小概率事件的几个简单应用

小概率在生活中的几个简单应用

王德斌

(清华大学机械工程系，机40，2014010588)

【摘要】生活中，特别是工程中，有很多的问题，是小概率事件，小概率事件的发生概率虽然小，但是还是有可能发生的，但是很多人容易忽略它，最终造成了惨重的损失，那么我们应该如何去合理的预测和评价小概率事件的发生呢？

关键词：小概率论事件；质量检测；保险；应用。

引言

小概率事件其实存在于实际生活有很多地方，比如我们很多人根据经验会说明天太阳一定会从东方升起（这显然是符合大家的直观感受的，很多中小学的教材中还把“太阳从东方升起”这个命题归为“必然事件”），这是我们基于生活生活前期的多个样本下进行的预测，但是这个预测是错误的，太阳从东方升起的概率虽然很大，但是并不是1。这就是拉普拉斯提出的问题，拉普拉斯给出的说明是：

假设太阳升起这一事件服从一个未知参数A 的伯努利过程，且A 是[0,1]内的均匀分布，则利用已有的数据可知，太阳明天能升起的后验概率是

P(X n+1|X n =1,X n−1=1……,X 1=1)=P(X n+1,X n =1,X n−1=1,……,X 1=1)/ P(X n =1,X n−1=1,……,X 1=1)=∫A n+110dA/∫A n dA 10=n+1n+2

由以上推倒我们可以知道，即使我们知道前n （就算n 无穷大）次太阳都是从东方升起的，但是第n+1次太阳依然从东方升起的概率也会小于1。我们或许可以假设，如果有一个很大的力作用于地球使得地球的自传方向，那么下一次太阳将会从西方升起。从这个意义上来说，就比较容易能理解为什么太阳下一次不一定会从东方升起。

从上面这个例子，我们发现，其实小概率事件大量存在于我们的生活中，只是我们容易忽视了小概率事件的发生概率而已。特别是在生物学领域体现尤为明显，基因突变的概率很小，但是现实生活中还是不乏基因突变的例子。其实生活中，人们在应用着小概率事件的两个面。一方面，在某些情况下人们倾向于认为小概率事件不可能会发生。比如，某个机器的稳定性、可靠性达99.99%，人们会认为这个机器几乎是不会发生故障的，而事实是，再高的稳定性的机器，在大基数的情况下也会发生故障。然而，另外一个方面，人们又确信小概率事件一定会发生，比如很多人热衷于买彩票，认为自己一定会在某次中奖（当然，这里面又心理学的问题）。

一、小概率事件的原理

假设，小概率事件A 发生的概率为P （A ）=p ，（p 通常小于0.05），假设进行n 次实验，事件A 至少发生一次的概率为：P=1-（1−p ）n ，当n →+∞时，无论p 多小，P 都趋向1，即A 迟早出现一次的概率为1。

二、小概率原理的推倒

定理：（伯努利大数定律）设S n 为n 重伯努利试验中的事件A 发生的次数，p 为每次试验中A 出现的概率，则对任意的ε>0，有

lim n→∞P （|S

n n −p|<ε）=1

即，当n→+∞时，A发生的频率依概率收敛于A的概率。在此定理下，一定程度上，我们可以基于现实的大数据下对事件发生的概率做一个预测，假如一个事件在10000次实验中，只出现一次，即频率为0.0001，此时我们可以认为A发生的频率收敛于p。这就是我们预测小概率事件概率的理论依据。

三、小概率事件在质量检测中的应用

生产场景中，有很多的产品的质量符合正态分布，所以我们可以利用正太分布的3σ原则进行质检。

3σ原则：

设随机变量X~N(μ，σ2)，则P（|X-μ|<3σ）=0.9973,即虽然正太分布的变量取值范围为（-∞，+∞），但它的99.73%的取值落在（μ-3σ，μ+3σ）内。

假如，化工厂生产的化肥重量服从正态分布，及X~N（50，12），现在检测到有一包化肥重54kg，那么，是否该检修生产线?答案是显然的，因为根据3σ原则有，化肥的质量应该落在（50-3*1，50+3*1）区间内，然而，54kg却落在了区间外，这个概率只有0.27%，所以我们预测生产线可能出现了问题，应该检修。

四、小概率事件在保险业务中的应用

保险行业其实就是我们为了规避小概率事件发生对我们生活带来巨大损失的一种方式。一般来讲，一些小概率(大概率)，但是损失小的事件，比如你的衣服拉链坏了，人们是不会去投保的，因为即使这件事发生了，我们也不会有很大的损失，我们投保获得的赔偿也不会很高。另外一个方面，一些大概率损失巨大的事件，保险公司也不太愿意去担保，比如极限运动等。我想要投保的是，一些小概率事件，但是假如发生了会给我们带来极大损失的事，我们希望这些事件发生的时候，我们能够获得一定的赔偿。比如意外死亡等。一般来讲，保险公司的保费的计算公式为：保费=保险公司的费用+保险赔偿额度×事件发生的概率。

比如：一个保险公司计划开展一项业务，为一类危险工作的职员的生命安全担保。调查知此类职员的意外死亡率为1

10000

，公司拟开出的保额为50万，保险公司收取的费用为每单500元。那么保险公司应该把每单保费订为多少？

保费=500+500000×1

10000

=550元，我们可以发现，我们投保的费用和我们将来可能会获得的赔偿差别巨大，这就使得这类事件具有了参保的意义。

另外，假如一个保险公司计划开展一项业务，为一类危险工作的职员的生命安全担保。调查

知此类职员的意外死亡率为1

10000

，公司拟开出的保额为50万，参保人数为500人，参保人没人缴60元，保险公司收取的费用为每单500元。试问，保险公司在本次保险互动中是否会亏本?

解：保险公司的总收入=500×60=30000，假设死亡人数为X，则赔偿了500000X元，亏本即500000X>30000,解得X>0.6。把“投保人意外死亡”当作一个随机事件，500人投保，即进

行了500次伯努利实验，X~b（500，1

10000），发生的意外死亡的人数期望=500×1

10000

=0.05<0.6，

所以保险公司理论上不会亏本。

五、如何对待小概率事件