浙江大学计算机考博试题计算理论及答案

计算理论

字母表：一个有穷的符号集合。

字母表上的字符串是该字母表中的符号的有穷序列。

一个字符串的长度是它作为序列的长度。

连接反转Kleene星号L*，连接L中o个或多个字符串得到的所有字符串的集合。

有穷自动机：描述能力和资源极其有限的计算机模型。

有穷自动机是一个5元组M=(K ,刀,、,s,F ),其中

1) K是一个有穷的集合，称为状态集

2) 刀是一个有穷的集合，称为字母表

3) 是从KX S^ K的函数，称为转移函数

4) s € K是初始状态

5) F K是接收状态集

M接收的语言是M接收的所有字符串的集合，记作L(M).

对于每一台非确定型有穷自动机，有一台等价的确定型有穷自动机有穷自动机接受的语言在并、连接、Kleene星号、补、交运算下是封闭的。

每一台非确定型有穷自动机都等价于某一台确定型有穷自动机。

一个语言是正则的当且仅当它被有穷自动机接受。

正则表达式：称R是一个正则表达式，如果R是

1) a,这里a是字母表刀中的一个元素。

2) 「只包含一个字符串空串的语言

3) ,不包含任何字符串的语言

4) (R1 u R2),这里R1和R2是正则表达式

5) (R10R2),这里R1和R2是正则表达式

6) (R1*),这里R1*是正则表达式

一个语言是正则的当且仅当可以用正则表达式描述

2000年4月

1根据图灵机理论，说明现代计算机系统的理论基础

1936年，图灵向伦敦权威的数学杂志投了一篇论文，题为《论数字计算在决断难题

中的应用》。在这篇开创性的论文中，图灵给可计算性”下了一个严格的数学定义，并

提出著名的图灵机”(Turing Machine)的设想。图灵机”不是一种具体的机器，而是一

种思想模型，可制造一种十分简单但运算能力极强的计算机装置，用来计算所有能想像得到的可计算函数。这个装置由下面几个部分组成：一个无限长的纸带，一个读写头。

(中间那个大盒子)，内部状态(盒子上的方块，比如A,B,E,H )，另外，还有一个程序对这

个盒子进行控制。这个装置就是根据程序的命令以及它的内部状态进行磁带的读写、移动。

工作带被划分为大小相同的方格，每一格上可书写一个给定字母表上的符号。控制器可以在带上左右移动，它带有一个读写出一个你期待的结果。这一理论奠定了整个现

代计算机的理论基础。

图灵机”更在电脑史上与 冯诺依曼机”齐名，被永远载入计算

机的发展史中。 图灵机在理论上能模拟现代数字计算机的一切 运算,可视为现代数字计算机的数学模型。实际上 一切"可计算"函数都等价于图灵机可计算函数，而图灵机可计算函数类又等价于一般递归函数类。

2、说明按乔姆斯基分类，语言、文法、自动机的关系

乔姆斯基将语言定义为，按一定规律构成的句子或符号串

string 的有限的或无限的集 合，记为L 。数目有限的规则叫文法，记为

G 。刻画某类语言的有效手段是文法和自动机。 文法与自动机的关系：形式文法是从生成的角度来描述语言的 ，而自动机是从识别的角度来描

述语言的.文法和自动机是形式语言理论的基本内容。对某种语言来说

，如果存在一个该语言 的生成过程，就一定存在一个对于它的识别过程

.就描述语言来讲，形式语言 和自动机是统一 的.文法在形式上定义为四元组： G =（ VN,VT,S,P ） ,VN 是非终极符号，VT 是终极符号，S

是VN 中的初始符号，P 是重写规则。

图1*1形式语害和自动机的关联归类图

文法是定义语言的一个数学模型，而自动机可看作是语言的识别系统。

对于一个文法产生的语言，可以构造相应自动机接受该语言：一个自动机接受的语 言，可以构造对

应的文法产生该语言。一定类型的自动机和某种类型的文法具有等 价性。

2、乔姆斯基根据转换规则将文法分作 4类。每类文法的生成能力与相应的语言自动机 （识别语言的装置）的识别能力等价，即 4类文法分别与4种语言自动机对应: 类型

文法 自动机 0型

无限制文法 图灵机 1型

上下文有关文法 线性有界自动机 2型

上下文无关文法 r 后进先出自动机 3型

有限状态的正则文法 有限自动机 最常见文法的分类系统是 诺姆乔姆斯基于1956年发展的乔姆斯基谱系，这个分

类谱系把所有的文法分成四类型： 无限制文法、上下文相关文法、上下文无关文法和

正规文法。四类文法对应的语言类分别是 递归可枚举语言、上下文相关语言、上下文

无关语言和正规语言。这四种文法类型依次拥有越来越严的产生式规则，同时文法所能 表达的言也越来越少。尽管表达能力比无限文法和上下文相关文法要弱， 但由于高效率的实

现，四类文法中最重要的上下文无关文法和正规文法。

例如对下文无关语言存在算法可以生 成高效的LL 分析器和LR 分析器

自动机（接收机）

图灵机

线性有界自动机

下推式存贮自动机

有限自动机

形式语言

3、证明HALT(X R,X)不是可计算的

4、(1)、证明递归集都是递归可枚举集。

(2)、举例属于递归可枚举集但不是递归集的集合，并证明之。

5、(1)、证明L = {(a,b)*|a,b的个数相同}为上下文无关语言。

(2)、并证明其不是正则的。P56

假设L是正则的，则根据在交下的封闭性，L n a*b*也是封闭的，而后者正好是L1={ a i b i:i 仝0},假设L1是正则的，则存在满足泵引理的整数n。考虑字符串w= a n b n€ L。根据定理可以写成w=xyz使得|xy| w n,且沪e,即y=a i，其中i > 0.但是xz= a^''b'' L,与定理矛盾。

2000年10月

1、

(1)给出图灵机的格局、计算及图灵机□计算函数f的精确定义。

(2 )对图灵机模型而言，church论题是什么？

(3 )当x是完全平方时值为3x，否则为3x+1证明其是原始递归函数。

心）二严if ⑶）=

* 12x +1 else

设噹心O时L GO艇工的所白因子上利：cr(O)=0. 试证切bCO足饰始递!Hrm

wlieie.

J 1, if K工| ,Vj jo*, else

3、设7T(X)足小r等「兀的蠱数的个数.试证明更⑴是原始递H的。

兀(工)二工gd)

r-0

1, if x A

(k else