第十七章 勾股定理第一节《勾股定理(3)》教学设计

17.1 勾股定理（3）

一、教学目标

知识与技能

1．利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点．

2．进一步学习将实际问题转化为直角三角形的数学模型，•并能用勾股定理解决简单的实际问题．

过程与方法

1．经历在数轴上寻找表示地理数的总的过程，•发展学生灵活勾股定理解决问题的能力．

2．在用勾股定理解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略，•发展学生的动手操作能力和创新精神．

3．在解决实际问题的过程中，学会与人合作，•并能与他人交流思维过程和结果，形成反思的意识．

情感、态度与价值观

1．在用勾股定理寻找数轴上表示无理数点的过程中，•体验勾股定理的重要作用，并从中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．2．在解决实际问题的过程中，•形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯．

二、教学重、难点

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重点：在数轴上寻找表示，，，，……这样的表示无理数的点．

难点利用勾股定理寻找直角三角形中长度为无理数的线段．

三、教学准备

多媒体课件

四、教学方法

分组讨论，讲练结合

五、教学过程

(一)复习回顾，引入新课

复习勾股定理的内容。本节课探究勾股定理的综合应用。

思考：在八年级上册中我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边

对应相等的两个直角三角形全等.学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？

先画出图形，再写出已知、求证.

探究：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在

数轴上表示出的点吗？的点呢？

设计意图：

上一节，我们利用勾股定理可以解决生活中的不少问题．在初一时我们

只能找到数轴上的一些表示有理数的点，而对于象，，……这样的无理数的数点却找不到，学习了勾股定理后，我们把，，……可以当直角三角形的斜边，只要找到长为，的线段就可以，勾股定理的又一次得到应用．

师生行为： 学生小组交流讨论

教师可指导学生寻找象，，……这样的包含在直角三角形中的线

段．

此活动，教师应重点关注：

①学生能否找到含长为，这样的线段所在的直角三角形； ②学生是否有克服困难的勇气和坚强的意志； ③学生能否积极主动地交流合作．

师：由于在数轴上表示的点到原点的距离为，所以只需画出长

为的线段即可．

我们不妨先来画出长为的线段．

生：长为的线段是直角边都为1的直角三角形的斜边．

师：长为的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边呢？ 生：设c=，两直角边为a ，b ，根据勾股定理a 2+b 2=c 2即a 2+b 2=13．若

a ，

b 为正整数，•则13必须分解为两个平方数的和，即13=4+9，a 2=4，b 2=9，则a=2，b=3．•所以长为的线段是直角边为2，3的直角三角形的斜边．

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师：下面就请同学们在数轴上画出表示的点． 生：步骤如下：

1．在数轴上找到点A ，使

OA=3. 2．作直线L 垂直于OA ，在L 上取一点

B ，使AB=2.

3．以原点O 为圆心、以OB 为半径作弧，弧

与数轴交于点C ，则点C 即为表示的点．

(二)新课教授

例1、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4

800米处，过了10秒后，飞机距离这个男孩头顶5 000米，飞机每小时飞行多少千米？

分析：根据题意，可以画出图，A 点表示男孩头顶的位置，C 、B •点是

两个时刻飞机的位置，∠C 是直角，可以用勾股定理来解决这个问题．

解：根据题意，得Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5 000米，AC=4 800

米．由勾股定理，得AB 2=AC 2+BC 2．即5 0002=BC 2+4 8002，所以BC=1 400米．

飞机飞行1 400米用了10秒，那么它1小时飞行的距离为1 400×6×60=50

400米=504千米，即飞机飞行的速度为504千米/时．

评注：这是一个实际应用问题，经过分析，问题转化为已知两边求直角

三角形等三边的问题，这虽是一个一元二次方程的问题，学生可尝试用学过的知识来解决．同时注意，在此题中小孩是静止不动的．

例2、如右图所示，某人在B 处通过

平面镜看见在B 正上方5米处的A 物体，•已知物体A 到平面镜的距离为6米，向B 点到物体A 的像A′的距离是多少？

分析：此题要用到勾股定理，轴对称及物理上的光的反射知识．

解：如例2图，由题意知△ABA′是直

角三角形，由轴对称及平面镜成像可知：

AA′=2×6=12米，AB=5米；

在Rt △A′AB 中，A′B 2=AA′2+AB 2=122+52=169=132米．

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所以A′B=13米，即B点到物体A的像A′的距离为13米．

评注：本题是以光的反射为背景，涉及到勾股定理、轴对称等知识．由此可见，数学是物理的基础．

例3、在平静的湖面上，有一棵水草，它高

出水面3分米，一阵风吹来，水草被吹到一边，草尖

齐至水面，已知水草移动的水平距离为6分米，•问

这里的水深是多少？

解：根据题意，得到右图，其中D是无风时水草的最高点，BC为湖面，AB•是一阵风吹过水草的位置，CD=3分米，CB=6分米，AD=AB，BC⊥AD．所以在Rt△ACB中，AB2=AC2+BC2，即（AC+3）2=AC2+62，

AC2+6AC+9=AC2+36.6AC=27，AC=4.5，所以这里的水深为4.5分米．

评注：在几何计算题中，方程的思想十分重要．

设计意图：

让学生进一步体会勾股定理在生活中的应用的广泛性，同时经历勾股定理在物理中的应用，由此可知数学是物理的基础，方程的思想是解决数学问题的重要思想．

师生行为：

先由学生独立思考，完成，后在小组内讨论解决，教师可深入到学生的讨论中去，对不同层次的学生给予辅导．

在此活动中，教师应重点关注：

②学生是否自主完成上面三个例题；

②学生是否有综合应用数学知识的意识，特别是学生是否有在解决数学问题过程中应用方程的思想．

例4、练习：在数轴上作出表示的点．

解：是两直角边为4和1的直角三角形的斜边，因此，在数轴上画

出表示的点如下图：

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