《解析几何》教学大纲

《解析几何》课程教学大纲
课程名称：《解析几何》
课程代码：0702032070
适用专业及层次：数学教育专业（专科）
课程总学时：60学时
一、课程的任务、性质和目的
解析几何包括平面解析几何和立体解析几何两部分。

平面解析几何通过平面直角坐标系，建立点与实数对之间的一一对应关系，以及曲线与方程之间的一一对应关系，运用代数方法研究几何问题，或用几何方法研究代数问题。

17世纪以来，由于航海、天文、力学、经济、军事、生产的发展，以及初等几何和初等代数的迅速发展，促进了解析几何的建立，并被广泛应用于数学的各个分支。

在解析几何创立以前，几何与代数是彼此独立的两个分支。

解析几何的建立第一次真正实现了几何方法与代数方法的结合，使形与数统一起来，这是数学发展史上的一次重大突破。

作为变量数学发展的第一个决定性步骤，解析几何的建立对于微积分的诞生有着不可估量的作用。

二、教学内容、教学要求及教学重难点
第一章、空间直角坐标系与矢量代数
【教学内容】：本章主要研究内容为空间直角坐标系与矢量，矢量的线性运算与分解、矢量的投影及坐标运算、矢量的向量积与数量积。

【教学要求】：通过本章学习，要掌握矢量的线性运算，重点注意坐标运算、向量积与数量积，多加练习加以熟练。

【教学重难点】：
第一节空间直角坐标系与矢量的概念
1.1 空间直角坐标系与矢量的概念
1.2 矢量的表示
1.3 矢量相等
1.4 特殊矢量
基本要求
1. 正确理解矢量的概念及矢量的表示方法
2. 掌握矢量的相等及特殊矢量
3. 理解自由矢量的概念
第二节矢量的线性运算及分解
2.1矢量的加法法则
2.2矢量的数乘运算
2.3理解线性组合与线性表示的概念
2.4掌握矢量线性相关、线性无关的几何意义
基本要求
1.理解矢量加法及数乘运算的概念
2.掌握矢量加法三角形法则、平行四边形法则
3.理解数乘矢量与原矢量的关系、数乘运算所满足的算法
4.理解在直线上取一个非零矢量，与该直线共线的任一矢量均可以被其唯一表
示
5.理解在平面上两个不共线的矢量。

该平面上任一矢量均可以被其唯一线性表
示
6.理解在空间上取不共线的三个矢量，空间中任一矢量均可以被其唯一线性表
示
第三节矢量在轴上的射影与矢量的坐标
3.1 掌握矢量在轴上射影的定义
3.2 理解矢量在轴上射影的两个性质
3.3 理解坐标的概念
3.4 掌握矢量共线、共面条件
3.5 理解线段定比分点公式及两点间距离公式
基本要求
1.理解标架与坐标的概念
2.会用矢量分量进行线性运算
3.掌握矢量共线、共面的条件
4.会用线段定比分点公式及两点间距离公式解决有关问题
第四节矢量的数量积、矢量积、混合积
4.1 掌握数量积、矢量积、混合积的概念及性质
4.2熟练应用几何性质解决有关问题
基本要求
1.掌握数量积的概念、性质及线性表示
2.掌握矢量积的概念、性质及线性表示
3.补充线性方程组及行列式的有关知识
4.掌握混合积的概念、性质及坐标表示。

重点是矢量积概念及坐标表示
本章重点与难点：空间直角坐标系的建立及一点坐标的确定，两点间距离公式及线段定比分点公式，矢量的基本概念及表示方法，矢量的各种运算及运算规律，矢量间的线性关系，矢量法的应用。

第二章轨迹与方程
【教学内容】：本章主要研究内容为平面曲线、空间曲线的轨迹与方程、掌握用矢量法求曲线参数方程的方法、特殊柱面方程与空间曲线方程。

【教学要求】：理解轨迹方程的概念，会用矢量法求曲线参数方程、掌握特殊柱面方程、空间曲面、空间曲线一般方程的形式。

【教学重难点】：
第一节轨迹与方程
1.1 平面曲线轨迹与方程
1.2 空间曲线轨迹与方程
基本要求
1.理解轨迹方程的概念
2.掌握用矢量法求曲线参数方程的方法
第二节特殊柱面方程与空间曲线方程
2.1 特殊柱面方程
2.2 空间曲线的一般方程
基本要求
1. 理解柱面方程的概念
2.掌握空间曲面、空间曲线一般方程的形式
本章重点、难点：平面曲线、空间曲面与空间曲线的一般方程与参数方程的定义与求法，母线平行于坐标轴的柱面与空间曲线对坐标面的射影柱面的定义与求法，常见的空间曲线的描图。

第三章平面与空间直线方程
【教学内容】：本章主要研究的内容为平面方程的几种形式、面面夹角、点到平面的距离、空间直线及方程、线面、线线的位置关系、空间异面直线的距离及平面束。

【教学要求】：通过本章学习，要把握住会求平面与空间直线的方程，会计算面面夹角，线线、线面的位置关系及各种距离，了解平面束的概念。

【教学重难点】：
第一节平面及方程
1.1 平面的点法式方程
1.2 平面的一般式方程
1.3 两平面的夹角
1.4 点到平面的距离
基本要求
1.熟练掌握平面的点法式方程，会求其它条件
2.会球两平面夹角
3.掌握平行位置关系的判定
4.会求点到平面距离
5.理解离差的概念、会求点与平面的离差及平面线性方程
6.会用平面法线式方程解决有关问题
第二节空间直线及其方程
2.1 空间直线的一般式方程
2.2 空间直线的参数式方程
2.3 两直线夹角、直线与平面的夹角
2.4 两直线位置关系的判定
2.5 平面束的概念
基本要求
1.掌握直线点向式方程及参数式方程
2.理解直线一般式方程
3.会求线线、线面夹角
4.掌握线线、线面位置关系的确定
5.会求点到直线距离、异面直线距离、异面直线公垂线方程
6.会用平面束解决有关问题
本章重点、难点：平面与空间直线各种形式的方程及基本旋转比，灵活的应用不同形式的方程求出适合条件的平面及空间直线方程，空间点，直线和平面之间的位置关系的判定条件与度量关系的计算公式及应用。

第四章柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
【教学内容】：本章主要研究柱面、锥面、旋转曲面、椭球面、双曲面、抛物面、单叶双曲面与双曲抛物面的直纹性。

【教学要求】：通过本章的学习，要求学生把握柱面、锥面、旋转曲面的概念与求法，掌握他们的方向准线、母线概念。

掌握求柱面方程条件，会求方程。

理解椭球面、双曲面、抛物面标准方程、几何性质研究，会做其草图，了解单叶双曲面与双曲抛物面的直
母线方程。

【教学重难点】：
第一节柱面、锥面、旋转曲面
1.1 理解柱面概念及特殊柱面求法
1.2 理解锥面概念及特殊锥面求法
1.3 理解旋转曲面概念及特殊旋转曲面的求法
基本要求
1.理解柱面方向准线、母线概念。

掌握求柱面方程条件，会求特殊柱面方程
2.理解锥面顶点、准线、母线的概念。

掌握求锥面方程的条件，会求特殊锥面
方程
3.理解旋转曲面、转轴、母线、经线、纬圆的概念，掌握求旋转曲面方程条件，
会求特殊旋转曲面方程。

重点是掌握曲面是点集的思想
第二节椭球面、双曲面、抛物面
2.1 掌握椭球、双曲面、抛物面的标准方程
2.2 理解它们的几何性质
2.3 掌握平行截割法研究二次曲面的几何性质
基本要求
1.掌握椭球面的标准方程，会用平行割切法将空间曲面转化为平面二次曲线，
从而讨论其几何性质
2.会做其草图
3.掌握双曲面的标准方程、几何性质研究，会做其草图
4.掌握抛物面的标准方程、几何性质研究，会做其草图
第三节单叶双曲面与双曲抛物面的直纹性
3.1 理解直纹面的概念
3.2 了解单叶曲面与双曲抛物面是直纹面
基本要求
1.掌握直纹面的概念
2.了解单叶双曲面与双曲抛物面的直母线方程
3.会求直母线方程
本章重点、难点：柱面、锥面与旋转曲面的定义及其方程的一般求法，会求特殊曲面的方程，椭球面，单叶双曲面，双叶双曲面，椭圆抛物面与双曲抛物面，五种二次曲面标准方程，性质及绘图，会应用平行平面截割法，讨论二次曲面的形状，单叶双曲面也双曲抛物面的两族与母线方程，性质及应用。

第五章二次曲线的一般理论
【教学内容】：本章主要研究内容为二次曲线与直线的相关位置、二次曲线的轨迹方向、中心、渐近线、切线与直径、主方向与主直径、应用不变量化简二次曲线方程。

【教学要求】：熟练掌握二次曲线的一般形式、用直线参数方程讨论直线与二次曲线的交点情况、会求渐近方向的渐近线、曲线的中心、切线方程、曲线的直径及共轭直径、会用平移和旋转变换化简二次曲线、掌握化简二次曲线方程的方法，并对其进行分类、掌握应用不变量判定二次曲线的条件。

【教学重难点】：
第一节二次曲线与直线的相关位置
根据直线与二次曲线交点的个数讨论直线与二次曲线的位置关系基本要求
1.熟练掌握二次曲线的一般形式
2.会用直线参数方程讨论直线与二次曲线的交点情况
第二节二次曲线的轨迹方向、中心、渐近线
2.1 理解二次曲线渐近线方向、渐近中心的概念
2.2 二次曲线的渐进方向、中心、渐近线分类
基本要求
1.会求渐近方向的渐近线
2.会求二次曲线中心
第三节二次曲线的切线与直径
3.1 理解二次曲线切线的概念
3.2 了解奇点、正常点的概念
3.3 二次曲线切线的方向
3.4 理解二次曲线的直径的概念
3.5 共轭方向与共轭直径的概念
基本要求
1.会求二次曲线切线方程
2.会求二次曲线的直径及共轭直径
第四节二次曲线的主方向与主直径
4.1 掌握二次曲线主直径、主方向的概念
4.2 理解二次曲线特征方向及特征根性质
基本要求
1.会根据二次曲线方程列出特征方程并求特征根
2.根据特征根求出主方向、主直径
第五节二次曲线的化简与分类
5.1 平面直角坐标变换公式
5.2 二次曲线方程的化简与分类
基本要求
1.会用平移和旋转变换化简二次曲线
2.掌握化简二次曲线方程的方法，并对其进行分类第六节应用不变量化简二次曲线方程
6.1 理解不变量与半不变量的概念
6.2 应用不变量化简二次曲线方程
基本要求
1.掌握不变量的求法
2.熟练应用不变量化简二次曲线
3.掌握应用不变量判定二次曲线的条件
本章重点、难点：
1、二次曲线的渐近方向，中心，渐近线，切线、直径与共轭方向，主直径与主方向，特征根求法，不变量等概念，意义，求法与应用。

2、二次曲线方程化简与分类，利用移轴与转轴坐标变换化简二次曲线方程并绘图。

3、二次曲线的不变量及其应用。

三、教学章节及学时分配
课程主要内容与学时分配：
四、教学方法与教学手段说明：
本课程以教师为主导、学生为主体，采用适当的教学方法，有效地调动学生的学习积极性，促进学生积极思考，激发学生潜能，打破传统的满堂灌的教学模式，增加课程讨论，充分发挥学生学习的主动性和自觉性。

引导学生通过讨论、查阅资料等启发思维，加上教师适当的讲解，拓展知识面，达到了教与学相互促进的目的。

五、考核方式
考核类型：考试
考核形式：闭卷
六、使用说明
对于不同层次的先修课程有具体的要求，解析几何在几何应用方面有很大的作用。

结合高中的基本几何概念，深入了解、掌握几何的性质。

七、大纲附录
《空间解析几何引论》南开大学几何教研室编南开大学出版社 1992年第一版《空间解析几何习题试析》陈绍菱、傅芳男编北京师范大学出版社 1992年第六次印刷
大纲编写人（签字）：教研室主任（审核）：
教学单位负责人（签字）：
系部：
日期：
11。