(word完整版)高中数学必修5常考题型：一元二次不等式及其解法
2020高二数学人教A必修5练习：3.2 一元二次不等式及其解法 Word版含解析
课时训练16一元二次不等式及其解法一、一元二次不等式的解法1.不等式-x2-5x+6≤0的解集为()A.{x|x≥6或x≤-1}B.{x|-1≤x≤6}C.{x|-6≤x≤1}D.{x|x≤-6或x≥1}答案:D解析:由-x2-5x+6≤0得x2+5x-6≥0,即(x+6)(x-1)≥0,∴x≥1或x≤-6.2.(2015福建厦门高二期末,12)不等式-的解集是.答案:{x|x<2或x>3}解析:因为指数函数y=2x是增函数,所以-化为x2-5x+5>-1,即x2-5x+6>0,解得x<2或x>3.所以不等式的解集为{x|x<2或x>3}.3.解不等式:-2<x2-3x≤10.解:原不等式等价于不等式组---①②不等式①为x2-3x+2>0,解得x>2或x<1.不等式②为x2-3x-10≤0,解得-2≤x≤5.故原不等式的解集为[-2,1)∪(2,5].二、三个二次之间的关系4.(2015山东威海高二期中,8)不等式ax2+bx+2>0的解集是-,则a-b的值为()A.14B.-14C.10D.-10答案:D解析:不等式ax 2+bx+2>0的解集是 - ,可得- 是一元二次方程ax 2+bx+2=0的两个实数根,∴- =- ,- ,解得a=-12,b=-2. ∴a-b=-12-(-2)=-10.故选D .5.如果ax 2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>4},那么对于函数f (x )=ax 2+bx+c ,f (-1),f (2),f (5)的大小关系是 .答案:f (2)<f (-1)<f (5)解析:由ax 2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>4}知a>0,且-2,4是方程ax 2+bx+c=0的两实根,所以 - - - 可得 - -所以f (x )=ax 2-2ax-8a=a (x+2)(x-4).因为a>0,所以f (x )的图象开口向上.又对称轴方程为x=1,f (x )的大致图象如图所示,由图可得f (2)<f (-1)<f (5).6.(2015山东潍坊四县联考,11)不等式x 2-ax-b<0的解集是(2,3),则不等式bx 2-ax-1>0的解集是 .答案: - -解析:∵不等式x 2-ax-b<0的解集为(2,3), ∴一元二次方程x 2-ax-b=0的根为x 1=2,x 2=3.根据根与系数的关系可得: -所以a=5,b=-6.不等式bx 2-ax-1>0,即不等式-6x 2-5x-1>0,整理,得6x 2+5x+1<0,即(2x+1)(3x+1)<0,解之得- <x<-. ∴不等式bx 2-ax-1>0的解集是 - - .三、含参不等式的解法7.不等式(x+1)(x-a )<0的解集为{x|-1<x<2},则不等式- >1的解集为 .答案:{x|x<-2或x>1}解析:由已知不等式(x+1)(x-a )<0的解集为{x|-1<x<2}得x=2是(x+1)(x-a )=0的一个根, ∴a=2.∴不等式 - >1可化为 - >1,移项通分得 ->0, ∴(x+2)(x-1)>0,解得x<-2或x>1.∴所求解集为{x|x<-2或x>1}.8.解关于x 的不等式2x 2+ax+2>0.解:对于方程2x 2+ax+2=0,其判别式Δ=a 2-16=(a+4)(a-4).①当a>4或a<-4时,Δ>0,方程2x 2+ax+2=0的两根为:x 1= (-a- - ),x 2= (-a+ - ).∴原不等式的解集为- - - 或 - - . ②当a=4时,Δ=0,方程有两个相等实根,x 1=x 2=-1;当a=-4时,Δ=0,方程有两个相等实根,x 1=x 2=1.∴原不等式的解集为{x|x ≠±1}.四、不等式恒成立问题9.若一元二次不等式x 2-ax+1>0恒成立,则a 的取值范围是 .答案:-2<a<2解析:由Δ=a 2-4<0,解得-2<a<2.10.已知关于x 的不等式(m 2+4m-5)x 2-4(m-1)x+3>0对一切实数x 恒成立,求实数m 的取值范围. 解:(1)当m 2+4m-5=0,即m=1或m=-5时,显然m=1符合条件,m=-5不符合条件;(2)当m 2+4m-5≠0时,由二次函数对一切实数x 恒为正数,得 - - - -解得1<m<19.综合(1)(2)得,实数m的取值范围为[1,19).(建议用时:30分钟)1.不等式-6x2-x+2≤0的解集是()A.-B.-或C.D.-答案:B解析:原不等式等价于6x2+x-2≥0.方程6x2+x-2=0的两根为-,可得原不等式的解集为-,或x≥.2.函数y=--+log2(x+2)的定义域为()A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(-∞,-1]∪[3,+∞)C.(-2,-1]D.(-2,-1]∪[3,+∞)答案:D解析:要使函数有意义,x的取值需满足解得-2<x≤-1或x≥3.3.已知0<a<1,关于x的不等式(x-a)->0的解集为()A.或B.{x|x>a}C.或D.答案:A解析:∵0<a<1,∴>1,即a<,∴不等式的解集为或.4.在R上定义运算=ad-bc,若-成立,则x的取值范围是()A.{x|x<-4或x>1}B.{x|-4<x<1}C.{x|x<-1或x>4}D.{x|-1<x<4}答案:B解析:由已知-=x2+3x,=4,∴x2+3x<4,即x2+3x-4<0,解得-4<x<1.5.若关于x的不等式ax-b>0的解集为(1,+∞),则关于x的不等式->0的解集为()A.(-1,2)B.(-∞,-1)∪(2,+∞)C.(1,2)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)答案:B解析:因为关于x的不等式ax-b>0的解集为(1,+∞),所以a>0,且=1,即a=b,所以关于x的不等式->0可化为->0,其解集是(-∞,-1)∪(2,+∞).6.已知二次方程ax2+bx+c=0的两个根是-2,3,若a>0,那么ax2-bx+c>0的解集是. 答案:{x|x<-3或x>2}解析:由题意知---∴b=-a,c=-6a.∴不等式ax2-bx+c>0,化为ax2+ax-6a>0,又∵a>0,∴x2+x-6>0,而方程x2+x-6=0的根为-3和2,∴不等式的解集是{x|x<-3或x>2}.7.已知关于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立,则实数a的取值范围是. 答案:(0,8)解析:由题意得,Δ=(-a)2-4×2a<0.即a2-8a<0,∴0<a<8.8.设0≤α≤π,不等式8x2-(8sin α)x+sin α≥0的解集为R,则α的取值范围是. 答案:πππ解析:由已知不等式的解集为R,∴Δ=64sin2α-32sin α≤0,解得0≤sin α≤.∴由y=sin x的图象知,当0≤α≤π时,解得0≤α≤π或π≤α≤π.9.已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+4x-5<0的解集为B,(1)求A∪B;(2)若不等式x2+ax+b<0的解集是A∪B,求ax2+x+b<0的解集.解:(1)解不等式x2-2x-3<0,得A={x|-1<x<3}.解不等式x2+4x-5<0,得B={x|-5<x<1}.∴A∪B={x|-5<x<3}.(2)由x2+ax+b<0的解集为{x|-5<x<3},∴-解得-∴2x2+x-15<0.∴不等式解集为-.。
一元二次不等式及其解法知识梳理及典型练习题(含答案)
一元二次不等式及其解法1.一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式.当a＞0时，解集为；当a＜0时，解集为.2.一元二次不等式及其解法(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式.(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________.(3)一元二次不等式的解：(1)化分式不等式为标准型.方法：移项，通分，右边化为0，左边化为f〔x〕g〔x〕的形式.(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：f 〔x 〕g 〔x 〕＞0 ⇔ f (x )g (x )＞0； f 〔x 〕g 〔x 〕＜0 ⇔ f (x )g (x )＜0； f 〔x 〕g 〔x 〕≥0 ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧f 〔x 〕g 〔x 〕≥0，g 〔x 〕≠0； f 〔x 〕g 〔x 〕≤0 ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧f 〔x 〕g 〔x 〕≤0，g 〔x 〕≠0.(2021·课标Ⅰ)集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，那么A ∩B ＝( ) A.[－2，－1] B.[－1，2) C.[－1，1]D.[1，2)解：∵A ＝{x |x ≥3或x ≤－1}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}＝[－2，－1].应选A .设f (x )＝x 2＋bx ＋1且f (－1)＝f (3)，那么f (x )>0的解集为( ) A.{x |x ∈R } B.{x |x ≠1，x ∈R } C.{x |x ≥1}D.{x |x ≤1}解：f (－1)＝1－b ＋1＝2－b ，f (3)＝9＋3b ＋1＝10＋3b ， 由f (－1)＝f (3)，得2－b ＝10＋3b ，解出b ＝－2，代入原函数，f (x )>0即x 2－2x ＋1>0，x 的取值范围是x ≠1.应选B. －12<1x <2，那么x 的取值范围是( ) A.－2<x <0或0<x <12 B.－12<x <2C.x <－12或x >2D.x <－2或x >12解：当x >0时，x >12；当x <0时，x <－2.所以x 的取值范围是x <－2或x >12，应选D.不等式1－2xx ＋1＞0的解集是 .解：不等式1－2xx ＋1>0等价于(1－2x )(x ＋1)＞0，也就是⎝⎛⎭⎫x －12(x ＋1)＜0，所以－1＜x ＜12. 故填⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1＜x ＜12，x ∈R .(2021·武汉调研)假设一元二次不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，那么k的取值范围为________.解：显然k ≠0.假设k ＞0，那么只须(2x 2＋x )max ＜38k ，解得k ∈∅；假设k ＜0，那么只须38k ＜(2x 2＋x )min ，解得k ∈(－3，0).故k 的取值范围是(－3，0).故填(－3，0).类型一 一元一次不等式的解法关于x 的不等式(a ＋b )x ＋2a －3b ＜0的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－13，求关于x 的不等式(a －3b )x ＋b －2a ＞0的解集.解：由(a ＋b )x ＜3b －2a 的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－13， 得a ＋b ＞0，且3b －2a a ＋b＝－13，从而a ＝2b ，那么a ＋b ＝3b ＞0，即b ＞0， 将a ＝2b 代入(a －3b )x ＋b －2a ＞0，得－bx －3b ＞0，x ＜－3，故所求解集为(－∞，－3). 点拨：一般地，一元一次不等式都可以化为ax ＞b (a ≠0)的形式.挖掘隐含条件a ＋b ＞0且3b －2a a ＋b＝－13是解此题的关键.解关于x 的不等式：(m 2－4)x ＜m ＋2.解：(1)当m 2－4＝0即m ＝－2或m ＝2时， ①当m ＝－2时，原不等式的解集为∅，不符合②当m ＝2时，原不等式的解集为R ,符合 (2)当m 2－4＞0即m ＜－2或m ＞2时，x ＜1m －2.(3)当m 2－4＜0即－2＜m ＜2时，x ＞1m －2.类型二 一元二次不等式的解法解以下不等式：(1)x 2－7x ＋12＞0; (2)－x 2－2x ＋3≥0； (3)x 2－2x ＋1＜0; (4)x 2－2x ＋2＞0. 解：(1){x |x ＜3或x ＞4}. (2){x |－3≤x ≤1}. (3)∅.(4)因为Δ＜0，可得原不等式的解集为R .(2021·金华十校联考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＜0，x －1，x ≥0， 那么不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1的解集是( )A.{x |－1≤x ≤2－1}B.{x |x ≤1}C.{x |x ≤2－1}D.{x |－2－1≤x ≤2－1} 解：由题意得不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1等价于①⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＜0，x ＋〔x ＋1〕[－〔x ＋1〕＋1]≤1 或 ②⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x ＋〔x ＋1〕[〔x ＋1〕－1]≤1， 解不等式组①得x ＜－1；解不等式组②得－1≤x ≤2－1. 故原不等式的解集是{x |x ≤2－1}.应选C.类型三 二次不等式、二次函数及二次方程的关系关于x 的不等式x 2－bx ＋c ≤0的解集是{x |－5≤x ≤1}，求实数b ，c 的值. 解：∵不等式x 2－bx ＋c ≤0的解集是{x |－5≤x ≤1}，∴x 1＝－5，x 2＝1是x 2－bx ＋c ＝0的两个实数根，∴由韦达定理知⎩⎪⎨⎪⎧－5＋1＝b ，－5×1＝c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝－5.不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，求不等式cx 2－bx ＋a ＞0的解集.解：∵不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，∴a ＜0，且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧－ba＝2＋3，c a ＝2×3，a ＜0.即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－5a ，c ＝6a ，a ＜0.代入不等式cx 2－bx ＋a ＞0，得6ax 2＋5ax ＋a >0(a ＜0). 即6x 2＋5x ＋1＜0，∴所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12＜x ＜－13.类型四 含有参数的一元二次不等式解关于x 的不等式：mx 2－(m ＋1)x ＋1＜0.解：(1)m ＝0时，不等式为－(x －1)＜0，得x －1＞0，不等式的解集为{x |x ＞1}； (2)当m ≠0时，不等式为m ⎝⎛⎭⎫x －1m (x －1)＜0. ①当m ＜0，不等式为⎝⎛⎭⎫x －1m (x －1)＞0， ∵1m ＜1，∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1m 或x ＞1. ②当m ＞0，不等式为⎝⎛⎭⎫x －1m (x －1)＜0. (Ⅰ)假设1m ＜1即m ＞1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1m ＜x ＜1；(Ⅱ)假设1m ＞1即0＜m ＜1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1＜x ＜1m ；(Ⅲ)假设1m ＝1即m ＝1时，不等式的解集为∅.点拨：当x 2的系数是参数时，首先对它是否为零进行讨论，确定其是一次不等式还是二次不等式，即对m ≠0与m ＝0进行讨论，这是第一层次；第二层次：x 2的系数正负(不等号方向)的不确定性，对m ＜0与m ＞0进行讨论；第三层次：1m 与1大小的不确定性，对m ＜1、m＞1与m ＝1进行讨论.解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R ).解：不等式整理为ax 2＋(a －2)x －2≥0， 当a ＝0时，解集为(－∞，－1].当a ≠0时，ax 2＋(a －2)x －2＝0的两根为－1，2a ，所以当a ＞0时，解集为(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫2a ，＋∞； 当－2＜a ＜0时，解集为⎣⎡⎦⎤2a ，－1； 当a ＝－2时，解集为{x |x ＝－1}； 当a ＜－2时，解集为⎣⎡⎦⎤－1，2a . 类型五 分式不等式的解法(1)解不等式x －12x ＋1≤1.解：x －12x ＋1≤1 ⇔ x －12x ＋1－1≤0 ⇔ －x －22x ＋1≤0 ⇔ x ＋22x ＋1≥0.x ＋22x ＋1≥0 ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧〔x ＋2〕〔2x ＋1〕≥0，2x ＋1≠0. 得{xx ＞－12或x ≤－2}.※(2)不等式x －2x 2＋3x ＋2＞0的解集是 .解：x －2x 2＋3x ＋2＞0⇔x －2〔x ＋2〕〔x ＋1〕＞0⇔(x －2)(x ＋2)(x ＋1)＞0，数轴标根得{x |－2＜x ＜－1或x ＞2}， 故填{x|－2＜x ＜－1或x ＞2}. 点拨：分式不等式可以先转化为简单的高次不等式，再利用数轴标根法写出不等式的解集，如果该不等式有等号，那么要注意分式的分母不能为零.※用“数轴标根法〞解不等式的步骤：(1)移项：使得右端为0(注意：一定要保证x 的最高次幂的项的系数为正数).(2)求根：就是求出不等式所对应的方程的所有根..(3)标根：在数轴上按从左到右(由小到大)依次标出各根(不需标出准确位置，只需标出相对位置即可).(4)画穿根线：从数轴“最右根〞的右上方向左下方画线，穿过此根，再往左上方穿过“次右根〞，一上一下依次穿过各根,“奇穿偶不穿〞来记忆.(5)写出不等式的解集：假设不等号为“＞〞，那么取数轴上方穿根线以内的范围；假设不等号为“＜〞，那么取数轴下方穿根线以内的范围；假设不等式中含有“＝〞号，写解集时要考虑分母不能为零.(1)假设集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －2x ≤0，那么A ∩B ＝( )A.{x |－1≤x ＜0}B.{x |0＜x ≤1}C.{x |0≤x ≤2}D.{x |0≤x ≤1}解：易知A ＝{x |－1≤x ≤1}，B 集合就是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 〔x －2〕≤0，x ≠0 的解集，求出B ＝{}x |0＜x ≤2，所以A ∩B ＝{x |0＜x ≤1}.应选B.(2)不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A.⎝⎛⎦⎤－12，1B.⎣⎡⎦⎤－12，1 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪[1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞) 解：x －12x ＋1≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧〔x －1〕〔2x ＋1〕≤0，2x ＋1≠0得－12<x ≤1.应选A.类型六 和一元二次不等式有关的恒成立问题(1)假设不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12成立，那么a 的最小值为( ) A.0 B.－2 C.－52D.－3解：不等式可化为ax ≥－x 2－1，由于x ∈⎝⎛⎦⎤0，12， ∴a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋1x .∵f (x )＝x ＋1x 在⎝⎛⎦⎤0，12上是减函数， ∴⎝⎛⎭⎫－x －1x max＝－52.∴a ≥－52.(2)对于任意的a ∈[－1，1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于0，那么x 的取值范围是( )A.1＜x ＜3B.x ＜1或x ＞3C.1＜x ＜2D.x ＜1或x ＞2解：记g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，a ∈[－1，1]，依题意，只须⎩⎪⎨⎪⎧g 〔1〕＞0，g 〔－1〕＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2＞0，x 2－5x ＋6＞0⇒x ＜1或x ＞3，应选B.点拨：对于参数变化的情形，大多利用参变量转换法，即参数转换为变量；变量转换为参数，把关于x 的二次不等式转换为关于a 的一次不等式，化繁为简，然后再利用一次函数的单调性，求出x 的取值范围.对于满足|a |≤2的所有实数a ，求使不等式x 2＋ax ＋1＞2x ＋a 成立的x 的取值范围.解：原不等式转化为(x －1)a ＋x 2－2x ＋1＞0，设f (a )＝(x －1)a ＋x 2－2x ＋1，那么f (a )在[－2，2]上恒大于0，故有：⎩⎪⎨⎪⎧f 〔－2〕＞0，f 〔2〕＞0 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＞0，x 2－1＞0 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞3或x ＜1，x ＞1或x ＜－1.∴x ＜－1或x ＞3.类型七 二次方程根的讨论假设方程2ax 2－x －1＝0在(0，1)内有且仅有一解，那么a 的取值范围是( )A.a <－1B.a >1C.－1<a <1D.0≤a <1解法一：令f (x )＝2ax 2－x －1，那么f (0)·f (1)＜0，即－1×(2a －2)＜0，解得a ＞1. 解法二：当a ＝0时，x ＝－1，不合题意，故排除C ，D ；当a ＝－2时，方程可化为4x 2＋x ＋1＝0，而Δ＝1－16＜0，无实根，故a ＝－2不适合，排除A.应选B.1.不等式x －2x ＋1≤0的解集是( )A.(－∞，－1)∪(－1，2]B.[－1，2]C.(－∞，－1)∪[2，＋∞)D.(－1，2]解：x －2x ＋1≤0⇔()x ＋1()x －2≤0，且x ≠－1，即x ∈(－1，2]，应选D.2.关于x 的不等式(mx －1)(x －2)＞0，假设此不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1m ＜x ＜2，那么m 的取值范围是( )A.m ＞0B.0＜m ＜2C.m ＞12D.m <0解：由不等式的解集形式知m ＜0.应选D.3.(2021·安徽)一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >12，那么f (10x )>0的解集为( )A.{x |x <－1或x >lg2}B.{x |－1<x <lg2}C.{x |x >－lg2}D.{x |x <－lg2}解：可设f (x )＝a (x ＋1)⎝⎛⎭⎫x －12(a <0)，由f (10x )>0可得(10x ＋1)⎝⎛⎭⎫10x －12<0，从而10x <12，解得x <－lg2，应选D.4.(2021·陕西)在如下图的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影局部)，那么其边长x (单位：m )的取值范围是( ) A.[15，20] B.[12，25] C.[10，30]D.[20，30]解：设矩形的另一边为y m ，依题意得x 40＝40－y40，即y ＝40－x ，所以x (40－x )≥300，解得10≤x ≤30.应选C.5.假设关于x 的不等式2x 2－8x －4－a >0在(1，4)内有解，那么实数a 的取值范围是( ) A.a <－12 B.a >－4 C.a >－12D.a <－4解：关于x 的不等式2x 2－8x －4－a ＞0在(1，4)内有解，即a ＜2x 2－8x －4在(1，4)内有解，令f (x )＝2x 2－8x －4＝2(x －2)2－12，当x ＝2时，f (x )取最小值f (2)＝－12；当x ＝4时，f (4)＝2(4－2)2－12＝－4，所以在(1，4)上，－12≤f (x )＜－4.要使a ＜f (x )有解，那么a ＜－4.应选D.6.假设不等式x 2－kx ＋k －1>0对x ∈(1，2)恒成立，那么实数k 的取值范围是____________.解：∵x ∈(1，2)，∴x －1>0.那么x 2－kx ＋k －1＝(x －1)(x ＋1－k )>0，等价于x ＋1－k >0，即k <x ＋1恒成立，由于2<x ＋1<3，所以只要k ≤2即可.故填(－∞，2].7.(2021·江苏)函数f (x )＝x 2＋mx －1，假设对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，那么实数m 的取值范围是________.解：由题可得f (x )＜0对于x ∈[m ，m ＋1]恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧f 〔m 〕＝2m 2－1＜0，f 〔m ＋1〕＝2m 2＋3m ＜0， 解得－22＜m ＜0.故填⎝⎛⎭⎫－22，0.8.假设关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，求实数a 的取值范围. 解：x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集⇔x 2－ax －a ＋3＝0的判别式Δ≥0，解得a ≤－6或a ≥2.9.二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )＞－2x 的解集为(1，3).(1)假设方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的实根，求f (x )的解析式；(2)假设f (x )的最大值为正数，求a 的取值范围.解：(1)∵f (x )＋2x ＞0的解集为(1，3)，∴f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)，且a ＜0.因而f (x )＝a (x －1)(x －3)－2x＝ax 2－(2＋4a )x ＋3a.①由方程f (x )＋6a ＝0得ax 2－(2＋4a )x ＋9a ＝0.②因为方程②有两个相等的实根，所以Δ＝[－(2＋4a )]2－4a ·9a ＝0，即5a 2－4a －1＝0，解得a ＝1或a ＝－15. 由于a ＜0，舍去a ＝1，将a ＝－15代入①得f (x )的解析式 f (x )＝－15x 2－65x －35. (2)由f (x )＝ax 2－2(1＋2a )x ＋3a ＝a ⎝⎛⎭⎫x －1＋2a a 2－a 2＋4a ＋1a ， 及a ＜0，可得f (x )的最大值为－a 2＋4a ＋1a. 由⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋4a ＋1a ＞0，a ＜0，解得a ＜－2－3或－2＋3＜a ＜0. 故当f (x )的最大值为正数时，实数a 的取值范围是(－∞，－2－3)∪(－2＋3，0).10.解关于x 的不等式：a 〔x －1〕x －2＞1(a ＞0). 解：(x －2)[(a －1)x ＋2－a ]＞0，当a ＜1时有(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1＜0， 假设a －2a －1＞2，即0＜a ＜1时，解集为{x |2＜x ＜a －2a －1}；假设a －2a －1＝2，即a ＝0时，解集为∅； 假设a －2a －1＜2，即a ＜0时，解集为{x |a －2a －1＜x ＜2}.。
一元二次不等式的解法全
2 . (1) 当x 2 3或x 2 3时，y 0
(2) 当x〉2 3或x〈2 3时，y〉0
(3) 当2 〈3 x〈2 3时，y〈0
3. x | x 4或x 3
y
五、小结
o ●x1
● x2 x
（1）一元二次不等式的解集与一元二次方程
的解及其相应的二次函数的图像相对于轴的
位置密切相关.解题时要注意解题格式，头脑
有两个相
有两个不等实 根 x1,x2(x1<x2)
等实根 x1=x2
ax2+bx的+c解>0集（a>0）﹛x|x<x1或x>x2﹜﹛x|x≠x1﹜
ax2+bx+c<0 (a>0) 的解集
﹛x|x1<x<x2﹜
Φ
无实根 R Φ
∆＝b2-4ac ∆>0
y
y∆=0 y ∆<0
二次函数 y=ax2+bx+c
以上四个不等式中我们规定了 a 0
如果题目中给出的不等式中二次项系 数小于0，哪怎么办呢？ 对了，我们只要在不等式两边同乘-1， 然后把不等式的方向改变一下，就可 化为以上四种形式中的一种。
三、例题讲解
例1 解不等式2x2－3x－2>0 o －1/2 ●
●
2
x
解： 因为∆>0， 方程2x2－3x－2＝0 的解是
中要想象图像或划出草图.
（2）对于a<0的一元二次不等式可转化为
a>0的情形求解.
（3）一元二次不等式的解法是今后学习其他
不等式的基础，要求大家熟练掌握解法，准
确运算结果.
利用一元二次函数图象解一 元二次不等式
高考数学 一元二次不等式及其解法大全(含练习和答案)
一元二次不等式及其解法1．一元二次不等式(20(0)ax bx c a ++>>)与相应的二次函数（2(0)y ax bx c a =++>）及一元二次方程（20(0)ax bx c a ++=>）的关系(简称三个二次之间的关系)判别式Δ＝b 2－4acΔ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根有两相异实根1212,()x x x x < 有两相等实根 122b x x a==-没有实数根 ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集R ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集∅ 注：（1）若0a <时，可以先将二次项系数化为正数，若对应方程有两实根，则可根据“大于取两边，小于取中间”求解集。
2．简单的分式不等式(1)()0()f x g x >⇔______________； （2）()0()f xg x <⇔____________ (3)()0()f x g x ≥⇔ ___________ （4）()0()f x g x ≤⇔_____________ 3.二次不等式恒成立的条件（1）ax 2＋bx ＋c >0 (a ≠0)对一切x ∈R 恒成立的充要条件是___________ （2）ax 2＋bx ＋c <0 (a ≠0)对一切x ∈R 恒成立的充要条件是___________1．(人教A 版教材习题改编)不等式2x 2－x －1＞0的解集是( )A ．(－12，1) B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－12)∪(1，＋∞)2．不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A ．(－12，1]B ．{x |x ≥1或x ＜－12}C ．[－12，1]D ．{x |x ≥1或x ≤－12} 3．(2012·福建高考)已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．4．一元二次不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是(－12，13)，则a ＋b 的值是________．（一）考向1 一元二次不等式的解法例1 求下列不等式的解集（1）22730x x ++> （2）3＋2x －x 2≥0；（3）2830x x -+-> （4）213502x x -+-> （5）22320x x -+-< （6）2xx －1≤1解一元二次不等式的步骤： (1)把二次项系数化为正数；(2)先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法； (3)写出不等式的解集． 变式训练1 解下列不等式：（1）2310x x -+≤ （2）23520x x +-> （3）22530x x --+> （4）29610x x -+-<（5）3012x x+≤- （6）－1≤x 2＋2x －1≤2；（二）考向2 三个二次的关系例2 已知关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集(－1，2)，试求关于x 的不等式ax 2＋x ＋b ＜0的解集． 【思路点拨】 不等式解集的端点值是相应方程的根．(1)给出一元二次不等式的解集，则可知二次项系数的符号和相应一元二次方程的两根．(2)三个二次的关系体现了数形结合，以及函数与方程的思想方法．变式训练2 若关于x的不等式axx－1＜1的解集是{x|x＜1或x＞2}，求实数a的取值范围．（三）考向3含参数的一元二次不等式的解法例3求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集．【思路点拨】先求方程12x2－ax＝a2的根，讨论根的大小，确定不等式的解集．解含参数的一元二次不等式的步骤(1)二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程实根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定方程无实根时可直接写出解集，确定方程有两个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．变式训练3 解关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0.（四）考向4 不等式恒成立问题例4 若不等式mx 2－mx －1＜0对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．【思路点拨】分m ＝0与m ≠0两种情况讨论，当m ≠0时，用判别式法求解．1．不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＞0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＜0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＜0.2．解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．变式训练4 对任意a ∈[－1，1]不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则实数x 的取值范围是________．一个过程解一元二次不等式的一般过程是：一看(看二次项系数的符号)，二算(计算判别式，判断方程根的情况)，三写(写出不等式的解集)．两点联想不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(或ax 2＋bx ＋c ＜0)(a ≠0)的求解，善于联想：(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点，(2)方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，运用好“三个二次”间的关系．三个防范1.二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是否为零的情况．2．解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．3．不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述．课时训练1.设集合M={}2230x x x --<，N=12log 0,x x M N ⎧⎫<⋂⎨⎬⎩⎭则等于 （ ）A ．-（1,1） B.(1,3) C.(0,1) D.(-1,0)2.在R 上定义运算:(1)x y x y ⊗⊗=-，若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 成立，则 （ ）A 、11a -<<B 、02a <<C 、1322a -<<D 、3122a -<<3．“|x －1|＜2成立”是“x (x －3)＜0成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4.定义02x x <>或运算a b ad bc c d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则不等式1011x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭的解集为（） A ．(1,1)- B. (1,0)(0,1)-⋃C. (1)(1-⋃D.5.设A ＝{x ∈Z ||x －2|≤5}，则A 中最小元素为( )A ．2B ．－3C ．7D ．06、不等式20x ax b --<的解集为{}223,10x x bx ax <<-->则的解集为（ ）A 、{}23x x <<B 、1132x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C 、1123x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭D 、{}32x x -<<-7．设x ∈R ，则“x >12”是“2x 2＋x －1>0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8.不等式102xx-≥+的解集为 （ ） A.[]2,1- B. (]2,1- C. ()(),21,-∞-⋃+∞ D. (](),21,-∞-⋃+∞ 9． “关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ＞0的解集为R ”是“0≤a ≤1”( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 10.不等式22530x x --≥成立的一个必要不充分条件是 （ ）A ．0x ≥ B. 02x x <>或 C. 12x <- D. 132x x ≤-≥或 11.不等式22253x x a a -+≥-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为 （ ）A ．[]1,4- B. [)(,2)5,-∞-⋃+∞ C. (][),14,-∞-⋃+∞ D. []2,5-12、若函数222,0(),0x x x f x x ax x ⎧-≥=⎨-+<⎩是奇函数，则满足()f x a x >的的取值范围是________13.若不等式2(1)0x a x a --+≤的解集是[-4,3]的子集，则a 的取值范围是________14．已知不等式|x －2|＞1的解集与不等式x 2＋ax ＋b ＞0的解集相等，则a ＋b 的值为________．15. 设命题p ：2x 2－3x ＋1≤0； 命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0， 若命题p 是命题q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________． 16．不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．一元二次不等式及其解法答案1、D 【解析】 ∵2x 2－x －1＝(x －1)(2x ＋1)＞0， ∴x ＞1或x ＜－12.故原不等式的解集为(－∞，－12)∪(1，＋∞)．2、A 【解析】 原不等式等价于(1)(21)0210x x x -+≤⎧⎨+≠⎩.∴原不等式的解集为(－12，1]．3、(0，8) 【解析】 ∵x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立， ∴Δ＝a 2－4×2a <0，∴0<a <8.4、－14 【解析】 由已知得方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12，13.则⎩⎨⎧－b a ＝－12＋132a ＝（－12）×13解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2， ∴a ＋b ＝－14.典例分析：例1：（1）原不等式可化为(3)(21)0x x ++> 故原不等式的解集为132x x x ⎧⎫<->-⎨⎬⎩⎭或（2）原不等式化为x 2－2x －3≤0， 即(x －3)(x ＋1)≤0， 故原不等式的解集为{x |－1≤x ≤3}． （3）原不等式可化为2830x x -+<284(1)(3)520∆=-⨯-⨯-=>212830413413x x x x ∴-+-===方程有两个实根，故原不等式的解集为{}413413x x << （4）原不等式可化为26100x x -+≤ 26411040∆=-⨯⨯=-<∴原不等式的解集为∅（5）原不等式可化为22620x x -+> 2(6)42270∆=--⨯⨯=-<∴故原不等式的解集为R(6) ∵2x x －1≤1⇔2xx －1－1≤0 ⇔x ＋1x －1≤0 ⇔(1)(1)01110x x x x ≤⎧⇔-≤<⎨-≠⎩－＋∴原不等式的解集为[－1，1)．变式训练1 （1）9450∆=-=> 12353522x x ∴==对应的方程有两实数根 ∴原不等式的解集为35352x ⎧-+⎪≤≤⎨⎪⎪⎩⎭（2）原不等式可化为(31)(2)0x x -+> ∴原不等式的解集为123x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或（3）∵－2x 2－5x ＋3＞0， ∴2x 2＋5x －3＜0，∴(2x －1)(x ＋3)＜0， ∴原不等式的解集为{x |－3＜x ＜12}．（4）原不等式可化为2(31)0x -> ∴原不等式的解集为13x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭（5）原不等式可化为(3)(12)0120x x x +-≤⎧⎨-≠⎩ (3)(21)0120x x x +-≥⎧⎨-≠⎩则 13212x x x ⎧≤-≥⎪⎪∴⎨⎪≠⎪⎩或∴原不等式的解集为132x x x ⎧⎫≤->⎨⎬⎩⎭或（6）这是一个双向不等式，可转化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1≥－1，x 2＋2x －1≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ≥0， ①x 2＋2x －3≤0. ② 由①得x ≥0或x ≤－2； 由②得－3≤x ≤1. 故得所求不等式的解集为{x |－3≤x ≤－2或0≤x ≤1}.例2 由于x 2＋ax ＋b ＜0的解集是(－1，2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＋b ＝0，4＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.故不等式即为－x 2＋x －2＜0， ∵⎩⎪⎨⎪⎧－1＜0，Δ＝1－8＝－7＜0∴不等式ax 2＋x ＋b ＜0的解集为R .,变式训练2 解： axx －1＜1⇔（a －1）x ＋1x －1＜0⇔[(a －1)x ＋1](x －1)＜0，由原不等式的解集是{x |x ＜1或x ＞2}， 知⎩⎪⎨⎪⎧a －1＜0，－1a －1＝2⇒a ＝12. ∴实数a 的取值范围是{12}． 例3 ∵12x 2－ax ＞a 2， ∴12x 2－ax －a 2＞0，即(4x ＋a )(3x －a )＞0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0， 得：x 1＝－a 4，x 2＝a3.①a ＞0时，－a 4＜a 3，解集为{x |x ＜－a 4或x ＞a3}；②a ＝0时，x 2＞0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；③a ＜0时，－a 4＞a 3，解集为{x |x ＜a 3或x ＞－a4}．综上所述：当a ＞0时，不等式的解集为{x |x ＜－a 4或x ＞a3}；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；当a ＜0时，不等式的解集为{x |x ＜a3或x ＞－变式训练3 【解】 原不等式可化为(x －a )(x －1)＜0.当a ＞1时，原不等式的解集为(1，a )； 当a ＝1时，原不等式的解集为空集； 当a ＜1时，原不等式的解集为(a ，例4 要使mx 2－mx －1＜0对一切实数x 恒成立，若m ＝0，显然－1＜0；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0，解得－4＜m ＜0， 故实数m 的取值范围是(－4，0]．,变式训练4 【解析】 设f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则原问题可转化为一次函数(或常数函数)f (a )在区间[－1，1]上恒正时x 应满足的条件，故应有⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＞0，f （1）＞0. 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0， 化为⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）（x －3）＞0，（x －1）（x －2）＞0. 解之，得x ＜1或x ＞3.课时训练1、B 解：由2230x x --<， 得13x -<<由12log 0x <，得1x > 所以{}13M N x x ⋂=<<2、C 解：()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 成立， 即()(1)1x a x a ---<对任意实数x 成立2210x x a a ∴--++>恒成立 214(1)0a a ∴∆=--++< 1322a ∴-<< 3. B 【解析】 ∵|x －1|＜2⇔－1＜x ＜3，又x (x －3)＜0⇔0＜x ＜3.则(0，3)(－1，3)． 4、C 解：由题意可知原不等式即为2011x <-< ，212x ∴<<1221x x ∴<<<-或5. B 【解析】 由|x －2|≤5，得－3≤x ≤7， 又x ∈Z ，∴A 中的最小元素为－36、C 解：由题意知2,3是方程20x ax b --=的解235,236a ab b +==⎧⎧∴∴⎨⎨⨯=-=-⎩⎩ 22106510bx ax x x ∴-->--->不等式为2116+5+1023x x x x ⎧⎫<∴-<<-⎨⎬⎩⎭即， 7、 A 【解析】 2x 2＋x －1>0的解集为{x |x >12或x <－1}， 故由x >12⇒2x 2＋x －1>0，但2x 2＋x －1>0D ⇒/x >12. 则“x ＞12”是“2x 2＋x －1＞0”的充分不必要条件． 8、B 解：由102x x -≥+，得(1)(2)020x x x -+≥⎧⎨+≠⎩ 则(1)(2)020x x x -+≤⎧⎨+≠⎩解得21x -<≤ (]2,1∴-原不等式的解集为9、A 【解析】 关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ＞0的解集为R ，则Δ＝4a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜1，由集合的包含关系可知选A.10、B 解：原不等式可化为(21)(3)0x x +-≥，解得132x x ≤-≥或 所以原不等式成立的一个必要不充分条件是02x x <>或11、A 解：由题意知，2225(1)4x x x -+=-+的最小值为4，所以22253x x a a -+≥- 对任意实数x 恒成立，只需234a a -≤，解得14a -≤≤12、(13,)-+∞ 解：()(1)(1)f x f f ∴-=-是奇函数， 即1(12)a --=--2()2a f x ∴=->-，则不等式等价于22002222x x x x x x ≥<⎧⎧⎨⎨->--->-⎩⎩，或，解得030x x ≥<<，或-1- 即(13,)x ∈--+∞13、43a -≤≤ 解：原不等式可化为()(1)0x a x --≤，当1a <时，不等式的解集为[],1a ， 此时只要4a ≥-即可，即41a -≤<，当1a =时，不等式的解集为1x =，此时符合要求； 当1a >时，不等式的解集为[]1,a ，此时只要3a ≤即可，即13a <≤，综上可得43a -≤≤14. －1 【解析】 由|x －2|＞1得x －2＜－1或x －2＞1，即x ＜1或x ＞3.依题意得知，不等式x 2＋ax ＋b ＞0的解集是(－∞，1)∪(3，＋∞)于是有⎩⎪⎨⎪⎧1×3＝b ，1＋3＝－a ，即a ＝－4，b ＝3，a ＋b ＝－1. 15、[0，12], 解：由2x 2－3x ＋1≤0，得12≤x ≤1， 由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，得a ≤x ≤a ＋1，由命题p 是命题q 的必要不充分条件知，p 是q 的充分不必要条件，即{x |12≤x ≤1}{x |a ≤x ≤a ＋1}， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1，∴0≤a ≤12. 16、 (2，＋∞) 【解析】 由题意知，不等式(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1＞0对一切x ∈R 恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＞0，Δ＝16－4（a ＋2）（a －1）＜0，解得a ＞2.。
(完整版)一元二次不等式的经典例题及详解
一元二次不等式专题练习例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ．例2 解下列分式不等式： （1）22123+-≤-x x （2）12731422<+-+-x x x x例3 解不等式242+<-x x例4 解不等式04125622<-++-x x x x ． 例5 解不等式x xx x x <-+-+222322． 例6 设R m ∈，解关于x 的不等式03222<-+mx x m ．例7 解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax ． 例8 解不等式331042<--x x ．例9 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ． 例10 已知不等式02>++c bx ax 的解集是{})0(><<αβαx x ．求不等式02>++a bx cx 的解集．例11 若不等式1122+--<++-x x b x x x a x 的解为)1()31(∞+-∞，， ，求a 、b 的值． 例12不等式022<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ，求a 与b 的值． 例13解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax ． 例14 解不等式x x x ->--81032．例1解：（1）原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或 （2）原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．分析：当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形 ①0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ②0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(<⋅=⇔≤⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或或例2（1）解：原不等式等价于⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔≤+-++-⇔≤+---+⇔≤+--⇔+≤-0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(0)2)(2(650)2)(2()2()2(302232232x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x用“穿根法”∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。
高中数学必修5一元二次不等式及其解法精选题目(附答案)
高中数学必修5一元二次不等式及其解法精选题目（附答案）1．一元二次不等式我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．2．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系表题型一：一元二次不等式解法1.解下列不等式：(1)2x2＋5x－3<0；(2)－3x2＋6x≤2；(3)4x2＋4x＋1>0；(4)－x2＋6x－10>0.题型二：三个“二次”关系的应用2.若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <13，则a ＋b 的值为( )A ．14B ．－10C ．10D ．－143.已知一元二次不等式x 2＋px ＋q ＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜13，求不等式qx 2＋px ＋1＞0的解集．题型三：解含参数的一元二次不等式4.解关于x 的不等式x 2＋(1－a )x －a ＜0.巩固练习：1．不等式6x 2＋x －2≤0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23≤x ≤12B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－23或x ≥12 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥12D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－23 2．设a <－1，则关于x 的不等式a (x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <a 或x >1a B ．{x |x >a } C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >a 或x <1aD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1a 3．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)4．不等式mx 2－ax －1>0(m >0)的解集可能是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >14 B ．R C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－13<x <32 D ．∅5．函数y ＝17－6x －x 2的定义域为( )A ．[－7,1]B ．(－7,1)C ．(－∞，－7]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－7)∪(1，＋∞)6．已知全集U ＝R ，A ＝{x |x 2－1≥0}，则∁U A ＝________.7．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)的图象与x 轴的两个交点为(－1,0)和(3,0)，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是________．8．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x <0.若f (a )≤3，则a 的取值范围是________．9．解关于x 的不等式x 2－3ax －18a 2>0. 10．若函数f (x )＝2 018ax 2＋2ax ＋2的定义域是R ，求实数a 的取值范围．参考答案：1.[解] (1)Δ＝49>0，方程2x 2＋5x －3＝0的两根为x 1＝－3，x 2＝12， 作出函数y ＝2x 2＋5x －3的图象，如图①所示．由图可得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3<x <12.(2)原不等式等价于3x 2－6x ＋2≥0.Δ＝12>0，解方程3x 2－6x ＋2＝0，得x 1＝3－33，x 2＝3＋33，作出函数y ＝3x 2－6x ＋2的图象，如图②所示，由图可得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤3－33或x ≥3＋33. (3)∵Δ＝0，∴方程4x 2＋4x ＋1＝0有两个相等的实根x 1＝x 2＝－12.作出函数y ＝4x 2＋4x ＋1的图象如图所示．由图可得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－12，x ∈R.(4)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0，∵Δ＝－4<0， ∴方程x 2－6x ＋10＝0无实根，∴原不等式的解集为∅. 2.解：由已知得，ax 2＋bx ＋2＝0的解为－12，13，且a <0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－12＋13，2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×13，解得⎩⎨⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.3.解：因为x 2＋px ＋q ＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜13，所以x 1＝－12与x 2＝13是方程x 2＋px ＋q ＝0的两个实数根，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧13－12＝－p ，13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝16，q ＝－16 .所以不等式qx 2＋px ＋1＞0即为－16x 2＋16x ＋1＞0，整理得x 2－x －6＜0，解得－2＜x ＜3.即不等式qx 2＋px ＋1＞0的解集为{x |－2＜x ＜3}．4.[解] 方程x 2＋(1－a )x －a ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝a ，函数y ＝x 2＋(1－a )x －a 的图象开口向上，则当a ＜－1时，原不等式解集为{x |a ＜x ＜－1}；当a ＝－1时，原不等式解集为∅；当a ＞－1时，原不等式解集为{x |－1＜x ＜a }． 5.设a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2＋(1－2a )x －2>0.5.解：(1)当a ＝0时， 不等式可化为x －2>0，解得x >2，即原不等式的解集为{x |x >2}．(2)当a ≠0时，方程ax 2＋(1－2a )x －2＝0的两根分别为2和－1a .①当a <－12时，解不等式得－1a <x <2，即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1a <x <2；②当a ＝－12时，不等式无解，即原不等式的解集为∅；③当－12<a <0时，解不等式得2<x <－1a ，即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2<x <－1a ； ④当a >0时，解不等式得x <－1a 或x >2，即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1a 或x >2. 练习：1.解析：选A 因为6x 2＋x －2≤0⇔(2x －1)·(3x ＋2)≤0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23≤x ≤12. 2.解析：选A ∵a <－1，∴a (x －a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0⇔(x －a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a >0.又a <－1，∴1a >a ，∴x >1a 或x <a .3.解析：选B 由a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，得x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2＝x 2＋x －2<0，所以－2<x <1.4.解析：选A 因为Δ＝a 2＋4m >0，所以函数y ＝mx 2－ax －1的图象与x 轴有两个交点，又m >0，所以原不等式的解集不可能是B 、C 、D ，故选A.5.解析：选B 由7－6x －x 2>0，得x 2＋6x －7<0，即(x ＋7)(x －1)<0，所以－7<x <1，故选B.6.解析：∁U A ＝{x |x 2－1<0}＝{x |－1<x <1}． 答案：{x |－1<x <1}7.解析：根据二次函数的图象知所求不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)8.解析：当a ≥0时，a 2＋2a ≤3，∴0≤a ≤1；当a <0时，－a 2＋2a ≤3，∴a <0.综上所述，a 的取值范围是(－∞，1]．9.解：将x 2－3ax －18a 2>0变形得(x －6a )(x ＋3a )>0， 方程(x －6a )(x ＋3a )＝0的两根为6a ，－3a .所以当a >0时，6a >－3a ，原不等式的解集为{x |x <－3a 或x >6a }；当a ＝0时，6a ＝－3a ＝0，原不等式的解集为{x |x ≠0}； 当a <0时，6a <－3a ，原不等式的解集为{x |x <6a 或x >－3a }． 10.解：因为f (x )的定义域为R ，所以不等式ax 2＋2ax ＋2>0恒成立． (1)当a ＝0时，不等式为2>0，显然恒成立；(2)当a ≠0时，有⎩⎨⎧ a >0，Δ＝4a 2－8a <0，即⎩⎨⎧a >0，0<a <2，所以0<a <2.综上可知，实数a 的取值范围是[0,2)．。
高中数学必修5常考题型：一元二次不等式及其解法(复习课)
一元二次不等式及其解法(复习课)【常考题型】题型一、简单的分式不等式【例1】 解下列不等式(1)x ＋21－x <0；(2)x ＋1x －2≤2. [解] (1)由x ＋21－x <0，得x ＋2x －1>0， 此不等式等价于(x ＋2)(x －1)>0，∴原不等式的解集为{x |x <－2或x >1}．(2)法一：移项得x ＋1x －2－2≤0， 左边通分并化简有－x ＋5x －2≤0，即x －5x －2≥0， 它的同解不等式为⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)(x －5)≥0，x －2≠0， ∴x <2或x ≥5.∴原不等式的解集为{x |x <2或x ≥5}．法二：原不等式可化为x －5x －2≥0， 此不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x －5≥0，x －2>0① 或⎩⎪⎨⎪⎧x －5≤0，x －2<0，② 解①得x ≥5，解②得x <2，∴原不等式的解集为{x |x <2或x ≥5}．【类题通法】1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．【对点训练】1．解下列不等式：(1)x ＋23－x ≥0； (2)2x －13－4x>1. 解：(1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ (x ＋2)(3－x )≥0，3－x ≠0， 即⎩⎨⎧(x ＋2)(x －3)≤0，x ≠3⇒－2≤x <3. ∴原不等式的解集为{x |－2≤x <3}．(2)原不等式可化为2x －13－4x －1>0，即3x －24x －3<0. 等价于(3x －2)(4x －3)<0.∴23<x <34. ∴原不等式的解集为{x |23<x <34}. 题型二、不等式中的恒成立问题【例2】 关于x 的不等式(1＋m )x 2＋mx ＋m ＜x 2＋1对x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．[解] 原不等式等价于mx 2＋mx ＋m －1＜0，对x ∈R 恒成立，当m ＝0时，0·x 2＋0·x －1＜0对x ∈R 恒成立．当m ≠0时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜0，Δ＝m 2－4m (m －1)＜0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜0，3m 2－4m ＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，m ＜0，或m ＞43⇔m ＜0.综上，m 的取值范围为m ≤0.【类题通法】不等式对任意实数x 恒成立，就是不等式的解集为R ，对于一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0，它的解集为R 的条件为⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＝b 2－4ac ＜0； 一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0，它的解集为R 的条件为⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝b 2－4ac ≤0； 一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为∅的条件为⎩⎨⎧a ＜0，Δ≤0. 【对点训练】 2．若关于x 的不等式ax 2＋2x ＋2＞0在R 上恒成立，求实数a 的取值范围．解：当a ＝0时，原不等式可化为2x ＋2＞0，其解集不为R ，故a ＝0不满足题意，舍去；当a ≠0时，要使原不等式的解集为R ，只需⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝22－4×2a ＜0， 解得a ＞12. 综上，所求实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 题型三、一元二次不等式的实际应用【例3】 某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a 万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x (x ≠0)个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点．(1)写出税收y (万元)与x 的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围．[解] (1)降低税率后的税率为(10－x )%，农产品的收购量为a (1＋2x %)万担，收购总金额为200a (1＋2x %)．依题意得，y ＝200a (1＋2x %)(10－x )%＝150a (100＋2x )(10－x )(0＜x ＜10)． (2)原计划税收为200a ·10%＝20a (万元)．依题意得，150a (100＋2x )(10－x )≥20a ×83.2%， 化简得x 2＋40x －84≤0，∴－42≤x ≤2.又∵0＜x ＜10，∴0＜x ≤2.∴x 的取值范围是{x |0＜x ≤2}．【类题通法】用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤是：(1)理解题意，搞清量与量之间的关系；(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；(3)解这个一元二次不等式，得到实际问题的解．【对点训练】3．某校园内有一块长为800 m ，宽为600 m 的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．解：设花卉带的宽度为x m ，则中间草坪的长为(800－2x ) m ，宽为(600－2x ) m ．根据题意可得(800－2x )(600－2x )≥12×800×600，整理得x 2－700x ＋600×100≥0，即(x －600)(x －100)≥0，所以0＜x ≤100或x ≥600，x ≥600不符合题意，舍去．故所求花卉带宽度的范围为(0,100] m.【练习反馈】1．若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝{x |x －2x≤0}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－1≤x ＜0}B ．{x |0＜x ≤1}C ．{x |0≤x ≤2}D ．{x |0≤x ≤1}解析：选B ∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0＜x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |0＜x ≤1}．2．已知不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集为空集，则a 的取值范围是( )A ．－4≤a ≤4B ．－4＜a ＜4C ．a ≤－4或a ≥4D ．a ＜－4或a ＞4解析：选A 依题意应有Δ＝a 2－16≤0，解得－4≤a ≤4，故选A.3．不等式x ＋1x≤3的解集为________．解析：x ＋1x ≤3⇔x ＋1x －3≤0⇔2x －1x ≥0⇔x (2x －1)≥0且x ≠0⇔x <0或x ≥12. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜0或x ≥12 4．若函数f (x )＝log 2(x 2－2ax －a )的定义域为R ，则a 的取值范围为________． 解析：已知函数定义域为R ，即x 2－2ax －a ＞0对任意x ∈R 恒成立．∴Δ＝(－2a )2＋4a ＜0.解得－1＜a ＜0.答案：(－1,0)5．你能用一根长为100 m 的绳子围成一个面积大于600 m 2的矩形吗？解：设围成的矩形一边的长为x m ，则另一边的长为(50－x ) m ，且0＜x ＜50. 由题意，得围成矩形的面积S ＝x (50－x )＞600，即x 2－50x ＋600＜0，解得20＜x ＜30.所以，当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时，能围成一个面积大于600 m 2的矩形．。
一元二次不等式及解法作业(含答案)精选全文
可编辑修改精选全文完整版 一元二次不等式及其解法 一、选择题 1.不等式(x ＋5)(3－2x )≥6的解集是 ( )A.{x |x ≤－1或x ≥92}B.{x|－1≤x ≤92}C.{x |x ≤－92或x ≥1}D.{x |－92≤x ≤1}解析：因为不等式(x ＋5)(3－2x )≥6可化为2x 2＋7x －9≤0，而2x 2＋7x －9＝0的两根为x 1＝－92，x 2＝1，所以函数f (x )＝2x 2＋7x －9与x 轴的交点为(－92，0)，(1,0)，又函数f (x )＝2x 2＋7x －9的图象开口向上，所以不等式(x ＋5)·(3－2x )≥6的解集是{x |－92≤x ≤1}.答案：D 2.设A ＝{x |x 2－2x －3＞0}，B ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3,4]，则a ＋b 等于 ( )A.7B.－1C.1D.－7解析：A ＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，∵A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3,4]，则B ＝[－1,4]，∴a ＝－(－1＋4)＝－3，b ＝－1×4＝－4，∴a ＋b ＝－7.答案：D3.若ax 2＋x ＋a ＜0的解集为∅，则实数a 取值范围 ( )A.a ≥12B.a ＜12C.－12≤a ≤12D.a ≤－12或a ≥12解析：∵ax 2＋x ＋a ＜0的解集为∅，01,.02a a >⎧∴∴⎨⎩≤≤答案：A 4.不等式12+-x x ≤0的解集是( ) A.(-∞,-1)∪(-1,2］ B.［-1,2］ C.(-∞,-1)∪［2,+∞)D.(-1,2］解析:由,012≤+-x x 得⎩⎨⎧≠+≤+-.01,0)1)(2(x x x 所以不等式的解集为(-1,2］.答案:D5.不等式|x 2-x|＜2的解集为 ( )A.(-1,2)B.(-1,1)C.(-2,1)D.(-2,2)解析:∵|x 2-x|＜2,∴-2＜x 2-x ＜2,即⎪⎩⎪⎨⎧<-->+-2.02,022x x x x 解得⎩⎨⎧<<-∈,21,x R x ∴x ∈(-1,2),故选A. 答案:A6.已知集合A ＝{x|3x-2-x 2＜0},B ＝{x|x-a ＜0},且BA ，则实数a 的取值范围是( )A.a ≤1B.1＜a ≤2C.a ＞2D.a ≤2解析:不等式3x-2-x 2＜0化为x 2-3x+2＞0⇒x ＞2或x ＜1,由不等式x-a ＜0，得x ＜a.要使B A,则a ≤1.答案:A二、填空题7.若关于x 的方程x 2＋ax ＋a 2－1＝0有一正根和一负根，则a 的取值范围为 .解析：令f (x )＝x 2＋ax ＋a 2－1，∴二次函数开口向上，若方程有一正一负根，则只需f (0)＜0，即a 2－1＜0，∴－1＜a ＜1.答案：－1＜a ＜18.不等式21213≤+-x x 的解集为__________________. 解析: x x x x x x x x x x x x x ⇔≤-+⇔≤-+⇔-≤+-⇔≤⇔≤-+-+-0)1)(3(03211322212221313∈(-∞,-3］∪(0,1］.答案:(-∞,-3］∪(0,1］三、解答题1. 已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围.(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围.解：(1)条件说明抛物线f (x )=x 2+2mx +2m +1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧->-<∈-<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<+=>=-<+=65,21,21056)2(,024)1(,02)1(,012)0(m m R m m m f m f f m f ∴2165-<<-m . (2)据抛物线与x 轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<≥∆>>10,0,0)1(,0)0(m f f ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<--≤+≥->->⇒.01,2121,21,21m m m m m 或(这里0<－m <1是因为对称轴x =－m 应在区间(0，1) 2、已知2()2(2)4f x x a x =+-+，（1）如果对一切x R ∈，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围； （2）如果对[3,1]x ∈-，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围．解：（1）24(2)16004a a ∆=--<⇒<<；（2）(2)3(3)0a f --<-⎧⎨->⎩或3(2)10a -≤--≤⎧⎨∆<⎩或(2)1(1)0a f -->⎧⎨>⎩， 解得a φ∈或14a ≤<或112a -<<，∴a 的取值范围为1(,4)2-． 3．已知二次函数2()f x ax bx c =++的图象过点(1,0)-，问是否存在常数,,a b c ，使不等式21()(1)2x f x x ≤≤+对一切x R ∈都成立？解：假设存在常数,,a b c 满足题意，∵()f x 的图象过点(1,0)-，∴(1)0f a b c -=-+= ① 又∵不等式21()(1)2x f x x ≤≤+对一切x R ∈都成立，∴当1x =时，211(1)(11)2f ≤≤+，即11a b c ≤++≤，∴1a b c ++= ② 由①②可得：11,22a c b +==，∴211()()22f x ax x a =++-， 由21()(1)2x f x x ≤≤+对一切x R ∈都成立得：22111()(1)222x ax x a x ≤++-≤+恒成立， ∴2211()022(21)20ax x a a x x a ⎧-+-≥⎪⎨⎪-+-≤⎩的解集为R ，∴0114()042a a a >⎧⎪⎨--≤⎪⎩且21018(21)0a a a -<⎧⎨+-≤⎩，即20(14)0a a >⎧⎨-≤⎩且212(14)0a a ⎧<⎪⎨⎪-≤⎩∴14a =，∴14c =， ∴存在常数111,,424a b c ===使不等式21()(1)2x f x x ≤≤+对一切x R ∈都成立。
(完整版)《一元二次不等式及其解法》典型例题透析
(3 )方法一：《一元二次不等式及其解法》典型例题透析类型一：解一元二次不等式 例1.解下列一元二次不等式2 2 2(1)x 5x0 ； (2)x 4x 4 0 ； ( 3) x 4x 5 0所以，原不等式的解集是 {x|x 2}所以原不等式的解集是{x|x 2}原不等式整理得x 2 4x 50.思路点拨：转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答解析： (1) 方法一：因为所以方程 (5)2 4 1 0 25 0x 2 5x 0的两个实数根为:X iX 25x 0的解集是{x|05}.方法二： 2x 5x 0x(x 5)x x 解得x 0 或 x 0，即 0 x 55或xx 5 2x因而不等式 x 5x 0的解集是{x |0 x方法一：因为 0，方程x 2 4x 4 0的解为捲X 2 2 .函数y2x 4x 4的简图为：方法二：x 2 4x 4 (x 2)220 (当 x 2时，(x 2)0)2函数y5}.因而不等式x因为0,方程x2 4x 5 0无实数解,函数y x2 4x 5的简图为：所以不等式x2 4x 5 0的解集是方法二： 2 2x 4x 5 (x 2) 1 1 0所以原不等式的解集是•原不等式的解集是总结升华：1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；2. 当0时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁(如第是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，3. 当二次项的系数小于举一反三：【变式1】解下列不等式(1) 2x2 3x(3) 4x2 4x【答案】(1 )方法一：0时, 般都转化为大于0后,2、3小题)；当0且(如第1小题).再解答.因为方程2x23x22x6x2x0.(3)2 43x 2y 2x2 3x(2) 250的两个实数根为:2的简图为:函数0的解集是:X i12，x2{x|x(2x 1)(x1 、{x|x 或x2(2)整理，原式可化为3x2 6x 2 0,因为方法二：•••原不等式等价于•••原不等式的解集是:0,2方程3x 6x 2 0的解x, 12)1或x 2}.20,2}.,X2 1332所以不等式的解集是 (1八.(3 )方法一：因为 02由函数y 4x 4x 1的图象为:1原不等式的的解集是｛—｝•2方法二：•/原不等式等价于：(2x 1)2 0,•••原不等式的的解集是2方程 x 2x 3 0无实数解,3的简图为：函数2的简图为:方法二：x 2 2x 3 •原不等式解集为 . 【变式2】解不等式：6 x 2 【答案】原不等式可化为不等式组 x 2(x1)2 2 x 2x12，即(X 4)(xx(x 1)3) 0 03解得x•原不等式的解集为｛x|类型二：已知一元二次不等式的解集求待定系数例2.不等式x 2 mx n 0的解集为x (4,5)，求关于x 的不等式nx 解集。
一元二次不等式及其解法(精)全
一元二次不等式5x2 10x 4.8 0的解集就是 二次函数y 5x2 10x 4.8的图象(抛物线） 位于x轴下方的点所对应的x的集合.
因此， 求解一元二次不等式可以先解相应的一元二次方程， 确定抛物线与x轴交点的横坐标， 再根据图象写出不等式的解集． 第一步：解方程5x2 10x 4.8 0，得：x1 0.8, x2 1.2；
问题: 怎样解不等式5x2 10x 4.8 0？
思考（：1）当x是什么实数时，函数y 5x2 10x 4.8的值是：
(1)0 (2)正数 (3)负数
(2)能否画出二次函数 y 5x2 10x 4.8 的图象。 y
(3)能否找出抛物线上纵坐标 y 0 的点？其横坐标应取哪些值？
0 0.8
y 5x2 10x 4.8
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)
有两相等实根 x1=x2= b 2a
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2}
{x|x≠
b
}
2a
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集 {x|x1< x <x2 }
Φ
△<0 y
x O 没有实根
R Φ
例1：解下列不等式：
（1）x2 7x 12 0； （2） x2 2x 3 0； （3）x2 2x 1 0； （4）x2 2x 2 0.
从这题可得出求一元二次不等式的解集的 基本步骤是怎样的？
解一元二次不等式的基本步骤:
(1)化不等式为标准形式:ax2 bx c 0(a 0) 或ax2 bx c （0 a 0)
(2)确定方程ax2 bx c 0 a 0 的根;
一元二次不等式及其解法全
要点梳理
2.分式不等式与一元二次不等式的关系:
⑴
x a 0 ( x a)( x b) 0; xb
(2)
f (x) g( x)
≥
0
f (x)g(x)
g(
x)
0
≥
0
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题型一 解一元二次不等式
求下列不等式的解集.
(1) 4x2 4x 1 0
(2) x 2 2x 3 0
⑶ 3x 2 2x2
有两相等 实根x1=x2 {x|x≠x1}
Δ<0
y
O
x
无实根
R
主页
要点梳理
忆一忆知识要点
用程序框图描述一元二次不等式ax2＋bx＋c>0 (a>0)的求解的
算法过程
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上述不等式 ax2+bx+c>0(<0)中的 a 均大于 0，若 a<0，则可先进行转化，使 x2 的系数为正，但一 定注意在转化过程中不等号的变化.
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已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是{x|x＜-2,
或 x 1 }, 求 ax2 -bx+c>0的解集.
2
解: 由已知得
2, 1 是方程ax2 bx c 0 2
的两个根，且a＜0，
144aa122bb
c c
0, 0.
解得
b
5 2
a
,c
a.
∴不等式 ax2 bx c 0 即为 2x2 5x 2 0
高三数学第一轮复习
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知识网络
不等式的基本性质
两个实数大小的比较
不
一元二次不等式及 其解法
不等式的实际应用
(word完整版)高中数学必修5常考题型：一元二次不等式及其解法
一元二次不等式及其解法【知识梳理】1. 一元二次不等式我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式,即形如ax2+ bx+ c> 0( > 0)或ax2+ bx + c v 0(< 0)(其中0)的不等式叫做一元二次不等式.2. 一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集.【常考题型】题型一、一元二次不等式的解法【例1】解下列不等式：(1) 2x2+ 7x+ 3> 0;(2) x2- 4x—5 < 0;(3) - 4x2+ 18x- 84_> 0；(4) - |x2+ 3x- 5> 0;(5) - 2x2+ 3x- 2v 0.［解］⑴因为△= 72-4 X 2 X 3= 25> 0,所以方程2x2+ 7x+ 3 = 0有两个不等实根x i = - 3,1 1X2=-2•又二次函数y= 2x2+ 7x+ 3的图象开口向上，所以原不等式的解集为{x|x>- ©或x v—3}・⑵原不等式可化为(x—5)(x + 1)< 0，所以原不等式的解集为{x|—K x w 5}.⑶原不等式可化为2x—9 2w 0，所以原不等式的解集为x|x= 4 .(4) 原不等式可化为x2—6x+ 10v 0, △= (—6)2—40=—4V0,所以方程x2—6x+ 10= 0 无实根，又二次函数y= x2—6x+ 10的图象开口向上，所以原不等式的解集为？•(5) 原不等式可化为2x2—3x+ 2> 0,因为△= 9 —4 X 2X 2 = —7 V 0,所以方程2x2—3x+ 2 =0无实根，又二次函数y= 2/ —3x+ 2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.【类题通法】解一元二次不等式的一般步骤(1) 通过对不等式变形，使二次项系数大于零；(2) 计算对应方程的判别式；⑶求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；⑷根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集.【对点训练】1 •解下列不等式：(1) x2—5x—6>0 ; (2) —x2+ 7x>6.(3) (2 —x)(x+ 3)<0; (4)4(2x2—2x+ 1)>x(4 —x)•解：⑴方程x2—5x—6= 0的两根为X1=—1，X2= 6.结合二次函数y= x2—5x—6的图象知，原不等式的解集为{x|x< —1或x>6} •(2) 原不等式可化为x2—7x+ 6<0.解方程x2—7x+ 6 = 0 得，X1= 1，x2= 6.结合二次函数y= x2—7x+ 6的图象知，原不等式的解集为{x|1<x<6} •⑶原不等式可化为(x—2)(x + 3)>0.方程(x—2)(x+ 3)= 0两根为2和一3.结合二次函数尸(x—2)(x+ 3)的图象知，原不等式的解集为{x|x< —3或x>2}.(4) 由原不等式得8x2—8x+ 4>4x—x2.•••原不等式等价于9/—12x + 4>0.2解方程9x2—12x+ 4= 0，得x i= x2= 3.2结合二次函数y= 9/—12x+ 4的图象知，原不等式的解集为{X|X M3}.题型二、解含参数的一元二次不等式【例2】解关于x的不等式x2+ (1 —a)x—a v 0.［解］方程x2+ (1 —a)x —a= 0 的解为x i=—1, x2= a,函数y= x2+ (1 —a)x—a 的图象开口向上，则当a v—1时，原不等式解集为{x|a v x v—1};当a=—1时，原不等式解集为?;当a>—1时，原不等式解集为{x|—1 v x v a}.【类题通法】解含参数的一元二次不等式时：(1) 若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论；(2) 若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式△进行讨论；(3) 若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论.【对点训练】2 .解关于x 的不等式：ax2—(a —1)x—1v 0(a € R).解：原不等式可化为：(ax+ 1)(x—1) v 0,当a= 0 时，x v 1,1t丄当a> 0 时x+ a (x—1) v 01 dv x v 1.a当a=—1 时，X M 1,1当一1v a v 0 时，x+- (X— 1) >0, a1亠• •x> ——或x v 1.a1当a v—1 时，一-v 1,a亠1•X> 1 或X v—a，综上原不等式的解集是：当a= 0 时，｛x|x v 1｝；1当a> 0 时，x|—x v 1 ;1 a当a=—1 时，｛X|X M 1｝；当一1v a v 0 时，xix< 1或X >—a.1当a v —1 时，X|X v —：或X> 1 ,a题型三、一元二次不等式与相应函数、方程的关系【例3】已知关于X的不等式X2 + ax+ b v 0的解集为｛x|1v x v 2｝,求关于X的不等式bx2 + ax+ 1>0的解集.［解］'-X2+ ax+ b v 0 的解集为｛x|1v X v 2｝,•••1,2 是x2+ ax+ b = 0 的两根.—a = 1 + 2,由韦达定理有b= 1X 2,a = 一3, 得b = 2,代入所求不等式，得2X2—3X+ 1> 0.1由 2x 2— 3x + 1> 0? (2x — 1)(x — 1) >0? x v 扌或 x > 1.1•'bx 2 + ax +1 > 0 的解集为 一g, 2 ⑴,+ m )•【类题通法】1 • 一元二次不等式 ax2 + bx + c > 0(a ^ 0)的解集的端点值是一元二次方程ax 2 + bx + c = 0的根，也是函数y = ax 2 + bx + c 与x 轴交点的横坐标.2 .二次函数y = ax 2 + bx + c 的图象在x 轴上方的部分，是由不等式ax 2 + bx + c > 0的x 的值构成的；图象在 x 轴下方的部分，是由不等式 ax 2 + bx + c v 0的x 的值构成的，三者之间相互依存、相互转化.【对点训练】3 .已知方程ax 2 + bx + 2= 0的两根为一1和2. (1) 求a 、b 的值；(2) 解不等式 ax 2 + bx — 1 >0.1解：⑴•••方程ax 2 + bx + 2= 0的两根为一§和2,解得 a =— 2, b = 3.(2)由(1)知，ax 2+ bx — 1> 0 可变为一2x 2 + 3x — 1> 0, 1即 2x 2— 3x + 1v 0，解得 v x v 1.1•不等式ax 2 + bx — 1>0的解集为{xl^v x v 1}.【练习反馈】1.不等式x(2 — x)> 0的解集为( )A . {x|x > 0}B . {xX < 2}C . {x|x > 2 或 x v 0}D . {x|0v x v 2}解析：选D 原不等式化为x(x — 2) v 0，故0 v x v 2.由根与系数的关系，得 1 b一 1 + 2=— b2.已知集合 M = {x|x 2— 3x — 28W 0} , N = {x|x 2— x — 6>0}, 则M n N 为(){x| — 4W x v — 2 或 3< x < 7} { x| — 4< x <— 2 或 3< x < 7} {x|x <— 2 或 x > 3} {x|x < — 2 或 x > 3}解析：选 A --M = {x|x 2 — 3x — 28w 0}={x|— 4w x < 7},N = {xlx 2— x — 6>0} = {x|x <— 2 或 x >3}, •'M n N = { x|— 4 w x <— 2 或 3< x w 7}. 3.二次函数y = x 2 — 4x + 3在y < 0时x 的取值范围是解析：由 y < 0 得 x 2— 4x + 3< 0,.'•I < x < 3答案：（1,3）14 .若不等式ax 2 + bx + 2 >0的解集为x|— ?< x < 2，则实数a =12，2是方程ax 2 + bx + 2= 0的两个根.解得 a =— 2, b = 3. 答案：—23 5.解下列不等式:(1) x(7 — x) > 12 ;(2) ^ >2(x — 1).x 2— 7x + 12w 0,因为方程 x 2— 7x + 12= 0 的两根为 X 1 = 3, X 2= 4,⑵原不等式可以化为 x 2 — 2x + 2> 0,，实数b =解析：由题意可知一 由根与系数的关系得-丄+ 2=— b 2 a ，—1X 2=22 a ' 解：（1）原不等式可化为 所以原不等式的解集为{x|3w x w 4}.因为判别式△= 4 —8 =—4v 0,方程X2—2x+ 2= 0无实根，而抛物线y= x2—2x + 2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.。
(完整版)一元二次不等式及其解法练习及同步练习题(含答案)
13.2 一元二次不等式及其解法练习（一）、一元二次不等式的解法1、求解下列不等式（1）、23710x x -≤ （2）、2250x x -+-< （3）、2440x x -+-< （4）205x x -<+2、求下列函数的定义域（1）、y （2）y =3、已知集合{}{}22|160,|430A x x B x x x =-<=-+>，求A B ⋃（二）、检测题一、选择题1、不等式11023x x ⎛⎫⎛⎫--> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的解集为 （ ） A 、11|32x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ B 、1|2x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭ C 、1|3x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ D 、11|32x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或 2、在下列不等式中，解集为φ的是 （ ）A 、22320x x -+>B 、2440x x ++>C 、2440x x --<D 、22320x x -+->3、函数()2log 3y x =+的定义域为 （ ）A 、()(),13,-∞-⋃+∞B 、()3,1--C 、(][),13,-∞-⋃+∞D 、(][)3,13,--⋃+∞4、若2230x x -≤，则函数()21f x x x =++ （ ） A 、有最小值34，无最大值 B 、有最小值34，最大值1 C 、有最小值1，最大值194 D 、无最小值，也无最大值2 5、若不等式210x mx ++>的解集为R ，则m 的取值范围是（ ）A ．RB ．()2,2-C ．()(),22,-∞-+∞D ．[]2,2-6、不等式()221200x ax a a --<<的解集是（ ）A ．()3,4a a -B ．()4,3a a -C ．()3,4-D ．()2,6a a7、不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a b -=（ ） A ．14-B ．14C ．10-D ．10 二、填空题8、设()21f x x bx =++，且()()13f f =，则()0f x >的解集为 。
一元二次不等式(含答案)
一元二次不等式1.一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax ＞b (a ≠0)的形式. 当a ＞0时，解集为 ；当a ＜0时，解集为 . 2.一元二次不等式及其解法(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式.(2)使某个一元二次不等式成立的x 的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________.(3)一元二次不等式的解：函数与不等式 Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ＞0)的根 有两相异实根 x 1，x 2(x 1＜x 2)有两相等实根 x 1＝x 2＝－b2a无实根ax 2＋bx ＋c ＞0 (a ＞0)的解集 ① ② Rax 2＋bx ＋c ＜0 (a ＞0)的解集{x |x 1＜x ＜x 2}∅③3.分式不等式解法(1)化分式不等式为标准型.方法：移项，通分，右边化为0，左边化为f （x ）g （x ）的形式.(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：f （x ）g （x ）＞0 ⇔ f (x )g (x )＞0； f （x ）g （x ）＜0 ⇔ f (x )g (x )＜0； f （x ）g （x ）≥0 ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≥0，g （x ）≠0； f （x ）g （x ）≤0 ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≤0，g （x ）≠0.已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，则A ∩B ＝( ) A.[－2，－1]B.[－1，2)C.[－1，1]D.[1，2)解：∵A ＝{x |x ≥3或x ≤－1}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}＝[－2，－1].故选A . 设f (x )＝x 2＋bx ＋1且f (－1)＝f (3)，则f (x )>0的解集为( )A.{x |x ∈R }B.{x |x ≠1，x ∈R }C.{x |x ≥1}D.{x |x ≤1}解：f (－1)＝1－b ＋1＝2－b ，f (3)＝9＋3b ＋1＝10＋3b ，由f (－1)＝f (3)，得2－b ＝10＋3b ， 解出b ＝－2，代入原函数，f (x )>0即x 2－2x ＋1>0，x 的取值范围是x ≠1.故选B.已知－12<1x <2，则x 的取值范围是( )A.－2<x <0或0<x <12B.－12<x <2C.x <－12或x >2D.x <－2或x >12解：当x >0时，x >12；当x <0时，x <－2.所以x 的取值范围是x <－2或x >12，故选D.不等式1－2xx ＋1＞0的解集是 .解：不等式1－2x x ＋1>0等价于(1－2x )(x ＋1)＞0，也就是⎝⎛⎭⎫x －12(x ＋1)＜0，所以－1＜x ＜12. 故填⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1＜x ＜12，x ∈R .若一元二次不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为________.解：显然k ≠0.若k ＞0，则只须(2x 2＋x )max ＜38k ，解得k ∈∅；若k ＜0，则只须38k ＜(2x 2＋x )min ，解得k ∈(－3，0).故k 的取值范围是(－3，0).故填(－3，0).类型一 一元一次不等式的解法已知关于x 的不等式(a ＋b )x ＋2a －3b ＜0的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－13，求关于x 的不等式(a －3b )x ＋b －2a ＞0的解集.解：由(a ＋b )x ＜3b －2a 的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－13，得a ＋b ＞0，且3b －2a a ＋b ＝－13， 从而a ＝2b ，则a ＋b ＝3b ＞0，即b ＞0，将a ＝2b 代入(a －3b )x ＋b －2a ＞0， 得－bx －3b ＞0，x ＜－3，故所求解集为(－∞，－3).点拨：一般地，一元一次不等式都可以化为ax ＞b (a ≠0)的形式.挖掘隐含条件a ＋b ＞0且3b －2a a ＋b ＝－13是解本题的关键.解关于x 的不等式：(m 2－4)x ＜m ＋2.解：(1)当m 2－4＝0即m ＝－2或m ＝2时，①当m ＝－2时，原不等式的解集为∅，不符合 ②当m ＝2时，原不等式的解集为R ,符合(2)当m 2－4＞0即m ＜－2或m ＞2时，x ＜1m －2.(3)当m 2－4＜0即－2＜m ＜2时，x ＞1m －2.类型二 一元二次不等式的解法解下列不等式：(1)x 2－7x ＋12＞0; (2)－x 2－2x ＋3≥0；(3)x 2－2x ＋1＜0; (4)x 2－2x ＋2＞0.解：(1){x |x ＜3或x ＞4}.(2){x |－3≤x ≤1}.(3)∅.(4)因为Δ＜0，可得原不等式的解集为R .已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＜0，x －1，x ≥0， 则不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1的解集是( )A.{x |－1≤x ≤2－1}B.{x |x ≤1}C.{x |x ≤2－1}D.{x |－2－1≤x ≤2－1} 解：由题意得不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1等价于①⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＜0，x ＋（x ＋1）[－（x ＋1）＋1]≤1 或②⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x ＋（x ＋1）[（x ＋1）－1]≤1，解不等式组①得x ＜－1；解不等式组②得－1≤x ≤2－1.故原不等式的解集是{x |x ≤2－1}.故选C.类型三 二次不等式、二次函数及二次方程的关系已知关于x 的不等式x 2－bx ＋c ≤0的解集是{x |－5≤x ≤1}，求实数b ，c 的值.解：∵不等式x 2－bx ＋c ≤0的解集是{x |－5≤x ≤1}，∴x 1＝－5，x 2＝1是x 2－bx ＋c ＝0的两个实数根，∴由韦达定理知⎩⎪⎨⎪⎧－5＋1＝b ，－5×1＝c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝－5. 已知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，求不等式cx 2－bx ＋a ＞0的解集.解：∵不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，∴a ＜0，且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧－ba ＝2＋3，c a ＝2×3，a ＜0.即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－5a ，c ＝6a ，a ＜0.代入不等式cx 2－bx ＋a ＞0，得6ax 2＋5ax ＋a >0(a ＜0).即6x 2＋5x ＋1＜0，∴所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12＜x ＜－13.类型四 含有参数的一元二次不等式解关于x 的不等式：mx 2－(m ＋1)x ＋1＜0.解：(1)m ＝0时，不等式为－(x －1)＜0，得x －1＞0，不等式的解集为{x |x ＞1}； (2)当m ≠0时，不等式为m ⎝⎛⎭⎫x －1m (x －1)＜0.①当m ＜0，不等式为⎝⎛⎭⎫x －1m (x －1)＞0， ∵1m ＜1，∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1m 或x ＞1. ②当m ＞0，不等式为⎝⎛⎭⎫x －1m (x －1)＜0. (Ⅰ)若1m ＜1即m ＞1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1m ＜x ＜1；(Ⅱ)若1m ＞1即0＜m ＜1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1＜x ＜1m ；(Ⅲ)若1m＝1即m ＝1时，不等式的解集为∅.点拨：当x 2的系数是参数时，首先对它是否为零进行讨论，确定其是一次不等式还是二次不等式，即对m ≠0与m ＝0进行讨论，这是第一层次；第二层次：x 2的系数正负(不等号方向)的不确定性，对m ＜0与m ＞0进行讨论；第三层次：1m与1大小的不确定性，对m ＜1、m ＞1与m ＝1进行讨论.解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R ).解：不等式整理为ax 2＋(a －2)x －2≥0，当a ＝0时，解集为(－∞，－1].当a ≠0时，ax 2＋(a －2)x －2＝0的两根为－1，2a ，所以当a ＞0时，解集为(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫2a ，＋∞； 当－2＜a ＜0时，解集为⎣⎡⎦⎤2a ，－1；当a ＝－2时，解集为{x |x ＝－1}；当a ＜－2时，解集为⎣⎡⎦⎤－1，2a . 类型五 分式不等式的解法(1)解不等式x －12x ＋1≤1.解：x －12x ＋1≤1 ⇔ x －12x ＋1－1≤0 ⇔ －x －22x ＋1≤0 ⇔ x ＋22x ＋1≥0.x ＋22x ＋1≥0 ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋2）（2x ＋1）≥0，2x ＋1≠0.得{xx ＞－12或x ≤－2}.※(2)不等式x －2x 2＋3x ＋2＞0的解集是 .解：x －2x 2＋3x ＋2＞0⇔x －2（x ＋2）（x ＋1）＞0⇔(x －2)(x ＋2)(x ＋1)＞0，数轴标根得{x |－2＜x ＜－1或x ＞2}，故填{x|－2＜x ＜－1或x ＞2}.点拨：分式不等式可以先转化为简单的高次不等式，再利用数轴标根法写出不等式的解集，如果该不等式有等号，则要注意分式的分母不能为零.※用“数轴标根法”解不等式的步骤：(1)移项：使得右端为0(注意：一定要保证x 的最高次幂的项的系数为正数).(2)求根：就是求出不等式所对应的方程的所有根..(3)标根：在数轴上按从左到右(由小到大)依次标出各根(不需标出准确位置，只需标出相对位置即可).(4)画穿根线：从数轴“最右根”的右上方向左下方画线，穿过此根，再往左上方穿过“次右根”，一上一下依次穿过各根,“奇穿偶不穿”来记忆.(5)写出不等式的解集：若不等号为“＞”，则取数轴上方穿根线以内的范围；若不等号为“＜”，则取数轴下方穿根线以内的范围；若不等式中含有“＝”号，写解集时要考虑分母不能为零.(1)若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －2x ≤0，则A ∩B ＝( )A.{x |－1≤x ＜0}B.{x |0＜x ≤1}C.{x |0≤x ≤2}D.{x |0≤x ≤1}解：易知A ＝{x |－1≤x ≤1}，B 集合就是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x （x －2）≤0，x ≠0 的解集，求出B ＝{}x |0＜x ≤2，所以A ∩B＝{x |0＜x ≤1}.故选B.(2)不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A.⎝⎛⎦⎤－12，1B.⎣⎡⎦⎤－12，1C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪[1，＋∞)D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞) 解：x －12x ＋1≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（2x ＋1）≤0，2x ＋1≠0得－12<x ≤1.故选A.类型六 和一元二次不等式有关的恒成立问题(1)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12成立，则a 的最小值为( ) A.0 B.－2 C.－52D.－3解：不等式可化为ax ≥－x 2－1，由于x ∈⎝⎛⎦⎤0，12，∴a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋1x .∵f (x )＝x ＋1x 在⎝⎛⎦⎤0，12上是减函数， ∴⎝⎛⎭⎫－x －1x max＝－52.∴a ≥－52.(2)已知对于任意的a ∈[－1，1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于0，则x 的取值范围是( ) A.1＜x ＜3B.x ＜1或x ＞3C.1＜x ＜2D.x ＜1或x ＞2解：记g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，a ∈[－1，1]，只须⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＞0，g （－1）＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2＞0，x 2－5x ＋6＞0⇒x ＜1或x ＞3，故选B.点拨：对于参数变化的情形，大多利用参变量转换法，即参数转换为变量；变量转换为参数，把关于x 的二次不等式转换为关于a 的一次不等式，化繁为简，然后再利用一次函数的单调性，求出x 的取值范围.对于满足|a |≤2的所有实数a ，求使不等式x 2＋ax ＋1＞2x ＋a 成立的x 的取值范围.解：原不等式转化为(x －1)a ＋x 2－2x ＋1＞0，设f (a )＝(x －1)a ＋x 2－2x ＋1，则f (a )在[－2，2]上恒大于0，故有：⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）＞0，f （2）＞0 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＞0，x 2－1＞0 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞3或x ＜1，x ＞1或x ＜－1.∴x ＜－1或x ＞3. 类型七 二次方程根的讨论若方程2ax 2－x －1＝0在(0，1)内有且仅有一解，则a 的取值范围是( ) A.a <－1B.a >1C.－1<a <1D.0≤a <1解法一：令f(x)＝2ax2－x－1，则f(0)·f(1)＜0，即－1×(2a－2)＜0，解得a＞1.解法二：当a＝0时，x＝－1，不合题意，故排除C，D；当a＝－2时，方程可化为4x2＋x＋1＝0，而Δ＝1－16＜0，无实根，故a＝－2不适合，排除A.故选B.。
(完整版)一元二次不等式和一元二次不等式组(经典难题)
(完整版)一元二次不等式和一元二次不等式组(经典难题)一元二次不等式的定义一元二次不等式是指含有一个未知数的、具有二次项的不等式。
一般形式可表示为$ax^2+bx+c \gt 0$或$ax^2+bx+c \lt 0$，其中$a$，$b$，$c$为常数，且$a \neq 0$。
解一元二次不等式时，首先求出二次方程$ax^2+bx+c=0$的解，然后根据解的位置和曲线的凹凸性来确定不等式的解集。
一元二次不等式的解法解一元二次不等式的一种方法是利用一元二次函数的图像特征，根据函数图像的凹凸性和与$x$轴的交点来确定不等式的解集。
具体步骤如下：1. 将一元二次不等式的不等关系符号（大于或小于）改为等于，并将二次项移到一边，得到二次方程；2. 求出二次方程的解；3. 根据解的位置和函数图像的凹凸性来确定不等式的解集。
一元二次不等式组的定义一元二次不等式组是指同时含有两个或多个一元二次不等式的集合。
一般形式可表示为：$$\begin{cases}ax^2+bx+c \gt 0 \\dx^2+ex+f \lt 0 \\\cdots \\gx^2+hx+i \geq 0 \\\end{cases}$$其中$a$，$b$，$c$，$d$，$e$，$f$，$g$，$h$，$i$为常数。
一元二次不等式组的解法解一元二次不等式组的方法与解一元二次不等式类似，只是需要将每个不等式的解集求出，并将所有不等式的解集求交集。
具体步骤如下：1. 将一元二次不等式组中的每个不等关系符号（大于或小于）改为等于，得到一元二次方程组；2. 求出每个一元二次方程的解集；3. 将所有解集求交集，得到一元二次不等式组的解集。
经典难题接下来，让我们来看几个经典的一元二次不等式和一元二次不等式组的难题。
难题1求解不等式 $x^2+4x-5 \lt 0$解答：1. 将不等号改为等号：$x^2+4x-5=0$2. 求解该二次方程得到$x_1=-5$和$x_2= 1$3. 根据函数图像的凹凸性可得出不等式的解集为$x \in (-\infty,-5) \cup (1,+\infty)$难题2求解不等式组：$$\begin{cases}x^2-4x+3 \gt 0 \\x^2+2x-8 \lt 0 \\\end{cases}$$解答：1. 将不等号改为等号得到一元二次方程组：$$\begin{cases}x^2-4x+3=0 \\x^2+2x-8=0 \\\end{cases}$$2. 求解每个一元二次方程得到$x_1=1$，$x_2=3$和$x_3=-4$，$x_4=2$3. 取每个不等式的解集的交集，得到不等式组的解集为$x \in (1, 2) \cup (3, +\infty)$以上即为一元二次不等式和一元二次不等式组的完整介绍和解法，希望能对您有所帮助。
高中数学必修5(人教A版)第三章不等式3.2知识点总结含同步练习及答案
（2）因为
为整式不等式
解得 x <
3 或 x > 4，所以原不等式的解集为 2 3 ∣ {x ∣ x < 或x > 4} . ∣ 2
4.高次不等式的解法 描述： 高次不等式的解法 解一元高次不等式一般利用数轴穿根法（或称根轴法）求解，其步骤是： （1）将 f (x) 最高次项系数化为正数； （2）将 f (x) 分解为若干个一次因式的乘积或二次不可分因式的乘积； （3）求出各因式的零点，并在数轴上依次标出； （4）从最右端上方起，自右至左依次通过各根画曲线，遇到奇次重根要一次穿过，遇到偶次重根 要穿而不过； （5）记数轴上方为正，下方为负，根据曲线显现出的 f (x) 的值的符号变化规律，写出不等式 的解集． 例题： 解不等式 (x + 2)(x + 1)2 (x − 1)3 (x − 2) < 0 ． 解：不等式中各因式的实数根为 −2，−1，1 ，2 ． 利用根轴法，如图所示．
2 )(x − a) ⩽ 0 ． a 2 2 ① 当 < a ，即 a > √2 时，原不等式的解集为 {x| ⩽ x ⩽ a}． a a 2 2 ② 当 > a ，即 0 < a < √2 时，原不等式的解集为 {x|a ⩽ x ⩽ }． a a 2 ③ 当 = a ，即 a = √2 时，原不等式的解集为 {x|x = √2 } ． a 2 （3）当 a < 0 时，原不等式化为 (x − )(x − a) ⩾ 0 ． a 2 2 ① 当 < a ，即 −√2 < a < 0 时，原不等式的解集为 {x|x ⩽ 或x ⩾ a} ． a a 2 2 ② 当 > a ，即 a < −√2 时，原不等式的解集为 {x|x ⩽ a或x ⩾ }． a a 2 ③ 当 = a ，即 a = −√2 时，原不等式的解集为 R． a
高中数学 第三章 不等式 3.3 一元二次不等式及其解法练习(含解析)新人教B版必修5-新人教B版高
3.3 一元二次不等式及其解法课时过关·能力提升1下列不等式中,解集是R的是()A.x2+2x+1>0B.√x2>0C.(13)x+1>0D.1x -2<1xx2+2x+1=(x+1)2≥0,所以选项A不正确;因为√x2=|x|≥0,所以选项B不正确;选项D中x≠0;因为(13)x>0,所以(13)x+1>1>0,x∈R,故选C.2已知2a+1<0,则关于x的不等式x2-4ax-5a2>0的解集是()A.{x|x>5a或x<-a}B.{x|x<5a或x>-a}C.{x|-a<x<5a}D.{x|5a<x<-a}2-4ax-5a2>0⇒(x-5a)(x+a)>0.∵a<-12,∴5a<-a.∴x>-a或x<5a.故选B.3已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-13<x<2},则不等式cx2+bx+a<0的解集为()A.{x|-3<x<12} B.{x|x<-3或x>12}C.{x|-2<x<13} D.{x|x<-2或x>13}:ax2+bx+c>0的解集为{x|-13<x<2}⇔3x2-5x-2<0⇔-3x2+5x+2>0.设a=-3k,b=5k,c=2k(k>0),则cx2+bx+a<0⇔2kx2+5kx-3k<0⇔2x2+5x-3<0⇔-3<x<12,故选A.方法二:由题意知a<0,且-x x =(-13)+2,x x =(-13)×2,即x x =-53,x x =-23,而cx 2+bx+a<0⇔x x x 2+x x x+1>0⇔-23x 2-53x+1>0⇔2x 2+5x-3<0⇔-3<x<12,故选A .4设f (x )={2e x -1,x <2,log 3(x 2-1),x ≥2,则不等式f (x )>2的解集为()A.(1,2)∪(3,+∞)B.(√10,+∞)C.(1,2)∪(√10,+∞)D.(1,2)x<2时,令2e x-1>2,解得1<x<2.当x ≥2时,令log 3(x 2-1)>2,解得x ∈(√10,+∞).故x ∈(1,2)∪(√10,+∞).★5关于x 的方程x 2+(a 2-1)x+a-2=0的一根比1小,且另一根比1大的充要条件是()A.-1<a<1 B .a<-1或a>1 C.-2<a<1D.a<-2或a>1f (x )=x 2+(a 2-1)x+a-2,则它是开口向上的二次函数,方程的根即是函数与x 轴的交点的横坐标,因此只需f (1)<0,即1+a 2-1+a-2<0,故-2<a<1.6已知函数f (x )=√xx 2-6xx +(x +8)的定义域为R ,则实数k 的取值X 围为.2-6kx+(k+8)≥0恒成立,当k=0时,满足. 当k ≠0时,{x >0,x =(-6x )2-4x (x +8)≤0⇒0<k ≤1. ∴0≤k ≤1.7已知三个不等式①x 2-4x+3<0,②x 2-6x+8<0,③2x 2-9x+m<0,要使同时满足①和②的所有x 都满足③,则实数m 的取值X 围是.:由{x 2-4x +3<0,x 2-6x +8<0,解得2<x<3.③对于2<x<3恒成立,即m<-2x 2+9x 对x ∈(2,3)恒成立,所以m 只需满足小于函数-2x 2+9x 在区间(2,3)上的最小值,即当x=3时,最小值为9,但取不到最小值.所以m ≤9.方法二:{x 2-4x +3<0x 2-6x +8<0⇒{1<x <32<x <4⇒2<x<3.设f (x )=2x 2-9x+m.当x ∈(2,3)时,f (x )<0恒成立. 由二次函数的图象与性质,得{x (2)≤0,x (3)≤0,即{8-18+x ≤0,18-27+x ≤0,解得m ≤9.-∞,9]8已知f (x )是定义在R 上的奇函数,当x>0时,f (x )=x 2-4x ,则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为.f (x )为奇函数,且当x>0时,f (x )=x 2-4x ,所以f (x )={x 2-4x ,x >0,0,x =0,-x 2-4x ,x <0,所以原不等式等价于{x >0,x 2-4x >x 或{x <0,-x 2-4x >x .由此可解得x>5或-5<x<0. 用区间表示为(-5,0)∪(5,+∞).-5,0)∪(5,+∞) ★9定义在(-3,3)内的奇函数f (x ),已知f (x )在其定义域内单调递减,且f (2-a )+f (1-a-a 2)>0,则实数a 的取值X 围是.f (x )为奇函数,∴f (2-a )>-f (1-a-a 2)=f (a 2+a-1). 又f (x )在(-3,3)上单调递减,∴{-3<2-x <3,-3<1-x -x 2<3,2-x <x 2+x -1,即{-1<x <5,-1-√172<x <-1+√172,x >1或x <-3.解得1<a<√17-12, 故实数a 的取值X 围为1<a<√17-12.1,√17-12) 10解关于x 的不等式ax 2-(a+1)x+1<0.当a=0时,原不等式化为-x+1<0,所以不等式的解集是{x|x>1}.(2)当a ≠0时,原不等式可化为a (x-1)(x -1x )<0. 若a<0,则(x-1)(x -1x )>0. 因为1x <1,所以原不等式的解集为{x |x <1x 或x >1};若a>0,原不等式化为(x-1)(x -1x )<0.①当1x <1,即a>1时,不等式的解集为{x |1x<x <1}.②当1x =1,即a=1时,不等式即为(x-1)2<0,显然不等式的解集为⌀. ③当1x>1,即0<a<1时,不等式的解集为{x |1<x <1x}.综上,原不等式的解集如下:当a<0时,解集为{x |x <1x 或x >1}; 当a=0时,解集为{x|x>1};当0<a<1时,解集为{x|1<x<1x};当a=1时,解集为⌀;当a>1时,解集为{x|1x<x<1}.11设0<α<β,已知不等式ax2+bx+c>0的解集为(α,β),求不等式(a+c-b)x2+(b-2a)x+a>0的解集.,得a<0,α+β=-xx >0,αβ=xx>0.∴a<0,c<0,b>0,从而a+c-b<0.设(a+c-b)x2+(b-2a)x+a=0的两根为α',β',则有α'+β'=2x-xx+x-x =2x+x(x+x)x+xxx+x(x+x)=(x+1)+(x+1) (x+1)(x+1)=1x+1+1x+1,α'β'=xx+x-x =xx+xxx+x(x+x)=1x+1·1x+1.∴(a+c-b)x2+(b-2a)x+a=0的两根为1x+1,1 x+1.∵0<α<β,∴1x+1>1x+1>0.∴不等式(a+c-b)x2+(b-2a)x+a>0的解集为(1x+1,1x+1).★12若关于x的不等式4x+xx2-2x+3<2对任意实数x恒成立,某某数m的取值X围.:因为x2-2x+3=(x-1)2+2>0,所以不等式4x+xx2-2x+3<2同解于4x+m<2x2-4x+6,即2x2-8x+6-m>0.要使原不等式对任意实数x恒成立,只要2x2-8x+6-m>0对任意实数x恒成立.所以需要Δ<0,即64-8(6-m)<0.整理并解得m<-2.所以实数m的取值X围是(-∞,-2).方法二:由方法一,知要使4x+xx2-2x+3<2对任意实数x恒成立,只要2x2-8x+6-m>0恒成立即可.变形为m<2x2-8x+6.设h(x)=2x2-8x+6,要使m<2x2-8x+6恒成立,只要m<h(x)min.而h(x)=2x2-8x+6=2(x-2)2-2≥-2, 所以h(x)min=-2.所以m<-2.所以实数m的取值X围是(-∞,-2).。
一元二次不等式解法专题知识梳理及典型练习题(含答案)
一元二次不等式解法专题一.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ＝b 2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ＞0)的根有两相异实根x 1，x 2(x 1＜x 2) 有两相等实根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c ＞0 (a ＞0)的解集{x |x ＞x 2或x ＜x 1} ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c ＜0 (a ＞0)的解集 {x |x 1＜x ＜x 2}Φ Φ二.穿针引线法例 1 解下列不等式：（1）x x ≥-2414 （2）0822≥+--x x （3）0)3)(2(>-+x x例2 若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝_____．例3(穿针引线法） 解不等式：(x-1)2(x+1)(x-2)(x+4)<0例4 不等式xx ->+111的解集为（ ） A ．{x|x ＞0}B ．{x|x≥1}C．{x|x ＞1} D ．{x|x ＞1或x ＝0}解不等式化为＋－＞，通分得＞，即＞，1x 000111122----xx x x x∵x 2＞0，∴x－1＞0，即x ＞1．选C ． 例5 与不等式023≥--xx 同解得不等式是（ ） A ．(x －3)(2－x)≥0B．0＜x －2≤1C ．≥230--xx D ．(x －3)(2－x)≤0 练习1：1．不等式x 2－3x ＋2＜0的解集为( )． A ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) B ．(－2，－1) C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D ．(1,2)答案 D2．(2011·XX)不等式2x 2－x －1＞0的解集是( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞) 故原不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞)． 答案 D3．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )．A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠－13B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－13C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－13≤x ≤13D ．R答案 B4．若不等式ax 2＋bx －2＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－2＜x ＜14，则ab ＝( )．A ．－28B ．－26C ．28D ．26 答案 C5.函数f (x )＝2x 2＋x －3＋log 3(3＋2x －x 2)的定义域为________．解析 依题意知⎩⎨⎧2x 2＋x －3≥0，3＋2x －x 2＞0，解得⎩⎨⎧x ≤－32或x ≥1，－1＜x ＜3.∴1≤x ＜3.故函数f (x )的定义域为[1,3)．答案 [1,3)6.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x ＜0，解不等式f (x )＞3.[审题视点] 对x 分x ≥0、x ＜0进行讨论从而把f (x )＞3变成两个不等式组． 解 由题意知⎩⎨⎧x ≥0，x 2＋2x ＞3或⎩⎨⎧x ＜0，－x 2＋2x ＞3，解得：x ＞1.故原不等式的解集为{x |x ＞1}．例不等式＜的解为＜或＞，则的值为7 1{x|x 1x 2}a axx -1A aB aC aD a ．＜．＞．＝．＝－12121212分析可以先将不等式整理为＜，转化为 0()a x x -+-111[(a －1)x ＋1](x －1)＜0，根据其解集为{x|x ＜1或x ＞2}可知－＜，即＜，且－＝，∴＝．a 10a 12a 1112a - 选C ．例解不等式≥．8 237232x x x -+-解 先将原不等式转化为3723202x x x -+--≥即≥，所以≤．由于＋＋＝＋＋＞，---+-+++-2123212314782222x x x x x x x x 002x x 12(x )022∴不等式进一步转化为同解不等式x 2＋2x －3＜0，即(x ＋3)(x －1)＜0，解之得－3＜x ＜1．解集为{x|－3＜x ＜1｝． 说明：解不等式就是逐步转化，将陌生问题化归为熟悉问题． 练习21.(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0．2.解下列不等式(1);22123+-≤-x x 127314)2(22<+-+-x x x x3.解下列不等式1x 5x 2)2(;3x 1x 1+>+-≤-）（4.解下列不等式()()12log 6log 1log )2(;08254)1(21212121≥-++≥+⋅-+x x x x5解不等式1)123(log 2122<-+-x x x ．。
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一元二次不等式及其解法【知识梳理】1．一元二次不等式 我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax 2＋bx ＋c ＞0(≥0)或ax 2＋bx ＋c ＜0(≤0)(其中a ≠0)的不等式叫做一元二次不等式．2．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x 的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集.3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表 判别式Δ＝b 2－4acΔ>0 Δ＝0 Δ<0 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根 有两相异实根x 1，x 2，(x 1＜x 2) 有两相等实根x 1＝x 2＝－b 2a 没有实数根 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集{ x |x <x 1或x >x 2} ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－b 2a R ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集 {}x|x 1<x<x 2 ∅ ∅题型一、一元二次不等式的解法【例1】 解下列不等式：(1)2x 2＋7x ＋3＞0；(2)x 2－4x －5≤0；(3)－4x 2＋18x －814≥0； (4)－12x 2＋3x －5＞0； (5)－2x 2＋3x －2＜0.[解] (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x 1＝－3，x 2＝－12.又二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为{x |x ＞－12，或x ＜－3}．(2)原不等式可化为(x －5)(x ＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x |－1≤x ≤5}．(3)原不等式可化为⎝⎛⎭⎫2x －922≤0，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝94. (4)原不等式可化为x 2－6x ＋10＜0，Δ＝(－6)2－40＝－4＜0，所以方程x 2－6x ＋10＝0无实根，又二次函数y ＝x 2－6x ＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅.(5)原不等式可化为2x 2－3x ＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根，又二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R .【类题通法】解一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；(2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；(4)根据函数图象与x 轴的相关位置写出不等式的解集．【对点训练】1．解下列不等式：(1)x 2－5x －6>0；(2)－x 2＋7x >6.(3)(2－x )(x ＋3)<0；(4)4(2x 2－2x ＋1)>x (4－x )．解：(1)方程x 2－5x －6＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝6.结合二次函数y ＝x 2－5x －6的图象知，原不等式的解集为{x |x <－1或x >6}．(2)原不等式可化为x 2－7x ＋6<0.解方程x 2－7x ＋6＝0得，x 1＝1，x 2＝6.结合二次函数y ＝x 2－7x ＋6的图象知，原不等式的解集为{x |1<x <6}．(3)原不等式可化为(x －2)(x ＋3)>0.方程(x －2)(x ＋3)＝0两根为2和－3.结合二次函数y ＝(x －2)(x ＋3)的图象知，原不等式的解集为{x |x <－3或x >2}．(4)由原不等式得8x 2－8x ＋4>4x －x 2.∴原不等式等价于9x 2－12x ＋4>0.解方程9x 2－12x ＋4＝0，得x 1＝x 2＝23. 结合二次函数y ＝9x 2－12x ＋4的图象知，原不等式的解集为{x |x ≠23}. 题型二、解含参数的一元二次不等式【例2】 解关于x 的不等式x 2＋(1－a )x －a ＜0.[解] 方程x 2＋(1－a )x －a ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝a ，函数y ＝x 2＋(1－a )x －a 的图象开口向上，则当a ＜－1时，原不等式解集为{x |a ＜x ＜－1}；当a ＝－1时，原不等式解集为∅；当a ＞－1时，原不等式解集为{x |－1＜x ＜a }．【类题通法】解含参数的一元二次不等式时：(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论；(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．【对点训练】2．解关于x 的不等式：ax 2－(a －1)x －1＜0(a ∈R )．解：原不等式可化为：(ax ＋1)(x －1)＜0，当a ＝0时，x ＜1，当a ＞0时⎝⎛⎭⎫x ＋1a (x －1)＜0 ∴－1a＜x ＜1.当a ＝－1时，x ≠1，当－1＜a ＜0时，⎝⎛⎭⎫x ＋1a (x －1)＞0， ∴x ＞－1a或x ＜1. 当a ＜－1时，－1a＜1， ∴x ＞1或x ＜－1a， 综上原不等式的解集是：当a ＝0时，{x |x ＜1}；当a ＞0时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1a ＜x ＜1； 当a ＝－1时，{x |x ≠1}；当－1＜a ＜0时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1或x ＞－1a . 当a ＜－1时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－1a 或x ＞1， 题型三、一元二次不等式与相应函数、方程的关系【例3】 已知关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为{x |1＜x ＜2}，求关于x 的不等式bx 2＋ax ＋1＞0的解集．[解] ∵x 2＋ax ＋b ＜0的解集为{x |1＜x ＜2}，∴1,2是x 2＋ax ＋b ＝0的两根．由韦达定理有⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＝1＋2，b ＝1×2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝2，代入所求不等式，得2x 2－3x ＋1＞0.由2x 2－3x ＋1＞0⇔(2x －1)(x －1)＞0⇔x ＜12或x ＞1. ∴bx 2＋ax ＋1＞0的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，12∪(1，＋∞)． 【类题通法】1．一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，也是函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交点的横坐标．2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象在x 轴上方的部分，是由不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的x 的值构成的；图象在x 轴下方的部分，是由不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的x 的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．【对点训练】3．已知方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2. (1)求a 、b 的值；(2)解不等式ax 2＋bx －1＞0.解：(1)∵方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2， 由根与系数的关系，得⎩⎨⎧ －12＋2＝－b a ，－12×2＝2a .解得a ＝－2，b ＝3. (2)由(1)知，ax 2＋bx －1＞0可变为－2x 2＋3x －1＞0，即2x 2－3x ＋1＜0，解得12＜x ＜1. ∴不等式ax 2＋bx －1＞0的解集为{x |12＜x ＜1}． 【练习反馈】1．不等式x (2－x )＞0的解集为( )A ．{x |x ＞0}B ．{x |x ＜2}C ．{x |x ＞2或x ＜0}D ．{x |0＜x ＜2}解析：选D 原不等式化为x (x －2)＜0，故0＜x ＜2.2．已知集合M ＝{x |x 2－3x －28≤0}，N ＝{x |x 2－x －6＞0}，则M ∩N 为( )A ．{x |－4≤x ＜－2或3＜x ≤7}B ．{x |－4＜x ≤－2或3≤x ＜7}C ．{x |x ≤－2或x ＞3}D ．{x |x ＜－2或x ≥3}解析：选A ∵M ＝{x |x 2－3x －28≤0}＝{x |－4≤x ≤7}，N ＝{x |x 2－x －6＞0}＝{x |x ＜－2或x ＞3}，∴M ∩N ＝{x |－4≤x ＜－2或3＜x ≤7}．3．二次函数y ＝x 2－4x ＋3在y ＜0时x 的取值范围是________．解析：由y ＜0得x 2－4x ＋3＜0，∴1＜x ＜3答案：(1,3)4．若不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12＜x ＜2，则实数a ＝________，实数b ＝________. 解析：由题意可知－12，2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个根． 由根与系数的关系得⎩⎨⎧ －12＋2＝－b a ，－12×2＝2a ，解得a ＝－2，b ＝3.答案：－2 35．解下列不等式：(1)x (7－x )≥12；(2)x 2＞2(x －1)． 解：(1)原不等式可化为x 2－7x ＋12≤0，因为方程x 2－7x ＋12＝0的两根为x 1＝3，x 2＝4， 所以原不等式的解集为{x |3≤x ≤4}．(2)原不等式可以化为x 2－2x ＋2＞0，因为判别式Δ＝4－8＝－4＜0，方程x2－2x＋2＝0无实根，而抛物线y＝x2－2x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.。