2014考研数学三真题及答案解析

无穷小，则下列试题中错误的是（ ）
（A） a = 0
（B） b = 1
（C） c = 0
（D） d = 1 6
【解析】法 1：由泰勒公式 tan x = x + 1 x3 + O(x3 ) 得 3
lim
x→0
P(x) − tan x3
x
=
lim
x→0
a
+
(b
− 1) x
+
cx2
+ (d x3
−
1)x3 3
～ t(1)
二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）设某商品的需求函数为 Q=40-2p（p 为商品的价格），则该商品的边际收益为
.
【解析】 R( p) = PQ = p(40 − 2 p) = 40 p − 2 p2
R′( p) = 40 − 4 p .
【答案】D
（4）设函数 （f x）具有二阶导数，g（x）= （f 0）（1− x）+ （f 1）x ，则在区间[0,1]上（ ）
（A）当f（′ x）≥ 0时，（f x）≥ g（x）
（B）当f（′ x）≥ 0时，（f x）≤ g（x）
（C）当f（′′ x）≤ 0时，（f x）≥ g（x）
（D）当f（′′ x）≤ 0时，（f x）≤ g（x）
∴P（B-A）=P（B）-P（BA）=0.5-0.3=0.2
【答案】B
（8）设 X1，X2，X3 为来自正态总体 N（0，σ 2 ）的简单随机样本，则统计量 S = X1 − X 2 服 2 X3
从的分布为（ ）
（A）F（1，1）
（B）F（2，1）
（C）t（1）
（D）t（2）
【解析】 S = X1 − X 2
取ε = | a | . 有 an ≥ 2 | a | > | a |
3
32
(2)下列曲线有渐近线的是
（A） y = x + sin x (B) y = x2 + sin x
(C) y = x + sin 1
(D)
x
y = x2 + sin 1 x
【解析】 a
=
lim
f
(x)
=
lim
x + sin
1 x
（10）设 D 是由曲线 xy+1=0 与直线 y+x=0 及 y=2 围成的有界区域，则 D 的面积为
（A）
an
|a|
>
2
（B） |
an
|<
|
a 2
|
【解析】∵
lim
x→∞
an
=
a
(C)
an
>
a
−
1 n
(D)
an
<
a
+
1 n
∴∀ε > 0 ∃ N ∈ N + s.t ∀ n > N 时，有| an − a |< ε
即 a − ε < an < a + ε. ⇒ || a | −ε |≤| an |≤| a | +ε
= (ad − bc)(bc − ad ) = − (ad − bc)2
【答案】B
（6）设α1,α2,α3 均为三维向量，则对任意常数 k,1,向量组α1 + kα3，α2 + lα3 线性无关是向
量α1, α2 , α3 线性无关的（ ）
（A）必要非充分 要
（B）充分非必要
（C）充分必要
1
【解析】由（α1 + kα3, α2 + lα3 ) = (α1,α2 ,α3 )
=
lim(1 +
1 sin
1)
=1
x→∞ x
x→∞
x
x→∞ x x
b = lim[ f (x) − ax] = lim[x + sin 1 − x] = lim sin 1 = 0
x→∞
x→∞
x
x→∞ x
∴ y = x 是 y = x + sin 1 的斜渐近线 x
(3)设 P ( x) = a + bx + cx2 + dx2，当x → 0 时，若 P（x）− tan x 是比 x3 高阶的
+
o( x3 )
=
0
a = 0, b = 1, c = 0, d = 1 , 故选（D）. 3
法 2：由条件及
lim tan
x→0
x
=
0, 知a
=
0,又 lim x→0
P(x) − tan x3
x
=
lim
x→0
b
+
2cx
+ 3dx2 3x2
− sec2
x
, lim sec2 x→0
x
=
0,
故 b=1,同理，再用洛比达法则可得 c = 0, d = 1 , 故选（D）. 3
（A）0.1
（B）0.2
（C）0.3
（D）0. 4
【解析】P（A-B）=P（A）-P（AB）
∵A 与 B 相互独立
∴P（AB）=P（A）P（B）
∴P（A-B）= P（A）- P（A）P（B）=P（A）[1-P（B）]=0.3
P（A）（1-0.5）=0.3
∴P（A）=0.6 P（AB）=P（A）P（B）=0.6×0.5=0.3
0 k
0
1 l
知，
（D）既非充分也非必
α1,α2 ,α3
线性无关时，因为
1 0
0
≠0
0
所以α1 + kα3,α2 + lα3 线性无关 反之不成立. 如当α3 = 0 ，且α1 与α2 线性无关时，α1,α2 ,α3 线性相关
【答案】A
（7）设随机事件 A 与 B 相互独立，且 P（B）=0.5，P（A-B）=0.3，则 P（B-A）=（ ）
2
X
2 3
( ) X1 − X 2 ～ N 0，2σ2
X1 − X 2 ～ N (0，1)
2σ
X 3 ～ N (0, σ2 )
∴ X 3 ～ N (0，1)
σ
∴ X 3 2～ χ2 (1) σ
X1 − X 2 与 X 3 相互独立.
2σ
σ
X1 − X2
2σ =
X
百度文库
2 3
σ2
X1 − X2
2
X
2 3
【解析】当 f ″( x) ≥ 0 时， f ( x) 是凹函数
而 g ( x) 是连接 (0, f (0)) 与 (1, f (1)) 的直线段，如右图
故 f (x) ≤ g(x)
【答案】D
0ab 0
a00b
（5）行列式
=（ ）
0cd 0
c00d
（A）（ad − bc）2 （B） −（ad − bc）2
（C） a2d 2 − b2c2
（D）
b2c2 − a2d 2
0ab 0
ab0
0ab
a
【解析】
0
0
b 按第4行展开 c·（-1）4+1 0
0
b + d (−1)4+4 a
0
0
0cd 0
cd0
0cd
c00d
=-c·b（-1）3+2 a b +d·a（-1）2+1 a b
cd
cd
= (ad − bc)·bc − ad（ad − bc）
2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及解析(完 整精准版)
来源文都教育
一、选择题：1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出四个选项中，只有一个选项 符合题目要求的，请将所选项的字母填在答题纸指定位置上。
（1）设 lim an = a,且a ≠ 0，则当 n 充分大时有（ ）