求离心率的取值范围方法总结

精品文档求离心率的取值范围

椭圆的离心率，双曲线的离心率，抛物线的离心率。求椭圆与双曲线离

心率的范围是圆锥曲线这一章的重点题型。求离心率的取值范围涉及到解析几何、平面几何、代

数等多个知识点，综合性强方法灵活，解题关键是挖掘题中的隐含条件，构造不等式。

下面从几个方面浅谈如何确定椭圆、双曲线离心率e的范围。

一、利用曲线的范围，建立不等关系

例1．设椭圆的左右焦点分别为、，如果椭圆上存在点P，

使，求离心率e的取值范围。

例2．已知椭圆

22

22

1(0)

x y

a b

a b

右顶为A,点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP垂直于PA，

求椭圆的离心率e的取值范围。

二、利用曲线的平面几何性质，建立不等关系例1．已知12

、

F F是椭圆的两个焦点，满足的点P总在椭圆内部，则椭圆离心率

的取值范围是（）

Ａ．(0,1)Ｂ．

1

(0,]

2

Ｃ．

2

(0,)

2

Ｄ．

2

[,1)

2

例2．直线L过双曲线的右焦点，斜率k=2。若L与双曲线的两个交点分别在左、右

两支上，求双曲线离心率的取值范围。

例3. 已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线

交于A、B两点。若△ABF2是锐角三角形，求双曲线的离心率的取值范围。

例4.设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|＝|A2B2|，其中A1，B1和A2，B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率

的取值范围是( )．

A．

23

2

3

，

B．

23

2

3

，

C．

23

3

，

D．

23

3

，

例5.过双曲线的左焦点

1

F且与双曲线的实轴垂直的直线交双曲线于A、B两点，若在双曲线的虚

轴所在直线上存在一点C，使得0

90

ACB，双曲线的离心率e的取值范围为_______________

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三、利用曲线的定义和焦半径范围，建立不等关系

例1．已知双曲线的左右焦点分别为、

，点P 在双曲线的右支上，

且

，求此双曲线的离心率

e 的取值范围。

例2．已知双曲线

22

2

2

1(0,0)x

y

a

b a b 的左、右焦点分别为

12(,0),(,0)F c F c ．若双曲线上

存在点

P 使

12

21

sin sin

PF F a PF F c

，求该双曲线的离心率的取值范围。

四、利用点与圆锥曲线的位置关系，建立不等关系

例1.已知ABC 的顶点B 为椭圆

12

2

22

b

y a

x )0(b a

短轴的一个端点，另两个顶点也在椭圆

上，若

ABC 的重心恰好为椭圆的一个焦点F )0,(c ,求椭圆离心率的范围

.

五、利用判断式，建立不等关系

例1.在椭圆

222

2

1(0)x y a b a

b

上有一点M ，12,F F 是椭圆的两个焦点，若2

21

2MF

MF b ，

求椭圆的离心率.的范围。

例2．设双曲线

与直线

相交于不同的点

A 、

B 。求双曲线的离心率

e

的取值范围。

六、利用均值不等式，建立不等关系。

例1. 已知点P 在双曲线

)0b

,0a (1b

y a

x 2

22

2的右支上，双曲线两焦点为

21F F 、，

|

PF ||

PF |22

1最小值是

a 8，求双曲线离心率的取值范围。

七、利用函数的值域，建立不等关系

例1.设1a

，则双曲线

22

2

2

1(1)

x y

a

a 的离心率e 的取值范围是（

）Ａ．(

2,2)

Ｂ．(2,

5)

Ｃ．(2,5)

Ｄ．(2,

5)

例2.椭圆

12

22

2

b

y a

x )0(b a

与直线01

y

x 相交于A 、B 两点，且0OB

OA （O 为

原点），若椭圆长轴长的取值范围为

6,5，求椭圆离心率的范围

.

八、利用三角函数有界性，建立不等关系

例1.双曲线

222

2

1(0,0)x y a b a

b

的两个焦点为12,F F ，若P 为其上一点，且

122PF PF ，

则双曲线离心率的取值范围是（）

Ａ．(1,3)Ｂ．(1,3]

Ｃ．(3,

)Ｄ．[3,)