东南大学_信息学院_电磁场与波_例题整理(一)

d1σ 2 + d 2σ 1
ϕ = ax + b Ι ϕ= cx + d ΙΙ
x = 0 ，ϕ Ι = ϕ1 = x d1 + d 2 ，ϕ ΙΙ = ϕ 2 ∂ϕ ΙΙ ∂ϕ Ι − ε1 = ρs x = d1，ϕ Ι = ϕ ΙΙ & ε 2 ∂x ∂x
a
ρ sd 2 (ϕ 2 − ϕ1 ) − ε 2d1 + ε1d 2 ε 2d1 + ε1d 2
4πε 0 r1 1 α 21 = 4πε 0 r2
α11 =
1
4πε 0 r2 1 α 22 = 4πε 0 r2
5
α12 =
1
4πε 0 r1r2 β11 = r2 − r1
4πε 0 r1r2 β12 = β 21 = − r2 − r1
4πε 0 r2 2 β 22 = r2 − r1
4πε r r C12 = C21 = − β12 = 0 1 2 r2 − r1 C22 = β 21 + β 22 = 4πε 0 r2 = C C = 12 4πε 0 r1r2 r2 − r1
ε1 d1 ρ s ε d + ε d (ϕ 2 − ϕ1 ) + ε d + ε d x + 2 1 1 2 2 1 1 2
d1ε 2ϕ 2 + d 2ε1ϕ1 − d1ε1 (ϕ 2 − ϕ1 ) − d1ρ s ( d1 + d 2 ) ( d1 < x < d1 + d 2 ) ε 2d1 + ε1d 2
σ1
σ2
ϕ1 −= ϕ2
∫
d1
0
E1dl &
E= J 2 dl
d1σ 2 + d 2σ 1
σ 1σ 2
11
J E1 E2 D1 D2
σ 1σ 2 (ϕ1 − ϕ 2 ) ex d1σ 2 + d 2σ 1 σ2 (ϕ1 − ϕ 2 ) ex ( 0 ≤ x ≤ d1 ) d1σ 2 + d 2σ 1 σ1 (ϕ1 − ϕ 2 ) e x ( d1 ≤ x ≤ d1 + d 2 ) d1σ 2 + d 2σ 1
R2
2πσ 1σ 2U σ 2 ln ( R2 R1 ) + σ 1 ln ( R3 R2 ) σ 1σ 2U J= er σ 2 ln ( R2 R1 ) + σ 1 ln ( R3 R2 ) r
R2 I R3 ln + ln 2πσ 1 R1 2πσ 2 R2
I
8
E1 E2 D1 D2
ε1σ 2U − σ 2 ln ( R2 R1 ) + σ 1 ln ( R3 R2 ) r ε 2σ 1 − ε1σ 2 ) U ( = σ 2 ln ( R2 R1 ) + σ 1 ln ( R3 R2 ) r
= ρs
10
两平行的很大的导体平板间有两层导电媒质，媒质分界面平 行于导电平板。两媒质的介电常数与电导率分别为 ε1 、σ 1 和 ε 2 、σ 2 ，两平板的电位分别为ϕ1 、ϕ 2 ，求两种媒质中的 ϕ 、 J 、 E 、D 以及媒质分界面上的自由电荷面密度。 设极板间的电流密度为 J J J = E E2 ( 0 ≤ x ≤ d1 ) = ( d1 ≤ x ≤ d1 + d 2 ) 1
14
一平板电容器极板面积为 S ，两极板上电位分别为ϕ ′ 与ϕ ′′。两 极板之间用两种介质填充，介电常数分别为 ε1 与 ε 2 ，介质分界 = h1 + h2 。用电位 面平行于极板，厚度分别为 h1 与 h2 ，且满足h 方程求解两介质中的电位与电场强度，并求电容器的电容。
ϕ1 = ϕ1 ( y ) ϕ2 = ϕ2 ( y )
3
ϕ ′ − ϕ ′′ q ρ D ε1E ε1ε 2 S = = = = sS 1S 1S ε 2h1 + ε1h2
q ε1ε 2 = C = S ϕ ′ − ϕ ′′ ε 2h1 + ε1h2
4
两个同心金属球壳，其半径分别为 r1 及 r2 ( r2 > r1 )，求此系统 的电位系数、部分电容和等效电容。 = ϕ1 α11q1 + α12 q2 = ϕ 2 α 21q1 + α 22 q2 q1 q2 q1 q2 = ϕ1 + = ϕ2 + 4πε 0 r1 4πε 0 r2 4πε 0 r2 4πε 0 r2
7
I = er ( R1 ≤ r ≤ R2 ) σ 1 2π rσ 1 J I E2 = = er ( R2 ≤ r ≤ R3 ) σ 2 2π rσ 2
E1 =
J
U=
I=
∫
R3
R1
E ⋅ dr=
∫
R2
R1
R3 E1 ⋅ dr + ∫ E2 ⋅ dr=
ϕ2
ϕ ′′ − ϕ ′ ε1 ( y − h ) + ϕ ′′ ( h1 < y < h ) ε 2h1 + ε1h2
ϕ ′ − ϕ ′′ ε 2e y ( 0 < y < h1 ) ε 2h1 + ε1h2
E1 = −∇ϕ1 = E2 = −∇ϕ 2 =
ϕ ′ − ϕ ′′ ε1e y ( h1 < y < h2 ) ε 2h1 + ε1h2
2 ϕ1 d 2 ∇ ϕ1= = 0 2 dy 2 d ϕ2 2 ∇ ϕ 2= = 0 2 dy
1
ϕ = ay + b 1 ϕ= cy + d 2
y = 0 ，ϕ1 = ϕ ′ y = h ，ϕ 2 = ϕ ′′ ∂ϕ1 ∂ϕ 2 ε = ε ϕ = ϕ y = h1， 1 1 2 2 & ∂y ∂y
ε2
b = ϕ1
13
c
d1ε 2ϕ 2 + d 2ε1ϕ1 − d1ε1 (ϕ 2 − ϕ1 ) − d1ρ s ( d1 + d 2 ) d= ε 2d1 + ε1d 2
d1 ρ s (ϕ 2 − ϕ1 ) + ε 2d1 + ε1d 2 ε 2d1 + ε1d 2
ε1
ϕΙ
ϕ ΙΙ
ε2 ρ sd 2 ε d + ε d (ϕ 2 − ϕ1 ) − ε d + ε d x + ϕ1 ( 0 < x < d1 ) 2 1 1 2 2 1 1 2
a
ε 2h1 + ε1h2
ε2
c ϕ ′) = (ϕ ′′ −
b = ϕ′
ε 2h1 + ε1h2 ϕ ′′ − ϕ ′ ε1h d = ϕ ′′ − ε 2h1 + ε1h2
ε1
(ϕ ′′ − ϕ ′)
2
ϕ1
ϕ ′′ − ϕ ′ ε 2 y + ϕ ′ ( 0 < y < h1 ) ε 2h1 + ε1h2
C11 = β11 + β12 = 0
6
同轴线内导体半径为 R1 ，外导体内半径为 R3 。在R1 ≤ r ≤ R2 和 R2 ≤ r ≤ R3 两区域分别填充两种导电媒质，介电常数和电导率 分别为 ε1 、σ 1 和 ε 2 、σ 2 。内导体电位为 U ，外导体电位为零。 (1)求两导体间媒质中的电流密度、电场强度与电位移；(2) 求同轴线单位长度漏电导；(3)求两种媒质分界面上的自由电 荷面密度，并验证此分界面上电位移的边界条件。 设内导体流向外导体的漏电流为 I I J= er 2π r
d1σ 2 + d 2σ 1 d1σ 2 + d 2σ 1
ε1σ 2
(ϕ1 − ϕ 2 ) ex ( 0 ≤ x ≤ d1 )
(ϕ1 − ϕ 2 ) ex ( d1 ≤ x ≤ d1 + d 2 )

ε 2σ 1
12
ρ s = D2 n − D1n =
∇2ϕ Ι = 0 ∇2ϕ ΙΙ = 0
(ε 2σ 1 − ε1σ 2 ) ϕ − ϕ ( 1 2)
I 2πσ 1σ 2 = = G U σ 2 ln ( R2 R1 ) + σ 1 ln ( R3 R2 )
9
U (σ 1ε 2 − σ 2ε1 ) ε 2 ε1 ρs = − Jn = σ 2 σ1 σ 2 ln ( R2 R1 ) + σ 1 ln ( R3 R2 ) R2 ε 2σ 1U D2 n − D1n = σ 2 ln ( R2 R1 ) + σ 1 ln ( R3 R2 ) r
σ 2U er ( R1 ≤ r ≤ R2 ) σ 2 ln ( R2 R1 ) + σ 1 ln ( R3 R2 ) r σ 1U er ( R2 ≤ r ≤ R3 ) σ 2 ln ( R2 R1 ) + σ 1 ln ( R3 R2 ) r ε1σ 2U er ( R1 ≤ r ≤ R2 ) σ 2 ln ( R2 R1 ) + σ 1 ln ( R3 R2 ) r ε 2σ 1U er ( R2 ≤ r ≤ R3 ) σ 2 ln ( R2 R1 ) + σ 1 ln ( R3 R2 ) r