高考数学专题09 解析几何中的探索性问题(第五篇)(解析版)

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第五篇解析几何

专题09 解析几何中的探索性问题

【典例1】【河北省“五个一”名校联盟2020届模拟】已知平面内一个动点M 到定点F (3，0)的距离和它到定直线l ：x =6． (1)求动点M 的轨迹T 的方程；

(2)若直线l ：x +y -3=0与轨迹T 交于A ，B 两点，且线段AB 的垂直平分线与T 交于C ，D 两点，试问A ，B ，C ，D 是否在同一个圆上?若是，求出该圆的方程；若不是，说明理由． 【思路引导】

（1）按求轨迹方法，把条件用数学关系式表示，化简，即可求解；

（2）先求出直线AB 与椭圆交点坐标，再求出直线AB 垂直平分线方程，若四点共圆，此圆以CD 为直径，故只需证明CD 中点与,A B 的距离是否等于1

||2

CD . 【详解】

（1）设d 是点M 到直线l 的距离，M 的坐标为(,)x y ， 由题意，所求的轨迹集合是||{|

}2

MF P M d ==， 2

=

，化简得T ：221189x y +=； （2）将直线AB 方程与椭圆方程联立，由22

118930x y x y ⎧+

=⎪⎨⎪+-=⎩

，

得(0,3),(4,1)A B -，AB ∴中点(2,1),1CD N k =，

AB 的垂直平分线方程为:10CD x y --=，

由22

118910x y x y ⎧+=⎪⎨⎪--=⎩

消去y 得2

34160,0x x --=∆>， 设1122(,),(,)C x y D x y ，则1212416,33

x x x x +=

=-，

||CD ∴===

， 设线段CD 的中点为E ，则1

||||||2

EC ED CD ==

， 1221,1233E E E x x x y x +===-=-Q ，所以21

(,)33

E -，

1

||||||2

EA CD EB ∴====，

所以,,,A B C D 四点在以E

为圆心，以

3

为半径的圆上， 此圆方程为2

2

21104

()()3

3

9

x y -++=

. 【典例2】【山东省日照市2019-2020学年高三下学期1月校际联考】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：

22

221x y a b +=()0a b >>的焦距为2

，且过点1,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

. （1）求椭圆C 的方程；

（2）设椭圆C 的上顶点为B ，右焦点为F ，直线l 与椭圆交于M ，N 两点，问是否存在直线l ，使得F 为

BMN ∆的垂心，若存在，求出直线l 的方程：若不存在，说明理由.

【思路引导】

（1）把点的坐标代入椭圆方程，利用椭圆中,,a b c 的关系和已知，可以求出椭圆方程；

（2）设直线l 的方程，与椭圆方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合已知和斜率公式，可以求出直线l 的方程. 【详解】

解：（1）由已知可得：22222221112c a b a b c

=⎧⎪⎪

+=⎨⎪=+⎪⎩解得22a =，21b =，1c =，

所以椭圆C ：2

212

x y +=.

（2）由已知可得，()0,1B ，()1,0F ，∴1BF k =-，∵BF l ⊥， 设直线l 的方程为：y x m =+，代入椭圆方程整理得

2234220x mx m ++-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，

则1243m x x +=-，21222

3m x x -⋅=，

∵BN MF ⊥，∴

1212

1

11y y x x -⋅=--. 即1212120y y x x y x +--=，

因为11y x m =+，22y x m =+，()()()1212120x m x m x x x m x +++-+-= 即()2

12122(1)0x x m x x m m +-++-=.

()2222421033

m m m m m --+-+-=.

所以2340m m +-=，4

3

m =-

或1m =. 又1m =时，直线l 过B 点，不合要求，所以43

m =-. 故存在直线l ：4

3

y x =-

满足题设条件. 【典例3】【2019届内蒙古鄂尔多斯西部四旗高三上学期期末联考】已知椭圆:C 22

221(0)x y a b a b

+=>>的

离心率为

2

，焦距为2c

，直线0bx y -+=过椭圆的C 左焦点. （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）若直线20bx y c -+=与y 轴交于点,,P A B 是椭圆C 上的两个动点,APB ∠的平分线在y 轴上,

PA PB ≠.试判断直线AB 是否过定点，若过定点，求出定点坐标;若不过定点，请说明理由.

【思路引导】

(1)

因为直线0bx y -+=过椭圆的左焦点,故令0y ＝,

得x c b =-

=-,

又因为离心率为

2

,从而求出2b ＝,又因为222a b c =+,求出a 的值,从而求出椭圆C 的标准方程;

(2)先求出点P 的坐标,设直线AB 的方程为y kx m +＝,联立方程组,利用根与系数的关系,设()11,A x y ,

()22,B x y ,得到122

8(1)

4

k m k k m -+=

-,又因为APB ∠的平分线在y 轴上,所以120k k +=,从而求出m 的值,得到直线AB 的方程为1y kx ＝+过定点坐标. 【详解】

解:(1)

因为直线0bx y -+=过椭圆的左焦点,故令0y ＝,

得x c b

=-

=-，

2

c a b ∴

==

,解得2b ＝.又2222

212a b c b a =+=+Q ,

解得a =∴椭圆C 的标准方程为:22

184

x y +=.

(2)由(1)

得22

c a =

=,∴直线20bx y c -+=的方程为240x y -+= 令0x ＝得,4y ＝

,即(0,4)P .设直线AB 的方程为y kx m =+ 联立方程组22

184y kx m x y =+⎧⎪⎨+

=⎪⎩

,消去y 得,()222

214280k x kmx m +++-= 设()11,A x y ,()22,B x y ,∴122

421km x x k +=-+,2

122

28

21

m x x k -=+ 则直线PA 、PB 的斜率111144y m k k x x --=

=+, 2222

44y m k k x x --==+ 所以()

12122212

(4)(4)(4)8(1)

22284

m x x m km k m k k k k x x m m -+---+=+

=+

=--