矩阵的秩与矩阵的初等变换

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若Dˆ r 0, 因 Dˆ r 中不含第 i 行知 A 中有不含第i 行的 r 阶非零子式, R(B) r.
湘潭大学数学与计算科学学院王文强
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若Dˆ r 0, 则 Dr Dr 0,也有 R(B) r. 若A经一次初等行变换变为B，则 R( A) R(B).
)
ri
或
ri
;
ri ( )rj 或 ri rj .
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矩阵秩的求法
问题：经过初等变换矩阵的秩变吗？
定理5.2 对矩阵实施初等变换，矩阵的秩不变。
证不妨设矩阵A实施初等变换后得到
矩阵B，我们要证明RA RB.
先证明：若A经一次初等行变换变为B，则R( A) R(B). 设 R( A) r，且 A 的某个 r 阶子式 Dr 0.
R( A) R(B). 综上,若 A 经初等变换变为 B,则 R( A) R(B).
证毕
湘潭大学数学与计算科学学院王文强
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利用初等行变换求下列矩阵的秩：
2 1 1 1 2
A
1 4
1 6
2 2
1 2
4 4
3 6 9 7 9
r1 r2 r3 2
1 1 2 1 4 2 1 1 1 2 2 3 1 1 2 3 6 9 7 9
第五节矩阵的秩与矩阵的初等变换
一、矩阵秩的概念二、矩阵的初等变换三、初等矩阵四、小结
湘潭大学数学与计算科学学院王文强
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一、矩阵秩的概念
定义5.1 在 m n 矩阵 A 中任取 k 行 k 列（k min{m,n},位于这些行列交叉处的k 2 个元素按原来的次序所构成的k阶行列式，称为A 的 k 阶子式.
2、R( A) minm,n.
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例1
求矩阵
A
1 2
2 3
3 5
的秩.
4 7 1
解
在 A 中，1
2 0.
23
又 A的 3 阶子式只有一个 A，且 A 0，
R( A) 2.
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（1）Dr中不含第i行；（2）Dr中同时含第i行和第j行；（3）Dr中含第i行但不含第j行；
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对 (1),(2) 两种情形，显然B 中与 Dr 对应的子式 Dr Dr 0,故 R(B) r.
对情形 (3)，
Dr ri rj ri rj Dr Dˆ r ,
又由于 B 也可经一次初等变换变为 A, 故也有 R(B) R( A).
因此 R( A) R(B).
经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变．
设A经初等列变换变为 B,也有R( A) R(B).
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设 A 经初等列变换变为 B, 则 AT 经初等行变换变为BT , R( AT ) R(BT ), 且 R( A) R( AT ), R(B) R(BT ),
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1 1
r2 r3
2 2
r3 2r1
1 3
r4 3 3r1 6
21 11 4 2 r2 1r3 4
1100 90
12 15
73
22 9
2 5 3
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二、矩阵的初等变换
定义12 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 互换两行（互换i, j 两行,记作ri rj）；
2以数 0 乘来自百度文库某一行
（第 i 行乘 ,记作 ri）
3 把某一行各元素乘后加到另一行对应
的元素上去（第 j 行乘加到第 i 行上去，记作ri rj）.
m
n
矩阵
A的
k
阶子式共有
Ck m
Ck n
个.
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定义5.2 矩阵 A 中不为零子式的最高阶数称为矩阵 A 的秩，记作 R( A) 或r( A). 规定：零矩阵的秩等于零，即R(o) 0. 由定义5.2可得下列结论； 1、 R( AT ) R( A).
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同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．
定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换．
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同．
ri rj
ri ri rj
逆变换逆变换逆变换
ri rj;
(1
例2
已知
A
1 0
3 2
2 1
2 3
，求该矩阵的秩．
2 0 1 5
解
1
3 2 0,
计算A的3阶子式，
02
1 3 2 1 3 2 3 2 2 1 2 2
0 2 1 00, 2 3 20, 1 3 00, 1 3 0,
2 0 1 2 0 5 0 1 5 2 1 5
0.
RA 2.
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设 n 阶可逆矩阵 A， A 0, A 的最高阶非零子式为 A,
R( A) n, 可逆矩阵的秩等于阶数，故称可逆矩阵为满秩矩阵. 奇异矩阵为降秩矩阵.
湘潭大学数学与计算科学学院王文强
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定理5.1 若矩阵 A 中至少有一个k阶子式不为零，而所有k 1阶子式全为零，则 R( A) k .
湘潭大学数学与计算科学学院王文强
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当A ri rj B或 A ri B时，在 B 中总能找到与Dr 相对应的子式 Dr ,.
由于 Dr Dr 或 Dr Dr 或 Dr Dr ,
因此 Dr 0，从而 R(B) r. 当A ri rj B时，分三种情况讨论：
证由矩阵 A的所有k 1阶子式全为零，故A的任一k 2阶子式按行（或列）展开后知其必为零进，而全部高于k 1阶子式皆为零，所以由定义有 R( A) k .
注：按定义求矩阵的秩需要计算行列式，故只适用行、列较少的矩阵，对行、列较多的矩阵比较困难，为此下面介绍一个简便方法。
湘潭大学数学与计算科学学院王文强