可压不可压缩流体计算

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控制方程的数学分类及其对数值解的影响
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• 不同类型的偏微分方程在特性上主要区别是它们的倚赖域与影响 域不同 • 双曲型：初值、边值问题，有两个实的特征线，依赖域是两个特 征线之间的部分，由于倚赖域具有方向性，所以是一个初边值问 题； • 抛物型：初值、边值问题，因为有一个实的特征线，依赖域取决 于特征线前面的区域，从而是初边值问题； • 椭圆型：边值问题，需要注意的是倚赖域和影响域是整个流场， 设置边条的时候需要给定完整的边条，所以认为是边值问题；
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非原始变量法
• Fasel提出的流函数——涡函数方法 • Aziz和Hellums提出的势函数——涡函数方法
对于二维问题，具有计算上的优势；对于三维题需要求解三个Poisson方程， 非常耗时，反而不及原始变量法。
A
马赫锥
v c
• 气流超声速流动
(c)
o
2c
3c
v c
o
(d)
2
3c 4c
B
2 3 4
3
4
B
马赫角
c 1 sin v Ma
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1 sin Ma
-1
马赫数
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关于马赫数的一些概念
• Ma<0.3，一般工程认为不可压 • Ma＝1，飞机飞行出现音障 • Ma＝3，飞机飞行出现热障 • Ma<5，湍流的难点在于非线性而不是压缩性，压缩性对于湍 流结构不起重要作用
音速
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讨论：
（1）音速与本身性质有关 （2） a
1 d dp
d / dp 越大，越易压缩，a越小
音速是反映流体压缩性大小的物理参数
（3）
a f T f p,V , T
当地音速
（4）空气
a 1.4 287T
T 288 K
a 340 m / s
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动量方程：
p ij ( ui) ( u j ui) t xj xi x j
能量方程：
( E ) ( u j H ) [ui ij q j ] t xj xj
其中，t为时间，xj为坐标向量，ui为速度向量，ρ为密度，p为压力，τij为粘性 应力张量，E为总能量，E= e + UiUi/2；H为总焓，H= h + UiUi/2 ，e为内能，h 为静焓。 FOCUSED ON EXCELLENCE
气流的三种状态
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滞止状态： 气流速度滞止到零——实际的或者假想的； 极限状态： 气流的静温为0，速度达到最大值——理论值；
临界状态：
气流的马赫数等于1；
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滞止状态
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滞止参数
v T T0 2c p
2
R cp 1
2 v Ma 2 2 c
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不可压流方程的数学性质
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• 不含时间变量的不可压缩流方程NS方程组是椭圆型方程，在椭圆 型方程中信号传播速度无穷大，即声速无穷大，在边值问题求解 中需要全部封闭的边解条件。在实际计算中可看到下游对上游的 强烈影响。
• 含时间变量的不可压缩粘性流NS方程是抛物型方程，但它含有椭 圆型方程的强烈次特征。当人们用时间相关法来求解含时间的NS 方程组时，在达到稳态解时完全是椭圆型方程问题，方程的边界 条件也应按椭圆型方程来提。
当马赫数小于0.3的时候，忽略气体压缩性引起的动压的相对误差不超过0.23％。 因此，工程上一般对于马赫数小于0.3的低速流动视为不可压流动。
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极限状态
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静温为0——气流膨胀到完全真空 所能达到的最大速度
极限速度
vmax
2R T0 1
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激波的分类
• 斜激波（超声速气流经过激波流动方向变化） • 正激波 （超声速气流经过激波流动方向不变化） • 脱体激波（超声速气流流过钝头物体产生的激波） • 激波的流动不能作为等熵流动处理。但是，气流经过 激波可以看作是绝热过程。
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控制方程组及求解方法
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为使方程组封闭，还需要引入气体状态方程和内能与焓的关 系式。对于完全气体有：
p RT h e p/ e p /( 1)
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可压流体连续性方程
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( v) 0 t
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不可压的概念
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d 0 dt
d ( v ) dt t
迁移导数
全导数 当地导数
不可压定义为密度的全导数为0，
并不能简单理解为均质流。
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不可压缩流体的应用领域
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几乎包含了所有不属于可压缩空气动力学研究范围的问题： 低速空气动力学问题 水动力相关的液体流动（河流运动、海口污染） 生物流体力学
马赫数
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v M a
Ma<1 亚音速流动
Ma=1 音速流动
Ma>1 超音速流动
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马赫数
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微小扰动在空气中的传播
v0
vc
2 c 3c 4c
2c
3c
4c
• 气体静止不动 • 气流亚声速流动 • 气流以声速流动
o
(a )
o
(b)
2
4
A
马赫锥
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膨胀波产生的特点：
• 超声速来流为定常二维流动,在壁面折 转处必定产生一扇型膨胀波组，此扇 型膨胀波是有无限多的马赫波所组成
• 经过膨胀波组时，气流参数是连续变 化的，其速度增大，压强、密度和温 度相应减小,流动过程为绝热等熵的膨 胀过程. • 气流通过膨胀波组后，将平行于壁面 OB流动. • • 沿膨胀波束的任一条马赫线，气流参 数不变，固每条马赫线也是等压线。 而且 马赫线是一条直线 • 膨胀波束中的任一点的速度大小仅与 该点的气流方向有关. FOCUSED ON EXCELLENCE

2 T0 c0 -1 2 2 1 Ma T c 2
c 2 RT
同理
1 p0 - 1 2 1 Ma p 2

0 -1 2 1 Ma 2
1 -1
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滞止状态 考虑气体的压缩性与否及会带来多大误差
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可压缩流体的概念
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可压是和不可压相对应的
不可压缩流是可压缩流压缩性趋向于0的极限情况
航空航天事业的飞速发展，使得空气动力学发展成为一门强 大的学科，在某种程度上反而超过了孕育它成长的流体力学 本身。
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可压缩流体的应用领域
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不可压缩流动求解主要有两类方法
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求解不可压缩流动的各种方法主要在于求解不同的压力过程
• 原始变量方法
将NS方程写成速度和压力的形式，进行直接求解
• 非原始变量方法
不直接求解速度、压力的方法
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不可压缩流动求解主要有两类方法
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p0 2 - 2 4 1 Ma Ma Ma6 p 2 8 48
2 - 1 2 1 Ma 1 Ma Ma 4 2 24 4
2

V2 V2 Ma 2 P / C
2
1 2 - 1 p0 p 1 V 2 1 Ma 2 Ma 4 2 24 4
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激波 气流通过凹面时从B开始通道面 逐渐减小，在超声速流情况下,速 度就会逐渐减小，压强就会逐渐增 大。与此同时,气流的方向也逐渐 转向，产生一系列的微弱扰动，从 而产生一系列的马赫波,这种马赫 波称为压缩波。
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气流沿整个凹曲面的流动，实际上 是由这一系列的马赫波汇成一个突 跃面(图9－4)。气流经过这个突跃 面后，流动参数要发生突跃变化： 速度会突跃减小；而压强和密度会 突跃增大。这个突跃面是个强间断 面，即是激波面。
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膨胀波和激波
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膨胀波和马赫波是超音速气流特有的重要现象
超音速气流加速时一般会形成膨胀波
超音速气流减速时一般会形成激波
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膨胀波
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当超声速流流过凸曲面或凸折面时，通道面积加大，气流发生膨胀 ，而在膨胀伊始因受扰动而产生马赫波。这种气流受扰后压强将下 降，速度将增大情况下的马赫波称为膨胀波。 （图9-1、9-动力学领域
外流问题：飞机、火箭、导弹、超高速汽车…… 内流问题：涡轮增压器——汽车、轮船…… 燃气轮机——飞机、轮船…… 汽轮机——热电、核电……
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可压缩流一些基本理论
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可压缩流一些基本理论
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音速

马赫数

膨胀波和激波

气流的三种状态
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音速
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声音的传播是一种小扰动波，音速是指微弱扰动波在流体 介质中的传播速度。
连续性方程
aAdt d a dvAdt
略去高阶微量，得
ad dv
或 对于不可压缩流体：
d v 0 dt
d 0 dt
得 展开为
v 0
v y v x v z 0 x y z
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不可压和可压方程的差别 • 状态方程不再成立 • 压力P不再作为热力学变量
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• 连续方程退化为速度的散度为零的方程,在可压缩流动的计算中可 用于求解密度和压力的连续方程在不可压缩流动求解中仅是动量 方程的一个约束条件，由此求解不可压缩流动的压力成为一个困 难。 • 动量方程和能量方程可以分开求解
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飞机突破音障瞬间
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控制方程组及求解方法
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控制方程组及求解方法
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质量守恒、动量守恒和能量守恒三大定律
质量方程：
( u j) 0 t x j
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• 亚音速飞行：在机头前方的空气受到的冲击压力不大，空气微团可避让飞行。声 波也能向机头前方传播，飞机能顺利飞行。 • 音速飞行：声波就不能向前传播，产生很大的激波阻力。这些现象出现后，使机 头前部的空气温度升高，能量迭聚，形成一堵高温高压的空气墙，使飞机难以逾 越，这种现象就叫作“音障”。
• 超音速飞行：一旦加大飞机的动力，改进飞机的结构外形就可以突破“音障”。 飞机可轻易地飞行在音波的前方。
临界状态 临界声速
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c
2 1 ccr c0 vmax 1 1
或者
c0
Ma 1 Ma 1
ccr
Ma 1
2R ccr RTcr T0 1
0
v cr
v max
v
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不同马赫数下飞机的飞行情况
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可压缩、不可压缩流体计算
ADINA武汉代表处技术部 2007.03.11
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主要内容
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可压、不可压流基本概念及应用

可压缩流一些基本理论

控制方程组及求解方法

一些工程实例
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可压、不可压流基本概念及应用
动量方程
p dpA pA aAdv
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音速
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得
®
dp adv
解得
dp a d
——音速定义式
dp 液体： E a d
气体：视作等熵过程
E

p

k
c
微分：
dp k
p

dp a k
p

kRT
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