为正方体的一部分如图所示．故全面积S＝2＋2．]6．C[该圆过原点．]7．D[连接A1B，∵E是AB1中点，∴E∈A1B，∴EF是△A1BC1的中位线，∴EF∥A1C1，故D不成立．]8．A[过圆x2＋y2＝r2上一点(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2．]9．A[如图所示，正三棱锥S —ABC 中，设底边长为a ，侧棱长为2a ，O 为底面中心，易知∠SAO 即为所求． ∵AO ＝33a∴在Rt △SAO 中， cos ∠SAO ＝AO SA ＝36．]10．B [设圆心为(a ，b )，由题意知b ＝r ＝1,1＝|4a －3|32＋42，又∵a >0，∴a ＝2，∴圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1．]11．C [由于点(1，－3)在圆x 2＋y 2＝16内，所以内切或内含或相交．]12．A [以三棱锥的三条侧棱SA 、SB 、SC 为棱长构造长方体，则长方体的体对角线即为球的直径，长为4．∴球半径为2，S 球＝4πR 2＝16π．]13．60°14．平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ⊥平面ACD ． 15．8或－18解析 |5×1＋12×0＋a |52＋122＝1，解得a ＝8或－18．16．22解析 当直线与PC 垂直时，劣弧所对的圆心角最小，故直线的斜率为22． 17．解 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0，3x －y ＋3＝0，解得一顶点为⎝⎛⎭⎫－54，－34． 又对角线交点为(3,4)，则其相对顶点为⎝⎛⎭⎫294，354． 设与x ＋y ＋2＝0平行的对边为x ＋y ＋m ＝0．该直线过点⎝⎛⎭⎫294，354，∴m ＝－16． 设与3x －y ＋3＝0平行的对边为3x －y ＋n ＝0．该直线过点⎝⎛⎭⎫294，354，∴n ＝－13， ∴其他两边方程为x ＋y －16＝0,3x －y －13＝0． 18．证明 ∵∠ACB ＝90°， ∴BC ⊥AC ．又SA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴SA ⊥BC ． 又SA ∩AC ＝A ， ∴BC ⊥平面SAC ．∵AD ⊂平面SAC ， ∴BC ⊥AD ．又SC ⊥AD ，SC ∩BC ＝C ，SC ⊂平面SBC ，BC ⊂平面SBC ， ∴AD ⊥平面SBC ．19．解 (1)由题意，得直线AC 的方程为2x ＋y －11＝0．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －5＝02x ＋y －11＝0，得点C 的坐标为(4,3)． (2)设B (m ，n )，M ⎝⎛⎭⎪⎫m ＋52，n ＋12． 于是有m ＋5－n ＋12－5＝0，即2m －n －1＝0与m －2n －5＝0联立，解得B 点坐标为(－1，－3)，于是有l BC ：6x －5y －9＝0． 20．解如图所示，|AB |＝43，设D 是线段AB 的中点，则CD ⊥AB ，∴|AD |＝23，|AC |＝4． 在Rt △ACD 中，可得|CD |＝2．设所求直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为：y －5＝kx ， 即kx －y ＋5＝0．由点C 到直线AB 的距离公式：|－2k －6＋5|k 2＋1＝2，得k ＝34，此时直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0．又直线l 的斜率不存在时，也满足题意， 此时方程为x ＝0．∴所求直线l 的方程为x ＝0或3x －4y ＋20＝0． 21．证明 (1)设AC ∩BD ＝O ，连接PO ， 在△BDD 1中，∵P 、O 分别是DD 1、BD 的中点， ∴PO ∥BD 1，又PO ⊂平面P AC ，BD 1⊄平面P AC ， ∴直线BD 1∥平面P AC ． (2)长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1， ∴底面ABCD 是正方形， ∴AC ⊥BD ．又DD 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴AC ⊥DD 1．又BD ∩DD 1＝D ，BD ⊂平面BDD 1，DD 1⊂平面BDD 1， ∴AC ⊥平面BDD 1， ∵AC ⊂平面P AC ， ∴平面P AC ⊥平面BDD 1．(3)∵PC 2＝2，PB 21＝3，B 1C 2＝5，∴PC 2＋PB 21＝B 1C 2，△PB 1C 是直角三角形，PB 1⊥PC ．同理PB 1⊥P A ，又P A ∩PC ＝P ，P A ⊂平面P AC ，PC ⊂平面P AC ， ∴直线PB 1⊥平面P AC ．22．解 (1)(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，∴m <5． (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＝4－2y 1，x 2＝4－2y 2， 则x 1x 2＝16－8(y 1＋y 2)＋4y 1y 2． ∵OM ⊥ON ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0 ∴16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0①由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2y x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0得5y 2－16y ＋m ＋8＝0 ∴y 1＋y 2＝165，y 1y 2＝8＋m 5代入①得，m ＝85．(3)以MN 为直径的圆的方程为 (x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0 即x 2＋y 2－(x 1＋x 2)x －(y 1＋y 2)y ＝0∴所求圆的方程为x 2＋y 2－85x －165y ＝0．。
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模块综合检测（B）(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．已知水平放置的△ABC是按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝32，那么△ABC的形状为__________三角形．2．已知直线m、n与平面α、β，给出下列三个命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β．其中正确命题有________个．3．已知两点A(－1,3)，B(3,1)，当C在坐标轴上，若∠ACB＝90°，则这样的点C的个数为________．4．三视图如图所示的几何体的全面积是__________．5．已知圆心为(2，－3)，一条直径的两个端点恰好在两个坐标轴上，则圆的方程是______________．6．如右图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1的中点，则以下结论中不成立．．．的是__________(填序号)．①EF与BB1垂直；②EF与BD垂直；③EF与CD异面；④EF与A1C1异面．7．过圆x2＋y2＝4上的一点(1，3)的圆的切线方程是__________．8．已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于__________．9．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是____________．10．一个三棱锥S－ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，且长度分别为1，6，3，已知该三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为__________．11．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角为________．12．如图所示，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，则图中互相垂直的平面有________．13．已知直线5x＋12y＋a＝0与圆x2－2x＋y2＝0相切，则a的值为________．14．过点P(1，2)的直线l将圆C：(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k为________．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知平行四边形两边所在直线的方程为x＋y＋2＝0和3x－y＋3＝0，对角线的交点是(3,4)，求其他两边的方程．16．(14分) 已知△ABC中，∠ACB＝90°，SA⊥平面ABC，AD⊥SC．求证：AD⊥平面SBC．17．(14分)已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高线BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求(1)顶点C的坐标；(2)直线BC的方程．18．(16分)已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0，若直线l过点P且被圆C 截得的线段长为43，求l的方程．19．(16分) 如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点．求证：(1)直线BD1∥平面P AC；(2)平面BDD1⊥平面P AC；(3)直线PB1⊥平面P AC．20．(16分)已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0．(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M、N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m；(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．模块综合检测(B) 答案1．等边2．2解析①中m与n可能相交，也可能异面，∴①错误．3．3解析由题意，点C应该为以AB为直径的圆与坐标轴的交点．以AB为直径的方程是(x＋1)(x－3)＋(y－3)(y－1)＝0，令x＝0，解得y＝0或4；令y＝0，解得x＝0或2．所以该圆与坐标轴的交点有三个：(0,0)，(0,4)，(2,0)．4．2＋ 2解析由所给三视图可知该几何体为四棱锥，为正方体的一部分如图所示．故全面积S＝2＋2．5．(x－2)2＋(y＋3)2＝136．④解析连结A1B，∵E是AB1中点，∴E∈A1B，∴EF是△A1BC1的中位线，∴EF∥A1C1，故④不成立． 7．x ＋3y －4＝0解析 过圆x 2＋y 2＝r 2上一点(x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2．∴过(1，3)点的切线方程为x ＋3y －4＝0．8．36 解析如图所示，正三棱锥S —ABC 中，设底边长为a ，侧棱长为2a ，O 为底面中心，易知∠SAO 即为所求．∵AO ＝33a ∴在Rt △SAO 中，cos ∠SAO ＝AO SA ＝36．9．(x －2)2＋(y －1)2＝1 解析 设圆心为(a ，b)， 由题意知b ＝r ＝1,1＝|4a －3|32＋42，又∵a>0，∴a ＝2，∴圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1． 10．16π解析 以三棱锥的三条侧棱SA 、SB 、SC 为棱长构造长方体，则长方体的体对角线即为球的直径，长为4．∴球半径为2，S 球＝4πR 2＝16π．11．60°12．平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ⊥平面ACD ． 13．8或－18解析 |5×1＋12×0＋a|52＋122＝1，解得a ＝8或－18．14．22解析 当直线与PC 垂直时，劣弧所对的圆心角最小，故直线的斜率为22． 15．解 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0，3x －y ＋3＝0，解得一顶点为⎝⎛⎭⎫－54，－34． 又对角线交点为(3,4)，则其相对顶点为⎝⎛⎭⎫294，354． 设与x ＋y ＋2＝0平行的对边为x ＋y ＋m ＝0．该直线过点⎝⎛⎭⎫294，354，∴m ＝－16．设与3x －y ＋3＝0平行的对边为3x －y ＋n ＝0．该直线过点⎝⎛⎭⎫294，354，∴n ＝－13， ∴其他两边方程为x ＋y －16＝0,3x －y －13＝0． 16．证明 ∵∠ACB ＝90°， ∴BC ⊥AC ．又SA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴SA ⊥BC ． 又SA ∩AC ＝A ， ∴BC ⊥平面SAC ． ∵AD ⊂平面SAC ， ∴BC ⊥AD ．又SC ⊥AD ，SC ∩BC ＝C ，SC ⊂平面SBC ， BC ⊂平面SBC ，∴AD ⊥平面SBC ．17．解 (1)由题意，得直线AC 的方程为2x ＋y －11＝0．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －5＝02x ＋y －11＝0，得点C 的坐标为(4,3)． (2)设B(m ，n)，M ⎝⎛⎭⎪⎫m ＋52，n ＋12． 于是有m ＋5－n ＋12－5＝0，即2m －n －1＝0与m －2n －5＝0联立，解得B 点坐标为(－1，－3)，于是有 l BC ：6x －5y －9＝0． 18．解如图所示，AB ＝43，设D 是线段AB 的中点，则CD ⊥AB ， ∴AD ＝23，AC ＝4． 在Rt △ACD 中，可得CD ＝2．设所求直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为：y －5＝kx ， 即kx －y ＋5＝0．由点C 到直线AB 的距离公式： |－2k －6＋5|k 2＋1＝2，得k ＝34，此时直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0．又直线l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x ＝0． ∴所求直线l 的方程为x ＝0或3x －4y ＋20＝0． 19．证明 (1)设AC ∩BD ＝O ，连结PO ， 在△BDD 1中，∵P 、O 分别是DD 1、BD 的中点， ∴PO ∥BD 1，又PO ⊂平面PAC ，BD 1⊄平面PAC ， ∴直线BD 1∥平面PAC ． (2)长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1， ∴底面ABCD 是正方形， ∴AC ⊥BD ．又DD 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴AC ⊥DD 1．又BD ∩DD 1＝D ，BD ⊂平面BDD 1，DD 1⊂平面BDD 1， ∴AC ⊥平面BDD 1， ∵AC ⊂平面PAC ， ∴平面PAC ⊥平面BDD 1．(3)∵PC 2＝2，PB 21＝3，B 1C 2＝5， ∴PC 2＋PB 21＝B 1C 2，△PB 1C 是直角三角形，PB 1⊥PC ．同理PB 1⊥PA ，又PA ∩PC ＝P ，PA ⊂平面PAC ， PC ⊂平面PAC ， ∴直线PB 1⊥平面PAC ．20．解 (1)(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，∴m<5． (2)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)， 则x 1＝4－2y 1，x 2＝4－2y 2， 则x 1x 2＝16－8(y 1＋y 2)＋4y 1y 2． ∵OM ⊥ON ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0 ∴16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0 ①由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2yx 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0得5y 2－16y ＋m ＋8＝0 ∴y 1＋y 2＝165，y 1y 2＝8＋m 5代入①得，m＝85．(3)以MN为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0 即x2＋y2－(x1＋x2)x－(y1＋y2)y＝0∴所求圆的方程为x2＋y2－85x－165y＝0．。