第15讲 圆与扇形—完整版

第15讲圆与扇形
内容概述
掌握圆与扇形的基本概念和性质，以及它们的周长和面积计算公式，并能熟练运用公式处理相关的几何问题；学习如何利用割补法和包含排除的思想计算图形中特定部分的面积；学会分析几何图形的运动过程，并由此得出点的轨迹和图形扫过的区域。

兴趣篇
1．已知一个扇形的圆心角为120，半径为2，这个扇形的面积和周长各是多少？(π取3.14)
答案：面积4，周长8
解析：扇形的面积===4
周长=2r+=8
2．已知一个圆的面积是28.26平方厘米，那么这个圆的半径和周长分别是多少？（π取3. 14）
答案：半径3厘米，周长18.84厘米
解析：由S=Πr2，得r2=9平方厘米，因此r=3厘米。

C=2Πr=18.84厘米
3．已知一个圆的周长是25.12厘米，那么这个圆的半径和面积分别是多少？
(π取3. 14)
答案：半径4厘米，面积50.24平方厘米
解析：由C=2Πr，得r=4厘米
因此S=Πr2=50.24平方厘米。

4．(1)根据图15-1所给的数值，求这个图形的外周长和面积．（π取3.14） (2)如图15-2，有8个半径为1厘米的小圆，用它们圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心，如果圆周率π取 3.14，那么花瓣图形的周长和面积分别是多少？
答案：（1）周长14.28，面积15.14 （2）周长31.4厘米，面积17.14厘米解析：（1）如图所示：
在组成外周长的8个部分中，有4个部分是半径为1圆心角为90°的圆弧，它们恰好可以拼成一个整圆周，于是这4段弧长之和就等于圆周长2Π×1=2Π；另外4部分是4段长为2的直线段．因此圆角矩形的外周长就是2Πr+4X2≈6.28+8=14. 28.
接下来求组成圆角矩形各个部分的面积．由于4 个圆心角为90°的扇形拼成一个整圆，于是这4个扇形面积之和是Π×1×1≈3.14;4个长为2宽为1的长方形的面积之和是4×2×1=8；-个边长为2的正方形的面积是2×2=4．因此圆角矩形的总面积是3.18+8+4=15.14.
(2)如图所示：
花瓣图形在正方形之外的部分是4个半径为1圆心角为270。

的扇形，每个扇形的弧长是相同半径的圆周长的，那么它们的弧长之和是3
个圆周长，即 3×2Πr≈3×2×3.14×1=18. 84厘米；每个扇形的面积也是圆面积的鬈导则它们的面积之和也是圆面积的3倍，即3×Πr2≈3×3.14×12=9. 42平方厘米。

花瓣图形的周长在正方形内的部分是4个半圆，它们的周长之和是圆周长的2倍，即
2×2Πr≈2×2×3.14×1=12.56厘米．
这4个半圆的面积之和也是圆面积的2倍，即2×Πr2≈2×3.14×12=
因此花瓣图形的周长就是4个扇形的弧长与4个半圆的周长之和，即：18. 84+12. 56=31.4厘米．面积就是4个扇形的面积与正方形面积之和，再减去
挖掉的4个半圆的面积，即
9.42+4×4-6.28=16+3.14=17.14平方厘米．
5．如图15-3，求各图形中阴影部分的面积．(图中长度单位为厘米， 取3.14)
答案：（1）4.5平方厘米（2）1平方厘米（3）2平方厘米
解析：(1)
用割补的方法，把右边弓形部分“切害4”下来，补在左边相应的位置，这样整个阴影部分的面积正好是正方形面积的一半．正方形的面积是3×3=9平方厘米，那么阴影部分的面积就是9÷2=4.5平方厘米．(2)
用平移的方法，把图形沿中间切开，把左边正方形内的阴影部分平移到右边正方形内，这样整个阴影部分正好是一个进长为1厘米的正方形．正方形的面积是1×1=1平方厘米，那么阴影部分的面积也是1平方厘米．
(3)与第2问类似，沿中间切开，可以把边长为2厘米的大正方形分成4个边长为1厘米的小正方形，并把右上方小正方形内的阴影部分平移到左下方的小正方形中，把右下方小正方形内的阴影部分也平移到左上方的小正方形中．
这样一来，整个阴影部分就是两个边长为1厘米的小正方形了．每个小正方形的面积是1×1=1平方厘米，那么阴影部分的面积就是2×1=2平方厘米，
6.如图15-4，求各图中阴影部分的面积．(图中长度单位为厘米， 取3. 14)
答案：(1)2.28平方厘米(2)4.56平方厘米,(3) 13. 965平方厘米
解析(1)阴影部分被两段圆弧所包围，把圆弧的两端连接起来，把阴影部分分成两个弓形，其中每个弓形都是从半径为2的直角扇形中挖掉一个直角边长为
2的等腰直角三角形，半径为2的直角扇形的面积是×Π×2×2=3.14平方厘米，直角边长为2的等腰直角三角形面积是×2×2=2平方厘米，那么弓形的面积就是3.14-2=1.14平方厘米。

阴影部分为两个弓形，所以阴影部分
的面积为2.28平方厘米。

（2）把图形沿斜线切开，分成对称的两部分，由此不难看出，整个阴影部分是由4个面积相等的弓形组成，每个弓形的面积都是扇形与等腰直角三角形面积之差，其中扇形半径为2圆心角为90°，等腰直角三角形直角边长为2.
半径为2圆心角为90°的扇形的面积为=3.14平方厘米。

直角边长为2的等腰直角三角形面积为×2×2=2平方厘米，因此一个弓形的面积就是3.14-2=1.14平方厘米。

阴影部分为两个弓形，所以阴影部分
的面积为 1.14×4=4.56平方厘米。

(3)如图所示，在每段圆弧的两端连一条线，容易看出，三角形内的阴影部分是由两个弓形组成，我们可以将这两个弓形通过
旋转，填补到两个空白的弓形区域中．此时，阴影部分的面积就等于等腰直角三角形之外的大弓形的面积，即扇形面积与三角形面积之差．
扇形半径为7厘米，圆心角为90。

，那么扇形的面积就是=38. 465平方厘米，等腰直角三角形的边长是7厘米，那么它的面积就是×7×7=24.5平方厘米.
由分析，阴影部分的面积等于直角扇形面积与等腰直角三角形面积之差，于是阴影部分的面积就是38.465 - 24.5=13.965平方厘米．
7．图15-5中甲区域比乙区域的面积大57平方厘米，且半圆的半径是10厘米，其中直角三角形竖直的直角边的长度是多少？( 取3. 14)
答案： 10厘米
解析：甲区域与阴影组成了一个半圆，乙区域与阴影组成了一个三角形，由甲区域比乙区域的面积大57平方厘米，可知半圆面积比三角形面积大57平方厘米．
半圆的面积是=50≈157平方厘米；
三角形面积是157 – 57=100平方厘米；
竖直的直角边是=10厘米．
8．求图15-6中阴影部分的面积．(π取3.14)
答案：107平方厘米
解析：阴影部分为两个半径为10厘米的直角扇形减去两个斜边为10厘米的等腰直角三角形．
这两个直角扇形可组成一个半径为10厘米的半圆，面积是=50≈157
平方厘米；
这两个三角形可组成一个直角边为10的等腰直角三角形，面积是=50
平方厘米．
因此阴影部分的面积是157–50=107平方厘米．
9．如图15-7，在3×3的方格表中，分别以A，E为圆心，3，2为半径，画
出圆心角
都是90︒的两段
圆弧．图中阴影部分的面积是多少？(π取3. 14)
答案：1.075
解析：在图中，以E为圆心的扇形加上左边和上边共5个小正方形，再减去以A为圆心的扇形，即得阴影部分．因此阴影部分的面积是+5-=5-1.25≈1.075．
10．一条直线上放着一个长和宽分别为4厘米和3厘米的长方形I（图15 -8）．让这个长方形绕顶点B顺时针旋转90︒后到达长方形Ⅱ的位置，这样连续做三次，A点到达E点的位置，求A点经过的总路程的长度．（π取3）答案：18厘米
解析：根据题意，该长方形旋转了三次，则需要知道每次旋转A走过的路程长，
第一次旋转：A点由A走到A，，实际上走了一个以B为圆心，AB为半径，圆心角为90°的圆弧．
第二次旋转：A点由A走到A2，实际上
走了一个以C为圆心，A．C为半径，圆心角为90。

的圆弧．容易得A1C=5厘米．这里∠
A1CA2为直角．
第三次旋转：A点由A2走到E，实际上走了一个以D为圆心，DE为半径，圆心角为90。

的圆弧。

分别求解出三次旋转所走过的路程长：
第一次旋转：
Sl=×2×Π×AB≈6
厘米．
第二次旋转：S2=÷×2×Π×A1C≈7.5厘米．
第三次旋转：S3=×2×Π×DE≈4.5厘米．
因此A点走过的路程的长为：S=Sl+S2+S3=6+7.5+4.5=18（厘米）．
拓展篇
1．(1)已知一个扇形的半径为2厘米，弧长为3.14，这个扇形的面积是多少？
(2)已知一个半圆形的面积是56.52平方厘米，求这个半圆形的周长．(π取3.14)
答案：(1)3.14平方厘米(2) 30.84厘米
解析：(1)扇形面积等于弧长乘以半径再除以2，
=3.14平方厘米．
(2)设半径为r厘米，由56.52，得r=6．
半圆的周长为半圆弧加上直径，6×3.14+6×2=30.84厘米．
2.已知一个扇形的面积为18.84平方厘米，圆心角为60︒，这个扇形的半径
和周长各是多少？(π取3.14)
答案：半径6厘米，周长18.28厘米
解析：设扇形的半径为r厘米．由=18.84，得r=6，半径是6厘米．周长是+6×2=18.28厘米，
3．如图15-9，求各图中阴影部分的面积．(图中长度单位为厘米，π取3. 14)
答案：（l) 25平方厘米(2)2.28平方厘米
解析：（1）如图，用割补法把三角形的弓形填补到三角形内的空白弓形中，这样阴影部分的面积就等于由虚线所分割出的小等腰直角三角形的面积了。

大等腰直角三角形的直角边长是10厘米，则它的面积是10×10÷2=50平方厘米，把它分成相等的两个等腰直角三角形，每个小三角形的面积就是
50÷2=25平方厘米。

因此，阴影部分的面积为25平方厘米。

（2）阴影部分中每一块都是两个半圆的重叠部分，这4个半圆两两重叠的部分正好就是本题中的阴影部分．于是可以根据容斥原理来计算重叠部分的面积，正方形的边长是2厘米，它的面积就是2×2=4平方厘米，每个半圆的直径是2匣
米，则半径是1厘米，半圆的面积是×Ⅱ×1×1≈×3.14=1.57平方厘米，那
么这4个半圆的面积和就是1.57×4=6.28平方厘米．
4个半圆的重叠部分就是阴影部分，由容斥原理，阴影部分的面积就是
6.28 -4=2.28平方厘米．
4．如图15-10，直角三角形ABC的面积是45，分别以B，C为圆心，3为半径画圆．已知图中阴影部分的面积是35.58.请问：角A是多少度？（ 取3. 14）
答案：60°
解析：直角三角形ABC的面积是45，阴影部分的面积是35. 58，那么三角形内的空白部分的面积就是45-35.58=9.42.空白部分由两个半径为3的扇形组
成，其中一个是直角扇形，它们的面积是×Π×3×3=7.065，那么以B为圆心
的扇形面积就是9.42 -7.065=2.355.
由于半径为3的圆的面积是Π×3×3=≈28.26，所以以B为圆心的扇形面积
是圆面积的，则扇形的圆心角也是圆周角的，即×360°=30°．
在三角形ABC中，∠B=30°，∠C=90°，那么
l ∠A=180°- 30°- 90°=60°。

5．图15-11是一个直径是3厘米的半圆，AB是直径，如图15-12所示，让
A点不动，把整个半圆逆时针转60︒，此时B点移动到C点，请问：图中阴影部
分的面积是多少平方厘米？(π取3.14)
答案：4.71平方厘米
解析：阴影部分与扇形CAB都是从整个图形中挖掉 -个半圆得到，那么阴影部分的面积就等于扇形的面积．扇形CAB的半径是半圆的直径，即3厘米，圆心
角是60°，是同半径的圆面积的，那么扇形CAB的面积就是×Π×3×3=
1.5Π≈4.71平方厘米，
因此阴影部分的面积也是4.71平方厘米，
6．如图15-13，在一块面积为36平方厘米的圆形铝板中，裁出了7个同样大小的圆铝板．问：余下的边角料的总面积是多少平方厘米？
答案：8平方厘米
解析：小圆的半径是整个大圆半径的，因此小圆的面积是大圆面积的，为36×=4平方厘米，
大圆去掉7个小圆后剩下的面积是36-4×7=8平方厘米。

7．图15-14中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正方形的中心．如果每个圆的半径都是l厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？
答案：8平方厘米
解析：如图，从左上的阴影部分中挖掉两个弓形，补在相应的
空白处的左上部分，这样一来，左上的阴影部分面积就等于正方形
的面积，其中正方形的对角线就是圆的直径，由于正方形的面积等
于对角线长度平方的一半，因此左上的阴影部分面积就是}
×2×2=2平方厘米，那么整个阴影部分的面积就是左上部分的4
倍，
即2×4=8平方厘米．
8．图15-15中有一个等腰直角三角形ABC，一个以AB为直径的半圆和一个以BC为半径的扇形．已知AB=BC=10厘米，那么图中阴影部分的面积为多少平方厘米？(π取3.14)
答案：28.5平方厘米
解析：根据容斥原理，得 |
S阴影=S扇形OBE+S半圆ADB - S∆ABC
×Π×l0×10+×Π×5×5-×l0×10
≈28.5
所以阴影部分的面积应该是28.5平方厘米．
9．图15-16是由一个圆与一个直角扇形重叠组成的，其中圆的直径与扇形的半径都是4．图中阴影部分的面积是多少？(π取3.14)
答案：4.56平方厘米
解析：如图，把左下和右下的阴影部分补到上面两块阴影部分的旁边，这样合成的两大块阴影面积恰好是扇形面积减去正方形的面积。

注意：正方形的边长并不知道，但是我们知道它的对角线长度
为4.
因此S阴影=S扇形 - S正方形=×Π×42一×4×4 = 4Π
-8≈4.56（平方厘米）．
10．(1)如图15-17，已知外面大圆的半径是4，求正方形以及里面小圆的面积．（答案用π表示）
(2)已知图15-18中正方形的边长为2，分别以其四个顶点为圆心的直角扇形恰好交于正方形中心，求图中阴影部分的面积．（答案用π表示）
答案：(1)正方形面积32，小圆面积8Π (2) 2Π-4
解析：（1）如图，通过添加辅助线把大圆直径，正方形对角线，小圆直径联系起来。

由图中看出，大圆直径等于正方形的对角线长，而小圆的直径等于正方形的边长。

由于大圆的半径是4，那么大圆的直径就是4×2=8，正方形对角线长也是8，又正方形的面积等于对角线长的平方的一半，于是该正方形面积为8×8÷2=32.
由圆面积公式：Πr×r=Π，而小圆的直径就是正方形的边长，于是
d2=32，因此小圆的面积就是
Π×32=8Π.
(2)当把以正方形4个顶点为圆心的扇形面积求和时，空白部分每个区域都被计算了一次，而阴影部分每个区域都被计算了两次，根据容斥原理．阴影部分面积等于4个扇形的面积之和减去正方形面积，
由题意，正方形的边长是2，则面积是2×2=4．
于是正方形对角线长的平方就是面积的两倍，即4×2=8．从图中看出，康形的圆心角是90°，那么4个扇形的面积之和正好是一个圆的面积．而扇形的半径是正方形对角线长度的一半，那么半径的平方就等于正方形对角线长度平方
的，即8×=2，于是4个扇形组成的圆的面积就是Πr2=Π×2=2Π.
阴影部分面积等于4个扇形面积之和与正方形面积之差，即2Π-4．
11．图15-19中有一个矩形和两个半径分别为5和2的直角扇形，请问：两个阴影部分的面积之差是多少？（ 取3）
答案：1.485
解析：较小的阴影部分与空白部分之和是长方形与小直角扇形，较大的阴影部分与空白部分之和是大直角扇形，把两个阴影部分同时加上空臼部分，它们的面积差不变．此时问题转化为计算小直角扇形和长方形面积之和与大直角扇形的面积相差多少．
大直角扇形的半径为5，它的面积是≈19.625.
小直角扇形的半径为2．它的面积是≈3.14.
长方形的长就是大直角扇形的半径，为5，宽就是
两个直角扇形的半径差，即5-2=3，那么长方形的
面积是5×3=15.
由分析可知，两个阴影部分的面积相差：19.625-(3.14+15)=1.485.
12．(1)根据图15-20中给出的数值，求这个图形的外周长和面积．(π取3.14)
(2)如图15-21，有七根直径为5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们扎成一捆，此时橡皮筋的长度是多少厘米？(π取3.14)
答案：(1)周长18.28，面积23.14 (2) 45.7厘米
解析(l)把圆角矩形的周长分成8段，其中4段是直角扇形的圆弧，另外4段直线段；而把圆角矩形的面积，分成9部分，4个直角扇形和5个小长方形。

6个半径的长度是6，那么圆的半径就是1．半径
为1的圆的周长是2Π×1=2Π，而面积是Π×1×1=Π.
由于4个直角扇形恰好组成一个圆，所以4个直角扇形
的弧长之和就是圆周长2Π，面积也是圆面积Π．
组成圆角矩形周长的4条直线段中，有两条的长度
是4，另两条长度是2．那么这4条直线段的长就是2
×(4+2)=12，圆角矩形的周长是12+2Π≈
18.28．
圆角矩形由4个直角扇形和5个小长方形组成，在这5个小长方形中，长为2宽为1的有两个，长为4宽为1的有两个，长为4宽为2的有一个，它化的面积之和是2×1×2+4×1×2+4×2×1=4+8+8=20平方厘米．4个直角扇形的面积之和是Π，因此整个圆角矩形的面积就是20+Π≈23.14.
(2)如右图所示，把圆角六边形的周长分为12个部分，由6
条直线段和6段圆弧组成． 6条直线段中，每段的长度都是5厘
米，它们的长度和是5×6=30厘米．6段圆弧中，每段所对应的圆
心角都是60°，每段的弧长都是圆周长的， 6段圆弧恰好能拼
成一个完整的圆周，它们的弧长之和就是圆周长，即Π×5≈15.7
厘米．圆角六边形的周长就是这两部分长度之和，即30+15.7=45.7厘米．
13.如图15-22，一只小狗被拴在一个边长为4米的正五边形的建筑物的一个顶点处，四周都是空地，绳长刚好够小狗走到建筑物外墙边的任一位置，小狗的活动范围是多少平方米？(建筑外墙不可逾越，小狗身长忽略不计，π取3.14）
答案： 270平方米
解析：根据题意，绳子的长度应该恰好是半周长10米．那么小狗就恰好能走到建筑物外墙的任一位置。

因为绳子被拴在一个固定点，所以小狗的活动范围应该是以绳长为半径的圆
形区域，但是由于墙面的限制，所以运动范围并不是完整的圆形，应该如下图所示：小狗的活动范围是a，b，c，d，e五个
部分，都是扇形，其中b和e-样，c和d一样．
五边形的内角和是180°×(5-2)=540°，
所以每个内角为543°÷5=108°．
其中a的半径是10米，圆心角为360°-
108°=252°．
扇形b，e的半径是10 -4=6米，圆心角为
180°- 108°=72°．
扇形c，d的半径是6-4=2米，圆心角也为72°．
所以活动范围的总面积为：
Sa+Sb+Sc+Sd+Se
=×Π×102+×Π×62×2+×Π×22×2
=86Π
≈270．
小狗活动的范围是270平方米．
14．(1)图15-23中正方形的边长是4厘米，圆形的半径是1厘米，当圆形绕正方形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？(π取3. 14)
(2)图15-24中等边三角形的边长是3厘米，圆形的半径是1厘米，当圆形绕等边三角形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？(π取3.14)
答案：(1) 44.56平方厘米(2) 30.56平方厘米
解析：(l)圆形绕正方形无滑动地滚动一周，得到的图形可以分成8个部分：4个直角扇形与4个长方形。

与正方形相邻的是4个长方形．长
是4，宽是2，它们的面积之和是4×2×4 = 32平方厘米．
4个直角扇形恰好可以拼成一个圆，半径等于圆形的直径，
即2厘米，那么圆的面积就是Π×2×2=4Π平方厘米，这4个直
角扇形面积之和也是4Π平方厘米．
因此圆形扫过的面积就是32+4Π≈32+12.56=44.56平方厘
米．
(2)圆形绕等边三角形无滑动地滚动一周，得到的图形可以分成6个部分：3个圆心角为120。

的扇形和3个长方形。

长方形的长等于
等边三角形的边长，即3厘米，长方形的宽等于圆形的直
径，即2厘米．则长方形的面积是3×2=6平方厘米．
3个圆心角为120。

的扇形恰好拼成一个圆，半径是2
厘米，圆的面积就是Π×2×2=4Π平方厘米。

因此圆形扫过的部分面积为3个扇形与3个长方形面积之和，即
3×6+4Π≈18+4×3.14=30.56平方厘米。

超越篇
1．如图15-25，边长为4的正方形中依次挖去了四个半圆．阴影部分的面
积是多少？（答案用π表示）
答案：16-4Π
解析：大正方形被分成4个等腰直角三角形，每个三角形中空白部分都是一个半圆，其余都是阴影部分。

这些三角形与半圆的组合虽然大小不同，但是它们的形状都相同，我们先来看看大三角形与在它内部的半圆之间有什么面积关系。

如上图所示，等腰直角三角形直角边长为4，
它的面积是4×4÷2=8，它内部的半圆的半径是直
角边长的一半，即4÷2=2，那么半圆的面积就是
Π×2×2÷2=2Π.因此半圆面积与三角形面积之
比为Π：4.
对于大小不同但形状相同的等腰直角三角形，它内部的半圆面积与三角形面积之比也是Π：4。

题目中的图形就是由4个这样的三角形组合而成，那么在题
目的图形中，4个半圆的面积之和也是4个三角形面积之和的。

4个三角形正好拼成一个边长为4的正方形，那么它们的面积之和就是正
方形的面积，即4×4=16,4个半圆的面积之和就是16×=4Π。

因此阴影部分的面积是16-4Π.
2．如图15-26，直角三角形的三条边长分别为6，8，10，它的内部放了一个半圆．图中阴影部分的面积是多少？（答案用π表示）
答案：24-4.5Π
解析：在大三角形ABC中，两条直角边长为6和8，那么它的面积就是6×8÷2=24，把三角形ABC分成ABO和AOC两部分，在三角形ABO中，以AB为底，对应的高是半圆的半径，那么它的面积是6×高÷2；在三角形AOC中，以AC为底，对应的高也是半圆的半径，那么它的面积是10×高÷2。

由于S∆ABO+S∆AOC=24，而两个三角形的底边和是（6+10），
高又都是半圆的半径，则半圆的半径是24×2÷（6+10）=3，
那么半圆的面积就是×Π×3×3=4.5Π.阴影部分正是从三角
形ABC中挖掉半圆的余下部分，因此阴影部分的面积就是24-4.5Π。

3．图15-27中是一个半径为10厘米、中心角为135。

的扇形，D，E是弧BC的三等分点，那么阴影部分的面积为多少平方厘米？( 取3.14)
答案：78.5平方厘米
解析：连结AD，AE，AB=AD=AE=AC,∠BAC=135°，∠DAE=45°，这两个角互补，将三角形ADE绕A点顺时针旋转90°得到三角
形ACF，则B,A,F在同一条直线上，S∆ABC=S∆ACF=S
∆ADE，两个空白部分的面积之和等于扇形DAE的面积。

阴影部分的面积为扇形BAC减去空白部分的面积，
即扇形BAC减去DAE的面积：
S阴影=S扇形ABC-S扇形ADE
=×Π×10×10-×Π×10×10
=25Π
≈78.5
阴影部分的面积是78.5平方厘米
4．如图15-28所示，有7个大小相同的圆叠放在一起，如果每个圆的面积都是10，那么阴影部分的面积是多少？
答案：20
解析：阴影包括中间的一个圆和周围六个花瓣状的小小图形
这个图形可以割补成一个顶角60。

的扇形，因此六个这样的图形面积和正好等于一个圆．
阴影部分的面积等于两个圆的面积，为20.
5．图15-29中阴影部分为一个空心零件的设计图，该零件由三个半圆套成，
其中最大半圆的直径为12厘米．该零件的面积为多少平方厘米？(π取3.14)
答案：42.39平方厘米
解析：如图1，2，作出直线GHI ，其中I 是大半圆的圆心，G 是中半圆的圆心，H 是小半圆的圆心．
记大、中、小些圆的半径分别是a ，b ，c ．
先找a 和b 的关系，如图2，连结CI ，这样△CGI 的两条直角边长度为6，斜边长度为以，那么2b2=a2；
再找b 和c 的关系，如图3，连结GF ，这
样△GHF 的两条直角边长度为c ，斜边长度为
b ，那么2c2=b2.
所以c2= b2= a2，也就是c= a=3．
那么S 阴影=S 大半圆- S 小半圆
= ×Π×62- ×Π×32
≈42. 39．
所以阴影部分的面积为42.39平方厘米．
6．把一个等腰直角三角形绕直角顶点逆时针旋转90度．如果它的直角边长为10，求它的斜边扫过的面积．(π取3.14)
答案：67.75
解析：如下图，阴影部分就是扫描区域，计算时用整个面积减去空白面积即可：
S 阴影=S 大半圆 –S 扇形ADD ’- S ∆AB ’D ’- S ∆ACD
=S 大半圆- S 扇形ADD ’- S ∆ABC
=50Π-
×Π× -50
=37.5Π- 50
≈67.75
所以斜边扫过的面积为67.75．
7．如图15-30，在一个正方形中恰好放了四个相同的半圆，每个半圆的直径恰好都在边上．一些线段的长度如图所示，那么中间的阴影面积与四个角上的阴影面积之差是多少？(π取3. 14)
答案：16
解析：如下图，顺次连结四个半圆的圆心，将大正方形分成一个斜的正方形和四个相等的直角三角形。

斜正方形里的四个扇形正海可以组成一个圆，四个三角形的八个扇形也可以组成一个圆，因此斜正方形和四个三角形包含的扇形的面积是相等的，而它们去掉这些扇形之后，分别得到中间的阴影和四个角上的阴影，因此中间的阴影面积与四个角上的阴影面积之差就是斜正方形与四个三角形的面积之差。

再看右图，图中八个直角三角形是完全
相同的，斜正方形与四个三角形面积之差等
于里面的小正方形的面积，这个小正方形的
边长为三角形的两条直角边之差，是6-2=4，
面积是4×4=16.
此中间的阴影面积与四个角上的阴影
面积之差是16.
8．一个等边三角形边长为2厘米，以它的每个顶点为圆心，边长为半径分别作一段弧形成一个曲边三角形，如图15-31.现在固定一个曲边三角形A，用另一个曲边三角形B围绕着它滚动．那么B滚动一周回到原来位置的过程中，扫过的面积是多少平方厘米？( 取3. 14)
答案：25.12平方厘米
解析：如下图，扫过的图形即为图中的阴影部分。

阴影部分可分为6小块。

其中有三块是扇形，可组成一个半径是2厘
米的半圆，面积是22×3.14÷2=6.28平方厘米；
剩下的三块可组成半个圆环，外圆的半径是4厘
米，内圆的半径是2厘米，面积是（42×3.14-22
×3.14）÷2=18.84平方厘米。

整个阴影的面积是6.28+18.84= 25.12平方
厘米。